El documento describe el hiperboloide, una superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas. Se presentan las ecuaciones cartesiana y paramétrica del hiperboloide.

1. ESTUDIANTE: CELORIO QUIÑONEZHECTOR
CURSO: 2DO DE INGENIERIAMECANICA
Hiperboloide
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del
eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de
referencia, cuya ecuación es
,
en el sistema de coordenadas
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,
mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la
hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas
ECUACIONES DEL HIPERBOLOIDE
EcuaciónCartesiana
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema
de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas
en este sistema, entonces tenemos la igualdad:
es decir
.

2. ESTUDIANTE: CELORIO QUIÑONEZHECTOR
CURSO: 2DO DE INGENIERIAMECANICA
Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:
la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1,
luego:
Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera
coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la
ecuación, concretamente precedido del signo «+»:
Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z aparece
bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:
Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos
negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una
de estas dos ecuaciones:
(una hoja) (dos hojas)
Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación es,
en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y
cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:
Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección de
los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es decir
que, fundamentalmente, tienen la misma forma.
Ecuaciónparamétrica
En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide pueden
ser parametrizados de la siguiente manera:

3. ESTUDIANTE: CELORIO QUIÑONEZHECTOR
CURSO: 2DO DE INGENIERIAMECANICA
Parametrización sin usar las funciones hiperbólicas: