El movimiento en_una_dimension__tipler

EL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
Magnitud de la velocidad, desplazamiento y velocidad vectorial.
1. ¿Cuál es la velocidad media aproximada de os coches de carrera en el circuito de
Indianápolis 500?
En una vuelta Δ r =0 , por tanto 𝒗 𝒎��⃗ =
∆𝒓�⃗
∆𝒕
= 𝟎
2. ¿Tiene sentido la siguiente afirmación?”la velocidad media del coche a las 9 de la
mañana fue 60 km/h”
No, la velocidad media es siempre entre dos momentos de tiempo.
3. ¿Es posible que la velocidad media de un objeto sea cero durante algún intervalo de
aunque su velocidad media en la primera mitad del intervalo no sea cero? Razonar la
respuesta.
Si, el único requisito es que ∆𝒓�⃗ = 𝟎.
4. El diagrama de la figura representa la trayectoria de un objeto que se mueve en línea
recta. ¿En qué punto está el objeto más lejos de su punto de partida?
a) A b) B c) C d) D e) E
B
5. A) Un electrón de un tubo de televisión recorre los 16 cm de la rejilla a la pantalla con
una velocidad media de 4 107
m/s. ¿Qué tiempo transcurre en ese trayecto?
b) Un electrón en un conductor por el que circula una corriente se mueve con una
velocidad media de 4 10-5
m/s. ¿Qué tiempo tarda en recorrer 16 cm?
a) ∆𝒕 =
∆𝒙
𝒗 𝒎
=
𝟎,𝟏𝟔𝒎
𝟒 𝟏𝟎 𝟕 𝒎/𝒔
= 𝟒 𝟏𝟎−𝟗
𝒔
b) ∆𝒕 =
∆𝒙
𝒗 𝒎
=
𝟎,𝟏𝟔𝒎
𝟒 𝟏𝟎−𝟓 𝒎/𝒔
= 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝒔
6. Un atleta corre 2,5 km en 9 min y luego tarda 30 min en volver andando al punto de
partida.
a) ¿Cuál es la velocidad media durante los primeros 9 minutos?
b) ¿Cuál es la velocidad media durante el tiempo que camina?
c) ¿Cuál es la velocidad media a lo largo de todo el recorrido?
d) ¿Cuál es el valor del módulo de la velocidad media para todo el recorrido?
a) 𝒗 𝒎��⃗ =
∆𝒙��⃗
∆𝒕
=
𝟐𝟓𝟎𝟎 𝒎
𝟗∗𝟔𝟎 𝒔
= 𝟒, 𝟔 𝒎/𝒔
Posición

b) 𝒗 𝒎��⃗ =
∆𝒙��⃗
∆𝒕
=
−𝟐𝟓𝟎𝟎 𝒎
𝟑𝟎∗𝟔𝟎 𝒔
= −𝟏, 𝟒 𝒎/𝒔
c) Si consideramos ida y vuelta : Δ x=0 m ; por tanto vm= 0 m/s
d) Si consideramos el espacio total recorrido son 5000 m, el tiempo total será 39 min=
2340 s.
𝒗 𝒎 =
𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟐𝟑𝟒𝟎 𝒔
= 𝟐, 𝟏 𝒎/𝒔
7. Un coche viaja en línea recta con velocidad media de 80 km/h durante 2,5 h y luego con
velocidad media de 40 km/h durante 1,5 h.
a) ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 4 h?
b) ¿Cuál es la velocidad media del viaje completo?
a) ∆𝒙 𝟏 = 𝟖𝟎
𝒌𝒎
𝒉
∗ 𝟐, 𝟓 𝒉 = 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒎
∆𝒙 𝟐 = 𝟒𝟎
𝒌𝒎
𝒉
∗ 𝟏, 𝟓 𝒉 = 𝟔𝟎 𝒌𝒎
𝜟𝒙 𝒕 = 𝟐𝟔𝟎 𝒌𝒎
b) 𝒗 𝒎 =
𝟐𝟔𝟎 𝒌𝒎
𝟒 𝒉
= 𝟔𝟓 𝒌𝒎/𝒉
8. Una ruta aérea muy concurrida a través del Océano Atlántico tiene una longitud
aproximada de 5500 km.
a) ¿Cuánto tiempo tarda un reactor supersónico que vuela a 2,4 veces la velocidad del
sonido en recorrer esta ruta? Utilizar el valor de 340 m/s como velocidad del sonido.
b) ¿Cuánto tardaría un avión subsónico en realizar el mismo viaje volando a 0,9 la
velocidad del sonido?
c) Suponiendo que se utilizan 2 h al final del viaje para el transporte por tierra,
controles y manipulación del equipaje. ¿Cuál es la velocidad media “puerta a puerta”
cuando se viaja en el avión supersónico?
d) ¿Cuál es la velocidad media en el avión subsónico?
a) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒎
𝟑𝟒𝟎
𝒎
𝒔
∗
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟏 𝒉
𝟏 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
= 𝟒, 𝟓 𝒉
b) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒎
𝟎,𝟗∗
𝟑𝟒𝟎𝒎
𝒔
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟏 𝒉
𝟏 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
= 𝟓 𝒉
c) 𝒗 𝒎 =
𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒎
𝟔,𝟓 𝒉
= 𝟖𝟒𝟔, 𝟐
𝒌𝒎
𝒉
; 𝟖𝟒𝟔, 𝟐 𝒌𝒎/𝒉
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
=235 m/s
d) 𝒗 𝒎 =
𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒎
𝟕 𝒉
= 𝟕𝟖𝟓, 𝟕
𝒌𝒎
𝒉
; 𝟕𝟖𝟓, 𝟕 𝒌𝒎/𝒉
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
=218 m/s
9. Una persona conduce un coche por una carretera desierta durante la noche cuando un
platillo volante pasa sobre su cabeza, causando desperfectos en su velocímetro, en su
reloj de pulsera y en su memoria reciente. Al recuperar su sentido no puede recordar
dónde está , a dónde va y a qué velocidad está viajando. Una pasajera a su lado duerme
y no se despierta durante el incidente. El pulso del conductor late aceleradamente, pero
el de ella es uniforme con 55 pulsaciones por minuto.
a) Determinar la velocidad del vehículo sabiendo que entre dos marcadores de
distancia en millas sucesivas a lo largo de la carretera han transcurrido 45
pulsaciones.
b) Si desea viajar a 120 km/h, ¿Cuántas pulsaciones tendría que latir entre dos
marcadores sucesivos de millas?
a)
𝟏 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂
𝟒𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝟏,𝟔 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎
𝟏𝒌𝒎
𝟓𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕
𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐
𝟔𝟎 𝒔
= 𝟑𝟐, 𝟔
𝒎
𝒔
;

𝟑𝟐, 𝟔𝒎/𝒔
𝟏 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟏 𝒉
=117,3 km/h
b) 𝟏 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂
𝟏,𝟔 𝒌𝒎
𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂
𝟏𝟐𝟎 𝒌𝒎
𝟔𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐
𝟓𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐
= 𝟒𝟒 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
10. La luz se propaga con una velocidad de c=3 108
m/s.
a) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en ir del Sol a la Tierra a través de una distancia de
1,5 1011
m?
b) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en recorrer la distancia Luna-Tierra que es 3,84 108
m?
c) Un año luz es una unidad de distancia que equivale al camino recorrido por la luz
en 1 año. Determinar la distancia equivalente a 1 año luz en kilómetros y en
millas.
a) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟏,𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟏 𝒎
𝟑 𝟏𝟎 𝟖 𝒎/𝒔
=500 s
b) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟑,𝟖𝟒 𝟏𝟎 𝟖 𝒎
𝟑 𝟏𝟎 𝟖 𝒎/𝒔
= 𝟏, 𝟐𝟖 𝒔
c) ∆𝒙 = 𝒄 ∗ ∆𝒕 = 𝟑
𝟏𝟎 𝟖 𝒎
𝒔�𝟏 𝒂ñ𝒐
𝟑𝟔𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔
𝟏 𝒂ñ𝒐
𝟐𝟒 𝒉
𝟏 𝒅𝒊𝒂
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
�
= 𝟗, 𝟒𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟓
𝒎 = 𝟗, 𝟒𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟐
𝒌𝒎
𝟗, 𝟒𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟐
𝒌𝒎
𝟏, 𝟔𝒌𝒎
= 𝟓, 𝟗𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟐
𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔
11. La estrella más cercana, Próxima Centauro, está a 4,1 1015
km de distancia. Desde la
proximidad de esta estrella, Gregor manda una orden a la empresa Tony’s Pizza de
Hoboken, New Yersey, para lo cual utiliza una señal de comunicación lumínica. El
personal más rápido de Tony viaja a la velocidad de 10-4
c.
a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el envío del pedido de la pizza y su recepción?
b) Si las normas de distribución de Tony dicen que la tardanza máxima en servir la pizza
es de 1000 años y que si sobrepasa este plazo el servicio será gratuito, ¿tendrá
Gregor que pagar la pizza?
A) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟒,𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝒌𝒎
𝟑 𝟏𝟎 𝟖 𝒎/𝒔
𝟏 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
= 𝟏, 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒔 ; 𝟏, 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒔
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟏 𝒅𝒊𝒂
𝟐𝟒 𝒉
𝟏 𝒂ñ𝒐
𝟑𝟔𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔
=
𝟒𝟒𝟒 𝒂ñ𝒐𝒔
B) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟒,𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝒌𝒎
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏𝟎−𝟒 𝟑 𝟏𝟎 𝟖 𝒎/𝒔
= 𝟏, 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟒
𝒔 = 𝟒, 𝟒 𝟏𝟎 𝟔
𝒂ñ𝒐𝒔; no .
12. Un coche que ha de recorrer 100 km cubre los primeros 50 km a 40 km/h. ¿ a qué
velocidad debe recorrer los segundos 50 km para que la velocidad media de todo el
trayecto sea 50 km/h?
Tiempo total para hacer el trayecto:
∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒎
𝟓𝟎 𝒌𝒎/𝒉
= 𝟐 𝒉
Tiempo en hacer la primera parte:
∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟓𝟎 𝒌𝒎
𝟒𝟎 𝒌𝒎/𝒉
= 𝟏, 𝟐𝟓 𝒉
En la segunda parte ha de hacer 0,75 h.
𝒗 =
𝟓𝟎 𝒌𝒎
𝟎, 𝟕𝟓 𝒉
= 𝟔𝟔, 𝟕 𝒌𝒎/𝒉
13. El atleta A puede correr a 6 m/s. El corredor B puede correr un15 % más que A.
a) En una carrera de 100 m, ¿qué ventaja en metros sacará B sobre A?
b) ¿Y en segundos?

a) Tiempo de A :
∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟏𝟎𝟎 𝒎
𝟔 𝒎/𝒔
= 𝟏𝟔, 𝟕 𝒔
Velocidad de B : (6+0,15 *6)=6,9 m/s
Tiempo de B: ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟏𝟎𝟎 𝒎
𝟔,𝟗 𝒎/𝒔
= 𝟏𝟒, 𝟓 𝒔
Cuando B acaba, A se encuentra:
∆𝒙 = 𝒗 ∗ ∆𝒕 = 𝟔
𝒎
𝒔
∗ 𝟏𝟒, 𝟓 𝒔 = 𝟖𝟕 𝒎.
a) Sacará 13 m
b) En tiempo : 16,7-14,5 =2,2 s
14. La figura muestra la posición de una partícula en función del tiempo. Determinar la
velocidad media en los intervalos de tiempo a, b, c y d indicados en la figura.
Per a: 𝒗 𝒎 = 𝟎
𝒎
𝒔
Per b: 𝒗 𝒎 =
𝟒−𝟑
𝟕−𝟒
= 1 m/s
Per c: 𝒗 𝒎 =
−𝟐−𝟒
𝟏𝟎−𝟕
=-2 m/s
Per d: 𝒗 𝒎 =
𝟏+𝟐
𝟏𝟑−𝟏𝟎
=1 m/s
15. Se sabe que las galaxias se alejan de la Tierra a una velocidad proporcional a su distancia
a nuestro planeta: ley de Hubble. La velocidad de una galaxia a una distanciar es v=Hr,
siendo H la constante de Hubble, de valor 1,58 10-18
s-1
.Determine la velocidad de una
galaxia
a) Que dista 5 1022
m de la Tierra.
b) Otra que dista 2 1025
m de la Tierra.
c) Si cada una de estas galaxias viaja con velocidad constante, ¿Cuánto tiempo ha
transcurrido desde que ambas estuvieron localizadas en el mismo lugar que la
Tierra?
a) V= 1,58 10-18
s-1
*5 1022
m=7,9 10 4
m/s
b) V=1,58 10-18
s-1
*2 1025
m= 3,16 107
m/s
c) ∆ 𝒕 =
∆𝒙
𝒗
Para la primera: ∆ 𝒕 =
𝟓 𝟏𝟎 𝟐𝟐 𝒎
𝟕,𝟗 𝟏𝟎 𝟒 𝒎/𝒔
= 𝟔, 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟕
𝒔 = 𝟐, 𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒂ñ𝒐𝒔
Para la segunda: ∆ 𝒕 =
𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝟓 𝒎
𝟑,𝟏𝟔 𝟏𝟎 𝟕 𝒎/𝒔
= 𝟔, 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟕
𝒔 = 𝟐, 𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝒂ñ𝒐𝒔

16. Cupido lanza una flecha que incide sobre San Valentín produciendo los típicos sonidos de
arpa y gorjeos de pájaro, mientras San Valentín cae en un sueño de amor. Si Cupido oye
estos sonidos “de cuento” exactamente un segundo después de disparar su flecha y la
velocidad media de ésta fue de 40 m/s, ¿qué distancia les separa? Tomar 340 m/s para a
velocidad del sonido.
∆𝒕 𝟏 =
∆𝒙
𝟒𝟎 𝒎/𝒔
∆𝒕 𝟐 =
∆𝒙
𝟑𝟒𝟎 𝒎/𝒔
La suma de los tiempos es 1 s.
𝟏𝒔 =
∆𝒙
𝟒𝟎𝒎/𝒔
+
∆𝒙
𝟑𝟒𝟎 𝒎/𝒔
Δx=35,8 m
Velocidad instantánea
17. Si la velocidad instantánea no se modifica, ¿variarán las velocidades medias en
diferentes intervalos?
No, la velocidad media y la instantánea coincidirán en todo momento.
18. Si vm=0 para cierto intervalo de tiempo Δt, ¿ debe ser cero la velocidad instantánea en
algún punto de este intervalo? Razonar la respuesta mediante un esquema que presente
una curva de x en función de t con un Δx=0 en algún intervalo Δt.
Si vm=0, debe ser Δx=0.
Por tanto el cuerpo podría moverse inicialmente a la derecha y después volver a la
izquierda. Ha de existir un punto donde el cuerpo cambia de sentido de movimiento y
por tanto en él v=0.
19. Un objeto se mueve a lo largo del eje x como indica la figura. ¿En qué punto o puntos la
magnitud de la velocidad pasa por un mínimo?
a) A y E
b) B, D y E

c) Solo C
d) Solo E
e) Ninguna de estas respuestas es correcta
B, D y E, pendiente curva nula.
20. En cada uno de los cuatro gráficos de x en función de t indicar:
a) Si la velocidad vectorial en el instante t2 es mayor, menor o igual que la velocidad en
t1.
b) Indicar si la velocidad escalar en el tiempo t2 es mayor, menor o igual que la
velocidad escalar en el tiempo t1.
a) Vectorial : t1 >t2 , escalar : t1>t2
b) Igual les dos
c) Vectorial:t2 >t1 ( son negatives); escalar : t1>t2
d) Vectorial:t1<t2 (t2 negativa); escalar: t2>t1
21. A partir del gráfico x en función de t de la figura,
a) Determinar la velocidad media entre los tiempos t=0 y t=2s.
b) Determinar la velocidad instantánea en el tiempos t =2 s, midiendo la pendiente en
la línea tangente indicada.

a) 𝒗 𝒎 =
𝟐−𝟎
𝟐−𝟎
= 𝟏 𝒎/𝒔
b) 𝒗( 𝟐 𝒔) = 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 ( 𝒕 = 𝟐 𝒔) =
𝟐−𝟎
𝟐−𝟏
= 𝟐 𝒎/𝒔
22. A partir del gráfico x en función de t determinar:
a) La velocidad media en los intervalos de tiempo Δt =t2 -075 s, donde t2 es 1,75,
1,5 , 1,25 y 1,0.
b) ¿Cuál es la velocidad instantánea en el instante t=0,75s?
c) ¿Aproximadamente en qué tiempo la velocidad instantánea es cero?
a) V1=
𝟔−𝟒
𝟏,𝟕𝟓−𝟎,𝟕𝟓
= 𝟐 𝒎/𝒔
V2=
𝟔−𝟒
𝟏,𝟓−𝟎,𝟕𝟓
= 𝟐, 𝟕 𝒎/𝒔
V3=
𝟓,𝟓−𝟒
𝟏,𝟐𝟓−𝟎,𝟕𝟓
= 𝟑 𝒎/𝒔
V4=
𝟓−𝟒
𝟏−𝟎,𝟕𝟓
=4 m/s
b) V= pendiente curva= 4 m/s aproximadamente
c) Pendiente nula: 1,5 s
23. La posición de una partícula determinada depende del tiempo según la expresión
x=(1m/s2
)t2
- (5m/s) t + 1 m.
a) Determinar el desplazamiento en y la velocidad media en el intervalo 3s≤ 𝒕 ≤4s.
b) Determinar una fórmula general para la velocidad Instantánea en el intervalo de
tiempo de t a t+Δt.
c) Utilizar el proceso al límite para obtener la velocidad instantánea para cualquier
tiempo.
a) X(3s)=32
-5*3+1=-5m
X(4 s)=42
-5*4+1=-3 m

∆𝒙 = 𝟐 𝒎
𝒗 𝒎 =
−𝟑 + 𝟓
𝟏
= 𝟐𝒎/𝒔
b) 𝒗 = 𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎
((𝒕+∆𝒕) 𝟐−𝟓 (𝒕+∆𝒕)+𝟏)−(𝒕 𝟐−𝟓𝒕+𝟏)
∆𝒕
= 𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎
∆𝒕 𝟐+𝟐∆𝒕 𝒕−𝟓∆𝒕
∆𝒕
c) 𝒗 = 𝟐𝒕 − 𝟓 , S.I.
24. La altura de cierto proyectil está relacionada con el tiempo por la expresión
y=-5(t-5)2
+125
en donde y se mide en metros y t en segundos.
a) Representar y en función de t para 0s≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟎s
b) Determinar la velocidad media para cada uno de los intervalos de tiempo de 1 s
comprendidos entre 0s≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟎s . Representar vm en función de t.
c) Determinar la velocidad instantánea en función del tiempo.
t x
0 0
1 45
2 80
3 105
4 120
5 125
6 120
7 105
8 80
9 45
10 0
a)
b)
T(s) Vm(m/s)
0 y 1 s 45
1 Y 2 s 35
2 y 3 s 25
3 y 4 s 15
4 y 5 s 5
5 y 6 s -5
6 y 7 s -15
7 y 8 s -25
0
20
40
60
80
100
120
140
0 2 4 6 8 10 12

8 y 9 s -35
9 y 10 s -45
c)
d) V=-10 (t-5)
25. La posición de un cuerpo que oscila sobre un muelle viene dada por 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕, en
donde A y w son constantes de valores A = 5 cm y w=0,175 s-1
.
a) Representar x en función de t para 0 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑𝟔 𝒔 .
b) Medir la pendiente del gráfico eb t = 0 para determinar la velocidad en ese instante.
c) Calcular la velocidad media para una serie de intervalos que comienzan en t = 0 y
terminan en t = 6 ,3 ,2, 1 , 0,5 y 0,25 s.
d) Calcular dx/dt y determinar la velocidad en el instante t = 0.
a)
X - cm
b) V=Aw cos wt = 0,875 cos(0,175 t) ( en cm/s)
v(0)= 0,875 cm/s
c) Vm(0 y 6) = 0,72 cm/s
Vm(0 y 3 ) =0,83 cm/s
Vm(0 y 2) =0,855 cm/s
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 2 4 6 8 10 12
vm
vm
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25 30 35 40

Vm (0 y 1)= 0,87 cm/s
Vm (0 y 0,5) = 0,874 cm/s
Vm ( 0 y 0,25)=0,87 cm/s
d) V=Aw cos wt = 0,875 cos(0,175 t) ( en cm/s)
v(0)= 0,875 cm/s
Velocidad relativa
26. Para evitar una caida demasiado rápida durante un aterrizaje , un avión debe mantener
una velocidad mínima respecto al aire. Sin embargo, canto más lenta es la velocidad
respecto al suelo durante elaterrizaje, más seguro es éste- ¿Qué es más seguro para el
avión, aterrizar a favor del viento o contra el viento?
Si aterriza en contra del viento su velocidad respecto del suelo será menor.
27. Dos coches circulan a lo largo de una carretera recta. El coche A mantiene una velocidad
constante de 80 km/h; el coche B mantiene una velocidad constante de 110 km/h. En t=
0, el coche B está a 45 km detrás del coche A. ¿A qué distancia medida desde el punto en
que t =0 el coche adelantará al coche B?
Coche A : 𝒙 𝑨 = 𝟒𝟓 + 𝟖𝟎 𝒕
Coche B : 𝒙 𝑩 = 𝟏𝟏𝟎 𝒕
Trobada: 𝟒𝟓 + 𝟖𝟎 𝒕 = 𝟏𝟏𝟎 𝒕 ; t= 1,5 h
Distáncia recorrida por A: xA= 165 km ; Distancia recorrida por B: xB : 120 km
28. Un coche que marcha con una velocidad constante de 20 m/s pasa por un cruce en el
instante t= 0 y 5 segundos después pasa por el mismo cruce un segundo coche que viaja
enel mismo sentido pero a 30 m/s.
a) Hacer un gráfico de las funciones de posición de los dos coches.
b) Hallar cuándo el segundo coche adelanta al primero.
c) ¿Cuánto han recorrido ambos coches al ocurrir el adelanto.
a) Representem:
𝒙 𝟏 = 𝟐𝟎 𝒕
𝒙 𝟐 = 𝟑𝟎 (𝒕 − 𝟓)

b) 20t =30*(t-5)
t=15 s
c) X1(15)=x2(15)=300 m
29. Margaret tiene el combustible justo para llegar con su lancha al puerto de deportivo;
éste es un viaje de 4 h en contra de la corriente. La llegar, resulta que el puerto está
cerrado y pasa las siguientes 8 h flotando a favor de la corriente hasta llegar a su tienda
de campaña. El viaje completo es pues de 12 h. ¿Cuánto tiempo hubiera invertido si
hubiese encontrado combustible en el puerto?
Primera part ir y volver sin gasolina:
X(anada)=(vL-vc) *4
X (tornada, flotando)=vc *8
Las dos distancias són iguales:
(vL-vc) *4= vc *8
Por tanto: vL =3 vc
Si hubiera encontrado gasolina:
X( anada)= (vL-vc) *4
X(tornada) =(vL+vc) ttornada
Las dos distancias son iguales:
(vL-vc) *4 =(vL+vc) ttornada ; donde vL =3 vc
El tiempo de vuelta con gasolina será :
ttornada=2 h
El tiempo total de ir y volver seria : 4 + 2 = 6 horas
30. Joe y Sally siempre discuten cuando viajan. Un dia al llegar a la plataforma móvil del
aeropuerto apuestan sbre quien llegará antes al final de la plataforma. Aunque saltan
sobre la plataforma al mismo tiempo, Joe decide estar de pie y dejarse llevar, mientras
Sally opta por seguir andando . Sally al final llega en 1 min, mientras Joe tarda 2 min. Si
Sally hubiera andado con velocidad doble. ¿en cuánto tiempo hubiera hecho el
recorrido?
Joe: x=Vc*120
Sally; x=(Vc+Vs)+60
Por tanto : Vc*120=(Vc+Vs)+60
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 5 10 15 20 25 30 35
x1
x2

Vs= Vc
Si ahora Vs es el doble : VT=2Vc+vc=3 Vc
Para recorrer la distancia: x= 3 Vc *t
Si igualamos esta distància con la de Joe inicial:
Vc*120=3 Vc *t
Por tanto:
T= 40 s
Aceleración
31. Una persona anda a través de la habitación de tal modo que, después de haber iniciado
el movimiento su velocidad es negativa, pero su aceleración positiva.
a) ¿Cómo cosigue esto?
b) Hacer un gráfico de v en función de t correspondiente a este movimiento.
a) Consideramos en eje horizontal, el sentido negativo a la izquierda. Se mueve hacia la
izquierda , pero cada vez más lentamente.
b)
32. Dar un ejemplo de un movimiento para el cuasl, tanto la velocidad como la aceleración
sean negativas.
Eje horizontal, hacia izquierda negativo. El cuerpo va hacia la izquierda y cada vez más
deprisa.
33. ¿ Es posible que un cuerpo tenga velocidad cero y aceleració no nula?
Cualquier cuerpo que pasa de velocidad cero a movimento.
34. Verdadero o falso:
a) Si la aceleració es cero , la partícula no puede estar moviendose.
b) S la aceleración es cero, la curva x en función de t es una línea recta.
a) FALSO, m.r.u.
b) Verdadero, m.r.u.
35. Establecer si la aceleración es positiva, negativa o cero en el caso de cada una de las
funciones de posición de la figura:
-6
-4
-2
0
0 2 4 6
v

a) Cero. MRU
b) Positiva. La velocidad pasa de negativa a positiva,
c) Negativa. La velocidad pasa de positiva a negativa.
d) Cero. MRU
36. En cada uno de los gráficosm de la figura indicar:
a) En qué instantes la aceleración del móvil es positiva, negativa y cero.
b) En qué instantes es constante la aceleración .
c) En qué instantes es nula la velocidad instantánea.
Gráfico 1:
Entre 1 y 3 s , aceleración negativa.
Entre 3 y 6, aceleración positiva.
Entre 6 y 7,5 s, aceleración cero.
A partir de 7,5 s, aceleración negativa
La aceleración es constante durante los tres primeros segundos, entre los 3 y 6 s y a
partir de los 7,5 s.
La velocidad es nula a los 8,5 s aproximadamente.
Gràfica 2: ´
La aceleración es nula durante los dos primeros segundos, aquí tendra un valor
negativo, cambia la velocidad a negativa y vuelve a ser cero hasta los 6 s. Se produce

una aceleración la velocidad vuelva a ser positiva hasat los 8 s. Aquí tendremos una
nueva aceleración que hace que la velocidad vuelva aser negativa.
La velocidad es cero a los 2 s , 6 s y 8s.
Si la curva en los 2 s, 6 s 8 s es una parábola la aceleración será constante.
37. Un coche deportivo BMW M3 acelera con la tercera marcha de 48,3 km/h ( 30 mi/h) a
80,5 km/h ( 50 mi/h) en 37 s.
a) ¿Cuál es su aceleración media en m/s2
?
b) Si el coche continúa con esta aceleración otro segundo, ¿Cuál serà su velocidad?
a) 𝟒𝟖, 𝟑
𝒌𝒎
𝒉
𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
= 𝟏𝟑, 𝟒 𝒎/𝒔
𝟖𝟎, 𝟓
𝒌𝒎
𝒉
𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
= 𝟐𝟐, 𝟒 𝒎/𝒔
𝒂 =
𝜟𝒗
𝜟𝒕
=
( 𝟐𝟐, 𝟒 − 𝟏𝟑, 𝟒) 𝒎/𝒔
𝟑𝟕 𝒔
= 𝟎, 𝟐𝟒𝟑 𝒎/𝒔 𝟐
b) 𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂 ∆𝒕 = 𝟏𝟑, 𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟒𝟑 ∗ 𝟏 = 𝟏𝟑, 𝟔 𝒎/𝒔
38. En el instante t = 5 s, un objeto en x = 3 m se mueve a 5 m/s. Para t = 8 s, se encuentra
en x = 9 m y su velocidad es -1m/s. Determinar la aceleración media para este intervalo.
𝒂 =
𝜟𝒗
𝜟𝒕
=
(−𝟏 − 𝟓) 𝒎/𝒔
𝟑 𝒔
= −𝟐 𝒎/𝒔 𝟐
39. Una partícula se mueve con velocidad v = 8t -7, en donde v se expresa en metros por
segundo y t en segundos.
a) Determinar la aceleración media a intervalos de un segundo comenzando en t = 3 s y
t = 4 s.
b) Representar v en función de t. ¿Cuál es la aceleración instantantánea cualquier
momento?
a) En todo momento a=8 m/s2
b)
Siempre 8 m/s2
40. La posición de un objeto està relacionada con el tiempo por la expresión X=At2
-Bt+C , en
donde A= 8 m/s2
, B= 6 m/s y C= 4 m. Determinar la velocidad instantánea y la
aceleración como funciones del tiempo.
𝒗 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= ( 𝟏𝟔 𝒕 − 𝟔) 𝒎/𝒔
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝟏𝟔
𝒎
𝒔
Movimiento con aceleración constante
41. Dos hermanos gemelos idénticos de pie sobre un puente echan cada una de ellos una
piedra al agua del río. Lanzan las piedras exactamente a mismo tiempo y de igual forma,
-10
0
10
20
30
40
0 2 4 6

pero una de las piedras llega al agua antes que la otra. ¿Cómo ocurre esto si las piedras
poseen la misma sceleración?
La que tenga mas velocidad de salida llegara antes.
42. Una pelota se lanzaverticalmente hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad de la pelota en la
parte más alta de su recorrido?¿Cuál es la aceleración en ese punto?
En el punto mas alto la velocidad será cero. La aceleración siempre será – 9,8 m/s2
.
43. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba vuelva al suelo en T segundos . Su altura
máxima es H metros. Su velocidad media durante estos T segundos es :
a) H/T b) 0 c)H/2T d) 2 H/T
B
44. Para un objeto proyectado hacia arriba, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta
mientras está en el aire?
a) La aceleración se opone siempre a la velocidad.
b) La aceleración está dirigida siempre hacia abajo.
c) La aceleración tiene siempre la dirección del movimiento.
d) La aceleración es nula en el punto más alto de la trayectoria.
B i c.
45. Un objeto proyectado hacia arriba con velocidad inicial v alcanza una altura H. Otro
objeto projectado hacia arriba con velocidad 2 v alcanzará una altura:
a) 4H b) 3H c) 2 H d) H
Para el primer objeto:
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚
∆𝒚 𝟏 =
𝒗 𝟐
𝟏𝟗, 𝟔
Para el segundo objeto:
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚
∆𝒚 𝟐 =
𝟒 𝒗 𝟐
𝟏𝟗, 𝟔
La respuesta correcta es la a
46. Una pelota se lanza hacia arriba .Mientras está en el aire su aceleración es :
a) Decreciente b) constante c) cero d) creciente
B
47. En el instante t = 0, un objeto A se deja caer desde el tejado de una casa. En el mismo
instante, otro objeto B se deja caer desde una ventana 10 m por debaj del tejado.
Durante su descenso al suelo la distancia entre los dos objetos
a) Es proporcional a t
b) Proporcional a t2
c) Decrece
d) Permanece igual a 10 m constantemente
D
48. Un automóvil Porsche acelera uniformemente de 80, 5 km/h ( 50 mi/h) en el instante t
=0 hasta 113 km/h (70 mi/h) en t =9 s. ¿Eué gráfica representa mejor el movimiento del
coche?

C
49. Un objeto se deja caer desde el reposo. Si el tiempo durante el el cual cae se duplica, la
distancia de caida:
a) Se duplica
b) Se reduce a la mitad
c) Se multiplica por cuatro.
d) Se divide por cuatro
e) Permaneca la misma.
𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒂 𝒕 𝟐
𝒄
50. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial vo. Su velocidad a la mitad de
su altura máxima es
a) 0,5 vo b) 0,25 vo c) vo d) 0,707 vo d) no puede determinarse con esta información
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚
Para la altura máxima:
∆𝒚 =
𝒗 𝒐
𝟐
𝟏𝟗,𝟔
𝑨 𝒍𝒂 𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅: ∆𝒚 𝟏 =
𝒗 𝒐
𝟐
𝟏𝟗, 𝟔 ∗ 𝟐
=
𝒗 𝒐
𝟐
𝟑𝟗, 𝟐
La velocidad será :
𝒗 = � 𝒗 𝒐
𝟐 − 𝟏𝟗, 𝟔 ∗
𝒗 𝒐
𝟐
𝟑𝟗, 𝟐
= 𝒗 𝟎� 𝟏 −
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 𝒗 𝟎
𝑳𝒂 𝒂
51. Un coche se acelera desde el reposo con aceleración constante de 8 m/s2
.
a) ¿con qué rapidez marchara a los 10 segundos?
b) ¿Cuánto habrá recorrido en 10 s?
c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟎𝒔?
a) 𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂 ∆𝒕
V= 8 * t= 80 m/s
b) ∆𝒙 = 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
∆𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟖 ∗ 𝟏𝟎 𝟐
= 𝟒𝟎𝟎 𝒎
c) 𝒗 𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
=
𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎
= 𝟒𝟎 𝒎/𝒔
52. Un objeto con una velocidad inicial de 5 m/s posee una aceleración constante de 2 m/s2
.
Cuando su velocidad es de 15 m/s, ¿qué espacio ha recorrido?
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚

𝟏𝟓 𝟐
− 𝟓 𝟐
= 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ ∆𝒚
∆𝒚 =
𝟏𝟓 𝟐−𝟓 𝟐
𝟒
= 𝟓𝟎 𝒎
53. Un objeto con aceleración constante posee una velocidad v=10 m/s cuando se
encuentra en x = 6 m y v=15 m/s cuando se encuentra en x = 10 m. ¿Cuál es su
aceleración?
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝟏𝟓 𝟐
− 𝟏𝟎 𝟐
= 𝟐 𝒂 ( 𝟏𝟎 − 𝟔)
a=15,6 m/s2
54. Un objeto tiene una aceleración constante a=4 m/s2
.Su velocidad es 1 m/s cuando t = 0,
en cuyo instante está en x = 7 m. ¿Con qué velocidad se mueve cuando está en x = 8
m?¿Cuándo sucederá esto?
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝒗 𝟐
− 𝟏 𝟐
= 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ (𝟖 − 𝟕)
V= 9 m/s
𝒗 = 𝒗 𝟎 − 𝒂 ∆𝒕
𝟗 = 𝟏 + 𝟒 𝒕
𝒕 = 𝟐 𝒔
55. Un rifle dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad en la boca del
arma de 300 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, ¿Cuál es la altura máxima
alcanzada por la bala?
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= − 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚
𝟎 𝟐
− 𝟑𝟎𝟎 𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔 ∆𝒚
∆𝒚 = 𝟒𝟓𝟗𝟐 𝒎
56. La distancia mínima para una parada controladade cierto coche a 98 km/h es de 50 m en
un frenado equilibrado. Determinar la aceleración ( supuesta constante) y expresar la
respuesta como una fracción de la aceleración de la gravedad. ¿Cuánto tiempo tarda en
pararse?
𝟗𝟖
𝒌𝒎
𝒉
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
= 𝟐𝟕, 𝟐 𝒎/𝒔
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝟎 𝟐
− 𝟐𝟕, 𝟐 𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟓𝟎
𝒂 = 𝟕, 𝟒 𝒎/𝒔 𝟐
𝒂 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒈
𝒗 = 𝒗 𝟎 − 𝒂 ∆𝒕
𝟎 = 𝟐𝟕, 𝟐 − 𝟕, 𝟒 𝒕
𝒕 = 𝟑, 𝟕 𝒔
57. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s.
a) ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire?
b) ¿Cuál es la mayor altura alcanzado por la pelota?
c) ¿Cuándo está la pelota a 15 m por encima del suelo?
a) 𝒗 = 𝒗 𝟎 − 𝒂 ∆𝒕
−𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 − 𝟗, 𝟖 𝒕
𝒕 = 𝟒, 𝟎 𝒔
b) 𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚

𝟎 𝟐
− 𝟐𝟎 𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔 ∆𝒚
∆𝒚 = 𝟐𝟎, 𝟒 𝒎
c) 𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐∆𝒕 −
𝟏
𝟐
𝟗, 𝟖 ∆𝒕 𝟐
𝟏𝟓 = 𝟐𝟎 ∆𝒕 − 𝟒, 𝟗 ∆𝒕 𝟐
𝟒, 𝟗 𝒕 𝟐
− 𝟐𝟎 𝒕 + 𝟏𝟓 = 𝟎
𝒕 = 𝟎, 𝟗𝟗 𝒔 𝒐 𝟑, 𝟎𝟗 𝒔
58. Una partícula se mueve con aceleración constante de 3 m/s2
. En el instante t=4s, está en
x=100 m; en t = 6 s posee una velocidad v= 15 m/s. Determinar la posición en t = 6 s.
∆𝒙 = 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂∆𝒕
𝟏𝟎𝟎 = 𝒗 𝒐 𝟒 + 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟔
𝒗 𝟎 = 𝟏𝟗 𝒎/𝒔
∆𝒙 = 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
𝒙 = 𝟏𝟗 ∗ 𝟔 + 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟑𝟔 = 𝟏𝟔𝟖 𝒎/𝒔
59. Una bala con unva velocidad de 350 m/s choca contra un poste de telefono y penetra
una distanciade 12 cm antes de detenerse.
a) Estimar la aceleración media supuesta constante.
b) ¿Cuánto tiempo tarda la bala en detenerse?
a) 𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝟎 𝟐
− 𝟑𝟓𝟎 𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟎, 𝟏𝟐
𝒂 = −𝟓, 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓
𝒎/𝒔 𝟐
𝒃)
𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂∆𝒕
𝟎 = 𝟑𝟓𝟎 − 𝟓, 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓
𝒕
𝒕 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟔 𝒔
60. Un avión dispone de una pista de 70 m para aterrizar en un portaaviones. Si su
velocidad inicial es de 60 m/s,
a) ¿Cuál será la aceleración del avión durante el aterrizaje supuesta constante?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse?
a) 𝟎 𝟐
− 𝟔𝟎 𝟐
= 𝟐 𝒂 ∗ 𝟕𝟎
𝒂 = −𝟐𝟓, 𝟕 𝒎/𝒔 𝟐
b) 𝟎 = 𝟔𝟎 −25,7 t
𝒕 = 𝟐, 𝟑 𝒔
61. Un automóbil acelera desde el reposo a 2 m/s2
durante 20 s. La velocidad se mantiene
entonces constante durante 20 s, después de los cuales experimenta una aceleración de
-3 m/s2
hasta que se detiene. ¿Cuál es la distancia total recorrida?
∆𝒙 = 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
∆𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟐 ∗ 𝟐𝟎 𝟐
= 𝟒𝟎𝟎 𝒎
𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂∆𝒕
𝒗 = 𝟐 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟒𝟎
𝒎
𝒔
Ahora tendremos 20 s com m.r.u.
∆𝒙 = 𝒗 ∗ ∆𝒕 = 𝟒𝟎 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟖𝟎𝟎 𝒎

A continuación frenamos con a=-3m/s2
:
𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂∆𝒕
𝟎 = 𝟒𝟎 − 𝟑 ∗ 𝒕
𝒕 = 𝟏𝟑, 𝟑 𝒔
∆𝒙 = 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
∆𝒙 = 𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟑, 𝟑 −
𝟏
𝟐
𝟑 ∗ 𝟏𝟑, 𝟑 𝟐
= 𝟓𝟑𝟐 − 𝟐𝟔𝟓 = 𝟐𝟔𝟕 𝒎
La distància total será:
∆𝒙 𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 + 𝟖𝟎𝟎 + 𝟐𝟔𝟕 = 𝟏𝟒𝟔𝟕 𝒎
62. En el corrimiento de tierras de Blackhawk, en California, uma masa de rocas y barro cayó
460 m al desprenderse de una montaña y luego recorrió 8 km a través de una llanura
sobre una capa de aire comprimido. Suponiendo que esta masa cayó con la aceleracion
de la gravedad y después se deslizo horizontalmente con desaceleración constante,
a) ¿Cuánto tiempo tardó en caer los 460 m?
b) ¿Cuál era su velocidad al llegar al fondo?
c) ¿Cuánto tiempo tardó en deslizarse horizontalmente a lo largo de los 8 km?
a) 𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐∆𝒕 −
𝟏
𝟐
𝟗, 𝟖 ∆𝒕 𝟐
𝟎 = 𝟒𝟔𝟎 − 𝟒, 𝟗 𝒕 𝟐
𝒕 = 𝟗, 𝟕 𝒔
b) 𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖∆𝒕
𝒗 = −𝟗, 𝟖 ∗ 𝟗, 𝟕 = −𝟗𝟓 𝒎/𝒔
c) ∆𝒙 = 𝒗 𝒐∆𝒕
𝟖𝟎𝟎𝟎 = 𝟗𝟓 𝒕
𝒕 = 𝟖𝟒, 𝟐 𝒔
63. Una carga de ladrillos está siendo alzada medinte una grúa a la velocidad constante de 5
m/s, pero a 6 m del suelo se desprende un ladrillo.
a) Describir el movimiento del ladrillo desprendiendo haciendo un esquema de x(t).
b) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
d) ¿Cuál es su velocidad en el momento de chocar contra el suelo?
a) Ecuación : x=6+5 t-4,9 t2
.
b) 𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖∆𝒕
0=5-9,8t
𝒕 =
𝟓
𝟗, 𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟏𝒔
𝒚 = 𝟔 + 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟓𝟏 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟎, 𝟓𝟏 𝟐
= 𝟕, 𝟐𝟖 𝒎
0
2
4
6
8
0 0,5 1 1,5 2

c) 𝟎 = 𝟔 + 𝟓 ∗ 𝒕 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝒕 = 𝟏, 𝟕𝟑𝒔
d) 𝒗 = 𝟓 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟏, 𝟕𝟑
𝒗 = −𝟏𝟏, 𝟗 𝒎/𝒔
65.En un anuncio publicitario de su nuevo CD, Shakira, la reina de los saltos , se lanza desde
un avión sin paracaidas. Un montón de paja está preparado para amortiguar su caida . Si su
velocidad , justo antes del impacto, es de 120 km/h y la desaceleración màxima que puede
resistir es de 35 g, ¿qué altura debe tener el montón de paja para que ella sobreviva?
Suponer que la aceleración es constante mientras está en contacto conla paja.
a) 𝟏𝟐𝟎 𝒌𝒎/𝒉
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎
𝟏𝒌𝒎
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔
=33,3m/s
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝟎 − 𝟑𝟑, 𝟑 𝟐
= 𝟐 ∗ (−𝟑𝟓𝒈) ∗ ∆𝒚
∆𝒚 =1,6 m
66. Un tornillo se suelta del fondo exterior de un ascensor que se mueve hacia arriba a la
velocidad de 6 m/s. El tornillo alcanza el fondo del hueco del ascensor en 3 s.
a) ¿A qué altura estaba el ascensor cuando se desprendió el tornillo?
b) ¿qué velocidad tenía el tornillo al chocar contra el fondo del hueco del ascensor?
a) 𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐∆𝒕 −
𝟏
𝟐
𝟗, 𝟖 ∆𝒕 𝟐
𝟎 = 𝒚 𝟎 + 𝟔 ∗ 𝟑 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟑 𝟐
𝒚 𝒐 = 𝟐𝟔, 𝟏 𝒎
b) 𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖∆𝒕
𝒗 = 𝟔 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟑
𝒗 = −𝟐𝟑, 𝟒 𝒎/𝒔
67. Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la distancia que recorre durante su
último segundo en el aire.
𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐∆𝒕 −
𝟏
𝟐
𝟗, 𝟖 ∆𝒕 𝟐
𝑻𝒆𝒓𝒓𝒂:
𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝒕 = 𝟒, 𝟗𝟓 𝒔
1 segón abans:
𝒚 = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟑, 𝟗𝟓 , 𝟗𝟓 𝟐
= 𝟒𝟑, 𝟓 𝒎
Recorrido en el úlimo segon 43,5 m
68. Un objeto cae desde una altura H. Durante el segundo final de su caída recorre 38 m.
¿Cuánto vale H?
𝟎 = 𝑯 − 𝟒, 𝟗 ∗ (𝒕 + 𝟏) 𝟐
𝟑𝟖 = 𝑯 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
La resolución del sistema porta a t=3,38 s i H=93,98 m

69. Una piedra cae verticalmente desde un acantilado de 200 m de altura. Durante el último
medio segundo de su caida la piedra recorre una distancia de 45 m. Determinar la velocidad
incial de la piedra.
𝟎 = 𝟐𝟎𝟎 + 𝒗 𝒐( 𝒕 + 𝟎, 𝟓) − 𝟒, 𝟗( 𝒕 + 𝟎, 𝟓) 𝟐
𝟒𝟓 = 𝟐𝟎𝟎 + 𝒗 𝒐 𝒕 − 𝟒, 𝟗𝒕 𝟐
Aislando vo de la segunda y substuyendo en la primera:
𝒗 𝒐 =
−𝟏𝟓𝟓 + 𝟒, 𝟗𝒕 𝟐
𝒕
Obtenemos:
-2,45t2
+43,775 t-77,5=0
La resolución dará:
𝒕 = 𝟏𝟓, 𝟖𝟕 𝒔
Para la velocidad: 68m/s
70. Un objeto en caida libre desde una altura H recorre 0,4 H durante el primer segundo de
su descenso. Determinar la velocidad media del objeto durant su caida.
(H-0,4H)=H-4,9t2
H=12,25 m
En el suelo:
0=H-4,9t2
; 0=12,25--4,9t2
Tiempo de llegar al suelo: 2,5 s
La velocidad media:
𝒗 𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
=
𝟏𝟐, 𝟐𝟓
𝟐, 𝟓
= 𝟒, 𝟗 𝒎/𝒔
71. Un autobús acelera a 1,5 m/s2
desde el reposo en 12 s. A continuación se mueve a
velocidad constante durante 25 s, después de los cuales disminuye su velocidad con una
aceleración de -1,5 m/s2
.
a) ¿Qué distancia total recorrió el autobus?
b) ¿Cuál fue su velocidad media?
a) Primera part:
∆𝒙 𝟏 =
𝟏
𝟐
𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟐 𝟐
= 𝟏𝟎𝟖 𝒎
𝒗 𝟏 = 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟏𝟖
𝒎
𝒔
Segona part:
M.R.U .
∆𝒙 𝟐 = 𝟏𝟖 ∗ 𝟐𝟓 = 𝟒𝟓𝟎 𝒎
Tercera part:
Estará 12 s para pararse
∆𝒙 𝟑 = 𝟏𝟖𝒕 − 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟏, 𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
=108 m
Distancia total: 108+450+108=666m
b)𝒗 𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
=
𝟔𝟔𝟔
(𝟏𝟐+𝟐𝟓+𝟏𝟐)
= 𝟏𝟑, 𝟔 𝒔
72. Una pelota de baloncesto se deja caer desde una altura de 3 m y rebota en el suelo hasta
una alturade 2 m.
a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota justo antes de alcanzar el suelo?
b) ¿Cuál es su velocidad antes de dejar el suelo?
c) Estimar la magnitud de la aceleració media durante este intervalo.

a)
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝒗 𝟐
− 𝟎 𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔(−𝟑)
V=7,7 m/s ( signo negativo)
b)𝟎 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔 ∗ 𝟐
𝒗 𝟎 = 𝟔, 𝟑𝒎/𝒔
c) Caida:
𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖∆𝒕
-7,7=0-9,8 t
𝒕 = 𝟎, 𝟕𝟗 𝒔
Pujada:
𝟎 = 𝟔, 𝟑 − 𝟗, 𝟖 𝒕
𝒕 = 𝟎, 𝟔𝟒 𝒔
𝒕( 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍) = 𝟎, 𝟕𝟗 + 𝟎, 𝟔𝟒 = 𝟏, 𝟒𝟑 𝒔
𝒂 𝑴 =
∆𝒗
∆𝒕
=
𝟎 + 𝟕, 𝟕
𝟏, 𝟒𝟑
= 𝟓, 𝟑𝟖 𝒎/𝒔 𝟐
73. Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 20 m/s2
.Al cabo de
25 s el combustible se agota y el cohete continua como partícula libre hasta que alcanza el
suelo. Calcular:
a) El punto más alto alcanzado por el cohete.
b) el tiempo total que el cohete está en el aire.
c) la velocidad del cohete justo antes de chocar contra el suelo.
a) Primera parte de la subida:
𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
𝒚 =
𝟏
𝟐
𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟓 𝟐
= 𝟔𝟐𝟓𝟎 𝒎
𝒗 = 𝒗 𝒐 + 𝒂∆𝒕
𝒗 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎𝟎 𝒎/𝒔
Segunda parte de la subida:
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝟎 𝟐
− 𝟓𝟎𝟎 𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔 ∆𝒚
∆𝒚 = 𝟏𝟐𝟕𝟓𝟓 𝒎
Altura total:
𝒚( 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍) = 𝟔𝟐𝟓𝟎 + 𝟏𝟐𝟕𝟓𝟓 = 𝟏𝟗𝟎𝟎𝟓 𝒎

b)Tiempo en caida libre:
𝟎 = 𝟔𝟐𝟓𝟎 + 𝟓𝟎𝟎 𝒕 − 𝟒, 𝟗 𝒕 𝟐
𝒕 = 𝟏𝟏𝟑 𝒔
𝒕( 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 ) 𝟏𝟏𝟑 + 𝟐𝟓 = 𝟏𝟑𝟖 𝒔
c)𝒗 = 𝟓𝟎𝟎 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟑 = −𝟔𝟎𝟕, 𝟒 𝒎/𝒔
74. Una maceta cae desde una repisa de un edificio de apartamentos. Una persona de un
apartamento inferior que dispone de un cronómetro , observa que la maceta tarda 0,2 s en
pasar a través de su ventana que tiene 4 m de altura. ¿A qué altura sobre el borde superior
de la ventana está la repisa de la cual cayá la maceta?
El nivel inferior de la ventana será y=0.
En la parte superior de la ventana:
𝟒 = 𝒚 𝒐 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
En la parte inferior de la ventana:
𝟎 = 𝒚 𝒐 − 𝟒, 𝟗 ∗ (𝒕 + 𝟎, 𝟐) 𝟐
Resolviendo el sistema:
𝒕 = 𝟏, 𝟗𝟒 𝒔
𝒚 𝒐 = 𝟑𝟗, 𝟖 𝒎
75. Shakira llega tarde a su casa y la encuentra cerrada. Su compañero Chico està ensayando
una pieza de música tan ruidosamenteque no oye loes golpes a la pouerta de Shakira. Ésta
coloca un trampolín bajo la ventana de Chico y salta progresivamente más alto intentando
llamar la atención de Chico. En uno de estos saltos sobrepasa totalmente la ventana. Chico
ve su cara durante 0,2 s mientras ella recorre la distancia de 2,4 m que mide la ventana.
a) ¿Cuanto tarda en reaparecer?
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por encima de la parte superior de la ventana?(Tratar
a Shakira como una partícula puntual)
a) Colocamos la altura inicial 0 m en la parte inferior de la ventana. Buscamos la velocidad
inicial con la que pasa per la ventana:
𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐∆𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 ∆𝒕 𝟐
𝟐, 𝟒 = 𝒗 𝒐 ∗ 𝟎, 𝟐 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟎, 𝟐 𝟐
𝒗 𝟎 = 𝟏𝟐, 𝟗𝟖 𝒎/𝒔
Calculamos el tiempo transcurrido entre que pasa por la ventana y llega a la parte alte de su
salto:
𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖 𝒕
𝟎 = 𝟏𝟐, 𝟗𝟖 − 𝟗, 𝟖 𝒕
𝒕 = 𝟏, 𝟑𝟐 𝒔
El timepo que tarda en reaparecer será el tiempo total del salte menos el tiempo que está
pasando por delante de la ventana ( de subida y bajada): 0,4 s.
Por tanto: 2,64-0,4=2,24 s
b) Calculamos la altura total desde la parte inferior de la ventana:
c) 𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔 ∗ ∆𝒚
𝟎 𝟐
− 𝟏𝟐, 𝟗𝟖 𝟐
= −𝟏𝟗, 𝟔 ∆𝒚
∆𝒚 = 𝟖, 𝟔 𝒎
𝑺𝒊 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒏𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒓𝒖𝒂 𝒑𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂:

𝟖, 𝟔 − 𝟐, 𝟒 = 𝟔, 𝟐 𝒎
76. En una experiencia de cátedra un cuerpo se desliza a lo largo de una pista de aire
inclinada sin rozamiento con una aceleración constante a . Se ha proyectado desde el origen
de la pista (x=0)con una velocidad inicial v0. En el instante t = 8s se encuentra en x=100 cm y
se mueva a lo largo de la pista con velocidad v=-15 cm/s. Determinar la veloc idad inicial vo y
la aceleración a.
Consideramos la siguiente situación:
La aceleración será negativa al estgar dirigida hacia la parte inferior del plano.
𝒚 = 𝒚 𝒐 + 𝒗 𝒐 𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒂 𝒕 𝟐
𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖 𝒕
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝟎
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚
𝟎, 𝟏 = 𝒗 𝒐 ∗ 𝟖 − 𝟎, 𝟓 𝒂 ∗ 𝟖 𝟐
-0,15=vo -a *8
(−𝟎, 𝟏𝟓) 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟎, 𝟏
De la segona:
𝒗 𝒐 = 𝟖𝒂 − 𝟎, 𝟏𝟓
En la primera al substituir:
𝟎, 𝟏 = ( 𝟖𝒂 − 𝟎, 𝟏𝟓) ∗ 𝟖 − 𝟎, 𝟓 𝒂 ∗ 𝟖 𝟐
Resolviendo: a=0,04 m/s2
Substituimos en la segunda y obtenemos vo=0,17 m/s
77. Una piedra que cae de lo alto de un acantilado recorre un tercio de su distancia total al
suelo en el último segundo de su caída. ¿qué altura tiene el acantilado?
Al terra: 𝟎 = 𝒚 − 𝟒, 𝟗 𝒕 𝟐
En el momento de un tercio de la caida ( y=1/3y), con un tiempo de (t-1) s llegará al suelo en
1 s:
𝒚
𝟑
= 𝒚 − 𝟒, 𝟗 ∗ (𝒕 − 𝟏) 𝟐
Con las dos equaciones podemos encontrar y y t. Substituimos y en la segund, obtenemos:
𝟏, 𝟔𝟑𝒕 𝟐
− 𝟗, 𝟖𝒕 + 𝟒, 𝟗 = 𝟎
Por tanto:
𝒕 = 𝟓, 𝟒𝟔 𝒔 𝒚 𝒚 = 𝟏𝟒𝟔 𝒎
78. Un automóvil tiene una desaceleración máxima de unos 7 m/s2
; y el tiempo de reacción
típico para aplicar los frenos es de 0,50 s. Un cartel indica que la velocidad límite en una zona

escolar debe cumplir la condición de que todos los coches puedan detenerse en una
distancia de frenado de 4 m.
a) ¿Qué velocidad máxima puede alcanzar en esa zona un automóvil típico?
b)¿Qué fracción de los 4 m corresponde al tiempo de reacción?
a) Para el tiempo de reacción, MRU:
∆𝒙 𝟏 = 𝒗 ∗ 𝟎, 𝟓
Para la frenada:
𝟎 𝟐
− 𝒗 𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟕 ∗ ∆𝒙 𝟐
La suma en valor absoluto de los dos tramos ha de ser 4 m:
∆𝒙 𝟏 + ∆𝒙 𝟐 = 𝟒
𝒗 ∗ 𝟎, 𝟓 +
𝒗 𝟐
𝟏𝟒
= 𝟒
La resolución de la ecaución se segundo grado no dará:
𝒗 = 𝟒, 𝟕𝟔
𝒎
𝒔
b)En el momento de la parada:
𝟎 𝟐
− 𝒗 𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟕 ∗ ∆𝒙 𝟐
𝟎 𝟐
− 𝟒, 𝟕𝟔 𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟕 ∗ ∆𝒙 𝟐
∆𝒙 𝟐 = 𝟏, 𝟔𝟐 𝒎
La primera parte serán 4-1,62=2,38 m
La fracción del total es:
% =
𝟐, 𝟑𝟖
𝟒
𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟗𝟓
79. Dos trenes se acercan uno al otro sobre vías adjacentes. Inicialmente están en reposo
con una separación de 40 m. El tren de la izquierda acelera hacia la derecha a 1,4 m/s2
. El
tren de la derecha acelera hacia la izquierda a 2,2 m/s2
. ¿Qué distancia recorre el tren de la
izquierda antes de que se produzca el cruce de ambos?
Para el de la izquierda:
𝒙 = 𝟎, 𝟕𝒕 𝟐
Para el de la derecha:
𝒙 = 𝟒𝟎 − 𝟏, 𝟏𝒕 𝟐
En el punto de encuentro:
𝟎, 𝟕𝒕 𝟐
= 𝟒𝟎 − 𝟏, 𝟏𝒕 𝟐
La resolución de la ecuación de segundo grado nos da: t=4,71 s
Posición: x=15,6 m
80. Dos piedras se dejan caer desde el borde de un acantilado de 60 m. La segunda piedra se
deja caer 1,6 s después de la primera. ¿Qué distancia ha recorrido la segunda piedra cuando
la separación entre ambas es de 36 m?
Para la primera piedra:
𝒚 = 𝟔𝟎 − 𝟒, 𝟗𝒕 𝟐
Para la segunda piedra:
𝒚 = 𝟔𝟎 − 𝟒, 𝟗(𝒕 − 𝟏, 𝟔) 𝟐
La distància de separació será y2-y1:
𝟑𝟔 = −𝟏𝟐, 𝟓𝟔𝟒 + 𝟏𝟓, 𝟔𝟖 𝒕
Obtenemos paara t =3,1 s
La posición de y2 en este momento es: 𝒚 𝟐( 𝟑, 𝟏) = 𝟒𝟗 𝒎

La distància recorrida desde el punto de salida será : 60-49=11 m
81. Un policia motorista escondido en un cruce de calles observa que un coche no respeta la
señal de parada , cruza la intersección y continua a velocidad constante. El policia emprende
su persecución 2,0 s después de que el coche ha sobrepasado en rojo, acelera a 6,2 m/s2
y
alcanza una velocidad de 110 km/h; continua con esta velocidad hasta que alcanza el coche
infractor. En este instante, el coche se encuentra a 1,4 km del cruce. ¿Qué velocidad lleva el
coche?
Para el problema consideraramos dos partes del tiempo:
𝒕 𝟏 = 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝒕 𝟐 = 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Para la primera parte:
𝒙 𝟏 = 𝟑, 𝟏(𝒕 𝟏 − 𝟐) 𝟐
𝒗 𝟏 = 𝟔, 𝟐(𝒕 𝟏 − 𝟐) ; acaba esta partye con una velocidad de 110 km/h=30,55 m/s :
𝟑𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟔, 𝟐(𝒕 𝟏 − 𝟐) ; esta nos permite calcular el tiempo de aceleración: 𝒕 𝟏 = 𝟔, 𝟗𝟑 𝒔
La segunda parte del motorista , movimiento uniforme:
𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟏 + 𝟑𝟎, 𝟓𝟓 𝒕 𝟐
Para el coche infractor, movimiento uniforme:
𝒙 = 𝒗(𝒕 𝟏 + 𝒕 𝟐)
Se encuentran a los 1400 m del semáforo: 𝟏𝟒𝟎𝟎 = 𝒙 𝟐 = 𝟑, 𝟏(𝒕 𝟏 − 𝟐) 𝟐
+ 𝟑𝟎, 𝟓𝟓 𝒕 𝟐donde t1
es 6,93 s.
𝟏𝟒𝟎𝟎 = 𝟑, 𝟏(𝟔, 𝟗𝟑 − 𝟐) 𝟐
+ 𝟑𝟎, 𝟓𝟓 𝒕 𝟐
Obtenemos t2=43,4 s
Uilizamos ahora la ecuación del coche:
𝒙 = 𝒗(𝒕 𝟏 + 𝒕 𝟐)
𝟏𝟒𝟎𝟎 = 𝒗( 𝟔, 𝟗𝟑 + 𝟒𝟑, 𝟒)
Obtenemos la elocidad del coche: v=27,82m/s=100,1 km/h
82. En el instante t=0 se deja caer una piedra desde un acantilado sobre un lago; 1,6 s más
tarde , otra piedra se lanza hacia abajo desde el mismo punto con una velocidad inicial de 32
m/s. Ambas piedras chocan con el agua al mismo tiempo. Determinar la altura del
acantilado.
Para la primera piedra:
𝒚 = 𝒚 𝒐 − 𝟒, 𝟗 𝒕 𝟐
La segunda piedra:
𝒚 = 𝒚 𝒐 − 𝟑𝟐 (𝒕 − 𝟏, 𝟔) − 𝟒, 𝟗 (𝒕 − 𝟏, 𝟔) 𝟐
Se encuentran en el suelo ( y=0).
𝟎 = 𝒚 𝒐 − 𝟒, 𝟗 𝒕 𝟐
𝟎 = 𝒚 𝒐 − 𝟑𝟐 (𝒕 − 𝟏, 𝟔) − 𝟒, 𝟗 (𝒕 − 𝟏, 𝟔) 𝟐
Resolvemos el sistema: t=2,37 s y altura y=27,6 m.
83. Un tren de pasajeros circula a 29 m/s cuando el conductor ve delante de él un tren de
cercanias a 360 m de distancia por la misma vía en la misma dirección. El tren de cercanias
lleva una velocidad de 6 m/s. Si el tiempo de reacción del conductor es 0,4 s. ¿ Cuál debe ser
la desaceleración del tren de pasajeros para evitar la colisión ? Si su respuesta es la
desaceleraciónb máxima que puede realizar el tren de pasajeros , pero el tiempo de reacción

del conductor es de 0,8 s, ¿Cuál sería entonces la velocidad relativa de los dos trenes en el
instante de la colisión y que distancia habria recorrido el tren de pasajeros desde que el
conductor divisó el tren de mercancias hasta que se produjo el choque?
El origen de coordenada lo situamos en el momento inicial.
Para el tren de pasajeros tenemos durante los primeros 0,4 s que recorre: 29*0,4=11,6 m
Parea el tren de cercanias, recorre en los 0,4 s : 6*0,4=2,4 m .
En el momento de comenzar la frenada el tren de pasajeros se encunetera en el punto 11,6
del sistema de coordenada considerado conuna velocidad de 29 m/s.
El tren de pasajeros se encuentra en la posición 362,4 m del sistema de coordenadas con
movimiento uniforme:.
Ecuación del tren de pasajeros:
𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟔 + 𝟐𝟗𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕 𝟐
Ecución del tren de cercanias:
𝒙 = 𝟑𝟔𝟐, 𝟒 + 𝟔𝒕
Chocar quera decir que las dos posiciones coincidan:
𝟏𝟏, 𝟔 + 𝟐𝟗𝒕 − 𝟎, 𝟓 𝒂𝒕 𝟐
= 𝟑𝟔𝟐, 𝟒 + 𝟔𝒕
Si esta ecuac ión no tiene solución no chocarán. Para no tener solución el discrminante de la
ecuación de segundo grado ha de ser negativo.
𝟎, 𝟓𝒂𝒕 𝟐
− 𝟐𝟑𝒕 + 𝟑𝟓𝟎, 𝟖 = 𝟎
Discriminante:
∆= 𝟐𝟑 𝟐
− 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟓 ∗ 𝒂 ∗ 𝟑𝟓𝟎, 𝟖
Este vale cero para a=0,75 m/s2
y por tanto será negativa o nula para valores iguales o
superiores.
Para un tiempo de reacción de 0,8 s y una aceleración de 0,75 m/s2
la situación inicial será:
Tren de pasajeros: posición inicial, 29*0,8=23,2 m
Movimiento: 𝒙 = 𝟐𝟑, 𝟐 + 𝟐𝟗𝒕 − 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
Para el tren de cercanias: posición inicial, 360 + 6*0,8=364,8 m
Movimiento:
𝒙 = 𝟑𝟔𝟒, 𝟖 + 𝟔𝒕
Choque, las dos posiciones coinciden:
𝟐𝟑, 𝟐 + 𝟐𝟗𝒕 − 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
= 𝟑𝟔𝟒, 𝟖 + 𝟔𝒕
𝟎, 𝟑𝟕𝟓𝒕 𝟐
𝟐𝟑 𝒕 + 𝟑𝟒𝟏, 𝟖 = 𝟎
El tiempo del choque desde que inicia la frenada es : 25,28 s.
La velocidd el tren de pasajeros en el momento del choque cumplirá:
𝒗 = 𝟐𝟗 − 𝟎, 𝟕𝟓 𝒕
En el momento del choque:
𝒗( 𝟑𝟔, 𝟎𝟓) = 𝟐𝟗 − 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟐𝟓, 𝟐𝟖 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟒 𝒎/𝒔
La velocidad relativa será la diferència entre las dos velocidades: 10,04-6=4,04 m/s es la
velocidad con relativa con la que se aproxima el tren de pasajeros.
La posición en el momento del choque del tren de pasajeros :
𝒙 = 𝟐𝟑, 𝟐 + 𝟐𝟗 ∗ 𝟐𝟓, 𝟐𝟖 − 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟐𝟓, 𝟐𝟖 𝟐
=516 m

84. Después de abandonafr el campo y cansado de no encontrar trabajo en su ciudad, Lou
decide tomar el tren y marcharse a otro lugar en busca de empleo. Corriendo a su máxima
velocidad de 8 m/s por la estación de ferrocarril se encuantra a una distancia d de la
portezuela má próxima, el tren arranca con aceleración constante a= 1 m/s2
alejandose de
Lou.
a) Si d=30 m y Lou sigue corriendo , ¿llegará a tomar el tren?
b) Hacer un gràfico de la función x(t) del tren eligiendo x=0, cuando t=0. En el mismo gráfico
dibujar la funció x(t) para diversos valores de la distancia de separación inicial d, incluyendo
d=30 m y la distancia de separación crítica dc, el valor crítico para el cual alcanza justamente
el tren.
c) Para la separación crítica d= dc ¿Cuál es su velocidad media en este intervalo de tiempo
desde el instante t=0 hasta que alcanza el tren?¿cual es el valor de dc?
a)Movimiento de Lou, uniforme:
𝒙 = 𝟖 ∗ 𝒕
Movimiento del tren:
𝒙 = 𝒅 + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
; como d=30 m: 𝒙 = 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
Punto de encuentro, misma posición:
𝟖 ∗ 𝒕 = 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
; 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
− 𝟖 ∗ 𝒕 + 𝟑𝟎 = 𝟎
Resolución equación : t= 4,34 s , por tanto lo tomará. El punto de subida será:
𝑿 = 𝟖 ∗ 𝟒, 𝟑𝟒 = 𝟑𝟒, 𝟕𝟐 𝒎
b)Representamos la ecuación : 𝒙 = 𝒅 + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
para diferentes valores de d. a partir de
30.
El valor crítico corresponderà al caso en que la ecuación siguiente no tenga solución:
𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
− 𝟖 ∗ 𝒕 + 𝒅 𝒄 = 𝟎
Esto corresponderá al caso enque el discriminate sea negativo:
∆= 𝟔𝟒 − 𝒅 𝒄
or tanto la 𝒅 𝒄 es 64 m .
c)Para la distancia critca lo alcanzará en : 𝒙 = 𝟔𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
= 𝟖𝒕
𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
− 𝟖 ∗ 𝒕 + 𝟔𝟒 = 𝟎
𝒕 =
𝟖
𝟎, 𝟓
= 𝟏𝟔 𝒔
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15 20
xTren; d=30 m
xLou
xTren; d=40 m
xTren; d= 50 m
xTren, d= 60 m
xTren; d=64 m
xTren; d=70 m

El lugar : 8*16=128 m
La velocidad media del tren :
𝒗 𝒎 =
𝟏𝟐𝟖
𝟏𝟔
= 𝟖 𝒎/𝒔
85. Un tren parte del reposo de una estación con aceleración constante de 0,40 m/s2
. Un
pasajero llega al andén desde el que partio el tren 6,0 s después de que el extremo final del
mismo abandonara el punto en el que se encuentra el pasajero . Suponiendo que el pasajero
corra con velocidad constante, ¿Cuál será la velocidad mínima a la que debe correr para
alcanzar el tren? Dibujar las curvas correspondientes al movimiento del pasajero y el tren en
función del tiempo.
Pasajero, ecuación movimiento:
𝒙 = 𝒗 ∗ (𝒕 − 𝟔)
Tren, ecuación movimiento:
𝒙 = 𝟎, 𝟐 ∗ 𝒕 𝟐
Encuentro quiere decir misma posición:
𝒗 ∗ ( 𝒕 − 𝟔) = 𝟎, 𝟐 ∗ 𝒕 𝟐
𝟎, 𝟐 ∗ 𝒕 𝟐
− 𝒗 ∗ 𝒕 + 𝟔 ∗ 𝒗 = 𝟎
Para que a ecuación tenga solución el discriminante ha de ser mayor que 0.
∆= 𝒗 𝟐
− 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟐 ∗ 𝟔 = 𝒗 𝟐
− 𝟒, 𝟖
∆= 𝟎 ; 𝒗 = 𝟒, 𝟖 𝒎/𝒔
Para valores inferiores no lo cogera.
86. Lou solicita un trabajo como vendedor de perfumes . Trata de convencer al empresario
para que le deje aplicar un truco atrevido y agresivo para promocionar el producto: lanzar el
perfume sob re futuros clientes mientras esperan el autobús. Para ello una pelota dura se
lanzav erticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 24 m/s. A continuación se lanza
según la misma trajectoria , con una velocidad de 14 m/s, una esfera provista de una
cubierta muy fina llena del perfume que se desea promocionar.Las dos bolas chocan cuando
la que contiene el perfume se encuentra en el punto más alto de su trayectoria , con lo cual
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25
x-tren
x -pasajero

se rompe y las personas pueden recoger una mustra gratis. Si t =0 cuando se lanza la primera
bola, determinar en que instante debe lanzarse la esfera que contiene el perfume.
Primera bola, ecuación movimiento :
𝒚 = 𝟐𝟒 ∗ 𝒕 𝟏 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟏
𝟐
Velocidad:
𝒗 = 𝟐𝟒 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕
Segunda bola, ecuación de movimiento:
𝒚 = 𝟏𝟒 ∗ 𝒕 𝟐 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝟐
Segunda bola , velocidad:
𝒗 = 𝟏𝟒 − 𝟗, 𝟖 ( 𝒕 𝟐)
Para la segunda bola , punto más alto, v = 0, esto ocurrira en un tiempo después de ser
lanzada , dado por: 0=14-9,8 t ; t= 1,43 s ( después de ser lanzada).
La altura màxima de la bola se dará en y(1,43)=14*1,43-4,9*1,432
= 10 m .
Nos interesa saber en que momento la segunda bola tendrá una altura de 10 m de latura y
esté bajando.
Condicón 10 m :
𝟏𝟎 = 𝟐𝟒 ∗ 𝒕 𝟏 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟏
𝟐
𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟏
𝟐
− 𝟐𝟒 ∗ 𝒕 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎
La solución mayor corresponde a la bajada: 4,44 s.
Por tanto la diferéncia enre los dos tiempos nos marca el momento en que habremos de
lanzar la seguna bola: 4,44-1,43=3,01 s
87. Se deja caer una pelota A desde la parte superior de un edificio en el mismo instante en
que desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba una segunda pelota B. En el
momento en que las pelotas chocan , se encuentran desplazandose en sentidos opuestos y la
velocidad de la pelota A es el doble de la que lleva la pelota B. Determinar a qué altura del
edificio se produce el choque expresando este en forma de fracción.

Pelota A:
𝒚 = 𝑯 − 𝟒. 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕 ( valor absoluto)
Pelota B:
𝒚 = 𝒗 𝒐 ∗ 𝒕 − 𝟒. 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖 𝒕
Punto de encuentro yA=yB, nos da:
𝒉 = 𝒗 𝒐 ∗ 𝒕 𝒆 ; 𝒕 𝒆 =
𝒉
𝒗 𝒐
En este punto la velocidad de A es el doble que la de B:
𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕 𝒆 = 𝟐 ∗ (𝒗 𝒐 − 𝟗, 𝟖 𝒕 𝒆)
Substituimos por el valor de te:
𝟗, 𝟖 ∗
𝒉
𝒗 𝒐
= 𝟐 ∗ 𝒗 𝒐 − 𝟏𝟗, 𝟔 ∗
𝒉
𝒗 𝒐
𝟗, 𝟖 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒗 𝒐
𝟐
− 𝟏𝟗, 𝟔 ∗ 𝒉
Aislamos vo :
𝒗 𝒐 = �
𝟑
𝟐
∗ 𝒈 ∗ 𝒉=�𝟏𝟒, 𝟕 𝒉
Buscamos la relación entre el punto de salida (H) i el punto de encuentro (h):
Si designamos por x la distancia recorrida por la pilota A desde H hasta el punto de
encuentro: x=H-h. Su valor será :
𝒙 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒈 ∗ �
𝒉
𝒗 𝒐
�
𝟐
El valor de h serà, tal como hemos puesto:
Buscamos la relación h/x:
𝒉
𝒙
=
𝒉
𝟏
𝟐 ∗ 𝒈 ∗ �
𝒉
𝒗 𝒐
�
𝟐 =
𝟐 ∗ 𝒗 𝟎
𝟐
𝒈𝒉
Utilizamos el valor de vo: �
𝟑
𝟐
∗ 𝒈 ∗ 𝒉
𝒉
𝒙
=
𝟐 ∗
𝟑
𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉
𝒈𝒉
= 𝟑
88. Resolvar el problema 87 para el caso en que el choque se produzca cuando las pelotas se
mueven en el mismo sentido y la velocidad de A sea 4 veces mayor que la de B.

1. Calculamos la altura máxima de la pelota B:
𝒗 = 𝒗 𝒐 − 𝒈 ∗ 𝒕
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒚
En la altura màxima ,la segunda ecuación queda:
𝟎 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝒎𝒂𝒙𝑩
𝒉 𝒎𝒂𝒙𝑩 =
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐 𝒈
De la primera ecuación encontramos el tiempo correspondiente:
𝟎 = 𝒗 𝒐 − 𝒈 ∗ 𝒕 𝒎𝒂𝒙𝑩
𝒕 𝒎𝒂𝒙𝑩 =
𝒗 𝒐
𝒈
2. Para le punto de encuentro aplicamos:
𝒚 𝒂 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝟐
𝒚 𝑩 = 𝒗 𝒐 ∗ 𝒕 −
𝟏
𝟐
∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝟐
Para A,el tiempo de movimiento será el tiempo total del desplazamiento:
𝑯 − 𝒉 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒈 ∗ (𝒕 𝑨) 𝟐
𝒕 𝑨 = �
𝟐 ∗ (𝑯 − 𝒉)
𝒈
Para la pelota B tenomos como ecuación del movimiento:
𝒉 𝒎𝒂𝒙𝑩 − 𝒉 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝑩
𝟐
Teniendo en cuenta :
𝒉 𝒎𝒂𝒙𝑩 =
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐 𝒈
Despejamos tB:
𝒕 𝑩 = ��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
�

Ahora tenomos en cuenta que hemos empezado a contar el tiempo de B a partir de
su altura máxima y para A desde el inicio, por tanto:
𝒕 𝑨 = 𝒕 𝑩 + 𝒕 𝑩𝒎𝒂𝒙
Sustituimos les tres valores encontrados para las tres magnitudes:
�
𝟐 ∗ (𝑯 − 𝒉)
𝒈
= ��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� +
𝒗 𝒐
𝒈
Untilizamos la ecuación que relaciona las velocidades con las posiciones en el punto
de encuentro, las velocidades positivas para las dos pelotas:
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉
Para A:
𝒗 𝑨
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝑯 − 𝒉)
Para B, considerando punto inicial el punto más alto :
𝒗 𝑩
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ �
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐𝒈
− 𝒉�
Ahora tenemos en cuenta la expresión de las velocidades:
𝒗 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝒗 𝑩
Obtenemos:
( 𝑯 − 𝒉) = 𝟏𝟔 ∗ �
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐𝒈
− 𝒉�
Ahora substituimos esta expresión de (H-h) en la obtenida anteriormente:
�
𝟐 ∗ (𝑯 − 𝒉)
𝒈
= ��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� +
𝒗 𝒐
𝒈
�
𝟐 ∗ 𝟏𝟔 ∗ �
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐𝒈
− 𝒉�
𝒈
= ��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� +
𝒗 𝒐
𝒈
Podemos obtener el valor de h:
�𝟏𝟔 ∗ �
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� = ��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� +
𝒗 𝒐
𝒈
Simplificando:
𝟑 ∗ ��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� =
𝒗 𝒐
𝒈
��
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐
−
𝟐 ∗ 𝒉
𝒈
� =
𝒗 𝒐
𝟑 ∗ 𝒈
�
𝒗 𝒐
𝟐
𝒈 𝟐 −
𝟐∗𝒉
𝒈
� =
𝒗 𝒐
𝟐
𝟗∗𝒈
:
Obtenemos h:
𝒉 =
𝟒 ∗ 𝒗 𝒐
𝟐
𝟗 ∗ 𝒈
Ahora podemos obtener H de la expresión siguiente utilizando el valor de h:

( 𝑯 − 𝒉) = 𝟏𝟔 ∗ �
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐𝒈
− 𝒉�
�𝑯 −
𝟒 ∗ 𝒗 𝒐
𝟐
𝟗 ∗ 𝒈
� = 𝟏𝟔 ∗ �
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐𝒈
−
𝟒 ∗ 𝒗 𝒐
𝟐
𝟗 ∗ 𝒈
�
𝑯 =
𝟒 ∗ 𝒗 𝒐
𝟐
𝟑 ∗ 𝒈
Relación h/H:
𝒉
𝑯
= 𝟏/𝟑
89. Un misil Sprint, diseñado para destruir misiles balísticos enemigos, puede
acelerarse hasta 100 g. Si se detecta un misil ICBM a una altura de 100 km
descendiendo a una velocidad constante de 3 104
km/h y se lanza un misil Sprint con
la misión de interceptarle, ¿en qué instante y a que altura se producirá el choque? (
Nota: En este problema puede despreciarse la aceleración de la gravedad; ¿Por qué?
Para el misil ICBM, mru:
𝒚 = 𝟏𝟎 𝟓
− 𝟖𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕
Para el misil Sprint:
𝒚 = 𝟓𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝟐
Punto de encuentro:
𝟏𝟎 𝟓
− 𝟖𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕 = 𝟓𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝟐
Resolviendo segundo grado:
𝒕 = 𝟖, 𝟏𝟐𝟐 𝒔
𝒚 = 𝟑𝟐, 𝟑 𝒌𝒎
Si consideramos que el misil ICBM baja con la aceleración de la gravedad:
𝒚 = 𝟏𝟎 𝟓
− 𝟖𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕 − 𝟏/𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝟐
Para el punto de encuentro el resultado será:
𝒕 = 𝟖, 𝟏𝟎𝟐 𝒔
𝒚 = 𝟑𝟐, 𝟐 𝒌𝒎
90. Cuando un coche que se mueve con una velocidad v1 da la vuelta a una esquina ,
ve a otro que marcha con una velocidad menor v2 a una distancia d delante de él.
a) Si la máxima aceleración que sus frenos pueden proporcionar es a,
demostrar que la distancia d debe ser mayor que:
(
𝒗 𝟏−𝒗 𝟐) 𝟐
𝟐𝒂
)
si ha de evitarse el choque.
b)Calcular la distancia si v1=90 km/h, v2=45 km/h y a=6 m/s2
.
c)Estimar o medir el tiempo de reacción y calcular su influencia sobre la
distancia hallada en (b).
a) Para el coche 1:
𝒙 𝟏 = 𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 −
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝒕 𝟐

Para el coche B:
𝒙 𝟐 = 𝒅 + 𝒗 𝟐 ∗ 𝒕
Punto de encuentro:
𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐
𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 −
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝒕 𝟐
= 𝒅 + 𝒗 𝟐 ∗ 𝒕
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝒕 𝟐
+ ( 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏) + 𝒅 = 𝟎
La ecuaciòn tendrá solución si el discriminante es mayor que cero , y no la tendrà
en el caso de ser menor que cero. Elvalor límite pedido serà fijado por esta
condición.
( 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏) 𝟐
− 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅 = 𝟎
𝒅 =
( 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏) 𝟐
𝟐𝒂
Para valores mayores no habrá solución , y no chocaran.
b)Substituyeno valores d= 13 m.
c) Augmentará la distancia , dado que durane el teimpo de reacción se movera con
mru.
Supongamos un teiempo de reacción tr, el coche 1 tendra una primera parte de
mru, donde recorre un distància de:
𝒙 𝟏 = 𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 𝒓
En ese momento frenará:
𝒙 = 𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 𝒓 + 𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 −
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝒕 𝟐
Para el coche 2 la ecuación es la misma:
𝒙 𝟐 = 𝒅 + 𝒗 𝟐 ∗ 𝒕
En el punto de encuentro obtenos la ecuación:
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝒕 𝟐
+ ( 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏) + (𝒅− 𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 𝒓) = 𝟎
La distancia mínima será ahora:
𝒅 =
( 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏) 𝟐
𝟐𝒂
+ 𝒗 𝟏 ∗ 𝒕 𝒓
Integración
91. La velocidad de una partícula viene dada por v=6t+3, donde t se expresa en
segundos y v en metros por segundo.
a) Hacer un gráfico de v en función de t y hallar el área limitada por la curva en el
intervalo de t=0 s a t= 5 s.
b) Hallar la función de posición x(t). Utilizarla para calcular el desplazamiento
durante el intervalo de de t=0 s a t= 5 s.
a)

Área: 3*5+30*5/2= 90 m
b)v0= 3 m/s ; a=6 m/s2
.
∆ 𝒙 = 𝟑 ∗ 𝒕 + 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
𝜟𝒙( 𝟎 𝒊 𝟓 ) = 𝟑 ∗ 𝟓 + 𝟑 ∗ 𝟓 𝟐
= 𝟗𝟎 𝒎
92. La figura muestra la velocidad de unapartícula en función del tiempo.
a) ¿Cuál es el valor en metros del área del rectangulo señalado?
b) Hallar el recorrido de la partícula para los intervalos de 1 s que empiezan a partir de t=1 s i
t= 2 s.
c) ¿Cuál es la velocidad media para el intervalo 3 s ≥ t ≥ 1 s?
a) Àrea=1m/s*1s=1m
b) Entre 1 i 2 s :
Hemos de calcular el área comprendida entre la gràfica i lospuntos 1 s i 2 s.
Aproximadamente 1,5 cuadros: 1,5 m.
Entre 2 i 3 s :
Aproximadamente 1,75 cuadros : 1,75 m.
0
10
20
30
40
0 2 4 6
v
v

c) En 3 s la velocidad es aproximadamente 4,25 m/s i en 1 s aproximadamente
0,75:
𝒗 𝒎 =
𝟒, 𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟕𝟓
𝟑 − 𝟏
= 𝟏, 𝟕𝟓 𝒎/𝒔
93. La velocidad de una partícula en metros por segundo viene dada por v=7t2
-5, donde t se
expresa en segundos. Hallar la función de posición general x(t).
𝒙( 𝒕) =
𝟕
𝟑
𝒕 𝟑
− 𝟓 𝒕 + 𝑪
94. La ecuación de la curva que se muestra enla figura es v=0,5 t2
m/s. Hallar el
desplazamiento de la partícula durante el intervalo 3 s≥ t ≥ 1 s por integración y
compararlo con la solucióndel problema 92. ¿Es la velocidad media igual al valor medio de
las velocidades inicial y final en este caso?
𝒙 =
𝟏
𝟔
𝒕 𝟑
+ 𝑪
∆𝒙 =
𝟏
𝟔
�𝟑 𝟑
− 𝟏 𝟑� = 𝟒, 𝟓 𝒎
La discrepancia se debe a la inexactitud en el calcula de las fraccions de areas.
Velocidad final a los 3 s:
𝒗( 𝟑) = 𝟒, 𝟓 𝒎/𝒔
𝒗( 𝟏) = 𝟎, 𝟓 𝒎/𝒔
Valor medio de las velocidades: 2,5 m/s.
Velocidad media:
𝒗 𝒎 =
𝟒,𝟓 𝒎
𝟐 𝒔
=2,25 m/s.
No son iguales.
95. La figura muestra la aceleración de una partícula en función del tiempo.
a) ¿Cuál es el valor del área del rectángulo señalado?
b) La partícula parte del reposo a t=0. Hallar la velocidad en los tiempos t = 1, 2 y 3 s
contando los cuadrados bajo la curva.
c) Hacer un gráfico v (t) a partir de los resultados de la parte (b) y hallar un valor estimado
del camino recorrido por la partícula en el intervalo t= 0 a t= 3 s.

a) Área: 0,5*x0,5=0,25 m/s
b) Cuadrados entre 0 i 1 : Aproximadamente 4 cuadrados: 1 m/s .
Cuadrados entre 0 i 2 : Aproximadamente 10,5 : 2,7 m/s.
Cuadrados entre 0 i 3 : Aproximadamente 24: 6 m/s.
c)
Valor cuadro: 1 m/sx 0,5s =0,5 m.
Cuadros entre 0 i 3 s: Aproximadamante cuadros 8 : 4 m .
96. La figura muestra un gráfico v en función de t para una partícula que se mueve sobre una
recta. La posición de la misma en el instante t=0 es xo=5m.
a) Hallar x para varios tiempos t contando cuadrados y dibular x en función de t.
b) Hacer un dibujo aproximado de la aceleración en función de t.
a) Valor de un cuadro: 2m/s x 1 s = 2 m .
En t = 1 s: Cuadros aproximados 1,25 , posición 2*1,25+ 5= 7,5 m
En t= 2 s : Cuadros aproximados 3,75, posición 2*3,75+ 5 = 12,5 m
En t = 3 s : Cuadros aproximados 6, 75, posición: 2*6,75+5 = 18,5 m
En t = 4 s: Cuadros aproximadamente 9,5, posición 2*9,5+ 5= 24 m
En t = 5 s: Cuadros aproximados 10, 25 , posición 2*10,25+5= 25,5 m
En t = 6 s: Cuadros aproximados 10,25 -0,25= 10 , posición 10*2+5 = 25 m
En t = 7 s : Cuadros aproximados 10-1,5 = 8,5 , posición 8,5*2+5 = 22 m
En t = 8 s : Cuadros aproximados 8,5 – 2,75 = 5,75 ,posición 5,75*2+5= 16,5 m
En t = 9 2 : Cuadros aproximados 5,75 -2,75= 3, posición 3*2+5= 11 m
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5
a(m/s2)

c)
t(s) v(m/s) a(m/s2
) Comentari
1 4 4 Suponemos
recta
2 6 1 Es valor
medio
Entre 1 i 2
3 6 0
4 6 0
5 2,75 -3,25 Es valor
medio
Entre 4 i 5
6 -1 - 3,75 Es valor
medio
Entre 5 i 6
7 -5 -4 Es valor
medio
Entre 6 i 7
8 -5,5 -0,5 Es valor
medio
Entre 7 i 8
9 -5 0,5 Es valor
medio
Entre 8 i 9
Para los valores instantáneos se tendria que calcular la pendiente de la recta
tangente a la curva en cada punto.
97. La figura muestra un gráfico de x en función de t para un cuerpo que se mueve en línea
recta.Dibujar gráficos aproximados de v en función de t y a en función de t para este
movimiento.
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5
a(m/s2)
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 2 4 6 8 10

La velocidad será inicialmente positiva, se hará cero en el punto x max , a partir de aquí será
negativa, se hará cero en el punto de x min negativo, volverá a crecer a partir de este punto
repitiendose el ciclo.
La aceleración será negativa en el punto inicial conforme la partícula pierde velocidad irá se
hará cero enel punto donde la velocidad canvia ed sentido.
Por la forma de las gráficas poriamos de c ir que la función de la posición podria ser del tipo:
X(t) = A sen(a *t)
La velocidad será de la forma:
V(t)= A*a cos ( a*t)
La aceleración :
A(t)= -A*a2
sen(a*t)
98. Verdadero o falso:
a) La ecuación ∆𝒙 = 𝒗 𝒐 𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕 𝟐
es válida para todo movimineto de partículas en una
dimnesión.
b) Si la velocidad en un instante determinado es cero, la aceleración en dicho instante debe
tambien ser cero.
c) La ecuación ∆𝒙 = 𝒗 𝒎 ∆𝒕 es válida para todo movimiento en una dimensión.
a) Falsa, es válida únicamente para un m.r.u.a.
b) Falsa, si fuera así el objeto seguiria siempore en reposo. Si ha de moverse después de este
momento ha de tener aceleración.
c) Correcta, siempre que multiplicmos la velocidad media entre dos instantes de tiempo por
el tiempo transcurrido obtendremos el desplazamiento del objeto.
99. Si un objeto se mueve con aceleración constante sobre una línea recta, su velocidad
instantánea a la mitad de la distáncia recorrida en cualquier intervalo de tiempo es
a) mayor que su velocidad media.
b) menor que su velocidad media.

c) igual que su velocidad media.
d) la mitad de su velocidad media.
e) dos veces su velocidad media.
Para un movimiento uniformemente acelerado la velodidad es proporcional al tiempo, por
tanto:
𝒗 𝒎 =
𝒗𝒊 + 𝒗 𝒇
𝟐
La velocidad intantánea a mitad del recorrido será también el valor intermedio entre vi i vf.
Por tanto la respuesta correcta es c.
100. En un gráfico el eje vertical representa la posición y el eje horizontal el tiempo. En este
gráfico una línea de pendiente negativa representa
a) unas aceleración constante positiva.
b) una aceleración constante negativa.
c) una velocidad nula.
d) una velocidad constante positiva.
e) una velocidad constante negativa.
La respuesta correcta es e.
101. En un gráfico, el eje vertical representa la posición y el eje horizontal el tiempo. En este
gráfico una parábola que se abre hacia arriba representa
a) una aceleración positiva.
b) una aceleración negativa.
c) que no hay aceleración.
d) una aceleración positiva seguida de otra negativa.
e) una aceleración negativa seguida de otra positiva.
Resposta correcta es a.
102. En un gráfico , el eje vertical representa la velocidad y el eje horizontal el tiempo. La
aceleración nula se representa por
a) una liíne recta de pendiente positiva.
b) una línea recta de pendiente negativa.
c) una línea recta de pendiente cero.
d) cualquiera de las a, b o c.
e) ninguna de las anteriores.
Respuesta correcta c.
103. En un gráfico, el eje vertical representa la velocidad y el eje horizontal el tiempo. La
aceleración constante viene representada
a) una linea recta de pendiente positiva.
b) una línea recta de pendiente negativa.
c) una línea recta de pendiente cero.
d) cualquiera de las a,b o c.
e) ninguna de las anteriores.
Respuesta correcta d.
104. De los gráficos v en función de t representados en la figura ¿Cuál describe mejor el
movimiento de una partícula con una velocidad positiva y aceleración negativa?

El último
105. De los gráficos v en función de t representados en la figura del problema anterior. ¿Cuál
describe mejor el movimiento ºde una partícula con velocidad negativa y aceleración
negativa?
El penúltimo.
106. Un gràfico del movimiento de un objeto se representa con la velocidad sobre el eje
vertical y el tiempo sobre el eje horizontal. El gráfico es una línea recta. ¿Cuál de estas
magnitudes no puede determinarse a partir del gráfico?
a) El desplazamiento a partir del tiempo t = 0.
b) La velocidad inicial en el tiempo t = 0.
c) La aceleración del objeto.
d) La velocidad media del objeto.
e) Ninguna de las anteriores.
En principio pueden determinarse todas, el desplazamiento como área entre los dos
tiempos, la velocidad inicial directamente, la aceleración como pendiete del gráfico en un
punto ( aquí constante) , la velocidad media buscando dos valores entre los tiempos
deseados y haciendo el valor medio.
107. La figura repersenta la posición de un coche en función del tiempo. ¿En cuál de los
tiempos entre t0 y t7 la velocidad es
a) negativa ?
b) positiva?
c) cero?
¿En que instante la aceleración es
a) negativa ?
b) positiva?
c) cero?

Velocidad negativa entre t0 y t2.
La velocidad es positiva entre t2 y t4 y entre t6 y t7.
La velocidad es cero entre t4 y t6.
La aceleración es negativa en t4, donde la velocidad pasa de positiva a cero.
La aceleración es positiva en t2 y t6 , donde la velocidad pasa de positiva a cero (t2) y de cero
a positiva ( t6).
La aceleración es cero en todos los tramos que són línea rectas (t0, t1, t3, t5 y t7).
108. Representar las curva v en función de t para cada una de las siguientes condiciones:
a) La aceleración es cero y constante, pero la velocidad no es nula.
b) La aceleración es constante , pero no cero.
c) La velocidad y la aceleración son ambas positivas.
d) La velocidad y la aceleración son ambas negativas.
e) La velocidad es positiva y la aceleración negativa.
f) La velocidad es negativa y la aceleración positiva.
g) La velocidad es nula, pero la aceleración no lo es.
a)
b)
c)
d)
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 2 4 6
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6

e)
f)
g)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 2 4 6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 2 4 6
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 2 4 6
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6

109. En la figura se representan nueve gráficos de posición, velocidad y aceleración para
objetos en movimiento lineal. Indicar los gráficos que cumplen las siguientges condiciones:
a) La velocidad es constante.
b) La velocidad invierte su dirección.
c) La aceleración es constante.
d) La aceleración no es constante.
¿Qué gráficos de la velocidad y aceleración son mutuamente coherentes?
a) a, f y i.
b) d
c) a ( a=0), d, e, v (a=0), h , i (a=0)
d) b, c, g
Son coherentes d y h. También f e i .
110. Dos coches llevan la misma velocidad v, uno detrás del otro, y mantienen la
distancia d entre ambos. El primer conductor frena y desacelera a razon de 6 m/s2
. El
segundo conductor ve las luces dell freno del primer conductor y reacciona ,
desacelerando al mismo ritmo pero 0,5 s más tsarde.
a) ¿Cuál es la distancia mínima d entre los dos coches para que no se produzca el
choque?
b) Expresar la respuesta en metros v=100 km/h ( 62 mi/h).

a) Estudiamos la situación despues de 0,5 s:
Coche 1, ha comenzadoha frenar :
100 km/h=27,8 m/s
Ha recorrido una distancia de :
X= 27,8 *0,5- ½*6*0,52
=13,15 m
Acaba el tramo con una velocidad de:
V=27,8-6*0,5=24,8 m/s
Coche 2:
Distancia recorrida mru:
X= 27,8*0,5=13,9 m
Tiene la velociadad de 27,8 m/s
A partir d’aquest moment:
Coche 1 :
𝒙 = 𝟏𝟑, 𝟗 + 𝟐𝟕, 𝟖 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
Coche 2 :
𝒙 = ( 𝒅 + 𝟏𝟑, 𝟓) + 𝟐𝟒, 𝟖 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
Punto de encuentro:
x1=x2
𝟏𝟑, 𝟗 + 𝟐𝟕, 𝟖 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
= ( 𝒅 + 𝟏𝟑, 𝟓) + 𝟐𝟒, 𝟖 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
𝟑 ∗ 𝒕 = 𝒅 − 𝟎, 𝟕𝟓
Buscamos que valor de d hace t =0
d=0,75m
Si d>0,75 m el tiempo tendrá un valor positivo, se encuentran , si d<0,75 m el tiempo
tendrá un valor negativo y no se encuentran .
La respuesta pedida es 0,75 m
111. La velocidad de una partícula en metros por segundo viene dada por la expresión
v=7-4t, en donde t se expresa en segundos.
a) Representar v(t) en función de t i determinar el área comprendida bajo la curva y el
eje t desde t=2 s a t= 6 s.
b) Determinar la función posición x(t) por integración y utilizarla para representar el
desplazamiento desde t=2 s a t= 6 s.
c) ¿Cuál es la velocidad media en este intervalo?

a) Para calcular el área tendremos un rectángulo y un triangulo:
Área rectángulo: 1*4=4 m
Área triangulo: 16*4/2=32 m
Área total: 36 m
Desplazamiento negativa dado que el área está por debajo del eje horizontal: -36 m
b) ∆𝒙 = ∫ ( 𝟕 − 𝟒𝒕) 𝒅𝒕 = �𝟕𝒕 − 𝟐𝒕 𝟐� 𝟐
𝟔𝟔
𝟐
= −𝟑𝟔 𝒎
c) 𝒗 𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
=
−𝟑𝟔
𝟒
= −𝟗 𝒎/𝒔
112. Estimar la altura máxima que puede alcanzar una pelota o una pequeña piedra si se
lanza verticalmente hacia arriba.
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= 𝟐 𝒈 ∆𝒚
𝟎 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒚
∆𝒚 =
𝒗 𝒐
𝟐
𝟐 ∗ 𝒈
113. El guepardo puede correr a una velocidad v1=100 km/h , el halcón puede volar a v2= 250
km/h y el pez espada puede nadar a v3= 120 km/h. Si los tres juntos corriesen enuna carrera
de relevos, recorriendo cada uno de ellos la misma distancia L a su máxima velocidad, ¿Cuál
seria la velocidad media v alcanzada por este equipo?
Guepardo, en km/h:
𝟏𝟎𝟎 =
𝑳
∆𝒕 𝟏
; ∆𝒕 𝟏 =
𝑳
𝟏𝟎𝟎
Para el halcón, en km/h:
𝟐𝟓𝟎 =
𝑳
∆𝒕 𝟐
; ∆𝒕 𝟐 =
𝑳
𝟐𝟓𝟎
Para el pez espada, en km/h:
𝟏𝟐𝟎 =
𝑳
∆𝒕 𝟑
; ∆𝒕 𝟑 =
𝑳
𝟏𝟐𝟎
Por tanto la velocidad media será :
𝒗 𝒎 =
𝟑 𝑳
∆𝒕 𝟏 + ∆𝒕 𝟐 + ∆𝒕 𝟑
=
𝟑 𝑳
𝑳
𝟏𝟎𝟎
+
𝑳
𝟐𝟓𝟎 +
𝑳
𝟏𝟐𝟎
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7

𝒗 𝒎 =
𝟑
𝟏
𝟏𝟎𝟎
+
𝟏
𝟐𝟓𝟎
+
𝟏
𝟏𝟐𝟎
=134,35 km/h
114. En 1997 el récord mundial masculino de natación, 50 m estilo libre, fue estaqblecido
pom Tom Jager de los Estados Unidos, quien cubrio los 50 m en 21,81 s. si suponemos que
Jager partió del reposo con una aceleración constante a y alcanzo su velocidad máxima en
2,00 s, que mantuvo constante hasta el final, ¿Cuál fue la aceleración a de Jager?
En los primeros 2 s tenemos mru:
𝒙 𝟏 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝟐 𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂
𝒗 𝟏 = 𝒂 ∗ 𝟐
A partir de aquí tenemos mru durante una distáncia de (50-2a) m y una velocidad de 2 a.
Para este tramo tenemos un tiempo de 21,81 -2 =19,81 s :
𝟓𝟎 − 𝟐𝒂 = ( 𝟐𝒂) ∗ 𝟏𝟗, 𝟖𝟏
Obtenemos a :
𝒂 = 𝟏, 𝟏𝟓 𝒎/𝒔
115. Algunos elateridos ( insectos coleópteros) pueden proyectarse verticalmente por si
mismo con una aceleraón de unos 400 g ( un orden de magnitud superior al que un ser
humano puede resistir). Los elatéridos saltan “desdoblando” sus patas que tienen una
longitud aproximada de d=0,6 cm. ¿A qué altura pueden saltar? ¿Cuánto tiempo
permanecen en el aire?( suponer la aceleración constaqnte mientras está en contacto con el
suelo y despreciar la resistencia del aire).
Consideramos la fase de aceleración:
∆𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕
𝒗 𝟐
= 𝟖𝟎𝟎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒚
Calculamos la velocidad final de la aceleración, donde Δy=0,006 m:
𝒗 𝟐
= 𝟖𝟎𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟔
𝒗 = 𝟔, 𝟖𝟔 𝒎/𝒔
𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟖 𝒔
A partir de este momento tenemos movimiento vertical con la aceleración de la gravedad:
𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 + 𝟔, 𝟖𝟔 ∗ 𝒕 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = 𝟔, 𝟖𝟔 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕
𝒗 𝟐
− 𝟔, 𝟖𝟔 𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚
Si consideramos el punto más alto, v=0:
𝟎 𝟐
− 𝟔, 𝟖𝟔 𝟐
= −𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ ∆𝒚
Δy=2,4 m
Para el tiempo c alculamos el tiempo de subida, v=0:
𝟎 = 𝟔, 𝟖𝟔 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕
𝒕 = 𝟎, 𝟕 𝒔 ; el tiempo de aceleración se pude obviar.
Tiempo total de vuelo: 1,4 s.
116. El movimiento unidimensional de una partícula viene representado en la figura .

a) ¿Cuál es la aceleración en elos intervalos AB, BC y CE?
b) ¿ A qué distancia de su punto de origen se encuentra la partícula al cabo de 10 s?
c) Representar el desplazamiento de la partícula en función del tiempo; indicar en ella los
instantes A, B, C D y E.
d) ¿En qué instante la partícula se mueve más lentamente?
a) 𝒂 𝟏 =
∆𝒗
∆𝒕
=
𝟏𝟓−𝟓
𝟑−𝟎
= 𝟑, 𝟑 𝒎/𝒔 𝟐
𝒂 𝟐 =
∆𝒗
∆𝒕
=
𝟏𝟓 − 𝟏𝟓
𝟔 − 𝟑
= 𝟎 𝒎/𝒔 𝟐
𝒂 𝟑 =
∆𝒗
∆𝒕
=
−𝟏𝟓 − 𝟓
𝟏𝟎 − 𝟔
= 𝟓 𝒎/𝒔 𝟐
b) Calulamoslas areas per debajo de la gráfica:
∆𝒙 𝟏 = 𝟓 ∗ 𝟑 +
𝟏𝟎∗𝟑
𝟐
= 𝟑𝟎 𝒎
∆𝒙 𝟐 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟓 = 𝟒𝟓 𝒎
∆𝒙 𝟑 =
𝟐 ∗ 𝟏𝟓
𝟐
−
𝟏𝟓 ∗ 𝟐
𝟐
= 𝟎 𝒎
𝜟𝒙 = 𝟑𝟎 + 𝟒𝟓 + 𝟎 = 𝟕𝟓 𝒎
c) Para cada tramo hemos de representar:, suponiendo xo=o :
𝒙 𝟏 = 𝟓 ∗ 𝒕 + 𝟏, 𝟔𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
𝒙 𝟐 = 𝟐𝟗, 𝟖𝟓 + 𝟏𝟓 ∗ 𝒕
𝒙 𝟑 = 𝟏𝟏𝟗, 𝟖𝟓 + 𝟏𝟓 ∗ 𝒕 − 𝟐, 𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
d) A los 8 s la velocidad es cero.
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12

117. Considerar el gráfico de velocidad de la figura. Suponiendo x=0 a t=0. Escribir
correctamente las expresiones algebraicas x(t), v(t) y a(t) con valores numèricos apropiados
para todas las constantes.
𝒂 =
−𝟓𝟎 − 𝟓𝟎
𝟏𝟎 − 𝟎
= −𝟏𝟎𝒎/𝒔 𝟐
𝒂( 𝒕) = 𝟏𝟎 ; 𝒎𝒓𝒖𝒂
𝒗( 𝒕) = 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎 ∗ 𝒕
𝒙( 𝒕) = 𝟓𝟎 ∗ 𝒕 − 𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
118. Un tren subterráneo parte de una estación y acelera desde el reposo con una
aceleración de 1,0 m/s2
hasta la mitad de la distancia que le separa de la siguiente estación;
después, desacelera con el mismo ritmo durante la segunda mitad del trayecto. La distancia
total entre estaciones es 900 m.
a) Representar gráficamente la velocidad v en función del tiempo a lo largo de todo el
recorrido.
b) Representar gráficamente la distancia recorrida en función del tiempo para todo el viaje.
Dar valores numéricos a lo largo de ambos ejes.
a) Parte 1:
𝒗 = 𝟏 ∗ 𝒕
𝒙 = 𝟎, 𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
Final parte 1 en los 450 m:
𝟒𝟓𝟎 = 𝟎, 𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
; t=30 s.
𝒗 = 𝟑𝟎 𝒎/𝒔
Parte 2:
𝒗 = 𝟑𝟎 − (𝒕 − 𝟑𝟎)
𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 + ( 𝒕 − 𝟑𝟎) − 𝟎, 𝟓 ∗ (𝒕 − 𝟑𝟎) 𝟐
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80

b)
119. La aceleración de cierto cohete viene dada por a = Ct, siendo C una constante.
a) Hallar la función de posición general.
b) Hallar la posición y velocidad cuando t = 5 s si x=0 y v=0 cuando t=0 y C=3 m/s2
.
a)
v=1/2 C t2
+ vo
x=1/6 C t3
+ vo t + xo
b)v(5)=1/2 *3*52
+0=37,5 m/s
x(5) 1/6*3*53
+0*5+0=62,5 m
120. Un profesor de física hace una demostración de su nuevo “paracaidas antigravitatorio”
lanzandose de un helicóptero a 1500 m de altura con velocidad inicial cero. Durante 8 s cae
libremente. Después conecta el “paracaidas” y cae con un aceleración constante hacia arriba
de 15 m/s2
hasta que su velocidad hacia abajo es de 5 m/s, en cuyo momento ajusta sus
controles para mantener esta velocidad hasta alcanzar el suelo.
a) Representar en un solo gráfico su aceleración y velocidad en función del tiempo. ( Tomar
la dirección hacia arriba como positiva).
b)¿Cuál es su velocidad al cabo de los primeros 8 s?
c)¿Durante cuánto tiempo mantiene la aceleración constante hacia arriba de 15 m/s?
d)¿Qué distancia recorre durante su aceleración hacia arriba en la parte (c)?
e)¿Cuántos segundos trancurren en el viaje completo?
f) ¿Cuál es la velocidad media en el recorrido total?
Parte 1, caida libre, 8s:
𝒚 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = −𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕
𝒚( 𝟖) = 𝟏𝟓𝟎𝟎 − 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟖 𝟐
= 𝟏𝟏𝟖𝟔, 𝟒 𝒎
b)
𝒗( 𝟖) = −𝟕𝟖, 𝟒 𝒎/𝒔
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 10 20 30 40 50 60 70

Segunda parte, paracaidas con a =15 m/s2
:
𝒚 = 𝟏𝟏𝟖𝟔, 𝟒 − 𝟕𝟖, 𝟒 ∗ 𝒕 + 𝟕, 𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = −𝟕𝟖, 𝟒 + 𝟏𝟓 ∗ 𝒕
Final de esta parte cuando v=-5 m/s
−𝟓 = −𝟕𝟖, 𝟒 + 𝟏𝟓 ∗ 𝒕
𝒕 = 𝟒, 𝟖𝟗 𝒔 ( Acumulat 4,89 +8=13,92 s)
Posición en este momento:
𝒚( 𝟒, 𝟗𝟐) = 𝟏𝟏𝟖𝟔 − 𝟕𝟖, 𝟒 ∗ 𝟒, 𝟗𝟐 + 𝟕, 𝟓 ∗ 𝟒, 𝟗𝟐 𝟐
= 𝟗𝟖𝟏, 𝟖 𝒎
A partir de este momento tendremos mru :
𝒚 = 𝟗𝟖𝟏, 𝟖 − 𝟓 ∗ 𝒕
Llegada al suelo:
𝟎 = 𝟗𝟖𝟏, 𝟖 − 𝟓 ∗ 𝒕
𝒕 = 𝟏𝟗𝟔, 𝟒 𝒔 ( acumulat 196,4+13,92=210,3 s ) .
Ara podemos representar las gráficas pedidas:
a)
c) 4,89 s
d) ∆𝒚 = 𝟏𝟏𝟖𝟔 − 𝟗𝟖𝟏, 𝟖 = 𝟐𝟎𝟒 𝒎 ( 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐,−𝟐𝟎𝟒 𝒎)
f)210,3 s
g) 𝒗 𝒎 =
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟏𝟎,𝟑
= 𝟕, 𝟏𝟑 𝒎/𝒔 ( signo negativo)
121. Sin decirselo a Sally , Joe hizo unos planes de viaje que incluían una parada en Toronto
para visitar a un viejo compañero. A Sally no le agrada el plan y decide cambiar los billetes.
Toma su motocicleta y comienza acelerando a 0,9 m/s2
hacia la taquilla. Cuando Sally
arranca Joe está a 40 m de distancia corriendo hacia ella con una velocidad constante de 9
m/s.
a)¿ Cuanto tiempo tarda Joe en alcanzar a Sally?
b) Determinar el intervalo de tiempo durante3 el cual Sally se mantiene por delante de Joe.
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 50 100 150 200 250
a
v

Joe:
𝒙 = 𝟗 ∗ 𝒕
Sally:
𝒙 = 𝟒𝟎 + 𝟎, 𝟒𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
a) Punto de encuentro:
𝟗 ∗ 𝒕 = 𝟒𝟎 + 𝟎, 𝟒𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
−𝟎, 𝟒𝟓 ∗ 𝒕 𝟐
+ 𝟗 ∗ 𝒕 − 𝟒𝟎 = 𝟎
𝒕 = 𝟔, 𝟔𝟕 𝒔
b) Para ello utilizamos la segunda solución de la ecuación de segundo grado, punto
donde Sally volverá a pasar a Joe: t= 13,3 s.
El intervalo pedido será : 13,3 -6,67=6,6 s
122. Un coche de policia pretende alcanzar a un coche que marcha a 125 km/h, La velocidad
máxima del coche de policia es 190 km/h, y arranca desde el reposo con una aceleración
constante de 8 km/(h*s), hasta que su velocidad alcanza los 190 km/h y luego prosigue con
velocidad constante.
a) ¿Cuándo alcanzará al otro coche si se pone en marcha al pasar junto a él?
b) ¿Qué espacio habran recorrido entonces ambos coches?
c) Hacer un gráfico de x(t) para cada coche.
𝟏𝟐𝟓
𝒌𝒎
𝒉
∗
𝟏𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔
∗
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎
𝟏 𝒌𝒎
= 𝟑𝟒, 𝟕 𝒎/𝒔
𝟏𝟗𝟎
𝒌𝒎
𝒉
∗
𝟏𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔
∗
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎
𝟏 𝒌𝒎
= 𝟓𝟐, 𝟖 𝒎/𝒔
𝟖
𝒌𝒎
𝒉 ∗ 𝒔
∗
𝟏𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔
∗
𝟏𝟎𝟎𝟎𝒎
𝟏 𝒌𝒎
= 𝟐, 𝟐𝟐 𝒎/𝒔 𝟐
a)
Coche de policia:
𝒙 = 𝟏, 𝟏𝟏 ∗ 𝒕 𝟐
𝒗 = 𝟐, 𝟐𝟐 ∗ 𝒕
Coche:
𝒙 = 𝟑𝟒, 𝟕 ∗ 𝒕
Periodo de aceleración coche policia:
52,8=2,22*t
𝒕 = 𝟐𝟑, 𝟖 𝒔
𝒙( 𝟐𝟑, 𝟖) = 𝟏, 𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟑, 𝟖 𝟐
= 𝟔𝟐𝟖, 𝟖 𝒎
A partir de este momento mru:
𝒙 = 𝟔𝟐𝟖, 𝟖 + 𝟓𝟐, 𝟖 ∗ (𝒕 − 𝟐𝟑, 𝟖)
Punto de encuentro:

𝟑𝟒, 𝟕 ∗ 𝒕 = 𝟔𝟐𝟖, 𝟖 + 𝟓𝟐, 𝟖 ∗ (𝒕 − 𝟐𝟑, 𝟖)
𝒕 = 𝟑𝟒, 𝟕 𝒔
b) 𝒙( 𝟑𝟒, 𝟕) = 𝟑𝟒, 𝟕 ∗ 𝟑𝟒, 𝟕 = 𝟏𝟐𝟎𝟒 𝒎
c)
123. Cuando el coche de policia del problema anterior ( marchando a 190 km/h)
está a 100 metros detrás del otro coche coched ( que marcha a a 125 km/h) éste
observa que le siguen y acciona los frenos bloqueando las ruedas.
a) Suponiendo que cada coche puede frenar con una aceleración negativa de 6
m/s2
y que el conductor del coche de policia frena tan pronto como ve
encenderse las luces de freno del coche que persigue , es decir, sin tiempo
muerto de reacción, demostrar que los coches chocan.
b) ¿En qué momento chocan a partir de aplicar los frenos?
c) Analizar cómo este problema viene afectado por el tiempo de reacción.
a) b)
Policia:
𝒙 = 𝟓𝟐, 𝟖 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
Coche:
𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟑𝟒, 𝟕 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
Punto de encuentro:
𝟓𝟐, 𝟖 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
= 𝟏𝟎𝟎 + 𝟑𝟒, 𝟕 ∗ 𝒕 − 𝟑 ∗ 𝒕 𝟐
𝒕 = 𝟓, 𝟓𝟑 𝒔
Como tiene solución chocaran.
Lugar:
𝒙( 𝟓, 𝟓𝟑) = 𝟓𝟐, 𝟖 ∗ 𝟓, 𝟓𝟑 − 𝟑 ∗ 𝟓, 𝟓𝟑 𝟐
= 𝟐𝟎𝟎 𝒎 desde la posición del coche de policia.
c)Con tiempo de reacción tedremos una parte del movimento uniforme antes de
frenar, la distància inicial entre los dos será menor de 100 m , el choque se
producirá antes y con mayor velocidad .
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40
x(policia)
X(COCHE)

124. La velocidad de un buen jugador de béisbol es de 9,5 m/s. La distancia entre
las bases es de 26 m y el lanzador se encuentra aproximadamente a 18,5 m de la
base del bateador. Si un corredor de la primera base se aleja 2 m de ésta y
arranca hacia la segunda cuando la pelota sale de la mano del lanzador, ¿Qué
probabilidad tiene de entrar con seguridad en la segunda base?
El tiempo de tardará el jugador en llegar a la base será:
∆𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟐𝟒
𝟗, 𝟓
= 𝟐, 𝟓𝟐 𝒔
La pilota i el jugador llegaran al mismo tiempo si la velocidad de lanzamiento és :
𝒗 =
∆𝒙
∆𝒕
=
𝟏𝟖, 𝟓
𝟐, 𝟓𝟐
= 𝟕, 𝟑 𝒎/𝒔
Si la velocidad de lanzamiento es mayor no entrará , si es menor si.
125. Repetir el problema pero con el corredor intentando entrar en la tercera
base partiendo de la segunda con una ventaja de 3 m. La velocidad de
lanzamiento es de 8,5 m/s.
Tiempo del jugador:
∆𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟐𝟑
𝟗, 𝟓
= 𝟐, 𝟒𝟐 𝒔
Para el lanzamiento el tiempo será :
∆𝒕 =
∆𝒙
𝒗
=
𝟏𝟖, 𝟓
𝟖, 𝟓
= 𝟐, 𝟏𝟗 𝒔
En principio llegará primero la pelota. Pero los 3 m de la base no cumplen el
reglamento.
126. Necesitando urgentemente el premio enmetálico, Lou entra en una
competición de automóviles en la cual el coche del concursante comienza y
termina la prueba en reposo, recorriendo una distáncia L enel tiempo más corto
posible. Hay que demostrar destreza mecánica y ser burn conductor, así como
consumir la mayor cantidad de combustibles fósiles enel menor tiempo posible.
La carrera está diseñada de modo que las velocidades máximas de los
automóviles no se alcanzan nunca. Si el coche de Lou posee una aceleración
máxima a u una desaceleración máxima de 2 a, ¿en qué fracción de L debe Lou
mover s pie del pedal del acelerdor al pedal del freno? ¿qué fracción de tiempo
utilizado enel trayecto total corresponde a este proceso?
Para la primera parte tenemos, siendo v1 la velocidad con que acaba la primera
parte y comienza la segunda:
𝒗 𝟏
𝟐
= 𝟐 𝒂 𝒙 𝟏
Para la segunda parte:
−𝒗 𝟏
𝟐
= −𝟒 𝒂 𝒙 𝟐
Por otra parte :
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝑳
Sumando las dos primeras ecuaciones :
𝟎 = 𝟐 𝒂 𝒙 𝟏 − 𝟒 𝒂 𝒙 𝟐
Por tanto eliminamos a:
𝟎 = 𝟐 𝒙 𝟏 − 𝟒 𝒙 𝟐
Por otra parte utilizando la tercera:

𝒙 𝟐 = 𝑳 − 𝒙 𝟏
Nos queda
𝟎 = 𝟐𝒙 𝟏 − 𝟒 (𝑳 − 𝒙 𝟏)
Despejamos x1:
𝒙 𝟏 =
𝟐
𝟑
𝑳
Para el tiempo total ( ttot )i la primera parte del tiempo (t1) tenemos la ecuación
de las velocidades al final de cada etapa:
Primera etapa: 𝒗 𝟏 = 𝒂 𝒕 𝟏
Segunda etapa, comienza con v1, acaba con velocidad cero: 𝟎 = 𝒂𝒕 𝟏 − 𝟐 𝒂𝒕 𝟐
De la última ecuación :
𝒕 𝟐 =
𝒕 𝟏
𝟐
Por tanto:
𝒕 𝟏 + 𝒕 𝟐 = 𝒕𝒕𝒐𝒕
𝒕 𝟏 +
𝒕 𝟏
𝟐
= 𝒕𝒕𝒐𝒕
Despejando t1:
𝒕 𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒕𝒕𝒐𝒕
127. La aceleración de la pelota volante del juego de badminton cayendo bajo la
influencia de la gravedad y de una fuerza resistiva , tal como la resistencia del
aire, viene dada por la expresión a=dv/dt=g-bv, en donde g es la aceleración de
la gravedaden caida libre debida a la gravedad y b es una constante que
depènde de la masa y la forma del volante y de las propiedades del medio.
Suponer que el volante comienza con velocidad cero en el instante t=0.
a) Analizar cualitativamente cómo la velocidad v varia con el tiempo a partir de la
eexpresión dv/dt indicada anteriormente. ¿Cuál es el vector de la velocidad
cuando la aceleración es nula? Esta velocidad se llama velocidad terminal.
b) Representar la solución v(t) en función de t sin resolvar la ecuación . Esto
puede hacerse del modo siguiente: En t= 0, v es cero y la pendiente g.
Representar un segmento de línea recta , despreciando cualquier cambio de
pendiente para un intervalo corto de tiempo. Al final del intervalo, la velocidad
no es nula, de modo que la pendiente es menor que g. Representar otro
segmento de línea recta con una pendiente menor. Continuar así hasta que la
pendiente es cero y la velocidad iguala al valor terminal.
a)
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈 − 𝒃𝒗
Sewparamos las variables v i t :
𝒅𝒗
𝒈 − 𝒃𝒗
= 𝒅𝒕
Integramos entre 0 y v para la velocidad y entre 0 y t para el timpo:
�
𝒅𝒗
𝒈 − 𝒃𝒗
𝒗
𝟎
= � 𝒅𝒕
𝒕
𝟎

−
𝟏
𝒃
𝒍𝒏 �
𝒈 − 𝒃𝒗
𝒈
� = 𝒕
Despejamos la velocidad:
𝒗 =
𝒈
𝒃
(𝟏 − 𝒆−𝒃𝒕
)
Derivando la expresión obtenemos para la aceleración :
𝒂 = 𝒈 𝒆−𝒃𝒕
Para a = 0
𝟎 = 𝒈𝒆−𝒃𝒕
La aceleración será cero en t infinito. La velocidad valdrà en este momento g/b.
b)
Cogiendo un valor de b de 0,25 . La forma será igual para cualquier valor de b,
canviando el valor de la velocidad máxima y el tiempo que tarda en conseguirse.
128. Suponer que la aceleración es una función de x , en donde a(x)= 2 x m/s2
.
a) Si la velocidad en x = 1 m es cero, ¿Cuál es la velocidad en x=3 m?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer la distancia comprendida entre x = 1 m y x =
3 m?
a) a=2 x
Hemos de hacer canvio de variables:
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
=
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐 𝒙
Ahora separamos variables y integramos:
𝒗 𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 𝒅𝒙
� 𝒗 𝒅𝒗
𝒗
𝒗 𝒐
= � 𝟐 𝒙𝒅𝒙
𝒙
𝒙 𝒐
𝟏
𝟐
𝒗 𝟐
−
𝟏
𝟐
𝒗 𝒐
𝟐
= (𝒙 𝟐
− 𝒙 𝒐
𝟐
)
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= 𝟐 (𝒙 𝟐
− 𝒙 𝒐
𝟐
)
Substituimos los valores del enunciado:
𝒗 𝟐
= 𝟎 𝟐
+ 𝟐 (𝟑 𝟐
− 𝟏 𝟐
)
𝒗 = √𝟏𝟔 = 𝟒 𝒎/𝒔
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 5 10 15 20 25

b)𝒗 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝒅𝒕 =
𝒅𝒙
𝒗
� 𝒅𝒕
𝒕
𝟎
= �
𝒅𝒙
𝒗
𝒙
𝒙 𝒐
Utilizamos la expresión encontrada en a) para la velocidad:
𝒗 𝟐
− 𝒗 𝒐
𝟐
= 𝟐 (𝒙 𝟐
− 𝒙 𝒐
𝟐
)
𝒗 = � 𝒗 𝒐
𝟐 + 𝟐 (𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒐
𝟐)
� 𝒅𝒕
𝒕
𝟎
= �
𝒅𝒙
� 𝒗 𝒐
𝟐 + 𝟐 (𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒐
𝟐)
𝒙
𝟏
Como que en x=1 vo es 0:
𝒕 = �
𝒅𝒙
� 𝟐 (𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒐
𝟐)
𝒙
𝟏
=
𝟏
√𝟐
𝒍𝒏 �
𝒙 + � 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝒐
𝟐
𝒙 𝒐
�
Substituimos x0=1 i x = 3:
𝒕 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝒔
129. Suponer que una partícula se mueve en línea recta , de tal modo que en
cualquier tiempo t , su posición, velocidad y aceleración tienen todas el mismo
valor numérico. Determinar la posición x en función del tiempo.
Como la posición , velocidad y aceleración tienenel mismo valor numérico, la
función que describa la posición ha de ser una función que no cambia al derivar,
eso quiere decir que ha de ser del tipo: et
.
Por tanto:
𝒙( 𝒕) = 𝒙 𝒐 𝒆𝒕−𝒕 𝒐
130. Un objeto se mueve en línea recta duplicando su velocidad cada segundo
los primeros 10 s. Supongamos que la velocidad inicial es de 2 m/s.
a) Representar una función continua v(t) que exprese la velocidad.
b)¿Cuál es la velocidad media en los primeros 10 s?
a) La función pedida ha de ser :
𝒗 = 𝟐 𝒕+𝟏
Podemos ver que esta funcón cumple los requisitos establecidos.
0
500
1000
1500
2000
2500
0 2 4 6 8 10 12

c) La posición en t=10 s es 2048.
La velocidad media será :
𝒗 𝒎 =
𝟐𝟎𝟒𝟖
𝟏𝟎
= 𝟐𝟎𝟒, 𝟖 𝒎/𝒔
131. Una persona sueña que puede correr a velocidades sobrehumanas, pero
encuentra también una fuerza de resistencia que reduce su velocidad a la mitad
en cada segundo que transcurre. Suponer que las leyes de la física son válidas
en el mundo de los sueños y que la velocidad inicial es de 1000 m/s.
a) Representar una función continua v(t) que represente la velocidad de esta
persona.
b) ¿Cuál es su velocidad media en los primeros 10 s?
a) La función de la velocitat ha de ser
𝒗 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐−𝒕
b) Calculamos la función x(t)
𝒙( 𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎
−𝟐−𝒕
𝒍𝒏𝟐
+ 𝒙 𝒐
𝒙( 𝟏𝟎) − 𝒙( 𝟎) = −𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟐−𝟏𝟎
𝒍𝒏𝟐
+
𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐−𝟎
𝒍𝒏𝟐
= −𝟏, 𝟒𝟏 + 𝟏𝟒𝟒𝟐, 𝟕 =
𝒗 𝒎 =
𝟏𝟒𝟒𝟏, 𝟕 − 𝟏, 𝟒𝟏
𝟏𝟎
= 𝟏𝟒𝟒, 𝟏 𝒎/𝒔
0
200
400
600
800
1000
1200
0 5 10 15 20 25

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