El documento explica las características de las superficies alabeadas y del hiperboloide. El hiperboloide es una superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría, dando como resultado un hiperboloide de una o dos hojas. Las superficies alabeadas se clasifican en tres tipos dependiendo de las líneas directrices sobre las que se mueve su generatriz recta.

1. U T E - L V T
2º de ingeniería mecánica
Veira Tenorio Daniel Yesid
Ing. Arcesio Ortiz Ballestero
Hiperboloide
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola
alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el
hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia,
cuya ecuación es
,
en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,
mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da
un hiperboloide de dos hojas.
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Hiperboloide de una hoja.

2. 
Hiperboloide de dos hojas.
EcuaciónCartesiana
Generaciónde un hiperboloide.
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el
sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las
coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:
es decir
.
Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

3. la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego:
Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera
coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en
la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:
Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z
aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:
Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos
negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x, y, z, se obtiene
una de estas dos ecuaciones:
(unahoja) (doshojas)
Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación
es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de
simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:
Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección
de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es
decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.
Clasificaciónde las superficiesalabeadas
La línearectageneratrizdebe apoyarse,ensumovimiento,sobre tresdirectrices.
Podemosdividirlassuperficiesalabeadasenlastressiguientesclasificaciones:
1. Sobre doslíneasdirectrices,rectasocurvas, sinperderel contactocon ellas.
2. Sobre doslíneasdirectrices yparalelasaun planodirector.
3. Sobre doslíneasdirectricesyformandoesageneratrizun ánguloconstante conalgún
plano.
La clasificación puede reducirse alaclase 1, con solohacer que algunasde lastres
líneasesténsobre lasuperficiecomolastreslíneasdirectrices.

4. Esta clasificaciónesmuyútil pudiéndose incluirlaclase dosenlatres.Algunasde las
superficiesnotienenunnombre especial,perosi lamayoría,que vamosa indicara
continuación:
1. Tres líneasdirectrices.
a. Tres líneasrectas.Hiperboloide elípticoe hiperboloide de revolución.
b. Dos líneasrectasy unas líneascurva.
c. Una línea rectay dos curvas.LA SUPERFICIE CÓNICA ALABEADA;CUERNODE
VACA.
d. Tres líneascurvas.
2. Dos líneasdirectricesyunplanodirector.
a. Dos líneasrectas.Paraboloide hiperboloide.
b. Una línea rectay una curva. Conoide,helicoide recto.
c. Dos líneascurvasCilindroide
3. Dos líneasdirectricesyunánguloconstante conun planodirector
a. Dos líneasrectas.Hiperboloide concoideo(líneas perpendiculares).
b. Una línea rectay una curva. Helicoide oblicuo.
c. Dos líneascurva.Helicoide oblicuo.
El hiperboloide elíptico
Generación.Lasdirectrices paraestasuperficie alabeada,debensertresrectasque nose
cortenni seanparalelasyningunaparalelaaun planoque lofueraa las otrasdos. Si las tres
líneasfueranparalelasal mismoplanoentonceslasuperficiesllegaraaserun paraboloide
hiperboloide
Cardioide
Una cardioide generadaporunacircunferenciaque rueda.
Una cardiode dada comola envolturade lascircunferenciascuyoscentrospertenecenauna
circunferenciadadayque pasana travésde un puntofijo de una circunferenciadada.
Se llama cardiode a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su semejanza
con el dibujo de un corazón.
La cardiode es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es un caracol de
Pascal, cuando 2a=h.