Inferencia estadística y análisis de datos

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ISBN 978-84-8322-404-5
9 7 8 8 4 8 3 2 2 4 0 4 5
Este libro está dirigido a estudiantes y profesionales de
Ciencias e Ingenierías. Trata los conceptos más importantes
de la inferencia estadística y el análisis de datos tanto
univariante como multivariante. El enfoque con el que
se exponen dichos conceptos es, desde el punto de vista
matemático, riguroso, si bien se dan ejemplos, casi siempre
de carácter biológico, después de casi cada definición o la
demostración de un resultado.
Ipiña
Durand
ISBN 978-84-8322-404-5
9 7 8 8 4 8 3 2 2 4 0 4 5
Santiago L. Ipiña
Ana I. Durand
Inferencia estadística
y análisis de datos
Inferencia
estadística
y
análisis
de
datos
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ANÁLISIS DE DATOS

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INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
SANTIAGO L. IPIÑA
ANA I. DURAND
Departamento de Matemática Aplicada (Biomatemática)
Universidad Complutense de Madrid
Madrid • México • Santafé de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Lima • Montevideo
San Juan • San José • Santiago • São Paulo • White Plains

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Datos de catalogación bibliográfica
INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
Santiago L. Ipiña y Ana I. Durand
PEARSON EDUCACIÓN, S.A. 2008
ISBN: 978-84-8322-404-5
Materia: Estadística matemática, 519.2
Formato: 195 X 250 mm Páginas: 495
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2008, PEARSON EDUCACIÓN S.A.
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28042 Madrid (España)
INFERENCIA ESTADÍSTICA Y
ANÁLISIS DE DATOS
Santiago L. Ipiña y Ana I. Durand
ISBN: 978-84-8322-404-5
Deposito Legal: M.
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Índice general
Prólogo XI
I Variables y distribuciones 1
1. Sucesos y probabilidad 3
1.1. Experimento Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Probabilidad Condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Variables aleatorias 19
2.1. Variable Aleatoria y Función de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Propiedades de la Función de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Probabilidad de un Intervalo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. Distribuciones Discretas y Absolutamente Continuas . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Variable Aleatoria Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6. Distribuciones Bivariantes Discretas y Absolutamente Contínuas . . . . . . . . . 31
2.7. Distribuciones Marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8. Independencia Estocástica de Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9. Distribuciones Condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Parámetros de una variable aleatoria 51
3.1. Esperanza Matemática de una Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Varianza de una Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Covarianza de Dos Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Dos Teoremas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5. Coeficiente de Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6. Independencias Estocástica y Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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VI INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
4. Transformación de variables aleatorias 65
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Transformación de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1. Caso discreto, univariante y biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.2. Caso discreto, univariante y no biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.3. Caso discreto, bivariante y biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4. Caso discreto, bivariante y no biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.5. Caso continuo, univariante y biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.6. Caso continuo, univariante y no biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.7. Caso continuo, bivariante y biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.8. Caso continuo, bivariante y no biyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3. Funciones Generadoras de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.1. Propiedades de la función generadora de momentos . . . . . . . . . . . 80
4.3.2. Momentos y funciones generadoras de momentos conjuntos . . . . . . . 85
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5. Funciones de distribución más usuales 93
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2. Distribución de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3. Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4. Distribución de la Frecuencia Relativa de un Suceso . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5. Distribución Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.6. Distribución Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.7. Distribución Geométrica o de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.8. Distribución Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.9. Distribución Serie Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.10. Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.11. Distribución Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.11.1. Transformada integral de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.12. Distribución Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.12.1. Distribución exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.12.2. Distribución ji-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.12.3. Distribución ji-cuadrado no centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.13. Distribución Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.14. Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.15. Distribución LogNormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.16. Distribución Doble Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.17. Distribución Normal Bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.18. Mixtura de Dos Distribuciones Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.19. Modelos Jerárquicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.20. Manejo de las Tablas de Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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ÍNDICE GENERAL VII
II Inferencia estadística 145
6. Distribución muestral 147
6.1. Introducción y Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2. Muestra Aleatoria Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3. Estadístico y Distribución Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4. Teorema Central del Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5. Ley Débil de los Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6. Distribución de la Varianza Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.7. Distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.7.1. Distribución de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.7.2. Distribución t de Student no centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.8. Distribución F de Fisher-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.8.1. Distribución F de Fisher-Snedecor no centrada . . . . . . . . . . . . . . 161
6.9. Estadísticos de Orden o Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7. Estimación puntual 179
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2. Propiedades de un Estimador Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2.1. Insesgamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2.2. Error cuadrático medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2.3. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.4. Suficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3. Obtención de Estimadores Puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3.1. Máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3.2. Momentos muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.3.3. Estimadores bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8. Estimación por intervalo 213
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.2. Intervalo de Confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3. Cantidad Pivotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3.1. Método de la cantidad pivotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4. Intervalos de Confianza para la Esperanza Matemática . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4.1. Intervalo de confianza para E(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4.2. Intervalo de confianza para la diferencia de dos esperanzas
matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5. Intervalos de Confianza para la Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5.1. Intervalo de confianza para una varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5.2. Intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas . . . . . . . . . . 226
8.6. Construcción de Intervalos de Confianza por el Método Estadístico . . . . . . . . 227
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

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VIII INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
9. Contraste de hipótesis 245
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.2. Contrastes basados en el Cociente de Verosimilitudes . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3. Método del Intervalo de Confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.4. Contrastes basados en los Métodos Intersección-Unión
y Unión-Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.5. Contrastes Bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.6. Calidad de un Contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.6.1. Función potencia, tamaño y nivel de significación . . . . . . . . . . . . . 256
9.6.2. Contrastes potentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.6.3. Contrastes insesgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.6.4. Tamaño de los contrastes intersección-unión y unión-intersección . . . . 279
9.7. Intervalos de Confianza y Contrastes de Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.8. Contrastes de Hipótesis Basados en el Estadístico Ji-Cuadrado . . . . . . . . . . 286
9.8.1. Bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.8.2. Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10. Introducción a la teoría de la decisión 301
10.2. Teoría de la Decisión en Estimación y Contrastes de Hipótesis . . . . . . . . . . 303
10.2.1. Estimación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2.2. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.2.3. Contraste de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.3. Reglas de Decisión Bayesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
III Técnicas del análisis de datos 315
11. Análisis de la varianza 317
11.2. ANOVA de un FACTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.2.1. Modelo equilibrado de efectos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.2.2. Modelo no equilibrado con efectos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.2.3. Modelo equilibrado de efectos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.2.4. Comparaciones a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.2.5. Resolución del ANOVA mediante contrastes de parámetros . . . . . . . . 337
11.3. ANOVA de dos FACTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
11.3.1. Estadísticos de contraste y distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.3.2. Caso con tamaño muestral uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.4. Introducción al ANOVA Multifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

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ÍNDICE GENERAL IX
12. Regresión lineal 357
12.1. Modelos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
12.2. Estimaciones Máximo Verosímiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
12.3. Distribución de los Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
12.4. Inferencias sobre los Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.4.1. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.4.2. Parámetros centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
12.4.3. Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
12.4.4. Intersección con ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.5. Otros Modelos de Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.5.1. Modelo normal bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
12.5.2. Variables con error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
13. Análisis de componentes principales 377
13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.2. Obtención de las Componentes Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
13.2.1. Componentes principales de la matriz de correlación . . . . . . . . . . . 379
13.3. Interpretación de las Componentes Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
14. Análisis multivariante de la varianza 391
14.1. Tres Distribuciones de Probabilidad Multivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 391
14.1.1. Distribución normal multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
14.1.2. Distribución de Wishart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
14.1.3. Distribución lambda de Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
14.2. Análisis Multivariante de la Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
14.2.1. Obtención de las matrices de sumas de cuadrados y productos . . . . . . 395
14.2.2. Estadísticos de contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
14.2.3. Homogeneidad de las matrices de varianzas covarianzas
residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14.3. Dimensión de la Hipótesis Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
14.4. Análisis Canónico de Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
15. Análisis discriminante 407
15.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.2. Función Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.2.1. Distribución del discriminador de Wald-Anderson . . . . . . . . . . . . 409
15.2.2. Discriminación con dos o más poblaciones de parámetros
desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
15.3. Otros Criterios de Asignación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
15.4. Dos Hipótesis Básicas a Contrastar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

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X INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
Apéndices 421
A. Álgebra y Geometría de matrices 421
A.1. Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.2. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
A.3. Leyes del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
A.4. Matriz Traspuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
A.5. Partición de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
A.6. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
A.7. Formas Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
A.8. Matriz de Varianzas Covarianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.9. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
A.10. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
A.11. Rango e Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
A.12. Inversa Generalizada y Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
A.13. Autovalores y Autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
A.14. Geometría de una Transformación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
A.14.1. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
A.14.2. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
A.14.3. Otras transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
A.14.4. Transformaciones lineales y rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . 454
A.14.5. Estructura geométrica de los autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
A.15. Subapéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
B. Tablas de Distribuciones 463
Bibliografía 475
Índice alfabético 479

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Prólogo
Lo primero que uno se plantea cuando tiene la intención de escribir un libro tiene que
ver con la razón por la que lo escribe. Si bien es cierto que no hay una sola razón, la
más inmediata, no exenta de cierta inmodestia, está relacionada con el grado de insa-
tisfacción que se tiene respecto a lo leído en otras obras que tratan la materia que aquí
desarrollamos y están escritas en lengua española.
Aunque sin respuesta convincente, también nos hemos preguntado qué es lo que hace
a este libro diferente de otros ya publicados. Quizás, lo mejor que podemos decir en este
sentido es que hemos trabajado intensamente para que el resultado final sea de nuestro
agrado.
En cualquier caso, tenemos la esperanza de que lo que exponemos pueda ser consi-
derado satisfactorio tanto para profesionales como para estudiantes de las licenciaturas
de Ciencias e Ingenierías.
Hemos asumido que nuestro lector tiene una base matemática que, aproximadamente,
es equivalente a la impartida en la enseñanza pre-universitaria. Algunos de los temas
que desarrollamos exigen, no obstante, conocimientos matemáticos que sobrepasan di-
cha base. Para hacer más asequibles estos casos, así como aquellos relacionados con
resultados más conocidos y, como consecuencia, en cierta medida más tediosos, hemos
estructurado el libro de forma que, cuando ha sido necesario, se ha introducido al final
de cada capítulo un apéndice en el que se desarrollan las demostraciones que permiten
comprender totalmente el argumento del que se habla.
Después de la explicación de casi todo nuevo concepto hemos incluido un ejemplo
que pretendemos ilustre y haga entender satisfactoriamente la teoría expuesta, cuando
la complejidad de ésta así lo requiere. Adicionalmente, al finalizar cada capítulo se ha
propuesto un conjunto de ejercicios que creemos ayudarán al lector a afianzar el co-
nocimiento teórico. Es importante, por tanto, tratar de resolver estos ejercicios, si bien
se ofrecen las soluciones de aquellos que nosotros hemos considerado puedan servir de
modelo de resolución para el resto. La mayor parte tanto de los ejemplos como de los
ejercicios propuestos son de naturaleza biológica, lo que no es más que una consecuencia
del campo de aplicación en el que trabajan los autores.
El lector interesado puede encontrar en la Bibliografía una selección de libros sobre
Inferencia Estadística y Análisis de Datos que pensamos son interesantes bien para pro-
fundizar bien para complementar su formación. Naturalmente, también en esta sección

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XII INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
se encuentran las referencias de los artículos científicos y los libros que se citan a lo
largo de la exposición de los distintos temas que aquí se tratan.
Los autores deseamos dejar patente las atenciones y facilidades prestadas por la Edi-
torial Pearson Educación, sin cuya colaboración la realización de este libro hubiera sido
más compleja, si no imposible. La responsabilidad de los errores que puedan haber so-
brevivido a la tarea editorial, sin embargo, es enteramente nuestra.
Uno de los autores, quien sin relación con sus méritos o mayor trabajo figura en
primer lugar, desea agradecer al otro autor su constante apoyo personal y profesional.
Madrid, Marzo de 2007

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Parte I
Variables y distribuciones

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CAPÍTULO
1
Sucesos y probabilidad
La materia de la que se compone este capítulo forma parte del soporte de los restantes
capítulos de este libro. Como el lector puede fácilmente comprender, esto significa que
tanto su importancia como su extensión son considerables. Tratar, sin embargo, con el
debido rigor, la teoría de la probabilidad es una tarea inadmisible en una obra cuyos
objetivos tienen que ver con la inferencia estadística y el análisis de datos. Existen, por
otra parte, excelentes referencias en la bibliografía actual, por lo que el lector que lo crea
necesario, siempre puede consultarlas. En nuestra opinión, dos de dichas referencias son
A Course in Probability Theory (K.L. Chung) y An Introduction to Probabilistic Theory
and Its Applications (W. Feller), en tanto que el libro Fundamentos de Probabilidad
en Bioestadística (Alonso, G., Ocaña, J. y Cuadras, C.M.) constituye un buen punto de
partida para adentrarse en los aspectos más formales de la probabilidad.
1.1 EXPERIMENTO ALEATORIO
Definición 1.1 Un experimento es un estudio científico que genera datos y está carac-
terizado por dos componentes, el fenómeno a estudiar y el observador.
Esta definición tiene que ver con el propósito que perseguimos en este capítulo y
en los siguientes. En todo caso, según el diccionario de la Real Academia Española
(RAE), un experimento es la acción y el efecto de experimentar, y experimentar - en
su 4a acepción - consiste en realizar operaciones destinadas a descubrir, comprobar o
demostrar determinados fenómenos o principios científicos.
Notemos que el observador está dotado de cierta capacidad de controlar y analizar el
fenómeno. Así, podemos estar interesados en estudiar un conjunto de personas reumáti-
cas y es evidente que las observaciones hechas por un médico no serán las mismas que
aquellas realizadas por un observador no especializado.

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4 INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ANÁLISIS DE DATOS
Por otro lado, el fenómeno a estudiar puede ser determinístico o aleatorio, lo que de-
pende del modelo que trata de explicarlo. Entendiendo que el término modelo se emplea
aquí en el sentido de un conjunto de ecuaciones y funciones - acudiendo nuevamente al
diccionario de la RAE, en su cuarta acepción, puede verse que modelo es un esquema
teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja
que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento -, la
trayectoria de una bala al ser disparada puede ser explicada desde una perspectiva deter-
minística como la Mecánica clásica, o desde un punto de vista aleatorio al contemplar
factores incontrolables como la velocidad del aire en el momento del disparo, las partícu-
las en suspensión en el aire, etc. El estudio de poblaciones humanas, o la transmisión de
caracteres hereditarios son también ejemplos de fenómenos aleatorios, o estocásticos,
dado que resulta imposible conocer o controlar los factores que intervienen en dichos
fenómenos.
Definición 1.2 Un fenómeno se dice que es aleatorio cuando cumple las siguientes con-
diciones,
a) puede repetirse indefinidamente, obteniéndose datos o resultados que pueden ser
distintos en cada prueba o repetición,
b) en cada prueba se obtiene un resultado perteneciente al conjunto de resultados
posibles del experimento,
c) antes de realizar una prueba es imposible saber el resultado de la misma, lo que
se denomina condición de azar,
d) la frecuencia relativa de cada resultado tiende a un número fijo al aumentar el
número de repeticiones del experimento, lo que se denomina regularidad estadís-
tica.
1.2 SUCESOS
Definición 1.3 Espacio muestral, Ω, es el nombre que se da al conjunto de resulta-
dos posibles de un experimento, y cada elemento de dicho conjunto se denomina punto
muestral, ω.
Es evidente que el número de puntos muestrales puede ser finito o infinito. Al lan-
zar una moneda al aire y ver el resultado, tenemos que Ω = {o, x} (o = cara, x =
cruz), en tanto que al considerar el tiempo de reacción a determinado estímulo, tenemos
que Ω = (0, ∞) ≡ R+, la semirecta real positiva . Además, deben distinguirse, entre
los espacios muestrales que son infinitos, aquellos que son numerables - sus elementos
pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los elementos del conjunto, o algún

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CAPÍTULO 1. SUCESOS Y PROBABILIDAD 5
subconjunto, de los números naturales - de aquellos que son no numerables. Desde un
punto de vista empírico, incluso filosófico, puede argumentarse que solo existen espacios
muestrales numerables ya que las medidas no pueden realizarse con precisión infinita.
Sobre un mismo espacio muestral pueden construirse diferentes experimentos, lo
que depende de la capacidad de observación, o interés, del observador. Por ejemplo, al
lanzamiento de un dado, Ω = {1, 2, ..., 6}, puede añadirse y observar si sale cara impar,
o también y observar si sale como máximo un tres, etc. Es decir, que dicha capacidad de
observación determina un conjunto de sucesos observables asociados al experimento.
Definición 1.4 Suceso observable es un enunciado referente a los puntos muestrales de
Ω con la condición de que en cada realización del experimento se pueda determinar si se
ha cumplido o no el enunciado en cuestión. Un suceso observable es elemental cuando
el enunciado hace referencia a un solo punto muestral.
Puede identificarse un suceso observable con un subconjunto de Ω, un resultado
consecuencia del teorema de Stone. Este teorema - que el lector interesado puede ver
en Monk (1995) - indica que un conjunto de sucesos puede representarse mediante una
colección de subconjuntos, o dicho más técnicamente, entre ambos conjuntos existen un
isomorfismo —una aplicación uno a uno que conserva las relaciones de los elementos
del conjunto de partida—.
Supongamos que deseamos seleccionar un individuo de una población humana y nos
interesan los enunciados A = individuo con ojos azules y B = individuo con astigma-
tismo. Es evidente que al realizar el experimento sabremos si el individuo seleccionado
cumple o no los citados enunciados, con lo que A y B son sucesos observables. Pero
también podremos saber si se cumple, por ejemplo, A ∧ B, es decir, individuo con ojos
azules y astigmatismo, que es el suceso observable resultante de la conjunción lógica
(intersección en teoría de conjuntos) entre A y B. Lo mismo podría decirse respecto de
la disyunción lógica (∨) (unión), o de la negación (c) (complementación). Es importante
que estas operaciones lógicas cumplan ciertas propiedades con el propósito de facilitar
su manejo.
Al conjunto A de sucesos observables dotado de estructura de álgebra de Boole con
respecto a las operaciones disyunción y negación lógicas se le denomina álgebra de
sucesos, si el número de sucesos considerados es finito. Si dicho número es infinito, el
álgebra de sucesos se dice que tiene estructura de σ− álgebra (o campo de Borel). Siendo
Ac el suceso complemento de A, la siguiente definición recoge el caso más general.
Definición 1.5 Una colección A de subconjuntos de Ω se denomina campo de Borel
(σ− álgebra) si,
1. ∅ ∈ A,
2. A ∈ A ⇒ Ac ∈ A,
3. A1, A2, ... ∈ A ⇒ ∪∞
i=1Ai ∈ A.

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Tengamos presente que por las leyes de De Morgan, combinando las propiedades 2.
y 3., la intersección de sucesos (o su conjunción) es un suceso de A.
Dado un número finito de niveles de observación, es decir, un interés específico ante
un conjunto de resultados finito, es fácil construir el álgebra de sucesos asociada a un
experimento. En efecto, si suponemos que nos interesan solo dos sucesos A y B, cons-
truiremos en primer lugar el conjunto,
Q = {A ∧ B, A ∧ Bc
, Ac
∧ B, Ac
∧ Bc
},
y, a continuación, el conjunto compuesto por todos los subconjuntos de Q, con 24 ele-
mentos, llamado partes de Q, P(Q), generado a partir de las sucesivas uniones de los
cuatro elementos que componen Q. Es fácil demostrar que A = P(Q) es un álgebra de
sucesos.
La anterior construcción es un ejemplo sencillo de la generación de álgebras dados
un experimento y un espacio muestral Ω. En efecto, de modo general, decimos que A
es un álgebra engendrada por una colección de sucesos S = {A | A ⊂ Ω}, lo que
se representa mediante A = g(S), si A contiene a S, es un álgebra de sucesos y toda
álgebra A′ que contenga a S también contiene a A. Es decir, que A es la menor álgebra
que contiene a S.
Cuando el espacio muestral Ω no es finito, el álgebra de sucesos asociada puede ser
finita o infinita. Usualmente, si el número de sucesos del álgebra es infinito, la descrip-
ción de A no es fácil. En efecto, en este caso, el álgebra de sucesos A se dice constituida
por todo suceso que sea de interés en el experimento. Por ejemplo, si Ω = R, la recta
real, los elementos del campo de Borel son, dados cualesquiera x e y reales, conjuntos
de la forma (x, y), (x, y], [x, y), [x, y], (−∞, x), [x, ∞), etc. En el siguiente capítulo,
insistiremos en álgebras no finitas.
1.3 PROBABILIDAD
Definición 1.6 Dados Ω y A, a la aplicación P de A sobre el conjunto de los números
reales R,
P : A → R
A → P(A),
se denomina probabilidad si cumple (axiomas de Kolmogorov),
Axioma 1.1 P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A,
Axioma 1.2 P(Ω) = 1,
Axioma 1.3 A1, A2, ... ∈ .A, y disjuntos dos a dos, P (∪∞
i=1Ai) =
P∞
i=1 P(Ai).

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Son fácilmente derivables de estos axiomas, siendo A, B ∈ A dos sucesos cuales-
quiera,
1. P(Ac) = 1 − P(A),
2. P(∅) = 0,
3. A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B),
4. 0 ≤ P(A) ≤ 1,
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ∀A, B ∈ A.
Definición 1.7 Se llama espacio de probabilidad a la terna (Ω, A, P).
Resulta evidente, por otra parte, que el concepto axiomático de la aplicación llamada
probabilidad no ofrece modo alguno de determinar el valor numérico de la probabilidad
de un suceso, y tampoco hace referencia a algún método para calcularla. Cuando se
considera un espacio de probabilidad con sucesos elementales equiprobables, tenemos,
Ω = {w1, ..., wn} : P({w1}) = ... = P({wn},
y es fácil ver que puede justificarse la siguiente manera de calcular una probabilidad,
P(A) =
Af
c(Ω)
, ∀A ∈ A,
donde Af denota el número de resultados favorables del suceso A y c(Ω) el número de
resultados posibles de la experiencia, es decir, el cardinal del espacio muestral.
1.4 PROBABILIDAD CONDICIONADA
En el anterior cociente que define el cálculo de una probabilidad, el número de resultados
posibles podemos referirlo a algún subconjunto - suceso - de Ω. El resultado especifica la
probabilidad de un suceso condicionado al suceso definido por el anterior subconjunto.
La idea se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.1
Sea un experimento consistente en capturar al azar un conejo - equiprobabilidad en la
captura - y observar A = conejo macho y B = conejo de color blanco. Sean n conejos,
nA conejos machos, nB conejos blancos y nAB conejos machos blancos. De aquí,
P(A) =
nA
n
, P(B) =
nB
n
, P(A ∩ B) =
nAB
n
.

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También podremos escribir,
nAB
nB
=
nAB/n
nB/n
=
P(A ∩ B)
P(B)
= P(A | B), ∀B : P(B) 6= 0,
la probabilidad del suceso A condicionado al suceso B. En nuestro ejemplo, otras for-
mas de referirse a este tipo de probabilidad son, dado que el conejo será de color blanco
¿cuál es la probabilidad de que además sea macho? O también, de entre los conejos de
color blanco ¿cuál es la probabilidad de ser macho? O más directamente, ¿cuál es la
probabilidad de ser macho dado que se es de color blanco?
El concepto de probabilidad condicionada es importante como veremos a lo largo de este
libro, especialmente al desarrollar la denominada estadística bayesiana.
Definición 1.8 Dos sucesos son estocásticamente independientes (A ⊥ B) si se cumple
que P(A | B) = P(A) y P(B | A) = P(B).
Son fácilmente derivables las siguientes proposiciones.
Proposición 1.1 (Principio de las probabilidades compuestas)
P(A ∩ B) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A).
Proposición 1.2 (Regla del producto)
A ⊥ B ⇒ P(A ∩ B) = P(A)P(B).
En el Apéndice al final del capítulo pueden verse algunas consecuencias de ser A y
B independientes.
Definición 1.9 Una colección compuesta de k sucesos de A que cumplan con los requi-
sitos de ser disjuntos, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, ..., k y que su unión sea el suceso
seguro,
k
[
i=1
Ai = Ω
se denomina partición finita de Ω. Se habla de partición finita propia si ningún Ai es el
vacío.
El siguiente teorema indica la probabilidad de un suceso cualquiera S ∈ A conside-
rando una partición finita como la anterior.
Teorema 1.1 (Teorema de las probabilidades totales) Sea la partición finita
{A1, ..., Ak}, Ai ∈ A, i = 1, ..., k.

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Dado un suceso S ∈ A se verifica,
P(S) =
k
X
i=1
P(Ai)P(S | Ai).
Prueba. La prueba es inmediata considerando,
P(S) = P(Ω ∩ S) = P[(A1 ∪ ... ∪ Ak) ∩ S] = P(A1 ∩ S) + ... + P(Ak ∩ S),
y el principio de las probabilidades compuestas.
Más transcendente es el teorema de Bayes - recuérdese el anterior comentario so-
bre la estadística bayesiana -, que habla de la probabilidad condicionada de Ah ∈
{A1, ..., Ak} dado S,
Teorema 1.2 (Teorema de Bayes) Sea {A1, ..., Ak}, Ai ∈ A, i = 1, ..., k, una parti-
ción finita de Ω. Suponiendo que se presentará S, la probabilidad de que proceda del
suceso Ah ∈ {A1, ..., Ak} es,
P(Ah | S) =
P(Ah)P(S | Ah)
k
P
i=1
P(Ai)P(S | Ai)
,
Prueba. Es fácil la prueba de este teorema dados tanto el anterior Teorema 1.1 como la
definición de probabilidad condicionada.
APÉNDICE
Independencia estocástica
Teorema 1.3 A ⊥ B ⇔ P(A∩B) = P(A)P(B). Además, si A ⊥ B entonces también
A ⊥ Bc, Ac ⊥ B y Ac ⊥ Bc.
Prueba. La implicación ⇒ se obtiene directamente de la regla del producto. Para de-
mostrar la implicación ⇐ consideraremos que,
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
= P(A) y P(B | A) =
P(A ∩ B)
P(A)
= P(B),
es decir, A ⊥ B.
Respecto a la segunda parte del teorema, vemos que,
A ∪ B = B ∪ (A ∩ Bc
) ⇒ P(A ∪ B) = P(B) + P(A ∩ Bc
),

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pues B ∩ (A ∩ Bc) = ∅, y como,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A)[1 − P(B)] + P(B),
por ser A ⊥ B, resulta,
P(A ∩ Bc
) = P(A)P(Bc
) ⇔ A ⊥ Bc
.
La demostración para Ac ⊥ B es análoga. Por último,
Ac
∩ Bc
= (A ∪ B)c
⇒ P(Ac
∩ Bc
) = 1 − P(A ∪ B) = P(Ac
)P(Bc
).

EJERCICIOS
1.1. Un experimento consiste en capturar al azar y observar un individuo de una población Ω de
conejos. Supongamos estamos interesados en los siguientes niveles de observación A =
el conejo capturado es macho y B = el conejo capturado es de color blanco. Suponiendo
que,
P(A) = 1/3, P(B) = 1/5, P(A ∩ B) = 1/15,
a) Determínese el álgebra de sucesos observables en base a estos dos niveles de obser-
vación.
b) Calcúlense las probabilidades de cada uno de los sucesos que componen el álgebra
de sucesos anterior.
1.2. Se consideran en el espacio de probabilidad (Ω, A, P) tres sucesos observables que de-
signamos por A, B y C. Supóngase que,
p1 = P(A) + P(B) + P(C),
p2 = P(A ∩ B) + P(B ∩ C) + P(A ∩ C),
p3 = P(A ∩ B ∩ C).
Exprésese con ayuda de p1, p2 y p3,
a) La probabilidad de que se realice solamente uno de los tres sucesos.
b) La probabilidad de que se realicen al menos dos de los tres sucesos.
1.3. Dada un álgebra de sucesos A, demuéstrese que,
a) Si A1, ..., An ∈ A, entonces,
P
n
[
i=1
Ai
!
≤
n
X
i=1
P(Ai).

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b) Si A1, ..., An ∈ A, de forma que,
P
n−1

i=1
Ai
!
0,
entonces,
P
n

i=1
Ai
!
= P(A1)P (A2 | A1) P (A3 | [A1 ∩ A2]) ...
...P (An | [A1 ∩ ... ∩ An−1]) .
1.4. Supóngase que A, B y C son tres sucesos tales que A y B son disjuntos, A y C son
independientes y además B y C son independientes. Supóngase, además, que,
4P(A) = 2P(B) = P(C) 0,
P(A ∪ B ∪ C) = 5P(A).
Determínese el valor de P(A).
1.5. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera de un álgebra de sucesos. Supóngase que C
contiene a A y a B, y que estos dos sucesos A y B son estocásticamente independientes.
Si P(A) = p1, P(B) = p2 y P(C) = p3, calcúlese,
a) P ([A ∩ B] | C).
b) P(C ∩ Ac
∩ Bc
).
* Indicación: con la ayuda de A, B , C y sus complementarios constrúyase una parti-
ción de Ω compuesta por cinco sucesos.
1.6. En determinada área de producción, 1/3 de los productos hechos son defectuosos. Si tres
productos fueran seleccionados al azar, calcúlese la probabilidad de que,
a) Solamente uno de ellos sea defectuoso.
b) Al menos uno de ellos sea defectuoso.
1.7. En una población se estudiaron la presencia de un estreptococo patógeno y el tamaño
de las amígdalas, considerándose de forma convencional que dicho tamaño era normal,
hipertrofiado y muy hipertrofiado. Supóngase la experiencia de seleccionar un individuo
al azar de determinada población y observar la presencia en él de los sucesos observables
antes aludidos. Se pide,
a) Constrúyase el álgebra de sucesos de la experiencia aleatoria.
b) Calcúlese la probabilidad de que el individuo seleccionado presente estreptococo,
así como la probabilidad de que no presente el estreptococo y sus amígdalas sean
no normales. Téngase presente que la población consta de 1398 individuos de los
que 19 presentan el estreptococo y tienen las amígdalas normales, 29 presentan
el estreptococo y sus amígdalas son hipertrofiadas y 24 presentan el estreptococo
y tienen amígdalas muy hipertrofiadas. Además, de entre los que no presentan el
estreptococo, 560 son normales y 269 tienen amígdalas hipertrofiadas.

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1.8. En una determinada población, el 40 % de los individuos son varones, el 25 % tiene los
ojos azules y el 15 % son varones de ojos azules. Se selecciona un individuo al azar de esa
población,
a) Si dicho individuo fuera varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos azules?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea varón y no tenga ojos azules?
1.9. Una compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las cuales
10 eran defectuosas, la compañía B entregó 100 unidades con 20 defectuosas, y la com-
pañía C entregó 200 de las cuales 25 eran defectuosas. Supóngase que se almacenan todas
las unidades al azar y se selecciona aleatoriamente una unidad. Calcúlese,
a) La probabilidad de que la citada unidad sea de la compañía A.
b) La probabilidad de que sea de A y no defectuosa.
c) La probabilidad de que sea defectuosa.
d) Si la unidad fuera defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la compañía C?
1.10. La probabilidad de que cualquier niño de una familia determinada tenga ojos azules es
1/4, y esta característica es heredada por cada niño de la familia, independientemente de
los demás. Si en la familia hubiera tres niños,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo un niño tenga ojos azules?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres niños tengan ojos azules?
1.11. En un estudio sobre la riqueza de especies en las regiones tropicales, se llega a la con-
clusión de que dicha riqueza aumenta debido a la presencia de tres factores mutuamente
excluyentes: competencia, depredación y heterogeneidad espacial. La probabilidad de que
haya competencia es 0.2, mientras que la probabilidad de que tengan lugar la depredación
y heterogeneidad espacial es 0.5 y 0.3, respectivamente. En el caso de la competencia
y la depredación, cuando están presentes, la probabilidad de que aumente la riqueza de
especies es 0.1 y 0.3, respectivamente, mientras que esta probabilidad es 0.2 en el caso de
la heterogeneidad espacial.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que aumente la riqueza de especies?
b) Si aumentara la riqueza de especies, ¿cuál es la probabilidad de que el factor cau-
sal sea la competencia?, ¿y cuál la de que el factor causal sea la heterogeneidad
espacial?
1.12. En un ecosistema conviven tres poblaciones de hormigas A, B y C. Las hormigas de las
poblaciones A y B han desarrollado un polimorfismo a causa del cual el 30 % de las hor-
migas de A y el 50 % de las de B tienen las mandíbulas muy desarrolladas. Las hormigas
de C no presentan las mandíbulas desarrolladas. Si las proporciones de las tres poblacio-
nes en el ecosistema son 20 % de A, 50 % de B y 30 % de C, calcúlese la probabilidad de
que, elegida una hormiga al azar, no tenga las mandíbulas desarrolladas.
1.13. La probabilidad de que un individuo de determinada población sea tuberculoso es 0.01.
Sabiendo que la probabilidad de que cierto aparato de rayos X detecte que un individuo
de la anterior población sea tuberculoso, cuando realmente lo es, es 0.97 y que esta pro-
babilidad es 0.001 cuando el individuo no es tuberculoso, ¿cuál es la probabilidad de que,
dado que el aparato detecta tuberculosis en un individuo elegido al azar, dicho individuo
sea tuberculoso?

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1.14. Un análisis para detectar la rabia en los perros descarta la enfermedad en un 99.9 % de
los casos en los que el animal está sano, y diagnostica la enfermedad en un 99 % de los
perros que la padecen. Si el 5 % de los perros padecen rabia y un perro es tomado al azar,
¿cuál es la probabilidad de que, supuesto que el diagnóstico fuera rabia, dicho perro sea
rabioso?
1.15. En cierto bosque, la población de roedores está constituida por un 20 % de ratas, un 75 %
de ratones y un 5 % de ardillas. Se coloca un cepo y se sabe que la probabilidad de ser
atraído por el cepo es de 0.1 para las ratas, 0.2 para los ratones y 0.02 para las ardillas. Si
un animal cayera en el cepo, ¿cuál es la probabilidad de que sea de cada una de las tres
especies citadas?
1.16. Se consideran 5 cajas, designadas por U1, ..., U5, respectivamente, cada una conteniendo
10 ratas. La caja Ui, i = 1, ..., 5, contiene i ratas blancas. La experiencia aleatoria consiste
en escoger una caja al azar y posteriormente una rata de la caja seleccionada.
a) Establézcase la partición finita propia del espacio muestral correspondiente a los
niveles de observación de la experiencia aleatoria y calcular la probabilidad de los
distintos sucesos que integran dicha partición.
b) Si la rata seleccionada fuera blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la
caja U3 o de la U5?
1.17. Se supone que el albinismo es un carácter gobernado por un alelo recesivo (a). Conside-
rando una pareja de no albinos con genotipos Aa,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer hijo sea albino?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea albino?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, suponiendo que la pareja antes citada vaya a tener
tres hijos, todos sean albinos?
1.18. En una población de Tribolium cuyo efectivo es de 100 individuos, 60 son de la especie
T. confusum y 40 son de la especie T. castanea. El 10 % de T. castanea y el 5 % de T.
confusum son portadores de ojos perla. Si tomáramos un individuo al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea T. castanea y no tenga ojos perla?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea T. confusum y tenga ojos perla?
c) Si el individuo tomado al azar fuera portador de ojos perla, ¿cuál es la probabilidad
de que sea T. castanea?
1.19. En una prueba de diagnóstico, en epidemiología clínica, se denomina coeficiente falso
positivo (α) a la probabilidad de que la prueba resulte positiva sin que la enfermedad
exista, y coeficiente falso negativo (β) a la probabilidad de que la prueba resulte negativa
supuesto que exista tal enfermedad. En un cierto estudio se ha establecido que ambos
coeficientes valen 0.05 para una enfermedad que tiene una incidencia de un 4 %. Calcúlese
el porcentaje de enfermos y el de los que no lo están que puede esperarse de entre los que,
al ser examinados por medio de la prueba, hayan dado positivo.

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SOLUCIONES
Ejercicio 1.1.
a) En primer lugar construiremos una partición de Ω , considerando los dos citados
niveles de observación, que será,
{A ∩ B, Ac
∩ B, A ∩ Bc
, Ac
∩ Bc
}.
Los sucesos que componen el álgebra A se obtienen formando0 0todas las posibles
uniones de los cuatro elementos de la partición de Ω, es decir, A está formada por
los siguientes sucesos,
- Sucesos formados por la unión de ningún elemento de la partición: ∅,
- Sucesos formados por la unión de un elemento de la partición:
A ∩ B, Ac
∩ B, A ∩ Bc
, Ac
∩ Bc
,
- Sucesos formados por la unión de dos elementos de la partición:
(A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B) = (A ∪ Ac
) ∩ B = Ω ∩ B = B,
(A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc
) = A,
(A ∩ B) ∪ (Ac
∩ Bc
),
(Ac
∩ B) ∪ (A ∩ Bc
),
(Ac
∩ B) ∪ (Ac
∩ Bc
) = Ac
,
(A ∩ Bc
) ∪ (Ac
∩ Bc
) = Bc
,
- Sucesos formados por la unión de tres elementos de la partición:
(A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B) ∪ (A ∩ Bc
) = B ∪ (A ∩ Bc
) = A ∪ B,
(A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B) ∪ (Ac
∩ Bc
) = B ∪ (Ac
∩ Bc
) = Ac
∪ B,
(A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc
) ∪ (Ac
∩ Bc
) = A ∪ (Ac
∩ Bc
) = A ∪ Bc
,
(Ac
∩ B) ∪ (A ∩ Bc
) ∪ (Ac
∩ Bc
) = Bc
∪ (Ac
∩ B) = Ac
∪ Bc
,
- Sucesos formados por la unión de los cuatro elementos de la partición:
(A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B) ∪ (A ∩ Bc
) ∪ (Ac
∩ Bc
) = Ω.
b) Las probabilidades de cada uno de los sucesos que componen el álgebra son,
- P(∅) = 0,
- P(A ∩ B) = 1/15,
- P(Ac
∩ B) = P(B) − P(A ∩ B) = 2/15, ya que,
B = (A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B),
- P(A ∩ Bc
) = P(A) − P(A ∩ B) = 4/15, ya que,
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc
),

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- P(Ac
∩ Bc
) = 8/15, ya que
Ω = (A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B) ∪ (A ∩ Bc
) ∪ (Ac
∩ Bc
),
- P(B) = 1/5, P(A) = 1/3,
- P([A ∩ B] ∪ [Ac
∩ Bc
]) = P(A ∩ B) + P(Ac
∩ Bc
) = 9/15,
- P([Ac
∩ B] ∪ [A ∩ Bc
]) = P(Ac
∩ B) + P(A ∩ Bc
) = 6/15,
- P(Ac
) = 2/3, P(Bc
) = 4/5,
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 7/15,
- P(Ac
∪ B) = P(B ∪ [Ac
∩ Bc
]) = 11/15,
- P(A ∪ Bc
) = P(A ∪ [Ac
∩ Bc
]) = 13/15,
- P(Ac
∪ Bc
) = P(Bc
∪ [Ac
∩ B]) = 14/15,
- P(Ω) = 1.
Ejercicio 1.3.
a) Se aplica el método de inducción completa que consiste en los dos siguientes pasos.
- Se demuestra que la expresión es cierta para n = 2.
En efecto,
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2) ≤ P(A1) + P(A2),
ya que P(A1 ∩ A2) ≥ 0.
- Supuesto que la expresión es cierta para un n cualquiera se demuestra que
también lo es para n + 1, es decir, apoyándonos en que,
P
[n
i=1
Ai

≤
n
X
i=1
P(Ai),
tenemos que,
P
Sn+1
i=1 Ai

= P ([
Sn
i=1 Ai] ∪ An+1) =
= P (
Sn
i=1 Ai) + P(An+1) − P([
Sn
i=1 Ai] ∩ An+1),
y en virtud del primer paso, y según la hipótesis de inducción,
P
Sn+1
i=1 Ai

≤
n
P
i=1
P(Ai) + P(An+1) − P ([
Sn
i=1 Ai] ∩ An+1) ≤
≤
n+1
P
i=1
P(Ai),
dado que,
P
h[n
i=1
Ai
i
∩ An+1

≥ 0,
al ser la probabilidad de un suceso siempre mayor o igual que cero.
b) Se demuestra de forma análoga por el método de inducción.

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Ejercicio 1.6.
a) Sean los sucesos Di = producto defectuoso elegido en i-ésimo lugar, i = 1, 2, 3. Al
ser los productos elegidos al azar, los sucesos Di son independientes, con lo que,
P(Di ∩ Dj ∩ Dk) = P(Di)P(Dj)P(Dk), i 6= j 6= k; i, j, k ∈ {1, 2, 3}.
Además, P(Di) = 1/3, i = 1, 2, 3. La probabilidad pedida es,
P(D1 ∩ Dc
2 ∩ Dc
3) + P(Dc
1 ∩ D2 ∩ Dc
3) + P(Dc
1 ∩ Dc
2 ∩ D3) =
= P(D1)P(Dc
2)P(Dc
3) + P(Dc
1)P(D2)P(Dc
3) + P(Dc
1)P(Dc
2)P(D3) =
= 3(1/3)(2/3)(2/3) = 4/9.
b) La probabilidad que nos piden en este caso es,
P(D1 ∪ D2 ∪ D3) = P(D1) + P(D2) + P(D3) − P(D1 ∩ D2)−
−P(D1 ∩ D3) − P(D2 ∩ D3) + P(D1 ∩ D2 ∩ D3) =
= 1 − 3/32
+ 1/33
= 19/27.
Ejercicio 1.7.
a) Para cada nivel de observación establecemos una partición de Ω, esto es,
P1 = {E, Ec
},
siendo E = presencia de estreptococo y,
P2 = {N, H, MH},
donde N = amígdala normal, H = amígdala hipertrofiada y MH = amígdala muy
hipertrofiada. La partición de Ω que tiene en cuenta los dos niveles de observación
establecidos es,
P1 × P2 = {E ∩ N, E ∩ H, E ∩ MH, Ec
∩ N, Ec
∩ H, Ec
∩ MH}.
El álgebra de sucesos de la experiencia aleatoria se construye con las uniones suce-
sivas de los elementos de dicha partición, es decir,
A = {∅, E ∩ N, ..., Ec
∩ MH, (E ∩ N) ∪ (E ∩ H), ..., Ω}.
b) En primer lugar, nos piden la probabilidad del suceso,
P(E) = P(E ∩ Ω) = P(E ∩ [N ∪ H ∪ MH]) =
= P(E ∩ N) + P(E ∩ H) + P(E ∩ MH) =
= 19/1398 + 29/1398 + 24/1398 = 72/1398.
En segundo lugar, calculemos la probabilidad del siguiente suceso,
P(Ec
∩ Nc
) = P(Ec
∩ [H ∪ MH]) = P(Ec
∩ H) + P(Ec
∩ MH).
Por un lado, como el número de individuos que no presentan el estreptococo y tienen
amígdalas hipertrofiadas es de 269, resulta P(Ec
∩ H) = 269/1398. Por otro lado,

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al ser 1398 el número total de individuos, el número de ellos que no presentan
estreptococo y tienen amígdalas muy hipertrofiadas es 1398−19−29−24−560−
269 = 497. Así,
P(Ec
∩ MH) = 497/1398,
y de esta forma,
P(Ec
∩ Nc
) = 766/1398.
Ejercicio 1.8.
a) Consideremos los sucesos V = individuo varón, y O = individuo con ojos azules,
de manera que P(V ) = 0.4, P(O) = 0.25 y P(V ∩ O) = 0.15. La probabilidad
pedida es,
P(O | V ) =
P(O ∩ V )
P(V )
= 0.375.
b) Debemos calcular,
P(V c
∩ Oc
) = 1 − P(V ∪ O) = 1 − P(V ) − P(O) + P(V ∩ O) = 0.5.
Ejercicio 1.10.
a) Definamos los siguientes sucesos O1 = el primer niño tiene ojos azules, O2 = el
segundo niño tiene ojos azules y O3 = el tercer niño tiene ojos azules. Estos sucesos
son independientes con P(O1) = P(O2) = P(O3) = 1/4.
Calcular la probabilidad de que solamente un niño tenga ojos azules, supone el
cálculo de la probabilidad de la unión de tres sucesos disjuntos, teniendo en cuenta
que el niño con ojos azules puede ser el primero, el segundo o el tercero, esto es,
P([O1 ∩ Oc
2 ∩ Oc
3] ∪ [Oc
1 ∩ O2 ∩ Oc
3] ∪ [Oc
1 ∩ Oc
2 ∩ O3]) =
= P(O1 ∩ Oc
2 ∩ Oc
3) + P(Oc
1 ∩ O2 ∩ Oc
3) + P(Oc
1 ∩ Oc
2 ∩ O3) =
= P(O1)P(Oc
2)P(Oc
3) + P(Oc
1)P(O2)P(Oc
3) + P(Oc
1)P(Oc
2)P(O3) =
= 3(1/4)(3/4)2
= 27/64,
en donde se ha aplicado el concepto de independencia de sucesos.
b) Se trata de calcular la siguiente probabilidad,
P(O1 ∩ O2 ∩ O3) = P(O1)P(O2)P(O3) = 1/64,
teniendo en cuenta la independencia de los sucesos considerados.
Ejercicio 1.12.
a) Sean los sucesos A = aumenta la riqueza de especies, C = hay competencia, D =
hay depredación y H = hay heterogeneidad espacial. Los datos que conocemos
son los siguientes: P(C) = 0.2, P(D) = 0.5, P(H) = 0.3, P(A | C) = 0.1, P(A |
D) = 0.3 y P(A | H) = 0.2.
Aplicando el teorema de las probabilidades totales, podemos expresar la probabili-
dad pedida, P(A), de la forma,
P(A) = P(C)P(A | C) + P(D)P(A | D) + P(H)P(A | H) = 0.23.

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b) Aplicando el teorema de Bayes,
P(C | A) =
P(C)P(A | C)
P(A)
= 0.087;
P(H | A) =
P(H)P(A | H)
P(A)
= 0.26.
Ejercicio 1.14.
Consideremos los sucesos T = el individuo es tuberculoso, y D = el aparato de rayos
X detecta tuberculosis en un individuo elegido al azar. Según los datos datos tenemos
P(T) = 0.01, P(D | T) = 0.97 y P(D | Tc
) = 0.001.
La probabilidad pedida se puede calcular aplicando el teorema de Bayes,
P(T | D) =
P(T ∩ D)
p(D)
=
P(T)P(D | T)
P(T)P(D | T) + P(Tc)P(D | Tc)
= 0.9.

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CAPÍTULO
2
Variables aleatorias
2.1 VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
En el anterior capítulo hemos visto que un experimento aleatorio queda caracterizado por
los sucesos que lo componen y la probabilidad de dichos sucesos. Sin embargo, lo que
usualmente analizamos en un experimento aleatorio es el número de veces que se realiza
un determinado resultado, o bien la medida de alguna característica de dicho resultado,
que sea de interés para el experimentador.
Ejemplo 2.1
Consideremos el experimento que consiste en lanzar dos veces una misma moneda y ob-
servar el número de caras obtenidas. El espacio muestral puede escribirse Ω2 = Ω×Ω =
{(o, o), (o, x), (x, o), (x, x)}, con Ω = {o, x}, y los resultados posibles son entonces
{0, 1, 2}. Si construimos la función X que hace corresponder a los puntos muestrales de
Ω2 los números reales {0, 1, 2},
X : Ω2 → R
(o, o) → 2
(o, x) → 1
(x, o) → 1
(x, x) → 0
diremos que X es una función numérica.
A esta función se le llama variable aleatoria, definida sobre los puntos muestrales del
espacio muestral asociado a un experimento. Se suele designar con letras mayúsculas, y
a un valor específico de la variable con letra minúscula; así, en el ejemplo anterior, para
ω ∈ Ω2 asociamos X(ω) = x ∈ R.

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La definición es realmente útil, pues no solo establece la conexión entre puntos
muestrales y la descripción numérica de los resultados de un experimento, sino que
también permite definir la probabilidad de un valor numérico. En efecto,
P[(o, o)] = P[(ω ∈ Ω2
| X(ω) = 2)] = P(X = 2).
No obstante, así expresada, la función es incompleta. Imaginemos que nuestro inte-
rés es la medida de la altura de las personas de cierta comunidad. Dicha medida es un
número real cuya precisión depende del aparato con el que se mide, es decir, que resulta
conveniente pensar en intervalos de la recta real dentro de los cuales se localicen deter-
minadas alturas. El problema es entonces cómo calcular la probabilidad de un intervalo
de R, por ejemplo, la probabilidad de (179, 180].
Sean Ω = R, la recta real, y S el conjunto de todos los intervalos reales de la forma
(−∞, x), con x cualquier número real. La σ− álgebra generada por S, B = g(S), se
denomina σ− álgebra de Borel de R, y contiene como elementos intervalos de la for-
ma (x, y), [x, y], (x, y], [x, y), (−∞, x], (x, ∞), [x, x], etc. obtenidos a partir de la unión,
intersección, y/o complementación de (−∞, x) y los intervalos resultantes de estas ope-
raciones.
Al par (Ω, A), siendo A una σ− álgebra, se le llama espacio medible o probabi-
lizable, de forma que, dados dos espacios medibles (Ω, A) y (Ω′, A′) se dice que la
aplicación f,
f : Ω → Ω′
,
es una función medible si,
f−1
(A′
) ∈ A , ∀A′
∈ A′
.
El siguiente teorema lo enunciamos sin demostración (véase, por ejemplo, Alonso y
col, 1989).
Teorema 2.1 Sean (Ω, A) y (Ω′, A′) dos espacios medibles y sea f una función medible.
Se verifica,
1. e
A = f−1(A′) ⊂ A es una σ− álgebra,
2. si f es exhaustiva, A′ y e
A son isomorfas.
Al álgebra e
A se la llama álgebra inducida de A′ en Ω mediante la función f.
Ejemplo 2.2
Sea una población animal Ω cuyos individuos muestran dos fenotipos, hn y hr, para
un determinado carácter, el cual parece estar gobernado por dos formas alélicas de un
gen, A y a. Es decir, supongamos que los genotipos AA y Aa producen el fenotipo hn,
en tanto que el genotipo aa es responsable del fenotipo hr. En esta situación, parece

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CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS 21
obvio indicar que existe alguna técnica capaz de diferenciar los tres genotipos, pero
supongamos que dicha técnica no está al alcance de cierto estudioso de la población Ω,
que, por tanto, solo puede distinguir individuos hn e individuos hr.
Bajo el nivel de observación de quien dispone la técnica, {AA, Aa, aa} es una parti-
ción de Ω. Sea A el álgebra engendrada por esta partición, compuesta por 23 elementos,
y (Ω, A) el espacio medible correspondiente. Para el estudioso de la población anterior-
mente citado, sean Ω′ = {hn, hr} y A′ = {∅, {hn}, {hr}, Ω′}, con (Ω′, A′) el espacio
medible asociado.
Definamos la aplicación,
f : Ω −→ Ω′
,
de forma que,
f(ω) =

hn, si ω ∈ AA, o ω ∈ Aa
hr, si ω ∈ aa.
Tenemos que,
f−1(A′) = {f−1(∅), f−1({hn}), f−1({hr}), f−1(Ω′)} =
= {∅, {AA ∪ Aa}, {aa}, Ω} = e
A,
que puede demostrarse fácilmente que es un álgebra de sucesos. Además, puede verse
que las imágenes inversas de todos los elementos de A′ son elementos de A, e
A ⊂ A,
por lo que f es una función medible. Por último, es obvio que e
A yA′ son isomorfas.
Observemos que el estudioso solo puede conocer una parte del álgebra A y, por
tanto, cualquier afirmación que no se corresponda con los sucesos Ω, {AA ∪ Aa}, {aa}
y ∅, está fuera de contexto.
Como queda patente en el anterior Ejemplo 2.2, una función medible f permite pasar
de un álgebra (A) a otra (A′), siendo ésta última isomorfa (caso de ser f exhaustiva)
con un subconjunto de la primera ( e
A). Esto indica que estamos ante un conjunto (A′
) con menos sucesos que el conjunto de sucesos original (A), pero también supone que
manejamos un conjunto cuya estructura es bien conocida - normalmente, A′ es una σ−
álgebra de Borel -.
No es difícil ver que una función medible f permite transportar la probabilidad de
un espacio medible a otro. En efecto, si (Ω, A, P) es un espacio de probabilidad, puede
definirse, sobre el espacio (Ω′, A′), la siguiente probabilidad,
P′
: A′
−→ [0, 1],
de forma que, si A′ ∈ A′,
P′
(A′
) = P(f−1
(A′
)) = P(A), con A ∈ A.
A P′ se le denomina probabilidad inducida por f.

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Definición 2.1 Dados los espacios medibles (Ω, A) y (R, B), se llama variable aleato-
ria X a la función medible de Ω en R,
X : Ω → R
ω → X(ω) = x,
de forma que,
{ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∈ A, ∀x ∈ R,
es decir,
X−1
((−∞, x]) ∈ A, ∀x ∈ R.
Al suceso {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∈ A se le suele designar abreviadamente (X ≤ x),
y a la probabilidad de este tipo de sucesos se le denomina función de distribución F
asociada a la variable aleatoria X.
Definición 2.2 Se llama función de distribución F de la variable aleatoria X, a la apli-
cación,
F : R → [0, 1]
x → F(x) = P({ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x}) = P(X ≤ x).
Como veremos, a partir de la Definición 2.1 puede calcularse la probabilidad de
cualquier intervalo en R.
Ejemplo 2.3
Consideraremos los individuos de una población que pueden presentar dos genes co-
dominantes, A y a, en cierto locus de algún cromosoma. Supongamos que estamos in-
teresados en contar el número de genes A presentes en un individuo ω de la población
Ω,
X : Ω → R
ω → X(ω) = número de genes A en ω,
es decir, X(AA) = 2, X(Aa) = 1, X(aa) = 0.
Esta variable aleatoria está asociada a un experimento en el que interesa observar
la presencia de A, o no (Ac = a), y puesto que analizamos un par de cromosomas por
individuo, será Q = {A∧A, A∧a, a∧a}, o abreviadamente {AA, Aa, aa}, obteniéndose
el álgebra de sucesos,
A = P(Q) = {∅, {AA}, ..., {AA} ∪ {Aa}, ..., {AA} ∪ {Aa} ∪ {aa} = Ω}.
Entendiendo que, por ejemplo, escribiremos {AA} ∪ {Aa} = {AA, Aa}, veamos
si se verifica,
{ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∈ A, ∀x ∈ R.

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En efecto,
x 0 ⇒ {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} = ∅ ∈ A
0 ≤ x 1 ⇒ {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} = {aa} ∈ A
1 ≤ x 2 ⇒ {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} = {Aa, aa} ∈ A
x ≥ 2 ⇒ {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} = Ω ∈ A
y, por tanto, X es una variable aleatoria.
2.2 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
El papel de la función de distribución de una variable aleatoria es fundamental puesto
que la caracteriza. Dicho en otras palabras, es la ley que gobierna su conducta probabi-
lística. Es importante, como consecuencia, conocer las propiedades de una función de
distribución.
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
En efecto, al ser F una probabilidad tomará valores en el intervalo [0, 1].
2. lı́m
x→−∞
F(x) = 0; lı́m
x→∞
F(x) = 1.
Ya que,
lı́m
x→−∞
F(x) = lı́m
x→−∞
P(X ≤ x) = P(X ≤ −∞) = 0,
lı́m
x→∞
F(x) = lı́m
x→∞
P(X ≤ x) = P(X ≤ ∞) = 1.
3. ∀x1, x2 ∈ R | x1 x2 : F(x1) ≤ F(x2).
Dicho de otra manera, F es no decreciente. En efecto,
x1 x2 ⇔ {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x1} ⊂ {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x2} ⇒
⇒ P(X ≤ x1) = F(x1) ≤ P(X ≤ x2) = F(X ≤ x2),
considerando el tercer resultado derivable de los axiomas que definen probabili-
dad.
4. P(a X ≤ b) = F(b) − F(a), ∀a, b ∈ R | a b.
Escribiendo en adelante, como vimos anteriormente, el suceso {ω ∈ Ω | X(ω) ≤
x} como (X ≤ x), se tiene,
(X ≤ b) = (X ≤ a) ∪ (a X ≤ b) ⇒
⇒ P(X ≤ b) = P(X ≤ a) + P(a X ≤ b),
al ser sucesos disjuntos, y de aquí la propiedad enunciada.

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5. lı́m
x→a+
F(x) = F(a), ∀a ∈ R.
Es decir, que la función F es continua por la derecha en todo punto de R. En
efecto, supongamos que x es un punto a la derecha de a,
lı́m
x→a+
F(x) = lı́m
x→a+
P(X ≤ x) =
= lı́m
x→a+
P(X ≤ a) + lı́m
x→a+
P(a X ≤ x) =
= P(X ≤ a) + P(∅) = F(a),
teniendo en cuenta que (X ≤ x) = (X ≤ a) ∪ (a X ≤ x), y que al ser
a X es imposible que un valor x de X alcance el punto a. Observemos que
considerando ahora que x es un punto a la izquierda de a,
lı́m
x→a−
F(x) = lı́m
x→a−
P(X ≤ x) =
= lı́m
x→a−
P(X ≤ a) − lı́m
x→a−
P(x X ≤ a) =
= F(a) − P(X = a),
dado que ahora X ≤ a. Es decir, que F no es necesariamente continua a la iz-
quierda en todo punto de R puesto que P(X = a) puede no ser cero.
El aspecto general de una función F de distribución puede verse en la Figura 2.1.
Resaltamos que el número de discontinuidades por la izquierda puede ser finito o infinito
numerable.
Figura 2.1

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2.3 PROBABILIDAD DE UN INTERVALO REAL
Sea X una variable aleatoria sobre (Ω, A, P). Con a, b ∈ R | a b, puede verse en el
Apéndice al final del capítulo la demostración de los siguientes resultados,
1. P(a X b) = lı́m
x→b−
F(x) − F(a).
2. P(a ≤ X b) = lı́m
x→b−
F(x) − lı́m
x→a−
F(x).
3. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − lı́m
x→a−
F(x).
4. P(X = a) = F(a) − lı́m
x→a−
F(x).
5. P(X a) = lı́m
x→a−
F(x).
2.4 DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y ABSOLUTAMENTE
CONTINUAS
Distribuciones discretas
Definición 2.3 Dado un espacio de probabilidad (Ω, A, P), se dice que una variable
aleatoria X sobre dicho espacio es discreta si su recorrido X(Ω), es decir, el conjunto
imagen de la aplicación X, es finito o infinito numerable. A la función de distribución F
asociada a X se le llama función de distribución discreta.
Definición 2.4 Sea X(Ω) = {x1, ..., xn, ...} el recorrido de una variable aleatoria dis-
creta X. A la aplicación,
f : R → [0, 1]
x → f(x) = P(X = x),
se le denomina función de densidad de X.
Propiedades de la función de densidad
1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
En efecto, f coincide con la probabilidad de un suceso.
2. Se verifica, Pn
i=1 f(xi) = 1, X(Ω) = {x1, ..., xn},
P∞
i=1 f(xi) = 1, X(Ω) = {x1, ..., xn, ...}.

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Considerando un recorrido finito,
Ω =
n
[
i=1
(X = xi),
y como,
(X = xi) ∩ (X = xj) = ∅, ∀i, j = 1, ..., n, i 6= j,
resulta,
1 = P(Ω) = P
n
[
i=1
(X = xi)
!
=
n
X
i=1
P(X = xi) =
n
X
i=1
f(xi).
3. F(x) =
P
xi≤x
f(xi), ∀x ∈ R.
En efecto, dado que,
F(x) = P(X ≤ x) = P(X = x1) + ... + P(X = x) =
X
xi≤x
f(xi).
Observemos, por otro lado, que,
f(x) = P(X = x) = 0, ∀x /
∈ X(Ω).
Ejemplo 2.4
Al lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras obtenidas, tenemos,
Ω3
= {(o, o, o), (o, o, x), (o, x, o), (x, o, o), (o, x, x), (x, o, x), (x, x, o), (x, x, x)},
de forma que, por ejemplo, X(o, x, o) = 2, etc.
Vemos que,
f(0) = P(X = 0) = P[(x, x, x)] =
1
8
,
f(1) = P(X = 1) = P[(o, x, x) ∪ (x, o, x) ∪ (x, x, o)] =
3
8
,
f(2) = P(X = 2) = P[(o, o, x) ∪ (o, x, o) ∪ (x, o, o)] =
3
8
,
f(3) = P(X = 3) = P[(o, o, o)] =
1
8
.
Las funciones de densidad de variables aleatorias discretas suelen representarse co-
mo en la Figura 2.2(a), donde cada barra vertical tiene una altura igual o proporcional al
valor de la probabilidad del punto de abscisas donde se origina.

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La función de distribución, llamada también función de probabilidad acumulada, es,
F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = f(0) =
1
8
,
F(0.8) = P(X ≤ 0.8) = P(X = 0) = f(0) =
1
8
,
F(1) = P(X ≤ 1) = f(0) + f(1) =
1
2
,
F(2) = P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2) =
7
8
,
F(3) = P(X ≤ 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1,
cuya representación gráfica es la Figura 2.2(b).
(a) (b)
Figura 2.2
Distribuciones continuas
Definición 2.5 Una variable aleatoria definida sobre (Ω, A, P) se dice continua si su
función de distribución no presenta discontinuidades. Una variable aleatoria continua
X se dice que tiene una distribución absolutamente continua F si existe una función f
tal que,
F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt,
llamándose f función de densidad de probabilidad de X.
Propiedades de la función de densidad f
1.
dF(x)
dx
= f(x), ∀x ∈ R siempre que f sea continua en x.
Como sabemos, es una propiedad conocida del cálculo integral.

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Por otro lado, como también es sabido,
dF(x)
dx
= lı́m
∆x→0
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
=
= lı́m
∆x→0
P(x X ≤ x + ∆x)
∆x
= f(x),
por lo que puede pensarse que f(x)dx = dF(x) representa la probabilidad infini-
tesimal de que X tome valores en el intervalo semicerrado (x, x + ∆x].
2. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
En efecto, como,
x x + ∆x ⇒ F(x) ≤ F(x + ∆x) ⇒ F(x + ∆x) − F(x) ≥ 0 ⇒
⇒ lı́m
∆x→0
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
= f(x) ≥ 0.
3.
R ∞
−∞ f(x)dx = 1.
Efectivamente,
Z ∞
−∞
f(x)dx = lı́m
x→∞
Z x
−∞
f(t)dt = lı́m
x→∞
F(x) = 1.
4. P(a X ≤ b) = F(b) − F(a) =
R b
a f(x)dx, ∀a, b ∈ R | a b.
En efecto,
F(b) =
R b
−∞ f(x)dx =
R a
−∞ f(x)dx +
R b
a f(x)dx ⇒
⇒ F(b) − F(a) =
R b
a f(x)dx.
Es importante resaltar que toda variable aleatoria tiene función de distribución pero no
siempre función de densidad. Son solo las variables aleatorias discretas y aquellas con
distribución absolutamente continua las que tienen función de densidad. En la Figura 2.3
puede verse la función de distribución de una variable aleatoria continua.
Por otra parte, dado que una variable aleatoria continua no presenta discontinuidades
en su función de distribución, y recordando la probabilidad de los diferentes intervalos
de la recta real, resulta que,
P(a X ≤ b) = P(a X b) = P(a ≤ X ≤ b) =
= P(a ≤ X b) = F(b) − F(a),
P(X ≤ a) = P(X a) = F(a),
P(X = a) = 0.
Puede comprenderse, por tanto, que,

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Figura 2.3
i) cuando la variable aleatoria tiene distribución absolutamente continua, la función
de densidad en un punto no puede identificarse con la probabilidad en el mismo,
contrariamente a lo que sucede en el caso de que la variable aleatoria sea discreta,
ii) la función de densidad de una variable aleatoria con distribución absolutamente
continua puede modificarse a voluntad en algunos valores puntuales del recorrido
de la variable, sin que por ello resulte alterada su función de distribución.
Ejemplo 2.5
Sea
f(x) =



1 + x2
12
, 0 x 3
0, en el resto,
y hagamos arbitrariamente que f(1) = 20. Calculemos, por ejemplo,
F(2) =
Z 2
0
1 + x2
12
dx =
7
18
.
Puede comprobarse que cuando f(1) = 20,
F(2) =
Z 1
0
1 + x2
12
dx +
Z 2
1
1 + x2
12
dx =
7
18
.

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2.5 VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
Definición 2.6 Dada la terna (Ω, A, P) y dos variables aleatorias X e Y sobre Ω, se
denomina variable aleatoria bidimensional a la aplicación,
(X, Y ) : Ω → R2
ω → [X(ω), Y (ω)] = (x, y),
de forma que se verifica,
{ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∩ {ω ∈ Ω | Y (ω) ≤ y} ∈ A, ∀(x, y) ∈ R2
.
Definición 2.7 Se llama función de distribución conjunta bivariante de X e Y a la
aplicación,
F : R2 → [0, 1]
(x, y) → F(x, y) = P[(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)].
Propiedades de la distribución bivariante
1. 0 ≤ F(x, y) ≤ 1, ∀(x, y) ∈ R2.
2. lı́m
x→−∞
F(x, y) = lı́m
y→−∞
F(x, y) = 0,
lı́m
x→∞
y→∞
F(x, y) = 1.
En efecto,
lı́m
x→−∞
P[(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)] = P[(X ≤ −∞) ∩ (Y ≤ y)] = P(∅) = 0,
y,
lı́m
x→∞
y→∞
P[(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)] = P(Ω ∩ Ω) = 1.
3. x1 x2 ⇒ F(x1, y) ≤ F(x2, y), ∀y ∈ R,
y1 y2 ⇒ F(x, y1) ≤ F(x, y2), ∀x ∈ R.
La función es, por tanto, no decreciente. En efecto, si x1 x2,
(X ≤ x1) ∩ (Y ≤ y) ⊂ (X ≤ x2) ∩ (Y ≤ y) ⇒ F(x1, y) ≤ F(x2, y).
4. Se verifica,
P[(a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d)] =
= F(b, d) − F(b, c) − F(a, d) + F(a, c), ∀a, b, c, d ∈ R | a b, c d,
cuya demostración puede verse en el Apéndice.

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2.6 DISTRIBUCIONES BIVARIANTES DISCRETAS Y
ABSOLUTAMENTE CONTÍNUAS
Caso discreto
Definición 2.8 Se dice que una variable aleatoria bidimensional es discreta si su reco-
rrido (X, Y )(Ω) es finito o infinito numerable.
Definición 2.9 Se define función de densidad conjunta discreta de las variables X e Y,
a la aplicación,
f : R2 → [0, 1]
(x, y) → f(x, y) = P[(X = x) ∩ (Y = y)],
y, como en el caso univariante,
(x, y) /
∈ (X, Y )(Ω) ⇒ f(x, y) = 0.
1. 0 ≤ f(x, y) ≤ 1, ∀(x, y) ∈ R2.
2.
P
x∈X(Ω)
P
y∈Y (Ω)
f((x, y) = 1.
3. F(x, y) =
P
xi≤x
P
yj≤y
f((xi, yj), ∀(x, y) ∈ R2.
La demostración de estas propiedades es análoga a las correspondientes al caso univa-
riante.
Caso Contínuo
Definición 2.10 Si la variable aleatoria bidimensional (X, Y ) tiene función de distribu-
ción sin discontinuidades, entonces dicha variable es continua. Se dice que tiene función
de distribución bivariante absolutamente continua si existe f tal que,
F(x, y) =
Z x
−∞
Z y
−∞
f(u, v)dudv,
llamándose f función de densidad de probabilidad conjunta de X e Y .
En la Figura 2.4 puede verse un ejemplo de función de densidad de probabilidad
bivariante.

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Figura 2.4
1.
∂2F(x, y)
∂x∂y
= f(x, y), ∀(x, y) ∈ R2, siempre que f sea continua en (x, y).
2. f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2.
3.
R ∞
−∞
R ∞
−∞ f(x, y)dxdy = 1.
4. Se verifica,
P[(a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d)] =
=
R b
a
R d
c f(x, y)dxdy, ∀a, b, c, d ∈ R | a b, c d.
Estas propiedades se demuestran de manera similar al caso univariante.
2.7 DISTRIBUCIONES MARGINALES
A partir de la distribución conjunta de dos variables aleatorias X e Y se pueden obtener
las distribuciones de X e Y, respectivamente, que llamamos marginales.
Definición 2.11 Se llama función de distribución marginal de X a la aplicación,
FX : R → [0, 1]
x → FX(x) = lı́m
y→∞
F(x, y), ∀x ∈ R,

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e igualmente la distribución marginal de Y,
FY : R → [0, 1]
y → FY (y) = lı́m
x→∞
F(x, y), ∀y ∈ R.
Es fácil ver que,
FX(x) = P(X ≤ x),
FY (y) = P(Y ≤ y),
es decir, las distribuciones marginales coinciden con las distribuciones univariantes de
las variables.
Función de densidad marginal discreta
Definición 2.12 Dadas dos variables aleatorias discretas X e Y con función de densi-
dad conjunta f, se define función de densidad marginal de X a,
fX : R → [0, 1]
x → fX(x) =
P
yi∈Y (Ω)
f(x, yi),
y análogamente la función de densidad marginal de Y,
fY : R → [0, 1]
y → fY (y) =
P
xi∈X(Ω)
f(xi, y).
Es fácil ver también que,
fX(x) = P(X = x),
fY (y) = P(Y = y),
por lo que la función de densidad marginal de una variable aleatoria discreta coincide
con su función de densidad.
Función de densidad marginal contínua
Definición 2.13 Dadas dos variables aleatorias continuas X e Y con función de distri-
bución conjunta absolutamente continua F y función de densidad conjunta f, se define
función de densidad marginal de X a,
fX(x) =
Z ∞
−∞
f(x, y)dy, ∀x ∈ R,
y análogamente, función de densidad marginal de Y,
fY (y) =
Z ∞
−∞
f(x, y)dx, ∀y ∈ R.
Puede comprobarse que la función de densidad marginal de una variable aleatoria
continua coincide con su función de densidad.

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2.8 INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA DE VARIABLES
ALEATORIAS
Definición 2.14 Dado (Ω, A, P), dos variables aleatorias X e Y se dicen estocástica-
mente independientes cuando para todo par de intervalos reales, I y J, los sucesos,
A = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ I}, B = {ω ∈ Ω | Y (ω) ∈ J},
son estocásticamente independientes, es decir,
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Función de distribución de variables independientes
Teorema 2.2 Simbolizando independencia (estocástica) entre variables aleatorias del
siguiente modo,
X ⊥ Y,
se verifica,
X ⊥ Y ⇔ F(x, y) = FX(x)FY (y), ∀(x, y) ∈ R2
.
Prueba. Véase el Apéndice.
Función de densidad de variables independientes
Caso discreto
Teorema 2.3 Se verifica, siendo X e Y variables aleatorias discretas,
X ⊥ Y ⇔ f(x, y) = fX(x)fY (y), ∀(x, y) ∈ R2
,
Prueba. Consúltese el Apéndice.
Caso contínuo
Teorema 2.4 Se verifica, siendo X e Y variables aleatorias continuas,
X ⊥ Y ⇔ f(x, y) = fX(x)fY (y), ∀(x, y) ∈ R2
,
Prueba. Véase el Apéndice.
Si X es una variable aleatoria, cualquier función g de la variable, resulta ser una
variable aleatoria.

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Teorema 2.5 Sea f la función de densidad conjunta de dos variables aleatorias X e
Y. Se dice que la variables aleatorias X e Y son independientes si y solo si existen las
funciones g(x) y h(y) tales que,
f(x, y) = g(x)h(y), ∀x, y.
Prueba. La condición necesaria se prueba fácilmente haciendo que g(x) = fX(x) y
h(y) = fY (y).
Para probar la condición suficiente, consideremos variables continuas. Supongamos
que, Z ∞
−∞
g(x)dx = k1, y
Z ∞
−∞
h(y)dy = k2,
por lo que,
k1k2 =
R ∞
−∞ g(x)dx
R ∞
−∞ h(y)dy

=
=
R ∞
−∞
R ∞
−∞ g(x)h(y)dxdy =
R ∞
−∞
R ∞
−∞ f(x, y)dxdy = 1.
Además,
fX(x) =
R ∞
−∞ g(x)h(y)dy = g(x)k2,
fY (y) =
R ∞
−∞ g(x)h(y)dx = h(y)k1.
En consecuencia,
f(x, y) = g(x)h(y) =
fX(x)fY (y)
k2k1
= fX(x)fY (y).
Sustituyendo integrales por sumas, el teorema se prueba para variables aleatorias
discretas.
Teorema 2.6 Sean X e Y variables aleatorias independientes y sean g y h funciones
tales que g(X) = U y h(Y ) = V son también variables aleatorias y solo dependen de
X e Y, respectivamente. Entonces las variables U y V son independientes.
Prueba. Asumiremos que U y V son variables aleatorias continuas. Definimos,
Xu = {x : g(x) ≤ u} e Yv = {y : h(y) ≤ v}.
De aquí,
FU,V (u, v) = P[(U ≤ u) ∩ (V ≤ v)] =
= P[(X ∈ Xu) ∩ (Y ∈ Yv)] = P(X ∈ Xu)P(Y ∈ Yv),
y la función de densidad conjunta es,

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fU,V (u, v) =
∂2FU,V (u, v)
∂u∂v
=

d
du
P(X ∈ Xu)

d
dv
P(Y ∈ Yv)

=
=

d
du
P(U ≤ u)

d
dv
P(V ≤ v)

= fU (u)fV (v).

2.9 DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS
Variables aleatorias discretas
Definición 2.15 La aplicación,
X | [Y = y0] : Ω → R2
ω → (X(ω), y0),
representa la variable X condicionada al suceso {ω ∈ Ω | Y (ω) = y0} = [Y = y0].
Definición 2.16 La función de densidad de X condicionada a [Y = y0], hX|y0
, es,
hX|y0
(x | Y = y0) =
f(x, y0)
fY (y0)
, fY (y0) 0,
siendo f la función de densidad conjunta de X e Y, y fY la función de densidad marginal
de Y.
Definición 2.17 La función de distribución de X condicionada a [Y = y0] es,
HX|y0
(x | Y = y0) =
X
xi≤x
hX|y0
(xi | Y = y0).
De forma similar pueden obtenerse las funciones de densidad hY |x0
y distribución
HY |x0
de la variable aleatoria Y | X = x0.
Variables aleatorias continuas
Definición 2.18 La función de densidad de X condicionada a [Y = y0], hX|y0
, es,
hX|y0
(x | Y = y0) =
f(x, y0)
fY (y0)
, fY (y0) 0,

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Definición 2.19 La función de distribución condicionada HX de la variable aleatoria
X | [Y = y0] es,
HX|y0
(x | Y = y0) =
Z x
−∞
hX|y0
(u | Y = y0)dx.
Análogamente se definen las funciones de distribución y densidad condicionadas de
Y | X = x0.
Es evidente que tanto en el caso discreto como en el continuo,
X ⊥ Y ⇒ hX|y0
(x | Y = y0) = fX(x), hY |x0
(y | X = x0) = fY (y).
APÉNDICE
Probabilidad de un intervalo real
1. P(a X b) = lı́m
x→b−
F(x) − F(a),
puesto que,
(a X ≤ b) = (a X b) ∪ (X = b) ⇒
⇒ P(a X ≤ b) = P(a X b) + P(X = b) ⇒
⇒ P(a X b) = F(b) − F(a) − P(X = b) =
= lı́m
x→b−
F(x) − F(a).
2. P(a ≤ X b) = lı́m
x→b−
F(x) − lı́m
x→a−
F(x),
dado que,
(a ≤ X b) = (a X b) ∪ (X = a) ⇒
⇒ P(a ≤ X b) = P(a X b) + P(X = a) =
= lı́m
x→b−
F(x) − F(a) − P(X = a) = lı́m
x→b−
F(x) − lı́m
x→a−
F(x).
3. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − lı́m
x→a−
F(x),
en efecto,
(a ≤ X ≤ b) = (a X ≤ b) ∪ (X = a) ⇒
⇒ P(a ≤ X ≤ b) = P(a X ≤ b) + P(X = a) =
= F(b) − F(a) + P(X = a) = F(b) − lı́m
x→a−
F(x).

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4. P(X = a) = F(a) − lı́m
x→a−
F(x),
ya que,
(X = a) = (a ≤ X ≤ a) ⇒ P(X = a) = P(a ≤ X ≤ a) =
= F(a) − lı́m
x→a−
F(x).
5. P(X a) = lı́m
x→a−
F(x),
pues,
(X ≤ a) = (X a) ∪ (X = a) ⇒
⇒ P(X ≤ a) = P(X a) + P(X = a) ⇒
⇒ P(X a) = F(a) − P(X = a) = lı́m
x→a−
F(x).
Propiedades de la distribución bivariante
Denotemos,
P(A − B) = P(A ∩ Bc
) = P(A) − P(A ∩ B).
Así, si B ⊂ A, entonces P(A − B) = P(A) − P(B).
Resulta que,
[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] − [(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ c)] =
[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] ∩ [(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ c)]c =
= [(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] ∩ [(X /
∈ (a, b]) ∪ (Y c)] =
= [(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] ∩ (X /
∈ (a, b])∪
∪[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] ∩ (Y c) =
= [(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] ∩ (Y c) =
= (a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d).
Como,
[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ c)] ⊂ [(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)],
tenemos,
P[(a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d)] =
= P[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] − P[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ c)].
Por otro lado, con el mismo razonamiento anterior,
[(a X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] = [(X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] − [(X ≤ a) ∩ (Y ≤ d)],
y,
[(X ≤ a) ∩ (Y ≤ d)] ⊂ [(X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)],
por lo que,
P[(a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d)] =
= P[(X ≤ b) ∩ (Y ≤ d)] − P[(X ≤ a) ∩ (Y ≤ d)]−
−P[(X ≤ b) ∩ (Y ≤ c)] + P[(X ≤ a) ∩ (Y ≤ c)].

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Independencia estocástica entre variables
Función de distribución
i) X ⊥ Y ⇒ F(x, y) = FX(x)FY (y),
ya que entonces,
F(x, y) = P[(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)] =
= P(X ≤ x)P(Y ≤ y) = FX(x)FY (y).
ii) F(x, y) = FX(x)FY (y) ⇒ X ⊥ Y,
pues si, por ejemplo, A = (a X ≤ b) y B = (c Y ≤ d),
P[(a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d)] =
= F(b, d) − F(b, c) − F(a, d) + F(a, c) =
= FX(b)FY (d) − FX(b)FY (c) − FX(a)FY (d) + FX(a)FY (c) =
= [FX(b) − FX(a)][FY (d) − FY (c)] = P(a X ≤ b)P(c Y ≤ d).
Funciones de densidad
1. Caso discreto
i) X ⊥ Y ⇒ f(x, y) = fX(x)fY (y),
pues,
f(x, y) = P[(X = x) ∩ (Y = y)] =
= P(X = x)P(Y = y) = fX(x)fY (y).
ii) f(x, y) = fX(x)fY (y) ⇒ X ⊥ Y.
Sea, como anteriormente con funciones de distribución,
P[(a X ≤ b) ∩ (c Y ≤ d)] =
= F(b, d) − F(b, c) − F(a, d) + F(a, c).
Si demostramos que, por ejemplo, F(b, d) = FX(b)FY (d) entonces queda
probada la independencia entre variables aleatorias. En efecto,
F(b, d) =
X
xi≤b
X
yj≤d
f(xi, yj) =
X
xi≤b
fX(xi)
X
yj≤d
fY (yj) = FX(b)FY (d).
2. Caso continuo
i) X ⊥ Y ⇒ f(x, y) = fX(x)fY (y),
pues entonces,
f(x, y) =
∂2F(x, y)
∂x∂y
=
∂FX(x)
∂x

∂FY (y)
∂y

= fX(x)fY (y).

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ii) f(x, y) = fX(x)fY (y) ⇒ X ⊥ Y,
pues,
F(x, y) =
R x
−∞
R y
−∞ f(u, v)dudv =
=
R x
−∞
hR y
−∞ fY (v)dv
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fX(u)du = FX(x)FY (y).
EJERCICIOS
2.1. El recorrido de una variable aleatoria X es X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Dada la función
f(x) = kx2
,
a) Calcúlese el valor de k para que f sea función de densidad de probabilidad de X.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome valores en el intervalo [0, 3]?
c) Calcúlese la función de distribución F de la variable aleatoria X.
d) Represéntense gráficamente f y F.
2.2. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es,
f(x) =

k(1 + x2
), 0 x 3
0, en el resto,
a) Calcúlese el valor de k para que f sea función de densidad de probabilidad de X.
b) Calcúlese la función de distribución F de la variable aleatoria X.
c) Calcúlese P(1 X 2).
d) Determínese el valor de la probabilidad P ({X 2} | {X 1}).
2.3. La variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad igual a,
f(x) =
( 1
b − a
, si a x b
0, en el resto,
a) Calcúlese la función de distribución F de la variable aleatoria X.
b) Calcúlese la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores entre 0 y 2,
sabiendo que a = 0 y b = 4.
2.4. Supóngase que la acumulación de toxinas en cierta especie criada en determinado medio
es tal que la variable X(ω) = edad (medida en unidades arbitrarias) del individuo ω en
el momento de su muerte, tiene por función de densidad de probabilidad,
f(x) =

cx, 1 x 2
0, en el resto,
a) Calcúlese c y la función de distribución F de la variable aleatoria X.
b) Represéntense gráficamente las funciones f y F.

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c) Si un individuo ha alcanzado la edad 1.5, ¿cuál es la probabilidad de que muera
después de cumplir 1.7 de edad? ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier individuo
tomado al azar muera después de cumplir 1.7 de edad?
2.5. Dada la variable aleatoria X encontrar el valor de k para el que la función,
f(x) =

kx2
, si − k x k
0, en el resto,
sea una función de densidad de probabilidad.
2.6. Sea f(x; θ) = θf1(x)+(1−θ)f2(x), donde la constante θ ∈ (0, 1). Suponiendo que f1 y
f2 son funciones de densidad de probabilidad, pruébese que f es una función de densidad.
2.7. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es,
f(x) =
(
2(1 + x)
27
, si 2 x 5
0, en el resto,
a) Calcúlese P(X 4).
b) Determínese el valor de P(3 X 4).
2.8. La función de distribución de la variable aleatoria X = vida de las bacterias de una cierta
cepa (tiempo transcurrido hasta su duplicación) es,
F(x) =

1 − e−λx
, si x ≥ 0
0, en el resto,
siendo λ 0.
a) Calcúlese la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bacteria tenga un tiempo de vida comprendido
entre 2.7 horas y 3 horas, sabiendo que λ = 2.5?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una bacteria viva menos de 3 horas, sabiendo que
ya ha vivido más de 2.7 horas (λ = 2.5)?
2.9. Sean X e Y dos variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta
dada por,
f(1, 1) = 0; f(1, 2) =
1
6
; f(1, 3) =
1
12
;
f(2, 1) =
1
5
; f(2, 2) =
1
9
; f(2, 3) = 0;
f(3, 1) =
2
15
; f(3, 2) =
1
4
; f(3, 3) =
1
18
.
Calcúlense las funciones de densidad marginales.
2.10. Sean X e Y dos variables aleatorias cuya función de densidad conjunta es,
f(x, y) =

4x(1 − y), si 0 x 1, 0 y 1,
0, en el resto.

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a) Hállese la función de densidad marginal de la variable aleatoria X.
b) Calcúlese la función de distribución marginal de la variable aleatoria Y .
2.11. Sean dos variables aleatorias X e Y cuya función de densidad conjunta viene dada por,
f(0, 0) =
1
8
; f(0, 1) =
3
8
;
f(1, 0) =
3
8
; f(1, 1) =
1
8
.
Calcúlese la función de densidad condicionada de la variable aleatoria Y | [X = 0].
2.12. Las variables aleatorias X e Y tienen la siguiente función de densidad conjunta,
f(x, y) =

4xy, si 0 x 1, 0 y 1,
0, en el resto.
a) Calcúlese la función de densidad condicionada de la variable aleatoria X | [Y = y].
b) ¿Son las variables aleatorias X e Y estocásticamente independientes?
2.13. Sean X e Y dos variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta,
f(x, y) =

k(x + y), si 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2,
0, en el resto.
a) Encuéntrese el valor de k.
b) Calcúlese la función de distribución conjunta F de las variables X e Y .
c) Calcúlese las funciones de densidad marginales y las funciones de distribución mar-
ginales ¿Son las dos variables aleatorias estocásticamente independientes?
d) Calcúlese la función de densidad de probabilidad de X supuesto que [Y = 1].
2.14. En una comunidad de 120 personas 58 son del grupo sanguíneo A, 32 del AB, 20 del
grupo B y el resto del grupo O. Seleccionamos al azar 3 individuos de la comunidad y
definimos las variables aleatorias X = número de individuos seleccionados del grupo A
e Y = número de individuos seleccionados del grupo B.
a) Constrúyase la función de densidad de probabilidad conjunta f de X e Y .
b) Analícese si las variables aleatorias consideradas son estocásticamente independien-
tes.
c) Calcúlese, a partir de la función de densidad conjunta f, la probabilidad de que
ningún individuo del grupo A haya sido seleccionado.
2.15. Considérese que, según cierto modelo teórico, la duración del combate ritual entre los
machos de cierta especie es una variable aleatoria X con función de densidad de probabi-
lidad:
f(x) =

ce−hx
, si x ≥ 0
0, en el resto,
a) Determínese el signo de h y su valor en función de c.

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b) Calcúlese la función de distribución F de la variable aleatoria X.
c) Represéntese gráficamente f y F cuando c = 1.
2.16. Una caja contiene 3 ratas negras, 2 blancas y 3 grises. Seleccionamos al azar un conjunto
de 4 ratas y definimos las variables aleatorias X = número de ratas negras seleccionadas
e Y = número de ratas blancas seleccionadas. Encuéntrese,
a) La función de densidad de probabilidad conjunta de X e Y .
b) P[(X, Y ) ∈ A] donde A = {(x, y) | x + y ≤ 2}.
c) La función de densidad condicionada hY |x (y | [X = 2]).
2.17. Consideremos la experiencia de extraer al azar dos individuos de una población y observar
su genotipo respecto del sistema de grupos sanguíneos ABO. El primero es un receptor y
el segundo un donante. Las proporciones de los diferentes genotipos en la población son
para el grupo OO el 30 %, para AO el 10 %, para AA el 30 %, para BO el 15 %, para BB
el 5 % y para AB el 10 %. Sobre el correspondiente espacio de probabilidad se consideran
las variables aleatorias,
X : Ω2
→ R,
X(ωr, ωd) =



0, si ωr y ωd son de idéntico genotipo,
1, si ωr y ωd difieren respecto de un alelo,
2, si ωr y ωd difieren respecto de dos alelos.
Y : Ω2
→ R,
Y (ωr, ωd) =

0, si sus sangres son compatibles,
1, en caso contrario.
a) Determínese la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria bidi-
mensional (X, Y ), y las funciones de densidad marginales.
b) Determínese la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y en el
supuesto de que los individuos difieran en un alelo. Calcúlese la función de densidad
de la variable aleatoria X suponiendo compatibilidad sanguínea.
c) Analícese si se puede concluir que, al conocer la compatibilidad sanguínea de dos
individuos, aumenta la probabilidad de que sean idénticos genotípicamente, dismi-
nuye la de que difieran en un alelo y disminuye todavía más la de que difieran en
dos alelos.
2.18. Dos variables aleatorias X e Y tienen una función de densidad de probabilidad conjunta
definida por,
f(x, y) =

4xy, si 0 x 1, 0 y 1,
0, en el resto.
Encuéntrese,
a) P ([0 ≤ X ≤ 0.75] ∩ [0.125 ≤ Y ≤ 0.5]).
b) P(Y X).

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2.19. Dos variables aleatorias X e Y tienen función de densidad de probabilidad conjunta dada
por,
f(x, y) =

k(x2
+ y2
), si 0 x 2, 1 y 4,
0, en el resto.
Calcúlese,
a) k.
b) P(1 ≤ X ≤ 2).
c) P ([Y + X] 4).
2.20. Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias cuya función de densidad de proba-
bilidad conjunta viene dada por,
f(1, 1) = 0; f(1, 2) =
1
6
; f(1, 3) =
1
12
;
f(2, 1) =
1
5
; f(2, 2) =
1
9
; f(2, 3) = 0;
f(3, 1) =
2
15
; f(3, 2) =
1
4
; f(3, 3) =
1
18
.
Calcúlense las funciones de densidad condicionadas ¿Son X e Y variables aleatorias in-
dependientes?
2.21. Sean X e Y dos variables aleatorias cuyos recorridos son X(Ω) = {1, 3, 5} e Y (Ω) =
{2, 6, 8}, respectivamente. Sabiendo que la función de densidad de probabilidad marginal
de X es,
fX(1) = 0.2, fX(3) = 0.45, fX(5) = 0.35,
y conociendo las siguientes funciones de densidad condicionadas,
Y 2 6 8
fY |x(y | [X = 1]) 0.3 0.3 0.4
fY |x(y | [X = 3]) 0.15 0.45 0.4
fY |x(y | [X = 5]) 0.2 0.2 0.6
calcúlense fY (2) y P ([X = 3] | [Y = 6]).
2.22. La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X, Y y Z
viene dada por,
f(x, y, z) =
(
4
9
xyz2
, si 0 x 1, 0 y 1, 0 z 3
0, en el resto.
Encuéntrese,
a) La función de densidad de probabilidad marginal conjunta de Y y Z.
b) La función de densidad de probabilidad marginal de Y .
c) P ([0.25 X 0.5] ∩ [Y 0.3] ∩ [1 Z 2]).
d) F ([0.5] | {[Y = 0.25] ∩ [Z = 2]}), siendo F la función de distribución de la varia-
ble aleatoria X condicionada al suceso {[Y = 0.25] ∩ [Z = 2]}.

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SOLUCIONES
Ejercicio 2.2.
a) Dado que, Z ∞
−∞
f(x)dx = 1,
tenemos,
1 = k
Z 3
0
(1 + x2
)dx = 12k =⇒ k =
1
12
.
b) Como,
F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt,
entonces,
si x ≤ 0, F(x) = 0,
si 0 x 3, F(x) =
1
12
R x
0
(1 + t2
)dt =
1
12

x +
x3
3

,
si x ≥ 3, F(x) =
1
12
R 3
0
(1 + t2
)dt = 1.
c) P(1 X 2) = F(2) − F(1) =
5
18
.
d) La probabilidad pedida es,
P ([X 2] | [X 1]) =
P ([X 2] ∩ [X 1])
P(X 1)
=
=
P(1 X 2)
1 − F(1)
=
5
16
.
Ejercicio 2.3.
a) Si x ≤ a entonces,
F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt = 0,
ya que f(x) = 0 en este intervalo.
Si a x b se tiene que,
F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt =
Z x
a
1
b − a
dt =
x − a
b − a
.
Finalmente si b ≤ x, entonces,
F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt =
Z b
a
1
b − a
dt = 1.

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