Este documento resume los diferentes tipos de inecuaciones y sus métodos de resolución. Explica inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, polinómicas y con radicales. Para cada tipo presenta ejemplos resueltos mostrando los pasos para determinar el conjunto solución. Los métodos incluyen puntos críticos, ley de signos, completar cuadrados, discriminante y teoremas para radicales.

1. INECUACIONES
Pedro Mannuel Lopez
to
4

2. Una inecuación lineal o de primer grado con una
variable x, es una desigualdad de la siguiente forma:
INECUACIONES LINEALES
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
ax + b > 0
ax + b > 0

3. Ejemplos:
Hallar el conjunto solución de:
3 x - 5 > 5x + 1
Solución:
3 x - 5 > 5x + 1
3 x - 5x > 1 + 5
-2 x > 6
2x < - 6
x < - 6/2
x < -3
C.S = < -∞; - 3>
Hallar el conjunto solución de:
6 x - 3 - (2x – 6) ≥ x - 3
2 4
Solución:
12 x - 6 – 4 (2x – 6) ≥ x - 3
12 x - 6 –8x +24 ≥ x – 3
12x - 8x – x ≥ -3 +6 -24
3x ≥ 21
x ≥ -21/3
x ≥ -7
C.S = < - 7; ∞>

4. INECUACIONES CUADRÁTICAS
Una inecuación cuadrática o de segundo grado con
una variable x, es una desigualdad de la siguiente
forma:
Donde a, b y c pertencen a los reales a ≠ 0.
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
ax2 + bx + c> 0
ax2 + bx + c > 0

5. METODOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRATICA
• Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones
existen los siguientes métodos:
1. Método de los Puntos Críticos
2. Método de Ley de Signos
3. Método de Complementación de Cuadrados Perfectos
4. Método del Discriminante

6. Ejemplos:
1. Hallar el conjunto solución de:
X2 - X – 6 ≥ 0
Solución: Método de los Puntos Críticos
1. Factorizamos la expresión (método del aspa
simple o formula general)
2. Hallamos los puntos críticos, Igualamos cada
factor a cero
3. Ubicamos en la recta numérica los puntos
críticos y alternamos con los signos +,-,+
4. Hallamos el conjunto solución si P(X) > 0
tomamos los intervalos con signo positivo y si
P(X) < 0 tomamos los intervalos con signo
negativo. -2 3
+
+ -
1. Hallar el conjunto solución de:
X2 - X – 6 ≥ 0
Solución
Factorizando la expresión (aspa simple):
(x-3) (x +2) ≥ 0
Hallando los puntos críticos: Igualando cada factor
a cero, se tiene:
x – 3 = 0 x + 2 = 0
x = 3 x = -2
Ubicando lo puntos críticos en la recta numérica:
C. S = <-∞;2] U [ 3; +∞>

7. Ejemplos:
1. Hallar el conjunto solución de:
X2 - X – 6 ≥ 0
Solución: Ley de Signos
1. Factorizamos la expresión de la forma: ab ≥ 0
2. Para que la expresión se mayor o igual que cero, solo
ocurre si los dos factores son positivos o los dos
factores son negativos . Entonces tenemos:
ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ^ b ≥ 0) ᵥ (a ≤ 0 ^ b ≤ 0)
ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ^ b ≤ 0) ᵥ (a ≤ 0 ^ b ≥ 0)
3. Se halla el conjunto solución según la operación
indicada.
-
1. Hallar el conjunto solución de:
X2 - X – 6 ≥ 0
Solución: Ley de Signos
Factorizando la expresión :
(x-3) (x +2) ≥ 0
Según la ley de signos:
(x-3) (x +2) ≥ 0 ↔ [x-3 ≥ 0 ^ x +2 ≥ 0] ᵥ [x-3 ≤ 0 ^ x +2 ≤ 0]
Graficando:
[x-3 ≥ 0 ^ x +2 ≥ 0]
CS1 = [ 3; +∞>
Graficando:
[x-3 ≤ 0 ^ x +2 ≤ 0]
C.S2 = <-∞;2]
C. S = CS1 U C.S2 = <-∞;2] U [ 3; +∞>
-2 3
-2 3

8. Ejemplos:
1. Hallar el conjunto solución de:
X2 - X – 6 ≥ 0
Solución: Método de Completar Cuadrados:
1. Para aplicar este método se debe tener en cuenta las
siguiente propiedades:
Si : X2 ≤m ↔ -√ m ≤ X ≤ √ m
Si : X2 ≥ m ↔ X ≥ √ m ᵥ X ≤ -√ m
2. X2 - X – 6 ≥ 0
X2 - X+ (1/2)2 - (1/2)2 – 6 ≥ 0
(X - ½) 2 ≥ 25/4
Aplicando la propiedad:
Si : X2 ≥ m ↔
(X - ½) 2 ≥ 25/4 ↔ X-1/2 ≥ √ 25/4 ᵥ X-1/2 ≤ -√ 25/4
X ≥3 X ≤ -2
C.S = <-∞;2] U [ 3; +∞>
X ≥ √ m ᵥ X ≤ -√ m
Ejercicios
Hallar el conjunto solución de :
a) 3x2 -11x + 6 < 0
a) 3x2 -2x - 5 < 0
a) 2x2 -x + 10 ≥0
a) x2 -6x + 25 < 11

9. Es una desigualdad que tiene la siguiente forma:
Donde P(x) y Q(x) son monomios, binomios o polinomios no nulos con
coeficientes reales.
Para resolverla inecuación racional o fraccionaria tenemos los
siguientes casos:
INECUACIONES RACIONALES
P(x) > 0 ó P(x) < 0 ; Q(x) ≠ 0
Q(x) Q(x)

10. CASO I: Tiene la siguiente forma:
ax + b > 0 ó ax + b < 0
cx +d cx +d
Aplicando la propiedad:
(ax + b )(cx +d) > 0 ó (ax + b) (cx + d )< 0
Se iguala cada factor a cero para hallar los
puntos críticos, teniendo en cuenta que el
denominador debe ser diferente de cero.
Se grafican los puntos críticos en la recta
numérica y se hallan los intervalos del conjunto
solución.
+
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución de:
x + 1 > 0
x -2
(x + 1 )(x -2) > 0 ; x ≠ 2
C.S = <-∞; -1> U < 2; +∞>
-1 2
-
+

11. CASO II: Tiene la siguiente forma:
ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0
a’x2 + b’x + c’ a’x2 + b’x + c’
Cuando uno de los trinomios no tiene soluciones
reales o tiene raíz doble
Para saber que tipo de solución tiene la
inecuación se trabaja con el discriminante (∆), si
uno de los trinomios:
Si ∆ > 0 tiene dos soluciones reales y diferentes
se procede a factorizar.
Si ∆ = 0 tiene solución doble. Entonces es un
trinomio cuadrado perfecto para todo x ЄR. Se
analiza el punto.
Si ∆ < 0 no presenta soluciones en los reales sino
en los complejos. Por tanto no se toma para el
análisis del conjunto solución.
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución de:
x2 – x - 12 < 0
x2 -2x + 3
Analizamos cada trinomio:
x2 – x – 12 ∆= (-1)2-4(1)(-12)>0 Factorizar
x2 -2x + 3 ∆= (-2)2-4(1)(3)<0 no se toma
como parte del CS
Luego la Inecuación equivalente es:
(x+3)(x-4)<0
C.S = <-3; 4>
-3 4
+
-
+

12. Ejemplo:
Hallar el conjunto solución de:
1 + 15 – 7x > 0
x2 + x- 6
Resolviendo se tiene:
x2 -6x+9 > 0
x2 + x- 6
Analizando los trinomios:
x2 – 6x +9 ∆= (-6)2-4(1)(9)=0 solución doble . X Є R – {-3}
x2 +x - 6 ∆= (1)2-4(1)(-6)>0 soluciones reales y diferentes
La Inecuación equivalente es:
1 > 01 ; x≠ 3; x ≠ -3; x≠ 2
(x+3)(x-2)
Luego, tenemos:
(x+3)(x-2)>0 ; x≠ 3; x ≠ -3; x≠ 2
-3 2
+
-
+
CS =<-∞;-3> U <2;+∞> - {3}

13. Llamadas también inecuaciones de
orden superior y tienen las
siguientes formas:
Donde:
{a0,a1,a2,….an} Є R ; a0 ≠0; n Є Z; n≥ 3
INECUACIONES POLINOMICAS
a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + … + an > 0
a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + … + an ≥ 0
a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + … + an < 0
a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + … + an ≤ 0
Existen 3 casos para resolver
inecuaciones polinómicas:
CASO I: Cuando los factores del polinomio son de
multiplicidad simple
CASO II: Cuando los factores del polinomio son
lineales y algunos de multiplicidad múltiple
CASO III: Cuando los factores del polinomio son
de lineales y cuadráticos

14. CASO I: Cuando los factores del polinomio
son de multiplicidad simple
Ejemplo: Hallar el conjunto solución:
x4 + 2x3 - 9x2 - 2x +8 >0
Se resuelve:
Se factoriza la expresión
Cada factor se iguala a cero para hallar los
puntos críticos.
Se grafica los puntos críticos en la recta
numérica.
Se coloca +,-,+,- sucesivamente
El C.S serán positivos si P(X)>0 o serán negativos
si P(x)<0
Solución:
Factorizando la expresión por aspa doble,
tenemos:
(x+4)(x+1)(x-1)(x-2) > 0
Igualando cada factor a cero para hallar los puntos
críticos:
x+4=0 x+1=0 x-1=0 x-2= 0
x=-4 x=-1 x=1 x=2
Graficando en la recta numérica:
CS = <-∞;-4> U <-1;1> U <2;+∞>
-4 - 1 1 2
+
-
- +
+

15. CASO II: Cuando los factores del polinomio son
lineales y algunos de multiplicidad múltiple
Sea (x-r) un factor del polinomio que se repite m
veces, entonces puede ocurrir lo siguiente:
1. Si m es par
(x-r)m(x-a)(x-b)>0 ↔ (x-a)(x-b) y x≠r (restricción)
(x-r)m(x-a)(x-b)<0 ↔ (x-a)(x-b) y x≠r (restricción)
(x-r)m(x-a)(x-b)≥0 ↔ (x-a)(x-b); x=r
(x-r)m(x-a)(x-b)≤ 0 ↔ (x-a)(x-b); x=r
En conclusión:
Si m es par, para obtener el conjunto solución solo
se considera los demás factores teniendo en
cuenta las restricciones según sea el caso.
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución: x4 -9x2 +4x +12 ≥ 0
Solución:
Factorizando: (x-2) 2(x+1)(x+3) ≥ 0
El factor (x-2) 2 es de multiplicipad par , la
inecuación equivalente es:
(x+1)(x+3) ≥ 0 x = 2
-3 -1 2
+
+ -
C.S = <-∞;-3]U [-1; +∞>

16. CASO II: Cuando los factores del polinomio son
lineales y algunos de multiplicidad múltiple
Sea (x-r) un factor del polinomio que se repite m
veces, entonces puede ocurrir lo siguiente:
2. Si m es impar
(x-r)m(x-a)(x-b)>0 ↔ (x-r)(x-a)(x-b)
(x-r)m(x-a)(x-b)<0 ↔) (x-r)(x-a)(x-b)
En conclusión:
Si m es impar, la inecuación se resuelve como en
el caso I
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución: x5 -4x3 +2x 2+3x -2 < 0
Solución:
Factorizando: (x-1) 3(x+1) (x+2) < 0
La inecuación equivalente es:
(x-1)(x+1) (x+2) < 0 x = 2
-2 -1 1
+
+ -
C.S = <-∞;-2>U <-1; +1>
-

17. CASO III: Cuando los factores del polinomio
son de lineales y cuadráticos
Cuando el factor cuadrático no tiene soluciones en
los reales entonces se puede prescindir de ese
factor. Para ello analizamos usando el
discriminante.
∆ = b2 -4ac
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución: x5 -2x4 –x3 -2x 2-20x +24 < 0
Solución:
Factorizando: (x+2)(x-1) (x-3)(x2+4) < 0
El factor (x2+4) no tiene soluciones en los reales, entonces
La inecuación equivalente es:
(x+2)(x-1) (x-3)< 0
-2 1 3
+
+ -
C.S = <-∞;-2>U <1; +3>
-

18. Teoremas a tener en cuenta para la resolución de inecuaciones con
radicales:
INECUACIONES CON RADICALES
Teorema 1
Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a ≤ √b ↔ 0 ≤ a ≤b
Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a < √b ↔ 0 ≤ a <b
Teorema 2
√a+ √b ≥0 ↔ a ≥ 0 ^ b ≥ 0
√a+ √b ≤ 0 ↔ a = 0 ^ b = 0
Teorema 3
Si √a ≤b ↔ a ≥ 0 ^ (b > 0 ^ a ≤b2)
Si √a <b ↔ a ≥ 0 ^ (b > 0 ^ a <b2)
Teorema 4
Si √a ≥ b ↔ a ≥ 0 ^ [b<0 ᵥ (b ≥ 0 ^ a ≥ b2)]
Si √a > b ↔ a ≥ 0 ^ [b<0 ᵥ (b ≥ 0 ^ a > b2)]
Teorema 5: cuando el índice de la raíz es n
√a ≤ √b ↔ a ≤b
√a < √b ↔ a <b
√a > 0 ↔ a >0
√a < 0 ↔ a < 0

19. INECUACIONES CON RADICALES
Ejemplo: Resolver:
-
<
Por teorema se tiene:
Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a < √b ↔ 0 ≤ a <b
0 ≤ x2 +x -20 < x +16
x2 +x -20 ≥ 0 ^ x2 +x -20 < x +16
(x-5)(x+4) ≥ 0 x2 ≤ 36
CS =<-6;-5] U [4;6>
Ejemplo: Resolver: <
Por teorema se tiene:
√a+ √b ≤ 0 ↔ a = 0 ^ b = 0
X2 – 6x +5 = 0 ^ x2 -7x +10 = 0
(x-1)(x-5)=0 ^ (x-5)(x-2)=0
C.S = {5}

20. INECUACIONES EXPONENCIALES
Las inecuaciones exponenciales tienen
la siguiente forma:
b P(x) < b Q(x)
b P(x) > b Q(x)
Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Para
resolverlas se tiene en cuenta:
b P(x) ≤ b Q(x)
b P(x) ≥ b Q(x)
PRIMER CASO: si b>1
b P(x) > b Q(x) ↔ P(x) >Q(x)
b P(x) < b Q(x) ↔ P(x) <Q(x)
SEGUNDO CASO: si 0<b<1
b P(x) > b Q(x) ↔ P(x) <Q(x)
b P(x) < b Q(x) ↔ P(x) >Q(x)

21. INECUACIONES EXPONENCIALES
Ejemplo: Resolver 16(2x-2)x < Ejemplo: Resolver (0,25)(1,25) <
-x2+2
[(
4-x
24(2x2-2x)<23/2x-3
2 x2 -2x +4 < 2 3-x+3
x2 -2x + 4 < 3-x+3
X2 –x- 2 <0
(x-2)(x+1)<0
C.S=<-1;2>
Caso I:
Caso II:

22. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Teoremas a tener en cuenta para resolver
inecuaciones con valor absoluto:
│x │≥ y ↔ x ≥ y ó x ≤ y
│x │≤ y ↔ - y ≤ x ≤ y
│x │≤│ y│ ↔ x 2≤ y2
Ejemplo: Resolver │2x + 1 │≥ 2
Solución:
2x + 1 ≥ 2 ó 2x + 1 ≤ 2
X ≥ ½ x ≤ -3/2
-3/2 1/2
C.S = <- ∞;3/2> U <1/2; +∞>
Ejemplo: Resolver │4 - x │<│ 3 + 2x│
Solución:
│4 - x │<│ 3 + 2x│↔ (4 – x )2 <( 3 + 2x)2
16-8x +x2 < 9+12x +4x2
3x2 +20x-7>0
(3x-1)(x+7)>0
C.S = <-∞;7> U <1/3; ∞>