Este documento presenta información sobre geometría y trigonometría. Explica las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas y cómo se pueden resolver triángulos rectángulos usando estas relaciones. También describe el círculo unitario y cómo se pueden estudiar las funciones trigonométricas usando triángulos rectángulos auxiliares en este círculo.
Fase 1, Lenguaje algebraico y pensamiento funcional
Exposicion 3 Tercer parcial
1. MATERIA ;GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA.
DOCENTE; WILBERTH HUMBERTO MONTEJO EK
INTEGRANTES DEL EQUIPO:
RAUL ALFONSO PERALTA HAU.
MARIO ROBERTO ROJAS UICAB.
MANUEL ALEJANDRO TEC GONGORA .
EDWIN ALBERTO IX GUTIERREZ.
KENRRY JONATHAN ESTRELLA CASTILLO.
llll
3. Relaciones trigonométricas
Las funciones
trigonométricas en el plano
cartesiano se describen como
relaciones entre los lados de
un triángulo
rectángulo (triángulo en el
cual uno de sus ángulos es
recto).
Si el triángulo tiene un
ángulo agudo θ se pueden
encontrar seis razones entre
las longitudes de los lados
a,b y c del triángulo.
b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b
Las relaciones son funciones de θ y se les
llama funciones trigonométricas. Las
funciones trigonométricas son: seno,
coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante, sus símbolos respectivamente
son: sen, cos, tan, cot, sec y csc.
Estas relaciones dependen del ángulo
θ y no del tamaño del triángulo. Si dos
triángulos tienen ángulos iguales son
semejantes y sus lados son
proporcionales.
4.
5. FUNCIONES EN EL TRIANGULO
RECTANGULO
Hasta ahora conocemos una
relación entre los lados del triángulo
rectángulo, el teorema de
Pitágoras ; y otra entre los ángulos
de cualquier triángulo: su suma es
180º.
Los ángulos agudos de un triángulo
se relacionan con la medida de sus
lados mediante unos cocientes
llamados razones
trigonométricas. En la siguiente
tabla te mostramos cuáles son estas
razones trigonométricas:
SENO
COSENO
TANGENTE
Las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo son:
El seno de un ángulo α es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.
El coseno de un ángulo α es igual al cateto contiguo dividido por la
hipotenusa.
La tangente de un ángulo α es igual al cateto opuesto dividido por el
cateto contiguo.
EL CATETO OPUESTO;ES
EL CATETO QUE NO SE
ENCUETRA PEGADO AL
LADO A EL CATETO CONTIGUO;
ES EL CATETO QUE SE
ENCUETRA PEGADO AL
ANGULO A
6. Hasta ahora conocemos una relación entre
los lados del triángulo rectángulo,
el teorema de Pitágoras ; y otra entre los
ángulos de cualquier triángulo: su suma es
180º.
Los ángulos agudos de un triángulo se
relacionan con la medida de sus lados
mediante unos cocientes llamados razones
trigonométricas. En la siguiente tabla te
mostramos cuáles son estas razones
trigonométricas:
SENO
COSENO
TANGENTE
7. Ahora, hagamos un ejercicio:
dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha).
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la
hipotenusa, que es:
8
2
+ 6
2
= 10
2
; o sea, es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonométricas:
8.
9. FUNCIONES EN EL CIRCUlO
UNITARIO
La circunferencia trigonométrica, unitaria o
"círculo unitario" es una circunferencia de radio uno,
normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un
sistema de coordenadas cartesianas.
Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder
estudiar fácilmente las razones trigonométricas,
mediante la representación de triángulos rectángulos
auxiliares.
10. Un ángulo está formado por un lado inicial, un lado terminal y el vértice, como se
muestra en la figura:
En el sistema de coordenadas cartesianas, se
dice que un ángulo está en posición estándar
cuando el vértice está en el origen y el lado
inicial está en el lado positivo del eje x.
11. Ejemplos:
Como vemos en los ejemplos de arriba, los ángulos positivos se
miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj; los ángulos
negativos se miden en el sentido de las agujas del reloj.
12. RESOLUCION DE TRIANGULOS
RECTANGULOS
En geometría euclídea plana se denomina triángulo
rectángulo a cualquier triángulo, que uno de sus ángulos
es recto, es decir, un ángulo de 90 grados.1 2 Las razones entre las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque
de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo
rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya
conocido por los babilonios.3 Es una figura geometrica que consta
de tres lados: una hipotenusa (lado mayor) y dos catetos (lados
que forman el ángulo recto), tiene un angulo de 90° y dos ángulos
agudos o menores de 90°.
13. Para resolver un triángulo rectángulo es necesario encontrar los lados y los
ángulos que se desconocen a través de los ya conocidos.
Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que está constituido por dos
lados (Opuesto y Adyacente), Hipotenusa y forma un ángulo de 90 grados
(90°).
En el Diagrama se simbología asignada para cada variable.
El Lado c es opuesto al ángulo α (Alfa)
El Lado b es opuesto al ángulo β (Beta)
El Lado a es opuesto al ángulo γ (Sigma)
Veamos un Ejemplo, nos proporcionan la siguiente información:
14. Tenemos un ángulo β equivalente a 25° 12 '
42'', por lo que tenemos que pasarlo a
Grados; Nos piden encontrar un ángulo y
dos lados,
1. Comenzaremos a pasar los 25° 12 ' 42'' a
Grados
2. Conociendo β, podemos conocer γ, ya que
α = 90°, así:
15. 3. Ahora, empezaremos a encontrar los lados
que nos hacen falta, ya que conocemos γ,
podemos encontrar el lado por medio de las
funciones trigonométricas:
Despejemos la Variable: c Sen 64.79 ° =
Aplicamos por medio de la Calculadora La
Función Seno de 64.79, que es : 0.9047527,
luego dividimos 7 ÷ 0.9047527 = 7.73 = c.
16. 4. Ahora conociendo el valor de c, podemos
aplicar el Teorema de Pitágoras:
5. Quedando finalmente la gráfica así:
