Este documento explica las derivadas parciales de una función de dos variables. Define las derivadas parciales de primer orden f_x y f_y y cómo se calculan. También cubre derivadas parciales de orden superior, notación, igualdad de derivadas parciales cruzadas, y la interpretación geométrica de las derivadas parciales como pendientes.

1. Derivada parciales de una función de dos variables ¿Cómo afecta a la función un cambio en una de sus variables independientes? ¿Cómo hallar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes? El procedimiento se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial

2. Derivada parciales de una función de dos variables Si z=f(x, y) , las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y son las funciones f x y f y definidas: y= constante x= constante

3. Notación para las derivadas parciales El valor de las primeras derivadas parciales en el punto (a, b ) se denota por: Dada , sus derivadas parciales se denotan por:

4. Ejercicio: Determina las derivadas parciales de las siguientes funciones.

5. Derivadas parciales de orden superior Derivar dos veces con respecto a x Derivar dos veces con respecto a y Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x z z x z y z xx z xy z yx z yy

6. Derivadas parciales de orden superior Derivar dos veces con respecto a x Derivar dos veces con respecto a y Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x Dada , sus derivadas parciales de segundo orden se denotan por:

7. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas o mixtas Sea f una función de x e y con f xy y f yx continuas en una región abierta R , entonces para todo (x, y) en R

8. Interpretación geométrica de la derivada parcial y=b

9. Interpretación geométrica de la derivada parcial

10. Interpretación geométrica de la derivada parcial es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto En forma análoga es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto

11. Interpretación geométrica de la derivada parcial Ejemplo: En lenguaje coloquial más simplificado, los valores de y en el punto dan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y . Halla la pendiente de la superficie dada por en el punto en las direcciones e .

12. Interpretación geométrica de la derivada parcial