El documento explica las relaciones de recurrencia, incluyendo las lineales homogéneas y no homogéneas. Describe cómo resolver ambos tipos de relaciones mediante métodos específicos. También menciona algunas aplicaciones de las relaciones de recurrencia en óptica, teoría de probabilidad y otros campos.

1. Lismary Alejo 21-0246
Emily Mena 21-0620
S-01: Matemáticas Discretas
Prof. Rina Maria Familia
Marzo 28, 2021
Universidad Iberoamericana
Relaciones de Recurrencias Lineales

2. Recursividad
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En ocasiones, es posible particularizar un problema de una forma
especial: relacionándolo con una versión más sencilla del mismo
problema. A esto se le llama recursividad o recurrencia.
Una vez conocemos cómo se relacionan ambas versiones del problema
podríamos realizar un descenso hacia versiones cada vez más sencillas.
Por lo tanto, deberemos conocer cuál es la condición de finitud de este
proceso, es decir, la versión más sencilla posible del problema

3. Relación de
recurrencia
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4. Relación de recurrencia
En Matemáticas, una relación de recurrencia es una ecuación que define
una secuencia recursivamente, es decir, cada término de la secuencia es
definido como una función de los términos precedentes.
Ejemplo de una ecuación de recurrencia es el siguiente:
x(n+1) = rx(n)[1-x(n)] donde (n+1) y (n) son subíndices de x.
Lo que dice la expresión es que para calcular el término x(n+1) debes haber
calculado primero el término x(n), a su vez para calcular x(n) necesitas
haber calculado el término x(n-1) y así sucesivamente.
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5. Sucesión de
Fibonacci
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La sucesión de Fibonacci es una sucesión
definida por recurrencia. Esto significa que para
calcular un término de la sucesión se necesitan
los términos que le preceden.
Se proporcionan los dos primeros términos:
………………… Los siguientes se calculan con la
siguiente fórmula:
Ejemplo de
recurrencia
Nota: el primer término que proporciona la fórmula es a2 (porque n tiene
que ser mayor o igual que 1). Por esta razón, se definen a0 y a1 con
anterioridad.

6. Relación de
recurrencia lineal
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7. Relación de recurrencia lineal
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Una relación de recurrencia es lineal de grado k si tiene la siguiente
estructura:
Siendo funciones reales n, y F(n) una función de n.
El adjetivo lineal indica que cada término de la secuencia está definido
como una función lineal de sus términos anteriores. El orden de una
relación de recurrencia lineal es el número de términos anteriores
exigidos por la definición.

8. Recurrencias lineales
homogéneas
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9. Una recurrencia en la que un término viene dado en función de los
términos anteriores,
Donde son constantes reales conocidas, recibe el nombre de
recurrencia lineal homogénea de orden k.
Recurrencias lineales homogéneas
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10. Recurrencias lineales homogéneas
Teorema
Dada una recurrencia lineal homogénea de orden k
siempre existe una sucesión que verifique dicha recurrencia, y esta es
única, si se dan las k condiciones iniciales
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11. Paso 1: Escribir la recurrencia en la forma estándar.
Paso 2: Hallar las raíces de la ecuación característica asociada.
Método de resolución de
recurrencias lineales homogéneas
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12. Método de resolución de
recurrencias lineales homogéneas
Paso 3: Por cada raíz de la ecuación característica αi de multiplicidad mi
se añade un sumando a la solución general de la recurrencia lineal
homogénea de la forma “producto de un polinomio de grado
”.
Paso 4: Se sustituyen los valores iniciales en (1) para encontrar los
valores de las constantes Ai.
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13. Recurrencias lineales no
homogéneas
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14. Una recurrencia en la que un término viene dado en función de los
k términos anteriores, y cuyo término independiente es
no nulo, siendo, en general, una función de n:
donde son constantes reales conocidas, recibe el nombre
de recurrencia lineal no homogénea de orden k.
Recurrencias lineales no homogéneas
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15. Recurrencias lineales no homogéneas
Teorema
Dada una recurrencia lineal no homogénea de orden k
siempre existe una sucesión que verifique la recurrencia, y ésta es
única, si se dan las k condiciones iniciales
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16. Paso 1: Escribir la recurrencia en la forma estándar.
Paso 2: Hallar las raíces de la ecuación característica asociada.
Paso 3: Encontrar una solución particular de la recurrencia no
homogenea.
Método de resolución de recurrencias
lineales no homogéneas
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17. Paso 4: Se construye la solución general (1), es decir, se añade la
solución general de la recurrencia lineal homogénea asociada (con los
coeficientes por determinar) y se sustituyen los valores iniciales.
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Método de resolución de recurrencias
lineales no homogéneas

18. Relaciones de recurrencia:
Aplicaciones
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19. “
”
La noción de recursión se emplea en diferentes sentidos, adquiriendo
una variedad de significados. Así, en unos casos se usa para
caracterizar una regla esencial que constituye un modo de definición
en un sistema. Este sentido tiene su origen en la Lógica Matemática y
la Teoría de la Computabilidad. (Mota, 2015).
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20. Relaciones de recurrencia:
Aplicaciones
En otros casos, la recurrencia se
aplica para indicar la organización
interna de una estructura, tal como
sucede en la Ciencia Cognitiva y la
Ciencia de la Computación, al tiempo
que también se emplea en el sentido
anterior en estas mismas disciplinas.
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Otras aplicaciones son:
● En la óptica
● En la teoría de la probabilidad
● En el estudio de los árboles
binarios, pilas y algoritmos de
ordenación

21. Referencias
● Sorando Muzás. Matemáticas en tu mundo. Recursividad. Tomado de:
http://matematicasentumundo.es/PROBLEMAS/problemas_recursividad.htm
● Camacho. Introducción a la Matemática Discreta. Tomado de:
https://personal.us.es/lcamacho/recursion_impr.pdf
● (Mota, 2015). Universidad Autónoma de Madrid, España. Sobre el concepto de Recursión y sus
usos. Tomado de: http://www.scielo.org.co/pdf/pafi/n40/n40a07.pdf
● Wikilibros. Matemática Discreta/Relaciones de Recurrencia. Tomado de:
https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_Discreta/Relaciones_de_Recurrencia#Apli
caciones
● Instituto Consorcio Clavijero. Matemáticas Discretas -Relaciones de recurrencia. Tomado de:
https://cursos.clavijero.edu.mx/cursos/006_md/modulo4/contenidos/tema4.2.2.html?opc=1
#:~:text=En%20M
● Matesfácil. Sucesión de Fibonacci. Tomado de:
https://www.matesfacil.com/ESO/progresiones/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-re
sueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html
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