La cardioide es una curva en forma de corazón generada por el movimiento de una circunferencia rodando sobre otra circunferencia de igual radio sin deslizarse. Su ecuación polar es ρ=a(1+cosθ). Un hiperboloide es una superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría, pudiendo ser de una o dos hojas dependiendo del eje elegido. Las ecuaciones cartesiana y paramétrica de un hiperboloide se describen.

1. Que es una cardioide?
Una cardioide generada por una circunferencia que rueda.
Una cardioide dada como la envoltura de las circunferencias cuyos centros
pertenecen a una circunferencia dada y que pasan a través de un punto fijo de una
circunferencia dada.
Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su
semejanza con el dibujo de un corazón.
La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es
un caracol de Pascal, cuando 2a=h.
La cardioide aparece como envolvente de los rayos de luz reflejados por una
circunferencia cuando el foco de la luz está en el borde.
Cardioide. Curva descrita por un punto de una circunferencia que, sin deslizarse,
rueda alrededor de otra circunferencia de igual radio.
La cardioide es la más sencilla de las epicicloides. Es la curva descrita por un
punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda alrededor de otra
circunferencia de igual radio. Se llama cardioide por su semejanza con el dibujo de
un corazón. La cardiode, conocida también como Caracol de Pascal, en honor de
[[Etienne Pascal], Padre del gran sabio francés Blaise Pascal.
 La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas cartesianas es:
( x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)
La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas polares es: r = a(1+cos(t))

2. Que es una Hiperboloide
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una
hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje
elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de
referencia, cuya ecuación es
,
en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,
mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la
hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Hiperboloide de una hoja.
Ecuaciones del hiperboloide
Ecuación Cartesiana
Generación de un hiperboloide.
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el
sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las
coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

3. Es decir .
Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:
la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego:
Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera
coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma
forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:
Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z
aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:
Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos
negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se
obtiene una de estas dos ecuaciones:
(Una hoja) (Dos hojas)
Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya
ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el
centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la
forma:
Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la
dirección de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en
los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.
Ecuación paramétrica

4. En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide
pueden ser parametrizados de la siguiente manera:
0
Parametrización sin usar las funciones hiperbólicas:
Área
La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los planos
y y de sección transversal circular, es decir, . Su
ecuación queda de la forma .
Si
Volumen
El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja
y los planos z=h/2 y z=-h/2.