uj

1. Hidráulica Computacional
(Aplicaciones con MATLAB)
Flujo Transitorio
en Tuberías
Jesús Abel Mejía Marcacuzco, Ph.D.
Lima - Perú
Universidad Nacional Agraria La Molina
Facultad de Ingeniería Agrícola
Departamento de Recursos Hídricos

2. Introducción
En este caso las ecuaciones diferenciales de
cantidad de movimiento y de conservación de masa
(continuidad) serán desarrolladas y aplicadas al
caso de flujo transitorio en tuberías. Estas dos
ecuaciones, en general, son simples y permiten el
desarrollo de las ecuaciones algebraicas en
diferencias finitas para la solución de problemas de
flujo transitorio en tuberías como es el caso de
problemas del fenómeno del golpe de ariete y las
oscilaciones de presión en chimeneas de
equilibrio .

3. FENÓMENO DE GOLPE DE ARIETE EN TUBERÍAS
Se define como golpe de ariete a la variación brusca de
presión, por encima o por debajo del valor normal de
funcionamiento, debido a cambios "bruscos" de la velocidad
del flujo de agua en tuberías; generalmente causadas por
maniobras instantáneas de las válvulas, parada de bombas,
etc. Este fenómeno, además de causar ruidos, puede provocar
la rotura de tuberías y dañar las instalaciones.
El término "golpe de ariete" se debe a investigadores
franceses en similitud al sonido rítmico producido por las
sucesivas ondas de presión que generaban los golpes de un
ariete, antiguo instrumento bélico usado hasta el siglo XV, al
derrumbar puertas y murallas de fortificaciones.
La palabra "ariete" tiene su origen en los vocablos latinos
"aries", "arietis", que significa carnero.

4. Ariete bélico usado hasta el siglo XV
Rotura de tubería
Daño a instalaciones
Daños en juntas de expansión

5. H0
V0
A B
L
B
C x
t
Nivel de
agua
Válvula
Esquema para la Descripción del Fenómeno del Golpe de Ariete
Descripción del Fenómeno
La figura muestra un sistema reservorio-tubería. La tubería
tiene un diámetro D, donde circula agua con una velocidad V0,
debido a una carga de H0. Para un cierre instantáneo de la
válvula la velocidad en el tramo x será cero en el tiempo t. Por
lo tanto en base a la Segunda Ley de Newton: F = ma = hA =
QV, siendo el caudal: Q = Ax/t. La altura máxima hmax de
sobrepresión, debido al golpe de ariete se calcula, como:
0
max V
gt
Ax
QV
A
h
F


 


gt
xV
h 0
max 
dt
dV
m
F 

6. La onda de presión debida a la reducción
brusca de la velocidad es proporcional a la
variación de V0 y a la velocidad media con
que la variación de presión recorre (x/t),
conocido también como la celeridad de
onda, dada por la siguiente ecuación: e
D
E
K
K
a


1

Donde el numerador representa la celeridad de onda elástica
(velocidad del sonido) en un medio acuoso, K es el módulo de
elasticidad del fluido,  la densidad del agua. El denominador
de la ecuación representa el efecto del confinamiento de la
propagación de la onda elástica en una tubería, también
elástica. D, E y e representan respectivamente el diámetro de
la tubería, el módulo de elasticidad del material del tubo y el
espesor del tubo.
Celeridad de Onda

7. Para uma maniobra rápida de cierre
total de válvula. La sobrecarga
máxima, físicamente posible, puede
calcularse como:
R
V
g
a
H 
 max

8. Material de tubo E (dyn/cm2) (psi)
Aluminio 7x1011 10x106
Latón, bronce 9x1011 13x106
Fierro fundido, cinzento 11x1011 16x106
Ferro fundido, maleable 16x1011 23x106
Concreto armado 16x1011 25x106
Vidrio 7x1011 10x106
Plomo 31x108 4.5x104
Lucita 28x108 4x104
Cobre 97x1010 14x106
Jebe vulcanizada 14x1010 2x106
Acero 19x1011 28x106
Módulos de Elasticidad, E, para Materiales de Uso Común en Tuberías

9. Métodos para el Control del Golpe de Ariete
Para el control de la sobrecarga máxima, lo más bajo posible,
puede ser alcanzado de las siguientes formas diferentes:
1.Reduciendo el valor de la velocidad media em régimen
permanente.
2.Reduciendo el valor de la celeridad de la onda elástica. Esto
es factible reduciendo el valor de K; aumentando el diámetro
del tubo D; disminuyendo el módulo de elasticidad E y/o
disminuyendo el espesor e de la tubería.
3.Otra forma de conseguir esta reducción es la operación lenta
de la válvula de maniobras; instalación de dispositivos como
chimeneas de equilibrio, uso de válvulas reguladoras de
presión, reservorios hidroneumáticos y otros.

10. Cierre Simple de Válvula
Secuencia de Eventos que Componen el Golpe de Ariete
En esta secuencia de eventos se considera t = 2L/a como el
tiempo crítico y luego de t = 4L/a, el ciclo se repite
indefinidamente si las paredes de la tubería fuera liza.

11. Diagrama de Onda: de t = 0 a t = 2L/a
t = (1/2)(L/a) t = (3/2)(L/a)
t = (L/a) t = 2(L/a)
(4)
(3)
(2)
(1)

12. Diagrama de Onda: t = 2L/a a t = 4L/a
t=(5/2)(L/a) t=(7/2)(L/a)
t = 3(L/a)
t = 4(L/a)
(8)
(7)
(6)
(5)

13. 1) t < L/C
3) L/C >t >2L/C
4) t =2L/C
2) t = L/C
5) 2L/C >t >3L/C
6) t = 3L/C
7) 3L/C >t >4L/C
8) t = 4L/C

14. Presión del Golpe de Ariete en Una Tubería de Forzada

15. Modelo Matemático del Fenómeno de Golpe de Ariete
El modelo matemático para el golpe de aríete requiere del uso
de tres princípios básicos de la física (Conservación de Masa,
Cantidad de Movimento y la Primera Ley de la
Termodinámica) y de una ley complementaria (Ley de Hooke).
La aplicación del princípio de la Conservación de Masa,
considerando la deformación volumétrica del fluido y la
deformación lineal de la tubería, permite la obtención de una
ecuación diferencial parcial donde se destaca a celeridad de
propagación de la onda estática. De la aplicación de la
Cantidad de Movimiento resulta una segunda ecuación
diferencial que no tiene relación con la celeridad, pero
contiene um término de pérdida de carga distribuída, que tiene
origem em el uso de la Primeira Ley de la Termodinámica, a
través de la ecuación de Bernoulli.

16. Ecuación de Momento o Cantidad de Movimiento
La ecuación de movimiento es derivada para el flujo a través
de una tubería de sección variable en términos de la presión
en el eje central P(x,t) y la velocidad promedio V(x,t). Luego
será transformada en términos de la carga piezométrica
H(x,t) y el caudal Q(x,t), siendo x y t las variables
independientes. La siguiente figura muestra el diagrama de
cuerpo libre del fluido de sección transversal A y longitud x.
El área, en general, es función de x, que es la distancia de la
coordenada desde un origen arbitrario. El tubo está
inclinado con un ángulo  respecto a la horizontal. Las
fuerzas actuantes en la dirección x son: las fuerzas de
presión en las caras transversales, los esfuerzos de corte y
componentes de presión en la pared del tubo y la
componente del peso del fluido.

17. H
x
z
Nivel de referencia
H-z
x

Diagrama para la aplicación de la ecuación de momento
Línea de gradiente
hidráulico
x
x
A
x
x
P
P 












2
PA
  x
x
PA
PA 



x
D

0
x
A


18. La ecuación de momento para el volumen de control de la figura, da:
0
2
sen
1











D
V
fV
g
t
V
x
V
V
x
P


La presión P puede ser reemplazado por la altura piezométrica H:
 
z
H
g
P 
  

























 sen
x
H
g
x
z
x
H
g
x
P
Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:
0
2










D
V
fV
t
V
x
V
V
x
H
g
Para flujo permanente las derivadas de la velocidad respecto a x y t
es cero y se obtiene la ecuación de Darcy-Weisbach
0
2





gD
V
xV
f
H 0
8
5
2





D
g
Q
xQ
f
H

(A)

19. Ecuación de Continuidad
A continuación se presenta la derivación de la ecuación de
continuidad desarrollada por T. P. Propson que consta de
derivadas totales con respecto al movimiento del fluido, de
las cuales dos están en estrecha relación con la ecuación de
continuidad; diferenciación con respecto al movimiento axial
en la tubería y diferenciación con respecto a la masa del
fluido. La tercera derivada total es con respecto al
movimiento de la onda acústica.
Con referencia al volumen de control móvil de longitud x en
el tiempo t puede ser considerado fijo en relación a la tubería.
La ley de conservación de masa establece: la tasa de
variación del flujo de masa que ingresa al volumen de control
es igual a la tasa de incremento de masa dentro de este
volumen de control:

20. X
u

z
Nivel de referencia
A(V-u)
x
Línea de gradiente hidráulico
H-z
Volumen de Control para la Ecuación de Continuidad
x
x
u
u 



   
  x
x
u
V
A
u
V
A 







 
   
dt
x
A
d
x
x
u
V
A 









21. 0
2










x
V
g
a
Vsen
t
H
x
H
V 
Luego de un procedimiento minucioso se obtiene la siguiente
ecuación que representa la forma más conveniente de la
ecuación de continuidad con V y H como variables
dependientes y con x y t como variables independientes. A
través de a2 (celeridad de onda) quedan incluidas las
propiedades del fluido y de la tubería.
(B)
(celeridad de onda)
e
D
E
K
K
a


1


22. Solución por el Método de las Características
Las ecuaciones de continuidad y momento, ecuaciones (A) y
(B), conforman un par de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales casi lineales, en términos de dos variables
dependientes, velocidad y elevación del gradiente hidráulico y
dos variables independientes que son la distancia a lo largo
de la tubería y el tiempo. Estas ecuaciones son transformadas
en cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el
método de las características.
A continuación se describe el método mencionado
despreciando los términos de segundo orden a fin de
simplificar el problema y luego aplicar el procedimiento para el
caso una tubería simple.

23. Las ecuaciones simplificadas de cantidad de movimiento y
de continuidad pueden ser identificadas con L1 y L2 como:
0
V
V
D
2
f
t
V
x
H
g
L1 






 (1)
0
x
V
g
a
t
H
L
2
2 






Estas ecuaciones son combinadas usando un multiplicador :
0
2
2
2
1 



























D
V
fV
t
V
x
V
g
a
t
H
x
H
g
L
L
L 


 (3)
(2)
En la ecuación anterior, dos valores reales distintos de 
pueden proporcionar dos ecuaciones en términos de dos
variables H y V, que de alguna manera representan las
ecuaciones (1) y (2).

24. Una selección apropiada de dos valores particulares de 
permite simplificar la ecuación (3). En general las variables V
y H son funciones de x y t. Si consideramos que la variable
independiente x es función del tiempo t, del cálculo
diferencial, se obtiene:
t
H
dt
dx
x
H
dt
dH





 (4a)
t
V
dt
dx
x
V
dt
dV






Ahora, examinando la
ecuación (3) y teniendo en
cuenta las ecuaciones (4),
se puede notar que:
g
a
g
dt
dx 2



 (5)
(4b)
Por lo que la ecuación (3) se
ha transformado en una
ecuación diferencial ordinaria:
0
2



D
V
fV
dt
dV
dt
dH
 (6)

25. Resolviendo la ecuación (5)
se obtiene dos valores de : a
g



Reemplazando estos valores
de  en la ecuación (5), la
forma como x y t son
relacionados está dado por:
a
dt
dx


Esto muestra el cambio en posición de la onda en relación al
cambio en el tiempo por la velocidad de propagación de la
onda “a”. Cuando el valor positivo de  es usado en la
ecuación (5) el valor positivo de  debe ser usado en la
ecuación (6); existiendo similar paralelismo para los valores
negativos. La substitución de estos valores de  en la
ecuación (6) permite obtener dos pares de ecuaciones que
pueden ser agrupados e identificados como C+ y C- :
(7)
(8)

26. 0
2



D
V
fV
dt
dV
dt
dH
a
g
a
dt
dx


0
2




D
V
fV
dt
dV
dt
dH
a
g
a
dt
dx


Los dos valores reales de  fueron usadas para convertir las
dos ecuaciones diferenciales parciales en dos ecuaciones
diferenciales ordinarias, (9) y (11), ambas con la restricción de
que solo es válido cuando las ecuaciones (10) y (12) son
válidas.
Es conveniente visualizar como la solución se desarrolla en el
plano de variables independientes (x,t) de la siguiente figura.
C+
C-
(9) (10)
(11) (12)

27. Usualmente “a” permanece
constante para una tubería
dada, por lo que la ecuación
(10) se puede representar
por una linea recta de
pendiente positiva; y
similarmente la ecuación
(12) por una recta de
pendiente negativa.
0
C-
C+
P
B
A
t
x
Líneas Características en el Plano x-t
Estas líneas en el plano x-t son conocidas como líneas
características a lo largo de las cuales las ecuaciones (9) y
(11) son válidas solo en la línea característica
correspondiente.

28. Ecuaciones en Diferencias Finitas
La tubería se divide en N tramos iguales, de longitud x. Luego
se calcula el tamaño del intervalo de tiempo: t = x/a y la
ecuación (10) es satisfecha por la diagonal de pendiente
positiva de la malla, dada por la linea AP. Si las variables
dependientes H y V son conocidas en A, entonces la ecuación
(9), que es válido a lo largo de la linea C+ , puede ser integrado
entre los límites A y P y por lo tanto escritas en términos de las
variables desconocidas V y H en el punto P. De otro lado la
ecuación (11) es satisfecha por la por la linea BP de pendiente
negativa. La integración de la ecuación C- a lo largo de la linea
BP, con condiciones conocidas en B y desconocidas en P,
permite obtener una segunda ecuación en términos de las
mismas dos variables dependientes desconocidas en P. La
solución simultánea permite obtener la solución para un tiempo
dado y posición en el plano x-t del punto P.

29. Multiplicando la ecuación (9) por:
g
dx
g
dt
a 
0
2
1
2


 dx
D
Q
fQ
gA
dQ
gA
a
dH
Integrando a lo largo
de la característica C+: 0
2 2


 


P
A
P
A
P
A
x
x
Q
Q
H
H
dx
Q
Q
gDA
f
dQ
gA
a
dH
De modo similar, con la ecuación (11), integrando a lo largo de C- :
0
2 2



 


P
B
P
B
P
B
x
x
Q
Q
H
H
dx
Q
Q
gDA
f
dQ
gA
a
dH
(14)
(13)
0
2
1
2





 dx
D
V
fV
g
dV
g
a
dH
D
V
fV
g
dx
dt
dV
g
dt
a
dt
dH
a
g
g
dt
a
  0
2 2





 A
A
A
P
A
P Q
Q
gDA
x
f
Q
Q
gA
a
H
H
  0
2 2





 B
B
B
P
B
P Q
Q
gDA
x
f
Q
Q
gA
a
H
H
En términos de caudal, se tiene:

30. C+:   A
A
A
P
A
P Q
RQ
Q
Q
B
H
H 



  B
B
B
P
B
P Q
RQ
Q
Q
B
H
H 



gA
a
B  2
2gDA
x
f
R


La solución al problema de flujo no permanente usualmente
comienza con la condición inicial de flujo permanente en t = 0,
de forma que los valores de H y Q son conocidos en cada
sección de cálculo. La solución consiste en encontrar H y Q
para cada punto de la malla para un tiempo t y proseguir con
t = t, etc., hasta que el tiempo de cálculo deseado sea
cubierto. En cualquier punto interior de la malla, sección i, las
dos ecuaciones son resueltas simultáneamente para los
valores desconocidos QP y HP.
C-:
(15)
(16)
Donde:
Resolviendo para HP, las ecuaciones (13) y (14) quedan como:

31. Las ecuaciones (15) y (16) pueden ser escritas como:
C+: Pi
P
Pi BQ
C
H 
 (17) Pi
M
Pi BQ
C
H 

Donde CP y CM son constantes conocidas:
1
1
1
1 


 

 i
i
i
i
P Q
RQ
BQ
H
C (19)
1
1
1
1 


 

 i
i
i
i
M Q
RQ
BQ
H
C
Eliminando QPi en las ecuaciones (17) y (18):
 
2
M
P
Pi
C
C
H


QPi puede ser obtenido directamente de cualquiera de las ecuaciones
(17) o (18). Los subíndices empleados en las ecuaciones (19) y (20) son
convenientes para el proceso de cálculo.
C-: (18)
(20)
(21)

32. Condiciones de Contorno Básicas
En ambos extremos de la tubería, solo uno de las
ecuaciones características es aplicable. Para el extremo
inicial (aguas arriba) se aplica la ecuación a lo largo de la
característica C- y en el extremo final (aguas abajo) es
válida la aplicación de la ecuación a lo largo de la
característica C+. Estos son ecuaciones lineales en QP y
HP y transmiten sus respectivas condiciones de contorno a
lo largo de la tubería durante el fenómeno transitorio. Será
necesaria una ecuación auxiliar en caso que se
especifique QP y HP o alguna relación entre ellos. Cada
condición de contorno es resuelto independientemente de
los puntos interiores.

33. Condiciones
de contorno
aguas abajo
C-
t
x
t =0
1 2 N
x N-1
t
P
Condiciones
de contorno
aguas arriba
Figura 12.7: Características para las condiciones de contorno
x
C+
t
P
B A
Reservorio aguas arriba con carga constante
Para un reservorio bastante grande, la elevación de la línea
de gradiente hidráulica puede ser asumida como constante
durante una duración del fenómeno transitorio corto. Esta
condición de contorno es descrito por: HPi = HR, donde HR es
la elevación de la superficie del reservorio sobre un nivel de
referencia.

34. Válvula en el Extremo Final de la Tubería
Si el nivel de referencia para la elevación del gradiente
hidráulico es considerado en la válvula, la ecuación de orificio
para flujo permanente, a través de la válvula, es:
H
g
2
A
C
Q G
d
0 

Donde H es la altura de caída instantánea de la línea de
gradiente hidráulica a través de la válvula. Definiendo la ley de
abertura adimensional de la válvula, se tiene:
 0
G
d
G
d
A
C
A
C

 H
H
Q
Q
0
G
P 


  P
v
v
v
PN C
C
BC
BC
Q 2
2





35. APLICACIÓN AL SISTEMA: RESERVORIO-TUBERÍA-VÁLVULA
Datos:
Longitud de la tubería L = 1410 m
Diámetro de la tubería D = 1.5 m
Espesor de la pared e = 0.028 m
Coeficiente de elasticidad K = 2.2x109 Pa
Módulo de eslaticidad E = 2.07x1011Pa
Factor de rugosidad f = 0.018
Densidad del agua a = 1000 Kg/m3
Aceleración de la gravedad g = 9.81 m/s2
Nivel estático del agua HR = 710 m
Tiempo de cierre de la válvula Tc = 6 s
Coeficiente de cierre m = 1.5
Número de secciones N = 10
Abertura máxima de la válvula Av = 0.125 m2
Coeficiente de descarga de la válvula Cd = 0.82
Área de la sección de la tubería A = 1.7671 m2
Ley de cierre de la válvula:
m
c
T
t









1

36. Cálculos Previos:
00
.
1184
028
.
0
5
.
1
10
07
.
2
10
2
.
2
1
1000
10
2
.
2
1
2
1
11
9
9
2
1

































e
D
E
K
K
a

constante de cálculo: 298
.
68
7671
.
1
81
.
9
00
.
1184




gA
a
B
longitud del tramo (m) 667
.
156
1
10
1410
1






N
L
x
intervalo de cálculo (s): 132
.
0
00
.
1184
667
.
156





a
x
t
celeridade de
onda (m/s):

37. constante de cálculo: 031
.
0
7671
.
1
5
.
1
81
.
9
2
667
.
156
018
.
0
2 2
2








gDA
x
f
R
caudal en régimen
permanente: 








 5
2
2
0
0
8
2
D
g
fLQ
H
g
A
C
Q R
V
d

240
.
38
5
.
1
1416
.
3
81
.
9
7674
.
11
1410
018
.
0
8
8
5
2
2
5
2
2
0
0 







D
g
fLQ
H

Pérdida de carga
permanente (m):
Resolviendo por tanteos se obtiene:
Q0 = 11.7674 m3/s

38. HR
Condiciones
de contorno
aguas abajo
Cp
CM
t
x
t =0
1 2 i-1 i i+1 N x
N-1
3t
t
2t
t
Condiciones
de contorno
aguas arriba
Cp Cp
CM
CM
Disposición de las Líneas Características en una Malla del Plano x-t
 
B
C
H
Q
H
H
M
R
P
R
P
1



P
P
P
G
d
P
BQ
C
H
H
g
A
C
Q



 2

39. Cálculo para condiciones iniciales
sección 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
distancia (m) 0.00 156.67 313.33 470.00 626.67 783.33 940.00 1096.67 1253.33 1410.00
pérdida de
carga (m) 0.00 4.25 8.50 12.75 17.00 21.24 25.49 29.74 33.99 38.24
carga
disponible (m) 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 688.76 684.51 680.26 676.01 671.76
caudal (m3/s) 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77

40. Resultados de cálculo hasta 1.06 segundos
T var 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T
0.00 H 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 688.76 684.51 680.26 676.01 671.76 1.00
0.00 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 1.00
0.13 H 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 688.76 684.51 680.26 676.01 702.38 0.97
0.13 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.32 0.97
0.26 H 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 688.76 684.51 680.26 706.47 719.39 0.93
0.26 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.32 11.07 0.93
0.40 H 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 688.76 684.51 710.56 723.40 736.89 0.90
0.40 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.32 11.07 10.82 0.90
0.53 H 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 688.76 714.65 727.40 740.81 754.58 0.87
0.53 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.33 11.08 10.82 10.56 0.87
0.66 H 710.00 705.75 701.50 697.25 693.00 718.75 731.41 744.73 758.41 772.75 0.84
0.66 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.77 11.33 11.08 10.83 10.57 10.30 0.84
0.79 H 710.00 705.75 701.50 697.25 722.84 735.42 748.66 762.25 776.50 791.09 0.81
0.79 Q 11.77 11.77 11.77 11.77 11.33 11.08 10.83 10.57 10.31 10.04 0.81
0.93 H 710.00 705.75 701.50 726.93 739.43 752.58 766.09 780.25 794.76 809.91 0.78
0.93 Q 11.77 11.77 11.77 11.33 11.09 10.84 10.58 10.32 10.05 9.77 0.78
1.06 H 710.00 705.75 731.03 743.44 756.50 769.93 784.01 798.43 813.50 828.88 0.75
1.06 Q 11.77 11.77 11.34 11.09 10.84 10.59 10.32 10.06 9.78 9.50 0.75

41. 0 2 4 6 8 10 12 14
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
t(s)
H(m)
VARIACION DE PRESION (H) A LO LARGO DE LA TUBERIA
Sección: 10
Sección: 6
Sección: 2
Sección: 1