Este documento introduce las propiedades de las desigualdades e inecuaciones. Explica que las inecuaciones son desigualdades que incluyen una o más incógnitas. Cubre cómo resolver inecuaciones de primer grado, fraccionarias y con valor absoluto. También presenta propiedades del valor absoluto como que es siempre no negativo y que la magnitud de una suma es menor o igual a la suma de las magnitudes individuales.

1. INECUACIONES
Introducción a la Matemática 2021

2. Propiedades de las desigualdades
1.- Dados a , b  R se satisface una y sólo una de las siguientes relaciones:
a = b ; a  b ; a  b
2.- Siendo a,b,c  R , si a  b  a + c  b + c
3.- Siendo a , b ,  R, c 0 si a  b  ac  bc.
4.- Siendo a , b R, c  0, si a  b  ac  bc.
5.- Si a  b y b  c  a  c ; a , b , c  R

3. INECUACIONES
Son desigualdades en las que figuran una o más incógnitas o variables
Ejemplos
■ 2+3x<x+3 es una inecuación de 1er grado en la variable x
■ es una inecuación fraccionaria
■ es una inecuación con valor absoluto.
Más adelante veremos
■ Inecuaciones de segundo grado en x: Ej: x2 -x- 3>0
■ Inecuaciones lineales en dos variables: Ej: 2x+y+3≤0
1
1
1



x
x

6. Resolver el sistema:
x + 2  3x – 1 ( 1 )
2x + 3  7 + x ( 2 )
( 1 ) x + 2  3x – 1 x – 3x  -1 –2 -2x  -3 x 
2
3
1
S =







2
3
/ x
x = 







,
2
3
(2) 2x + 3  7 + x 2x – x  7 –3 x  4
2
S = x / x  4  = (-  , 4 )
2
1 S
S
S 

Gráficamente
0
2
3
1
S
0 2
S 4
2
1 S
S
S 
 =








 4
2
3
/ x
R
x = 






4
,
2
3
0
2
3
4

9. Inecuaciones fraccionarias
Ejemplo:
Debemos razonar a partir del signo de la fracción. ¿Cuándo una fracción es positiva o cero?
Sabemos que si el numerador y el denominador de la fracción tienen el mismo signo la fracción es
positiva (>0) y la fracción solamente es igual a cero si su numerador es cero.
Resultan dos sistemas de inecuaciones
S1 x≥0 S2 x≤0
x+2>0 x+2<0
S=S1 U S2
Verificar la solución S: [0;+∞) U (- ∞;- 2)
0
2


x
x

10. Otro ejemplo de inecuación fraccionaria
Resolver:
-5 < 0
3x+2>0
3x+2>0
3x > -2
x>-2/3
S= (-2/3; +∞)

11. Concepto previo
Valor absoluto de un número real:
|x|=x sii x≥0
|x|= - x sii X<0
Ejemplo
|3|=3 ; |-5|=5 ; |0|=0
Observación: el valor absoluto de un número real es siempre no
negativo. Además |x|=|-x|

12. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
 x   a ; a 0  -a  x  a
En este caso S =  -a , a .
0
 x   a ; a  0  x  a ó x  -a
En este caso:
S = ( - , -a   a, +  )
0
-a a

13.  x – 2   3
Ejemplo
-3  x – 2  3
2 – 3  x  2 + 3
-1  x  5
 = 3  = 3
-1 0 x0 =2 5

14.  x + 2   5
Ejemplo
x + 2  5 ó x + 2  -5 es decir:
x  3 ó x  -7
S = { x  R / x  3 ó x  -7 } = ( 3, +  )  ( - , -7 )
-7 0 3

15. Propiedades del valor absoluto
2
x =  x 
 a b  =  a   b 
b
a
=
b
a
; b  0
a+b  a  +  b , v a , b  R
Introducción a la Matemática. Ana M. Craveri