Este documento trata sobre desigualdades e inecuaciones. Define desigualdad como una relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor, y utiliza símbolos como >, <, ≥, ≤ para designarlas. Luego explica propiedades de las desigualdades como que si se suma o multiplica los mismos términos el sentido no cambia, mientras que si se multiplica por un número negativo sí cambia. Finalmente presenta ejemplos resueltos de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

1. Á L G E B R A
- 363 -
DESIGUALDADES EDESIGUALDADES E
INECUACIONESINECUACIONES
DESIGUALDADES
DESIGUALDAD
Es la relación que establece que dos cantidades
tienen diferente valor.
Los signos que se utilizan para designar desigual-
dades son:
> se lee: “mayor que”
< se lee: “menor que”
ജ se lee: “mayor o igual que”
ഛ se lee: “menor o igual que”
Toda cantidad positiva “a” se considera mayor que
cero (a > 0) y toda cantidad negativa “b” es menor
que cero (b < 0).
DEFINICIONES IMPORTANTES
1) Una cantidad “a” es mayor que otra cantidad
“b”, si la diferencia (a - b) es positiva, es decir:
a > b si a - b > 0
2) Una cantidad “a” es menor que otra cantidad
“b”, si la diferencia (a - b) es negativa, es decir:
a < b si a - b < 0
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1º Si a ambos miembros de una desigualdad se suma
o se resta una misma cantidad, el sentido de la
desigualdad no se altera.
Sea: a > b
se cumple que : a ± m > b ± m
2º Si los dos miembros de una desigualdad se multi-
plica o divide por una misma cantidad positiva, el
sentido de la desigualdad no varía.
Sea: a > b
se cumple que: am > bm
a b
o: –– > ––
m m
m > 0
3º Si los dos miembros de una desigualdad se multi-
plica o divide por una misma cantidad negativa el
sentido de la desigualdad se invierte.
Sea: a > b
se cumple: am < bm
a b
o: –– < ––
m m
m < 0
4º Si se suma miembro a miembro dos o varias
desigualdades del mismo sentido, el resultado es
una desigualdad del mismo sentido.
Sea: a > b, c > d
entonces:
a + c > b + d
w
w
w
.M
atem
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2. 5º Si se multiplica o divide miembro a miembro dos
o varias desigualdades del mismo sentido, cuyos
miembros son positivos, se obtiene una desigual-
dad del mismo sentido.
Sea: a > b, y c > d.
Multiplicando:
ac > bd
Dividiendo:
a b
–– > ––
c d
a > 0, b > 0, c > 0, d > 0
6º Si a ambos miembros de una desigualdad se eleva
a una misma potencia impar, el sentido de la
desigualdad no varía.
Sea: a > b
se tiene: a2m+1
> b2m+1
7º Si a ambos miembros de una desigualdad se eleva
a una misma potencia par, siendo los dos miem-
bros negativos, se obtiene una desigualdad de
signo contrario.
Sea: a > b
entonces : a2n
< b2n
a < 0, b < 0
8º Si a ambos miembros de una desigualdad se le
extrae una misma raíz de índice impar se obtiene
una desigualdad del mismo sentido.
Sea: a > b
entonces:
2m+1 ––– 2m+1 –––
√a > √b
EJERCICIOS SOBRE DESIGUALDADES
___
a + b
1.- Demostrar que ––––– > √ ab
2
Solución:
Si a ≠ b
luego:
(a - b)2
> 0
(si a = b, no se cumple)
efectuando:
a2
- 2ab + b2
> 0
Sumando a ambos miembros 4ab:
a2
- 2ab + 4ab + b2
> 4ab
a2
+ 2ab + b2
> 4ab
(a + b)2
> 4ab
si son positivos ambos:
___
a + b > 2√ab
de donde:
___
a + b∴ ––––– > √ab
2
2.- Demostrar que:
a3
+ b3
+ c3
> 3abc; a, b, c son positivos.
Solución:
Si a, b, c, son positivos, entonces:
a + b + c > 0 (1)
también:
(a - b)2
> 0
luego:
a2
+ b2
- 2ab > 0 (2)
además:
(a - c)2
> 0
luego:
a2
+ c2
- 2ac > 0 (3)
y:
(b - c)2
> 0
luego:
b2
+ c2
- 2ab > 0 (4)
Sumando (2), (3) y (4):
2(a2
+ b2
+ c2
) - 2(ab + ac + bc) > 0
- 364 -
α
α α
w
w
w
.M
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3. Á L G E B R A
- 365 -
a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc > 0 (5)
Multiplicando (1) y (5):
(a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
- ab - ac - bc) > 0
El primer miembro es una identidad algebraica,
luego:
a3
+ b3
+ c3
- 3abc > 0
∴ a3
+ b3
+ c3
> 3abc
3.- Demostrar que: ax + by < 1
Si: a2
+ b2
= 1 ; x2
+ y2
= 1
Donde a, b, x, y, son diferentes y positivos.
Solución:
De la condición del problema se escribe:
(a - x)2
> 0
∴ a2
+ x2
> 2ax (1)
(y - b)2
> 0
∴ y2
+ b2
> 2yb (2)
Sumando (1) y (2):
a2
+ b2
+ x2
+ y2
> 2(ax + by)
Sustituyendo las condiciones en esta desigualdad:
1 + 1 > 2(ax + by)
∴ ax + by < 1
4.- Demostrar que:
(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc
(a,b,c, son positivos)
Solución:
Siendo a, b, c, números positivos, se tiene:
a2
+ b2
> 2ab (1)
c2
+ b2
> 2bc (2)
a2
+ c2
> 2ac (3)
Multiplicando (1) por c, (2) por a y (3) por b:
a2
c + b2
c > 2abc (4)
c2
a + b2
a > 2abc (5)
a2
b+ c2
b > 2abc (6)
Sumando miembro a miembro (4), (5) y (6):
a2
c + b2
c + c2
a + b2
a + a2
b + c2
b > 6abc
Sumando a ambos miembros 2abc:
(a2
c + 2abc + b2
c)+(c2
a + c2
b)+(a2
b + ba2
) > 8abc
factorizando:
c(a + b)2
+ c2
(a + b) + ab(a + b) > 8abc
(a + b)(ac + bc + c2
+ ab) > 8abc
factorizando en el segundo paréntesis:
(a + b) [c(a + c) + b(a + c)] > 8abc
∴ (a + b)(a + c)(b + c) > 8abc
CLASES DE DESIGUALDADES
1.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellas
que se verifican para cualquier valor o sistemas
de valores, dado a sus letras.
Ejemplo:
(x - 5)2
+ 7 > 0
2.- DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIÓN.-
Son aquellas que se verifican para determina-
dos valores o sistemas de valores, asignados a
sus letras.
Ejemplo:
3x - 7 > 14
sólo se satisface para x > 7
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA
Son aquellas que pueden reducirse a la forma:
ax ± b > 0
o:
ax ± b < 0
w
w
w
.M
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4. SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN
Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de
las incógnitas, que verifican la desigualdad.
Para expresar convenientemente las soluciones que
se obtengan al resolver inecuaciones es necesario
definir:
INTERVALO ABIERTO.- Es el conjunto de ele-
mentos “x”, limitados en sus extremos por los
elementos “a” y “b”; donde a < b, para los cuales
se cumple que a < x < b. El intervalo abierto se
denota por ( a, b ).
Ejemplo:
Sea el intervalo (2, 5), según la definición se debe
tomar todos los números reales comprendidos
entre 2 y 5, a excepeción de éstos.
INTERVALO CERRADO.- Es el conjunto de ele-
mentos “x”, limitados en sus extremos por los
elementos “a” y “b”, donde a < b, para los cuales
se cumple que ഛ a x ഛ b. El intervalo cerrado se
representa por [a,b].
Ejemplo:
Sea el intervalo [2,7], según la definición, los ele-
mentos que forman este intervalo, son todos los
números comprendidos entre 2 y 7, incluyendo
éstos.
VALOR ABSOLUTO.- El valor absoluto de un
número real “x”, representado por | x | , se define
por la siguiente regla:
| x | = x si x > 0
| x | = -x si x < 0
Ejemplo:
i) | 7 | = 7
ii) | -2 | = -(-2) = 2
7 7 7
iii)
|- ––
|= -
(- ––
) = ––
5 5 5
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:
3x 7 x 1 7x
––– - ––– - ––– > –– + –––
5 10 20 5 20
Solución:
Multiplicando por 20:
12x - 14 - x > 4 + 7x
4x > 18
9x > ––
2
En forma de intervalo será:
x ∈ (9/2, + ∞ ), que se lee: “x pertenece al inter-
valo abierto comprendido entre 9/2 e infinito”.
2.- Resolver:
5 2x 7 x 5 2(6x - 2) –– -
(1 - –––
)–– < 4x +
(–– - –––
)––
8 3 3 2 12 3
Solución:
Realizando transformaciones:
5 7 1
(3x - 1) –– - (3 - 2x) –– < 4x + (6x - 5) –––
4 9 18
Multiplicando por 36:
45(3x - 1) - 28(3 - 2x) < 144x + 2(6x - 5)
135x - 45 - 84 + 56x < 144x + 12x - 10
135x + 56x - 144x - 12x < -10 + 84 + 45
35x < 119
119
x < ––––
35
17
x < –––
5
En forma de intervalo:
17
x ∈ (- ∞, –––)5
3.- Resolver 23x-5
> 42x-4
Solución:
Igualando las bases de las potencias: 23x-5
> 24x-8
Si una potencia es mayor que otra, en los expo-
nentes también deben cumplir esta desigualdad,
así:
3x -5 > 4x -8
- 366 -
α
α α
w
w
w
.M
atem
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5. transponiendo y operando:
-x > -3
multiplicando por (-1):
x < 3
en forma de intervalo:
x ∈ ( - ∞,3 )
4.- Resolver:
5
––––––– 7
–––––––
5x + 13 8x + 1
––––––– –––––––
2 4
√3 > √27
Solución:
Transformando, para que tenga la misma base:
5x + 13 8x + 1––––––– –––––––
10 28
3 > (33
)
5x + 13 24x + 3––––––– –––––––
10 28
3 > 3
también:
5x + 13 24x + 3
––––––– > –––––––
10 28
multiplicando por 280:
28(5x + 13) > (24x + 3)10
Operando, simplificando y despejando x:
x < 3,34
en forma de intervalo:
x ∈ ( - ∞, 3,34 )
INECUACIONES
SISTEMA DE INECUACIONES
1.- SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA
INCOGNITA
Para resolver un sistema de este tipo:
1º Se halla las soluciones de cada inecuación en
forma separada.
2º Se comparan éstas para establecer las solu-
ciones comunes a todas las inecuaciones.
3º Se grafica las soluciones en la recta numérica,
para facilitar la solución.
2.- SISTEMAS DE INECUACIONES CON 2 ó MAS
INCOGNITAS
Para resolver este tipo de sistema, se trata de elimi-
nar una incógnita, restando inecuaciones de senti-
do contrario, procediendo de esta manera hasta
obtener una inecuación con una sola incógnita.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:
3x
––– - 5 > 7 (1)
4
x
–– + 3 > x - 9 (2)
2
Solución:
Resolviendo la inecuación (1), para lo cual se
multiplica por 4:
3x - 20 > 28
3x > 48
x > 16
Resolviendo la inecuación (2), para lo cual se
multiplica por 2:
x + 6 > 2x - 18
-x > -24
x < 24
Graficando las soluciones:
-∞ 0 16 24 +∞
La solución común es: 16 < x < 24
escribiendo como intervalo: x ∈ (16,24)
2.- Resolver el sistema:
x - 2
2x - 1 > ––––– (1)
2
Á L G E B R A
- 367 -
w
w
w
.M
atem
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6. 3x x + 1
––– - 2 > ––––– (2)
5 10
2x - 7 3x - 1
–––––– > –––––– (3)
5 4
Solución:
Resolviendo cada inecuación:
(1) 6x - 3 > x - 2
6x - x > 1
1
∴ x > ––
5
(2) 6x - 20 > x + 1
6x - x > 21
21
∴ x > –––
5
(3) 8x + 28 > 15x - 5
8x - 15x > -5 - 28
33
∴ x < –––
7
Graficando:
-∞ 0 1 21 33 +∞
–– ––– –––
5 5 7
La solución es:
21 33
––– < x < –––
5 7
en forma de intervalo:
21 33
x ∈
(––– , –––
)5 7
3.- Resolver el sistema para valores enteros y posi-
tivos:
5x - 3y > 2 (1)
2x + y < 11 (2)
y > 3 (3)
Solución:
Combinando las inecuaciones (1) y (2):
(1) por 2 : 10x - 6y > 4
(2) por -5: -10x - 5y > -55
Sumando miembro a miembro:
-11y > -51
51
y < –––
11
Combinando este resultado con la inecuación(3):
513 < y < –––
11
El único valor entero y positivo para “y” com-
prendido en este intervalo es y = 4.
Sustituyendo este valor en (1) y (2):
En (1):
5x - 12 > 2
5x > 14
14
x > –––
5
En (2):
2x - 4 < 11
2x < 7
7
x < ––
2
para “x” se obtiene:
14 7
––– < x < ––
5 2
El único valor entero y positivo para “x” com-
prendido en este intervalo es 3:
x = 3
∴
y = 4
- 368 -
α
α α
w
w
w
.M
atem
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7. 4.- Resolver para valores enteros y positivos:
x + y + z > 8 (1)
x - y + z < 4 (2)
z - y > 0 (3)
z < 5 (4)
Solución:
De (3): z > y
Restando (1) - (2) se obtiene:
y > 2 (5)
De (3) y (5) se obtiene:
2 < y < z (6)
De (4) y (6):
2 < y < z < 5 (7)
Luego:
2 < y < 5
Los valores enteros que puede tomar “y” son”:
x = 3
o:
y = 4
(1) para y = 4, en (7):
4 < z < 5
No hay valor entero para “z”.
(2) para y = 3, en (7):
3 < z < 5
El valor entero para z = 4
Sustituyendo estos valores en (1) y (2):
x + 3 + 4 > 8 → x > 1
x - 3 + 4 < 4 → x < 3
de estas 2 últimas ecuaciones:
1 < x < 3
El valor entero para x = 2:
∴ x = 2 , y = 3 , z = 4
5.- Un matrimonio dispone de S/.320 para ir al cine
con sus hijos. Si comprasen entradas de S/.50
les faltaría dinero y si compraran de S/.40 les
sobraría dinero. ¿Cuántos son los hijos?
Solución:
Sea el número de hijos “x”.
En el primer caso gastarían:
50x + 100
por la condición:
50x + 100 > 320
de donde:
22
x > –––
5
En el segundo caso gastarían:
40x + 80
Por la condición: 40x + 80 < 320
de donde:
240
x < ––––
40
x < 6
Luego:
22
––– < x < 6
5
El valor que debe tomarse para “x” es un número
entero y positivo, ya que representa el número de
hijos, en este caso:
x = 5
6.- En un gallinero había cierto número de gallinas.
Se duplicó el número y se vendió 27, quedando
menos de 54. Después se triplicó el número de
gallinas que había al principio y se vendió 78,
quedando más de 39. ¿Cuántas gallinas habían
al principio?
Solución:
Suponiendo que sea “x” el número de gallinas
que había al principio.
Á L G E B R A
- 369 -
w
w
w
.M
atem
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8. Por datos del problema se puede escribir:
(1) 2x - 27 < 54
2x < 81
x < 40,5
(2) 3x - 78 > 39
3x > 117
x > 39
Luego:
39 < x < 40,5
es decir:
x = 40
Rpta.: inicialmente había 40 gallinas.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Reciben este nombres las inecuaciones que, reduci-
das, toman la forma:
ax2
+ bx + c > 0
o:
ax2
+ bx + c < 0
Resolver una inecuación de segundo grado es hallar
el intervalo en donde se encuentra la incógnita, de
manera tal que se verifique la desigualdad. Se estudia
tres casos:
1er. Caso: Cuando la inecuación es:
ax2
+ bx + c > 0
Se factoriza el trinomio. Suponiendo que se
puede factorizar de la siguiente manera:
p(x - r1
)(x - r2
) > 0 (1)
siendo p > 0, dividiendo entre “p”:
(x - r1
)(x - r2
) > 0 (2)
Para que se verifique esta desigualdad, es nece-
sario que los dos factores sean o ambos positivos
o ambos negativos.
Sea (1) : x - r1
> 0 ⇒ x > r1
x - r2
> 0 ⇒ x > r2
Sea (2): x - r1
< 0 ⇒ x < r1
x - r2
< 0 ⇒ x < r2
Analizando estos dos sistemas se llega a la solu-
ción final.
2do. Caso.- Cuando la inecuación es
ax2
+ bx + c < 0 (1)
En forma análoga a la anterior se llega a:
(x - r1
)(x - r2
) < 0 (2)
Para que se verifique esta desigualdad de los dos
factores, uno es positivo y el otro negativo, o
viceversa:
Sea (1) : x - r1
> 0 ⇒ x > r1
x - r2
< 0 ⇒ x < r2
Si: r1
< r2
∴ r1
< x < r2
Sea (2): x - r1
< 0 ⇒ x < r1
x - r2
> 0 ⇒ x > r2
Si: r1
< r2
No hay solución.
3er. Caso.- Cuando la inecuación es ax2
+ bx + c > 0
y tiene sus raíces complejas, solamente se verifica
para ese sentido, porque se trata de una desigualdad
absoluta. Véase el Ejercicio 4.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver : x2
- 7x + 12 > 0
Solución:
Factorizando el trinomio:
(x - 4) (x - 3) > 0
- 370 -
α
α α
w
w
w
.M
atem
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9. Estudiando los dos casos:
a) x - 4 > 0 x > 4
∴ x > 4
x - 3 > 0 x > 3
b) x - 4 < 0 x < 4
∴ x < 3
x - 3 < 0 x < 3
La solución general es:
x > 4
o:
x < 3
en forma de intervalo:
x ∈ (-∞, 3) ∪ (4, ∞)
3.- Resolver: x2
- 9x + 18 < 0
Solución:
Factorizando el trinomio:
(x - 6) (x - 3) < 0
Analizando los 2 casos:
1) x - 6 > 0 ⇒ x > 6
}No hay solución
común
x - 3 < 0 ⇒ x < 3
2) x - 6 < 0 ⇒ x < 6
}La solución es
3 < x < 6
x - 3 > 0 ⇒ x > 3
En forma de intervalo: x ∈ (3,6)
3.- Resolver el sistema:
x2
- 12x + 32 > 0 (I)
x2
- 13x + 22 < 0 (II)
Solución:
Resolviendo cada inecuación separadamente:
(I) (x - 4)(x - 8) > 0
cuya solución es:
x > 8
o:
x < 4
(II) (x - 11)(x - 2) < 0
cuya solución es:
2 < x < 11
Graficando la solución obtenida:
-∞ 2 4 8 11 +∞
la solución común es:
x ∈ (2,4) ∪ (8,11)
4.- Resolver x2
+ x + 1 > 0
Solución:
Como no es posible factorizar se plantea:
x2
+ x + 1 = 0
donde:
______
-1 ± √1 - 4
x = ––––––––––––
2
entonces:
___ ___
- 1 + √3 i - 1 - √3 i
x = –––––––––– y = –––––––––
2 2
Nótese que las raíces son complejas luego se trata
del 3er. caso de inecuaciones.
y se puede escribir:
___ ___
-1 + √3 i - 1 - √3 i
[x -
(–––––––––
)][x -
(––––––––––
)]> 0
2 2
o también:
__ __
1 √3 1 √3
[(x + ––
)- –––– i
][(x + ––
)+ –––– i
]> 0
2 2 2 2
Á L G E B R A
- 371 -
w
w
w
.M
atem
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10. - 372 -
α
α αefectuando:
2
__ 2
1 √3
(x + ––)-
(–––– i
) > 0
2 2
2
1 3
(x + ––)+ –– > 0
2 4
Se observa que cuando las raíces son complejas,
la relación de mayor es cierta y en el caso con-
trario no se cumple.
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas en las que las incógnitas se hallan afec-
tadas por radicales.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:
_____
√x - 2 - 3 < 0
Solución:
Transponiendo:
_____
√x - 2 - 3 (I)
La expresión subradical debe ser positiva, para
que exista dentro del campor real, ésto es:
x - 2 > 0
x > 2 (A)
Elevando al cuadrado (I):
x - 2 < 9
x < 11 (B)
La solución es:
2 < x < 11
o:
x ∈ (2,11)
2.- Resolver:
___________
2x - 5 > √x2
- 2x + 10
Solución:
Se debe cumplir que:
x2
- 2x + 10 > 0
Elevando al cuadrado la inecuación original:
4x2
- 20x + 25 > x2
- 2x + 10
3x2
- 18x + 15 > 0
x2
- 6x + 5 > 0
factorizando:
(x - 5)(x - 1) > 0
de donde:
x > 5 o x < 1
asi:
__________
√x2
- 2x + 10 > 0
2x - 5 > 0
x > 2,5
Notar que x < 1 no es solución.
-∞ -2 2 2,5 3 5 +∞
La solución común es: x > 5 en forma de
intervalo:
x ∈ (5,+∞)
w
w
w
.M
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11. Á L G E B R A
- 373 -
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar los valores enteros y positivos que satis-
facen la inecuación.
3
––––––– –––––––
5x + 1 3(x + 1)
––––––– –––––––
2 5
√3 < √9
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6
2. Hallar el número de valores enteros y positivos
que verifican:
5 3 2x 4 x 5
(x - ––)–– + ––– - –– < –– - (2x - 1) ––
2 2 3 5 2 6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Hallar el número de valores enteros y positivos
que verifican:
__
2 33
√2
8x-1
> 4x - ––
4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2x + 1 2 - x
4. Resolver: –––––– - –––––– > 1
5 3
a) x < 2 b) x > 3 c) x < 3
d) x > 2 e) x < 1
5x - 1 3x - 13 5x + 1
5. Resolver: –––––– - ––––––– > ––––––
4 10 3
a) x > 7 b) x < 7 c) x > 4
d) x < 4 e) x >2
6. Resolver: | 3x - 5 | < 3
2 8 2 5
a) x ∈ < –– , –– > b) x ∈ < –– , –– >
3 3 3 3
2 8 2 5
c) x ∈ < - –– , –– > d) x ∈ < - –– , –– >
3 3 3 3
2 11
e) x ∈ < –– , ––– >
3 3
1_
(x6 - 2x3+ 1) 2 1-x
1 17. Resolver: (––) < (––)2 2
a) x > -1 b) x > 1 c) x > 0
d) x < 2 e) x < -2
x2
8. Resolver: ––––– < x + 6
x - 2
a) x ∈ < -∞ ,2 > b) x ∈ < 3 ,∞ >
c) x ∈ < -∞ ,2 > ∪ < 3 ,∞ > d) x ∈ < -∞ ,3 >
e) x ∈ < 2,∞ >
9. Hallar “a” en |x - a| < b si es equivalente a:
2 < x < 4.
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
10.- Calcular:
|5x - 20| - |3x - 20|
E = –––––––––––––––– si x ∈ < -3, -2 >
x
a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 5
11. Para qué valores de “a” se verifica la desigualdad:
3a + 10
1 < ––––––– < 2
a + 7
3 3
a) a ∈ < –– , 4 > b) a ∈ < - ––, 4 >
2 2
1 1
c) a ∈ < –– , 4 > d) a ∈ < - ––, 4 >
2 2
5
e) a ∈ < –– , 4 >
2
12. Para qué valores de “m” el sistema de ecua-
ciones:
9x + 7y > m
3x + 5y < 13
tiene soluciones positivas?
w
w
w
.M
atem
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12. - 374 -
α
α α91 26 26 91
a) m < ––– b) m > ––– c) ––– < m < –––
5 3 3 5
2 9 1 7
d) –– < m < –– e) –– < m < ––
3 7 5 5
13.- Resolver para valores enteros y dar el valor de “y”:
5x - 3y + 2z > 7
2x + y + z > 14
3y + x < 15
y < 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14.- Resolver para valores enteros y positivos y dar
el valor de “y”:
-x + 2y > 2
x - y > -2
4x + y < 7
a) 1 b) -4 c) 3 d) 5 e) 2
15. Resolver el sistema para valores enteros y posi-
tivos y dar el valor de z:
2y < x
4y > 7z
x < 2x + 4
a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
16. Se sabe que el cuádruplo del número de mon-
edas que hay dentro de un bolso es tal, que dis-
minuído en 5, no puede exceder de 31, y que el
quíntuplo del mismo número de monedas
aumentado en 8, no es menor que 52. ¿Cuál es
dicho número?
a) 7 b) 12 c) 10 d) 9 e) 7
17. Un comerciante adquirió un cierto número de
especies de las que vendió 70 y le quedaron más
de la mitad. Al día siguiente le devolvieron seis,
pero logró vender 36, después de lo cual le
quedan menos de 42. ¿Cuántas especies forma-
ban el lote?
a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144
3 5
18. Si x ∈ < –– , –– >,
2 2
determinar el menor número M tal que:
x + 4
|––––––
|< M
x - 4
1 13 11 12
a) 13 b) –– c) ––– d) ––– e) –––
3 3 3 5
19. Para qué valores de “a” se satisface el sistema de
desigualdes:
x2
+ ax - 2
- 3 < ––––––––– < 2
x2
- x + 1
a) x ∈ < -1,3 > b) x ∈ < -1,5 >
c) x ∈ < -1,7 > d) x ∈ < -1,2 >
e) x ∈ < -1,6 >
x2
- 7x + 10
20. Resolver: ––––––––––– > 0
x2
- 9x + 8
a) x ∈ < 2,5 > b) x ∈ < 1,8 >
c) x ∈ < -∞,1 > d) x ∈ < 8,+∞ >
e) x ∈ < 2,8 >
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) A 3) C 4) D 5) B
6) A 7) B 8) C 9) B 10) D
11) B 12) C 13) D 14) E 15) C
16) D 17) B 18) C 19) A 20) A
w
w
w
.M
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