Principio de Bernuolli, Pitot y Torricelli

1. PRINCIPIO DE BERNUOLLI,
PITOT Y TORRICELI
Fluidos en movimiento
2019
Prof Olga Ortega

3. Las Ecuaciones y Principios
Básicos
• Conservación de masa:
A partir de la cual se establece la ecuación de
Continuaidad para vena liquida.
Q=VA = V1A1 =..VnAn
• Conservación de Energía
A partir de la cual se establece la ecuación de Energía
que tiene en cuenta las Perdidas de energia producidas
por el rozamiento del fluido a lo largo de un conducto.
• Conservación momentum (movimiento)
A partir de la cual se se establece la ecuación de Fuerzas

4. Teorema de Bernoulli.
• “En un líquido ideal cuyo flujo es
estacionario, la suma de las energías cinética,
potencial y de presión que tiene un líquido en
un punto, es igual a la suma de estas energías
en otro punto cualquiera”.

5. • El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el 2, tres
tipos de energía:
1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la masa del
líquido: Ec = 1/2mv2.
b) Energía potencial, debido a la altura del líquido, respecto
a un punto de referencia: Ep = m g h.
c) Energía de presión, originada por la presión que las
moléculas del líquido ejercen entre sí, por lo cual el trabajo
realizado para el desplazamiento de las moléculas es igual a
la energía de presión.
• En otras palabras: La ecuación de Bernoulli establece que la suma
de la presión, (p), la energía cinética por unidad de volumen (1/2 r
v2) y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen (r gy)
tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de
corriente

6. Ecuacion de Bernoulli para fluido ideal
• Líquido incomprensible ρ=Cte
• Fluido perfecto (Sin rozamiento)
• Régimen permanente

7. 1
x

1
v
2
x

2
v
A1
A2
Ecuación de continuidad
• Consideremos un fluido ideal que fluye por un tubo
uniforme.
• La cantidad de fluido que por unidad de tiempo entra por A1, es igual
a la cantidad de fluido que por unidad de tiempo sale por A2.
• Este es el principio de conservación de la masa
A1 · v1 = A2 · v2

8. La ecuación de Bernoulli
• Es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales y
constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se
considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética
debida al movimiento, la energía potencial debida a la presión y la energía
potencial gravitatoria debida a la elevación.
2
1
2
P v g h cte
r r
     
P = presión del fluido.
r = densidad del fluido.
V = rapidez del fluido.
g = aceleración de gravedad.
h = altura del fluido en el
punto en estudio.

9. La ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernouilli establece una relación entre la
presión P, la densidad r, la velocidad v, y la altura h en un
punto de referencia del sistema de fluidos.tim
P gh v constant
1
2
2
  
r r
Trabajo neto = F1s1 - F2s2
F1 = P1A1
F2 = P2A2
Trabajo neto = P1A1s1 = P2A2s2
V = A1s1 = A2s2
Trabajo neto = P1V - P2V = V(P1-P2)

10. La ecuación de Bernoulli: Energias
Principio de conservación de la energía
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑣2 + 𝑔𝑧 = 𝐶 Energía/masa (J/kg), (m2/s2)
𝑃
𝜌
– Energía de presión
1
2
𝑣2
- Energía cinética por unidad de masa
gz- Energía potencial por unidad de masa (Potencial
Gravitatorio)
C - Energía Total = Constante
.

11. La ecuación de Bernoulli: Alturas
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝐻 Altura (m)
𝑃
𝜌𝑔
– Altura de presión, altura de columna de líquido que
mide la Presión P
𝑣2
2𝑔
- Altura de Velocidad, Altura desde la que debería
caer el líquido en el vacío para adquirir la velocidad 𝑣
Z- Cota geométrica
H - Altura Total(m) = Constante

12. La ecuación de Bernoulli:Presines
𝑃 +
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑧 = П Presión (Pa)
P - Presión Hidrostática
1
2
𝜌𝑣2- Presión de velocidad
ρgz- Presión de posición
П - Presión Total = Constante (Pa)

13. La ecuación de Bernoulli:Resumen
𝑃
𝜌
+
1
2
𝑣2
+ 𝑔𝑧 = 𝐶 Energía/masa (J/kg), (m2/s2)
𝑃
𝜌𝑔
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝐻 Altura (m)
𝑃 +
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑧 = П Presión (Pa)
CONTINUIDAD
A1V1= A2V2 = Q AV=Q=Constante(m3/s)

14. Limitaciones de Teorema e Bernuolli
• Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de la
consideración de que el líquido es ideal (por lo cual
se desprecian las pérdidas de energía causadas por la
viscosidad de todo líquido en movimiento),
su ecuación permite resolver con facilidad muchos
problemas sin incurrir en errores graves por despreciar
esas pérdidas de energía pues resultan insignificantes
comparadas con las otras energías

15. • La Ecuación de Bernouilli permite que a lo largo de un flujo los
tres términos experimenten modificaciones por intercambio de
unos valores con otros, pero siempre debe mantenerse la suma
total.
Por ejemplo, en la situación A, los puntos 1 y 2 poseen la
misma presión (la atmosférica), por lo que se estaría
produciendo una transformación de energía cinética en
energía de posición.
En B, los dos puntos poseen la misma cota, pero v2<v1 al
ser mayor la sección respectiva; en este caso.se produce
una transformación de energía cinética en energía de
presión.
Por último, en C no se produce variación en la velocidad al
ser la sección de la tubería constante, por lo que el
aumento de la energía de posición se debe realizar a costa
de la energía de presión.

16. • Representando gráficamente

17. La línea de alturas totales se obtiene sumando para cada punto de la
tubería las cotas piezométricas y las alturas de velocidad, y representa la
energía total del fluido.
La trayectoria de la tubería define la línea de alturas geométricas, que
corresponde en cada punto a la cota z del eje longitudinal de la tubería
referido a un plano de referencia.
La línea piezométrica (LP) es la
suma de las alturas de presión y
de posición, y se determina
uniendo los puntos que alcanzaría
el fluido circulante en distintos
piezómetros conectados a lo largo
de la tubería.

18. Perdida de energía
• En toda transformación energética existe una
degradación de energía

19. Aplicaciones de la ecuación
de Bernoulli
• Este principio explica el vuelo de los aviones,
ya que la forma y la orientación de las alas permiten
que el aire pase con mayor velocidad por la parte
superior que por la inferior de éstas.
Luego, la presión encima del ala es menor que la
presión debajo de ella, produciendo una fuerza
resultante dirigida hacia arriba, llamada fuerza
ascensional o de sustentación.
V1
V2
S

20. Aplicaciones de la ecuación
de Bernoulli
….como debe pasar la misma cantidad de aire por arriba y por
debajo del ala, debe recorrer mas distancia el aire en la parte de
arriba (debido a su forma característica), por tanto el aire va mas
deprisa arriba del ala que por abajo.
OK, esto genera una
disminución de presión
en la parte superior, por
tanto se eleva, ya que
tiene una resultante
normal al avión.
Entonces, esta es la primera parte del truco de magia, la
segunda parte es ¿como consiguen ese empuje que permite
la sustentación?

21. Teorema de Torricelli
Cuando un líquido se encuentra confinado dentro de un
recipiente permanecerá estático y sin ningún cambio
físico hasta que un factor afecte tales condiciones.
El factor más común es la aplicación de una fuerza
externa al arreglo, ya sea un poco de viento tocando la
superficie del líquido, un insecto, una bomba que se ha
encendido, etc.
Al existir tal fuerza, se puede ver que el líquido se
deforma muy fácilmente y si una parte de este, o todo,
cambia de posición continuamente se dice que está
fluyendo.
•

22. Tubo de Pitot
• Este dispositivo sirve para medir la
rapidez de flujo de un gas.
• Por un lado, se tiene la presión estática
del gas en las aberturas “a” del tubo.
Por otro, la presión en “b”, que
corresponde a la presión del fluido en
reposo.
• La ecuación de Bernoulli para esos
puntos da:
• Si sustituimos la diferencia de
presiones por la lectura del manómetro
que contiene un fluido de densidad rF,
se tiene:
2
a b
1
P v P
2
r
 
F
2 gh
v
r
r


23. El tubo Venturi ofrece ventajas con respecto a
otros captadores, como son:
• Menor pérdida de carga permanente, que la producida por del
diafragma y la tobera de flujo, gracias a los conos de entrada y
salida.
• Medición de caudales superiores a un 60% a los obtenidos por
el diafragma para la misma presión diferencial e igual
diámetro de tubería.
• El Venturi requiere un tramo
recto de entrada más corto que otros
elementos primarios.
• Facilidad para la medición de flujo de líquidos
con sólidos en suspensión.

24. Aplicaciones de la ecuación
de Bernoulli
El teorema de Torricelli se
expresa por la ecuación:
El efecto Venturi
se muestra por:
v gh
 2
P v P v
1
1
2 1
2
2
1
2 2
2
  
r r

25. • “El Tubo Venturi es un dispositivo que origina una pérdida de
presión al pasar por él un fluido.
En esencia, consta de una tubería corta recta, o garganta, entre
dos tramos cónicos.
La presión varía en la proximidad de la sección estrecha; así, al
colocar un
manómetro ó instrumento
registrador en la
garganta se mide la caída
de presión y hace posible
calcular el caudal instantáneo”.

26. Aplicaciones de la ecuación de
BERNOUILLI
Tubo PITOT: Sirve para medir
la presión total o presión de
estancamiento, es decir, la suma
de la presión estática y la presión
0 dinámica.

27. Tubo PITOT: Sirve para medir
la presión total o presión de
estancamiento, es decir, la suma
de la presión estática y la presión
0 dinámica.

29. Ejercicios
Vaciado de un tanque
Un depósito que contiene agua, densidad, d = 1 kg /l, está herméticamente cerrado teniendo en la cámara
interior una presión de 3 atmósferas. Determinar la velocidad de salida del agua por un grifo situado a 6 m
por debajo del nivel del agua. Si se rompiese el depósito por su parte superior, ¿ qué velocidad de salida
habría ?.
Los datos son los siguientes: 1 atm = 1'033 kp /cm2 = 101234 N/m2
P1 = 3 atm = 303702 N/m2
P2 = 1 atm = 101234 N/m2 por estar en contacto con el exterior
h1 = 6 m
h2 = 0 m por estar en el origen de medidas
v1 = 0 suponiendo que el depósito es extenso comparado con el orificio de salida.
v2 variable a determinar
Aplicamos el teorema de Bernouilli entre un punto situado en el nivel superior del agua del depósito y otro
punto situado en el grifo de salida:
P1 /d + h1 + v1
2 /(2g) = P2 /d + h2 + v2
2 /(2g)
P1 /d + h1 = P2 /d + v2
2 /(2g) ® (P1 - P2) /d + h1 = v2
2 /(2g) ®
v2 = [ 2. g. ( (P1 - P2) /d + h1 ) ]1/2
Sustituyendo datos ® v2 = 22 .9 m/s
Si el depósito se rompiese por la parte superior la presión de la cámara pasaría a
ser de 1 atm, igual a la presión de salida, resultando una velocidad de:
v2 = (2. g. h1)1/2 = 10 ' 8 m/s

30. Velocidad de salida de un depósito
1 Enunciado: Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad ρ, y tiene
un orificio lateral a una distancia y1 del fondo. El diámetro del orificio es
pequeño en comparación con el diámetro del tanque.
El aire del interior del tanque que está encima del líquido se encuentra a
una presión p. Considera que se trata de un flujo laminar sin fricción.
Demuestra que la velocidad a la que el fluido sale por el orificio
cuando la superficie del líquido está a una altura h respecto a él es :
Considera el caso p = p0.
Calcula la distancia a la que llega el agua que sale del
orificio en función de y2 y h.
Supongamos que podemos variar la altura del orificio.
Para un valor fijo de y2, ¿qué valor de h hace máxima la
distancia que alcanza el chorro?

31. Velocidad de salida
El principio de Bernouilli estable que para dos
puntos situados en la misma línea de corriente
Consideremos entonces un punto “2” situado en
la superficie superior del líquido y un punto “1”
en el orificio, de forma que el líquido se mueve
desde uno hacia el otro. En este caso, la relación
anterior da

32. Repasando ---La Ecuación de Continuidad
Flujo a Través de un Tubo
El volumen que cruza una superficie transversal
Si el tubo cambia de diámetro
La ecuación de continuidad
Flujo de Volumen
Flujo de Masa

33. Análisis usando Continuidad y Bernoulli
¿Con qué velocidad sale el agua por un roto?
 La presión en la superficie será la atmosférica.
 La presíon justamente fuera del roto será la atmosférica.
 Como el área del roto es mucho más pequeña que el área de la
superficie, la velocidad del agua en la superficie es despreciable
comparada con la velocidad del agua fuera del roto.
Un tanque abierto al ambiente


34. Análisis usando Continuidad y Bernoulli
Dada la diferencia en presión y las áreas, ¿cuál es el flujo?
 Nuestro punto de partida son las fórmulas generales
Una Tubería Horizontal que cambia de Diámetro
 Los términos en “y” se cancelan.
 p1 > p2 . Conozo (p1 - p2) > 0.
 Tengo dos ecuaciones y dos incógnitas. Puedo resolver.
 Escribir la ecuación de Bernoulli en términos de RV qu
es lo que estoy buscando.

35. Resumen
1 1 2 2
R v A v A
  2 2
1 1 2 2
v d v d

Flujo de fluido laminar en tubería:
PA - PB = rgh
Tubería horizontal (h1 = h2)
2 2
1 2 2 1
½ ½
P P v v
r r
  
Fluido en reposo:
Teorema de Torricelli:
2
v gh

Teorema de Bernoulli:
constante
v
gh
P 

 2
1
2
1
1
1 r
r

36. Quiz
1. Mencionar la diferencia entre conceptos Fluiodo y Fluidez.
2. Cuales son los paramentros principales que se toma en cuenta para
clasificar los fluidos
3. Explique la diferencia de las ecuaciones de Bernoulli fluidos reales y
fluidos ideales.
4. Cual es la diferencia entre Volumen de fluido y Volumen de control
5. Mencione el propósito del teorema de Reynolds
6. Mencione la diferencia de análisis de flujo de Euler y de Lagrange
7. Mencione las 3 principios fundamentales que se utilizan para el
análisis del fluido en movimiento
8. Como se relacionan los principios basicos
9. Conservación de cantidad de movimiento se representa por :
10. Escriba la ecuación de Bernoulli para fluido ideal:
11. Cual es la diferencia entre caudal volumétrico y caudal másico