Este documento presenta información sobre diferentes tipos de coordenadas (cartesianas, cilíndricas, esféricas) y superficies tridimensionales (esférica, cilíndrica, paraboloide, elipsoide, hiperboloide). Explica los sistemas de coordenadas, cómo representar puntos y ecuaciones de líneas y superficies. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.

1. RepublicaBolivarianade Venezuela
INSTITUTOUNIVERSITARIOPOLITECNICO“Santiago Mariño”
ExtensiónBarcelona
Escuela: Sistemas (47)
Asignatura:Matemáticas III
profesor:
PEDROBELTRAN
BACHILLER:
JOSE PEREIRA
C.I. 28.095.315
BARCELONA, MARZO 2019

2. INTRODUCCION
Dentro del amplio contenido del calculo vectorial el hombre a podido
aprovechar temas tales como: derivadas, integrales, vectores, vectores en
el espacio, movimientos en el espacio, curvatura, maximización,
minimización, aéreas y volúmenes, superficies, entre otros, para darle
solución que se presentan durante la ejecución de cierta actividad
relacionadas con las diversos campos de estudio.
En calculo vectorial es muy frecuente encontrarnos en situaciones donde la
magnitud a estudiar depende de más de una variable. Efectivamente, si la
región de estudio no es unidimensional y contemplamos el estudio en un
plano, a la variable x se le debe añadir una nueva variable, llamémosla y,
con lo que tendremos entonces como variable genérica de la función a
puntos (x,y). Si el estudio es en el espacio tridimensional, añadimos
las variables y, z, y tendremos puntos (x,y,z).

3. Sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es
un sistema que utiliza uno o
más números (coordenadas)
para determinar unívocamente
la posición de un punto u
objeto geométrico.
El orden en que se escriben las
coordenadas es significativo y a veces se
las identifica por su posición en una tupla
ordenada; también se las puede
representar con letras, como por ejemplo
«la coordenada-x».

4. Coordenadas cartesianas
Un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos ejes
ortogonales en un sistema bidimensional y tres ejes ortogonales en
un sistema tridimensional, que se cortan en el origen 0
En este sistema de coordenadas, la
posición de un punto p en el plano queda
determinada mediante una pareja de
números reales (x, y) de los cuales el
primero, x , representa la distancia del
punto p al eje coordenado y, en tanto
que el segundo, y , representa la
distancia del punto p al eje x
La distancia de un punto al
eje y se le llama abscisa del
punto, la de un punto al eje x
se le llama distancia
ordenada del punto

5. Coordenadas cartesianas
REPRESENTACION EN LOS EJES DE COORDENADAS
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes
iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

6. Coordenadas cartesianas
EJEMPLO
REPRESENTE EN EL PLANO CARTESIANO LOS PUNTOS (-2,1); (-4,-2); (0,1); (2,-3);
Y (5,0)

7. Coordenadas cilíndricas
La primera coordenada es la distancia
(r) existente entre el origen y el punto, la
segunda es el ángulo(ϕ)que forman el
eje y la recta que pasa por ambos
puntos, y la tercera es la coordenada (z)
que determina la altura del cilindro
Se definen tres vectores unitarios,
y perpendiculares entre sí que
forman una base ortonormal.

8. Coordenadas cilíndricas
Consideramos un cilindro de radio r y altura
“h#, la posición del punto “p” viene dada por:

9. Coordenadas cilíndricas
APLICACIONES
Calcular el área de un circulo r Deducción de la formula de un
circulo

10. Coordenadas cilíndricas
EJEMPLO
El punto P (-2, -2,2)esta expresado en coordenadas cartesianas. Halla
sus coordenadas cilíndricas

11. Coordenadas esféricas
Un sistema de coordenadas esféricas se usa
en espacios euclídeos tridimensionales. Este
sistema de coordenadas esféricas está
formado por tres ejes mutuamente
perpendiculares que se cortan en el origen 0
La primera coordenada (r) es la distancia entre el
origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos
que es necesario girar para alcanzar la posición
del punto. Se definen tres vectores unitarios
perpendiculares entre sí que forman una base
ortonormal.

12. Coordenadas esféricas

13. Coordenadas esféricas
APLICACIONES
Determinar la formula del
volumen de una esfera

14. Coordenadas esféricas
EJEMPLO
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por la
ecuación rectangular. Esfera:
Utilizando las fórmulas para convertir de
coordenadas rectangulares a esféricas y viceversa:

15. ecuación general
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son
simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en
las variables x e y.
TEOREMA: TEOREMA: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) ,
A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una
línea recta.

16. ecuación general
DEMOSTRACION:
Caso 1: A = 0, B diferente de
0.
En este caso, la ecuación (1)
se transforma en By + C = 0,
de donde,
La ecuación (2) representa
una línea recta paralela al
eje x y cuyo intercepto con el
eje y.
Caso 2: En este caso, la
ecuación (1) se
transforma en Ax + C =
0, de donde, La
ecuación (3) representa
una línea
recta paralela al
eje y, y cuyo intercepto
con el eje x es :
Caso 3: En este caso,
la ecuación (1) puede
escribirse en la
siguiente forma: La
ecuación (4) representa
una línea recta, cuya
pendiente es y cuyo
intercepto con el eje y
viene dado por;

17. ecuación general
EJEMPLOS:
Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director V igual (-2, 1)
Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

18. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Se denomina función de varias variables con dominio de
definición con n > 1 entero y m entero, a cualquier
aplicación de la forma :
Sea D un subconjunto de .Si a cada le
corresponde un numero real
Se dice que f es una función de las variables
EJEMPLO

19. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
FORMAS DE EXPRESIÓN

20. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Las funciones de varias variables pueden
combinarse de la misma forma que las funciones de
una variable

21. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DOMINIO
El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto de ℝ n que
a veces, pero no siempre, se define explícitamente. El dominio es el conjunto de
valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina
EJEMPLO
Ejemplo 1 La función f esta definida para todo (x, y) ∈ y por tanto el
dominio de f es D = R 2 .
Ejemplo 2 Para que la función f este definida es necesario que
Entonces
Así el dominio de f será el siguiente conjunto:

22. superficie esférica
Una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto
de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro
PARTES DE LA
SUPERFICIE
ESFÉRICA
Zona Esférica: Es la parte de la superficie de la
esfera comprendido entre dos planos paralelos.
Huso Esférico: Es la parte de la superficie esférica
limitado por dos semicircunferencias máximas qT
tienen un mismo diámetro.
Esfera: El sólido generado por la rotación de un
semicírculo alrededor de su diámetro tomado
como eje.

23. superficie esférica
EJEMPLO

24. superficie esférica
EJEMPLO

25. superficie cilíndrica
Son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una
curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma.
A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.

26. superficie cilíndrica
EJEMPLO Represente los cilindros:

27. paraboloide
Un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se
describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:
Paraboloide hiperbólico Paraboloide elíptico
será hiperbólico cuando
los términos cuadráticos
de su ecuación canónica
sean de signo contrario:
será elíptico cuando los
términos cuadráticos de
su ecuación canónica
sean del mismo signo:

28. paraboloide
Características de los paraboloides
Paraboloide hiperbólico
• El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al
origen de coordenadas.
• El origen de coordenadas es el vértice del
paraboloide elíptico.
• El paraboloide elíptico es simétrico respecto al eje
z.
• El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los
planos x-z e y-z.
• Las secciones con planos paralelos a los
coordenados y al eje del paraboloide son parábolas.
• Las secciones con planos perpendiculares al eje
del paraboloide elíptico son elipses.
• El paraboloide elíptico se extiende para todo x, y, y
z ≥ 0.
Una ecuación paramétrica de este paraboloide
elíptico es:
• El paraboloide hiperbólico no es simétrico respecto
al origen de coordenadas.
• El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto al
eje z.
• El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto a
los planos x-z e y-z.
• Las secciones con planos paralelos a los
coordenados y al eje del paraboloide hiperbólico son
parábolas
• Las secciones con planos perpendiculares al eje
del paraboloide hiperbólico son hipérbolas.
• El paraboloide hiperbólico se extiende
infinitamente.
Una ecuación paramétrica de este paraboloide
hiperbólico es:
Paraboloide elíptico

29. paraboloide
EJEMPLO paraboloide elíptico
Analizar la superficie de ecuación:

30. paraboloide
EJEMPLO paraboloide hiperbólico
Analizar la superficie de ecuación:

31. elipsoide
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales
principales son elípticas
Tiene por ecuación:
Las trazas del elipsoide son elipses,
es decir, la intersección con planos
paralelos a los planos coordenados
es una elipse

32. elipsoide
EJEMPLO
Analizar la superficie de ecuación:

33. hiperboloide
La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una
hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Los hiperboloides son
cuádricas con centro de simetría
Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hoja
Es la superficie que se engendra al deslizar
un segmento inclinado sobre dos círculos
horizontales y se expresa en un sistema de
coordenadas cartesiano mediante la
formula:
Es la superficie que en un sistema
de coordenadas cartesianas se
determina por la ecuación:

34. hiperboloide
EJEMPLO Hiperboloide de una hoja
Analizar la superficie de ecuación:

35. hiperboloide
EJEMPLO Hiperboloide de dos hojas
Analizar la superficie de ecuación:

36. CONCLUSIÓN
Con esta presentación se puede dar una idea
de la importancia y del uso de los diversos
tipos de coordenadas y de su correcta
aplicación, además de la identificacion y
forma de calcular las diferentes supercies
tridimensionales as cuales son importantes
en diversos campos de la física y
la ingeniería, así como en el diseño, cuando
se dibujan objetos digitalmente, sus
superficies pueden ser calculadas de este
modo sin necesidad de medir la longitud o el
radio del objeto.

37. BIBLIOGRAFÍA
• Function of several real variables (2019. Febrero 6). Recuperado de:
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_of_several_real_variables
• Ecuación general de la recta (2017) . Recuperado de:https://www.vitutor.com/geo/rec/d_5.html
• ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. GEOMETRIA ANALITICA 3º (s.f). Recuperado de:
https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-2/ecuacion-general-de-larecta
• Cálculo vectorial – Temas de cálculo (s.f). Recuperado de: https://temasdecalculo.com/temas-disponibles/calculo-vectorial/
• Función de varias variables reales – Wikipedia (2019. Febrero 6), Recuperado de:
https://en.wikipedia.org/wiki/Function_of_several_real_variables
• Esfera (2019. Marzo 20). Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera
• Superficie Esférica (s.f). Recuperado de: https://es.scribd.com/document/203752021/superficie-esferica
• Problemas resueltos de superficies esféricas (2012). Recuperado de:
• Paraboloide (2019. Marzo 20). Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
• Hiperboloide (s.f). Recuperado de: http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/superficies/hiperboloide.html