CONSULTORIO MATEMÁTICO MITAGI

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática Básica I
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Febrero del 2019
Ecuaciones de primer y segundo grado
ECUACIONES DE 1º GRADO
Una ecuación de primer grado es una igualdad que
tiene una o más variables elevadas a la primera
potencia, resolverlas significa encontrar el valor de
las variables con los que se cumple la igualdad.
Una ecuación de primer grado es aquella que tiene
la forma ax + b, donde a y b, son números reales y
a es diferente a cero, por ejemplo:
3x + 12 = 0 a=3, b=12
Hay unos pasos generales a seguir para resolver
una ecuación de primer grado y son los siguientes:
1.- Reducir términos semejantes si es posible
2.- Pasar al lado izquierdo los términos con
incógnitas y al lado derecho los que no tienen, esto
se hace con las operaciones inversas, es decir si en
un lado se está sumando, al otro lado de la igualdad
se pasa restando.
3.- Despejar la incógnita.
Ejercicios
1. 2x-34=-20 Sol: x=7
2. 9x+8=7x+6 Sol: x=-1
3. 4x+3=3x+5 Sol: x=2
4. 7x+9=3+9x Sol: x=3
5. x-8=2x-11 Sol: x=3
6. x+1=2x-7 Sol: x=8
7. 6x+6=4+8x Sol: x=1
8. 9+9x=17+5x Sol: x=2
9. 2x+3=3x Sol: x=3
10. 25-2x=3x+20 Sol: x=1
11. 4x+1=3x+3 Sol: x=2
12. 5x-3=10x-6 Sol: x=3/5
13. 1+8x=-16x+31 Sol: x=5/4
14. 5x-11=15x-19 Sol: x=4/5
15. 12x-48=-15x-30 Sol: x=2/3
16. 2x+17=3x+7 Sol: x=10
17. 10-5x=x-2 Sol: x=2
18. 70-3x=4x Sol: x=10
19. 48-3x=5x Sol: x=6
20. -4x+30=-3x-10 Sol: x=40
21. 10x-15=4x+27 Sol: x=7
22. x-3(x-2)=6x-2 Sol: x=1
23. 3x+1=6x-8 Sol: x=3
24. 3x-7=2(x+1) Sol: x=9
25. 47-3x=5+11x Sol: x=3
26. 2(2+4x)=3+12x Sol: x=1/4
27. 30-9x=-7x+21 Sol: x=9/2
28. 5x=7(5x-3)+3 Sol: x=3/5
29. 3x-10=2x+1 Sol: x=11
30. 2(x-5)=3x-17 Sol: x=7
31. 25-2x=3x-35 Sol: x=12
32. 2+5(x-13)=x-3 Sol: x=15
33. 75-5x=3x+3 Sol: x=9
34. 2x-1=3(2x-15) Sol: x=11

2. Página 2 de 8
35. 5+8x=2x+20 Sol: x=5/2
36. 2(x-2)=-(4-x) Sol: x=0
37. 2y-3=y+5 Sol: y=8
38. 2(3x-49)=-x+14 Sol: x=16
39. 2-6x=3x-1 Sol: x=1/3
40. 20=2x-(10-4x) Sol: x=5
41. 60x-1=3(1+12x) Sol: x=1/6
42. 5(x-1)+10(x+2)=45 Sol: x=2
43. 2x+3(2x-1)=x+67 Sol: x=10
44. 12x+3(2x-4)=60 Sol: x=4
45. 3-2x(5-2x)=4x2
+x-30 Sol: x=3
46. 3x-(x+1)=x-2 Sol: x=-1
47. 3[2x-(3x+1)]=x+1 Sol: x=-1
48. x-3(x+5)=3x+10 Sol: x=-5
49. (x-15)=3(x-19) Sol: x=21
50. 3(2-x)=18x-1 Sol: x=1/3
51. 3(x+4)=4x+1 Sol: x=11
52. 10+5(x-3)=3(x+1) Sol: x=4
53. 2(3-4x)=2x-9 Sol: x=3/2
54. 10-9x=4(x-4) Sol: x=2
55. 2(3x+2)=4[2x-5(x-2)] Sol: x=2
56. 15x=2(1+9x)-3 Sol: x=1/3
57. 3(12-x)-4x=2(11-x)+9x Sol: x=1
58. x+3=3(2x-4) Sol: x=3
59. 4+x=2+
2
3x
60.
3
6-x
-
2
x
=8-x
61. 3+
7
x
=
4
3x
-x
62. 3+x=
3
5+x
2 





63.
3
1
+
3
2x
=6-
4
9x
64. 11-x=
4
3x
-
6
5x
65. 1+
6
2x
=7-
5
3x
66. 6)-(x
9
5
=10-x
67.
9
2x
+10=x+
3
x
68.
3
x
-12=1+
2
3x
69. 3-x=
2
x
+
5
x
70.
4
6-5x
=7-4x
71. 4-5x=
3
2+x
72.
8
7
=
20-3x
10-2x
73. 21=x+
6
3x
+
4
x
74.
6
5
-
2
5x
=
6
13
-
4
x
75. 94=
5
x
+
4
x
+
3
x
76. 16+
5
x
=10+
3
x
77. 3-
3+x
10
=
3+x
7-x
78. 3-2x=
5
x
+9-3x
79. 6=
1+x
12_
5
3x
80.
30
x
-2-
5
2x
=5+
4
x
81. 1-
1-x
x
=
1+x
3

3. Página 3 de 8
82.
6
18+2x-
=20)-(x5-
8
5x
83.
2
x
+x=
5
1+x
+x
84. 2x+
4
3-x
+1-=
8
x-7
-3x
85. 9-=
8
5x
-
4
2x
+
10
3x
-8
86.
3
x
+1=
6
x+3
+
2
1+x
87. 0=
10
x
-
2
3x
+2-
5
3x
88. 3=
5+x
4x+3
+
5+x
10
89.
1-x
2+2x
=
1+x
3+x
-
1-x
2+x
2
90.
4
1-5x
=
4
1-3x
-
6
3-7x
91. 1-
3
2-4x
=
4
1-3x
-
6
3-4x
92.
12
7x-3
+2x=x+
6
3+x
-
4
1)+(x3
93. 3-
10
x
=
3
x
-2-
5
2x
94. 0=
2+x
5
-
10+x
15
95.
1+x
7
+
1-x
2
=
1-x
3-3x
+
1+x
2
2
96.
4
2-3x
=2-
9
3x
-
4
1+2x
97.
1-x
5
=
4-3x+x
3
-
4+x
3
-
1-x
5
2
98.
2+x
18
=
4-x
6+12x
-
2-x
15
2
99.
a
ab-b
=a+x+a)+(ba-x)-(bx)+(a
2
22
100.
a-x
1
=
a+x
1
+
a-x
1
22
101.
2
x+1
=2-
2a
x
102. 2=
1+x
1-x
-2
1-x
1+x
+1
103.
2
2-5x
=x
4
1
-
2
5-x
+
3
x
104.
2
2)+(x-3-x
=
2
2)-(x3
-
3
3-x
105.
2
3+x
-
3
3-x
=
2
3-x
-
5
3-x
106.
3
2x-9
+1=
6
x+5
+
2
1+x
107. 4-)2-(x=
2
2-x
-
3
2+x
-2)-(xx 2
108. 4x-)2-(x=
2
2-x
-
3
2+x
-2)-(xx 2
109.
2x
3
=
1)-(x1)+(xx
1+2x-x
2
Sol: 59. x=4; 60. x=12;
61. x=28; 62. x=1;
63. x=4; 64. x=12;
65. x=30; 66. x=15;
67. x=9; 68. x=6;
69. x= 10; 70. x=2;
71. x=1; 72. x=12;
73. x=12; 74. x=-16/27;
75. x=120; 76. x=45;
77. x= 2; 78. x=5;
79. x=5; 80. x=60;
81. x=2; 82. x=24;
83. x=2/3; 84. x=-1;
85. x=40; 86. x=0;

4. Página 4 de 8
87. x=1; 88. x=2;
89. x=3; 90. x=0;
91. x=1; 92. x=0;
93. x=30; 94. x=2;
95. x=0; 96. x=-15/7;
97. x=0; 98. x=4;
99. x=b/a; 100. x=1/2;
101. x=5a/(1-a); 102. x=3;
103. x=-18/23; 104. x=27/7;
105. x=51/2; 106. x=2;
107. x=-2/7; 108. x=22/31; 109. x=-5
ECUACIONES DE 2º GRADO
Empecemos primero por definir que es
una ecuación de segundo grado… Una ecuación de
segundo grado es aquella que tiene la forma:
ax² + bx + c, donde a, b, y c son números reales y a
es diferente a cero, por ejemplo:
4x² + 3x + 12 = 0 a=4, b=3, c=12
Como resolver ecuaciones de segundo grado
Hay tres formas de resolver las ecuaciones de
segundo grado y encontrar el valor de las variables:
Factorización simple: Este método consiste en
resolver la ecuación como un producto de
binomios, es decir encontrar dos números que
multiplicados den como resultado “c” y sumados
den “b”.
Este método se usa cuando a = 1.
Ejemplo:
x² + 1x – 12 = 0
Encontramos que 4 · (-3) = -12 y 4 + (-3) = 1
(x + 4)(x – 3) = 0
x + 4 =0 despejando; x = -4
x – 3 = 0 despejando; x = 3
Las dos soluciones son x = -4 y x = 3.
Completando el cuadrado: Para utilizar este método
debemos adaptar nuestra ecuación a la
forma ax²+bx+c y que “a” sea igual a 1.
Si en nuestra ecuación “a” fuera diferente a 1
tendríamos que dividir toda la ecuación entre “a”.
Para resolverla primero hacemos lo siguiente:
ax² + bx + ___ = c + ___
ax² + bx + (b/2)² = c + (b/2)²
y después factorizamos la ecuación (siempre será
un cuadrado perfecto)
( ) ( ) = c + (b/2)²
Ejemplo:
2x² + 12x + 16 = 0 /2
x² + 6x + 8 = 0 (6/2)²=9
x² + 6x + 9 = -8 + 9
x² + 6x + 9 = 1
(x + 3)(x + 3) = 1
(x + 3)² = 1
x + 3 = ± 1
x = -3 ± 1
Las soluciones son x = -4, x = -2
Fórmula cuadrática:
La fórmula es la siguiente:
2
4
2
b b ac
x
a
  

Simplemente sustituimos nuestros valores de a, b y
c en la formula y obtendremos los valores de x.
Número de soluciones de una ecuación de segundo
grado
Discriminante:
2
4b ac  
Si 0,  la ecuación tiene dos soluciones
diferentes.
Si 0,  la ecuación tiene una única solución,
denominada solución doble.
Si 0,  la ecuación no tiene ninguna solución real.
110. x2
-7x+12=0 Sol: x=3; x=4
111. x2
-9x+18=0 Sol: x=3; x=6
112. x2
-5x+6=0 Sol: x=2; x=3
113. x2
+8x+15=0 Sol: x=-5; x=-3
114. x2
-6x-27=0 Sol:x=-3; x=9
115. x2
-6x+9=0 Sol: x=3
116. x2
+6x=-9 Sol: x=-3

5. Página 5 de 8
117. 4x2
+4x=3 Sol:x=1/2;x=-3/2
118. x2
-9x+14=0 Sol: x=2; x=7
119. x2
-6x+8=0 Sol: x=4; x=2
120. 2x2
+10x-48=0 Sol:x=3; x=-8
121. x2
-x=20 Sol: x=-4; x=5
122. x2
=5x+6 Sol:x=6; x=-1
123. 2x2
-5x+3=0 Sol: x=1; x=3/2
124. x2
+10x+25=0 Sol: x=-5
125. x2
+9=10x Sol: x=1; x=9
126. 3x2
-39x+108=0 Sol: x=4; x=9
127. 2x2
-9x+9=0 Sol: x=3; x=3/2
128. 3x2
+2x=8 Sol: x=-2; x=4/3
129. 4x2
+12x+9=0 Sol: x=-3/2
130. 5x2
+1=6x Sol: x=1; x=1/5
131. 6x2
+1=5x Sol: x=1/2; x=1/3
132. 6x2
-6=5x Sol: x=-2/3; x=3/2
133. 2x2
+7x+6=0 Sol: x=-2; x=-3/2
134. x2
=2x+3 Sol:x=-1; x=3
135. 4x2
+3=8x Sol:x=1/2; x=3/2
136. x2
-x+1/4=0 Sol: x=1/2
137. 3x2
-16x+5=0 Sol: x=5; x=1/3
138. 1=
3
2+3x
-
3
x
-1
2
139. 2)-(x-x=x+x-
2
)3-(x 2
2
140. x3+
1-x
3
=2-x3+3x+
1-x
1 22
141. 2x=
3
1-x
-)3-(x 2
142. 3x=
1-x
1
-
3
3-x
143. 5+5x=
2x
1
+
x
2
-x
144. 3-
x
3
-2x=
x
5
-3x+
x
3-x
145. 5)-(x-2)-3(x=)1-(x+
x
8
-3x 2
146. )2-(x=
2
3)-(xx
+2)-(x3)-(x 2
147. 4-)2-(x=
2
2)+(x2)-(x
-
3
2+x
-x2)-(x 2
148. )2-(x=1)-(xx)-(3+
3
2-x
-)3-(x 22
149. 2=
x
x+3
-
1+x
1-x
150. 2=
1-x
x+3
-
1+x
1-x
151. 4=
2-x
1
+x
152.
3
2x
-
9
2
=x-x
2
153.
3
5x
=2+
3
x
2
154. 3=
x
2
+x
155.
x
8-4x
=2-x
156.
x
9+2x
=
x
3
+
2
x
157. 5-
1-x
6x
=2-2x
158. 0=
2
x
+x-1)+(xx 





159.
4
3x+1
=
x
3
-1+3x
160.
3-x
x-2
+
3
4+4x
=
3
4+x
+2
161.
3x
6
=
x
1
+x
162.
x
3-2x
=2-x

6. Página 6 de 8
163.
3x
10+3x
=
x
2
+
3
x
164.
1-x
1+2x
=3+x
165.
x
1
=
2-x
1+x
+2
1
+x
3
166.
x
1
-=
1+x
1-x
-1
1
-x
4
3-x
-
2
3-x
Soluciones:
138. x=-2, x=-1; 139. x=1, x=5/3;
140. x=5/3, x=0; 141. x=4/3, x=7;
142. x=5/8, x=0; 143. x=-3/4, x=-1/2;
144. x=-5, x=1; 145. x=-2, x=2;
146. x=1, x=4; 147. x=-2/3, x=4;
148. x=-1, x=8/3; 149. x=-3, x=-1/2;
150. x=-3, x=0; 151. x=3;
152. x=-1/3, x=2/3; 153. x=2, x=3;
154. x=1, x=2; 155. x=4, x=2;
156. x=-2, x=6; 157. x=-1/2, x=3;
158. x=0, x=1/2; 159. x=1, x=-4/3;
160. x=2, x=4; 161. x=1, x=-1;
162. x=3, x=1; 163. x=-1, x=4;
164. x=-2, x=2; 165. x=1/2, x=2/3;
166. x=-1; x=2
ECUACIONES IRRACIONALES
Una ecuación irracional es aquella en la que
aparecen raíces que contienen a la incógnita, es
decir, la incógnita se encuentra bajo signos
radicales.
Para resolver una ecuación irracional, se elevan
ambos lados de la ecuación al orden de la raíz (al
cuadrado, al cubo...). Este procedimiento aumenta
el grado de la ecuación, por lo que posiblemente
estamos añadiendo soluciones. Es por ello por lo
que siempre comprobaremos las soluciones.
Otro problema que conlleva esta potenciación, en el
caso de las raíces de orden par, es que debemos
asegurarnos de que las expresiones de los
radicandos son positivas o cero.
1. x + x =30
2. 9+x=1+x
3. 7=x-3x-7
4. 1-x-3=4+x
5. x2=3+x5
6. x2=5-1+6x3
7. 1=1+3x-5+4x
8. 6=4+x+1-2x
9.
3
x
=1+x+1
10. x=x2-x
3
11. 1+4x=4+x+3-x
12. 4+x5=4+x2
13. 5=7+3x+x
2
14. 1+x=x-3
15. 9-2x+5-6x=1-2x2
16. 3+3x=6+5+2x
17. 3+3x+1=10+3x
18. 0=4-2-3x
19. 1-x=1+2x
20.
1-2x
1
=1+2x+1-2x
21. 3x2=1+6x-
1+6x
21

7. Página 7 de 8
22.
4+3x
6
=
x
3
23. 2x=
x
2+2
3
24. x10-5=11+x+6+x
25. 3+2x6=x-159
Soluciones:
1. x=25, x=36; 2. x=16;
3. x=-3, x=-14; 4. x=13/9;
5. x=9, x=1/4; 6. x=8, x=1/2;
7. x=5, x=1; 8. x=5, x=221;
9. x=15, x=0; 10. x=0, x=3;
11. x=12; 12. x=12;
13. x=3, x=-6; 14. x=1, x=4;
15. x=5; 16. x=2/9, x=2;
17. x=2; 18. x=6;
19. x=4, x=0; 20. x=5/8;
21. x=4/3; 22. x=4;
23. x=4, x=1; 24. x=-2, x=3/7;
25. x=-1
ECUACIONES BICUADRADAS Y BICÚBICAS
Vamos a resolver ecuaciones del tipo.
2
0.m m
amx bx c   Las vamos a resolver
mediante un cambio de variable.
Si decimos que
m
x t entonces.  
22 2
.m m
x x t 
Y la ecuación original se transforma en la ecuación
de segundo grado
2
0.at bt c  
Resolvemos la ecuación y obtendremos 2
soluciones para t. El último paso es deshacer el
cambio de variable y obtener los valores para x.
Vamos a resolver algunos ejemplos para el caso
2 3m y ecuaciones bicuadradas y bicúbicas:
1. x4
-5x2
+4=0 2. x4
+2x2
-3=0
3. x6
-9x3
+8=0 4.x6
-26x3
-27=0
5. 6x4
+2x2
-8=0 6. x4
-4x2
=0
7. 4x4
-17x2
+4=0 8.9x4
-3x2
+4=0
9. x4
-6x2
-27=0 10.x6
+7x3
-8=0
11. x4
-2x2
-8=0 12. x6
+28x3
+27=0
Soluciones:
1. x=1, x=2; 2. x=1;
3. x=2, x=1; 4. x=-1, x=3;
5. x=1; 6. x=0, x=2;
7. x=2, x=1/2 8. x=1/3, x=2
9. x=3 10. x=1, x=-2
11. x=2 12. x=-1, x=-3
Planteo de ecuaciones
1.- Cuál es el número cuyo cuádruple excede en 3 al
triple de 7.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
2.- Halla un número cuyo doble excede en 20 a su
suma con 8.
a) 28 b) 26 c) 30 d) 24 e) 20
3.- Cuál es el número que excede a 24 tanto como es
excedido por 56
a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 38
4.- Me falta para tener 26 soles el doble de lo que
me falta para tener 20 soles. Cuánto tengo.
a) 16 b) 14 c) 15 d) 18 e) 12
5.- El exceso de 6 veces un número sobre 50
equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número.
Calcula dicho número.
a) 10 b)12 c) 8 d) 13 e) 9
6.- ¿Cuál es el número que multiplicado por 2 es 4
unidades menos que tres veces 6?
a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3
7.- Faltan para las 3pm la mitad del tiempo
transcurrido. ¿Qué hora es?
a) 8am b) 10am c) 11am d) 7am e) 9am
8.- Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me
quedan S/.20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía?
a) S/.100 b) S/.120 c) S/.80
d) S/.90 e) S/.110

8. Página 8 de 8
9).- 300 empleados deben cobrar S/. 25 200, pero
como algunos de ellos se retiran; el resto tiene
que cobrar S/.140; cada uno ¿Cuántos se
retiraron?
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130
10.- Una sandía pesa 4Kg más media sandia;
¿cuánto pesa sandia y media?
a) 6Kg b) 8Kg c) 10Kg d) 9Kg e) 12Kg
11.- Un padre reparte su fortuna entre sus hijos
dándole S/.480 a cada uno; debido a que 2 de ellos
renunciaron a su parte; a cada uno de los
restantes le tocó S/.720. ¿Cuántos hijos eran
inicialmente?
a) 8 b) 7 c) 5 d) 6 e) 4
12.- Dos amigos A y B están jugando a los naipes,
acuerdan que el que pierda dará al otro S/.2. Si
después de 13 juegos consecutivos A ha ganado
S/10. ¿Cuántos juegos ha ganado B?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
13.- La cabeza de un pescado mide 20cm, la cola
mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el
cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas.
¿Cuál es la longitud del pescado?
a) 150cm b) 120cm c) 130cm
d) 140cm e) 160cm
14.- Una cantidad de S/.580 se pagan con billetes de
S/.100 y S/.20. Cuántos se han dado de S/.100 si
los billetes de S/.20 son 5 más que los de S/.100
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
15.- Los animales que tiene Pepita son todos
perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y todos
loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene?
a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5
16.- Halla un número cuyo cuádruple excede en 270
a su suma con 90.
a) 100 b) 120 c) 140 d) 80 e) 90
17.- La suma de dos números es 74 y su cociente 9,
dando de residuo 4. ¿Cuál es el número menor?
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
18.- La suma de dos números es 611, su cociente es
32 y el residuo de su división el mayor posible.
Halla los números.
a) 590; 12 b) 593; 15 c) 590; 18
d) 593; 18 e) N.A.
19.- Ana tiene 2 veces más de lo que tiene Berta, si
Ana le da S/. 18 a Berta entonces tendrían la
misma cantidad ¿Cuánto tienen entre las dos?
a) 72 b) 48 c) 36 d) 54 e) N.A.
20.- El exceso de 8 veces un número sobre 800
equivale al exceso de 880 sobre cuatro veces el
número. Halla el número.
a) 120 b) 140 c) 160 d) 130 e) 100
21.- Me falta para tener 486 soles el doble de lo que
me falta para tener 384 soles. ¿Cuánto tengo?.
a) 180 b) 230 c) 282 d) 292 e) N.A.
22.- El producto de tres números positivos y
consecutivos es igual 80 veces el intermedio. Halla
el intermedio.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
23.- Si ganara S/. 880 tendría 9 veces lo que me
quedaría si perdiera S/.40 ¿Cuánto tengo?
a) 155 b) 180 c) 140 d) 600 e) 880
24.- En un aula los alumnos están agrupados en un
número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les
coloca en bancas de 4 alumnos se necesitarán 3
bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes?
a) 36 b) 48 c) 52 d) 20 e) N.A.
25.- Un número es tal, que multiplicado por 2, por 3
y por 4 da tres números cuyo producto es 81000.
Halla el número.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
CLAVES DE RESPUESTA
1) b 2) a 3) c 4) b
5) a 6) b 7) b 8) a
9) d 10) e 11) d 12) b
13) e 14) b 15) a 16) b
17) e 18) d 19) a 20) b
21) c 22) e 23) a 24) a 25) d
Bibliografía
Anfossi, A. (1947). CURSO DE ALGEBRA. MEXICO,
D. F.: PROGRESO.
Referencia
https://didactalia.net/comunidad/materialeducati
vo/recurso/ecuaciones-irracionales/f05b9840-
1e07-4054-962a-041339861e16