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Gravedad
- 1. GRAVEDAD Leyes de Kepler: 1.Verdadero o falso: a) La Ley de las áreas iguales de Kepler implica que la gravedad varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia. b) El planeta más próximo al Sol tiene, por término medio, el período de revolución más corto alrededor del Sol. a) Falsa, la única cosa que implican la ley de las áreas de Kepler es que la fuerza de la gravedad es central. b) Correcto, consecuencia de la tercera ley de Kepler. 2. Si la masa de un satélite se duplica, el radio de su órbita puede permanecer constante si la velocidad del satélite: a) Se incrementa en un factor de 8. b) Se incremente en un factor de 2. c) No varía. d) Se reduce en un factor de 8. e) Se reduce en un factor de 2. 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 ;𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 La velocidad del satélite es independiente de la masa de éste. 3. Un radioaficionado capta una noche un extraño mensaje: “¡Necesitamos ayuda! Escapamos de la Tierra para vivir en paz y serenidad y estamos desorientados. Todo lo que sabemos es que estamos en órbita alrededor del Sol con un período de 5 años. ¿Dónde estamos?”. El radioaficionado realiza unos cálculos y transmite a los viajeros su distancia media al Sol. ¿Cuál es esta distancia? Aplicando la leuy de la gravitación de Newton obtenemos la tercera ley de Kepler: 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 Para la Tierra: 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟑𝟑 Para los viajeros: 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝟑𝟑 Dividiendo: 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝟑𝟑 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽−𝑺𝑺𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 ∗ � 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 4. El cometa Halley tiene un período de unos 76 años, ¿Cuál es su distancia media al Sol? 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 ∗ � 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟕𝟕𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺
- 2. 5. Un cometatiene un período que se estima en unos 4210 años. ¿Cuál es su distancia media al Sol? (4210 años fue el periodo estimado del cometa Hale-Boop, que fue visto Enel hemisferio septentrional a comienzos de 1997. Las interacciones gravitatorias que experimentó con los mayores planetas del sistema solar durante esta última aparición han cambiado gradualmente su periodo, que ahora se estima en unos 2380 años). 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 ∗ � 𝑻𝑻𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 6.El radio de la órbita terrestre es 1,496*1011 m y el de Urano, 2,87*1012 m. ¿Cuál es el periodo de Urano? 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑼𝑼𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 ∗ � 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 ∗ � (𝟐𝟐,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟑𝟑 (𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟑𝟑 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐 7. El asteroide Héctor, descubierto en 1907, describe una órbita casi circular de radio 5,16 UA alrededor del Sol. Determinar el periodo de este asteroide. 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝒕𝒕𝒐𝒐𝒐𝒐−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 ∗ � 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐 ∗ �𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐 8. El asteroide Icaro, descubierto en 1949, se denominó así porque su órbita elíptica muy excéntrica le acerca mucho al Sol en su perihelio. La excentricidad de una elipse viene definida por la relación 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝒂𝒂 ∗ (𝟏𝟏 − 𝒆𝒆), en donde dP es la distancia al perihelio y a el semieje mayor. Icaro tiene una excentricidad de 0,83. Su periodo es de 1,1 años. a) Determinar el semieje mayor de la órbita de Icaro. b) Determinar las distancias del perihelio y del afelio de la órbita de Icaro. a) 𝒂𝒂 = 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝟏𝟏−𝒆𝒆 Por tercera ley de Kepler: 𝒂𝒂 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝟑𝟑 = � 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 𝟑𝟑 = ��𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 � 𝟐𝟐 𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔𝟐𝟐∗𝒎𝒎−𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟏𝟏 − 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖) = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑷𝑷 + 𝒅𝒅𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂 ; 𝒅𝒅𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂 − 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Ley de gravitación de Newton 9. ¿Por qué no sentimos la atracción de un gran edificio cuando andamos en sus proximidades? Todo y que en términos relativos la masa de un gran edificio es grande, es mucho menor que la de la Tierra, por tanto, la fuerza gravitatoria del edificio sobre nosotros será mucho menor que la del la Tierra sobre nosotros. 10. Los astronautas en el interior de un satélite en órbita a 300 km sobre la superficie de la Tierra experimentan el fenómeno de la ingravidez. ¿Por qué? ¿Es despreciable la fuerza de gravedad ejercida por la Tierra sobre los astronautas a la altura dada?
- 3. La fuerza degravedad no es nula, ni menospreciable: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒅𝒅)𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 (𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑)𝟐𝟐 = 𝟖𝟖, 𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 El hecho de estar girando hace que no noten esta gravedad. Si estuvieran parados notarían la gravedad. 11. La distancia del centro de la Tierra a un punto donde la aceleración debida a la gravedad es g/4 es a) RT. b) 4 RT. c) ½ RT. d) 2 RT. e) Ninguno de los anteriores. 𝒈𝒈 𝟒𝟒 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 . Respuesta d. 12. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a su gravedad es a. ¿A qué distancia del centro de la Luna la aceleración debida a su gravedad es a) 16 a. b) a/4. c) a/3. D) a/16. a) 𝒂𝒂 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒂𝒂 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒓𝒓𝟐𝟐 ;𝒓𝒓 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒂𝒂 ; 𝒓𝒓 = 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟒𝟒 b) 𝒂𝒂 𝟒𝟒 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓 = � 𝟒𝟒∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒂𝒂 ;𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 c) 𝒂𝒂 𝟑𝟑 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓 = � 𝟑𝟑∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒂𝒂 ;𝒓𝒓 = √𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 d) 𝒂𝒂 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝒂𝒂 ;𝒓𝒓 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 13. Una de las lunas de Júpiter, Ío, describe una órbita de radio medio 4,22 108 m y un periodo de 1,53 105 s. a) Calcular el radio medio de otra de las lunas de Júpiter, Calisto, cuyo periodo es de 1,44 106 s. b) Utilizar el valor ya conocido de G para calcular la masa de Júpiter. a) 𝑻𝑻𝑰𝑰 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑱𝑱 ∗ 𝒓𝒓𝑰𝑰 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝑪𝑪 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑱𝑱 ∗ 𝒓𝒓𝑪𝑪 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑪𝑪 = 𝒓𝒓𝑰𝑰 ∗ � 𝑻𝑻𝑪𝑪 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑰𝑰 𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ � (𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 �𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓� 𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒎𝒎 b) 𝑻𝑻𝑰𝑰 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑱𝑱 ∗ 𝒓𝒓𝑰𝑰 𝟑𝟑 ; 𝑴𝑴𝑱𝑱 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗ 𝒓𝒓𝑰𝑰 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝑰𝑰 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� 𝟑𝟑 �𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓� 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 14. La masa de Saturno es de 5,69 1026 kg. a) Calcular el periodo de su luna Mimas, sabiendo que el radio medio de su órbita es de 1,86 108 m. b) Calcular el radio medio de la luna Titán, cuyo periodo es de 1,38 106 m. a) 𝑻𝑻𝑴𝑴 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 ∗ 𝒓𝒓𝑴𝑴 𝟑𝟑 ; 𝑻𝑻𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒓𝒓𝑴𝑴 𝟑𝟑 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � (𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟖𝟖,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒔𝒔
- 4. b) 𝒓𝒓𝑻𝑻 =�𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝒔𝒔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝟑𝟑 = �(𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒎𝒎 15. Calcular la masa terrestre a partir de los valores del periodo de la luna T=27,3 d, el radio medio de su órbita rm= 3,84 108 y el valor ya conocido de G. 𝑻𝑻𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 ; 𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝑳𝑳 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗�𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� 𝟑𝟑 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗(𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟑𝟑∗𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 16. Utilizar el periodo de la Tierra (1 año), el radio medio de su órbita (1,496 1011 m), y el valor de G para calcular la masa del Sol. 𝑴𝑴𝑺𝑺 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝑻𝑻 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗�𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟑𝟑 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗(𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 17. Se deja caer un cuerpo desde una altura de 6,37 106 m por encima de la superficie terrestre. ¿Cuál es su aceleración inicial? 𝒂𝒂 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 (𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 𝟗𝟗,𝟖𝟖 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 (𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟗𝟗,𝟖𝟖 = (𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 (𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 ;𝒂𝒂 = 𝟗𝟗,𝟖𝟖 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 18. Suponer que se realiza un aterrizaje en un planeta de otro sistema solar que tiene la misma masa por unidad de volumen que la Tierra, pero su radio es 10 veces el de la Tierra. ¿Cuál sería su peso en ese planeta en comparación con el que se tiene en la Tierra? 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝑻𝑻 ; 𝑴𝑴𝒙𝒙 𝑹𝑹𝒙𝒙 𝟑𝟑 = 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ; 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 = 𝑴𝑴𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ; 𝑴𝑴𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒙𝒙 𝑹𝑹𝒙𝒙 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑴𝑴𝑻𝑻 (𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝑻𝑻)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗,𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒙𝒙 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟗𝟗𝟗𝟗,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑷𝑷𝑻𝑻 19. Suponer que la Tierra, manteniendo su masa actual, fuera comprimida hasta la mitad de su radio. ¿Cuál sería la aceleración de la gravedad g en la superficie de este nuevo planeta más compacto? 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒙𝒙 𝑹𝑹𝒙𝒙 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 � 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒈𝒈𝑻𝑻 20. Un planeta se mueve alrededor d un Sol masivo con momento angular constante. Cuando el planeta pasa por el perihelio posee una velocidad de 5 104 m/s y se encuentra a 1,0 1015 m del Sol. El radio orbital en el afelio es 2,2 1015 m en el afelio. ¿Cuál es la velocidad del planeta en el afelio? 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝟏𝟏∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒∗𝟏𝟏,𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 21. Un cometa orbita alrededor del Sol con un momento angular constante. Tiene un radio máximo de 150 UA, siendo su velocidad allí de 7 103 m. La máxima aproximación del cometa al Sol es de 0,4 UA. ¿Cuál es su velocidad en el perihelio? 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝟏𝟏∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟒𝟒 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔
- 5. 22. La velocidadde un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio. Determinar la relación de las distancias al afelio y al perihelio. 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 ∗ 𝒓𝒓𝒂𝒂 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒑𝒑 ∗ 𝒓𝒓𝒑𝒑 ; 𝒓𝒓𝒂𝒂 𝒓𝒓𝒑𝒑 = 𝒗𝒗𝒑𝒑 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 23. Un satélite de masa 300 kg se mueve en una órbita circular de 5 107 m por encima de la superficie terrestre. a) ¿Cuál es la fuerza gravitatoria sobre el satélite? b) ¿Cuál es la velocidad del satélite? c) ¿Cuál es el periodo del satélite? a) 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ;𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝒈𝒈∗𝒎𝒎 �𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉� 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 = 𝒈𝒈∗𝒎𝒎 �𝟏𝟏+ 𝒉𝒉 𝑹𝑹𝑻𝑻 � 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏 �𝟏𝟏+ 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟔𝟔 𝑵𝑵 b) 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 ;𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 = �𝑮𝑮∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 = � 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 = � 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏+ 𝒉𝒉 𝑹𝑹𝑻𝑻 = � 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏+ 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒗𝒗 𝒓𝒓 = 𝝎𝝎 ; 𝒗𝒗 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ;𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕+𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕) 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒉𝒉 24. En el aeropuerto, un estudiante de física pesa 800 N. El estudiante embarca en un avión de reacción que asciende a una altura de 9500 m. ¿Cuál es la pérdida de peso experimentada por el estudiante? 𝑷𝑷𝑻𝑻 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝒎𝒎 = 𝑷𝑷𝑻𝑻 𝒈𝒈 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴∗𝑮𝑮 𝑷𝑷 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴∗𝑮𝑮 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟐𝟐 𝑵𝑵 25. Supongamos que Kepler hubiese encontrado que el periodo de la órbita circular de un planeta es proporcional al cuadrado del radio de la órbita. ¿Qué conclusión hubiera deducido Newton respecto a la dependencia de la atracción gravitatoria sobre la distancia entre dos masas? 𝑻𝑻 = 𝑪𝑪 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝑭𝑭 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 (𝑪𝑪∗𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝑭𝑭 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑪𝑪∗𝒓𝒓𝟑𝟑 26. Un medidor de la gravedad (basado en la superconductividad) puede medir cambios de esta magnitud del orden ∆𝒈𝒈 𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 . a) Estimar el intervalo máximo con el cual puede detectarse una persona de 80 kg con este medidor gravitatorio. b) ¿Qué variación vertical en la posición del medidor es detectable en el campo gravitatorio terrestre?
- 6. a) 𝒈𝒈𝑻𝑻 =𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 El campo creado por una masa m, ∆𝒈𝒈 = 𝒈𝒈(𝒓𝒓): 𝒈𝒈𝒓𝒓 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗𝒎𝒎 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒓𝒓 = 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒎𝒎 𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) Derivando g(r): 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟑𝟑 = − 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∗ 𝑮𝑮∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 𝒓𝒓 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒈𝒈 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 Considerando dr como ∆𝒓𝒓 y adoptando r como RT: ∆𝒓𝒓 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐 � = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 27. Durante un eclipse solar, cuando la Luna está entre la Tierra y el Sol, la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol sobre un estudiante tienen la misma dirección. a) Si la atracción de la Tierra sobre el estudiante es de 800 N, ¿Cuál es la fuerza de la Luna sobre el estudiante? b) ¿Y la fuerza del Sol sobre el estudiante? c) ¿Qué corrección en tanto por ciento debida al Sol y a la Luna, cuando estos astros están directamente sobre su cabeza, debería aplicarse en la lectura de una escala muy exacta para obtener el peso del estudiante? a) 𝑷𝑷𝑻𝑻 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ;𝒎𝒎 = 𝑷𝑷𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝑷𝑷𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖∗�𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟐𝟐 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝑵 b) 𝑭𝑭𝑺𝑺 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝑷𝑷𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖∗�𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟐𝟐 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑵𝑵 c) 𝑷𝑷𝑹𝑹 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 − (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒) = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑵𝑵 % = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 % 28. Si suponemos que la interacción gravitatoria entre una estrella de masa M y un planeta de masa m<<M es de la forma F=KMm/r, siendo K la constante gravitatoria, ¿Cuál sería la relación entre el radio de la órbita circular y su periodo? 𝑭𝑭 = 𝑲𝑲 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ;𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑲𝑲∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝑻𝑻 ∝ 𝒓𝒓 29. La masa de la Tierra es 5,97 1024 kg y su radio 6370 km. El radio de la Luna es 1738 km. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es 1,62 m/s2 . ¿Cuál es la relación entre la densidad media de la Luna y la de la Tierra? 𝒈𝒈𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟑𝟑 ∗𝒅𝒅𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒅𝒅𝑻𝑻 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝒅𝒅𝑻𝑻 = 𝒈𝒈𝑳𝑳∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝒈𝒈𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑳𝑳 = 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
- 7. 30. Una plomadapróxima a una gran montaña está ligeramente desviada de la vertical por la atracción gravitatoria de la montaña. Estimar el orden de magnitud del ángulo de desviación utilizando cualquier hipótesis. 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒈𝒈𝑴𝑴 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝒈𝒈𝑴𝑴 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑴𝑴𝒎𝒎∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒅𝒅𝒎𝒎 𝟐𝟐 Si por ejemplo el cociente entre la masa de la montaña y de la Tierra es 10-9 y la distancia al centro de la montaña de 100 m: 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝜽𝜽 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒐𝒐 Medida de G 31. ¿Por qué es G tan difícil de medir? Por ser G tna pequeña se necesitan cuerpos de masa muy grande o instrumentos muy sensibles para su medición. 32. Las masas en un aparato tipo Cavendish son m1=10 kg y m2=10 g, estando separados sus centros 6 cm, y la varilla que separa las dos masas pequeñas es de 20 cm de longitud. a) ¿Cuál es la fuerza de atracción entre las esferas grande y pequeña? b) ¿Qué momento debe ser ejercido por la suspensión para equilibrar estas fuerzas? a) 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑵𝑵 b) 𝝉𝝉 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗ 𝒎𝒎 33. Las masas en un aparato tipo Cavendish con m1=12 kg y m2=15 g estando separados sus centros 7 cm. a) ¿Cuál es la fuerza de atracción entre ambas masas? b) Si la varilla que separa las dos masas pequeñas tiene una longitud de 18 cm, ¿qué momento debe ser ejercido por la suspensión para equilibrar el momento ejercido por la gravedad? a) 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑵𝑵 b) 𝝉𝝉 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗ 𝒎𝒎 Explorando la naturaleza. Masa gravitatoria e inerte. 34. ¿Cómo se modificaría la vida ordinaria si las masas gravitatoria e inerte no fueran iguales? La masa inerte expresa la resistencia a ser acelerada: 𝑭𝑭 = 𝑴𝑴𝒊𝒊 ∗ 𝒂𝒂 La masa gravitatoria expresa como atrae una masa a otra masa: 𝑴𝑴𝒈𝒈 ∗ 𝒈𝒈 Si imaginamos dos esferas de masas gravitatorias M1g y M2g, la fuerza gravitatoria entre ellas es: 𝑭𝑭𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐𝒈𝒈 𝒓𝒓𝟐𝟐
- 8. Si las esferasestán en caída libre, la aceleración de caída será: 𝒂𝒂 = 𝑭𝑭𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒎𝒎𝒊𝒊 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈 𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈 𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒊𝒊𝒊𝒊 Si 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒊𝒊 ≠ 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈 y 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒊𝒊 ≠ 𝒎𝒎𝒈𝒈𝒈𝒈 tendremos que 𝒂𝒂𝟏𝟏 ≠ 𝒂𝒂𝟐𝟐. Cada cuerpo caería con una aceleración diferente. 35. Si las masas gravitatorias e inertes no fueran idénticas, ¿qué se modificaría en a) Un delantero de ataque en un equipo de futbol? b) Un automóvil? c) Un pisapapeles? a) L aceleración del delantero en carrera será: 𝒂𝒂𝒅𝒅 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒎𝒎𝒈𝒈 𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒎𝒎𝒊𝒊 A dependerá del cociente 𝒎𝒎𝒈𝒈/𝒎𝒎𝒊𝒊. b) La potencia dependerá de la masa gravitatoria del coche: 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝑭𝑭𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 ∗ 𝒗𝒗 = 𝒎𝒎𝒊𝒊 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒗𝒗 = 𝒎𝒎𝒊𝒊 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻𝑻𝑻 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝒈𝒈 𝒎𝒎𝒊𝒊 ∗ 𝒗𝒗 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻𝑻𝑻 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝒈𝒈 c) No hay a, no hay efecto. 36. Un objeto estándar, que por definición tiene una masa de 1 kg exactamente, recibe una aceleración de 2,6587 m/s2 cuando se le aplica una determinada fuerza. Otro objeto de masa desconocida adquiere una aceleración de 1,1705 m/s2 cuando se le aplica la misma fuerza. a) ¿Cuál es la masa del segundo objeto? b) La masa que se determina en la parte (a), ¿es gravitatoria o inercial? a) 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝑭𝑭 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝟏𝟏∗𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 b) Es una masa inercial. 37. El peso de un objeto estándar que por definición tiene una masa exacta de 1 kg, se mide y resulta ser de 9,81 N. Em el mismo laboratorio, otro objeto pesa 56,6 N. a) ¿Cuál es la masa de este último? b) La masa determinada en (a), ¿es gravitatoria o inercial? a) 𝑷𝑷𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝒈𝒈 = 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒌𝒌 ; 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟔𝟔 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌 b) Gravitatoria. Energía potencial y gravitatoria 38. a) Considerando que la energía potencial es cero a una distancia infinita, hallar la energía potencial de un cuerpo de 100 kg en la superficie de la Tierra ( Utilizar 6,36 106 m para el radio terrestre). b) Hallar la energía potencial del mismo cuerpo a una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra. c) ¿Cuál deberá ser la velocidad de escape de un cuerpo proyectado desde esta altura? a) Con las condiciones dadas:
- 9. 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒓𝒓) = −𝑮𝑮∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝒓𝒓 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ; 𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝑹𝑹𝑻𝑻) = −𝑮𝑮 ∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 = −𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 = −𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = −𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑱𝑱 b) 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻) = −𝑮𝑮 ∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝑻𝑻 = − 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝟐𝟐 == − 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟐𝟐 = −𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑱𝑱 c) 𝟎𝟎 = 𝑬𝑬𝒑𝒑 + 𝑬𝑬𝒄𝒄 ; 𝟎𝟎 = 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗 = � −𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒑𝒑(𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝑻𝑻) 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐∗𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 39. Una masa puntual m0 está inicialmente en la superficie de una esfera grande de masa M y radio R. ¿Cuánto trabajo se necesita para separarla a una distancia muy grande de la esfera grande? 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟎𝟎 + 𝑮𝑮 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑹𝑹 40. Suponer que en el espacio existe un astro igual a la Tierra, excepto que no tiene atmósfera, no tiene movimiento de rotación ni se traslada alrededor del Sol. ¿qué velocidad inicial debería tener un vehículo espacial en su superficie para recorrer verticalmente hacia arriba una distancia sobre su superficie del astro igual a un radio terrestre? −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝒗𝒗 = �𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ � 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝑻𝑻 � = �𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝑻𝑻 � Si usamos: 𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝒗𝒗 = �𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 = �𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟕𝟕, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 41. Se deja caer desde el reposo un objeto situado a una altura de 4 106 m sobre la superficie terrestre. Si no existiese la resistencia del aire. ¿Cuál seria su velocidad al chocar contra la Tierra? −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹+𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹 ; 𝒗𝒗 = �𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ � 𝒉𝒉 𝑹𝑹+𝒉𝒉 � = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹∗𝒉𝒉 𝑹𝑹+𝒉𝒉 𝒗𝒗 = �𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔∗𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟔𝟔,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 42. Se proyecta un objeto hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 4 km/s. Hallar la altura máxima que alcanzará. −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹+𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹 ; 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹+𝒉𝒉 = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 + 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹 − 𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝒉𝒉 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴−𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 + 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐∗𝑹𝑹∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴−𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝟐𝟐−𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝟐𝟐−𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 − 𝑹𝑹 = 𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝑹𝑹−𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝒉𝒉 = (𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑)𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔−(𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑)𝟐𝟐 = 𝟗𝟗, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔
- 10. 43. Una cortezaesférica tiene un radio R y una masa M. a) Escribir las expresiones correspondientes a la fuerza ejercida por la corteza sobre una masa puntual m0 cuando mo esté en el exterior o en el interior de la corteza. b) ¿Cuál es la función energía potencial U(r) para este sistema cuando la masa mo está a una distancia r (𝒓𝒓 ≥ 𝑹𝑹) si U=0 en r=∞ ? Calcular esta función para r=R. c) Utilizando la relación general 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝑭𝑭 � �⃗ ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 �⃗ = −𝑭𝑭𝒓𝒓𝒅𝒅𝒅𝒅, demostrar que U es constante en todo punto interior a la corteza. d) Utilizando el hecho de que U es continua en todas partes, incluyendo los puntos en que r=R, hallar el valor de U constante en el interior de la corteza. e) Dibujar una gráfica de U ( r) en función de r para todos las valores posibles de r. a) 𝑭𝑭𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 , 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑭𝑭 � �⃗𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝒈𝒈 ��⃗ = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 �⃗ b) 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒓𝒓 ≥ 𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝒓𝒓 ; 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑹𝑹 c) 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰: 𝑾𝑾𝑨𝑨→𝑩𝑩 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑; 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑭𝑭 = 𝟎𝟎 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊; ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟎𝟎 ;𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬í𝒂𝒂 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊. d) Como 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑹𝑹 El valor en el interior: 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒓𝒓 ≤ 𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑹𝑹 e) 44. Nuestra galaxia puede considerarse como un gran disco de radio R y masa M con densidad aproximadamente constante. a) Hallar la energía potencial gravitatoria de una masa de 1 kg situada sobre el eje del disco a una distancia x del mismo debida a un elemento de disco de forma de anillo de radio r y espesor dr. b) Integrar el resultado de la parte (a) para hallar la energía potencial gravitatoria total de una masa de 1 kg situada a una distancia x debida a todo el disco. c) Utilizando 𝑭𝑭𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 y el resultado de la parte (b), hallar el campo gravitatorio gx a lo largo del eje del disco. a)
- 11. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒙𝒙 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 =𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝝈𝝈 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅∗𝝈𝝈∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 ∫ 𝒅𝒅 𝒙𝒙 ∞ 𝑭𝑭𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = ∫ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙∗𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝒙𝒙 ∞ Haciendo el cambio: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒖𝒖 ;𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ � −𝟐𝟐 𝒖𝒖 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐� ∞ 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐 b) 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = ∫ �−𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑹𝑹 𝟎𝟎 Haciendo el cambio: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒖𝒖 ;𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅. 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒖𝒖 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = −𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒖𝒖 𝟏𝟏 𝟐𝟐� = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐� 𝟎𝟎 𝑹𝑹 == −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ��𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� c) 𝑭𝑭𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ � 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� 45. La hipótesis de densidad uniforme del problema 44 es poco realista. En la mayor parte de las galaxias la densidad crece hacia el centro de la galaxia. Repetir el problema 44 suponiendo una densidad máxima superficial de la forma 𝝈𝝈(𝒓𝒓) = 𝑪𝑪/𝒓𝒓, en donde 𝝈𝝈(𝒓𝒓)es la masa por unidad de área del disco a la distancia r del centro. Determinar primero la constante C en función de R y M; después seguir como en el problema 44. a) 𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∫ 𝒓𝒓 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ ∫ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑹𝑹 𝑹𝑹 𝟎𝟎 𝑹𝑹 𝟎𝟎 𝑪𝑪 = 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝒐𝒐 ∗ 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒙𝒙 𝒓𝒓 ∗ 𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅∗𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝒙𝒙 ∞ 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒙𝒙∗𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒙𝒙 ∞ Con el cambio 𝒖𝒖 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; du=2*x*dx. 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒖𝒖𝟑𝟑/𝟐𝟐 = − 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 ∗ � 𝟐𝟐 𝒖𝒖𝟏𝟏/𝟐𝟐� 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = − 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐� ∞ 𝒙𝒙
- 12. 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = − 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 ∗� 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) � 𝟏𝟏/𝟐𝟐 b) Para todo el disco: 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = − 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝟎𝟎 Con el cambio (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 )𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝒖𝒖 ; 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐∗(𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) = 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝒓𝒓 + �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐�� 𝟎𝟎 𝑹𝑹 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = − 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝑹𝑹+�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒙𝒙 � c) 𝑭𝑭𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑹𝑹 ∗ � 𝒙𝒙 𝑹𝑹∗�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � Velocidad de escape 46. ¿Cuál es el efecto de la resistencia del aire sobre la velocidad de escape próxima a la superficie de la Tierra? Aumenta la velocidad de escape y dependerá de la forma del cuerpo dado que la fuerza de fricción es: 𝑭𝑭 = −𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝒅𝒅 ∗ 𝑨𝑨 47. En principio, ¿sería posible que la tierra escapara del sistema solar? La velocidad de escape será: −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒔𝒔∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝒔𝒔−𝑻𝑻 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒗𝒗𝒆𝒆 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝒔𝒔 𝑹𝑹𝒔𝒔−𝑻𝑻 = � 𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Para conseguir está velocidad se necesitaría un impacto muy grande. 48. Si la masa de un planeta se duplica sin aumentar su tamaño, la velocidad de escape a) Se incrementará en un factor 1,4. b) Se incrementará en un factor 2. c) No variará. d) Se reducirá en un factor 1,4. e) Se reducirá en un factor 2. 𝒗𝒗𝒆𝒆 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑷𝑷 𝑹𝑹𝑷𝑷 La respuesta correcta es un aumento en √𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒. La a. 49. El planeta Saturno tiene una masa 95,2 veces mayor que la de la Tierra y un radio 9,47 veces el de ésta. Hallar la velocidad de escape para objetos situados cerca de la superficie de Saturno. 𝒗𝒗𝒆𝒆 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 𝑹𝑹𝒔𝒔 = � 𝟗𝟗𝟗𝟗,𝟐𝟐 𝟗𝟗,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆−𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 50. Hallar la velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna. La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,166 veces la de la Tierra y el radio de la Luna es 0,273 RT. 𝒈𝒈𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒆𝒆 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 ∗ ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈𝒍𝒍 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 = �𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒈𝒈𝑻𝑻 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻
- 13. 𝒗𝒗𝒆𝒆 = �𝟐𝟐∗ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 51. Se proyecta desde la superficie de la Tierra una partícula con una velocidad doble de la de escape. Cuando está muy lejos de la Tierra, ¿Cuál será su velocidad? −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 + 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟔𝟔 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = √𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 52. ¿Qué velocidad inicial deberá darse a una partícula para que cuando esté muy alejada de la Tierra su velocidad final sea igual a la de escape? −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = √𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 53. Una sonda espacial enviada desde la Tierra deberá tener una velocidad de 60 km/s cuando esté muy lejos de nuestro planeta. ¿Qué velocidad necesita tener la sonda en la superficie terrestre? 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗∞ 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 = 𝒗𝒗∞ 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 = 𝒗𝒗∞ 𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝒐𝒐 = �𝒗𝒗∞ 𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 = �𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 54. a) Calcular la energía en julios necesaria para lanzar una masa de 1 kg desde la Tierra con la velocidad de escape. b) Convertir esta energía en kilovatios-hora. c) Si la energía puede obtenerse a 10 centavos de dólar por kilovatios-hora, ¿Cuál es el coste mínimo para conseguir que un astronauta de 80 kg tenga la energía suficiente para escapar del campo gravitatorio terrestre? a) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑱𝑱 b) 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟑𝟑,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝑱𝑱 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 c) (𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖)𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒 $ 55. Demostrar que la velocidad de escape de un planeta está relacionada con la velocidad de una órbita circular, justo por encima de la superficie del planeta, por la expresión 𝒗𝒗𝒆𝒆 = √𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒄𝒄, siendo vc la velocidad del cuerpo en órbita circular. 𝒗𝒗𝒆𝒆 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 Para una órbita circular de radio R: 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 De ambas expresiones: 𝒗𝒗𝒆𝒆 = √𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄
- 14. 56. Determinar lavelocidad de la Tierra vc alrededor del Sol suponiendo que la órbita es circular. Con este dato y el resultado del proyecto 55, calcular la velocidad de escape ve,S necesaria para que la Tierra escape del Sol. 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑺𝑺−𝑻𝑻 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒔𝒔∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑺𝑺−𝑻𝑻 𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 𝑹𝑹𝑺𝑺−𝑻𝑻 = 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖′ 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒗𝒗𝒄𝒄 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗𝒆𝒆 = √𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 57. Si un cuerpo posee la energía justa para escapar de la Tierra, no escapará del sistema Solar, porque la atracción de este astro se lo impedirá. Utilizar la ecuación 𝒗𝒗𝒆𝒆 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 reemplazando MT por MS y RT por RS (distancia al Sol) para calcular la velocidad ve,S necesaria para escapar del campo gravitatorio solar un objeto en la superficie de la Tierra. Despreciar la atracción de la Tierra. Compara la respuesta con la obtenida en el problema 56. Demostrar que si ve es la velocidad de escape de la Tierra, despreciando al Sol, la velocidad necesaria para que un objeto en la superficie de la Tierra escape del sistema solar viene dada por 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝑺𝑺 𝟐𝟐 y calcular ve,Solar. 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝑺𝑺 = � 𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Si consideramos que lanzamos un cuerpo desde la tierra, le hemos de suministrar una velocidad para escapar de la Tierra y una velocidad para escapar del Sol, dado el carácter vectorial de la velocidad, la velocidad necesaria para escapar del sistema Solar será la suma vectorial de las dos velocidades: 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ; 𝒗𝒗𝒆𝒆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = �𝒗𝒗𝒆𝒆 𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝑺𝑺 𝟐𝟐 = �(𝟒𝟒, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒)𝟐𝟐 + (𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑)𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 58. ¿Por qué es razonable despreciar la presencia de los demás planetas al calcular la velocidad necesaria para escapar del sistema solar? Si se tuvieran en cuenta, ¿el valor real de está velocidad seria mayor o menor que la calculada en el problema 57? El efecto de un planeta en la velocidad de escape de un cuerpo en la tierra seria, por ejemplo: 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 Supongamos que el planeta sea Marte y que la distancia entre Marte y la Tierra sea como media 225 millones de kilómetros. 𝒗𝒗𝒆𝒆,𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = �𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Este valor es mucho menor que los encontrados en el problema 57. Si sumamos vectorialmente esta velocidad a la encontrada en el problema anterior vemos que el valor final en el mismo que en el problema 57. Las contribuciones de cada planeta se podrían ir sumando vectorialmente en y el resultado global seria mayor que el calculado en el problema 57.
- 15. 59. Un objetose proyecta verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra. Demostrar que la altura máxima alcanzada por el cuerpo es 𝑯𝑯 = 𝑹𝑹𝑻𝑻𝑯𝑯′ /(𝑹𝑹𝑻𝑻 − 𝑯𝑯′ ), en donde H’ es la altura que alcanzaría si el campo gravitatorio fuera constante. Caso de campo contante: 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯′ = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯′ = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯′ Para el caso de campo variable: −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹+𝑯𝑯 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹+𝑯𝑯 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯′ � 𝟏𝟏 𝑹𝑹 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝑯𝑯 � = 𝑯𝑯′ 𝑹𝑹𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝑹𝑹 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝑯𝑯 � ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑯𝑯′ 𝑯𝑯∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹∗(𝑹𝑹+𝑯𝑯) = 𝑯𝑯′ 𝑯𝑯 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑯𝑯′ ∗ (𝑹𝑹 + 𝑯𝑯) ; (𝑹𝑹 − 𝑯𝑯′) ∗ 𝑯𝑯 = 𝑯𝑯′ ∗ 𝑹𝑹 𝑯𝑯 = 𝑯𝑯′∗𝑹𝑹 𝑹𝑹−𝑯𝑯′ Órbitas 60. Un cuerpo astronómico (por ejemplo, un cometa descubierto por primera vez) entra en el sistema solar y pasa alrededor del Sol. ¿Cómo podemos saber si este cuerpo retornará muchos años después o no volverá nunca? Midiendo su velocidad y comparándola con su velocidad de escape, si es mayor escapará. 61. Un vehículo espacial de 100 kg de masa se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura h=2RT. a) ¿Cuál es el periodo de la órbita de este vehículo alrededor de la Tierra? b) ¿Cuál es su energía cinética? c) Expresar el momento angular L del vehículo espacial en función de su energía cinética Ec y determinar su valor numérico. 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 ; 𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 a) 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟏𝟏 𝒈𝒈 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟏𝟏 𝒈𝒈 ∗ 𝟖𝟖∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟖𝟖∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑱𝑱 c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑰𝑰 ; 𝑳𝑳 = �𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ 𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟕𝟕.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 /𝒔𝒔 62. Hay muchos satélites en órbita alrededor de la Tierra, a unos 1000 km de altura sobre la superficie terrestre. Los satélites geo sincrónicos están en órbita a una
- 16. distancia de 4,22107 m del centro de la Tierra. ¿Cuánta energía más se requiere para lanzar un satélite de 500 kg a una órbita geo sincrónica que a una órbita de 1000 km por encima de la superficie terrestre? Calculamos la energía de un satélite en órbita: 𝑬𝑬 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 Usando la velocidad en órbita: 𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 = �𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = �𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝑬𝑬 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒎𝒎 𝒓𝒓 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 Para cada órbita tenemos: 𝑬𝑬�𝑹𝑹 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹+𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑬𝑬(𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈) = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∆𝑬𝑬 = 𝑬𝑬(𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈) − 𝑬𝑬�𝑹𝑹 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ( 𝟏𝟏 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕) ∆𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ �𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 � = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 63. Teóricamente es posible situar un satélite en una posición entre la Tierra y el Sol sobre la línea que une estos astros, en donde las fuerzas gravitatorias del Sol y de la Tierra se combinan de tal forma que el satélite ejecutaría una órbita circular alrededor del Sol, geosíncrona con la órbita terrestre alrededor del Sol. (Dicho de otro modo, el satélite y la Tierra tienen el mismo período respecto al Sol, aunque sus distancias a este son diferentes. El satélite permanece siempre alineado con la Tierra y el Sol). Deducir una expresión que relacione la velocidad orbital circular apropiada de un satélite en tal situación y su distancia r al Sol. Esta expresión puede también incluir alguna de las magnitudes que se muestran en la figura, además de la constante de gravitación G. Sobre el satélite actúan la fuerza gravitatoria del Sol y la de la Tierra. Ambas en sentidos opuestos. 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒔𝒔∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 (𝑫𝑫−𝒓𝒓)𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝒗𝒗 = �𝑮𝑮 ∗ � 𝑴𝑴𝒔𝒔 𝒓𝒓 − 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒓𝒓 (𝑫𝑫−𝒓𝒓)𝟐𝟐 �
- 17. Campo gravitatorio g 64.Una masa de 3 kg experimenta una fuerza gravitatoria de 12 N i en cierto punto P. ¿Cuál es el campo gravitatorio en ese punto? 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ��⃗ ; 𝒈𝒈 ��⃗ = 𝑭𝑭 � �⃗ 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒊𝒊 ⃗ 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 𝒊𝒊 ⃗ 65. El campo gravitatorio en cierto punto viene dado por g=2,5 10-6 N/kg j. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria sobre una masa de 4 g en ese punto? 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ��⃗ = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝒋𝒋 ⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑵𝑵𝒋𝒋 ⃗ 66. Una masa puntual m está sobre el eje x en el punto x=L y otra masa puntual igual está sobre el eje y en el punto y=L. a) Determinar el campo gravitatorio en el origen. b) ¿Cuál es la magnitud de este campo? a) 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ 𝒈𝒈𝒚𝒚 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ b) 𝒈𝒈 = ��𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 + �𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 = √𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 67. Cinco masas iguales M están equidistantes sobre el arco de una semicircunferencia de radio R como se indica en la figura. Se sitúa una masa m en el centro de curvatura del arco. a) Si M es 3 kg, m vale 2 kg y R es 10 cm, ¿Cuál es la fuerza sobre m debida a las cinco masas M? b) Si m se retira, ¿Cuál es el campo gravitatorio en el centro de curvatura del arco? a) Por simetría la fuerza resultante estará sobre el eje y. El módulo de cada una de las fuerzas es: 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 Sumando las 5 componentes y: 𝑭𝑭𝒚𝒚 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝟏𝟏) = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑∗𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝟏𝟏) = 𝟗𝟗,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑵𝑵 b) 𝒈𝒈𝒚𝒚 = 𝑭𝑭𝒚𝒚 𝒎𝒎 = 𝟗𝟗,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌
- 18. 68. Una masapuntual m1= 2 kg está en el origen y una segunda masa puntual, m2=4 kg está sobre el eje x en el punto x= 6 m. Determinar el campo gravitatorio en a) X= 2m. b) x= 12 m. c) Determinar el punto en el eje x para el cual g=0. a) 𝒈𝒈𝟐𝟐𝟐𝟐 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟒𝟒𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ �− 𝟐𝟐 𝟒𝟒 + 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 � = 𝟔𝟔. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (−𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐) = −𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 b) 𝒈𝒈𝟔𝟔𝟔𝟔 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟔𝟔𝟐𝟐 = −𝑮𝑮 ∗ � 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟑𝟑 � = − 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = −𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 c) Estaremos en un punto entre 0 y 6m. 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 (𝟔𝟔−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ �𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙� = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 Resolviendo la ecuación: 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 69. a) Demostrar que el campo gravitatorio de un anillo de masa uniforme es cero en el centro del anillo. b) La figura muestra un punto P en el plano del anillo, pero no en el centro. Consideremos dos elementos del anillo de longitudes s1 y s2 y situados a una distancia r1 y r2 respectivamente. 1. ¿Cuál es el cociente de masas de estos elementos? 2. ¿Cuál produce el campo gravitatorio mayor en el punto P? 3. ¿Cuál es la dirección del campo en el punto P debido a estos elementos? c) ¿Cuál es la elección del campo gravitatorio en el punto P debido al anillo completo? d) Suponer que el campo gravitatorio debido a una masa varía proporcionalmente a 1/r2 . ¿Cuál será entonces el campo gravitatorio resultante en el punto P debido a los elementos indicados? e) ¿Cómo diferirían las respuestas dadas a las partes (b) y (c) si el punto estuviese dentro de una corteza esférica de masa uniforme en lugar de estar dentro de un anillo circular plano?
- 19. a) En elcentro, un elemento de longitud ds produce un campo dirigido hacia él de valor dg (radial), este valor estará anulado por su opuesto. Por simetría el campo resultante en el centro será 0. b) 1. 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒔𝒔𝟏𝟏 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒔𝒔𝟐𝟐 = 𝜽𝜽∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝜽𝜽∗𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 2. 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝀𝝀∗𝒔𝒔𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝀𝝀∗𝜽𝜽∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝝀𝝀 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝝀𝝀 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒈𝒈𝟏𝟏 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 > 𝟏𝟏 ; 𝒈𝒈𝟏𝟏 > 𝒈𝒈𝟐𝟐 3. La dirección es radial, el sentido hacia el elemento 1. c) Si los dos anillos equivalentes producen un campo hacia el elemento 1, la extensión del razonamiento a todo el anillo con ángulos mayores nos lleva a concluir que el campo estará dirigido hacia el fragmento más cercano. d) En este caso tendremos una densidad superficial de masa: 𝒎𝒎𝟏𝟏 = 𝝈𝝈 ∗ 𝒔𝒔𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝝈𝝈 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝜽𝜽 = 𝒈𝒈𝟐𝟐 El campo en el interior de la esfera es nulo en cualquier punto. 70. Demostrar que el máximo valor de |𝒈𝒈𝒙𝒙| para el campo del sistema de la figura tiene lugar en los puntos ± 𝒂𝒂 √𝟐𝟐 . La expresión del campo en el eje x para un punto sobre este eje es: 𝒈𝒈 ��⃗𝒙𝒙 = − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝒊𝒊 � �⃗ En valor absoluto: 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐) ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 Buscamos el punto del eje x que hace máxima esta función: 𝒅𝒅𝒈𝒈𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟑𝟑 𝟐𝟐− 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗𝒙𝒙∗�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐)𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 ∗ �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟏𝟏/𝟐𝟐 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� − 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐� = 𝟎𝟎 Solo puede ser cero el segundo el segundo factor: = 𝟎𝟎 ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� − 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐� = 𝟎𝟎 ;𝒙𝒙 = ± 𝒂𝒂 √𝟐𝟐 71. Una estaca no uniforme de longitud L se encuentra alineada sobre el eje x con un extremo en el origen. Su densidad λ (masa por unidad de longitud) varía en la forma λ=Cx , en donde C es una constante. (Así, un elemento de la estaca tiene una masa dm=λdx). a) ¿Cuál es la masa total de la estaca?
- 20. b) Determinar elcampo gravitatorio debido a la estaca en el punto xo>L. a) 𝑴𝑴 = ∫ 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = ∫ 𝑪𝑪 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑪𝑪 ∗ � 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 � 𝟎𝟎 𝑳𝑳 𝑳𝑳 𝟎𝟎 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 b) El campo estará dirigido hacia el origen, consideremos un dm situado en x, su campo en módulo en un punto situado en x será: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 El campo total será, dirigido hacia el origen: 𝒈𝒈 = ∫ 𝑮𝑮 ∗ 𝑪𝑪∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑪𝑪 ∗ ∫ 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝒙𝒙𝒐𝒐−𝑳𝑳 − 𝑳𝑳 𝒙𝒙𝒐𝒐−𝑳𝑳 � 72. Una varilla uniforme de masa M y longitud L está situada sobre el eje x con centro en el origen. Consideremos un elemento de longitud dx a una distancia x del origen. a) Demostrar que este elemento produce un campo gravitatorio en un punto xo sobre el eje x (xo>1/2L) dado por 𝒅𝒅𝒈𝒈𝒙𝒙 = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳(𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) Integrar este resultado respecto a toda la varilla para hallar el campo gravitatorio total en el punto xo debido a la misma. c) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre un objeto de masa mo en xo? d) Demostrar que para xo>>L el campo es aproximadamente igual al ejercido por una masa puntual. a) 𝒅𝒅𝒈𝒈 ��⃗𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 La distancia del elemento al punto considerado: 𝒓𝒓 = 𝒙𝒙𝒐𝒐 − 𝒙𝒙 𝒈𝒈 ��⃗𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑳𝑳 (𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ b) 𝒈𝒈 ��⃗𝒙𝒙 = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙 � − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ 𝒈𝒈 ��⃗𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝒐𝒐 𝟐𝟐− 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗𝑳𝑳𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 ⃗ c) En las condiciones indicadas: 𝒙𝒙𝒐𝒐 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 ≈ 𝒙𝒙𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝒈𝒈 ��⃗𝒙𝒙 ≈ − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒙𝒙𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ Campo gravitatorio g producido por objetos esféricos 73. Explicar por qué el campo gravitatorio crece con r, en lugar de disminuir según 1/r2 al alejarse del centro en el interior de una esfera sólida de masa uniforme. El campo en el interior de la esfera dependerá de la masa contendida en la parte interior al punto considerado, está masa interior dependerá de r3 (m=d*V=4/3*𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ). Como el campo dependerá de 1/r2 , el resultado será una dependencia global de r. 74. Una corteza esférica tiene un radio de 2 m y una masa de 300 kg. ¿Cuál es el campo gravitatorio a las siguientes distancias del centro de la corteza:
- 21. a) 0,5 mb) 1,9 m c) 2,5 m. a) Estamos en el interior, el campo será 0. b) Igual que en el caso anterior, g=0. c) El campo será el mismo que haría un objeto puntual situado en el centro de la esfera: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 75. Una corteza esférica tiene un radio de 2 m y una masa de 300 kg; su centro está localizado en el origen de un sistema de coordenadas. Otra corteza esférica de radio 1 m y masa 150 kg está situada dentro de la corteza mayor con su centro a 0,6 m sobre el eje x. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria de atracción entre las dos cortezas? El campo gravitatorio creado por la esfera exterior en su interior es 0, por tanto no ejerce ninguna fuerza de atracción sobre la interior, por la tercera ley de Newton la interior no ejercerá fuerza sobre la exterior. 76. Dos esferas S1 y S2 tienen radios iguales R y masas iguales M. La densidad de la esfera S1 es constante, mientras que la densidad de la esfera S2 depende de la distancia radial de acuerdo con la expresión 𝝆𝝆(𝒓𝒓) = 𝑪𝑪/𝒓𝒓. Si la aceleración de la gravedad en la superficie de S1 es g1, ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la esfera S2? En el exterior de las dos esferas tenemos: 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒈𝒈𝟐𝟐 77. Dos esferas homogéneas S1 y S2 tienen masas iguales, pero radios distintos R1 y R2. Si la aceleración de la gravedad en la superficie de la esfera S1 es g1. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en S2? 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝑴𝑴 = 𝒈𝒈𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒈𝒈𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒈𝒈𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 78. Dos cortezas esféricas concéntricas y uniformes poseen masas M1 y M2 y radio a y 2a, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria sobre una masa puntual m localizada a) A una distancia 3a del centro de las dos cortezas? b) A una distancia 1,9a del centro de las cortezas? c) A una distancia 0,9a del centro de las cortezas? a) Las dos cortezas contribuyen al campo: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏+𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟗𝟗∗𝒂𝒂𝟐𝟐 ; 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏+𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟗𝟗∗𝒂𝒂𝟐𝟐 b) Solo creara campo la corteza interior:
- 22. 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐∗𝒂𝒂𝟐𝟐 ; 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐∗𝒂𝒂𝟐𝟐 c) Estamos en la zona interior de las dos cortezas, el campo es nulo. 79. La corteza esférica interna del problema 78 se desplaza de modo que su centro está ahora en x=0,8 a. Los puntos 3a, 1,9a y 0,9a están ahora a lo largo de la misma línea radial desde el centro de la corteza esférica mayor. a) ¿Cuál es la fuerza sobre m en 3a? b) ¿Cuál es la fuerza sobre m en 1,9a? c) ¿Cuál es la fuerza sobre m en 0,9a? a) 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟗𝟗∗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 (𝟑𝟑∗𝒂𝒂−𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝒂𝒂)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟗𝟗∗𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 𝒂𝒂𝟐𝟐 ∗ � 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟗𝟗 + 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟖𝟖 � 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 𝒂𝒂𝟐𝟐 ∗ � 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟗𝟗 + 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟖𝟖 � b) En este caso solo produce campo la esfera 2: 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 (𝟏𝟏,𝟗𝟗∗𝒂𝒂−𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝒂𝒂)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒂𝒂𝟐𝟐 c) En este caso el punto esta en el interior de las dos esferas, el campo gravitatorio será nulo. La fuerza será 0. Campo gravitatorio g en el interior de esferas sólidas 80. Supongamos que la Tierra fuera una esfera de masa uniforme y en ella se excavara un pozo de 15000 m de profundidad. Un estudiante que pesa 800 N en la superficie de la Tierra desciende en un montacargas hasta el fondo del pozo. ¿Cuál sería allí la pérdida de peso experimentada por el estudiante? En la superficie: 𝑷𝑷𝒔𝒔 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝆𝝆∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟑𝟑 𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒕𝒕 En el interior solo afecta al campo la masa interior:
- 23. 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒎𝒎∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝆𝝆∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗(𝑹𝑹𝒕𝒕−𝒅𝒅)𝟑𝟑 (𝑹𝑹𝒕𝒕−𝒅𝒅)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝑹𝑹𝒕𝒕 − 𝒅𝒅) 𝑷𝑷𝒔𝒔 − 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝆𝝆∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟑𝟑 𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅 𝑷𝑷𝒔𝒔 − 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒎𝒎 ∗ �𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟐𝟐� ∗ 𝒅𝒅 𝑹𝑹𝒕𝒕 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒅𝒅 𝑹𝑹𝒕𝒕 𝑷𝑷𝒔𝒔 − 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 81. Una esfera de radio R tiene su centro en el origen de coordenadas. Posee una densidad de masa uniforme, 𝝆𝝆𝒐𝒐, exceptuando el hecho de que tiene un agujero esférico de radio r=1/2R cuyo centro se encuentra en x=1/2R, como se muestra en la figura. Calcular el campo gravitatorio en los puntos del eje x para los que se cumple que |𝒙𝒙| > 𝑹𝑹. (Indicación: Puede considerarse la cavidad como una esfera de masa 𝒎𝒎 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟑𝟑 𝝆𝝆𝒐𝒐más una esfera de masa -m). 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = −𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝝅𝝅𝑹𝑹𝟑𝟑𝝆𝝆𝒐𝒐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝝅𝝅� 𝑹𝑹 𝟐𝟐 � 𝟑𝟑 𝝆𝝆𝒐𝒐 �𝒙𝒙− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝑹𝑹� 𝟐𝟐 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ �− 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟖𝟖∗�𝒙𝒙− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐� 82. Demostrar para la esfera con un agujero del problema 81 que el campo gravitatorio dentro del agujero es uniforme y calcular su magnitud y dirección. Consideramos el campo producido por una esfera maciza en su interior:
- 24. 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟑𝟑∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 El campo producido por el hueco: 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑮𝑮 𝟑𝟑 Pasando a los vectores: 𝒈𝒈𝟏𝟏𝟏𝟏 = − 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 𝒓𝒓 = − 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 𝒈𝒈𝟏𝟏𝟏𝟏 = − 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 ∗ 𝒚𝒚 𝒓𝒓 = − 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 ∗ 𝒚𝒚 Para el campo 2 consideramos esfera de masa negativa: 𝒈𝒈𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑮𝑮 𝟑𝟑 ∗ �𝒙𝒙− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝑹𝑹� 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑮𝑮∗�𝒙𝒙− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝑹𝑹� 𝟑𝟑 𝒈𝒈𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑮𝑮 𝟑𝟑 ∗ 𝒚𝒚 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑮𝑮∗𝒚𝒚 𝟑𝟑 El campo resultante será: 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝒈𝒈𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒈𝒈𝟐𝟐𝟐𝟐 = − 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 ∗ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹� = − 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑹𝑹 𝟑𝟑 𝒈𝒈𝒚𝒚 = 𝒈𝒈𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒈𝒈𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Por tanto, el valor del campo gravitatorio es constante dentro de la cavidad y su valor es 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝑹𝑹 𝟑𝟑 . Está dirigido en el sentido negativo del eje de las x. 83. Se taladra un túnel liso y recto a través de un planeta esférico cuya densidad de masa es 𝝆𝝆𝒐𝒐 es constante. El túnel pasa por el centro del planeta y es perpendicular al eje de rotación del mismo, que está fijo en el espacio. El planeta gira con una velocidad angular 𝝎𝝎 determinada, de modo que los objetos dentro del túnel no tienen aceleración relativa a éste. Hallar 𝝎𝝎. Para los objetos dentro del túnel: 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ; 𝝎𝝎 = � 𝒈𝒈 𝒓𝒓 Para el campo gravitatorio dentro de la esfera: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟑𝟑∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 Substituyendo: 𝝎𝝎 = � 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 𝒓𝒓 = � 𝑮𝑮∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝝆𝝆𝒐𝒐 𝟑𝟑 84. La densidad de una esfera viene dada por 𝝆𝝆(𝒓𝒓) = 𝑪𝑪/𝒓𝒓. La esfera tiene un radio de 5 m y una masa de 1011 kg. a) Determinar la constante C. b) Obtener las expresiones del campo gravitatorio para (1) r>5 m y (2) r<5 m. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑴𝑴 = ∫ � 𝑪𝑪 𝒓𝒓 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅� 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ �𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝑪𝑪 = 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) En el exterior de la esfera: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; dirigido hacia el centro de la esfera. En el interior de la esfera: Masa interior para un valor de r:
- 25. 𝒎𝒎 = ∫∫ � 𝑪𝑪 𝒓𝒓 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅� 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ �𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝒓𝒓 𝟎𝟎 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑪𝑪∗�𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 , dirigida al centro. 85. En la esfera del problema 84 se taladra un agujero hacia el centro de la misma a una profundidad de 2 m por debajo de la superficie de la esfera. Desde la superficie se deja caer en el agujero una pequeña masa. Determinar la velocidad de esta masa al chocar contra el fondo del agujero. Aplicando la conservación de la energía: 𝑬𝑬𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝑬𝑬𝒑𝒑𝒑𝒑 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗 = � −𝟐𝟐∗∆𝑬𝑬𝒑𝒑 𝒎𝒎 Como g es constante e nel interior (𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌): ∆𝑬𝑬𝑷𝑷 = − ∫ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝟎𝟎 = −𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟐𝟐 𝒗𝒗 = � 𝟒𝟒∗𝒈𝒈∗𝒎𝒎 𝒎𝒎 = �𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 86. La superficie sólida de la Tierra tiene una densidad de 3000 kg/m3 aproximadamente y un espesor de 40 km. Centrado a 2000 m por debajo de dicha superficie se encuentra un depósito esférico de metales pesados con una densidad de 8000 kg/m3 y un radio de 1000 m. Encontrar el cociente ∆𝒈𝒈/𝒈𝒈 directamente por encima de este depósito, siendo ∆𝒈𝒈 el aumento del campo gravitatorio debido al depósito. ∆𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ ∆𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑∗∆𝝆𝝆 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∆𝒈𝒈 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑∗∆𝝆𝝆 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 87. Dentro de una esfera de plomo de radio R se han taladrado dos huecos esféricos idénticos de radio R/2. Ambos son tangentes a la superficie de la esfera y pasan por su centro como se ve en la figura. Antes de formar los huecos la masa de la esfera de plomo era M. a) Hallar la fuerza de atracción que la esfera de plomo ejerce sobre una esferita de masa m situada en la posición que indica la figura. b) ¿Cuál es la fuerza de atracción si m se sitúa justo en la superficie de la esfera de plomo? a) Consideraremos la fuerza formada por tres partes, la fuerza de una esfera compacta de masa M, la fuerza de cada una de las cavidades de masa -M’.
- 26. Esfera compacta: 𝑴𝑴 =𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 𝑭𝑭𝒄𝒄 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑∗𝝆𝝆∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 ;𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 (−𝒊𝒊 ⃗). La fuerza de cada uno de los huecos: 𝑴𝑴′ = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑹𝑹 𝟐𝟐 � 𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 = 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆 𝑭𝑭𝒉𝒉 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗𝝆𝝆∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 En sentido vectorial las componentes y se anulan por simetría, la fuerza resultante tendrá únicamente componente x dirigido hacia el sentido de las x positivas: 𝑭𝑭𝒉𝒉𝒉𝒉 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗𝒎𝒎∗𝝆𝝆 𝒅𝒅𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅 �𝒅𝒅𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗𝒎𝒎∗𝝆𝝆∗𝒅𝒅 (𝒅𝒅𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 ) 𝟑𝟑/𝟐𝟐 La fuerza resultante: 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑭𝑭 � �⃗𝒄𝒄 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 � �⃗𝒉𝒉𝒉𝒉 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒎𝒎 ∗ �− 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅 𝟑𝟑∗(𝒅𝒅𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 ) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 ⃗ b) En caso de d=R: 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒎𝒎 ∗ �− 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹 𝟑𝟑∗(𝑹𝑹𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒 ) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 ⃗ 𝑭𝑭 � �⃗ = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒎𝒎 ∗ �− 𝟒𝟒 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑∗�𝟏𝟏+ 𝟏𝟏 𝟒𝟒 � 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 ⃗ = −𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ Problemas generales 88. Si Ec es la energía cinética de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra y U la energía potencial del sistema Tierra-Luna. ¿Cuál es la relación entre Ec y U? 𝑭𝑭𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒅𝒅 −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒅𝒅 = − 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;− 𝑼𝑼 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝒄𝒄 89. Una mujer, cuyo peso en la Tierra es de 500 N, se traslada a una altura de dos radios terrestres por encima de la superficie de la Tierra. Su peso: a) Disminuirá a la mitad de su valor original. b) Disminuirá a un cuarto de su valor original. c) Disminuirá a un tercio de su valor original. d) Disminuirá a un noveno de su valor original. El radio pasa de R a 3R, el valor del peso disminuirá a la novena parte. Respuesta d. 90. La distancia media de Plutón al Sol es de 39,5 UA. Determinar el periodo de Plutón. Por la tercera ley de Kepler: 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ; 𝑪𝑪 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟑𝟑 (𝟏𝟏 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐)𝟐𝟐 (𝟏𝟏 𝑼𝑼𝑼𝑼)𝟑𝟑 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟑𝟑 ;𝑻𝑻 = �𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐
- 27. 91. El semiejemayor de Ganímedes, satélite descubierto por Galileo, es 1,07 106 km y su periodo 7,155 días. Determinar la masa de Júpiter. 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 𝑴𝑴 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑻𝑻𝟐𝟐∗𝑮𝑮 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗)𝟑𝟑 (𝟕𝟕,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 92. Calcular la masa de la Tierra a partir de los valores de G, g y RT. 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ; 𝑴𝑴 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 = 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖∗�𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟐𝟐 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 93. Urano posee una luna, Umbriel, que describe una órbita de 2,67 108 m de radio medio y cuyo periodo es de 3,58 105 s. a) Calcular el periodo de otra de las lunas de Urano, Oberón, sabiendo que el radio medio de su órbita es de 5,86 108 m. b) Utilizar el valor ya conocido de G para calcular la masa de Urano. a) 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ; 𝑪𝑪 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟑𝟑 (𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓)𝟐𝟐 (𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟑𝟑 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 (𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝑻𝑻 = � (𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓)𝟐𝟐∗(𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 (𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒔𝒔 b) 𝑴𝑴 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑻𝑻𝟐𝟐∗𝑮𝑮 Para el primer satélite: 𝑴𝑴 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 (𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓)𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 94. Joe y Sally saben que existe un punto entre la Tierra y la Luna en el cual se equilibran los efectos gravitatorios de ambos astros. Pertenecientes a un futuro espacial inician un viaje Tierra-Luna y deciden concebir un niño libre de la esclavitud de la gravedad. ¿A qué distancia del centro de la Tierra deben intentar concebir a Cero-g, el primer bebé de gravedad cero? 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒕𝒕∗𝒎𝒎 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒍𝒍∗𝒎𝒎 (𝒅𝒅𝒕𝒕−𝒍𝒍−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒕𝒕 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝑴𝑴𝒍𝒍 (𝒅𝒅𝒕𝒕−𝒍𝒍−𝒙𝒙)𝟐𝟐 Usando: 𝑴𝑴𝒕𝒕 𝑴𝑴𝒍𝒍 = 𝟖𝟖𝟖𝟖;𝒅𝒅𝒕𝒕−𝒍𝒍 = 𝟑𝟑. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒎 La solución correcta es 3.46 *108 m. 95. La fuerza ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa m a la distancia r del centro del planeta tiene la magnitud 𝑮𝑮𝑴𝑴𝑻𝑻𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 . a) Calcular el trabajo que debe realizarse contra la gravedad para desplazar la partícula de una distancia r1 a otra r2. b) Demostrar que cuando r1=RT y r2=RT+h, el resultado puede escribirse en la forma 𝑾𝑾 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 + 𝒉𝒉 � c) Demostrar que cuando h<<RT, el trabajo viene dado aproximadamente por W=mgh
- 28. a) 𝑾𝑾 =−∆𝑼𝑼 = − ∫ 𝑭𝑭𝒈𝒈 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 ∗ ∫ 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 � 𝑾𝑾 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � = 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � b) 𝑾𝑾 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 � = 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 � c) 𝑾𝑾 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗ � 𝒉𝒉 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐+𝑹𝑹𝑻𝑻∗𝒉𝒉 � = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒉𝒉 𝑹𝑹𝑻𝑻 � ~𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 96. Suponer que la fuerza de atracción gravitatoria dependiese no de 1/r2 , sino que fuese proporcional a la distancia entre las dos masas, como la fuerza de un muelle. En un sistema planetario como el solar, ¿Cuál sería entonces la relación entre el periodo de un planeta y su radio orbital?, suponiendo que todas las órbitas fueran circulares? 𝑲𝑲 ∗ 𝒓𝒓 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 El periodo será independiente del radio. 97. Una esfera uniforme de 100 m de radio y densidad 2000 kg/m3 está en el espació libre lejos de cualquier otro cuerpo de gran masa. a) Hallar el campo gravitatorio en el exterior de la esfera en función de r. b) Hallar el campo gravitatorio dentro de la esfera en función de r. a) En el exterior: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑∗𝝆𝝆 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒓𝟐𝟐 b) En el interior: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟑𝟑∗𝝆𝝆 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟓𝟓, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 ∗ 𝒓𝒓 98. Dos planetas esféricos tienen densidades idénticas. El planeta P1 tiene un radio R1 y el planeta P2 un radio R2. Si la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta P1 es g1, ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta P2? 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑹𝑹𝟏𝟏∗𝑴𝑴𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑 = 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮∗𝑹𝑹𝟏𝟏∗𝑴𝑴𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈𝟐𝟐 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝒈𝒈𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 99. Júpiter tiene una masa 320 mayor que la Tierra y un volumen 1320 veces superior al de la Tierra. Un “día” de Júpiter tiene una duración de 9h 50 min. Determinar la altura h de Júpiter para que un satélite en órbita de este planeta tuviese un periodo igual a 9 h 50 min. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒉𝒉 ;𝑻𝑻𝑱𝑱 = 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒉𝒉 𝑽𝑽𝑱𝑱 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑽𝑽𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑱𝑱 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝑹𝑹𝑱𝑱 = √𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 𝑻𝑻𝑱𝑱 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝒋𝒋 ∗ 𝒓𝒓𝒋𝒋 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒋𝒋 = �𝑻𝑻𝑱𝑱 𝟐𝟐 ∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝒋𝒋 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟑𝟑 ; 𝒉𝒉 = �𝑻𝑻𝑱𝑱 𝟐𝟐 ∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝒋𝒋 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝑱𝑱
- 29. 𝒉𝒉 = �(𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟑𝟑 −√𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝟔𝟔. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒉𝒉 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎 100. La densidad media de la Luna es 𝝆𝝆 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑 . Determinar el periodo posible mínimo T de un vehículo espacial en órbita alrededor de la Luna. 𝑻𝑻𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝒍𝒍 ∗ 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 El periodo aumenta con la distancia al centro de la Luna. El periodo mínimo lo tendremos con r=RL. 𝑻𝑻𝑳𝑳 = � 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟑𝟑∗𝝆𝝆 = � 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝑮𝑮∗𝝆𝝆 = � 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 101. Un satélite gira alrededor de la Luna (radio 1700 km), próximo a la superficie con una velocidad v. Desde la Luna se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con la misma velocidad inicial v. ¿Qué altura máxima alcanzará? 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 ;𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 Para el lanzamiento: −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 � = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹+𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝒉𝒉 ; 𝑹𝑹 + 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹; 𝒉𝒉 = 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 102. Dos colonias espaciales de igual masa están en órbita alrededor de una estrella(figura). Los Yangs en m1 se mueven en una órbita circular de radio 1011 m y periodo 2 años. Los Yings en m2 se mueven en una órbita elíptica cuya distancia más próxima a la estrella es r1=1011 m y la más alejada es r2=1,8 1011 m. a) Utilizando el hecho de que el radio de una órbita elíptica es la longitud del semieje mayor, determinar la duración del año Ying. b) ¿Cuál es la masa de la estrella? c) ¿Cuál de las dos colonias se mueve más rápidamente en el punto P de la figura? d) ¿Qué colonia tiene la mayor energía total? e) ¿Cómo es en comparación la velocidad de los Yins en el punto P respecto a la del punto A?
- 30. a) 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑬𝑬 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑬𝑬= 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑬𝑬 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐 = 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐 ∗𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 ; 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 ∗ � 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝟐𝟐 ∗ �� 𝟏𝟏.𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 � 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒.𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐 b) 𝑴𝑴𝑬𝑬 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗(𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑬𝑬 = 𝟏𝟏, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 c) La velocidad en un punto viene determinada por la tercera ley de Newton: 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 ;𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 Por tanto, la velocidad del objeto dependerá del radio, si el radio es el mismo la velocidad también. d) Si las dos tienen la misma velocidad en el punto A y la misma posición, tendrán la misma energía. e) En el punto P aumenta la energía potencial respecto del punto A, para que se conserve la energía total deberá disminuir la energía cinética respecto a la del punto P. 103. En un sistema de estrellas binarias, dos estrellas orbitan alrededor de su centro común de masas. Si las estrellas tienen masas m1 y m2 y están separadas por una distancia r, demostrar que el periodo de rotación está relacionado con r según la expresión 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗ (𝒎𝒎𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐) ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 Consideramos r la distancia de separación entre las dos estrellas, r1 y r2 la distancia de rotación de cada una de ellas alrededor de su centro de masas (r=r1+r2). 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒘𝒘𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝒘𝒘𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟐𝟐 Para el centro de masas en el origen de coordenadas: 𝟎𝟎 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 − 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐; 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 Usando 𝒓𝒓 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ (𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝟐𝟐) = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒓𝒓 𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒓𝒓 𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑮𝑮∗(𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏) 104. Dos partículas de masa m1 y m2 se dejan libremente desde el reposo separadas una distancia infinita. Determinar sus velocidades v1 y v2 cuando su distancia de separación es r. Por conservación de la energía:
- 31. 𝟎𝟎 = −𝑮𝑮∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 Por otra parte, por conservación de la cantidad de movimiento: 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 Despejando una de las velocidades: 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 Substituyendo en la conservación de la energía: 𝟎𝟎 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ � 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏� 𝟐𝟐 Despejando la velocidad 1 : 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓∗�𝟏𝟏+ 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 � = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒓𝒓∗(𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏) Haciendo igual para la velocidad de 2, obtenemos: 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓∗(𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏) 105. Como muestra la figura se perfora un pozo de pequeño diámetro desde la superficie de la Tierra hasta su centro. Despreciamos la rotación de la Tierra y la resistencia del aire. a) ¿Cuánto trabajo se necesitaría para trasladar un objeto pequeño de masa m desde la superficie de la Tierra hasta su superficie? b) Si se dejase caer el objeto por la abertura del agujero en la superficie terrestre, ¿con qué velocidad llegaría al centro? c) ¿Cuál es la velocidad de escape de una partícula de masa m proyectada desde el centro de la Tierra? Expresar las respuestas en función de m, g y RT. a) Como la fuerza que hacemos es contraria a la gravitatoria (−𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 ): 𝑾𝑾 = − ∫ 𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟎𝟎 = ∫ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟎𝟎 M es la masa determinada por una esfera de radio r interior a la Tierra. Suponiendo densidad constante: 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 = 𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟑𝟑 ; 𝑴𝑴 = 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑾𝑾 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 ∫ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟎𝟎 b) Por conservación de la energía: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 𝒗𝒗 = �𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 = √𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟕𝟕. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) La energía dada ha de llevar el cuerpo a la superficie y después hasta una distancia infinita, compensando la energía potencial en la superficie: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 + 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 + 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻
- 32. 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗𝒗𝒗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 + 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝒗𝒗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = �𝟑𝟑 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 = √𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 106. Una corteza esférica gruesa de masa M y densidad uniforme tiene un radio interior R1 y el radio exterior R2. Hallar el campo gravitatorio gn en función de r para todos los posibles valores de r. Esquematizar un gráfico de g en función de r. Consideramos las tres regiones: 𝒓𝒓 < 𝑹𝑹𝟏𝟏: 𝒈𝒈 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹𝟐𝟐 > 𝒓𝒓 > 𝑹𝑹𝟏𝟏: 𝒈𝒈(𝒓𝒓) = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 Para la densidad constante tenemos: 𝝆𝝆 = 𝑴𝑴 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗(𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) = 𝒎𝒎 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗(𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) ; 𝒎𝒎 = 𝑴𝑴 ∗ (𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑 ) (𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) 𝒈𝒈(𝒓𝒓) = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗ �𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� �𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗ �𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝒓𝒓𝟐𝟐∗�𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝒓𝒓 > 𝑹𝑹𝟐𝟐: 𝒈𝒈(𝒓𝒓) = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 107. a) Dibujar una gráfica que nos dé un campo gravitatorio gx en función de x debido a un anillo uniforme de masa M y de radio R cuyo eje sea el eje x. b) ¿En qué puntos es máximo el valor de gx?
- 33. a) Determinamos elcampo en un punto x: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 ∗𝒙𝒙∗𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒙𝒙 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹∗(𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 ∗ 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �(𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ) − 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐� = 𝟎𝟎 (𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ) − 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎;𝒙𝒙 = 𝑹𝑹 ±√𝟐𝟐 108. En este problema se ha de averiguar la energía potencial gravitatoria de la varilla
- 34. Y de unamasa puntual mo que esté sobre el eje x en xo. a) Demostrar que la energía potencial gravitatoria de un elemento de la varilla dm y mo viene dada por 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝑮𝑮𝒎𝒎𝒐𝒐𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙𝒐𝒐 − 𝒙𝒙 = − 𝑮𝑮𝑮𝑮𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑳𝑳(𝒙𝒙𝒐𝒐 − 𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 En donde U=0 para xo=∞. b) Integrar el resultado de la parte (a) en toda la longitud de la varilla para hallar la energía potencial total del sistema. Escribir el resultado como una función general U(x) haciendo que xo sea igual a un punto genérico x. c) Calcular la fuerza ejercida sobre mo en un punto x a partir de 𝑭𝑭𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝒅𝒅/𝒅𝒅𝒅𝒅, y comparar el resultado con mog, en donde g es el campo en xo. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝀𝝀 = 𝑴𝑴 𝑳𝑳 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 ;𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 ∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳∗(𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙) b) 𝑼𝑼(𝒙𝒙𝒐𝒐) = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙) 𝑳𝑳 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑳𝑳 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝒙𝒙𝒐𝒐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � − 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙𝒐𝒐 + 𝑳𝑳 𝟐𝟐 )� Haciendo xo=x: 𝑼𝑼(𝒙𝒙) = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑳𝑳 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒙𝒙− 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � c) 𝑭𝑭𝒙𝒙(𝒙𝒙) = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑳𝑳 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙− 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � Operando: 𝑭𝑭𝒙𝒙(𝒙𝒙) = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝒐𝒐 𝒙𝒙𝟐𝟐− 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒 Calculamos g: 𝒈𝒈𝒙𝒙(𝒙𝒙𝒐𝒐) = − ∫ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳∗(𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝒐𝒐−𝒙𝒙 � − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟐𝟐 = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝟐𝟐− 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒 Si hacemos xo=x: 𝒈𝒈𝒙𝒙(𝒙𝒙) = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑿𝑿𝟐𝟐− 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒 109. Una esfera uniforme de masa M está localizada cerca de una varilla delgada y uniforme de masa m y longitud L, como se indica en la figura. Hallar la fuerza gravitatoria de atracción ejercida por la esfera sobre la varilla (Véase problema 72). Consideramos la fuerza que hace la esfera sobre una dm a una distancia x de su centro:
- 35. 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑮𝑮∗ 𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙𝟐𝟐 El elemento dm lo expresamos en función de la densidad: 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑳𝑳∗𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 La fuerza sobre la varilla: 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒂𝒂+𝑳𝑳 𝒂𝒂 = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � 𝒂𝒂 𝒂𝒂+𝑳𝑳 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒂𝒂∗(𝒂𝒂+𝑳𝑳) 110. Una varilla uniforme de masa M=20 kg y longitud L=5 m se dobla en forma de semicircunferencia. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria ejercida por la varilla sobre una masa puntual m=0,1 kg situada en el centro del arco? Usando 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝜽𝜽 = 𝑴𝑴 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅𝜽𝜽 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝜽𝜽 𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ∫ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜽𝜽 ∗ 𝒅𝒅𝜽𝜽 𝝅𝝅 𝟐𝟐 − 𝝅𝝅 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ �𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅 𝟐𝟐 � − 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �− 𝝅𝝅 𝟐𝟐 �� = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 Usando 𝑳𝑳 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ;𝑹𝑹 = 𝑳𝑳/𝝅𝝅 𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝑳𝑳𝟐𝟐 Usando los valores del enunciado: 𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎,𝟏𝟏∗𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 111. Las mareas se producen como consecuencia de las fuerzas gravitatorias ejercidas por el Sol y la Luna sobre los océanos de la Tierra. a) Demostrar que el cociente entre la fuerza ejercida por el Sol y la ejercida por la Luna es 𝑴𝑴𝒔𝒔𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑳𝑳𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟐𝟐 � , en donde MS y ML son las masas del Sol y la Luna y rS y rL son las distancias de la Tierra al Sol y a la Luna. Evaluar este cociente. b) A pesar de que el Sol ejerce una fuerza mucho mayor sobre el Océano que la ejercida por la Luna. Ésta produce un efecto mucho mayor sobre las mareas porque el hecho importante es la diferencia de fuerzas entre un lado y oro de la Tierra. Diferenciar la expresión 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮𝒎𝒎𝟏𝟏𝒎𝒎𝟐𝟐/𝒓𝒓𝟐𝟐 para calcular la variación de F que se produce para una pequeña variación de r. Demostrar que 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑭𝑭 = (−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)/𝒓𝒓.
- 36. c) La variaciónmás grande de la distancia desde el Sol o la Luna a un océano en un día completo (que se produce como consecuencia de la rotación) es el diámetro terrestre. Demostrar que para una pequeña variación de la distancia, la variación de la fuerza ejercida por el Sol está relacionada con la variación de la fuerza ejercida por la Luna por 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑳𝑳𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 Y calcular esta relación. a) 𝑭𝑭𝑺𝑺 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝑺𝑺 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟐𝟐 Usando los valores de masas y distancias: 𝑭𝑭𝑺𝑺 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑∗(𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟐𝟐 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟑𝟑 = −𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭/𝒓𝒓 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑭𝑭 = − 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 c) Considerando 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝚫𝚫𝑭𝑭 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝚫𝚫𝒓𝒓 𝚫𝚫𝑭𝑭 𝑭𝑭 = − 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓 Para el Sol: 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 = 𝟐𝟐∗𝑭𝑭𝒔𝒔 𝒓𝒓𝒔𝒔 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒔𝒔 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 Con la Luna: 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑳𝑳 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑳𝑳 Considerando 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑳𝑳 ~𝟏𝟏 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑∗(𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒