1. El documento presenta una serie de problemas sobre gravitación y fuerzas centrales. Incluye cálculos de masa reducida, potencial centrífugo, velocidades orbitales de planetas, fuerzas y aceleraciones gravitatorias entre masas puntuales y esféricas, campos gravitatorios, energía potencial gravitatoria y velocidades de escape.

1. Problemas de Gravitación
FÍSICA I
Yachay Tech
1. Sean dos masas de 3 y 6 kg que interactúan por una fuerza central. Calcular la masa
reducida del sistema. Si la separación entre ambas partículas es de 8 m, determinar
el valor de potencial centrífugo cuando la velocidad angular de una con respecto la
otra sea de 2 rad/s.
2. Hay un planeta que orbita alrededor de una estrella muy masiva. Cuando el planeta
está en su perihelio su velocidad es 5 · 104
m/s y está a 1015
m de dicha estrella.
Cuando el mismo planeta está en su afelio la distancia a la estrella es 2, 2 · 1015
m. Determinar la velocidad que posee dicho planeta en el afelio. Considerar que la
fuerza gravitatoria es una fuerza central.
3. Dos esferas uniformes están separadas una distancia de 16 cm entre sí y la masa
de ambas es de 0, 26 kg. En reposo se coloca una tercera masa de 0, 01 kg a 6 cm
por encima del punto medio del segmento que une a las dos esferas. Determine
la magnitud y dirección inicial de la aceleración de la tercera masa si solo existen
interacciones gravitatorias.
4. Tres esferas se colocan en una región lejana del espacio. m1 = 1 kg está en la
posición r1 = 0, 5j, (m) m2 = 1 kg se localiza en r2 = 0, 5i (m) y m3 = 2 kg está
en la posición r3 = 0, 5i + 0, 5j (m). Si en el origen de coordenadas se coloca una
masa m4 = 0, 015 kg, ¾qué magnitud y dirección tendrá la fuerza que actúe sobre
ella? Imaginemos que m4 parte del reposo a 300 m del origen de coordenadas y con
una dirección marcada por la bisectriz del tercer cuadrante, ¾qué rapidez tendrá m4
cuando pase por el origen de coordenadas?
5. Una partícula puntual de masa m está sobre el eje x en el punto x = L y otra masa
puntual de igual valor está sobre el eje y en el punto y = L. Determinar el campo
gravitatorio en el origen. ¾Cuál es el módulo de este campo?
6. Una astronauta, con todo su equipo, tiene una masa de 250 kg. Está reparando una
baliza que puede considerarse como una varilla uniforme de 15 m y con una masa de
800 kg. Al principio la astronauta está en un extremo y en cierto instante cambia su
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2. posición al otro extremo. Determinar cuánto ha de moverse la baliza con respecto
estrellas lejanas para que el centro de masa, que no está afectado por ninguna fuerza
externa, siga en su posición. Si durante la reparación pasa cerca un asteroide y el
sistema astronauta-baliza experimenta una fuerza gravitatoria de 400i (N), ¾cuál es
el campo gravitatorio en ese punto del espacio generado por el asteroide?
7. Una partícula de masa 2 kg está en el origen y otra de 4 kg está en el punto x = 6
m. Determinar el campo gravitatorio en x = 2 m y en x = 12 m. Hallar el punto
sobre el eje x para el cual el campo gravitatorio sea nulo.
8. En las esquinas de un cuadrado de 10 cm de lado se colocan cuatro masas idéntidas
de 800 kg cada una. ¾Qué fuerza gravitatoria neta actúa sobre una de las masas
debido a la interacción con las otras tres?
9. Se lanza hacia arriba, partiendo de la supercie de la Tierra, un objeto con una
velocidad inicial de 4 km/s. Hallar la altura máxima que alcanzará.
10. Considerando que la energía potencial gravitatoria es cero cuando dos objetos están
innitamente separados, hallar Ug de un cuerpo de 100 kg en la supercie de la Tie-
rra. Determinar el valor de energía potencial si está a una altura, desde la supercie,
de un radio terrestre. En este punto, ¾cuál es la velocidad de escape?
11. Un satélite de masa 300 kg se mueve en una órbita circular de 5 · 107
m por encima
de la supercie terrestre. ¾Cuál es la fuerza gravitatoria sobre el satélite? ¾Cuál es
la velocidad del satélite? Determine también su periodo.
12. Los agujeros negros son objetos celestes supermasivos creados por el colapso gra-
vitatorio de una estrella. Su fuerza gravitatoria es tan elevada que la luz no puede
escapar. Determinar el radio de Schwarzchild (es decir, el radio a partir del cual ni
siquiera la velocidad de la luz es suciente para escapar del agujero negro) para uno
de estos objetos que tenga la masa de diez soles nuestros.
13. Se tiene que un satélite articial gira en torno a la Luna a poca altura de su supercie,
luego h ≈ RL = 1700 km. Determinar la velocidad lineal del satélite y la velocidad
de escape. ¾Qué altura máxima alcanzaría un objeto lanzado desde la supercie de
la Luna con esa misma velocidad?
14. ¾Qué velocidad inicial debe darse a una partícula lanzada desde la supercie de
la Tierra para que cuando esté innitamente alejada de ella tenga una velocidad
igual a la de escape? Considere que los efectos de rozamiento de la atmósfera son
despreciables.
15. La Estación Espacial Internacional realiza 15, 65 revoluciones por día terrestre. Si
su órbita se puede aproximar a una circular, ¾a qué altitud de la supercie terrestre
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3. debe encontrarse? Suponga ahora que se construye una nueva estación espacial, pero
de órbita geosincrónica (es decir, siempre está sobre el mismo punto del planeta),
¾a qué altura debería estar si la órbita sigue siendo circular?
16. Calcular la masa terrestre a partir de los valores del periodo de la Luna (27, 3 días)
y de su radio medio orbital (3, 84 · 108
m).
17. La masa de Saturno es de 5, 69 · 1026
kg. Calcular el periodo de su luna Mimas,
sabiendo que el radio medio de su órbita es 1, 86 · 108
m. Si el periodo de la luna
Titán es de 1, 38 · 106
s, determinar su distancia promedio hasta Saturno.
18. El radio de la órbita terrestre es de 1, 496 · 1011
m y el de Urano 2, 87 · 1012
m.
Calcular cuántos años terrestres equivalen a un año de Urano.
19. Supóngase que alguna entidad del universo Marvel pudiese comprimir a la Tierra
hasta la mitad de su tamaño pero conservando toda su masa. Si los guionistas del
cómic saben algo de gravitación, ¾los superhéroes estarían sometidos a la misma
aceleración de la gravedad? Si esto no es así, ¾cuál sería el nuevo valor?
20. Existen indicios sobre la existencia de un agujero negro supermasivo en el centro
de la Vía Láctea, nuestra galaxia. Un dato que apoya esta suposición es que una
estrella comenzó a orbitar alrededor del centro con un periodo de 15, 2 años. Si la
distancia al centro galáctico que posee es de 5, 5 días-luz, ¾cuál sería la masa del
supuesto agujero negro? Un día-luz es la distancia que recorrería un rayo de luz en
el vacío durante un día terrestre.
21. Ya en el siglo XXI se detectaron dos nuevas lunas que orbitan alrededor de Plutón.
La más cercana está a 48000 km y la otra a 64000 km. Esto aumenta la cuenta hasta
tres como compañeros de Plutón. Caronte, el tercer satélite, está a una distancia de
19600 km y tiene un periodo orbital de 6, 39 días. Si la interacción gravitatoria solo
es satélite-Plutón y no satélite-satélite determine los periodos orbitales de los dos
nuevos satélites. Haga los cálculos sin tomar en cuenta la masa de Plutón.
22. Un grupo de astrónomos detectó un planeta orbitando alrededor de una estrella
bastante lejana con respecto nuestro Sistema Solar. Dicho planeta tenía una órbita
casi circular con un radio de 10, 5 millones de kilómetros con respecto el centro de
la estrella (HD68988). Si su periodo orbital es de 6, 3 días, calcular la masa de la
estrella tanto en kilogramos como en masas solares.
23. La distancia media entre los centros de la Tierra y el Sol se denomina Unidad
Astronómica (ua) y equivale, aproximadamente, a 150 millones de kilómetros. Si
la distancia promedio Sol-Plutón es de 39, 5 ua, determinar el periodo de este ex-
planeta.
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4. 24. La nave de contrabando Serenity, capitaneada por Malcolm Reynolds, entra en la
órbita (a 30000 km por encima de la supercie) de Nueva Canaán cuya circunferencia
ecuatorial es 2 · 105
km. Su segunda al mando, Zoe Washburne, llega a su supercie
para hacer algunos experimentos sencillos. Lanza una piedra de 2, 5 kg hacia arriba
con una velocidad inicial de 12 m/s y vuelve al suelo en 6 s. Si la atmósfera no
está bien terraformada no presenta muchos efectos de fricción. Mal Reynolds, tras
esto, pregunta a Zoe sobre la masa que tiene dicho planeta (frontera con el territorio
Reaver) y las horas que la Serenity tarda en dar una vuelta completa al planeta.
½Ayude a su tripulación con estos cálculos!
25. Las sondas Voyager fueron diseñadas para que después de explorar el Sistema Solar,
salieran fuera de este para ser captadas por posibles civilizaciones alienígenas. Si este
hubiera sido el plan al principio de todo, ¾con qué velocidad relativa al centro de la
Tierra debieron ser lanzadas? Descarte los efectos atmosféricos pero tenga en cuenta
los efectos gravitatorios del Sol y la Tierra, así como su rapidez orbital. Como los
movimientos de rotación y orbital de la Tierra poseen la misma dirección, determine
la rapidez de las naves con respecto la supercie terrestre si fueron lanzadas desde
Florida (latitud 28, 5o
Norte).
26. Tenemos tres masas en una línea recta: una de 5 kg en el origen de coordenadas,
otra de 0, 1 kg a 0, 4 m y una tercera de 10 kg a 1 m del origen. La masa menor está
sometida únicamente a las fuerzas gravitatorias que generan las otras dos masas.
Si estas dos masas están jas, calcular la rapidez de la esfera móvil cuando se ha
movido 0, 4 m hacia la derecha de su posición inicial.
27. Alguna potencia espacial podría recuperar el interés por la Luna y su potencial como
explotación minera. Para ello, simulan en potentes ordenadores qué complicaciones
podrían acontecer a sus cargueros. Una de esas simulaciones indica que hay un car-
guero a 50 km por encima de nuestro satélite esperando la llegada de los minerales.
En cierto instante falla un motor y el carguero automatizado pierde 20 m/s de ra-
pidez. Las simulaciones fallan y no se puede corregir la órbita. Entonces, ¾con qué
rapidez chocará la nave en la supercie lunar? Exprese el resultado en km/h.
28. Un lejano sistema estelar es binario: posee dos estrellas de igual masa orbitando
alrededor de su centro de masas. La masa de cada una es M y la órbita de cada una
es circular y de radio R de tal manera que siempre están separadas por un diámetro.
Determine la fuerza gravitatoria que cada estrella ejerce sobre la otra, la rapidez de
cada una y su periodo. Calcule la energía necesaria para separar innitamente al
sistema binario.
29. Una nave de 5000 kg está en órbita circular 2000 km por encima de la supercie
marciana. Calcule el trabajo necesario que han de realizar los motores para cambiar
a otra órbita circular pero que esté 4000 km por encima de la supercie.
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5. 30. Consideremos que existe una nave con una órbita elíptica y la Tierra en uno de
sus focos. En el perigeo (punto más bajo) la nave está a 400 km por encima de
la supercie terrestre. En el apogeo (punto más alto) la nave está a 4000 km por
encima de la supercie. Determine el periodo de la nave. Como el momento angular
se conserva, determine el cociente entre la rapidez de la nave en el perigeo y el
apogeo. Si la energía mecánica se conserva, determine la rapidez de la nave en
ambos puntos.
31. El cometa Hyakutake fue uno de los más brillantes del siglo XX y pudo observarse
a simple vista durante 1996. Los astrónomos indicaron que su periodo orbital ronda
los 30000 años. Calcule el semieje mayor de la órbita de este cometa y compare
dicho valor con la distancia promedio Sol-Plutón y la distancia promedio Sol-Alfa
Centauro (esta es la estrella más cercana al Sistema Solar y está a 4, 3 años luz de
nuestra estrella).
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