Números irracionales

Números Irracionales
Pagliero, Ana Carolina

Índice general
1 Número irracional 1
1.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Clasiﬁcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1 Voces de expertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Número π 4
2.1 El nombre π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Historia del cálculo del valor π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Antiguo Egipto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Mesopotamia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Referencias bíblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.4 Antigüedad clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.5 Matemática china . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.6 Matemática india . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.7 Matemática islámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.8 Renacimiento europeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.9 Época moderna (precomputacional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.10 Época moderna (computacional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Características matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Deﬁniciones y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Número irracional y trascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Las primeras cincuenta cifras decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Fórmulas que contienen el número π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 En geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.2 En cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.3 En probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.4 En análisis matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
i

ii ÍNDICE GENERAL
2.5 Cómputos de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 Pi y los números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 Fórmula de Machin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.3 Métodos eﬁcientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Aproximaciones geométricas a π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.1 Método de Kochanski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.2 Método de Mascheroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Uso en matemática y ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7.1 Geometría y trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7.2 Variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7.3 Cálculo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7.4 Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7.5 Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8.1 Reglas mnemotécnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8.2 Aparición en medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.3 Otras curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.4 Días de Aproximación a Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8.5 Canción de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Cuestiones abiertas sobre π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Número e 19
3.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Deﬁniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Fórmula del “pi-e” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.3 Desarrollo de la función exponencial y del número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.4 Desarrollo decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.5 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.6 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Representaciones de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5.1 Dígitos conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ÍNDICE GENERAL iii
4 Número áureo 25
4.1 Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Cálculo del valor del número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Historia del número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Antigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Edad Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 El número áureo en las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 Propiedades y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 El número áureo en la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.3 Teoría de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 El número áureo en la Naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 El número áureo en el arte y en la cultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Raíz cuadrada de dos 38
5.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Algoritmo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Pruebas de irracionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Existencia y unicidad de la raíz cuadrada en ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Inﬁnitud de la expresión decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5.1 Visión topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.6 Propiedades de la raíz cuadrada de dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.7 Series y representaciones en productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.8 Distintas expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.9 En la geometría euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.10 En álgebra abstracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.11 Noticias y amenidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.12 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.13 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.13.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.15 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.15.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.15.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.15.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Capítulo 1
Número irracional
En matemáticas, un número irracional es un número
que no puede ser expresado como una fracción m/n ,
donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es
cualquier número real que no es racional. Un decimal in-
finito (id est con infinitas cifras) aperiódico, como
√
7 = 2, 645751311...
no puede representar un número racional. A tales núme-
ros se los nombra «números irracionales». Esta denomi-
nación significa la imposibilidad de representar dicho nú-
mero como razón de dos números enteros. [1]
1.1 Historia
Dado que en la práctica de medir la longitud de un seg-
mento de recta solo puede producir como resultado un
número fraccionario, en un inicio, los griegos identifi-
caron los números con las longitudes de los segmentos
de recta.[2]
Al identificar del modo mencionado, surge la
necesidad de considerar una clase de números más am-
plia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a
Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y su escuela el des-
cubrimiento de la existencia de segmentos de recta in-
conmensurables con respecto a un segmento que se toma
como unidad en un sistema de medición. Pues, existen
segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema
no es un número fraccionario.[3]
Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es incon-
mensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó
una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó
una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella
época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en
la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a
magnitudes conmensurables.
Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el con-
cepto de número y el de longitud de un segmento de recta,
y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus
cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables
con respecto a la unidad tomada como patrón de medi-
da les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números
irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocie-
ron como verdaderos números.[4]
1.2 Notación
No existe una notación universal para indicarlos, como I
, que es generalmente aceptada. Las razones son que el
conjunto de Números Irracionales no constituyen alguna
estructura algebraica, como sí lo son los naturales ( N ),
los enteros ( Z ), los racionales ( Q ), los reales ( R ) y los
complejos ( C ), por un lado, y que la I es tan apropiada
para designar al conjunto de Números Irracionales como
al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede
crear confusión. Fuera de ello,
I := RQ = {x ∈ R|x /∈ Q}
1.3 Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real
en tres categorías (no excluyentes): (naturales, enteros y
racionales), podría parecer que ha terminado la clasifi-
cación de los números, pero aún quedan “huecos” por
rellenar en la recta de los números reales. Los números
irracionales son los elementos de dicha recta que cubren
los vacíos que dejan los números racionales. Debe notarse
que aquí se está entendiendo como “recta real” el conjun-
to de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy
de números racionales. Puede demostrarse que el límite
de algunas de esas sucesiones (de hecho la mayor parte de
ellas), no es un número racional, por lo que si no se con-
sideraran racionales existirían “huecos” en el conjunto de
límites.
Los números irracionales son los elementos de la recta
real que no pueden expresarse mediante el cociente de
dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras
decimales aperiódicas. De este modo, puede definirse al
número irracional como una fracción decimal aperiódica
infinita.[5]
En general, toda expresión en números deci-
males es solo una aproximación en números racionales al
número irracional referido, por ejemplo, el número racio-
nal 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras deci-
males del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual
posee infinitas cifras decimales no periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz
cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135
1

2 CAPÍTULO 1. NÚMERO IRRACIONAL
en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los
tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que
hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. De-
bido a ello, los números irracionales más conocidos son
identificados mediante símbolos especiales; los tres prin-
cipales son los siguientes:
1. π (Número “pi” 3,14159...): razón entre la longitud
de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número “e” 2,7182...): limn→+∞
(
1 + 1
n
)n
3. Φ (Número "áureo” 1,6180...): 1+
√
5
2
4. las soluciones reales de x2
- 3 = 0; de x5
−7 = 0; de
x3
= 11; 3x
= 5; sen 7º, etc[6]
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1. Número algebraico: Son la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un núme-
ro finito de radicales libres o anidados en algunos
casos [7]
; si “x” representa ese número, al eliminar
radicales del segundo miembro mediante operacio-
nes inversas, queda una ecuación algebraica de cier-
to grado. Todas las raíces no exactas de cualquier
orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el
número áureo es una de las raíces de la ecuación al-
gebraica x2
−x−1=0 , por lo que es un número irra-
cional algebraico.
2. Número trascendente: No pueden representarse me-
diante un número finito de raíces libres o anida-
das; provienen de las llamadas funciones trascen-
dentes (trigonométricas, logarítmicas y exponencia-
les, etc.) También surgen al escribir números deci-
males no periódicos al azar o con un patrón que no
lleva periodo definido, respectivamente, como los
dos siguientes:
0, 193650278443757 ...
0, 101001000100001 ...
Los llamados números trascendentes tienen
especial relevancia ya que no pueden ser solu-
ción de ninguna ecuación algebraica. Los nú-
meros pi y e son irracionales trascendentes,
puesto que no pueden expresarse mediante ra-
dicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no
pueden ponerse en biyección con el conjunto de los nú-
meros naturales. Por extensión, los números reales tam-
poco son contables ya que incluyen el conjunto de los irra-
cionales.
1.4 Propiedades
• La suma y la diferencia de un número racional y de
un número irracional es un número irracional.
• El producto de un racional diferente de cero por un
irracional es un número irracional.
• El cociente de un racional (≠ 0) entre un irracional
es un número irracional.
• El inverso de un número irracional es número irra-
cional.
• Sea un binomio, formado por un racional más un
radical de segundo orden, o la suma de dos radica-
les de segundo orden, que es irracional. Entonces su
conjugado es irracional.
• Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los
valores de las razones trigonométricas, la inmensa
mayoría no numerable, son irracionales.
• El número de Gelfond (2 elevado a la raíz cuadrada
de 2) es un número irracional trascendente[8]
• la raíz cuadrada de un número natural no cuadra-
do perfecto es un número irracional; también lo es
la raíz enésima de un natural p que no es potencia
enésima perfecta.
• Entre dos racionales distintos, existe por lo menos,
un número irracional[9]
• Las razones trigonométricas de un ángulo son irra-
cionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso
de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean
racionales.[10]
• La medida de Lebesgue de cualquier intervalo ce-
rrado del tipo [a,b]∩I⊂R es igual a la medida b-a. Eso
implica que si existiera un procedimiento para se-
leccionar al azar un número de dicho intervalo, con
probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
• Cualquier número irracional que está en un intervalo
abierto de números reales es punto de acumulación
de los números reales de tal intervalo, como de los
números irracionales del mismo. Por ejemplo:
√
5
es punto de acumulación de los números reales del
intervalo K =< 1; 4 > , como también de los nú-
meros irracionales de K . [11]
• El conjunto de los números irracionales es equiva-
lente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los
números reales. [12]
1.4.1 Voces de expertos
«Los números reales que no son racionales
se llaman irracionales. Su conjunto se denota
por I .»

1.6. REFERENCIAS 3
[13]
«Un número que no es racional se llama
irracional. Así,
√
2 es irracional. »
[14]
1.5 Véase también
• Número normal
1.6 Referencias
[1] César A. Trejo. El concepto de número. Ediciones de
OEA, Wáshington. D.C. (1973). 2º edición, revisada y co-
rregida.
[2] Rodríguez Macías, Raúl y coautores:«Cálculo diferen-
cial e integral» Editorial Pueblo y Educación, La Habana
(1988)pág 2
[3] Rodríguez Macías: Op. cit. ibídem
[4] Rodríguez Macías: obra citada, misma pág.
[5] Kalnin:«Álgebra y funciones elementales» editorial Mir,
Moscú, impreso en la URSS
[6] Kalnin: Op. cit.
[7] Se supone que las raíces de una ecuación algebraica de
quinto grado son números algebraicos, pero no siempre es
posible representar por radicales: Galois y Abel.
[8] González. Mancil: “Algebra Moderna”
[9] Courant- John: Introducción al cálculo y analisis matemá-
tico
[10] Courant: Ibídem
[11] Introducción a la topología. Ediciones de Organización de
estados Americanos.
[12] Introdución a la topología y teoría de conjuntos de Kura-
towsky.
[13] L. D. Kudriátsev: Curso de análisis matemático. Editorial
Mir, Moscú (1983)
[14] Serge Lang: Introducción al análisis matemático. Addison-
Wesley Iberoamericana, Wimington, Delaware, E.U.A
(1990)
1.6.1 Bibliografía
1.6.2 Enlaces externos
• Wikcionario tiene deﬁniciones y otra informa-
ción sobre número irracional.Wikcionario
• Números Irracionales Más información sobre núme-
ros irracionales

Capítulo 2
Número π
π (pi) es la relación entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro, en geometría eucli-
diana. Es un número irracional y una de las constantes
matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemen-
te en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico
de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
π ≈ 3, 14159265358979323846 . . .
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones
a lo largo de la historia, siendo una de las constantes ma-
temáticas que más aparece en las ecuaciones de la física,
junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre
la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro
no es constante en geometrías no euclidianas.
π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su
diámetro. Es una constante en geometría euclidiana.
2.1 El nombre π
La notación con la letra griega π proviene de la ini-
cial de las palabras de origen griego περιφέρεια 'peri-
feria' y περίμετρον 'perímetro' de un círculo,[1]
notación
que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-
1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés
William Jones[2]
(1675-1749); aunque fue el matemáti-
co Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo
infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conoci-
da anteriormente como constante de Ludolph (en honor
al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de
Arquímedes (que no se debe confundir con el número de
Arquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de este
número en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.[3]
Arquímedes lo calculó con la aproximación de 3 + 10
71 <
π < 3 + 1
7 , tal como consignó en su obra Medición del
Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y
popularizado por Leonhard Euler.
círculo, ciertamente con otra notación.[4]
2.2 Historia del cálculo del valor π
La búsqueda del mayor número de decimales del número
π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos cien-
tíficos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones
históricas de π son las siguientes.
2.2.1 Antiguo Egipto
El valor aproximado de π en las antiguas culturas se re-
monta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año
1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,[5]
donde se em-
plea un valor aproximado de π afirmando que el área de
un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es
igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir,
igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:
S = πr2
≃
(
8
9
· d
)2
=
64
81
d2
=
64
81
(
4r2
)
π ≃
256
81
= 3,16049 . . .
4

2.2. HISTORIA DEL CÁLCULO DEL VALOR Π 5
Detalle del papiro Rhind.
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la
antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno
es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo
en el primero se habla del valor aproximado del núme-
ro π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su
libro The Exact Sciences in Antiquity,[6]
describe un méto-
do inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para
averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área
de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro
8.
2.2.2 Mesopotamia
Hacia el 1900-1600 a. C., algunos matemáticos
mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos,
valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos
valores más aproximados, como el de:
π ≈ 3 +
1
8
= 3, 125
2.2.3 Referencias bíblicas
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor
aproximado de π se puede encontrar en un versículo de
la Biblia:
«Hizo fundir asimismo un mar de diez
codos de un lado al otro, perfectamente
redondo. Tenía cinco codos de altura y a su
alrededor un cordón de treinta codos».
I Reyes 7:23-24 (Reina-Valera 1995)
Una cita similar se puede encontrar en Segundo Libro de
las Crónicas. En él aparece en una lista de requerimien-
tos para la construcción del Gran Templo de Salomón,
construido sobre el 950 a. C.:
«También hizo un mar de metal fundido,
el cual tenía diez codos de un borde al otro,
enteramente redondo; su altura era de cinco
codos, y un cordón de treinta codos de largo lo
ceñía alrededor».
II Crónicas 4:2 (Reina-Valera 1995)
Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una
notable pérdida de precisión respecto de las anteriores
estimaciones egipcia y mesopotámica.
Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se apro-
ximen al número π, por exceso y defecto.
A B
D C
Método de aproximación de Liu Hui.
2.2.4 Antigüedad clásica
El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue ca-
paz de determinar el valor de π entre el intervalo com-
prendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, co-
mo valor máximo. Con esta aproximación de Arquíme-
des se obtiene un valor con un error que oscila entre

6 CAPÍTULO 2. NÚMERO Π
0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado
por Arquímedes[7]
era muy simple y consistía en circuns-
cribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en cir-
cunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos.
Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e ins-
critos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a
polígonos de 96 lados.
Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero ro-
mano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8
midiendo la distancia recorrida en una revolución por una
rueda de diámetro conocido.
En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor
fraccionario por aproximaciones:
π ≃
377
120
= 3,1416 . . .
2.2.5 Matemática china
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos
expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomo
chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en
usar la aproximación
√
10 , que dedujo de la razón en-
tre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscri-
ta. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó
en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método
empleado.[8]
Pocos años después, hacia 263, el matemá-
tico Liu Hui fue el primero en sugerir[9]
que 3,14 era
una buena aproximación, usando un polígono de 96[10]
o 192[8]
lados. Posteriormente estimó π como 3,14159
empleando un polígono de 3072 lados.[10][11]
A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino
Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926, al que
llamó «valor por defecto», y 3,1415927, «valor por ex-
ceso», y dio dos aproximaciones racionales de π, 22/7 y
355/113, muy conocidas ambas,[12]
siendo la última apro-
ximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta
más de nueve siglos después, en el siglo XV.[10]
2.2.6 Matemática india
Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a fi-
nales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó
el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando
incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta
calcula π como
√
10 , cálculo mucho menos preciso que
el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una
aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359),
siendo el primero en emplear series para realizar la
estimación.[8]
2.2.7 Matemática islámica
En el siglo IX Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabr
ua al muqabala), hace notar que el hombre práctico usa
22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astróno-
mo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath
al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π
con nueve dígitos, empleando una base numérica sexage-
simal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos
decimales: 2π = 6,2831853071795865.
2.2.8 Renacimiento europeo
John Wallis (1616–1703).
A partir del siglo XII, con el uso de cifras arábigas en
los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener
mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci (1170-
1250), en su Practica Geometriae, amplifica el método de
Arquímedes, proporcionando un intervalo más angosto.
Algunos matemáticos del siglo XVII, como Viète, usa-
ron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse
con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco
Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una
precisión de 16 dígitos decimales usando el método de
Arquímedes.
2.2.9 Época moderna (precomputacional)
En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los
35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan or-
gulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida.
Los libros de matemática alemanes durante muchos años

2.2. HISTORIA DEL CÁLCULO DEL VALOR Π 7
Leonhard Euler (1707–1783).
denominaron a π como número ludolfiano. En 1665 Isaac
Newton desarrolla la serie[13]
arcsin x = x +
1
2
·
x3
3
+
1 · 3
2 · 4
·
x5
5
+
1 · 3 · 5
2 · 4 · 6
·
x7
7
+ . . .
Con x = 1
2 obtuvo una serie para:
arcsin
(
1
2
)
=
π
6
El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la
conocida serie Producto de Wallis:
2
1
·
2
3
·
4
3
·
4
5
·
6
5
·
6
7
·
8
7
·
8
9
· · · · =
π
2
En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemá-
tico inglés Abraham Sharp (1651-1742) calculó pi con
una precisión de 71 dígitos decimales usando la serie de
Gregory:
arctan(x) = x −
x3
3
+
x5
5
− . . .
Con x = 1√
3
se obtiene una serie para:
arctan
(
1
√
3
)
=
π
6
Para alcanzar la precisión obtenida, debió usar alrededor
de trescientos términos en la serie. En 1720 el francés
Thomas de Lagny utilizó el mismo método para obtener
una aproximación de 127 dígitos (solo los primeros 112
eran correctos).
Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la
siguiente serie matemática que lleva su nombre:
∞∑
n=0
(−1)n
2n + 1
= 1 −
1
3
+
1
5
− · · · =
π
4
El inglés William Oughtred fue el primero que empleó la
letra griega π como símbolo del cociente entre las lon-
gitudes de una circunferencia y su diámetro. Fue en el
año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159
andc. = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y fue
Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirtió
en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.
El matemático japonés Takebe empezó a calcular el nú-
mero π en el año 1722, con el mismo método expuesto
por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados pa-
ra polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024
lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara
π con 41 decimales.
En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Ve-
ga, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en
1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 deci-
males de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord
se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William
Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran
correctos.
El matemático aficionado de origen inglés William
Shanks trabajó, durante 20 años, en hallar los guarismos
de π, habiendo obtenido 707 decimales en 1873. En el
año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en en el quin-
gentésimo vigésimo octavo guarismo decimal (528º) de
la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos sub-
siguientes eran erróneos.[14]
En 1947, Ferguson recalcu-
ló π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora
mecánica.[cita requerida]
Algunas aproximaciones históricas de valores de π, an-
teriores a la época computacional, se muestran en la si-
guiente tabla:
2.2.10 Época moderna (computacional)
Desde el diseño de la primera computadora se empeza-
ron a desarrollar programas para el cálculo del número π
con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en
1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords,
obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a po-
co fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de

esta forma, pocos años después (1954) un NORAC lle-
gó a 3092 cifras. Durante casi toda la década de los años
1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM
7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en
8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nue-
vas computadoras con algoritmos para la generación de
series de números procedentes de π.
En la década de 2000, los ordenadores son capaces de
obtener números que poseen una inmensa cantidad de
decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones
y medio de decimales de pi mediante el uso de una
supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por
640 computadoras de alto rendimiento, que juntas con-
siguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo
obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.
En la época computacional del cálculo de π las cifras se
han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que
estas máquinas son capaces de generar, sino también por
el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina
cuando su marca aparece en la lista de los récords.
2.3 Características matemáticas
Se muestra la relación entre un cuadrado de lado r y un círculo
de radio r . El área del círculo es πr2
.
2.3.1 Definiciones y caracterizaciones
Euclides fue el primero en demostrar que la relación
entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad
constante.[18]
No obstante, existen diversas definiciones
del número π , pero las más común es:
• π es la razón entre la longitud de cualquier
circunferencia y la de su diámetro.
Además π es:
• El área de un círculo unitario (de radio que tiene
longitud 1, en el plano geométrico usual o plano eu-
clídeo).
• El menor número real x positivo tal que sin(x) = 0
.
También es posible definir analíticamente π ; dos defini-
ciones son posibles:
• La ecuación sobre los números complejos eix
+1 =
0 admite una infinidad de soluciones reales positi-
vas, la más pequeña de las cuales es precisamente π
(véase identidad de Euler).
• La ecuación diferencial S′′
(x) + S(x) = 0 con las
condiciones de contorno S(0) = 0, S′
(0) = 1 pa-
ra la que existe solución única, garantizada por el
teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica
(la función trigonométrica sin(x) ) cuya raíz positi-
va más pequeña es precisamente π .
• A través de una integral definida se obtiene el valor
de π/4. Se integra la función f(x) = 1/ ( 1 + x2
) de 0
a 1.[19]
• Todos los ensayos estadísticos realizados sobre la
sucesión de los dígitos decimales de pi han corro-
borado su carácter aleatorio. No hay orden ni re-
gularidad, hay varias series de 7777 y la chocante
999999, hay apariciones que confunden o agradan a
los intuicionistas.[20]
2.3.2 Número irracional y trascendente
Se trata de un número irracional, lo que significa que no
puede expresarse como fracción de dos números ente-
ros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o
1767). También es un número trascendente, es decir, que
no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.
En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lin-
demann demostró este hecho, cerrando con ello defini-
tivamente la permanente y ardua investigación acerca del
problema de la cuadratura del círculo indicando que no
tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liou-
ville (Mahler,[21]
1953), es decir, no sólo es trascenden-
tal sino que no puede ser aproximado por una secuen-
cia de racionales “rápidamente convergente” (Stoneham
1970[cita requerida]
).
2.3.3 Las primeras cincuenta cifras deci-
males
A pesar de tratarse de un número irracional continúa sien-
do averiguada la máxima cantidad posible de decimales.
Los cincuenta primeros son:
π ≈ 3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

2.4. FÓRMULAS QUE CONTIENEN EL NÚMERO Π 9
Para ver secuencias mayores de este número consúltese
las referencias (5·1012
decimales),[22]
así como Las pri-
meras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse,
la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una
docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría
describir con precisión la curvatura del Universo con un
error más pequeño que el tamaño de un protón.[23]
2.4 Fórmulas que contienen el nú-
mero π
2.4.1 En geometría
• Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r
Áreas de secciones cónicas:
• Área del círculo de radio r: A = π r²
• Área interior de la elipse con semiejes a y b: A = π
ab
Áreas de cuerpos de revolución:
• Área del cilindro: 2 π r (r+h)
• Área del cono: π r² + π r g
• Área de la esfera: 4 π r²
Volúmenes de cuerpos de revolución:
• Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
• Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h:
V = π r² h
• Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V =
π r² h / 3
Ecuaciones expresadas en radianes:
• Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.
• El volumen del toro conlleva π al cuadrado[24]
2.4.2 En cálculo
• Área limitada por la astroide: (3/8) π a2[25]
• Área de la región comprendida por el eje X y un arco
de la cicloide: 3 π a2
• Área encerrada por la cardioide: (3/2) π a2
• Área de la región entre el eje polar y las dos primeras
vueltas de la espiral de Arquímedes r = aα[26]
es 8π3
a2
• Área entre la curva de Agnesi y la asíntota es S =
πa2
.[27]
• Cisoide
• Estrofoide
• Caracol de Pascal. El área usando esta curva y cual-
quiera de las anteriores lleva en la fórmula el valor
de pi[28]
2.4.3 En probabilidad
• La probabilidad de que dos enteros positivos esco-
gidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores
que 1, la probabilidad de que junto con el número 1
puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es:
(π−2)/4
• El número medio de formas de escribir un entero
positivo como suma de dos cuadrados perfectos es
π/4 (el orden es relevante).
• Aguja de Buﬀon: si lanzamos al azar una aguja de
longitud L sobre una superﬁcie en la que hay dibu-
jadas líneas paralelas separadas una distancia D, la
probabilidad de que la aguja corte a una línea es:
2L/Dπ
2.4.4 En análisis matemático
• Fórmula de Leibniz:
∞∑
n=0
(−1)
n
2 n + 1
=
1
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
− · · · =
π
4
• Producto de Wallis:
∞∏
n=1
(
2n
2n − 1
·
2n
2n + 1
)
=
2
1
·
2
3
·
4
3
·
4
5
·
6
5
·
6
7
·
8
7
·
8
9
· · · =
π
2
• Euler:
∞∑
n=0
2n
n!2
(2n + 1)!
= 1+
1
3
+
1 · 2
3 · 5
+
1 · 2 · 3
3 · 5 · 7
+· · · =
π
2
• Identidad de Euler
eπi
+ 1 = 0
• Área bajo la campana de Gauss:
∫ ∞
−∞
e−x2
dx =
√
π

• Fórmula de Stirling:
n! ≈
√
2πn
(n
e
)n
• Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:
ζ(2) =
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+ · · · =
π2
6
• Euler:
ζ(4) =
1
14
+
1
24
+
1
34
+
1
44
+ · · · =
π4
90
• Además, π tiene varias representaciones como
fracciones continuas:
π
4
=
1
1 +
1
3 +
4
5 +
9
7 +
16
9 +
25
11 +
36
13 +
49
...
• También como desarrollo en series:
π =
∞∑
k=0
2(−1)k
3
1
2 −k
2k + 1
• Formas de representación aproximada a π [29]
355
113
≈ 3.141592....
29
√
261424513284461 ≈ π
• Método de Montecarlo
En un círculo de radio r inscrito en un
cuadrado de lado 2r (2 veces el radio), el
área del círculo es πr² y la del cuadrado
(2r)². De esto se deduce que la relación
de área entre el cuadrado y el círculo de
π/4.[30]
• Fórmula de Srinivāsa Rāmānujan demostrada en
1985 por Jonathan y Peter Borwein, descubierta en
1910. Es muy eficaz porque aporta 8 decimales a
cada iteración:
1
π
=
2
√
2
9801
∞∑
k=0
(4k)!(1103 + 26390k)
(k!)43964k
2.5 Cómputos de π
2.5.1 Pi y los números primos
Utilizando el inverso del producto de Euler para la
función zeta de Riemann y para el valor del argumento
igual a 2 se obtiene:
1
ζ(2)
= limn→∞
pn∈P
(
1 −
1
22
) (
1 −
1
32
) (
1 −
1
52
) (
1 −
1
72
) (
1 −
1
112
)
...
donde pn es el n-ésimo número primo. Euler fue el pri-
mero en hallar este valor de la función zeta (empleando
la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso
Problema de Basilea.
2.5.2 Fórmula de Machin
Una forma exacta de poder calcular π en términos de tan-
gentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de
Machin, descubierta en 1706:
π
4
= 4 arctan
1
5
− arctan
1
239
Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averi-
guar dígitos por encima de la centena (por ejemplo, el ya
citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posicio-
nes decimales de π).
2.5.3 Métodos eficientes
Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pue-
den consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces ex-
ternos). Uno de los records más recientes fue alcan-
zado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de
la Universidad de Tokio, fijando el número pi con
1.241.100.000.000 dígitos; se necesitaron unas 602 ho-
ras con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000
con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo
2 billones de operaciones por segundo, más de seis ve-
ces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para
ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de
Machin:
• K. Takano (1982).
π
4
= 12 arctan
1
49
+32 arctan
1
57
−5 arctan
1
239
+12 arctan
1
110443
• F. C. W. Störmer (1896).
π
4
= 44 arctan
1
57
+7 arctan
1
239
−12 arctan
1
682
+24 arctan
1
12943
Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan
ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil

2.7. USO EN MATEMÁTICA Y CIENCIA 11
sino para comprobar el funcionamiento de los superor-
denadores. La limitación no está en la computación sino
en la memoria necesaria para almacenar una cadena con
una cantidad tan grande de números.
2.6 Aproximaciones geométricas a
π
Es posible obtener una aproximación al valor de π de for-
ma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron ob-
tener sin éxito una solución exacta al problema del valor
de π mediante el empleo de regla y compás. El problema
griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es
lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de
un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor
exacto de π.
Una vez demostrado que era imposible la obtención de π
mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios
métodos aproximados. Dos de las soluciones aproxima-
das más elegantes son las debidas a Kochanski (usando
regla y compás) y la de Mascheroni (empleando única-
mente un compás).
2.6.1 Método de Kochanski
Método de Kochanski.
Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el
triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al
segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que
corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D
y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la
circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC
es aproximadamente la mitad de la longitud de la circun-
ferencia.
Demostración (suponiendo R = 1)
BC2
= AB2
+ (3 − DA)2
OF =
√
3
2
DA
EF = OA
OF → DA
1/2 = 1√
3/2
→ DA =
√
3
3
Sustituyendo en la primera fórmula:
BC2
= 22
+
(
3 −
√
3
3
)2
→ BC =
√
40−6
√
3
3 =
3, 141533...
2.6.2 Método de Mascheroni
Método de Mascheroni.
Método desarrollado por Lorenzo Mascheroni: se dibuja
una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono
regular. El punto D es la intersección de dos arcos de cir-
cunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A.
Obtenemos el punto E como intersección del arco DE,
con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es
un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproxima-
damente.
Demostración (suponiendo R = 1)
AD = AC =
√
3 OD =
√
3 − 1 =
√
2
BE = BD =
√
(OD − MB)2 + MO2 BE =
BD =
√(√
2 −
√
3
2
)2
+ 1
4 =
√
3 −
√
6
Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'
BB′
· AE = AB · EB′
+ BE · AB′
2 · AE =
√
1 +
√
6 +
√
9 − 3 ·
√
6 = 3, 142399...
2.7 Uso en matemática y ciencia
π es ubicuo en matemática; aparece incluso en lugares
que carecen de una conexión directa con los círculos de
la geometría euclídea.[31]

2.7.1 Geometría y trigonometría
Para cualquier círculo de radio r y diámetro d = 2r, la
longitud de la circunferencia es πd y el área del círcu-
lo es πr2
. Además, π aparece en fórmulas para áreas y
volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacio-
nadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos,
y toroides.[32]
π aparece en integrales definidas que des-
criben la circunferencia, área o volumen de figuras gene-
radas por circunferencias y círculos. En el caso básico, la
mitad del área de un círculo unitario es:[33]
∫ 1
−1
√
1 − x2 dx =
π
2
y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria
es:[34]
∫ 1
−1
1
√
1 − x2
dx = π
Se puede integrar formas más complejas como sólidos de
revolución.[35]
De la definición de las funciones trigonométricas desde
el círculo unitario se llega a que el seno y el coseno tie-
nen período 2π. Lo que significa, para todo x y enteros
n, sin(x) = sin(x + 2πn) y cos(x) = cos(x + 2πn). Porque
sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 para todos los enteros n. Además,
el ángulo 180° es igual a π radianes. En otras palabras 1°
= (π/180) radianes.
En la matemática moderna, π es a menudo definido usan-
do funciones trigonométricas, por ejemplo como el me-
nor entero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar de-
pendencias innecesarias de las sutilezas de la geometría
euclidiana y la integración. Equivalentemente, π puede
ser definido usando funciones trigonométricas inversas,
por ejemplo como π = 2 arccos(0) o π = 4 arctan(1). Ex-
pandir funciones trigonométricas inversas como series de
potencias es la manera más fácil de obtener series infini-
tas para π.
2.7.2 Variable compleja
La frecuente aparición de π en análisis complejo puede
estar relacionada con el comportamiento de la función
exponencial de una variable compleja, descrito por la
fórmula de Euler[36]
eiφ
= cos φ + i sin φ
donde i es la unidad imaginaria que satisface la ecuación
i2
= −1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Esta fór-
mula implica que las potencias imaginarias de e describen
rotaciones un círculo unitario en el plano complejo; estas
Representación geométrica de la fórmula de Euler.
rotaciones tienen un período de 360º = 2π. En particular,
la rotación de 180º φ = π resulta en la notable identidad
de Euler
eiπ
+ 1 = 0.
Hay n diferentes raíces n-ésimas de la unidad
e2πik/n
(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
2.7.3 Cálculo superior
La integral de Gauss
∫ ∞
−∞
e−x2
dx =
√
π. [37]
Una consecuencia es que el resultado de la división en-
tre la función gamma de un semientero (la mitad de un
número impar) y √π es un número racional.
2.7.4 Física
Aunque no es una constante física, π aparece rutinaria-
mente en ecuaciones que describen los principios funda-
mentales del Universo, Debido en gran parte a su rela-
ción con la naturaleza del círculo y, correspondientemen-
te, con el sistema de coordenadas esféricas. Usando uni-
dades como las unidades de Planck se puede eliminar a
veces a π de las fórmulas.
• La constante cosmológica:[38]
Λ =
8πG
3c2
ρ

2.8. CURIOSIDADES 13
• Principio de incertidumbre de Heisenberg:[39]
∆x ∆p ≥
h
4π
• Ecuación del campo de Einstein de la relatividad ge-
neral:[40]
Rik −
gikR
2
+ Λgik =
8πG
c4
Tik
• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica:[41]
F =
|q1q2|
4πε0r2
• Permeabilidad magnética del vacío:[42]
µ0 = 4π · 10−7
N/A2
• Tercera ley de Kepler:
P2
a3
=
(2π)2
G(M + m)
2.7.5 Probabilidad y estadística
En probabilidad y estadística, hay muchas distribuciones
cuyas fórmulas contienen a π, incluyendo:
• la función de densidad de probabilidad para la
distribución normal con media μ y desviación están-
dar σ, que depende de la integral gaussiana:[43]
f(x) =
1
σ
√
2π
e−(x−µ)2
/2σ2
• la función de densidad de probabilidad para la
distribución de Cauchy (estándar):[44]
f(x) =
1
π(1 + x2)
.
Nótese que para todas las funciones de densidad de pro-
babilidad se cumple que
∫ ∞
−∞
f(x) dx = 1 , entonces
las fórmulas anteriores pueden usarse para producir otras
fórmulas integrales para π.[45]
El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones
como una aproximación empírica de π. Se trata de lanzar
una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie
en la que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre
sí, en t unidades, de manera uniforme (con t > l de forma
que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja se
lanza n veces y x de esas cae cruzando una línea, entonces
se puede aproximar π usando el Método de Montecarlo,
lanzándola gran cantidad de veces:[46][47][48][49]
π ≈
2nl
xt
.
a
l
b
t
Representación del experimento en el modelo de la “aguja de Buf-
fon”, se lanzan dos agujas (a, b) ambas con longitud l. En el di-
bujo la aguja a está cruzando la línea mientras que la aguja b
no.
Aunque este resultado es matemáticamente impecable,
no puede usarse más que para determinar unos cuan-
tos dígitos de π experimentalmente. Para conseguirse sólo
tres dígitos correctos (incluyendo el “3” inicial) requiere
de millones de lanzamientos,[46]
y el número de lanza-
mientos crece exponencialmente con el número de dígi-
tos deseados. Además, cualquier error en la medida de
las longitudes l y t se transfiere directamente como un
error en la aproximación de π. Por ejemplo, una diferen-
cia de un simple átomo en una aguja de 10 centímetros
podría acarrear errores en el noveno dígito del resultado.
En la práctica, incertidumbres en la determinación de si
la aguja en realidad cruza una línea que parece estar solo
tocándola lleva el límite de precisión alcanzable a mucho
menos de 9 dígitos.
2.8 Curiosidades
2.8.1 Reglas mnemotécnicas
Es muy frecuente emplear poemas como regla mnemo-
técnica para poder recordar las primeras cifras del nú-
mero pi.
• Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es
con este poema, sólo hay que contar las letras de ca-
da palabra:
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros
• Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros
dígitos, es la siguiente:
"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tie-
ne que haber períodos repetidos! Tampoco compren-
do que de una cantidad poco sabida se afirme al-
go así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1
(3,14159...) se utiliza la letra griega π.

• Un tercer poema:
Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...
• Otra regla, que permite recordar las primeras 32 ci-
fras:
"Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que
serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su
ley singular, bien medido el grande orbe por fin re-
ducido fue al sistema ordinario usual." (del autor Ra-
fael Nieto París[50]
) Aquí también se utiliza la letra
griega π para el primer 1.
• Otra forma, que permite recordar las primeras 14
cifras:
“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy
lectures involving quantum mechanics![51]
Existen cuentos amplios que son capaces de hacer
memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el titulado
"Cadaeic Cadenza", escrito en 1996 por el matemático
Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar
los primeros 3.834 dígitos. De esta forma, tomando “A”
como 1, “B” como 2, “C” como 3, etc., el nombre de
la historia saca los dígitos de pi, como “Cadaeic” es la
primera palabra de 7 dígitos de pi:
C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3
Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas
mnemotécnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia para
descubrir el arte empleado en cada idioma).
2.8.2 Aparición en medios
• En el año 1998 aparece una película del director
Darren Aronofsky denominada Pi sobre un mate-
mático que cree que el mundo se representa por nú-
meros.
• Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace
aparecer el símbolo π como una organización de es-
pionaje.
• En La Película The Net, Aparece en la parte inferior
derecho de una página de conciertos y música, de
un programa llamado The Mozart Ghost, Aparen-
temente es solo un adorno, pero cuando se presiona
CRTL+ALT+Click en π, se accede a la interfaz de
datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de
los Pretorianos, Que pedía un Usuario y un Pass-
word.
• En la serie de dibujos The Simpsons, en el episo-
dio “Bye Bye Nerdie”, el Professor Frink grita, a
voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer
la atención de un auditorio compuesto por científi-
cos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pi-
de disculpas por haberse visto obligado a semejante
sacrilegio.
• En la serie Futurama aparecen diferentes referencias
a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
• La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que
luego se filmó la película homónima— toma a π
(aunque no en base decimal) como un número que
esconde la esencia misma del universo.
2.8.3 Otras curiosidades
“Piso-Pi”, mosaico en la entrada del edificio de la matemática en
TU Berlín.
Detalle del “Mazda Pi”, se añadieron 27 cifras decimales de π a
este automóvil.
• El método de Arquímedes no fue superado en casi
dos mil años a pesar de los grandes avances realiza-
dos en su evaluación numérica.[52]

2.8. CURIOSIDADES 15
Tarta con el número pi.
Construcción aproximada para la cuadratura del círculo, encon-
trada por Ramanujan.
• El valor de Pi usado por Posidonio (135-51 a.C.)
debió ser correcto en varias cifras decimales. El va-
lor que obtuvo para la circunferencia de la tierra
fue adoptado tres siglos más tarde por el astróno-
mo alejandrino Claudio Ptolomeo y mucho después
por Cristobal Colón, entre muchos otros.[53]
• El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la apro-
ximación de π.
• El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Esta-
dos Unidos) se marca también como el día pi en el
que los fans de este número lo celebran con diferen-
tes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de
Einstein.
• 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como
una simulación ¡cuasi-perfecta!
• John Squire (de la banda The Stone Roses) mencio-
na π en una canción escrita para su segunda banda
The Seahorses denominada “Something Tells Me”.
La canción acaba con una letra como: “What’s the
secret of life? It’s 3.14159265, yeah yeah!!".
• El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se
puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este
enlace.
• La numeración de las versiones del programa de tra-
tamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza
según los dígitos de π. La versión del año 2002 se
etiquetó con 3.141592
• Se emplea este número en la serie de señales envia-
das por la tierra con el objeto de ser identiﬁcados
por una civilización inteligente extraterrestre.
• La probabilidad de que dos enteros positivos esco-
gidos al azar sean primos entre si es 6/π2
.
• Existen programas en internet que buscan tu número
de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π.
• En algunos lenguajes de programación se pueden
averiguar tantos dígitos como se desee con simple-
mente emplear expresiones como: RealDigits[ N[
Pi, 105]] en «Mathematica».
• En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió
el record mundial recitando durante 13 horas 83.431
dígitos del número pi sin parar, doblando el ante-
rior record en posesión del también japonés Hiro-
yuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de
la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi
volvió a romper su propio record recitando 100.000
dígitos del número pi, realizando una parada cada
dos horas de 10 minutos para tomar aire.
• El máximo número de dígitos de π necesario para
buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cua-
tro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
• Existe una canción de Kate Bush llamada “Pi” en la
cual se recitan más de veinte dígitos decimales del
número.
• En Argentina, el número telefónico móvil para
emergencias en estaciones de trenes y subterráneos
es ∗31416.[54]
• El valor principal de la expresión ii
es un número
real y está dado por[55]
ii
=
(
eiπ/2
)i
= ei2
π/2
= e−π/2
= 0.207879...
• Existe un vehículo Mazda 3 modiﬁcado, al que se le
añadieron 27 cifras de π, después del 3.[56]

• Srinivasa Ramanujan publicó una solución aproxi-
mada, con regla y compás, a la cuadratura del círculo
en 1913 en la que obtuvo un segmento aproximada-
mente igual a r
√
π :[57]
segmento = d
2
√
355
113 ≈ r
√
π
• Los hebreos consideran al número pi como “el nú-
mero de Dios”. En la película Pi: Fe en el Caos los
estudiantes de la Torá consideran los 216 (6x6x6)
primeros decimales como representación del verda-
dero nombre de Dios. En la Biblia (hebrea y cris-
tiana) el nombre de Dios aparece en el capítulo 3 y
versículo 14 del Libro del Éxodo (Éxodo 3,14).
2.8.4 Días de Aproximación a Pi
Según determinadas coincidencias numéricas, los Días de
Aproximación a Pi son:
• 14 de marzo (3/14 en formato de fecha inglés)
• 26 de abril
• 22 de julio (22/7 que es una aproximación de pi)
• 10 de noviembre (es el 314º día del calendario gre-
goriano)
• 21 de diciembre (es el día 355, en referencia a la
aproximación 355/113)
2.8.5 Canción de π
Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre
sabio,
Qué serie preciosa valorando, enunció su
amor hacia ti.
A los 7 continentes comunicaría
Mi cariño y amor hacia ti
El mundo entero recorrería
Solo para verte sonreír
Lobos y perros aullarían
Al verme junto a ti
Y para siempre mi vida
Estaría muy feliz
¿Y cómo reúno infinidad de amor?
Tiene que haber tiempo y espacio
Mas mi amor es infinito
Y nunca te dejaré ir
Los océanos yo nadaría,
En la Antártida viviría,
De la selva me alimentaria
Con tal de verte a ti
Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre
sabio,
Qué serie preciosa valorando, enunció su amor
hacia ti.
Todo lo haría por ti
Nada ni nadie sabe cómo yo te amo y te amo
sin fin
Si los granos de arena
Y las estrellas contaras
Tendrías una idea
Del amor que tengo por ti
2.9 Cuestiones abiertas sobre π
• Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decima-
les de π?
• La denominada cuestión de Brouwer: en la expansión
decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista
una sucesión de mil ceros consecutivos?
• ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir,
¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema deci-
mal la misma probabilidad de aparición en una ex-
pansión decimal?
• No se sabe si π+e, π/e, ln(π) son irracionales. Se
sabe que no son raíces de polinomios de grado in-
ferior a nueve y con coeficientes enteros del orden
109
.[58][59]
2.10 Véase también
• Cuadratura del círculo
• Día de pi
• Lista de constantes matemáticas
• Número e
• Número irracional
• Número trascendente
• Tau (2π)
2.11 Referencias
[1] G L Cohen and A G Shannon, John Ward’s method for
the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981),
133-144
[2] New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706,
London
[3] Beskin. “Fracciones maravillosas” Mir Moscú, (1987)

2.11. REFERENCIAS 17
[4] Beskin: “Fracciones maravillosas”, Editorial Mir, Moscú,
(1987)
[5] Gay Robins y Charles Shute: The Rhind Mathematical
Papyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publi-
cations, London, 1987, véase “Squaring the Circle”, pági-
nas 44 a 46.
[6] “The Exact Sciences in Antiquity”, Otto Neugebauer,
1957, Dover, New York,(nueva edición de 1969).
[7] Petr Beckmann: A History of Pi, publicado por primera
vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por
Barnes and Books, New York, 1993.
[8] Bailey DH, Borwein JM, Borwein PB, y Plouﬄe S, “The
quest for Pi”, The Mathematical Intelligencer 19 (1997),
pp. 50-57.
[9] A. Volkov, Calculation of π in ancient China: from Liu Hui
to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
[10] Boyer Carl (1999). Historia de la Matemática. Madrid :
Alianza Editorial. 84-206-8186-5.
[11] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Liu Hui»
(en inglés), MacTutor History of Mathematics archive,
Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.
st-andrews.ac.uk/Biographies/Liu_Hui.html.
[12] C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for
History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
[13] Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. de C. y D. Lisch-
ka). Berlin, Nueva York: Springer, 2001, p. 188 y 228.
ISBN 978-3-540-66572-4
[14] Gardner: Nuevos pasatiempos matemáticos ISBN 84-
206-1391-6
[15] Bailey David H., Some Background on Kanada’s Re-
cent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace.
Consultada:22 de abril de 2008
[16] Yomiuri Online, 17 de agosto de 2009,
« … » (en japonés)
[17] Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en inglés)
[18] Euclides, Elementos. Libro V
[19] Apostol: Calculus
[20] Gardner: obra mencionada, en El trascendente número Pi
[21] Mahler, K. “On the Approximation of.” Nederl. Akad.
Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-
42, 1953.
[22] http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.
html, 133-144
[23] Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonat-
han M. (January 1997). “The Quest for Pi”. Mathematical
Intelligencer (1): 50-57.
[24] Schaumm: Cálculo superior, Mc Graw Hill, EE. UU.
[25] La ecuación se halla en Cálculo de Granville
[26] Maynard Kong: Cálculo integral
[27] Bronshtein-Semendiaev: “Manual de matemáticas para
ingenieros y estudiantes”, Editorial Mir, Moscú (1987)
[28] Bonshtein. Semediaev: Op. cit, pág.116
[29] Existen otras doce representaciones de π en http://
functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/
[30] Calculation of Pi Using the Montecarlo Method
[31] «Japonés rompe el récord de memorizar cifras de pi».
BBC News. 2 de febrero de 2005. Consultado el 30 de oc-
tubre de 2007.
[32] «Área y circunferencia de un Círculo de Arquímedes».
Penn State. Consultado el 8 de noviembre de 2007.
[33] Weisstein, Eric W (28 de enero de 2006). «Unit Disk Inte-
gral». MathWorld. Consultado el 8 de noviembre de 2007.
[34] «Area and Circumference of a Circle by Archimedes».
Penn State. Consultado el 8 de noviembre de 2007.
[35] Weisstein, Eric W (4 de mayo de 2006). «Solid of Re-
volution». MathWorld. Consultado el 8 de noviembre de
2007.
[36] Granville y otros: Cálculo diferencial e integral, Uteha,
México D. F. pág. 538
[37] Schaumm: Cálculo superior. Mc graw Hill, EE: UU:
[38] Miller, Cole. «The Cosmological Constant» (PDF).
University of Maryland. Consultado el 8 de noviembre de
2007.
[39] Imamura, James M (2005-08-17). «Heisenberg Uncer-
tainty Principle». University of Oregon. Archivado desde
el original el 28 de noviembre de 2015. Consultado el 9
de noviembre de 2007.
[40] Einstein, Albert (1916). «The Foundation of the General
Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik. Archi-
vado desde el original el 28 de noviembre de 2015. Con-
sultado el 9 de noviembre de 2007.
[41] Nave, C. Rod (2005-06-28). «Coulomb’s Constant».
HyperPhysics. Georgia State University. Consultado el 9
de noviembre de 2007.
[42] «Magnetic constant». NIST. 2006 CODATA recommen-
ded values. Consultado el 9 de noviembre de 2007.
[43] Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral». En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Con-
[44] Weisstein, Eric W. «Cauchy Distribution». En Weisstein,
[45] Weisstein, Eric W. «Probability Function». En Weisstein,
[46] Weisstein, Eric W. «Buﬀon’s Needle Problem». En
Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Re-
search. Consultado el 10 de noviembre de 2007.

[47] Bogomolny, Alexander. «Math Surprises: An Example».
Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en in-
glés). Consultado el 28 de octubre de 2007.
[48] Ramaley, J. F. (Oct 1969). «Buﬀon’s Noodle Problem».
The American Mathematical Monthly 76 (8): 916–918.
[49] «The Monte Carlo algorithm/method». datastructures.
2007-01-09. Consultado el 7 de noviembre de 2007.
[50] http://www.matematicasdivertidas.com/Poesia%
20Matematica/poesiamatematica.html
[51] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. CONACULTA.
p. 167.
[52] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. Conaculta. p. 101.
[53] Beckmann, Petr (2006). Historia de Pi. CONACULTA.
p. 167.
[54] Plan de seguridad para el subte Artículo del diario Clarín
[55] Unidad imaginaria en Mathworld (en inglés). consulta: 21
de abril de 2008
[56] “Mazda Pi” en Gaussianos.com. Consultado: 23 de abril
de 2008
[57] Ramanujan, Srinivasa (1913). «Squaring the circle»
(djvu). Journal of the Indian Mathematical Society. Con-
sultado el 25 de abril de 2008.
[58] Bailey, D. H. “Numerical Results on the Transcendence
of Constants Involving π, e and Euler’s Constant.” Math.
Comput. 50, 275-281, 1988a.
[59] Pi en Mathworld (en inglés). consulta: 21 de abril de 2008
2.12 Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre Número π. Commons
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre
Número π. Wikiquote
• Número Pi con 10.000 decimales.
• Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados.
• Rodríguez del Río, Roberto (2008) El número Pi:
de la Geometría al Cálculo Numérico.
• Historia de Pi, en astroseti.org
• Club de Amigos de Pi
• Para buscar cualquier número entre las primeras
200.000.000 de cifras de Pi
• Programa para el cálculo de π y de otro gran número
de constantes (en inglés)
• Lista con los valores calculados con autores y valores
(en inglés)

Capítulo 3
Número e
1
2
e
3
−2 −1 0 1
e es el único número a, tal que la derivada de la función expo-
nencial f(x) = ax
(curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1.
En comparación, las funciones 2x
(curva a puntos) y 4x
(curva
a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente
1 (rojo).
La constante matemática e es uno de los más importan-
tes números reales irracionales y trascendentes.[1]
Se re-
laciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo,
la derivada de la función exponencial f(x) = ex
es esa
misma función y su primitiva (o antiderivada) es la mis-
ma función más una constante arbitraria C. Un sistema
de logaritmos tiene como base, precisamente, el número
e . Dicho sistema de logaritmos se denomina el de los lo-
garitmos naturales o neperianos y tiene presencia en las
calculadoras de uso difundido y vigente. El número e ,
conocido en ocasiones, como número de Euler o cons-
tante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera
vez por el matemático escocés John Napier, quien intro-
dujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.
Juega un rol importante en el cálculo y en el análisis ma-
temático, en la definición de la función más importante
de la matemática:[2]
y = ex
así como π lo es de la geometría y el número i del análisis
complejo y del álgebra.[3]
El simple hecho de que la fun-
ción ex
coincida con su derivada hace que la función
exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado
de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuen-
cia de esto, describe el comportamiento de acontecimien-
tos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la
velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de
una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento
del sistema de amortiguación de un automóvil o el cim-
breo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la
misma manera, aparece en muchos otros campos de la
ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y
electrónicos (descarga de un condensador, amplificación
de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (creci-
miento de células, etc.), químicos (concentración de io-
nes, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número e , al igual que el número π y el número áu-
reo (φ), es un número irracional, no expresable mediante
una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser
representado por un numeral decimal exacto o un decimal
periódico. Además, es un número trascendente, es decir,
que no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con
coeficientes racionales. O bien no puede ser cero de una
función polinomial de coeficientes racionales.[4]
Uno de los tantos valores aproximados (truncado) es el
siguiente:
e ≈
2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...
3.1 Historia
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas
en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre
logaritmos de John Napier.[5]
No obstante, esta tabla no
contenía el valor de la constante, sino que era simplemen-
te una lista de logaritmos naturales calculados a partir de
ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Ough-
tred.
El “descubrimiento” de la constante está acreditado a
Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del
19

20 CAPÍTULO 3. NÚMERO E
Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la
constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades
referentes a ella.
llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Mo-
netaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con
un interés del 100% anual y se pagan los intereses una
vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses
2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad
obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir
1 UM x 1,502
= 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 perío-
dos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen
1 UM x 1,254
= 2,4414... En caso de pagos mensuales el
monto asciende a 1 UM x (1 + 1
12 )12
= 2,61303...UM.
Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de perío-
dos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin
límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un
factor de 1
n , el total de unidades monetarias obtenidas
está expresado por la siguiente ecuación:
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al
valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición
que se da de e en finanzas, que expresa que este número
es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de
interés al 100% anual compuesto en forma continua. En
forma más general, una inversión que se inicia con un ca-
pital C y una tasa de interés anual R, proporcionará CeR
UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado
por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a
Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler co-
menzó a utilizar la letra e para identificar la constante en
1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Me-
chanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los
años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra
c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la ter-
minología usual.
En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar
que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un po-
linomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas,
empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert
— también Karl Weierstrass y otros — propusieron, pos-
teriomente, variantes y modificaciones de las primeras
demostraciones.[6]
3.2 Definiciones
e
1 2
1
2
3
3
El área entre el eje x y la gráfica y = 1/ x, entre x = 1 y x = e es
1.
Se considera la sucesión {x } que tiene por término ge-
neral x = (1 + 1/n)n
:
(1 +1)1, (1 + 1/2)2
, ... , (1 +1/n)n
,
... y se demuestra que ella converge
y es acotada superiormente.
Luego el límite de (1+ 1
n )n
cuando n tiende a inifinito se
define como el número e. [7]
Cabe el límite limn→∞
(
1 + 1
n
)n+1
= e [8]
Otra definición más directa de e es como el valor límite
de la serie [9]
e =
∞∑
n=0
1
n!

3.3. PROPIEDADES 21
que se expande como
e =
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·
Otra deﬁnición habitual[10]
dada a través del cálculo
integral es como solución de la ecuación:
ln(x) = 1
que implica
∫ x
1
dt
t
= 1
es decir que se deﬁne e como el número para el que
ln(e) = 1
o lo que es lo mismo, el número para el que
∫ e
1
dt
t
= 1
3.3 Propiedades
3.3.1 Fórmula del “pi-e”
Una fórmula famosa, concisa y conectora de constantes
que aparececen en contextos -aparentemente- disímiles.
Es la identidad de Euler, forjada en base al aporte de
Moivre:
eiπ
+ 1 = 0
Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peir-
ce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alum-
nos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa
conexión de los cinco más famosos números de toda la
matemática.[11]
3.3.2 Cálculo
La función exponencial f(x) = ex
es su propia derivada y
su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva
también:
d
dx
ex
= ex
y
ex
=
∫ x
−∞
et
dt
Además, e es el límite de la sucesión de término general:
(
1 + 1
n
)n
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable
real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
e = limx→∞
(
1 + 1
x
)x
Como el término de la derecha tiene un exponente que
varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el
cambio de variable h = 1/x :
ln((1 + h)
1
h ) =
ln(1 + h)
h
=
∫ 1+h
1
dx
x
h
=
=
∫ h
0
dx
1+x
h
=
∫ h
0
(1 + O(x)) dx
h
=
h + O(h2
)
h
= 1+O(h)
Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende a
cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.
3.3.3 Desarrollo de la función exponencial
y del número e
Se va a desarrollar según la fórmula de Maclaurin. Sea
pues f(x) = ex
. Puesto que
f(x) = f
′
(x) = f
′′
(x) = ... = fn+1
(x) = ex
,
f(0) = f
′
(0) = f
′′
(0) = ... = fn+1
(0) = 1,
la fórmula de Maclaurin se escribe de esta manera:
ex
= 1 + x
1! + x2
2! + x3
3! + ... + xn
n! + o(xn
)
Suponiendo x= 1, se obtiene el valor aproximado del nú-
mero
e := 1 + 1
1! + 1
2! + 1
3! + ... + 1
n!
Donde := se entiende como un valor aproximado.[12]

3.3.4 Desarrollo decimal
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna.
Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser
normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o
no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
e = 2 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
1 +
1
4 +
1
1 +
1
1 +
1
6 +
1
1 + · · ·
Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1... 1,2n,1,... ],
propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción
continua no normalizada:
e = 2 + 2
2+
3
3 +
4
4 +
5
5 +
6
6 +
7
7 + · · ·
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
3.3.5 Álgebra
El número real e es irracional, y también trascendental
(ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer
número trascendental que fue probado como tal, sin haber
sido construido específicamente para tal propósito (com-
parar con el número de Liouville). La demostración de
esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que
e además es un número normal.
3.3.6 Números complejos
El número e presenta en la fórmula de Euler un papel im-
portante relacionado con los números complejos:
eix
= cos x + i sin x,
El caso especial con x = π es conocido como identidad de
Euler
eiπ
+ 1 = 0.
de lo que se deduce que:
loge(−1) = iπ.
Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se ob-
tiene:
(cos x+i sin x)n
=
(
eix
)n
= einx
= cos(nx)+i sin(nx)
que es la fórmula de De Moivre.
3.4 Función exponencial
Se llama función exponencial a la función real cuya varia-
ble independiente recorre el conjunto ℝ de los números
reales, y se define, analíticamente, mediante la expresión:
x −→ ex
• La función exponencial es la única función que
es siempre igual a su derivada (de ahí su espe-
cial interés en el análisis, más precisamente para
las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1
cuando la variable vale 0.
• La exponencial se extiende al cuerpo de los
complejos, mediante la relación: eix
= cos x +
i sin x . Un caso particular de esta relación es la
identidad de Euler.
En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente
fórmula[13]
que se aproxima a “e” (Expresión de Keller):
e = lim
n→∞
nn
(n − 1)(n−1)
−
(n − 1)(n−1)
(n − 2)(n−2)
para |n| > 2.
3.5 Representaciones de e
El número e puede ser representado como un número real
en varias formas: como una serie infinita, un producto in-
finito, una fracción continua o como el límite de una su-
cesión. La principal de estas representaciones, particular-
mente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
,
Desarrollando la potencia del binomio indicado en la pro-
piedad anterior usando el teorema del binomio de New-
ton:
(
1 +
1
n
)n
= 1+
n
1
1
n
+
n(n − 1)
1 · 2
1
n2
+
n(n − 1)(n − 2)
1 · 2 · 3
1
n3
+...+
1
nn

3.7. VÉASE TAMBIÉN 23
= 1+
1
1!
+
1(1 − 1
n )
2!
+
1(1 − 1
n )(1 − 2
n )
3!
+...+
1
nn
Cuando n tiende a infinito, los productos que están en los
numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta
expresión tiende a 1
k! , como se quería demostrar.
La serie infinita anterior no es única; e también puede ser
representado como:
e =
∞∑
k=1
k2
2(k!)
e =
∞∑
k=1
k3
5(k!)
e =
∞∑
k=1
k4
15(k!)
e =
∞∑
k=1
k5
52(k!)
e =
∞∑
k=1
k6
203(k!)
e =
∞∑
k=1
k7
877(k!)
3.5.1 Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enor-
memente durante las últimas décadas. Esto es debido tan-
to al aumento del desempeño de las computadoras como
también a la mejora de los algoritmos utilizados.[14][15]
3.6 Aplicaciones
El número e tiene diversas características que permiten
que sea utilizado en la vida real. Es tan importante, que
muchas calculadoras dedican un espacio a la función ex-
ponencial de este número y a la inversa de esta misma,
los logaritmos naturales; los logaritmos cuya base es el
número e. Este puede ser usado tanto en la determina-
ción de la hora en la que alguien falleció; ayudando a re-
solver muchos crímenes investigados por la policía, tanto
en la determinación de la edad de un fósil e incluso en la
predicción de la evolución de una epidemia.
3.7 Véase también
3.8 Referencias
• El contenido de este artículo incorpora material de
una entrada de la Enciclopedia Libre Universal,
publicada en español bajo la licencia Creative
Commons Compartir-Igual 3.0.
[1] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the His-
tory of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.
[2] Calculus de Spivak
[3] Sin el concurso de i las ecuaciones de 2º, con determinante
negativo, no tendrían solución
[4] Elon Lages. Análisis matemático.
[5] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001), «The
number e» (en inglés), MacTutor History of Mathe-
matics archive, Universidad de Saint Andrews, http://
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html.
[6] Pro Mathematica, Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP,
Lima.ISSN 1012-3938
[7] V. S. Shipachev. « Fundamentos de las matemáticas su-
periores » Editorial MiR, Moscú (1991)
[8] P.P.Kprovkin. : Desigualdades
[9] Que resulta del desarrollo y simplificación del término ge-
neral de la sucesión anterior
[10] Esta forma de definir la función logaritmo natural, el nú-
mero e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en
Cálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Mi-
chael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p.
277) de Tom Apostol, Reverté.
[11] Kasner -Newman. Matemáticas e imaginación
[12] V. S. Shipachev. Op. cit.
[13] Mathsoft “Expresión de Keller”, Steven Finch (1998)
[14] Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its compu-
tation
[15] Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
[16] Euler, Leonard (1748). Marc-Michel Bousquet, ed.
Introductio In Analysin Infinitorum (Primer Tomo) (pdf)
(en latín). p. 90. Consultado el 16 de junio de 2013.
[17] Shanks, Daniel; John Wrench (1962). «Calculation of Pi
to 100 000 decimals». Mathematics of Computation 16
(77): 76–79. Consultado el 16 de junio de 2013.
[18] Wozniak, Steve (Junio de 1981). «The Impossible Dream:
Computing e to 116,000 places with a Personal Compu-
ter». Byte Magazine (en inglés) 6 (6): 392. Consultado el
16 de junio de 2013.

[19] Nemiroﬀ, Robert; Bonnell, Jerry. «The Number e to 1
Million Digits» (en inglés). Consultado el 16 de junio de
2013.
[20] Announcing 500 billion digits of e...
[21] A list of notable large computations of e
3.9 Bibliografía
• V.S Shipachev.«Fundamentos de las matemáticas
superiores». Editorial Mir, Moscú (1991)
• Elon Lages Lima. «Curso de análisi matemático».
Edunsa, Barcelona (1991)
• Stefan Banach.«Cálculo diferencial e integral»
UTEHA, México D.F. (1967)
• Maynard Kong. «Cálculo diferencial»
• Granville º Smih º Longley «Cálculo diferencial e
integral»
• N. Piskunov. «Cálculo diferencia e integral» Tomo
I
• Rodríguezº Vasalloº Gómezº Domínguez. «Cálculo
diferencial e integral» Primera parte
3.10 Enlaces externos
•
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre Número eCommons.
• Un millón de cifras del número e.
• Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del
tipo 1 elevado a inﬁnito

Capítulo 4
Número áureo
El número áureo (también llamado número de oro,
razón extrema y media,[1]
razón áurea, razón dora-
da, media áurea, proporción áurea y divina propor-
ción[2]
) es un número irracional,[3]
representado por la
letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayús-
cula) en honor al escultor griego Fidias.
La ecuación se expresa de la siguiente manera:
φ = 1+
√
5
2 ≈ 1, 61803398874988...
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guar-
dando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al
segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),[4]
por
ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa
acortar, aunque es más común encontrarlo representado
con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la
letra griega alpha minúscula.[5]
Se trata de un número algebraico irracional (su repre-
sentación decimal no tiene período) que posee muchas
propiedades interesantes y que fue descubierto en la an-
tigüedad, no como una expresión aritmética, sino como
relación o proporción entre dos segmentos de una recta,
es decir, una construcción geométrica. Esta proporción
se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como
en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algu-
nos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de
un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de
sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cua-
drado (Φ2
= 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ =
0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifras
decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos
cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos in-
cluso creen que posee una importancia mística. A lo largo
de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de
diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algu-
nos de estos casos han sido cuestionados por los estudio-
sos de las matemáticas y el arte.
4.1 Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción
que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más
largo que b), que cumplen la siguiente relación:
• La longitud total, suma de los dos segmentos a y b,
es al segmento mayor a, lo que este segmento a es
al menor b. Escrito como ecuación algebraica:
a+b
a = a
b
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ϕ = a/b
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: par-
tir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la
longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos
el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento
mayor entre la del menor.
4.1.1 Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
a+b
a = a
b
Si φ = a/b entonces la ecuación queda:
1+φ−1
= φ, ⇒ φ+1 = φ2
, ⇒
φ2
− φ − 1 = 0
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
1+
√
5
2 =
1.6180339887498948482045868343656381177203 . . .
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación
a/b .
25

26 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO
4.2 Historia del número áureo
Algunos autores sugieren que el número áureo se en-
cuentra como proporción en varias estelas de Babilonia
y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no exis-
te documentación histórica que indique que el número
áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artis-
tas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una
estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos
si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para
que se pueda afirmar que el número áureo está presente,
las medidas deben tomarse desde puntos significativos del
objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que
defienden la presencia del número áureo. Por todas es-
tas razones Mario Livio concluye que es muy improbable
que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[6]
4.2.1 Antigüedad
El primero en hacer un estudio formal del número áureo
fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la si-
guiente manera:
“Se dice que una recta ha sido cortada en
extrema y media razón cuando la recta entera
es al segmento mayor como el segmento mayor
es al segmento menor”.
Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro
Sexto.
Euclides demostró también que este número no puede ser
descrito como la razón de dos números enteros; es decir,
es un número irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estu-
diara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuye
el desarrollo de teoremas relacionados con el número áu-
reo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teore-
mas relativos a la sección a los que Platón dio
origen”.
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro
de los Elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή)
como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX
esta interpretación ha sido motivo de gran controversia
y muchos investigadores han llegado a la conclusión de
que la palabra sección no tuvo nada que ver con el núme-
ro áureo. No obstante, Platón consideró que los números
irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de par-
ticular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta
opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y
matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nú-
mero áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la
estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco
sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto.
En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la
existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con
la teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno
de los sólidos correspondía a una de las partículas que
conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba
asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro,
el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un
todo, estaba asociado con el dodecaedro.
4.2.2 Edad Moderna
En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli
publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción),
donde plantea cinco razones por las que estima apropiado
considerar divino al número áureo:
1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del nú-
mero áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de
recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmen-
surabilidad del número áureo y la inconmensurabi-
lidad de Dios son equivalentes.
4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacio-
li la compara con la omnipresencia e invariabilidad
de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio
ser al Universo a través de la quinta esencia, repre-
sentada por el dodecaedro, el número áureo dio ser
al dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la me-
dida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde
describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea
basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral
de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un
modelo platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos
platónicos, y se refirió al número áureo en términos gran-
diosos:
“La geometría tiene dos grandes tesoros:
uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la
división de una línea entre el extremo y su
proporcional. El primero lo podemos comparar
a una medida de oro; el segundo lo debemos
denominar una joya preciosa”.
Johannes Kepler en Mysterium Cosmographi-
cum (El misterio cósmico).

4.3. EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS 27
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de
oro, para referirse a este número lo hace el matemático
alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg
Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro
Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras
elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
“Uno también acostumbra llamar a esta
división de una línea arbitraria en dos partes
como éstas la sección dorada”.
Martin Ohm en Die Reine Elementar Matema-
tik (Las matemáticas puras elementales).
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término
ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo
incluyera en su primera edición sugiere que el término
pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el sím-
bolo habitual para representar el número áureo fue τ, del
griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo,
la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el
matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que ésta era
la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας).
Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor
estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por
entonces se le atribuía también al número áureo. Mark
Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices
matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodo-
re Cook.
4.3 El número áureo en las mate-
máticas
4.3.1 Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
360◦
φ + 1
≈ 137,5◦
Propiedades aritméticas
• φ ≈ 1, 618033988749894848204586834365638117720309...
es el único número real positivo tal que:
φ2
= φ + 1
• φ posee además las siguientes propiedades:
φ − 1 =
1
φ
φ3
=
φ + 1
φ − 1
• Las potencias del número áureo pueden expresarse
en función de una suma de potencias de grados infe-
riores del mismo número, establecida una verdadera
sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: Φn
= Φn−1
+ Φn−2
, cualquiera sea n un número entero. Este caso
es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues
se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la for-
ma:
a1un+k−1 + a2un+k−2 + ... + akun
donde ai es cualquier número real o complejo
y k es un número natural menor o igual a n y
mayor o igual a 1. En el caso anterior es k=2 ,
a1=1 y a2=1 .
Pero podemos «saltar» la potencia inmediata-
mente anterior y escribir:
Φn
= Φn−2
+ 2Φn−3
+ Φn−4
. Aquí k=4 ,
a1=0 , a2=1 , a3=2 y a4=1 .
Si anulamos las dos potencias inmediatamente
anteriores, también hay una fórmula recurrente
de orden 6:
Φn
= Φn−3
+ 3Φn−4
+ 3Φn−5
+ Φn−6
En general:
Φn
=
1
2 k
∑
i=0
(1
2 k
i
)
Φ
[
n −
(1
2 k + i
)]
; k = 2j ∈ N , n ∈ N , i ∈ N
En resumen: cualquier potencia del número áu-
reo puede ser considerada como el elemento de
una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,...,
2k; donde k es un número natural. En la fór-
mula recurrente es posible que aparezcan po-
tencias negativas de Φ , hecho totalmente co-
rrecto. Además, una potencia negativa de Φ
corresponde a una potencia positiva de su in-
verso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el he-
cho de que los coeficientes significativos sean
los del binomio, parecieran indicar que entre
el número áureo y el número e hay un paren-
tesco.

28 CAPÍTULO 4. NÚMERO ÁUREO
• El número áureo
√
5+1
2 es la unidad fundamental
«ε» del cuerpo de números algebraicos Q
(√
5
)
y
la sección áurea
√
5−1
2 es su inversa, « ε−1
». En
esta extensión el «emblemático» número irracional√
2 cumple las siguientes igualdades:
√
2 =
√
5 + 1
2
√
3 −
√
5 =
√
5 − 1
2
√
3 +
√
5
Representación mediante fracciones continuas
La expresión mediante fracciones continuas es:
φ = 1 + 1
φ −→ φ = 1 +
1
1+ 1
1+ 1
1+ 1
1+...
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y
restar es dividir. Es también la más simple de todas las
fracciones continuas y la que tiene la convergencia más
lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo
sea un número mal aproximable mediante racionales que
de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabili-
dad mediante racionales.[7]
Por ello se dice que φ es el número más alejado de lo
racional o el número más irracional. Este es el motivo
por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-
Moser.
Representación mediante ecuaciones algebraicas
φ(φ−1) = 1 −→ φ2
−φ−1 = 0 −→
φ = 1+
√
5
2 , que surge de la ecuación deﬁnito-
ria de un término cualquiera en la sucesión de
Fibonacci, a partir del tercero[8]
El número áureo
√
5+1
2 y la sección áurea
√
5−1
2 son so-
luciones de las siguientes ecuaciones:
x2
−
√
5 x + 1 = 0
x3
− y3
− 4 = 0
x4
− x3
− x − 1 = 0
8x3
− 4x + 1 = 0 que da el valor de sen 18º
e ímplícitamente al número aúreo[9]
Inecuación algebraica
φ/2 >(4 -φ2
)1/2
/φ[10]
Representación trigonométrica
φ = 1 + 2 sin(π/10) = 1 + 2 sin 18◦
φ =
1
2
csc(π/10) =
1
2
csc 18◦
φ = 2 cos(π/5) = 2 cos 36◦
φ =
1
2
sec
2
5
π =
1
2
sec 72◦
φ =
sin(2π/5)
sin(1π/5)
=
sin(72◦
)
sin(36◦)
Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un
pentágono regular (distancia entre dos vértices no con-
secutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras
relaciones similares en el pentagrama.
Representación mediante raíces anidadas
φ =
√
1 + φ −→ φ =
√
1 +
√
1 +
√
1 +
√
1 + · · ·
Esta fórmula como caso particular de una identidad gene-
ral publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Univer-
sidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical
Monthly, 1917.
El teorema general dice:
La expresión limn→∞ a1 +
√
a2 +
√
a3 +
√
a4 +
√
· · · +
√
an
(donde ai = a ), es igual a la mayor de las raíces de la
ecuación: x2
− x − a = 0; o sea, 1+
√
1+4a
2 .
Relación con la sucesión de Fibonacci
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F ,
y al siguiente número de Fibonacci como F ₊ ₁, des-
cubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón os-
cila y es alternativamente menor y mayor que la razón
áurea. Podemos también notar que la fracción continua
que describe al número áureo produce siempre números
de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos
en la fracción. Por ejemplo: 3
2 = 1, 5 ; 8
5 = 1, 6 ; y
21
13 = 1, 61538461... , lo que se acerca considerablemen-
te al número áureo. Entonces se tiene que:
φ = 1 +
1
1 + 1
1+ 1
1+ 1
1+...
= lim
n→∞
Fn+1
Fn
= ϕ
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán
Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de

4.3. EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS 29
que fuera demostrada por el matemático inglés Robert
Simson.
Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión adi-
tiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por
ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios,
por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 -
10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocien-
tes de términos sucesivos producen aproximaciones ra-
cionales que se acercan asintóticamente por exceso y por
defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 =
1,613636...; 301/186 = 1,6182795.[11]
A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques
Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que apa-
rentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por
otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fór-
mula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci
sin la necesidad de producir todos los números anteriores.
La fórmula de Binet depende exclusivamente del número
áureo:
Fn =
1
√
5
[(
1 +
√
5
2
)n
−
(
1 −
√
5
2
)n]
=
1
√
5
[
(ϕ)
n
−
(
−1
ϕ
)n]
4.3.2 El número áureo en la geometría
φ
φ2
1
El tríangulo de Kepler:
φ2
= φ + 1
El número áureo y la sección áurea están presentes en to-
dos los objetos geométricos regulares o semiregulares en
los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o
que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado,
pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del ico-
saedro.
El rectángulo áureo de Euclides
1
2
A B
CD
E
F
G
Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado
ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD
están en la proporción del número áureo. Euclides, en su
proposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construc-
ción:
GC =
√
5
Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:
GE = GC =
√
5
con lo que resulta evidente que
AE = AG + GE = 1 +
√
5
de donde, ﬁnalmente,
AE
AD
=
1 +
√
5
2
= φ
Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son se-
mejantes, de modo que este último es asimismo un
rectángulo áureo.
En el pentagrama
El número áureo tiene un papel muy importante en los
pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada inter-
sección de partes de un segmento se interseca con otro
segmento en una razón áurea.

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