Este documento presenta temas claves de la unidad 2 de pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos como funciones trigonométricas, razones trigonométricas, teoremas del seno y coseno, identidades trigonométricas y cómo resolver problemas aplicando estas ideas. Incluye ejemplos y tareas para reforzar la comprensión de estos importantes temas matemáticos.
Este documento presenta una introducción a la trigonometría. Define la trigonometría como la medida de los lados y ángulos de un triángulo y sus aplicaciones en topografía, navegación e ingeniería. Explica los conceptos básicos de triángulos rectángulos y las seis relaciones trigonométricas fundamentales, ilustrando con ejemplos cómo calcular lados y ángulos desconocidos. Finalmente, concluye resaltando la importancia histórica de las funciones trigonométricas en el desarrollo de
Este documento trata sobre geometría y trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos mediante las seis funciones trigonométricas. También describe cómo resolver triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas, y triángulos oblicuángulos usando la ley de senos y la ley de cosenos.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos. Explica que las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente se utilizan para determinar medidas desconocidas en triángulos rectángulos cuando se conocen otras medidas y ángulos. También incluye ejemplos de problemas y ejercicios para que los estudiantes apliquen estas funciones trigonométricas en la resolución de triángulos.
Este documento presenta conceptos clave sobre semejanza y trigonometría. Introduce la semejanza de triángulos y el teorema de Tales, y explica cómo calcular distancias usando la semejanza de triángulos. Luego define las funciones trigonométricas básicas y las relaciones fundamentales entre ellas. Finalmente, explica cómo resolver triángulos rectángulos usando dos datos.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas y la resolución de triángulos. Explica que las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente se usan para determinar medidas desconocidas en triángulos rectángulos a partir de las medidas conocidas. También incluye ejemplos de problemas y ejercicios para que los estudiantes practiquen el uso de estas funciones para calcular lados y áreas de triángulos.
Este documento presenta un taller sobre relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Explica conceptos como tipos de triángulos rectángulos, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, y cómo resolver triángulos rectángulos cuando se conocen diferentes lados y ángulos. Incluye ejemplos y 10 actividades para practicar el uso de triángulos rectángulos en la solución de problemas.
Este documento presenta temas claves de la unidad 2 de pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos como funciones trigonométricas, razones trigonométricas, teoremas del seno y coseno, identidades trigonométricas y cómo resolver problemas aplicando estas ideas. Incluye ejemplos y tareas para reforzar la comprensión de estos importantes temas matemáticos.
Este documento presenta una introducción a la trigonometría. Define la trigonometría como la medida de los lados y ángulos de un triángulo y sus aplicaciones en topografía, navegación e ingeniería. Explica los conceptos básicos de triángulos rectángulos y las seis relaciones trigonométricas fundamentales, ilustrando con ejemplos cómo calcular lados y ángulos desconocidos. Finalmente, concluye resaltando la importancia histórica de las funciones trigonométricas en el desarrollo de
Este documento trata sobre geometría y trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos mediante las seis funciones trigonométricas. También describe cómo resolver triángulos rectángulos usando el teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas, y triángulos oblicuángulos usando la ley de senos y la ley de cosenos.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos. Explica que las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente se utilizan para determinar medidas desconocidas en triángulos rectángulos cuando se conocen otras medidas y ángulos. También incluye ejemplos de problemas y ejercicios para que los estudiantes apliquen estas funciones trigonométricas en la resolución de triángulos.
Este documento presenta conceptos clave sobre semejanza y trigonometría. Introduce la semejanza de triángulos y el teorema de Tales, y explica cómo calcular distancias usando la semejanza de triángulos. Luego define las funciones trigonométricas básicas y las relaciones fundamentales entre ellas. Finalmente, explica cómo resolver triángulos rectángulos usando dos datos.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas y la resolución de triángulos. Explica que las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente se usan para determinar medidas desconocidas en triángulos rectángulos a partir de las medidas conocidas. También incluye ejemplos de problemas y ejercicios para que los estudiantes practiquen el uso de estas funciones para calcular lados y áreas de triángulos.
Este documento presenta un taller sobre relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Explica conceptos como tipos de triángulos rectángulos, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, y cómo resolver triángulos rectángulos cuando se conocen diferentes lados y ángulos. Incluye ejemplos y 10 actividades para practicar el uso de triángulos rectángulos en la solución de problemas.
Este documento presenta información sobre las funciones trigonométricas. Define las seis funciones básicas - seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante - usando un triángulo rectángulo. También explica los ángulos notables de 30°, 45° y 60° y cómo calcular las funciones trigonométricas para esos ángulos usando triángulos equiláteros e isósceles. Además, incluye ejemplos de problemas resueltos aplicando las funciones trigonométricas de á
Este documento presenta varios temas y herramientas matemáticas para resolver ejercicios de trigonometría, incluyendo la ley del seno, la ley del coseno, relaciones trigonométricas, identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. Explica cómo aplicar estos conceptos para determinar ángulos y lados desconocidos en triángulos. El documento concluye mostrando un ejemplo numérico de cómo usar las relaciones trigonométricas para calcular un ángulo formado por tangentes a una
Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptxblogdealgebraunad
Este documento presenta información sobre trigonometría plana. Incluye las siguientes secciones: razones trigonométricas en triángulos rectángulos, teorema de seno y coseno, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones trigonométricas. Explica conceptos como las razones trigonométricas, las leyes de seno y coseno, y cómo usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones.
Trabajo realizado a la Universidad UAPA, asignado por la maestra Solanlly Martínez sobre el tema Recursos y Materiales Informáticos, desarrollando el tema de la Planificación Funciones trigonométricas
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TRIGONOMETRICO.pptxNatalyAyala9
Este documento describe las funciones trigonométricas y sus elementos. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto. Luego define las seis funciones trigonométricas principales (seno, coseno, tangente) y complementarias (cosecante, secante, cotangente) usando las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Finalmente, analiza en detalle la función seno, incluyendo sus valores para ángulos notables, simetría, periodicidad
Este documento introduce las funciones trigonométricas y cómo se aplican para resolver problemas geométricos en triángulos rectángulos. Explica que la trigonometría estudia las medidas de triángulos y define funciones como seno, coseno y tangente. Incluye ejemplos de cómo usar estas funciones para calcular lados desconocidos.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. Explica conceptos clave como las funciones trigonométricas, las identidades trigonométricas básicas y sus gráficas. También cubre la ley del seno, la ley del coseno y su aplicación para resolver triángulos. Finalmente, incluye ejemplos resueltos que ilustran el uso de estas herramientas y conceptos.
El documento presenta los conceptos y fórmulas de la ley del seno, la ley del coseno y las relaciones trigonométricas que se utilizaron para resolver ejercicios de la unidad 2. Incluye ejemplos de aplicación de estas herramientas para calcular ángulos y lados desconocidos en triángulos.
Este documento presenta las funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos. Explica que las funciones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos agudos. Proporciona ejemplos de problemas y ejercicios para que los estudiantes apliquen las funciones trigonométricas y resuelvan triángulos rectángulos desconocidos.
Para calcular la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 metros si el sol forma un ángulo de elevación de 30° debemos usar la razón trigonométrica seno.
El seno de un ángulo es la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa. En este caso:
- La hipotenusa es la altura del hombre, que es de 1,93 metros.
- El lado opuesto es la longitud de la sombra.
Por lo tanto, debemos usar la razón seno para calcular la longitud de la sombra.
Este documento presenta conceptos fundamentales de semejanza y trigonometría. Introduce el teorema de Tales, los criterios de semejanza de triángulos, y el teorema de Pitágoras. Explica las definiciones de razones trigonométricas y sus relaciones fundamentales. Finalmente, muestra cómo resolver triángulos rectángulos utilizando estas nociones.
Este documento presenta un capítulo sobre trigonometría. Introduce conceptos como ángulos y su medida en radianes y grados, razones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo calcular estas razones para ángulos específicos como 30°, 45° y 60°. También explica cómo resolver triángulos rectángulos y aplicar la trigonometría a problemas métricos usando una calculadora. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular razones trigonométricas, hallar todas las razones a partir de
Este documento presenta un capítulo sobre trigonometría. Introduce conceptos como ángulos y su medida en radianes y grados, razones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo calcular estas razones para ángulos específicos como 30°, 45° y 60°. También explica cómo resolver triángulos rectángulos y aplicar la trigonometría a problemas métricos usando una calculadora. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular razones trigonométricas, hallar todas las razones a partir de
Este documento presenta un capítulo sobre trigonometría. Introduce conceptos como ángulos y su medida en radianes y grados, razones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo calcular estas razones para ángulos específicos como 30°, 45° y 60°. También explica cómo resolver triángulos rectángulos y aplicar la trigonometría a problemas métricos usando una calculadora. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular razones trigonométricas, hallar todas las razones a partir de
Este documento trata sobre las razones trigonométricas. Explica conceptos básicos como ángulo, trigonometría y razones trigonométricas. Luego, define las razones trigonométricas en triángulos rectángulos y para ángulos en posición normal, incluyendo ángulos cuadrantales. Finalmente, cubre razones trigonométricas de ángulos negativos y ejemplos resueltos.
Este documento resume conceptos clave de trigonometría como la ley de los senos, la ley de los cosenos y las identidades trigonométricas. Explica cómo usar las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos oblicuos cuando se conocen diferentes datos. También describe las identidades trigonométricas básicas, de suma y diferencia, de ángulo doble y mitad. Finalmente, ofrece consejos para resolver problemas de aplicación trigonométrica.
Este documento presenta información sobre geometría y trigonometría. Explica las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas y cómo se pueden resolver triángulos rectángulos usando estas relaciones. También describe el círculo unitario y cómo se pueden estudiar las funciones trigonométricas usando triángulos rectángulos auxiliares en este círculo.
El documento explica las funciones trigonométricas y sus aplicaciones en la resolución de problemas. Define las razones trigonométricas en términos de lados de un triángulo rectángulo y presenta fórmulas para el seno, coseno, tangente y otras funciones. Luego, muestra ejemplos de cómo usar las funciones trigonométricas para calcular alturas y distancias indirectamente. Finalmente, discute la aplicación de los teoremas del seno y coseno en triángulos oblicuos.
Patologia de la oftalmologia (parpados).pptSebastianCoba2
Presentación con información a la especialidad de la oftalmología.
Se encontrara información con respecto a las enfermedades encontradas cerca a los ojos (los parpados).
Este documento presenta información sobre las funciones trigonométricas. Define las seis funciones básicas - seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante - usando un triángulo rectángulo. También explica los ángulos notables de 30°, 45° y 60° y cómo calcular las funciones trigonométricas para esos ángulos usando triángulos equiláteros e isósceles. Además, incluye ejemplos de problemas resueltos aplicando las funciones trigonométricas de á
Este documento presenta varios temas y herramientas matemáticas para resolver ejercicios de trigonometría, incluyendo la ley del seno, la ley del coseno, relaciones trigonométricas, identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. Explica cómo aplicar estos conceptos para determinar ángulos y lados desconocidos en triángulos. El documento concluye mostrando un ejemplo numérico de cómo usar las relaciones trigonométricas para calcular un ángulo formado por tangentes a una
Unidad 2_Álgebra, tigonometría y geometría analitica_Grupo 13..pptxblogdealgebraunad
Este documento presenta información sobre trigonometría plana. Incluye las siguientes secciones: razones trigonométricas en triángulos rectángulos, teorema de seno y coseno, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones trigonométricas. Explica conceptos como las razones trigonométricas, las leyes de seno y coseno, y cómo usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones.
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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TRIGONOMETRICO.pptxNatalyAyala9
Este documento describe las funciones trigonométricas y sus elementos. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto. Luego define las seis funciones trigonométricas principales (seno, coseno, tangente) y complementarias (cosecante, secante, cotangente) usando las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Finalmente, analiza en detalle la función seno, incluyendo sus valores para ángulos notables, simetría, periodicidad
Este documento introduce las funciones trigonométricas y cómo se aplican para resolver problemas geométricos en triángulos rectángulos. Explica que la trigonometría estudia las medidas de triángulos y define funciones como seno, coseno y tangente. Incluye ejemplos de cómo usar estas funciones para calcular lados desconocidos.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. Explica conceptos clave como las funciones trigonométricas, las identidades trigonométricas básicas y sus gráficas. También cubre la ley del seno, la ley del coseno y su aplicación para resolver triángulos. Finalmente, incluye ejemplos resueltos que ilustran el uso de estas herramientas y conceptos.
El documento presenta los conceptos y fórmulas de la ley del seno, la ley del coseno y las relaciones trigonométricas que se utilizaron para resolver ejercicios de la unidad 2. Incluye ejemplos de aplicación de estas herramientas para calcular ángulos y lados desconocidos en triángulos.
Este documento presenta las funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos. Explica que las funciones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos agudos. Proporciona ejemplos de problemas y ejercicios para que los estudiantes apliquen las funciones trigonométricas y resuelvan triángulos rectángulos desconocidos.
Para calcular la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 metros si el sol forma un ángulo de elevación de 30° debemos usar la razón trigonométrica seno.
El seno de un ángulo es la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa. En este caso:
- La hipotenusa es la altura del hombre, que es de 1,93 metros.
- El lado opuesto es la longitud de la sombra.
Por lo tanto, debemos usar la razón seno para calcular la longitud de la sombra.
Este documento presenta conceptos fundamentales de semejanza y trigonometría. Introduce el teorema de Tales, los criterios de semejanza de triángulos, y el teorema de Pitágoras. Explica las definiciones de razones trigonométricas y sus relaciones fundamentales. Finalmente, muestra cómo resolver triángulos rectángulos utilizando estas nociones.
Este documento presenta un capítulo sobre trigonometría. Introduce conceptos como ángulos y su medida en radianes y grados, razones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo calcular estas razones para ángulos específicos como 30°, 45° y 60°. También explica cómo resolver triángulos rectángulos y aplicar la trigonometría a problemas métricos usando una calculadora. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular razones trigonométricas, hallar todas las razones a partir de
Este documento presenta un capítulo sobre trigonometría. Introduce conceptos como ángulos y su medida en radianes y grados, razones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo calcular estas razones para ángulos específicos como 30°, 45° y 60°. También explica cómo resolver triángulos rectángulos y aplicar la trigonometría a problemas métricos usando una calculadora. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular razones trigonométricas, hallar todas las razones a partir de
Este documento presenta un capítulo sobre trigonometría. Introduce conceptos como ángulos y su medida en radianes y grados, razones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo calcular estas razones para ángulos específicos como 30°, 45° y 60°. También explica cómo resolver triángulos rectángulos y aplicar la trigonometría a problemas métricos usando una calculadora. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular razones trigonométricas, hallar todas las razones a partir de
Este documento trata sobre las razones trigonométricas. Explica conceptos básicos como ángulo, trigonometría y razones trigonométricas. Luego, define las razones trigonométricas en triángulos rectángulos y para ángulos en posición normal, incluyendo ángulos cuadrantales. Finalmente, cubre razones trigonométricas de ángulos negativos y ejemplos resueltos.
Este documento resume conceptos clave de trigonometría como la ley de los senos, la ley de los cosenos y las identidades trigonométricas. Explica cómo usar las leyes de los senos y cosenos para resolver triángulos oblicuos cuando se conocen diferentes datos. También describe las identidades trigonométricas básicas, de suma y diferencia, de ángulo doble y mitad. Finalmente, ofrece consejos para resolver problemas de aplicación trigonométrica.
Este documento presenta información sobre geometría y trigonometría. Explica las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas y cómo se pueden resolver triángulos rectángulos usando estas relaciones. También describe el círculo unitario y cómo se pueden estudiar las funciones trigonométricas usando triángulos rectángulos auxiliares en este círculo.
El documento explica las funciones trigonométricas y sus aplicaciones en la resolución de problemas. Define las razones trigonométricas en términos de lados de un triángulo rectángulo y presenta fórmulas para el seno, coseno, tangente y otras funciones. Luego, muestra ejemplos de cómo usar las funciones trigonométricas para calcular alturas y distancias indirectamente. Finalmente, discute la aplicación de los teoremas del seno y coseno en triángulos oblicuos.
Patologia de la oftalmologia (parpados).pptSebastianCoba2
Presentación con información a la especialidad de la oftalmología.
Se encontrara información con respecto a las enfermedades encontradas cerca a los ojos (los parpados).
Fijación, transporte en camilla e inmovilización de columna cervical II.pptxmichelletsuji1205
Ante una lesión de columna cervical es vital saber como debemos proceder, por lo que este informe detalla los procedimientos y precauciones necesarios para la adecuada inmovilización de la misma, destacando su relevancia debido a la frecuencia de lesiones asociadas, así como los materiales requeridos y el momento oportuno para llevar a cabo esta práctica en la atención inicial a pacientes politraumatizados. El objetivo es asegurar la máxima supervivencia del paciente hasta su traslado al hospital."
traumatismos y su tratamiento en niños y adolescentesaaronpozopeceros
En la presentación se abarcan temas sobre las diversas formas de traumatisos en niños y adolescentes como las contusiones, esguinces, luxaciones, fracturas y distenciones. Tambien se tratan algunos aspectos para su diagnóstico y, por último, cual es el tratamiento para cada tipo de caso que se presente.
La Sociedad Española de Cardiología (SEC) es una organización científica sin ánimo de lucro con la misión de reducir el impacto adverso de las enfermedades cardiovasculares y promover una mejor salud cardiovascular en la ciudadanía.
MANUAL DE SEGURIDAD PACIENTE MSP ECUADORptxKevinOrdoez27
EN ESTA PRESENTACIÓN SE TRATAN LOS PUNTOS MAS RELEVANTES DEL MANUAL DE SGURIDAD DEL PACIENTE APLICADO EN TODAS LAS INSTITUCIONES DE SALUD PUBLICA DE ECUADOR.
Sesión realizada por una EIR de Pediatría sobre aspectos clave de la valoración nutricional del paciente pediátrico en Oncología, y con tres mensajes para llevarse a casa:
- La evaluación del riesgo y la planificación del soporte nutricional deben formar parte de la planificación terapéutica global del paciente oncológico desde el principio.
- Existe suficiente evidencia científica de que una intervención nutricional adecuada es capaz de prevenir las complicaciones de la malnutrición, mejorar la calidad de vida como la tolerancia y respuesta al tratamiento y acortar la estancia hospitalaria.
- En los hospitales hay pocos dietistas que trabajen exclusivamente en la unidad de Oncología Pediátrica, y esto puede repercutir en mayores gastos sanitarios, peor estado general de los pacientes y menor supervivencia.
Alergia a la vitamina B12 y la anemia perniciosagabriellaochoa1
Es conocido que, a los pacientes con diagnóstico de anemia perniciosa, enfermedad con una prevalencia de 4% en países europeos, se les trata con vitamina B12, buscamos saber que hacer con los pacientes alérgicos a esta.
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Procedimientos Básicos en Medicina - HEMORRAGIASSofaBlanco13
En el presente Power Point se explica el tema de hemorragias en el curso de Procedimiento Básicos en Medicina. Se verán las causas, las cuales son por traumatismos, trastornos plaquetarios, de vasos sanguíneos y de coagulación. Asimismo, su clasificación, esta se divide por su naturaleza (externa o interna), por su procedencia (capilar, venosa o arterial) y según su gravedad. Además, se explica el manejo. Este puede ser por presión directa, elevación del miembro, presión de la arteria o torniquete. Finalmente, los tipos de hemorragias externas y en que partes del cuerpo se dan.
En esta presentación encontrarán información detallada sobre cómo realizar correctamente la maniobra de Heimlich y también información sobre lo que es la asfixia.
1. OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
marcar no se calificará.
COLEGIO INTEGRADO MARIA AUXILIADORA JONATHAN DANIEL ANAYA
CORDERO
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
GUÍA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS 10°
FECHA DE ENTREGA : ABRIL 12
ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE: Realizar un desarrollo de las competencias básicas como: Autonomía personal,
poder aprender a aprender, resolución de problema, competencias matemáticas y el uso de las guías de trabajo.
COMPETENCIAS: Aplica las razones trigonométricas para la resolución de problemas.
CONTENIDOS: Razones trigonométricas
Historia de la Trigonometría
El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metros" (metria).
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo
y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se
desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos
celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco
de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió
por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las
Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían
completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas
fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con
la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy
desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría
eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas
utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Razones trigonométricas
En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre
los lados de un triángulo determina su forma.
Dado el triángulo rectángulo en C:
Recuerda: Se llama razón o proporción entre dos números a su cociente.
2. OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
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FECHA DE ENTREGA : ABRIL 12
Se definen:
Seno del ángulo en A (sen(A)): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo en A y de la
hipotenusa:
c
a
)
A
(
sen
Coseno del ángulo en A (cos(A)): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo en A y de la
hipotenusa:
c
b
)
A
(
cos
Tangente del ángulo en A (tan (A)): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto adyacente al
ángulo en A:
b
a
)
A
(
tg
TAREA
1. Presenta por medio de imágenes, la historia de la trigonometría.
2. Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se definen:
El seno es el cociente entre ______________________ y ___________________.
El coseno es el cociente entre _____________________ y ___________________.
La tangente es el cociente entre ___________________ y ___________________.
3. Completa la tabla con estas razones para un ángulo α
3. OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
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FECHA DE ENTREGA : ABRIL 12
Las razones de 30º, 45º y 60º
Los ángulos de 30º, 45º y 60º aparecen con bastante frecuencia, fíjate cómo se calculan sus razones a partir de la
definición si buscamos los triángulos adecuados.
Con ayuda de la escena de la derecha completa la tabla:
seno coseno tangente
30º
45º
60º
Memorizar esta tabla es fácil si observas el orden que guardan. Una vez aprendidos los senos con las raíces
consecutivas, los cosenos salen en orden inverso.
Con la calculadora
Dado un ángulo α obtener sus razones
trigonométricas.
seno
coseno
Dada una razón obtener el ángulo α
correspondiente
Por ejemplo el sen 28º 30´
Pon la calculadora en modo
Teclea 28 30 .
Obtenemos: 0,477158760
En algunas calculadoras hay que pulsar la tecla
antes de introducir el ángulo,
comprueba cómo funciona la tuya.
Si queremos obtener el cos α ó la tg α
procederemos de la misma forma pero pulsando
las teclas y respectivamente.
Con el mismo valor que tienes en la pantalla:
Comprueba que la calculadora sigue en modo
Teclea
Obtenemos: en grados, si queremos
grados, minutos y segundos, pulsamos
obteniendo .
tan
cos
sin
sin
º ‘ ‘‘
º ‘ ‘‘
DEG
28º 30’
º ‘ ‘‘
SHIFT
T
28,5
sin
SHIFT
T
DEG
0,477158760
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marcar no se calificará.
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Resolver triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los conocidos.
1. Con un ángulo y la hipotenusa
Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo del que se conocen las
medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo
que multiplicamos por la hipotenusa.
En la escena vemos un ejemplo resuelto sobre como
calcular la altura de un monte.
Completa la resolución en este recuadro
Primero, vamos hallar el cateto opuesto con la función
seno.
Sen 30° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
650
Subimos el 650 a multiplicar por el sen 30°= ½
1
2
𝑥 650 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
325 m = cateto opuesto
Ahora vamos hallar el cateto adyacente con la función
coseno.
Cos 30° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
650
Subimos el 650 a multiplicar por el cos 30°=
√3
2
√3
2
𝑥 650 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
562,9 m = cateto adyacente
PROBLEMA 1: Completa el enunciado y resuélvelo:
Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, _____º, y la hipotenusa _____ cm.
Tenemos que hallar los catetos en función de las razones trigonométricas del ángulo dado
5. OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
marcar no se calificará.
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2. Conocidos un cateto y un ángulo agudo
Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las
medidas de un cateto y de un ángulo no recto, pensaremos en el triángulo
que se multiplica por el cateto adyacente:
En la escena vemos un ejemplo resuelto sobre como
calcular la altura de una torre
Completa la resolución en este recuadro
Primero, vamos hallar el cateto opuesto con la función
tangente.
tan 45° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
20
Subimos el 20 a multiplicar por el tan 45°= 1
1 𝑥 20 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
20 m = cateto opuesto
Ahora vamos hallar la hipotenusa con la función
coseno.
cos 45° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
20
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Pasamos cos 45°=
√2
2
a dividir por el 20
20 ÷
√2
2
= ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
40
√2
= hipotenusa
28,28 m = hipotenusa
PROBLEMA 2: Completa el enunciado y resuélvelo:
Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, _____º, y el cateto adyacente _____ cm.
Tenemos que hallar los otros lados en función de las razones trigonométricas del ángulo conocido
6. OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
marcar no se calificará.
COLEGIO INTEGRADO MARIA AUXILIADORA JONATHAN DANIEL ANAYA
CORDERO
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
GUÍA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS 10°
FECHA DE ENTREGA : ABRIL 12
3. Conocidos dos lados del triángulo
Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará el teorema de Pitágoras,
el ángulo se determinará como el arco cuya tangente es:
adyacente
cateto
opuesto
cateto
Para calcular el otro ángulo basta restar de 90º.
En la escena de la derecha vemos un ejemplo resuelto sobre
esto.
Con la ayuda de esta escena, resuelve el triángulo de
catetos 8 y 6.
Primero, vamos hallar la hipotenusa con el teorema de
Pitágoras.
𝑎2
= 82
+ 62
𝑎2
= 64 + 36
𝑎2
= 100
𝑎 = √100 = 10 𝑚
Ahora vamos hallar un ángulo por medio de la función
tangente.
tan 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
8
6
Despejamos el ángulo de la ecuación:
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 8
6
𝛽 = 53,13°
El otro ángulo lo hallaremos sabiendo que la suma de los
ángulos debe ser 180°, por lo tanto lo haremos restando
90 - 𝛽
∁ = 90 – 53,13 = 36,87°
PROBLEMA 3: Completa el enunciado y resuélvelo:
Del triángulo rectángulo de la figura se conocen el cateto opuesto, _____ cm, y el cateto adyacente
_____ cm.
Tenemos que hallar la hipotenusa y los ángulos sabiendo que es un triángulo rectángulo y tiene un
ángulo de 90°.
7. OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
marcar no se calificará.
COLEGIO INTEGRADO MARIA AUXILIADORA JONATHAN DANIEL ANAYA
CORDERO
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
GUÍA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS 10°
FECHA DE ENTREGA : ABRIL 12
TAREA
1) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos
agudos.
a) b)
2) Resolver un triángulo equivale a determinar el valor de los tres ángulos y los tres lados. A
continuación se dan los tres mínimos que necesitarás para resolver cada triángulo.
a) sen 23º =
5
2
b) cos 73º =
7
2
c) tg 7º =
8
1
3) Algunos valores de las funciones trigonométricas los puedes calcular directamente sin usar
calculadora. Calcula según la figura y luego comprueba con tu calculadora.
a) sen 30º
b) cos 30º
c) sen 60º
d) cos 60º
e) ¿es necesario conocer las medidas
del triángulo?
4) Si se sabe qué
cos
sen
tg . Calcule, sin usar calculadora, los valores de la tangente para los
ángulos dados en el ejercicio anterior.
5) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricas de
los siguientes ángulos:
a) 19º b) 34º12`32`` c) 55º d) 12,5º
6) Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación
del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema.
7) Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué
distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º?
Haz un dibujo del problema
8) Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene
un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema
9) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué
altura alcanza el cometa?
10) En un momento determinado, los dos brazos de un compás están separados por una distancia de
5 cm. Si cada brazo mide 10 cm, ¿cuál es el grado de abertura del compás?
11) Al colocarse a cierta distancia del pie de un árbol, se ve la punta del árbol con un ángulo de 70º.
¿Bajo qué ángulo se verá el árbol si uno se aleja el triple de la distancia inicial? Haz el dibujo.
6
10
8
2 2
3
2
5
a
a a
h