Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con inecuaciones. Introduce inecuaciones lineales y cuadráticas, explicando cómo resolverlas mediante transformaciones equivalentes para determinar el conjunto solución. También explica cómo resolver inecuaciones donde cada miembro es un producto usando tablas de signos basadas en las propiedades de la multiplicación en los números reales.
Este documento presenta los métodos para resolver inecuaciones cuadráticas. Explica que dependiendo del valor del discriminante, las inecuaciones pueden factorizarse o no. Detalla los pasos para factorizar inecuaciones cuadráticas y aplicar el método de los puntos críticos. Incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de inecuaciones cuadráticas y ejercicios propuestos para practicar.
El documento describe diferentes casos de descomposición de fracciones racionales en fracciones parciales. Explica que cuando el denominador es un producto de factores lineales distintos, la fracción se puede descomponer en fracciones parciales individuales. Cuando el denominador contiene factores cuadráticos o lineales repetidos, la descomposición contiene términos adicionales. Proporciona ejemplos para ilustrar cada caso.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver inecuaciones y sistemas de ecuaciones. Incluye inecuaciones de primer grado con uno y varios factores, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3 resueltos mediante el método de Cramer, y ejercicios para practicar la resolución de inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
1. El documento explica cómo calcular la integral de la potencia de una suma y de funciones exponenciales. 2. Proporciona fórmulas para integrar funciones que involucran tangente, cotangente, secante y cosecante. 3. También cubre casos especiales como cuando el integrando es una fracción de la forma dv/v.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento describe ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal en una variable puede reducirse a la forma ax + b = 0 y que las soluciones son los valores que satisfacen esta ecuación. También define funciones lineales como correspondencias entre conjuntos donde a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento de la imagen.
Reglas practicas para el calculo de limites de funcionesJose Vega
Este documento presenta reglas y métodos para calcular límites de funciones. Explica cómo calcular límites laterales para determinar si una función tiene límite o no en puntos de indeterminación. También describe cómo simplificar funciones racionales mediante la descomposición en factores primos y cómo multiplicar y dividir por el conjugado para funciones que contienen raíces cuadradas. Por último, explica cómo calcular límites cuando el argumento tiende al infinito dividiendo el numerador y denominador por la mayor potencia.
Las fracciones parciales se utilizan para descomponer expresiones racionales en sumas de fracciones más simples. Existen cuatro casos de descomposición: 1) cada denominador es lineal, 2) un factor lineal repetido, 3) un factor cuadrático irreducible, 4) un factor cuadrático repetido. El documento explica los pasos para realizar cada tipo de descomposición con ejemplos.
Este documento presenta los métodos para resolver inecuaciones cuadráticas. Explica que dependiendo del valor del discriminante, las inecuaciones pueden factorizarse o no. Detalla los pasos para factorizar inecuaciones cuadráticas y aplicar el método de los puntos críticos. Incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de inecuaciones cuadráticas y ejercicios propuestos para practicar.
El documento describe diferentes casos de descomposición de fracciones racionales en fracciones parciales. Explica que cuando el denominador es un producto de factores lineales distintos, la fracción se puede descomponer en fracciones parciales individuales. Cuando el denominador contiene factores cuadráticos o lineales repetidos, la descomposición contiene términos adicionales. Proporciona ejemplos para ilustrar cada caso.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo resolver inecuaciones y sistemas de ecuaciones. Incluye inecuaciones de primer grado con uno y varios factores, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3 resueltos mediante el método de Cramer, y ejercicios para practicar la resolución de inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
1. El documento explica cómo calcular la integral de la potencia de una suma y de funciones exponenciales. 2. Proporciona fórmulas para integrar funciones que involucran tangente, cotangente, secante y cosecante. 3. También cubre casos especiales como cuando el integrando es una fracción de la forma dv/v.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento describe ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal en una variable puede reducirse a la forma ax + b = 0 y que las soluciones son los valores que satisfacen esta ecuación. También define funciones lineales como correspondencias entre conjuntos donde a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento de la imagen.
Reglas practicas para el calculo de limites de funcionesJose Vega
Este documento presenta reglas y métodos para calcular límites de funciones. Explica cómo calcular límites laterales para determinar si una función tiene límite o no en puntos de indeterminación. También describe cómo simplificar funciones racionales mediante la descomposición en factores primos y cómo multiplicar y dividir por el conjugado para funciones que contienen raíces cuadradas. Por último, explica cómo calcular límites cuando el argumento tiende al infinito dividiendo el numerador y denominador por la mayor potencia.
Las fracciones parciales se utilizan para descomponer expresiones racionales en sumas de fracciones más simples. Existen cuatro casos de descomposición: 1) cada denominador es lineal, 2) un factor lineal repetido, 3) un factor cuadrático irreducible, 4) un factor cuadrático repetido. El documento explica los pasos para realizar cada tipo de descomposición con ejemplos.
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo definiciones, métodos de resolución, propiedades de las raíces y ejemplos.
2) Se explican los métodos de resolución por factorización y fórmula cuadrática, así como propiedades como la suma, producto y diferencia de raíces.
3) También se detallan conceptos como la naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y la formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces.
Este documento describe métodos para descomponer fracciones en una suma de fracciones parciales cuando el denominador es un polinomio factorizable. Explica cómo encontrar los coeficientes cuando las raíces son reales y distintas, reales y repetidas, y provee ejemplos para ilustrar los métodos.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
El documento describe cuatro casos de fracciones parciales y un procedimiento para descomponer expresiones racionales en fracciones parciales cuando cada denominador es lineal. Explica cómo factorizar el denominador para obtener factores lineales o cuadráticos, y cómo colocarlos para descomponer la expresión en fracciones parciales con denominadores diferentes. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
El documento presenta información sobre funciones cuadráticas, racionales y fracciones parciales. Incluye descripciones de cómo descomponer expresiones racionales usando diferentes tipos de factores como lineales, cuadráticos y cuadráticos irreducibles en el denominador.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
Este documento presenta los números naturales y algunos de sus conceptos fundamentales como los axiomas de Peano, la inducción matemática, el factorial y el teorema del binomio. Explica que los números naturales se construyen a partir de los axiomas de Peano y que la inducción matemática puede usarse para demostrar propiedades de los naturales. Luego define el factorial y cómo aplicar el teorema de Newton para desarrollar binomios, encontrando cualquier término mediante la fórmula general. Finalmente, presenta ejercicios resueltos como
Este documento presenta los criterios y propiedades para calcular integrales impropias. Explica que existen integrales impropias de primera y segunda especie dependiendo del intervalo de integración o si la función es no acotada. Proporciona ejemplos de cómo aplicar los criterios de convergencia como el teorema de comparación o el criterio del cociente. Luego, resuelve un ejercicio calculando la integral impropia dada mediante el uso de integración por partes y cambios de variable.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Algebra pre ecuacion cuadratica (resueltos)Lukas Gallardo
Este documento presenta los conceptos básicos de las ecuaciones de segundo grado, incluyendo su forma general, métodos de resolución, y propiedades de las raíces. Explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización o aplicando la fórmula general, y discute el significado del discriminante y sus implicaciones para el número y tipo de raíces. También cubre cómo formar una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces conocidas.
El documento resume cuatro ejercicios matemáticos que involucran ecuaciones lineales y no lineales. El Ejercicio 28 involucra una ecuación no lineal que se resuelve usando logaritmos para obtener la solución irracional A. El Ejercicio 31 también es no lineal y usa logaritmos para derivar la solución irracional B. El Ejercicio 39 es cuadrático y usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces iguales. El Ejercicio 43 es no cuadrático pero se reduce a
Este documento presenta problemas resueltos sobre desigualdades y programación lineal para el curso de cálculo diferencial de químico biólogo. Contiene secciones sobre propiedades de las desigualdades, intervalos, problemas resueltos de desigualdades, valor absoluto, desigualdades y valor absoluto, desigualdades lineales en dos variables, desigualdades lineales simultáneas y solución gráfica a problemas de programación lineal. Incluye también problemas adicionales para resolver y una bibliografía.
El documento presenta información sobre ecuaciones algebraicas de primer grado. Explica cómo reconocer y clasificar ecuaciones algebraicas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante el despeje de la incógnita. También cubre conceptos como igualdad, variable, conjunto solución y clasificaciones de ecuaciones.
El documento presenta un resumen de cinco unidades de álgebra lineal. La unidad I cubre ecuaciones de primer grado y simultáneas. La unidad II trata sobre matrices. La unidad III explica conceptos de inversas. La unidad IV describe métodos de solución como Gauss y Gauss-Jordan. Finalmente, la unidad V aborda la solución de problemas y espacios vectoriales.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define conceptos como igualdad, identidad y ecuación. Explica las propiedades de la igualdad y las reglas para despejar literales. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado simples y con signos de agrupación.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento define una inecuación lineal con dos variables como una expresión de la forma ax + by ≤ c, donde a, b y c son números reales y x e y son las incógnitas. Explica que la recta definida por la inecuación divide el plano en dos regiones, una de las cuales es la solución. Para determinar cuál es la región solución, se toma un punto cualquiera y se comprueba si cumple o no la inecuación original. Si es cierta para ese punto, entonces la región que lo contiene es la soluc
Este documento es un deber escolar asignado a los estudiantes de la Unidad Educativa "Pedro Vicente Maldonado". Se les pide a los estudiantes que desarrollen el deber en su cuaderno y que estarán listos para una lección sobre este deber.
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo definiciones, métodos de resolución, propiedades de las raíces y ejemplos.
2) Se explican los métodos de resolución por factorización y fórmula cuadrática, así como propiedades como la suma, producto y diferencia de raíces.
3) También se detallan conceptos como la naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y la formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces.
Este documento describe métodos para descomponer fracciones en una suma de fracciones parciales cuando el denominador es un polinomio factorizable. Explica cómo encontrar los coeficientes cuando las raíces son reales y distintas, reales y repetidas, y provee ejemplos para ilustrar los métodos.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
El documento describe cuatro casos de fracciones parciales y un procedimiento para descomponer expresiones racionales en fracciones parciales cuando cada denominador es lineal. Explica cómo factorizar el denominador para obtener factores lineales o cuadráticos, y cómo colocarlos para descomponer la expresión en fracciones parciales con denominadores diferentes. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
El documento presenta información sobre funciones cuadráticas, racionales y fracciones parciales. Incluye descripciones de cómo descomponer expresiones racionales usando diferentes tipos de factores como lineales, cuadráticos y cuadráticos irreducibles en el denominador.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
Este documento presenta los números naturales y algunos de sus conceptos fundamentales como los axiomas de Peano, la inducción matemática, el factorial y el teorema del binomio. Explica que los números naturales se construyen a partir de los axiomas de Peano y que la inducción matemática puede usarse para demostrar propiedades de los naturales. Luego define el factorial y cómo aplicar el teorema de Newton para desarrollar binomios, encontrando cualquier término mediante la fórmula general. Finalmente, presenta ejercicios resueltos como
Este documento presenta los criterios y propiedades para calcular integrales impropias. Explica que existen integrales impropias de primera y segunda especie dependiendo del intervalo de integración o si la función es no acotada. Proporciona ejemplos de cómo aplicar los criterios de convergencia como el teorema de comparación o el criterio del cociente. Luego, resuelve un ejercicio calculando la integral impropia dada mediante el uso de integración por partes y cambios de variable.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Algebra pre ecuacion cuadratica (resueltos)Lukas Gallardo
Este documento presenta los conceptos básicos de las ecuaciones de segundo grado, incluyendo su forma general, métodos de resolución, y propiedades de las raíces. Explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización o aplicando la fórmula general, y discute el significado del discriminante y sus implicaciones para el número y tipo de raíces. También cubre cómo formar una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces conocidas.
El documento resume cuatro ejercicios matemáticos que involucran ecuaciones lineales y no lineales. El Ejercicio 28 involucra una ecuación no lineal que se resuelve usando logaritmos para obtener la solución irracional A. El Ejercicio 31 también es no lineal y usa logaritmos para derivar la solución irracional B. El Ejercicio 39 es cuadrático y usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces iguales. El Ejercicio 43 es no cuadrático pero se reduce a
Este documento presenta problemas resueltos sobre desigualdades y programación lineal para el curso de cálculo diferencial de químico biólogo. Contiene secciones sobre propiedades de las desigualdades, intervalos, problemas resueltos de desigualdades, valor absoluto, desigualdades y valor absoluto, desigualdades lineales en dos variables, desigualdades lineales simultáneas y solución gráfica a problemas de programación lineal. Incluye también problemas adicionales para resolver y una bibliografía.
El documento presenta información sobre ecuaciones algebraicas de primer grado. Explica cómo reconocer y clasificar ecuaciones algebraicas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante el despeje de la incógnita. También cubre conceptos como igualdad, variable, conjunto solución y clasificaciones de ecuaciones.
El documento presenta un resumen de cinco unidades de álgebra lineal. La unidad I cubre ecuaciones de primer grado y simultáneas. La unidad II trata sobre matrices. La unidad III explica conceptos de inversas. La unidad IV describe métodos de solución como Gauss y Gauss-Jordan. Finalmente, la unidad V aborda la solución de problemas y espacios vectoriales.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define conceptos como igualdad, identidad y ecuación. Explica las propiedades de la igualdad y las reglas para despejar literales. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado simples y con signos de agrupación.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento define una inecuación lineal con dos variables como una expresión de la forma ax + by ≤ c, donde a, b y c son números reales y x e y son las incógnitas. Explica que la recta definida por la inecuación divide el plano en dos regiones, una de las cuales es la solución. Para determinar cuál es la región solución, se toma un punto cualquiera y se comprueba si cumple o no la inecuación original. Si es cierta para ese punto, entonces la región que lo contiene es la soluc
Este documento es un deber escolar asignado a los estudiantes de la Unidad Educativa "Pedro Vicente Maldonado". Se les pide a los estudiantes que desarrollen el deber en su cuaderno y que estarán listos para una lección sobre este deber.
Este documento proporciona instrucciones para un trabajo de recuperación opcional que los estudiantes pueden completar para mejorar su calificación. Los estudiantes deben completar el trabajo en una carpeta y entregarlo el 7 de noviembre de 2016. El trabajo consistirá en una lección que será entregada a los estudiantes elegibles para ayudarlos a recuperar su calificación.
Este documento presenta 10 ejercicios de funciones y dominios de definición. Los ejercicios piden determinar el dominio de definición de funciones dadas por gráficas o ecuaciones, asociar gráficas con ecuaciones, representar gráficamente funciones, y determinar dominios de definición basados en descripciones de situaciones físicas. El documento también indica que los estudiantes pueden entregar una lección de recuperación opcional durante la semana del 7 al 11 de noviembre.
El documento describe una sesión de aprendizaje de matemáticas de 90 minutos para estudiantes de tercer grado sobre las relaciones de pertenencia y conjuntos. La sesión incluye actividades grupales e individuales para identificar elementos que pertenecen y no pertenecen a conjuntos, representar conjuntos simbólicamente, y completar ejercicios y una ficha de metacognición.
Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica los pasos para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas, que incluyen representar las rectas, elegir puntos de prueba, y determinar los semiplanos y regiones de solución. También contiene ejemplos resueltos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones, así como problemas de texto relacionados con su resolución.
El documento proporciona información sobre la primera sesión de clase del segundo grado de primaria. La clase tuvo una duración de 2 horas y se enfocó en los conjuntos. Las actividades incluyeron dinámicas, explicación del concepto de conjunto, y ejercicios prácticos de representación y determinación de conjuntos.
SESION DE APRENDIZAJE DE MATEMATICAS CON RUTAS DE APRENDIZAJE PARA EL QUINTO ...VILMA AGUIRRE CANALES
Este documento describe una sesión de aprendizaje de matemáticas en la que los estudiantes de 5to grado aprenden a resolver problemas de división. Los estudiantes trabajan en grupos para desarrollar estrategias para dividir 126 raciones de desayuno entre 3 secciones del grado utilizando materiales concretos como regletas de colores. Luego comparten y comparan sus soluciones, y practican resolviendo otros problemas similares de división.
Este documento presenta información sobre inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Explica que este tipo de inecuaciones se pueden reducir a la forma ax2 + bx + c > 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Además, detalla dos propiedades para resolver este tipo de inecuaciones: 1) Si x2 < a, entonces -√a < x < √a. 2) Si x2 > a, entonces x > √a o x < -√a. Finalmente, incluye varios ejemplos de problemas res
Este documento trata sobre desigualdades e inecuaciones. Define desigualdad como una relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor, y utiliza símbolos como >, <, ≥, ≤ para designarlas. Luego explica propiedades de las desigualdades como que si se suma o multiplica los mismos términos el sentido no cambia, mientras que si se multiplica por un número negativo sí cambia. Finalmente presenta ejemplos resueltos de inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Este documento presenta un resumen de una clase sobre inecuaciones lineales. La clase cubrió 1) propiedades de desigualdades, 2) intervalos, 3) resolución de inecuaciones lineales con una incógnita, y 4) sistemas de inecuaciones. La próxima clase involucrará una prueba sobre estos temas.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
1. El documento describe las desigualdades y las inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo sus formas generales, teoremas fundamentales y métodos de resolución. 2. Se proporcionan ejemplos de resolución de inecuaciones lineales y cuadráticas, haciendo uso de intervalos, puntos críticos y variación de signos. 3. También se explica el valor absoluto, sus propiedades y cómo resolver ecuaciones y inecuaciones que lo involucren.
El documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones y desigualdades, incluyendo pasos para resolver inecuaciones con paréntesis, denominadores y múltiples términos. También explica cómo resolver restas de números complejos separando las partes reales e imaginarias de cada número y restando términos correspondientes. Incluye ejercicios resueltos como ejemplo.
Este documento presenta problemas resueltos de desigualdades y programación lineal para el curso de cálculo diferencial de químico biólogo. Incluye secciones sobre propiedades de desigualdades, intervalos, problemas resueltos de desigualdades, valor absoluto, desigualdades y valor absoluto, desigualdades lineales en dos variables, desigualdades lineales simultáneas y solución gráfica a problemas de programación lineal. El documento provee ejemplos detallados de cómo resolver diferentes tipos de desigual
primer parcial de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
Este documento contiene información sobre un primer parcial de álgebra para la carrera de Ciencias Económicas en la UBA, incluyendo los temas a evaluar, datos de contacto para obtener ayuda y ejemplos de posibles preguntas con sus respectivas respuestas. El examen abarcará conceptos como sistemas de ecuaciones, matrices, rangos y determinantes. Quienes necesiten apoyo extra para prepararse pueden comunicarse por teléfono o a través de la página web mencionada.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante la transposición de términos y ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. También presenta ejemplos de problemas resueltos utilizando este tipo de ecuaciones.
Este documento presenta las formas generales de las inecuaciones de primer grado con una incógnita, así como los pasos para resolverlas. Explica que la solución puede ser un intervalo de números reales, cualquier número real o ningún número real. Además, incluye ejemplos resueltos de inecuaciones con y sin paréntesis y con y sin denominadores. Por último, proporciona 30 ejercicios adicionales para practicar la resolución de inecuaciones de primer grado.
El documento presenta conceptos sobre desigualdades, inecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Define propiedades de las desigualdades y ofrece ejemplos para ilustrar conceptos como conjuntos solución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Finalmente, propone ejercicios para aplicar estos conceptos.
El documento presenta conceptos sobre desigualdades, inecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Define propiedades de las desigualdades, ejemplos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones, y cómo determinar el conjunto solución. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo: definiciones de términos como "menor que", "mayor que", intervalos, propiedades de las desigualdades, resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones de grado mayor que 1 con una incógnita, inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones con una incógnita. Se incluyen ejemplos detallados de resolución de cada tipo de inecuación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo: definiciones de términos como "menor que", "mayor que", intervalos, propiedades de las desigualdades, resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones de grado mayor que 1 con una incógnita, inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones con una incógnita. Se incluyen ejemplos detallados de resolución de cada tipo de inecuación.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran expresiones algebraicas, ecuaciones polinomiales, desigualdades e inecuaciones. Los problemas van desde calcular valores numéricos hasta resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El documento provee una guía práctica para trabajar con diferentes conceptos algebraicos.
Este documento explica los conceptos básicos de las inecuaciones con una variable, incluyendo inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales. Detalla los métodos para resolver estas inecuaciones, como pasar términos de un lado a otro cambiando su signo, y usar la regla de los signos para determinar el conjunto solución basado en los signos de los factores. Proporciona varios ejemplos resueltos para ilustrar estos métodos.
Este documento presenta una lista de 10 productos notables de álgebra que se obtienen directamente sin necesidad de realizar la multiplicación. Estos incluyen el binomio al cuadrado, identidades de Legendre, binomio al cubo, diferencia de cuadrados, multiplicación de dos binomios con un término común, suma y diferencia de cubos, trinomio al cuadrado y al cubo, e igualdades condicionales.
El documento presenta propiedades y conceptos relacionados con desigualdades y sistemas de inecuaciones. Introduce propiedades básicas de desigualdades como que si se suma o multiplica un mismo número a ambos lados la desigualdad no cambia o sí lo hace dependiendo si el número es positivo o negativo. Luego explica inecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita y cómo encontrar su conjunto solución. Finalmente aborda inecuaciones con valor absoluto y
Este documento es una comunicación de un profesor a los padres de familia y estudiantes sobre una actividad de recuperación opcional en matemáticas. La actividad consiste en un cuestionario que los estudiantes pueden completar para recuperar las calificaciones de dos proyectos en matemáticas, y debe ser entregado antes del 27 de enero de 2022. El profesor anima a los estudiantes a estudiar y resolver cuidadosamente cada ítem del cuestionario para alcanzar sus metas académicas.
El documento presenta tres grupos de ejercicios de álgebra para una clase de segundo año. El primer grupo implica definir dominios y asintotas de funciones racionales. El segundo grupo involucra determinar dominios y realizar operaciones con funciones. El tercer grupo pide descomponer fracciones racionales en fracciones parciales.
Este documento presenta información sobre el libro de texto Matemática 2 BGU de la editorial Don Bosco. En las primeras páginas se describe que el libro fomenta un aprendizaje práctico y funcional mediante proyectos, reflexiones y actividades. Luego se presentan los contenidos que se abordarán organizados en seis unidades temáticas, incluyendo rectas, funciones, derivadas, vectores, estadística y probabilidad y cónicas. Al final se incluyen los objetivos del libro relacionados con el desarrollo de hab
Este documento es un cuestionario de matemáticas para estudiantes de noveno grado que incluye 23 preguntas sobre conjuntos de números, operaciones básicas, números reales, potenciación, radicación y fracciones. El cuestionario será utilizado para evaluar el progreso académico de los estudiantes y determinar su nota en un supletorio de matemáticas que se presentará el 23 de julio de 2020.
Este documento presenta un cuestionario de matemáticas para un supletorio que será presentado el 23 de julio de 2020. El cuestionario contiene 30 problemas o ítems de matemáticas que deben ser resueltos y analizados para evaluar el progreso académico del estudiante. Se pide realizar todos los procedimientos necesarios para cada ejercicio y se permite usar hojas adicionales para resolverlos.
Este documento presenta una actividad educativa sobre sistemas de ecuaciones para estudiantes de la Unidad Educativa "Pedro Vicente Maldonado". La actividad incluye instrucciones para resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones, ejemplos de problemas y su solución, y un cuestionario de comprensión con 3 preguntas.
Actividad13 c12(eneee) multiplicacion de expresiones algebraicas(9nos)Alberto Pazmiño
Este documento presenta instrucciones para la actividad 13 de matemáticas sobre la multiplicación de expresiones algebraicas. Explica cómo multiplicar monomios, monomios por polinomios, binomios por binomios, y polinomios por polinomios usando las propiedades distributiva y asociativa. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar cada tipo de multiplicación, así como un cuestionario de 8 preguntas para evaluar la comprensión del tema.
Este documento presenta instrucciones para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación. Explica que este método implica igualar la misma incógnita en ambas ecuaciones para encontrar su valor. Proporciona ejemplos de sistemas y un cuestionario para evaluar la comprensión del tema. Los estudiantes deben resolver los sistemas en su cuaderno y responder al cuestionario para completar la actividad.
Actividad12 c11(enee) eliminacion de signos de agrupacion(9nos)Alberto Pazmiño
Este documento presenta instrucciones para una actividad sobre expresiones algebraicas y signos de agrupación. Explica que las expresiones algebraicas pueden incluir corchetes, llaves y paréntesis para agrupar términos y simplificar operaciones. Detalla cómo eliminar signos de agrupación multiplicando por el signo exterior, y provee ejemplos de cómo eliminar paréntesis y reducir términos semejantes. Incluye un cuestionario de 7 preguntas sobre el tema. Los estudiantes deben resolver ejercicios en su cuaderno y enviar
Este documento presenta instrucciones para una actividad sobre cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cinco métodos para encontrar las soluciones de un sistema: sustitución, eliminación, igualación, determinantes y gráfico. A continuación, proporciona ejemplos resueltos del método de sustitución y un cuestionario de 4 preguntas sobre sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta información sobre el álgebra, incluyendo definiciones de términos algebraicos, expresiones algebraicas, clasificación de expresiones y reducción de términos semejantes. Explica que el álgebra estudia la cantidad de manera general usando letras en lugar de números. Proporciona ejemplos de términos semejantes, monomios, polinomios, grado de expresiones y cómo reducir términos. Finalmente, incluye un cuestionario de 10 preguntas sobre los conceptos presentados.
Este documento presenta información sobre funciones y triángulos rectángulos. Explica que las funciones pueden modelar matemáticamente relaciones entre variaciones de magnitudes y así cuantificar cambios y predecir comportamientos. Luego, presenta los objetivos de comprender mejor procesos algebraicos, funciones discretas y continuas, y aplicar el teorema de Pitágoras para deducir relaciones trigonométricas. Finalmente, incluye preguntas generadoras sobre cómo modelar otros fenómenos con funciones y su aplicación en la vida cotidiana.
La primera misión geodésica francesa llegó a Quito en 1736 con el objetivo de medir un arco del meridiano terrestre a nivel del Ecuador. Pedro Vicente Maldonado fue miembro de esta misión, la cual contribuyó a definir el metro lineal como la diez millonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.
Act. 9 c8 ejercicios rectas paraleleas y perpendiculares enee (10mos e , f )Alberto Pazmiño
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas y que un sistema de ecuaciones lineales es aquel donde cada ecuación es lineal. Además, define una solución como una asignación de valores a las incógnitas que hace verdadera cada ecuación y resolver el sistema como hallar todas las soluciones. Finalmente, incluye un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y un cuestion
Actividad 9 c8 (enee) radicacion division(9no e y f) - internetAlberto Pazmiño
Este documento presenta instrucciones para estudiantes sobre cómo dividir radicales con igual o diferente índice. Incluye 10 ejercicios de práctica para dividir radicales con igual índice y 8 ejercicios para dividir radicales con diferente índice. También incluye un cuestionario de 10 preguntas sobre el tema para que los estudiantes lo completen.
7 rectas paraleleas y perpendiculares enne (10mos e , f )Alberto Pazmiño
El documento presenta una actividad educativa sobre ecuaciones de rectas. Instruye a los estudiantes a continuar resolviendo ejercicios sobre pendientes de rectas y determinar si son paralelas, perpendiculares o secantes. También incluye un cuestionario de 8 preguntas sobre estas temáticas para que los estudiantes demuestren su comprensión.
Para multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice. Para extraer el máximo de factores de los radicales, se descompone el radicando en factores primos y se expresan como potencias. El documento presenta ejemplos de operaciones con radicales y las respuestas correctas a un cuestionario sobre el tema.
6 rectas paraleleas y perpendiculares enee (10mos e , f )Alberto Pazmiño
Las tres oraciones son:
El documento explica las características de rectas paralelas, perpendiculares y secantes en un plano de coordenadas. Se definen rectas paralelas como aquellas con pendientes iguales, rectas perpendiculares como aquellas con el producto de sus pendientes igual a -1, y rectas secantes como aquellas con pendientes diferentes. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para practicar la identificación de estas rectas.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre raíces y potencias para que un estudiante los resuelva. Incluye 10 problemas para calcular raíces y valores de potencias fraccionarias, así como un cuestionario de 10 preguntas sobre estos temas para que el estudiante demuestre su comprensión.
El documento explica tres formas de obtener la ecuación de una recta (pendiente-intercepto, punto-pendiente y punto-punto) y proporciona ejemplos y ejercicios para practicar el hallazgo de ecuaciones de rectas usando diferentes puntos y pendientes. Los estudiantes deben resolver los ejercicios en su cuaderno y entregarlos después de que termine la emergencia por el coronavirus.
1. 79
INECUACIONES
Definición: 1 Si a y b representan expresiones en el conjunto de los números reales entonces
expresiones como: a < b, a ≤ b, a > b y a ≥ b reciben el nombre de desigualdades y se dice que a
y b son los miembros de la desigualdad.
Ejemplos
a.) 50 > 22
b.)
2
5
≥ -2
c.) 3 < 24
d.) x + 2 ≥ 5
e.) x ≤ y
f.) x + 3 < y – 5
Definición:2 Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de ellas
involucra variables, recibe el nombre de inecuación.
Ejemplos
a.) x + 2 ≥ 5
b.) x . y + z ≤ x + 3
c.) 1>
−
+
yx
yx
d.) 25 −x < 3
e.) x + y < -3x - y
d.) a3
- 1 ≥ 0
Definición: 3 En una inecuación las variables involucradas reciben el nombre de incógnitas.
Definición:4 Si la inecuación involucra n variables, se dice que es una inecuación con n
incógnitas.
A continuación nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una incógnita.
Definición: 5
En una inecuación con una incógnita, cualquier numero real que este contenido en el dominio de las
incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad
correspondiente sea verdadera, es una solución de la inecuación.
Ejemplo 1
a.) En x +2 > 3; si x se sustituye por 5, se obtiene una desigualdad verdadera: 5+2 > 3; además 5
pertenece al dominio de la incógnita, por lo que 5 es una solución de la inecuación x + 2 > 3.
b.) En x2
≥ 5, si x se sustituye por -3, se obtiene una desigualdad verdadera: (-3)2
≥5; además -3
pertenece al dominio de la incógnita, por lo que -3 es una solución de la inecuación x2
≥5.
c.) En 2+x < 2; si x se sustituye por 3, se obtiene una desigualdad falsa: 23 + < 2 por lo que 3
no es
Msc. Alberto Pazmiño
2. 80
una polución de la inecuación 2+x < 2.
ACTIVIDAD
Para cada una de las siguientes inecuaciones, escriba 3 soluciones:
1.) x + 3 ≤-6 3.)
x
1
> 7
2.) 3+x ≥¸ x 4.) 7 - x2
> 0
Definición: 6
Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuyos
elementos son las soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución.
Ejemplo 1
a.) En x > -3, el dominio de la incógnita es R, y esta desigualdad es verdadera únicamente para los
valores
de x mayores que -3; por lo que su conjunto solución es ] - 3;+ ∞ [ o sea:
S =] - 3;+ ∞ [
b.) En x2
- 4 ≤0 el dominio de la incógnita es R y se puede demostrar que esta desigualdad es
verdadera
únicamente para los valores de x mayores o iguales que -2 y menores o iguales que 2, por lo que su
conjunto solución es [-2; 2] o sea:
S = [-2; 2]
c.) En x2
- 2x -3 > 0; el dominio de la incógnita es R, y se puede demostrar que esta desigualdad es
verdadera únicamente para los valores de x menores que -1 o mayores que 3, por lo que su conjunto
solución es ] - ∞ ;-1[ ]3;+1[ o sea:
S= ] - ∞ ;-1[ ]3;+ ∞ [
Convenio: Resolver una inecuación consiste en determinar su conjunto solución.
Inecuaciones lineales con una incógnita
Definición: 1 Sean a, b y c constantes reales con a ≠ 0. Se llama inecuación lineal o inecuación
de primer grado con una incógnita a toda inecuación que se pueda llevar a alguna de las formas
siguientes:
ax + b < c; ax + b ≤ c ; ax + b > c o ax + b ≥ c
Para resolver algunas inecuaciones lineales usaremos el concepto de inecuaciones equivalentes. Para
esto transformaremos la inecuación dada en otras equivalentes a la original, hasta obtener una
Msc. Alberto Pazmiño
3. 81
inecuación de alguna de las formas: x < c; x ≤ c; x > c o x ≥ c; donde x es la incógnita y c es una
constante.
Algunas transformaciones que se pueden usar para obtener inecuaciones equivalentes entre si.
1.) Permutación de miembros
Se pueden intercambiar los miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes:
Sean a ∈ R y b ∈ R
i:) a < b⇒ b > a
ii:) a ≤ b⇒ b ≥a
iii:) a > b ⇒ b < a
iv:) a ≥b⇒ b ≤ a
Ejemplos
a.) 4 < x- 2 ⇒x- 2 > 4
b.) 8 ≤ x + 3 ⇒ x + 3 ≥ 8
c.) -3 > 2x + 3 ⇒ 2x + 3 < -3
d.) 2x - 1 ≥ 3 ⇒ 3 ≤2x - 1
2.) Sumar una constante k a ambos miembros de la inecuación
Se puede sumar una constante k a ambos miembros de una inecuación de acuerdo con las
propiedades siguientes:
Sean: a ℜ∈ , b ℜ∈ , c ℜ∈ ,y k ℜ∈ ; k constante
i:) a < b ⇒ a + k < b + k
ii:) a ≤ b ⇒ a + k ≤ b + k
iii:) a > b ⇒ a + k > b + k
iv:) a ≥b ⇒ a + k ≥ b + k
Ejemplos
a.) x + 2 > -3 ⇒ x + 2 + (-2) > -3 + (-2)
b.) 2x - 3 ≥ 5 ⇒ 2x - 3 + 3 ≥5 + 3
c.) -2x + 5 ≥ 2 ⇒ -2x + 5 + (-5) ≥ 2 + (-5)
d.) x- 3 < -7 ⇒x-3 + 3 < -7 + 3
3.) Multiplicar por una constante k; positiva, ambos miembros de la inecuación
Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k positiva de acuerdo con las
propiedades siguientes:
Sean: a ℜ∈ , b ℜ∈ ,y k ℜ∈ ; k una constante positiva
i:) a < b ⇒ ka < kb
ii:) a ≤ b ⇒ ka ≤ kb
iii:) a > b ⇒ ak > kb
Msc. Alberto Pazmiño
4. 82
iv:) a ≥b ⇒ ka ≥ kb
Ejemplos
a.) 3x + 2<5 ⇒7(3x + 2) < 7.5
b) 2x - 4 ≤ 6 ⇒
2
1
(2x - 4) ≤
2
1
6
c)
4
1
x-
2
1
>3 ⇒4.
−
2
1
4
1
x >4.3
d) 7
3
1
+x ≥-3 ⇒ 6
+ 7
3
1
x ≥ 6(-3)
4.) Multiplicar por una constante k; negativa, a ambos miembros de la inecuación.
Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k negativa de acuerdo con las
propiedades siguientes.
Sean: a ℜ∈ , b ℜ∈ ,y k ℜ∈ ; k una constante negativa
i:) a < b ⇒ ka > kb
ii:) a ≤b ⇒ ka ≥ kb
iii:) a > b ⇒ ka < kb
iv:) a ≥ b ⇒ ka ≤ kb
Ejemplos
a.) 3x < 5 ⇒ -7.3x > - 7.5
b) 4x ≤ 6 ⇒ -
2
1
4x ≥-
2
1
6
c)
4
1
x-
2
1
>3 ⇒-4.
−
2
1
4
1
x < -4(3)
d) 2x ≥3 ⇒ -2(2x) ≤ -2.3
Observación: Para resolver inecuaciones, además de las transformaciones enunciadas e ilustradas
anteriormente, se pueden aplicar propiedades y algoritmos de la adición y de la multiplicación
definidas en R (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.)
Veamos algunos ejemplos que se resuelven usando algunas de las transformaciones anteriores
Ejercicios
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
1. -23x <+
x + 3 + (-3) < -2 + (-3)
x + 0 < -5
x < - 5
Msc. Alberto Pazmiño
5. 83
Por lo que el conjunto solución de x+ 3 <-2 es ] - ∞ ;-5[
∴S=] - ∞ ;-5[
2. x - 7 ≤ 23
x - 7 + 7 ≤ 23 + 7
x + 0 ≤30
x ≤ 30
Por lo que el conjunto solución de x-7 ≤23 es ] -7;30]
∴S=] -7;30]
Nota: En el proceso de resolución de inecuaciones no es necesario indicar todas las transformaciones
que se
realicen, en las inecuaciones que resolveremos en adelante, omitiremos escribir algunas
transformaciones.
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
1. xx 7823 −≥−
2.
10
1
5
26 xx −
>
−
3. 532 −>+x
4. ( )( ) 321 2
+<+− xxx
5. ( ) xxx 3132 ≥+−
6.
2
1
4
3 xx
>−
−
7. 10
33
5
2 +>−−
x
x
8.
( ) 1
42
84
5
33
+−<
+
−
−
x
xxx
Msc. Alberto Pazmiño
6. 84
9.
( ) 2
12
5
6
1
2
2
3
1
−
−
≤
−
−
−
−
− xxxx
10.
( ) 2
12
3
3
31
4
12
+−
−
≥
+−
−
−
x
xxx
Regla 1.
Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad num´erica verdadera,
entonces el
conjunto solución de de la inecuación original es el dominio de la incognita.
Regla 2.
Si en el proceso de resoluci´on de una inecuación se obtiene una desigualdad num´erica falsa, entonces el
conjunto soluci´on de de la inecuaci´on original es el conjunto vac´ıo (∅).
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
1. ( ) 5213 +−<−− xxx
2. ( ) 042 22
≥+−− xxx
3. ( )( ) ( ) 0823 2
>+−−+− xxxx
4. ( )( ) ( )( )2354 −−<+− xxxx
5. 23
3
>−
− x
6. 9542 −≤+− xx
7. ( )( ) 321 2
+<+− xxx
8. ( ) xxx 3132 ≥+−
Inecuaciones en las que cada uno de sus miembros es o puede expresarse
como un producto y el otro miembro es cero
Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la multiplicación definida en el
conjunto
de los nu´meros reales, de acuerdo con las siguientes propiedades:
Msc. Alberto Pazmiño
7. −∞ −2 3 +∞
x + 2 − + +
x − 3 − − +
−2 3 +∞−∞
x + 2 − + +
x − 3 − − +
(x + 2)(x − 3) + − +
85
Sean a ∈ R; b ∈ R
1.) a · b > 0 ⇒ [(a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0)]
2.) a · b < 0 ⇒ [(a > 0 y b < 0) o (a < 0 y b > 0)]
Nota: Este procedimiento para resolver inecuaciones de este tipo es un poco largo y tedioso, por esta raz
´on es que preferimos resolver este tipo de inecuaciones por medio de una ”tabla de signos”, en la cual
usaremos dos resultados generales que se enunciaran posteriormente, pero antes resolveremos algunos
ejemplos que son casos particulares de dichos resultados.
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
1. ( )( ) 032 <−+ xx
Por los resultados (1) y (2) anteriores podemos determinar los intervalos en los cuales cada uno de
los factores (x + 2) y (x − 3), son positivos o negativos, lo cual se puede expresar en forma resumida
en una tabla como la siguiente:
Los signos correspondientes al producto (x + 2)(x − 3), se obtienen usando los signos de los
factores (x + 2) y (x − 3) y la ley de signos para la multiplicación definida en R, as´ı obtenemos:
De esta u´ltima tabla puede observarse que el producto (x + 2)(x − 3) es negativo, si y s´olo s´ı x
∈ ] − 2, 3[
y por lo tanto el conjunto solución de la inecuación (x + 2)(x − 3) < 0 es: ] − 2, 3[ o sea:
S =] − 2, 3[
2. ( )( ) 0234 >++ xx
3. ( )( ) 01233 <++ xx
4. ( )( ) 0152 >+−+ xx
Msc. Alberto Pazmiño
8. 86
5. ( )( ) 021 ≤−+ xx
6. ( )( ) 023 ≥+− xx
7. ( )( ) 0323 ≤−− xx
8. ( )( ) 0215 ≥−−+−− xx
9. ( )( ) 0222 ≤−+− xxx
10. ( )( ) 0253 ≥+− xxx
Inecuaciones Cuadráticas
Una inecuacion de segundo grado es una expresion de la forma:
ax2
+ bx + c < 0, ax2
+ bx + c > 0, ax2
+ bx + c ≤ 0 o ax2
+ bx + c ≥ 0,
Siendo a, b, c constantes reales tales que a ≠ 0; y x una variable real.
Para resolver una inecuacion de segundo grado se calculan las soluciones de la ecuacion ax2
+ bx
+ c = 0. Si x1 y x2 son estas soluciones y x1 < x2 , entonces se determinan tres intervalos en la
recta real, a saber (−∞, x1 ), (x1 , x2 ) y (x2 , +∞), donde los intervalos pueden ser también cerrados
o semicerrados dependiendo de si en la inecuación aparece una desigualdad estricta o no. Finalmente
se comprueba cuales de los anteriores intervalos son solución de la inecuacion.
Recuerde que si la expresión ax2
+ bx + c es factorizable entonces se cumple que:
ax2
+ bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
Con x1 y x2 los ceros del polinomio ax2
+ bx + c
Consideremos como caso 1, aquel en el cual la expresi´on ax2
+ bx + c es factorizable ( ∆≥ 0). Para
resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión ax2
+ bx + c, para posteriormente aplicar el
procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una “tabla de
signos”)
Inecuacio´n lineal con dos inco´gnitas
Una inecuacion lineal con dos incognitas es una expresion de la forma
ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0 o ax + by + c ≥ 0,
donde a y b no pueden ser 0 al mismo tiempo. El conjunto de soluciones de estas inecuaciones
es uno de los semiplanos determinado por la recta ax + by + c = 0, En el caso de inecuaciones con ≥ o
≤, en el conjunto de soluciones se incluyen los puntos de la recta.
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
1. 03522
<−− xx
Msc. Alberto Pazmiño
9. −5 7 +∞−∞
x − 7 − − +
x + 5 − + +
(x − 7)(x + 5) + − +
87
Para la expresi´on x2
− 2x – 35, se tiene: ∆
∆= 4 − 4(1)(−35)
∆ =4 + 140
∆ =144
∴ x2
− 2x − 35 es factorizable y adem´as:
5
2
10
2
1442
7
2
14
2
1442
−=
−
=
−
=
==
+
=
x
x
Asi:
( )( )
( )( ) 0570352
57352
2
2
<+−⇔<−−
+−=−−
xxxx
xxxx
Resolviendo esta u´ltima inecuaci´on se tiene:
Por lo tanto el conjunto soluci´on de x2
− 2x − 35 < 0 es ] − 5, 7[ , o sea : S = ] − 5, 7[
2 2x + 3y > 6.
Para resolver la inecuacion 2x + 3y > 6 representamos graficamente la recta de
ecuacion
2x + 3y = 6.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
A continuación vemos, por ejemplo, que el punto (0, 0) no es solución de la inecuacion
considerada ya que 2 · 0 + 3 · 0 > 6. As´ı deducimos que el semiplano solución es el que
determina la recta 2x + 3y = 6
y no contiene al punto (0; 0).
Msc. Alberto Pazmiño
10. 88
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
3
26 x
y
−
=
Semiplano solución de la inecuación 2x + 3y > 6.
Finalmente llamamos la atención sobre el hecho de que al ser la desigualdad estricta en la
inecuacion, los puntos de la recta 2x + 3y = 6 no son solución de la inecuacion. Es por esto que
representamos la recta con una l´ınea discontinua.
2. 63316 22
−+≤−+ xxxx
3. xxxx 3343 342
++<+
4.
x
x
xx
xx 224 2
2
2
−
>
+
−+
5.
8
1
2
2
1
≤−x
6. 2291010.1310.3 32
>−+ ++ xxx
7. 4>y
8. 1−≤+− yx
9. yxyx 21+≥−
10. 02622
<+−+ yxyx
11. 12
+< xe y
12. 52 −< x
y
Inecuaciones polimoniales de grado mayor que 2
Definici´on:
Llamaremos inecuaci´on polimonial de grado mayor que 2, a toda inecuaci´on en la cual uno de sus
miembros es
un polinomio de grado mayor que 2, y el otro miembro es cero.
Son inecuaciones polimoniales de grado mayor que 2
a.) x3
− 4x2
+ x + 6 ≤ 0 b.) 2x4
− 4x2
− 6x − 4 > 0
d.) x3
+ 2x2
+ x + 2 < c.) x5
+ 32 ≥ 0
Para resolver inecuaciones polimoniales de grado mayor que 2, frecuentemente es necesario factorizar el
poli-
nomio que es miembro de la ecuaci´on. Una vez factorizado dicho polinomio, se aplicar´a alguno de los m
´etodos estudiados anteriormente para resolver inecuaciones.
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
1. x3
− 4x2
+ x + 6 ≤ 0
Msc. Alberto Pazmiño
11. −∞ −1 2 3 +∞
x + 1 − + + +
x + 2 − − + +
x − 3 − − − +
(x + 1)(x + 2)(x − 3) − + − +
89
Debemos tratar de factorizar el polinomio x3
− 4x2
+ x + 6.
Por divisi´on sint´etica se tiene que:
x3
− 4x2
+ x + 6 = (x + 1)(x2
− 5x + 6)
Ahora, factorizando x2
− 5x + 6 por f´ormula general se tiene:
x2
− 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
Por lo que:
x3
− 4x2
+ x + 6 = (x + 1)(x − 2)(x − 3)
As´ı tenemos que:
x3
− 4x2
+ x + 6 ≤ 0 ⇐⇒ (x + 1)(x − 2)(x − 3) ≤ 0
Ahora vamos a la tabla de signos:
Por lo que el conjunto soluci´on de x3
− 4x2
+ x + 6 ≤ 0 es:
] − ∞, −1] ∪ [ 2, 3 ]; o sea: S = ] − ∞, −1] ∪ [ 2, 3 ]
2. 2x3
− 2x2
− 2x − 4 > 0
3. −x4
+ 2x2
+ 3x + 2 ≥ 0
4. x4
− 2x3
− 4x2
+ 8x > 0
5. x3
− 12x + 16 ≥ 0
6. x3
+ 2x2
+ x + 2 < 0
7. ( ) 221
3
<+− xx
Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el
otro miembro es cero.
En general estudiaremos los tipos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0;0;0;0 ≥>≤<
xQ
xP
xQ
xP
xQ
xP
xQ
xP
en donde P(x) y Q(x) son polinomios con
( ) 0≠xQ
Para resolver este tipo de inecuaciones nos basaremos en las siguientes propiedades:
Propiedades
Sean a ∈ R, b ∈ R, con b = 0
Msc. Alberto Pazmiño
12. −∞ −3 2 +∞
x − 2 − − +
x + 3 − + +
(x − 2)
(x + 3) + − +
90
1. 0.0 <⇔< ba
b
a
2. 0.0 ≤⇔≤ ba
b
a
3. 0.0 >⇔> ba
b
a
4. 0.0 ≥⇔≥ ba
b
a
Estas propiedades se pueden generalizar para polinomios de modo P (x) y Q(x) con, Q(x) = 0, entonces:
1.
( )
( )
( ) ( ) 0.0:Re << xQxPresolveraeequivalentes
xQ
xP
olver
2.
( )
( )
( ) ( ) 0.0:Re ≤≤ xQxPresolveraeequivalentes
xQ
xP
olver
3.
( )
( )
( ) ( ) 0.0:Re >> xQxPresolveraeequivalentes
xQ
xP
olver
4.
( )
( )
( ) ( ) 0.0:Re ≥≥ xQxPresolveraeequivalentes
xQ
xP
olver
Por lo anterior es que al resolver inecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un cociente y el
otro miembro es cero, usaremos tablas de signos tal y como se hizo para resolver inecuaciones, en las
cuales uno de sus miembros es un producto y el otro es cero.
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
a) 0
3
2
≥
+
−
x
x
En este caso debe cumplirse que x + 3 sea diferente de cero; pero x + 3 = 0⇐⇒ x = −3.
La “tabla de signos “correspondiente a esta inecuaci´on se obtiene as´ı:
De aquí se tiene que el cociente ] [ [ [+∞∪∞∈≥
+
−
,2,-3-xsisoloysi0
3
2
x
x
Por lo que el conjunto solución de :dondeS,0
3
2
es
x
x
≥
+
−
] [ [ [+∞∪∞= ,2,-3-S
Msc. Alberto Pazmiño
13. 91
b)
( )
( )( )
0
512
2
>
−+
−
xx
x
c)
( )( )
0
2312
3
≤
+−
−
xx
d)
( )
0
4
542
>
−
−−
x
xx
e)
( )( )
0
12
9 2
>
−−
−
xx
x
f)
1
2
12
3
−
−
>
−
+
xx
x
g)
x
x
x −
+
≥
− 2
6
1
3
h)
xx
x
xxx
x
−
+
≤
−
−
− 3
2
22
121
1
3
Sistema de inecuaciones lineales con una inco´gnita
Un sistema de inecuaciones de primer grado es un conjunto de dos o más inecuaciones de primer grado.
Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita se resuelve cada inecuación por separado.
Las soluciones del sistema las forman todos los números reales que satisfagan todas y cada una de las inecuaciones
del sistema.
Cada inecuación del sistema debe resolverse de forma independiente hasta que quede en alguna de las formas
siguientes:
kxkxkxkx ≥>≤< ;;,
Sistema de inecuaciones lineales con dos inco´gnitas
Son sistemas de la forma:
a11x + a12y < b1
a21x + a22y < b2
Los signos < pueden ser sustituidos por >, ≤ o ≥. La solución de un sistema de inecuaciones lineales
con dos incognitas viene dada por la region del plano común a los semiplanos que definen cada
una de las inecuaciones.
Enseguida veremos algunos ejemplos de resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado con una y dos
incógnitas.
Msc. Alberto Pazmiño
14. 92
ACTIVIDAD
Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones
1.
−≤+
≥+
xx
xx
1032
43
De: De:
1
44
43
≥
≥
≥+
x
x
xx
333,2
3
7
73
3102
1032
≤
≤
≤
−≤+
−≤+
x
x
x
xx
xx
Rep. Grafica:
0 1 2 3 4
2. 8x + 2y + 2 < 0
2x – 4y + 7 < 0
De:
xy
x
y
41
2
82
−−=
−−
=
De
4
27
4
27
x
y
x
y
+
=
−
−−
=
Solución de la 1ª inecuación: Solución de la 2ª inecuación:
Msc. Alberto Pazmiño
15.
<
−
+
≥
−
+−
0
5
1
0
4
232
x
x
x
xx
( )
−<+−
≥−+−
22
2
13843
045
xxx
xx
( )
>
−
−
≤
0
1
4
2.42
2
2
3 2
x
x
xx
( )
+≤
−≤−
>
−
10
131
0
12
3
x
xxx
x
x
93
La intersección de las dos zonas
es la solución del sistema
3.
4.
5.
6.
Inecuaciones que involucran Valor Absoluto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma ax + b, donde a y b
son
constantes con a ≠ 0 y x es una variable real. Para esto utilizaremos la definición de valor absoluto.
Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto siguiente:
Para cada número real x, se define su valor absoluto de la siguiente manera:
<−
≥
=
0
0
x
xsix
xsix
Aplicando esta definición a expresiones de la forma ax + b se tiene:
Msc. Alberto Pazmiño
16. 94
( )
<++−
≥++
=+
0
0
baxsibax
baxsibax
bax
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrían ser utilizadas para
facilitar el trabajo en la resoluciion de inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
0:, >ℜ∈∀ xxx
Propiedad 2
0xentonces0 ==ℜ∈ xyxSi
Propiedad 3
yxx.yentonces, =ℜ∈ℜ∈ yxSi
Propiedad 4
xxxx =−ℜ∈∀ :,
Propiedad 5
y
x
y
x
entonces0,, =≠ℜ∈ℜ∈ yyxSi
Propiedad 6
22
:, xxxx =ℜ∈∀
Propiedad 7
kxokxkx −==⇔=
ACTIVIDAD
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1. 12 <−x
Sabemos que:
Msc. Alberto Pazmiño
17. 95
( )
<−−
≥−
=−
22
22
2
xsix
xsix
x
Con esta información construimos la siguiente tabla:
∞− 2 ∞+
En consecuencia el conjunto solución S; de 12 <−x , es ] [3,1seao21 =∪ SSS
2. 375 ≤−x
3. 43 <−x
4. 725 ≤− x
5. xx 23 ≥+
6. ( ) 3126 6
>+x
7. 21
5
2
2
<−
+ xx
8. 411 <++− xx
9. 632 ≤+− xx
10. ( ) xxx ≥−−
2
62
Msc. Alberto Pazmiño
2−x ( )2−− x 2−x
12 <−x ( )
] [2,1
1y x2x
quecumplirsedebeAsi
1
1
12
12
1 =∴
><
>
−<−
<+−
<−−
S
x
x
x
x
[ [3,2
32
3
12
2 =∴
<≥
<
<−
S
xyx
quecumplirsedebeAsi
x
x