La matemática griega

1. LA
MATEMÁTICA
GRIEGA - 2
Historia General de la Ciencia I
Grado en Filosofía

2. PLATÓN Y ARISTÓTELES
• Aunque los dos grandes filósofos de la Antigüedad no
hicieron contribuciones a la matemática, tuvieron gran
influencia en su desarrollo.
• PLATÓN convirtió el quadrivium pitagórico (aritmética,
geometría, astronomía y música) en un elemento básico de la
enseñanza en la Academia, formó en torno suyo la mayor
escuela de matemáticos de la primera mitad del siglo IV aC
(Eudoxo, Teeteto, Menecmo…), y estableció bastantes de los
criterios de rigor que debía tener una prueba matemática
(p.ej., reducción al uso de regla y compás, no utilización de
medios mecánicos, primacía de geometría sobre aritmética…)
• Como se sabe, también hizo de la matemática un elemento
clave de su cosmovisión (teoría de las ideas, elementos como
sólidos regulares, etc.)

3. • ARISTÓTELES no daba primacía ontológica a los entes
matemáticos, pero sí consideró la matemática como el
paradigma de conocimiento científico, y estableció el ideal de
conocimiento demostrativo en los Analíticos Posteriores:
• Todo el conocimiento debe ser demostrado mediante
silogismos a partir de definiciones y “primeros principios”
(verdades evidentes por sí mismas); también se admite la
demostración por reducción al absurdo, pero es inferior a la
demostración directa porque no muestra el “por qué” (la
causa formal) de lo demostrado.
• El conocimiento matemático sería el más cierto porque es
conocimiento de “formas sin materia”; el resto de ciencias
serían intrínsecamente más imprecisas. No está claro, de
todos modos, la relación entre las figuras matemáticas como
“formas” y otros usos aristotélicos de esta noción.

4. LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
• No se sabe casi nada de la vida de Euclides, salvo que
viviría en Alejandría a caballo de los siglos IV y III aC
• Hubo al menos otras tres obras anteriores tituladas
Elementos (empezando con Hipócrates de Quíos). Su
significado viene a ser el de una recopilación y
ordenación de materiales básicos, necesarios para la
resolución de problemas matemáticos en general.
• Tampoco se sabe con seguridad qué parte de los
Elementos de Euclides sería original, y qué parte es
recopilación de obras anteriores.
• En todo caso, la ordenación sistemática y deductiva
(axiomática) del libro en su conjunto sí parece que sería
obra del propio Euclides.

5. Contenido de los Elementos
(para ver los diagramas, consultar esta página)
• Libros 1 a 4: Geometría plana
1. Postulados. Triángulos, paralelas y
paralelogramos. Teorema de Pitágoras
2. Rectángulos (“álgebra geométrica”)
3. Círculos
4. Polígonos regulares inscritos en círculos
Estos libros parecen formar una unidad, y quizá
reproduzcan gran parte del material de los Elementos
anteriores a Euclides

6. • Libros 5 y 6: Teoría de las proporciones (¿Eudoxo?)
5. Teoría general de las proporciones, tanto de
magnitudes conmensurables como
inconmensurables
6. Aplicación de la teoría de las proporciones a la
geometría plana
• Libros 7 a 9: Aritmética
7. Proporciones y productos entre números. Máximo
común divisor y mínimo común múltiplo
8. Números en progresión geométrica
9. Números primos
• Libro 10: Magnitudes inconmensurables (¿Teeteto?)
• Libros 11 a 13: Geometría sólida
11. Elementos básicos
12. Método de exhaución (¿Eudoxo?)
13. Sólidos regulares (¿Teeteto?)

7. El método axiomático
Euclides distingue:
• Definiciones (p.ej., “punto es lo que no tiene partes”,
“una línea recta es aquella que yace por igual respecto
de los puntos que están en ella”…)
• Nociones comunes (p.ej., “dos cosas iguales a una tercera
son iguales entre sí”, “el todo es mayor que la parte”…) y
• Postulados (principios más específicos que los comunes,
y que son lo “único que se pide” para demostrar todos
los teoremas de la obra)
Cada paso que se da en la obra se deduce de la combinación
de alguno de estos principios, o de otra proposición que se
haya demostrado con anterioridad

8. • Los tres primeros postulados afirman que se pueden
realizar las siguientes acciones:
• Trazar un segmento recto entre dos puntos cualesquiera
• Prolongar un segmento recto indefinidamente
• Trazar un círculo tomando un punto como centro a través de
otro punto
• El 4º postulado establece que todos los ángulos rectos
son iguales entre sí
• El 5º postulado afirma que si una recta corta a otras dos,
y estas forman ángulos en un lado de la primera menores
que dos ángulos rectos, las dos rectas se cortarán si se
prolongan por ese lado.

9. • Todos los libros (salvo los 8-9 y 12-13) contienen
“definiciones”, pero sólo el libro 1 contiene “nociones
comunes” y “postulados”. La ausencia de las primeras
parece lógica (por eso son “comunes”), pero es extraña
especialmente la ausencia de “postulados” en los libros
sobre aritmética, pues ninguna de sus proposiciones es
derivada de los teoremas de libros anteriores
• Los matemáticos de la Antigüedad ya mostraron
extrañeza por la diferencia cualitativa entre el 5º
postulado (“de las paralelas”) y los otros 4, y pensaron
que tenía que ser posible deducirlo como teorema a
partir de ellos y de las otras nociones básicas (en el siglo
XIX se demostró su independencia, al construirse las
“geometrías no euclídeas”, en las cuales ese postulado no
se cumple)

10. Algunos teoremas
“Pons asinorum”

11. El libro II desarrolla un“álgebra
geométrica”: operaciones que nosotros
realizamos operando con ecuaciones y
variables, conceptos no desarrollados en la
matemática griega

12. Libro VI. Proposición 13
Dadas dos rectas, hallar una media proporcional
Este problema equivale a encontrar geométricamente una raíz cuadrada.
Z es la media proporcional (o geométrica) entre X e Y si Z=√(XY), es decir,
si
X/Z=Z/Y
Sea X la longitud de la recta AB, e Y la de la recta BC. Formamos la recta
AC combinando X e Y, que será el diámetro de un semicírculo. Sobre el
punto B elevamos una recta que intersecta con el círculo en el punto D.
La recta BD tiene una longitud Z que es igual a √(XY)
PRUEBA: Por 2º teorema de Tales, el ángulo en D es rectángulo. Por
tanto, los triángulos ABD y DBC son semejantes (sus ángulos son
iguales), y así:
AB (X) es a BD (Z) como BD (Z) es a BC (Y)
P. ej., si X=6 e Y=4,
XY=24, y por tanto
BD= √24
X Y
Z

13. Libro I. Proposición 47 (Teorema de Pitágoras)
Como en el libro I aún no se ha desarrollado el “álgebra” del libro II, la
demostración se basa en proposiciones demostradas ya en el propio libro
I, en particular, en la de que dos triángulos o paralelogramos cuyas bases
son iguales y están en las mismas paralelas tienen áreas iguales (I.36)

14. Libro I. Proposición 47
(Teorema de Pitágoras)

15. Libro IX. Proposición 20 (“Teorema de Euclides”)
Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de
números primos
• Supongamos que hubiese una cantidad dada de números primos, A, B,
…, C
• Formemos el producto de AxBx…xC y sumémosle 1. Sea D el
resultado
• O bien D es primo, o bien no lo es
• Si D es primo, existe un número primo mayor que A, B, …, C, en contra
de lo que habíamos supuesto
• Si D no es primo, será divisible por algún número primo (proposición
VII.31)
• Pero D no es divisible por A, ni por B, …, ni por C (pues al dividirlo por
cualquiera de ellos, queda como resto 1)
• Luego D será divisible por algún número primo que no estaba
comprendido en A, B, …, C, en contra de lo que habíamos supuesto
• Por lo tanto, A, B, …, C no pueden ser todos los números primos. QED

16. DESPUÉS DE EUCLIDES
• La época inmediatamente posterior a Euclides (s. III-II aC)
constituye la “Edad de Oro” de la matemática griega, con
una amplia comunidad de sabios alrededor de Alejandría
y en otras ciudades helénicas, destacando las
contribuciones de Arquímedes (s. III), Apolonio (s. III-II) e
Hiparco (s. II aC)
• De Apolonio sólo ha sobrevivido su tratado sobre las
Cónicas, que amplía y sistematiza los descubrimientos de
Menecmo y otros; fue él quien les dio los nombres de
“elipse”, “parábola” e “hipérbola”.
• También se deben a Apolonio los conceptos
astronómicos de excéntrica, epiciclo y deferente, que
más tarde serán desarrollados por Hiparco y Ptolomeo.

17. • Arquímedes es seguramente el científico griego cuyo
pensamiento fue más influyente en el desarrollo de la
ciencia, sobre todo a partir de la Edad Moderna.
• Al introducir la noción de peso como una magnitud con
propiedades matemáticas análogas a las de longitud y
volumen, amplió el dominio de la matemática euclídea
desde la geometría pura a la mecánica (equilibrio de
líneas y planos) y la hidrostática (teoría de los cuerpos
flotantes)
• La concepción dominante durante la Antigüedad y la
Edad Media, de todas formas, fue la de una tajante
separación entre matemática (que estudiaría formas
abstractas, y en la que cabrían resultados exactos) y
física (que estudiaría cuerpos materiales, y en la que
predominaría el análisis cualitativa y teleológico)

18. • El trabajo de Arquímedes es sorprendente por la amplia
diversidad de los problemas que aborda, por la
profundidad con la que aplica los métodos anteriores
(proporcionalidad, exhaución, etc.), y por la gran
imaginación y creatividad de sus soluciones (p.ej.,
considerar un problema geométrico como si fuese uno
mecánico para hallar la solución, y una vez hallada,
ofrecer una demostración puramente geométrica).
• En la mecánica (Sobre el equilibrio de los planos), la
noción fundamental es la de centro de gravedad: el
punto en el que una línea o figura se mantendría en
equilibrio si estuviese apoyada en él. A partir de esta
idea, Arquímedes demuestra la ley de la palanca (ya
conocida) y determina los centros de gravedad de
numerosas figuras y cuerpos geométricos

19. • En hidrostática (Sobre los cuerpos flotantes), formuló el
principio de Arquímedes, considerando los pesos a los
que están sometidos los volúmenes de un líquido en la
esfera de la tierra, y sustituyendo mentalmente esos
volúmenes por otros idénticos de materiales más o
menos pesados. Posteriormente, analiza las condiciones
de flotación y de equilibrio de diversos sólidos
(segmentos esféricos y paraboloides)
• En cuanto sus obras estrictamente matemáticas,
destacan Sobre la esfera y el cilindro (fórmulas para los
volúmenes de estos cuerpos), Sobre la medida del círculo
(cálculo aproximado de π), Sobre conoides y esferoides
(volúmenes de cuerpos de revolución), La cuadratura de
la parábola, o El arenario (invención de un sistema de
numeración para números muy elevados)

20. • Arquímedes también destacó por la
invención y diseño de numerosas
máquinas (p.ej., el “tornillo de
Arquímedes”), aunque es difícil
saber muchos detalles sobre ellas,
o en qué medida algunas son
legendarias.
• Se le atribuye también la
construcción de un planetario
mecánico, un artilugio
posiblemente a base de ruedas
dentadas que permitía calcular las
posiciones de los astros. Quizá el
mecanismo de Antiquitera sea una
copia de ese planetario, o de
alguna máquina basada en él.

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