Matemática Financiera Gestión Empresaria

Castro Berio, Fidel Alberto; Chávez García, Elsita Margoth; Rivera Piñaloza
Darwin Vladimir.
Matemática Financiera.
Ejercicios y aplicación

Copyright, 2023
Universidad Estatal de Bolívar
Vicerrectorado de Investigación y Vinculación
Dirección de Investigación y Vinculación
Autores
Fidel Alberto Castro Berio, Universidad Estatal de Bolívar
Elsita Margoth Chávez García, Universidad Estatal de Bolívar
Darwin Vladimir Rivera Piñaloza, Universidad Estatal de Bolívar
emchavez@ueb.edu.ec
Título
Matemática Financiera. Ejercicios y aplicación.
ISBN
978-9978-364-78-9

Diseño y diagramación: Michael Hachi
1ra Edición (On-line)
Todas las obras publicadas por la Universidad Estatal de Bolívar, son sometidas a arbitraje.
Castro Berio, Fidel Alberto; Chávez García, Elsita Margoth; Rivera Piñaloza Darwin
Vladimir.
Matemática Financiera. Ejercicios y aplicación. Primera edición
Editorial: Universidad Estatal de Bolívar, Guaranda - Ecuador 2023
ISBN: 978-9978-364-78-9
Área: Administración financiera y presupuestos
Páginas: 115
LicenciaCreativeCommonsBY-NC-ND(Atribución,NoComercial,SinObrasDerivadas)
4.0 Internacional.

PRÓLOGO
La Matemática Financiera es un área de las Matemáticas aplicadas que abarca el estudio de
herramientas financieras, las cuales se combinan con las tasas de interés aplicadas a un capital
inicial o valor presente, para obtener un monto o valor futuro, este valor futuro se obtiene
aplicando métodos de evaluación a través de operaciones financieras, permitiendo a la gerencia
y a quienes toman decisiones, comprender mejor el entorno económico, y por tanto ejercer
inversiones a corto, mediano o largo plazo.
La Matemática Financiera es una asignatura que forma parte del currículo de algunas carreras
que se ofertan en la Facultad de CienciasAdministrativas, Gestión Empresarial e Informática de
la Universidad Estatal de Bolívar, dicha asignatura abarca algunos ejes, como por ejemplo: su
alcance, profundidad, metodología, objetivos, proceso de enseñanza-aprendizaje y su aplicación.
Se pretende optimizar el tiempo en los cálculos financieros y crear una sola metodología
apoyada con el uso de la hoja de cálculo Excel, como herramienta didáctica dentro del proceso
de enseñanza-aprendizaje, para que el estudiante sea el centro de interés del proceso de
aprendizaje y como resultado desarrolle capacidades para la discriminación y sistematización
de la información en el entorno académico y laboral.
Este libro didáctico, tiene como finalidad orientar al estudiante a su autoaprendizaje dentro del
proceso académico de la asignatura, mismo que contiene la parte teórica y el exposición de
ejercicios, aplicando fórmulas tradicionales y las aplicaciones sistemátizadas de las funciones
establecidas en la hoja de cálculo Excel. En cada temática presentada existe actividades de
aprendizaje para fortalecer su interiorización conceptual y de cálculo, además está basada en
los contenidos establecidos en el proyecto de carrera y planificado para el tiempo que dura el
proceso de aprendizaje de la misma.

AGRADECIMIENTO
A Dios por permitirnos continuar con otra etapa profesional.
A los estudiantes de tercer ciclo de la carrera de Contabilidad y Auditoría.
Fidel, Elsita y Vladimir

DEDICATORIA
A nuestras familias, amigos y comunidad universitaria, con amor y gratitud.
Fidel, Elsita y Vladimir

INTRODUCCIÓN
La Matemática Financiera en un entorno organizacional es fundamental para tomar las mejores
decisiones de carácter financiero, por eso la finalidad es que los estudiantes en proceso de
formación universitaria comprendan, definan, expliquen y apliquen los conceptos sobre
proyectos y las diferentes inversiones que se pueden llevar a cabo en la vida cotidiana y
empresarial. También, es importante, conocer sobre el valor del dinero a través del tiempo,
como elemento fundamental de estudio, así como el trasladar los flujos de caja al presente o al
futuro.
El entorno económico permite dinamizar la toma de decisiones que afectan positiva o
negativamente el futuro financiero, por lo cual, se debe analizar técnicamente los factores
económicos y no económicos, así como los factores tangibles e intangibles, de allí, la
importancia de las técnicas, cálculos y modelos de la Matemática Financiera para la creación de
escenarios que permitan la optimización de los recursos que se cuenta, a través de las diferentes
herramientas de análisis y evaluación.
Desde su creación y evolución de las transacciones comerciales, el dinero es parte importante
de la vida del hombre y bajo supuestos normales se ha tratado de utilizarlo de forma adecuada;
sin embargo, es conveniente que se sepa manejar para que se maximicen las utilidades y se
minimicen los riesgos financieros, es decir, comprender cómo el dinero se puede ganar, perder o
cambiar de valor en el tiempo, debido a fenómenos económicos como la inflación, devaluación,
entre otros.
Adicional, es de trascendental importancia el manejo y uso adecuado de las Matemáticas
Financieras ya que la economía de un país, se basa en diferentes operaciones financieras de
carácter nacional e internacional y que, para tomar una decisión acertada, es indispensable tener
en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero puede tener variaciones a favor o en contra.
Se busca exponer cada unidad de una manera clara y usando un lenguaje simple, para que el

estudiante encuentre una fácil interpretación de las matemáticas financieras, por tal motivo
se plantean ejercicios para su aplicación y desarrollo, los cuales se pretende que sean lo más
pegados a un entorno laboral vivencial; considerando que todas las disciplinas, que tienen que
ver con las matemáticas, exigen un trabajo práctico dedicado, por lo que, se recomienda realizar
los ejercicios resueltos y propuestos.
El libro didáctico contiene suficientes ejemplos resueltos paso a paso, para que el estudiante
desarrolle las aptitudes necesarias para resolver los ejercicios propuestos con sus respectivas
respuestas, los cuales servirán para afianzar los conocimientos adquiridos a través de los
capítulos; y también, como una modalidad complementaria del proceso de enseñanza –
aprendizaje del docente.
Teniendo en cuenta el objeto del presente libro, que el estudiante conozca los conceptos
fundamentales de las matemáticas financieras para que pueda aplicarlos en el mundo financiero
laboral, para lo cual se han estructurado los siguientes capítulos:
En el Capítulo1 se aborda el porcentaje (cálculo, aumentos y disminuciones); logaritmos
(propiedades) y progresiones (aritméticas y geométricas); cada una de ellas con su respectiva
conceptualización, cálculo y aplicaciones demostrativas, también con ejercicios propuestos
para el desarrollo de los lectores.
En el Capítulo 2 se estudia el interés simple (simple, tasa de interés, plazo real y aproximado),
el valor futuro, descuento simple (comercial o bancario y racional) y ecuaciones de valores
equivalentes a interés simple.
Con el Capítulo 3 se aborda el interés compuesto, con las tasas de interés (monto o valor futuro,
valor presente a interés compuesto inicial, fraccionario), tasa de interés, tiempo, ecuaciones
equivalentes a interés compuesto y descuento compuesto.
En el Capítulo 4 se estudia las anualidades o rentas, con los tipos de anualidades, anualidades
vencidad (elementos, montos futuros, montos presentes, rentas, aproximación al número de
periodos, tasa de interés), anualidades diferidas (valor futuro, valor presente, renta, número de
pados, tiempo diferido y anualidades generales.

En el Capítulo 5 se aborda las amortizaciones desde los conceptos, la amortización de una
deuda, amortización gradual y el fondo de amortización.
En consecuencia, con el presente documento se fortalece los resultados de aprendizaje
y competencias profesionales para el desempeño del futuro profesional de la Carrera de
Contabilidad y Auditoría, formando así profesionales que tienen la capacidad de desenvolverse
en entornos integrales y de proponer soluciones a partir del entendimiento e interpretación
de hechos económicos y financieros de una empresa, por medio de diversas competencias
transversales cognitivas, personales e interpersonales adquiridas a lo largo de su formación; que
le permiten participar en la definición estratégica de la organización, siguiendo una metodología
adecuada para la toma de decisiones e incorporando valores éticos y sociales al cumplimiento
de sus responsabilidades hacia el entorno social.
Finalmente, quienes estarán formados para actuar desde el proceso del registro contable,
consolidación de información a partir de la etapa presupuestaria en correspondencia a la
disponibilidad de recursos para que el máximo directivo de la entidad pueda asumir obligaciones,
pues aquí la capacidad cognitiva del profesional entra en ejercicio de su conocimiento para
entregar información útil y confiable como una herramienta para la toma de decisiones. Será
parte de la solución de problemas financieros que se presenten en el campo empresarial,
pues con pensamiento crítico permitirá que se adopte varios escenarios en la organización,
demostrando la factibilidad de trabajar en equipo, sobre la base del aprendizaje interpersonal
e intrapersonal con el manejo adecuado de la tecnología, que facilite el proceso en su campo
profesional; de esta manera demostrará que el resultado del aprendizaje es pertinente. Del
proceso de formación académica, los resultados del aprendizaje se contrastarán entre la teoría
y práctica, considerando al conocimiento como un producto de la actividad áulica; pues ello
significa que la transferencia del conocimiento contribuyó al fortalecimiento de las capacidades
cognitivas y las competencias genéricas propicias para el futuro laboral de manera simulada o
parecida al lugar de trabajo donde vaya a ejercer la profesión el contador auditor.

ÍNDICE
ÍNDICE
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1..............................................................1
1.1. Definiciones básicas......................................................................1
1.2 Porcentaje: cálculo y aplicaciones.................................................3
1.3 Logaritmos...................................................................................10
1.4. Progresiones................................................................................13
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2.............................................................25
2.1. Interés. .......................................................................................25
2.2. Valor futuro o monto (VF, M, S).................................................32
2.3. Descuento Simple.......................................................................37
2.4. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Simple................41
3.1. Conceptos básicos.......................................................................47
3.2. Tasas de Interés...........................................................................48
3.3. Monto o Valor Futuro a interés compuesto.................................51
3.4. Ecuaciones Equivalentes a Interés Compuesto...........................65
4.1. Conceptos generales sobre anualidades......................................70
4.2. Tipos de Anualidades..................................................................71
4.3. Anualidad Vencida......................................................................72
4.4. Anualidades Anticipadas.............................................................85

4.5. Anualidades Diferidas.................................................................94
4.6. Anualidades Generales..............................................................101
UNIDAD DE APRENDIZAJE 5............................................................105
5.1. Amortización de una deuda.......................................................106
5.2. Tablas de amortización..............................................................107
5.3. Amortización Gradual...............................................................107
5.4. Fondo de Amortización.............................................................109

1
Matemática Financiera Ejercicios y aplicación
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1
GENERALIDADES
Esta unidad de aprendizaje está orientada a la conceptualización de términos financieros, así
como una revisión de temas de aritméticos más utilizados en los cálculos de temas que contiene
la matemática financiera.
SUMARIO
1.1. Definiciones básicas
1.2. Porcentaje: cálculo y aplicaciones
1.3. Logaritmos: cálculos de n e i
1.4. Progresiones: Aritmética y Geométrica
Resultados de aprendizaje de la unidad
• Conceptualizan los elementos de la matemática financiera
• Determinan el porcentaje en aplicaciones reales
• Aplican las propiedades de los logaritmos
• Determinan estrategias de solución a problemas de progresiones aritmética y geométricas
• Utilizan la hoja de cálculo Excel para la obtención de resultados de los temas anteriores
1.1. Definiciones básicas
Según (Aching Guzman, 2006) “La Matemática Financiera es una derivación de la matemática
aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo
para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar
decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones
o ingeniería económica”.
(Fortún, 2019) “La matemática financiera es un área de las matemáticas aplicadas que abarca el
estudio de las herramientas de cálculo que permite determinar el valor del dinero en el tiempo
en una operación financiera”.
Para (Alvarado, 2017) las matemáticas financieras se necesita realizar operaciones matemáticas

2
a través de fórmulas que trasladan una cantidad de dinero desde un momento actual a uno
futuro, aumentando el valor de éste y permitiendo soslayar la desvalorización que sufre por
efectos inflacionarios. Estas fórmulas permiten también retroceder en el tiempo a través de un
descuento o actualización o el cálculo de cuotas de crédito o depósitos.
Adicional, acorde a (Tus Finanzas, 2021) el sistema financiero ecuatoriano se encuentra
compuesto por instituciones financieras privadas (bancos, sociedades financieras, cooperativas
y mutualistas); instituciones financieras públicas; instituciones de servicios financieros,
compañías de seguros y compañías auxiliares del sistema financiero; las cuales se detallan a
continuación:
Instituciones del sistema financiero
Institución Característica
Banco
Es la institución que se encarga de cuidar el dinero que es entregado
por los clientes y utiliza parte del dinero entregando para dar préstamos
cobrando una tasa de interés.
Sociedad
Financiera
Es una institución que tiene como objetivo intervenir en el mercado de
capitalesyotorgarcréditosparafinanciarlaproducción,laconstrucción,
la adquisición y la venta de bienes a mediados y largo plazo.
Cooperativas de
Ahorro y Crédito
Es la unión de un grupo de personas que tienen como fin ayudarse los
unos a los otros con el fin de alcanzar sus necesidades financieras. La
cooperativa no está formada por clientes sino por socios, ya que cada
persona posee una pequeña participación dentro de ella.
Mutualistas
La unión de personas que tienen como fin el de apoyarse los unos a
los otros para solventar las necesidades financieras. Generalmente las
mutualistas invierten en el mercado inmobiliario.
Nota. Adaptado de Tus Finanzas, 2021.
La Junta de Política y Regulación Monetaria y Financiera es la responsable de la formación de
políticas públicas y la regulación y supervisión monetaria, crediticia, cambiaria, financiera, de
seguros y valores. Los organismos de supervisión y control son la Superintendencia de Bancos
(bancos, mutualistas y sociedades financieras), la Superintendencia de Economía Popular y
Solidaria (cooperativas y mutualistas de ahorro y crédito de vivienda) y la Superintendencia de
Compañías. Valores y Seguros (compañías de seguros).
Matemática Financiera es parte de la matemática que analiza la variación del dinero a través

3
del tiempo, y que permite tomar decisiones con respecto a una inversión.
Para (Alvarado, 2017) las matemáticas financieras se necesita realizar operaciones matemáticas
a través de fórmulas que trasladan una cantidad de dinero desde un momento actual a uno
futuro, aumentando el valor de éste y permitiendo soslayar la desvalorización que sufre por
efectos inflacionarios. Estas fórmulas permiten también retroceder en el tiempo a través de un
descuento o actualización o el cálculo de cuotas de crédito o depósitos
1.2 Porcentaje: cálculo y aplicaciones
Se le conoce con el término porcentaje o tanto por ciento al número de unidades que se toma
por cuenta de cada 100 y se expresa con el símbolo “%”. De la misma manera, para (Oxford
Languages and Google, 2021) es el número o cantidad que representa la proporcionalidad de
una parte respecto a un total que se considera dividido en cien unidades.
X por ciento ≡ X% ≡
100
X
Así: 40% indica que de cada 100 unidades de consideran 40.
La tasa de interés mensual es del 4%, significa que mensualmente debe pagar $4 por cada 100
dólares que le prestan.
El porcentaje se puede expresar en fracción o en número decimal.
Ejemplos:
Porcentaje Fracción Decimal
7% 0,07
60% 0,6
0,0525
21
21
4
100 400
1
≡
1 21
5 % %
4 4
≡
60
100
7
100

4
1.2.1 Cálculo del porcentaje
Para calcular un tanto por ciento o porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad por la
fracción equivalente al porcentaje o su decimal respectivo.
Ejemplos:
calcular el 20% de 350
350*0,2 70
=
Aquí se multiplicó por su decimal equivalente.
¿Qué porcentaje de 500 es 70?
70
*100% 14%
500
=
Se divide la cantidad dada, entre la resultante y multiplicada por cien.
Una computadora se compra en $1200 y se vende en $1350. La utilidad represente en términos
de porcentaje (%), con respecto al precio y costo.
DATOS FÓRMULA SOLUCIÓN
Venta = $1350
Compra = 1200
%
Utilidad
Utilidad
Ventas
=
150
%
1350
% 0,1111*100
% 11,11%
Utilidad
Utilidad
Utilidad
=
≡
≡
%
Utilidad
Utilidad
Costo
=
150
%
1200
% 0,125*100
% 12,5%
Utilidad
Utilidad
Utilidad
=
=
=

5
1.2.2 Aumentos y disminuciones porcentuales
Descuento por compra al contado
Calcular el valor de la factura cuyo precio de lista es de $1850 si se ofrece el 14% de descuento
por venta al contado.
( )
1850* 1 0,14 1591
− =
El valor a pagar es de $1591, aquí como es descuento la cantidad se multiplica por la diferencia
entre 1 menos el porcentaje y se obtiene en forma directa el resultado.
Descuento por compra al contado con aplicación de impuestos
Calcular el valor de la factura de venta de un carro cuyo precio de lista es $ 28750 con el 15%
de descuento por compra al contado, si se aplica el 12% del IVA.
( ) ( )
28750* 1 0,15 * 1 0,12 27370
− + =
El valor de la factura final con el descuento e impuesto es de $27370
Observación: Si es descuento de resta de 1 y si se trata de impuestos se suma a 1
No debe olvidarse que la relación decimal es a 1
1.2.3 Cálculo de porcentaje del precio de costo, venta y Utilidad
Precio de Venta (PV) = Precio de costo (PC) + Utilidad (U)

6
Realizando la transposición de términos se obtiene las siguientes fórmulas:
PC PV U
U PV PC
= −
= −
Un Inversionista desea obtener una utilidad o beneficio del 20% sobre el precio de costo de un
bien inmueble que adquirió en $85000; calcular el precio de venta.
P.V. = 85000 (1 + 0,20) = $ 102000
Expresar la utilidad en el problema anterior como porcentaje del precio de costo y del precio
de venta:
102000 85000
17000
U
U
= −
=
Porcentaje sobre el precio de Costo
%
20
85000
$
%
100
*
17000
$
=
=
X
Porcentaje sobre el precio de Venta
%
67
,
16
102000
$
%
100
*
17000
$
=
=
X
1.2.4 Cálculo del porcentaje sobre el precio de Venta
Un comerciante desea vender una propiedad que tiene un costo de $ 90000, con una utilidad de
35% sobre el precio de venta, calcular el precio al que puede vender dicha propiedad.
Precio de Venta = Precio de Costo + Utilidad al precio de venta
Precio de Venta – Utilidad al precio de venta = Precio de costo

7
0,35 90000
0,65 90000
90000
0,65
138461,65
PV PV
PV
PV
PV
− =
=
=
≡
1.2.5 Actividad de aprendizaje
1. Encontrar los siguientes porcentajes
3% de 200 5% de 800 7% de 500
12% de 3500 18% de 4000 1
4
2
% de 12500
2
32
3
% de 21720 2% de 7% de 1200 3% de 5% de 12000
10% de 20% de 250000 1
5
3
% de 800
3
2
7 % de 12500
%
16
1
11 de 45890 %
4
1
8 de 67980 %
5
1
9 de 89765
%
8
1
5 de 10984 0,5 de 1000 0,15 de 2400
2. ¿Qué porcentaje de:
30 es 10? 30 es 20? $1200 es $108?
$ 4800 es $ 168? $ 1664 es $ 35,36? 500 es 25?
800 es 24? 1000 es 71,25? 0,25 es 0,05?
20000 es 2212,507? $ 8400 es $ 186? 50 es 5?

8
3. ¿De qué cantidad es
15 el 20%? 80 el 0,5%? 4300 el %
8
1
9 ?
820 el %
16
1
11 ? 1,15 el 25%? 25000 el 20,4%?
9 el 20%? 9 el (12 – 12½) %? $ 4900 el 3%?
$ 27590 el 6 ¼ %? 183,75 el 3 ½ %? 275,10 el 5¼ %?
4. ¿Cuál será el monto que obtenga una persona que ha invertido $ 1500 si le conceden una
utilidad del 9%?
5. A un empleado que ganaba $600 se le concedió a un aumento de $86. ¿qué tanto por
ciento se le aumento?
6. ¿Cuál será el sueldo del gerente de cierta empresa en el mes de diciembre, si por bajas
ventas se le hizo un descuento del 4% sobre su sueldo, que era de $1715?
7. ¿Cuál será el valor de una factura si al aplicarse el impuesto del 12% se pagan $532 de
impuestos?
8. Un abogado recupera el 75% de una demanda de $15000 y cobra por concepto de
servicios profesionales el 18% de la suma recuperada. ¿qué cantidad recibirá su cliente?
9. Una Empresa adquirió 25 radios marcados en $96 con descuento del 17% y 18 radios
marcados en $90 con descuentos del 15% y del 9%. Encontrar el valor de la factura
pedida.
10. El Municipio de su Cantón en una campaña educacional, adquiere Computadoras a
$890, con descuento del 15% y del 10%. La factura tiene fecha 15 de julio, y se
ofreció un descuento de 5% por pago dentro de los 10 días siguientes. ¿Qué
cantidad pago el Municipio el 25 de julio?
11. ¿Cuál es el precio de venta de un millar de hojas de papel si su costo es de $ 7,5 y tiene
un margen de utilidad del 1
13 %?
8
12. Un almacén de electrodomésticos ofrece a la venta refrigeradoras cuyo precio de lista es
$860, con un descuento de 14% por venta al contado y más el IVA
a) Calcular el valor de factura a pagar.

9
b) Calcular el descuento efectivo
c) Calcular el porcentaje efectivo que beneficia al cliente.
13. Una distribuidora comercial ofrece en promoción cocinas cuyo precio de lista es de
$420 con un descuento del 15 %
8
1
1
5 por venta al contado, pero aplica el IVA a las ventas sobre el
precio de lista.
a) Calcular el valor de la factura a pagar
b) El descuento efectivo
c) El porcentaje real que se aplica al cliente.
14. Un comerciante compra mercadería por un valor de $3500 y la vende en $ 3900.
calcular.
a) La utilidad
b) El porcentaje de ésta en relación con el precio de costo
c) El porcentaje en relación con el precio de venta.
15. Una empresa compra 200 millones de barriles de petróleo a $ 16,5
a) Calcular el costo de la misma cantidad de barriles de petróleo a $ 19,7 el barril
b) Expresar en porcentaje el aumento del precio de costo
c) Expresar en porcentaje el aumento del precio de venta.
16. Una distribuidora de gas compra este producto a $35 el kg y lo vende con una utilidad
de 5½ % del precio de costo. Calcular el precio de venta del kg de gas.
17. Una distribuidora de gasolina compra este producto a $ 0,95 el galón y lo vende con
una utilidad del 11% del precio de venta. Calcular este precio.
18. En cierto país se ha implantado el 7% sobre el importe de ventas. Encontrar el impuesto
sobre un automóvil facturado en $26500
19. La compañía ABC anuncia 10% de descuento en toda su mercadería. Sí M compra una
aspiradora eléctrica marcada con $325 ¿Cuánto tiene que pagar por ella? ¿cuánto tendrá que
pagar si existe un impuesto del 6,5%?
20. Un artículo figura en catálogo al precio de $3280. ¿cuánto debe abonarse por él, si los
precios del catálogo han sufrido un recargo del 12%?

10
1.3 Logaritmos
De los logaritmos se anotará la parte que tiene aplicación en la resolución de problemas de
matemática financiera. Acorde a (Pérez & Gardey, 2019) manifiestan que, n logaritmo es el
exponente al cual se necesita elevar una cantidad positiva para obtener como resultado un cierto
número. Cabe recordar que un exponente, en tanto, es el número que denota la potencia a la cual
debe elevarse otra cifra.
De este modo, el logaritmo de un número es el exponente al cual tiene que elevarse la base para
llegar a dicho número. Muchas veces un cálculo aritmético puede realizarse de manera más
simple apelando a los logaritmos.
Cálculo de n e i
Así el cálculo de ( )
1
n
i
+ , que contiene dos variables i y n, exige la aplicación de logaritmos
puesto que de otra manera puede ser difícil obtenerlo.
1.3.1 Propiedades de los logaritmos
El logaritmo de un producto de dos o más números positivos es igual a la suma de los logaritmos
de dichos números.
( )
10 10 10
log * log log
x y x y
= +
El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos
el logaritmo del denominador.
10 10 10
log log log
x
x y
y
 
= −
 
 
El logaritmo de una potencia de un número positivo es igual al producto del logaritmo del
número multiplicado por el exponente de la potencia.

11
10 10
log *log
n
x n x
=
Ejemplos: calcular i
( )
15
1 5,43
i
+ =
Se aplican logaritmos a los dos miembros
( )
15
10 10
log 1 log 5,43
i
+ =
El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la cantidad.
( )
10 10
10
10
10
10
15log 1 log 5,43
log 5,43
log ( 1 )
15
0,7347998
log ( 1 )
15
log ( 1 ) 0,0489866
( 1 ) log 0,0489866
( 1 ) 1,119
1,119 1
0,119*100%
11,9%
i
i
i
i
i anti
i
i
i
i
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ ≡
= −
=
=
cálculo de i:
16
16
16
16 3
10 10
10
58,38265
88,5 ( 1 ) 1
53,23
88,5 ( 1 ) 1,0967997 1
0,0967997
( 1 )
88,5
( 1 ) 1,093781921*10
16 log ( 1 ) log 0,214548
2,961069259
log ( 1 )
16
1 log 0,18500668287
1,5313 1
0,5313*100%
i
i
i
i
i
i
i anti
i
i
i
−
−
−
− −
+ = −
+ = −
+ =
+ =
− + =
−
+ =
−
+ =
≡ −
≡
53,13%
≡

12
calcular n
10 10
10 10
10
10
( 1 0,07 ) 0,02351
log ( 1,07 ) log 0,02351
log (1,07 ) log 0,02351
log 0,02351
log 1,07
55,4302*( 1)
55,43
55,43
n
n
n
n
n
n
n periodos
−
−
+ =
=
− =
− =
− =
− −
≡
≡
1.3.2 Actividad de aprendizaje sobre logaritmos
1. Calcular i:
(1 + i )115
= 2,147109 (1 + i )70
= 3,999558 (1 + i )15
= 28,666723
3,24 + (1 + i )50
= 6,345242 – 1 (1 + i ) – 15
= 0,64282 (1 + i )12
= 1,8842
2. Calcular n
1 + (1 + 0,80)n
= 10 1000000 (1 + 0,075)n
= 10000000
(1 + 0,75)n
= 5 (1 + i) – 15
= 0,64282 (1 + i )12
= 1,8842
1 – (1 + 0,05) – n
= 0,5 (1 + 0,05) n
= 63,254353
(1 + 0,05) n
= 63,254353 (1 + 0,0125) n
= 2,107181
(1 + 0,09125) n
= 158,345924 (1 + 0,12125) n
= 0,001041
28
,
25
06
,
0
1
)
06
,
1
(
=
−
n
(1 + 0,081222) n
= 0,0000841

13
1.4. Progresiones
Son una serie de números o términos algebraicos en la que cada término posterior al primero
puede obtenerse del anterior; sumándole, multiplicándole o dividiéndole por una diferencia o
razón común; por lo tanto, una progresión es una “sucesión de números o términos algebraicos
entre los cuales hay una ley de formación constante”. Lo que quiere decir esta definición es que
se llama progresiones a ciertos tipos de sucesiones que se pueden definir dando una regla que
relaciona cada término con el término siguiente. (StackExchange, 2018)
1.4.1 Progresión Aritmética
Es una sucesión de números, llamados términos, en la que cualquier término posterior al primero
puede obtenerse del anterior, sumándole o restándole un número constante llamado diferencia
común d, se aplica la siguientes formula:
( )
1 1
n
a a n d
= + −
Por transposición de términos se obtiene:
( )
1 1
n
a a n d
= − − →fórmula para encontrar el primero término
1
1
n
a a
d
n
−
= →
−
fórmula para encontrar la diferencia
1
1
n
a a
n
d
−
= + → fórmula para encontrar el número de periodos
Donde:
n
a = último número
1
a = primer número
n = número de términos
d = diferencia común

14
Ejemplos:
• Encontrar el vigésimo término de la progresión aritmética y la suma de los veinte
términos: 115, 112, 109, 106, ...
Progresión Fórmula Solución
115, 112, 109, 106, ... d = a2 – a1
( )
1 1
n
a a n d
= + −
( )( )
( )
112 115 3
115 20 1 3
115 19* 3
115 57
58
n
n
n
n
d d
a
a
a
a
= − → =
−
= + − −
= + −
= −
=
• (Depreciación) Una empresa instala una máquina con un costo de $ 1800. el valor de la
máquina se deprecia anualmente en $100 y su valor de desecho es de $ 300. ¿cuál es la
vida de la máquina?
Progresión Fórmula Solución
1700 – 100, 1700 – 2
(100), 1700 – 3 (100),
…
1600, 1500, 1400, …
d = a2 – a1
( )
1 1
n
a a n d
= + −
d = 1400 – 1500 = – 100.
300 = 1600 + (n – 1) (– 100)
300 = 1600 – 100 n + 100
200 = 1700 – 100 n
100 n = 1700 – 300
1400
100
14
n
n años
=
=
• Los pagos mensuales que Alicia efectúa al banco por un préstamo forman una PA. Si
sus pagos sexto y décimo son $345 y $333, respectivamente, ¿de cuánto será su décimo
quinto pago al banco?

15
Sea a el primer término y d la diferencia común de los pagos mensuales de la PA. Entonces los
pagos sucesivos (en dólares) son:
a, a + d, a + 2d, …
Dado que los pagos sexto y décimo (en dólares) son de 345 y 333,
U6
= 345 y U10
= 333, entonces tendremos:
6 1
10 1
5 345
9 333
a a d
a a d
= + =
= + =
Se ha formado un sistema de ecuaciones de dos incógnitas resolviendo las mismas se tiene:
d = – 3 y a = 360
Ahora el décimo quinto pago será:
( )
15 1
15
15
15
14
360 14 3
360 42
$318
a a d
a
a
a
= +
= + −
= −
=
Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R por ciento. En un año
la cantidad de interés ganada está dada:






=
100
R
P
I
Si la inversión es a interés simple, debe agregarse una cantidad I a su valor al término de cada
año. Así que, después de 1 año el valor será P + I, después de 2 años P + 2I, etc. La sucesión de
valores anuales de la inversión,
P, P + I, P + 2I, P + 3I, …
Forman de esta manera una progresión aritmética cuyo primer término es P diferencia común
I. después de t años el valor está dado por P + t I

16
Ejemplo. (Interés Simple) Se invierte una suma de $ 2000 con interés simple a una tasa de
interés anual del 12%. Encuentre una expresión para el valor de la inversión t años después de
que se realizó. Calcule el valor después de 6 años.
Aquí P = 2000 y R = 12. por lo tanto, la cantidad de interés anual es
240
100
12
2000 =






=
I
Después de t años el interés total agregado es tI = 240 t, de modo que el valor de la inversión es
P + t I = 2000 + 240 t
Después de 6 años, este valor es:
2000 + 6 (240) = 3440 dólares
Suma de n términos de una Progresión Aritmética
Fórmula:
( )
[ ]
( )
u
a
n
S
d
n
a
n
S
n
n
+
=
−
+
=
2
1
2
2
Ejemplo: Calcule la suma de los primeros 20 términos de la progresión:
2 + 5 + 8 + 112 + 14 + …
La sucesión dada es una PA porque
5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3
Así la diferencia común es 3, esto es, d = 3, también, a = 2 y n = 20
( ) ( )
( )
20
20
20
2 2 20 1 3
2
10 4 57 610
S
S
= + −
 
 
= + =

17
(Pago de préstamos) Considere un préstamo del banco al señor NN por $ 5000 a un interés
mensual del 1%. Cada mes paga $ 200 al capital más el interés mensual del balance pendiente.
¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que está pagando el préstamo?
El 1% de 5000 es 50, la sucesión de pagos es
250, 248, 246, …, 202
Estos forman una PA con a = 250 y d = – 2. dado que $ 200 del capital se paga cada mes, el
número total es 2
5
200
5000
=
=
n , por lo tanto, el último término es:
25
25
25
24
250 24( 2)
202
n
a a a d
a
a
= = +
= + −
=
El total está dado por la suma de los 25 términos es:
( ) 5650
202
250
2
25
=
+
=
S
El interés pagado es $ 5650
(Pago de préstamo) Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $ 5800
en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder
al anterior por $ 20. si el primer pago es de $ 100, calcular cuántos pagos deberá efectuar con
objeto de finiquitar la deuda.
Dado que el primer pago es de $ 100 y cada pago subsiguiente se incrementa en $ 20, los pagos
(en dólares) son.
100, 120, 140, 160, …

18
Estos números forman una PA con a = 100 y d = 20. Indiquemos con n el número de pagos
necesarios con objeto de pagar la deuda de $ 5800. entonces, la suma de los n términos de esta
sucesión debe ser igual a 5800, esto es, S = 5800.
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
29
20
0
)
29
(
)
20
(
0
580
9
0
5800
90
10
90
10
5800
180
20
2
5800
20
1
200
2
5800
1
2
2
2
2
2
−
=
=
=
+
−
=
−
+
=
−
+
+
=
+
=
−
+
=
−
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
n
a
n
Sn
El valor negativo se desecha, en consecuencia, tiene que saldar en 20 pagos la deuda.
1.4.2 Actividad de aprendizaje de PA
Encuentre los términos indicados de las sucesiones dadas
1. Términos décimos y décimos quintos de 3, 7, 11, 15, 19, …
2. Términos séptimo y n – ésimo de 5, 3, 1, – 1, …
3. El r – ésimo término de 72, 70, 68, 66, …
4. El n – ésimo término de ...
,
5
,
4
,
4
,
4 3
2
3
1
5. Si los términos tercero y séptimo de una PA son 18 y 30, respectivamente, encuentre el
décimo quinto término.
6. Si los términos quinto y décimo de una PA son 38 y 23, respectivamente, encuentre el n –
ésimo.
7. ¿Qué término de la sucesión 5, 14, 23, 32, … es 239?
8. El último término de la sucesión 20, 18, 16, … es – 4. calcule el número de términos de esta
sucesión.
Determine la suma indicada de las progresiones siguientes

19
9. 1 + 4 + 7 + 10 + …; 30 términos
10. 70 + 68 + 66 + 64 + …; 15 términos
11. ¿Cuántos términos de la sucesión 9, 12, 15, … es necesario considerar de modo que la suma
sea 306?
12. En una PA, si 7 veces el séptimo término es igual a 11 veces el décimo primer término,
demuestre que el término décimo octavo es cero
13. (Depreciación) Una compañía manufacturera instala una máquina a un costo de $ 1500. al
cabo de 9 años, la máquina tiene un valor de $ 420. suponiendo que la depreciación anual
es constante, calcule la depreciación anual.
14. (Pago de préstamos) Los pagos mensuales de Estaban al banco ocasionados por un préstamo
forman una PA. Si el octavo y décimo quinto pagos son de $ 153 y $ 181, respectivamente,
¿cuál será su vigésimo pago?
15. (Pago de préstamos) En el ejercicio anterior, suponga que Estaban pagó un total de $ 5490
al banco. a) Calcule el número de pagos que efectuó al banco. b) ¿De cuánto fue su último
pago al banco?
16. (Interés simple) Una persona deposita $ 50 al inicio de cada mes en una cuenta de ahorros
en la cual el interés permitido es de ½ % al mes sobre l balance mensual. Determine el
balance de la cuenta al término del segundo año, calculando a interés simple.
17. (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $ 1800 en cierto
número de pagos, cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el previo en
$ 10. si su quinto pago es de $ 200, ¿cuántos pagos serán necesarios de modo que salde la
deuda?
18. (Planes de ahorro) Un sujeto invierte $ 200 en el fondo de una cooperativa que paga un
interés simple del 10% al año. ¿cuál es el valor de la inversión: a) después de n años, b) al
cabo de 5 años.

20
1.4.3 Progresión Geométrica
Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se deduce del anterior multiplicándolo
o dividiéndolo por una cantidad constante llamada razón r.
Se aplican las siguientes fórmulas para encontrar el último término: 1
n
n
a ar −
=
Y para la suma:
1
1
1
1


r
Sí
r
a
ar
S
r
Sí
r
ar
a
S
n
n
−
−
=
−
−
=
Ejemplo
Encontrar el término 10 y la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica:
1000, 1500, 2250, 3375, ...
10 1
9
10
1500
1,5
1000
1000(1,5)
1000 (1,5)
1000 *38,443359
38443,359
1000(1,5) 1000
1,5 1
56665,039
0,5
113330,078
n
n
n
n
n
n
n
r
a
a
a
a
S
S
S
−
= =
=
=
=
=
−
=
−
=
=
(Depreciación) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo
original fue de $ 10000 y el valor de desecho es de $ 3000. encuentre la vida efectiva, esto es,
el número de años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho.
Solución:
Primer año: ( ) ( )
10000
5
4
10000
100
80
=

21
Segundo año ( ) ( )
10000
5
4
10000
5
4
5
4
2






=
de o sea
...
;
5
4
10000
;
5
4
10000
;
5
4
10000
3
2


















1
n
n
a ar −
=
n
a =
n
n






=












−
5
4
10000
5
4
5
4
10000
1
Haciendo n = 1, 2, 3, …, se obtiene:
n 1 2 3 4 5 6
an
8000 6400 5120 4096 3276,8 2621,44
En consecuencia, observen que después de 5 años el valor de la máquina es un poco más grande
que el valor de desecho de $ 3000, pero después de 6 años, su valor está por debajo del valor de
desecho. La vida útil de la máquina es de 6 años.
(Planes de ahorro) Cada año una persona invierte $ 1000 en un plan de ahorros del cual percibe
intereses a una tasa fija del 8% anual. ¿Cuál es el valor de este plan de ahorros al décimo
aniversario de la primera inversión? (incluya el pago actual).
Solución: 08
,
0
100
8
=
=
i

En consecuencia, el valor es de 1000 (1 + i )10
Los segundos $ 1000 se invierten 1 año más tarde; por lo que permanecerán en el plan durante 9
años. Por lo tanto, su valor se incrementa a $ 1000 (1,08)9
, los terceros $ 1000 estarán en el plan
8 años y tienen el valor de $ 1000 (1,08)8
. continuamos de esta manera hasta el décimo pago
de $ 1000, el cual se hizo 9 años después del primero. Su valor 1 año después es $ 1000 (1,08).

22
Así que el valor total del plan al cumplir su décimo aniversario se obtiene sumando estas
cantidades con el pago actual de $ 1000.
S = 1000 (1,08)10
+ 1000 (1,08)9
+ 1000 (1,08)8
+ … + 1000 (1,08) + 1000
Pero en orden inverso esta es una PG con a = 1000, r = 1,08 y n = 11.
( )
645
16
$
1
08
,
1
1
08
,
1
1000
11
=
−
−
=
S
S
La suma de una PG infinita está dada por 1
1
,
1

 r
donde
r
a
S −
−
=
Ejemplo. Calcule la suma de la sucesión infinita: ...
27
1
9
1
3
1
1 +
−
+
−
4
3
3
1
1
1
=






−
−
=
S
1.4.4 Actividad de aprendizaje de PG
1. Hallar el noveno término de la sucesión 3, 6, 12, 24, …
2. El sexto término de la sucesión ...
,
9
,
3
3
,
3
,
3
¿Qué lugar ocupa en la sucesión el último término dado?
3. 96, 48, 24, 12, …;
16
3
4. 18, 12, 8, …;
729
512
5. El segundo término de una PG es 24 y el quinto es 81. determine la sucesión y el décimo
término
Calcule la suma:
6. 2 + 6 + 18 + 54 + …; 12 términos.
7. os
tér min
10
;
...
9
3
3
3
3 +
−
+
−

23
8.
...
8
1
4
1
2
1
1 +
+
+
+
9.
...
2
7
1
9
1
3
1
1 +
−
+
−
10. ...
2
2
1
2
1
2 −
+
−
11. 5; 0,5; 0,05; 0,005; …
12. (1 + 0,50 )0
, ( 1 + 0,50 )– 1
, ( 1 + 0,50 )– 2
, …
13. (Depreciación) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 10% de su valor. El
costo original fue de $ 10000 y el valor de desecho de $ 5314,41. calcule la vida efectiva
de la máquina.
14. (Depreciación)Unamáquinasecompróen$10000.ladepreciaciónsecalculareduciendo
el valor en 8% durante los primeros 2 años y 10% para los siguientes 5 años. Determine
el valor después de un periodo de 7 años.
15. (Interés Compuesto) Si $ 2000 se invierte en una cuenta de ahorros a un interés del 8%
capitalizable anualmente, calcule su valor después de 5 años.
16. (Interés compuesto) En el ejercicio anterior, la tasa de interés decrece después de 6 años
a un 6% anual. Calcule el valor de la inversión después de 6 años más.
17. (Interés con capitalizaciones mensuales) Suponga que $ 4000 se invierten a plazo fijo
a una tasa de interés nominal anual del 6% con capitalizaciones mensuales. Calcule su
valor: a) después de un año, b) después de 4 años.
18. (Plan de ahorros) Cada año María invierte $ 2000 en una cuenta de ahorros que gana
un interés anual del 10%. Calcule el valor de su inversión al cumplirse el vigésimo
aniversario de su primer depósito. (incluya el pago actual).
19. (Depreciación) Un automóvil se compró por $ 8300. La depreciación se calcula
disminuyendo el valor en 10% para los primeros 3 años y 15% para los siguientes 3
años. Encuentre el valor del automóvil después de un periodo de 6 años.

24

25
INTERÉS SIMPLE
Sumario
2.1. Definiciones de Interés e Interés Simple
2.2. Valor Futuro, Valor Actual, Tasa de Interés y Tiempo
2.3. Descuento bancario o simple
2.4. Ecuaciones equivalentes
Resultados de aprendizaje de la unidad
• Conceptualizan los elementos del Interés Simple
• Determinan el Monto, Valor presente e Interés a problemas relacionados financieramente
• Solucionan problemas de ecuaciones equivalentes a Interés Simple
Introducción
La Matemática Financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en
temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, con sus resultados financieros permite
tomar decisiones en forma rápida y acertada. Así mismo, es la base de casi todo análisis de
proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera
en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo.
En esta unidad de aprendizaje, se analizarán los conceptos de las variables que intervienen en el
cálculo del interés simple, valor futuro, valor presente, tasa de interés, tiempo real y aproximado
con sus respectivas fórmulas y aplicaciones a problemas financieros.
2.1. Interés.
(CISSELL Robert, Matemática Financiera, 2007) “Es el cálculo de intereses que se efectúa
únicamente sobre el capital inicial”.
(Ayres Frank, 2002) manifiesta: “Interés es la cantidad pagado por el uso del dinero obtenido en

26
préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital”.
Cuando una persona pide dinero en préstamo, el que otorga el préstamo, o prestamista por
entregarlo debe recibir un beneficio; a dicho beneficio se le llama interés. (Enciclopedia
Didáctica de las Matemáticas)
Es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo. (Portus
Lincoyan, 1997).
(Jesús Rodriguez & Alberto Pierdant, 2007) “El interés también se puede considerar como el
rendimiento que se obtiene cuando:
• Se invierte dinero en forma productiva.
• Se consigue o se otorga algún préstamo”.
• Se adquiere bienes o servicios en operaciones crediticias.
Las definiciones de los autores señalados podemos decir que el interés, cuando se trata de
dinero, es la cantidad que se paga por el alquiler de dinero ajeno.
2.1.1 Interés Simple
Se emplea casi siempre en pago préstamos de dinero a corto y mediano plazo o se gana en
inversiones; se define como la operación financiera que se paga al final de cada periodo (tiempo)
y no se acumula al capital, es decir, los intereses no generan intereses.
Está determinada por el producto de tres variables que son: Cantidad de Dinero; Tasa de interés;
tiempo de duración y su fórmula es:
I = C*i*t
Nomenclatura
C = P = A = Co
= VA = VP, son diferentes representaciones, según algunos autores y representa
el capital inicial, llamado también principal y es la cantidad de dinero que se presta o invierte al
inicio de una transacción (es el valor presente).
i = r; Representa la tasa de interés o redito y es el tanto por ciento que se paga por cada unidad
monetaria y siempre se da anualmente, salvo que se diga lo contrario (meses, días, etc.), y es
reconocido en los problemas por símbolo de %.
t = n; Representa el número de periodos (años, meses, días, etc.), que permanece prestado o

27
invertido el capital.
Observaciones:
• La tasa de interés se debe usar en forma proporcional y / o decimal; es decir, sin el
símbolo del porcentaje.
• La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de tiempo, Si la
tasa de interés no se específica la unidad de tiempo, entonces de forma anual.
Entre las tasas de interés más empleadas se hallan la anual (1), semestral (2), cuatrimestral (3),
trimestral (4), bimestral (6), mensual (12) o diaria (365, 366 o comercial 360).
Ejemplos.
• Si la tasa es anual y el tiempo son 4 años; t = 4
• Si la tasa es anual y el tiempo son 8 meses; t =
8
12
 
 
 
• Si la tasa es mensual y el tiempo son 3 años; t = (12*3)
• Si la tasa es trimestral y el tiempo son 6 años; t = 4 * 6
• Si la tasa es anual y el tiempo son 7 cuatrimestres; t =
7
3
 
 
 
Como se puede apreciar, la tasa de interés siempre debe estar en la misma relación del tiempo;
generalmente, si la tasa es anual, el tiempo estará dividido en 360 días; si es semestral 180 días;
si es trimestral 90 días; si es mensual, 30 días y si es diario un día.
Es necesario relacionar la tasa de interés – tiempo para evitar errores de cálculo.

28
Ejemplos
• Calcular el interés que gana un capital de $3500 al 14% de interés anual durante 180
días:
C = $3500
i = 14% = 0,14 anual
t = 180 días = 180
360
I = C.i.t
180
3500*0,14*
360
$245
I
I
=
=
• Calcular el interés que gana un capital de $1500 al 8% de interés semestral durante 180
días.
C = $1500
i = 8% = 0,08 semestral
t = 180 días = 180
180
I = C.i.t
180
1500*0,08*
180
$120
I
I
=
=
• Calcular el interés que gana un capital de $2500 al 6% de interés trimestral durante 200
días.
C = $2500
i = 6% = 0,06 trimestral
t = 200 días = 200
90
I = C.i.t
200
2500*0,06*
90
$333,33
I
I
=
=
• Calcular el interés que gana un capital de $3800 al 4% de interés mensual durante 150
días.
C = $3800
i = 4% = 0,04 mensual
t = 150 días = 150
30
I = C.i.t
150
3800*0,04*
30
$760
I
I
=
=

29
• Calcular el interés que gana un capital de $300 al 0,5% de interés diario durante 90 días
C = $300
i = 0,5% = 0,005 diario
t = 90 días
I = C.i.t
300*0,005*90
$135
I
I
=
=
2.1.2. Tasa de interés
En esta definición se considera como el precio que se llega a un acuerdo en pagar por
el uso del dinero.
I = C*i*t
Por transposición de términos en la ecuación literal
* *
*
C i t I
I
i
C t
=
=
Tasa de interés activa son las que cobran los bancos por diferentes tipos de crédito, a los
usuarios de estos.
Tasa de interés pasiva son las que pagan los bancos a los ahorradores e inversionistas.
Ejemplos
• Una persona invierte $1000, después de un año recibe la cantidad de 1300 por su
inversión. Calcular la tasa de interés
Solución:
Primer lugar necesitamos saber el Interés, y se obtiene de la resta del Valor Futuro con el Valor
presente. Luego aplicamos la fórmula de la tasa de interés.

30
C = $300
i = 0,5% = 0,005 diario
t = 90 días
I VF C
= −
*
I
i
C t
=
1300 1000
300
300
1000*1
300
1000
0,3
0,3*100 30%
I
I
i
i
i anual
i i anual
= −
=
=
=
=
= →
=
2.1.3. Plazo o tiempo; real y aproximado
Fórmula para calcular el tiempo (t, n)
I = C*i*t
Por transposición de términos en la ecuación literal
* *
*i
C i t I
I
t
C
=
=
Ejemplo
Una deuda de $580 se liquidó con un cheque de $598. Si la tasa de interés fue del 7,5%. ¿Cuánto
tiempo se tubo prestado el dinero?
C = $300
i = 0,5% = 0,005 diario
t = 90 días
*i
I
t
C
=
598 580
18
18
580*0,075
0,41
I
I
t
t años
= −
=
=
=
Como la tasa es anual, el tiempo también es parte de un año.

31
Para calcular el interés simple es necesario conocer el número de días en el año este puede
variar; el cálculo de días para encontrar el interés ganado puede realizarse en forma aproximada
o comercial y en forma exacta o real.
En forma aproximada o comercial: Con el objeto de facilitar los cálculos del tiempo se
acostumbra suponer el año de 360 días, dividido para doce meses de 30 días cada uno; esto se
denomina cálculo aproximado o comercial del tiempo.
En forma Exacta o Real: Se toma como referencia el número de días calendario, es decir meses
de 30 y 31 días, año de 365 ó 366 días, según corresponda.
Ejemplo:
Calcular el tiempo aproximado y real del 12 de marzo al 18 de junio
Tiempo Aproximado o Comercial Tiempo Real o Exacto
marzo 18 días
abril 30 días
mayo 30 días
junio 18 días
Total: 96 días
marzo 19 días
abril 30 días
mayo 31 días
junio 18 días
Total: 98 días
Actividades de aprendizaje
Encuentre el número de días en forma comercial y Exacto
• 13 de marzo y 28 septiembre
• 12 de octubre y 23 de febrero
• 15 de junio al 25 de diciembre
• 1 enero a 10 de noviembre del 2021
• 11 julio por 9 meses
• 4 marzo por 75 días
• 3 julio a 150 días

32
2.2. Valor futuro o monto (VF, M, S)
El monto a interés simple es el aumento del capital original más los intereses generados en el
transcurso del tiempo. Lo representamos con la letra M, VF, S.
Por definición se tiene:
VF = C + I
Sustituyendo la fórmula del interés se tiene:
* *
VF C C i t
= +
El capital es un factor común, entonces la fórmula para el cálculo del Monto cuando no se
conoce el Interés es:
( )
* 1 *
VF C i t
= +
Y cuando se conoce el interés:
VF C I
C I VF
I VF C
= +
+ =
= −
Ejemplos
• Calcular el Valor Futuro de un préstamo de $13000; para consumo con el 17,30% anual
de interés simple, durante dos años:
VA = 13000
i = 17,3% = 0,173
t = 2 años
( )
* 1 *
VF VA i t
= + ( )
13000* 1 0,173*2
$17498
M
M
= +
=
• ¿Qué monto hay que pagar a una institución financiera por un crédito a corto plazo
educativo de $6500, con el 9,16% anual, después de 1 año y 7 meses?
VA = 6500
i = 9,16% = 0,0916
t = 19 meses
* 1 *
12
t
VF VA i
 
= +
 
 
19
6500* 1 0,0916*
12
$7442,72
M
M
 
= +
 
 
=

33
• Calcular el monto de un capital de $1500 al 2% mensual durante 120 días.
VA = 1500
i = 2% = 0,02
t = 120
30
( )
* 1 *
VF VA i t
= + 120
1500* 1 0,02*
30
$1620
M
M
 
= +
 
 
=
Para saber el interés será:
1620 1500
120
I VF VA
I
I
= −
= −
=
• Calcular el monto de un capital de $4000 al 12% anual, del 12 de marzo al 18 de junio
del mismo año, con el tiempo exacto y comercial.
Cálculo de las fechas:
Meses Comercial Real
Marzo (31 días) 18 19
Abril (30 días) 30 30
Mayo (31 días) 30 31
Junio (30 días) 18 18
Total 96 98
Cálculo del valor Futuro o Monto:
Con el tiempo Real:
VA = 4000
i = 12% = 0,12
t = 98
365
( )
* 1 *
VF VA i t
= + 98
4000* 1 0,12*
365
$4128,88
M
M
 
= +
 
 
=

34
Con el tiempo Comercial:
VA = 4000
i = 12% = 0,12
t = 98
365
( )
* 1 *
VF VA i t
= + 96
4000* 1 0,12*
360
$4128
M
M
 
= +
 
 
=
Actividad de Aprendizaje
• Una persona toma un préstamo de un banco de la localidad para continuar con sus
estudios de posgrado de $18000, por 3 años que dura los estudios, cuanto tendrá que
pagar al término del tercer año, si el banco cobra el 7,5% anual.
• Un profesor obtiene un préstamo de $5000, por el lapso de 8 meses al 4,5% mensual,
calcular: El Valor Futuro y el Interés que pagaría el profesor al término de la fecha.
• Un comerciante obtiene un préstamo del banco de la localidad por $20600, 11,83%
anual en fecha 18 de junio hasta el 18 de noviembre del mismo año. Se pide calcular:
a. El monto y el interés con tiempo aproximado.
b. El monto y el interés con tiempo real.
c. Algunas reflexiones sobre los resultados.
• Determine las cantidades que faltan:
VA i t I VF
$10900 14,5% 2 años 6 meses
$26000 15,07 6 meses 20 días
$6000 12,6% 32 semanas
$12300 6,35% 1 año 3 meses
10 días
$13300 9,30% 1 año 3 meses
10 días
$12800 11,56% 1 año 3 meses
2.2.2. Valor Actual, valor presente o Capital
Valor actual, valor presente de un documento o deuda es el capital calculado en una fecha
anterior a la del vencimiento del documento, deuda o pago. Se representa por la letra C, VA o
VP
Al calcular el Valor Presente de una cantidad, se está calculando el capital que se necesita al día
de hoy para llegar a una cantidad específica en el futuro, la cual ha de recibirse o pagarse en un

35
periodo determinado.
Deducción de la fórmula del valor actual. Se deduce de la fórmula del monto a interés simple,
VF = VA*(1 + i * t), de la cual se despeja VA:
1 *
M
C VA
i t
= =
+
Fórmula del valor actual a interés simple
El valor actual puede calcularse con tasa de interés anual, semestral, mensual, etc., y con el
tiempo dado en días, meses, años, etc. En el cálculo se determina siempre el tiempo que falta
para el vencimiento del documento, deuda o pago por cuanto se considera el monto final del
cálculo.
Ejemplo.
• De un documento de $ 10000, con vencimiento en 180 días, se desea conocer su valor
actual, 60 días antes de su vencimiento, considerando una tasa de interés del 18% anual.
10000
9708,74
60
1 0.18*
360
C
= =
+
Comprobación:
60
9708,74* 1 0,18* $10000
360
M
 
= + =
 
 
Actividades de Aprendizaje
• Un documento de $15000, vence en 270. Calcular el valor actual 120 días antes de su
vencimiento considerando una tasa de interés del 8% anual.
• Establecer el valor actual, 80 días antes de su vencimiento, de un documento de $18300
que vence en 150 días, considerando una tasa de interés de 3% mensual.
• Un documento de $35000 fue suscrito el 24marzo con vencimiento de 150 días.
Establecer su valor actual al 15 de julio considerando una tasa de interés del 1,75%
mensual.
Desventajas del interés simple:
• Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitada.
• No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente, el valor final

36
no es representativo del valor inicial.
• No capitaliza los intereses no pagados en los periodos anteriores y, por consiguiente,
pierden poder adquisitivo.
• Una Srta. Estudiante deposita $450 en una cuenta bancaria que ofrece un interés del
1,3% mensual. ¿Cuánto recibirá de intereses al segundo mes del depósito?
• ¿Cuánto debe pagar dentro de 1 año 3 meses por concepto de intereses una compañía
que adeuda $550000, se le cobra el 4,3% simple bimestral?
• Encuentre el interés simple real y aproximado de un préstamo de $8500 para pagar en
102 días, con un interés anual simple del 2,8%
• ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 34% anual.
• Un comerciante obtiene un préstamo de $4000 y paga 4500 después de 7 meses. ¿Qué
tasa de interés simple le cobraron?
• ¿Qué cantidad debe pagar un comerciante por un crédito de $3800, dentro de 180 días
con un interés simple del 15%?
• Una persona recibe de liquidación $45000, deposita en un fondo de inversiones bursátiles
que le garantizan un rendimiento de 2,5% mensual. Si la persona retira su depósito 45
días después. ¿Qué cantidad es la que recibe?
• Una persona deposita su liquidación $25000 entre el 18 de marzo hasta el 18 de
noviembre, recibe una tasa de interés simple del 12% anual. Calcular:
o Interés y Monto con Ordinario con tiempo exacto.
o Interés y Monto con Ordinario con el tiempo aproximado.
o Interés y Monto con Real con tiempo exacto.
o Interés y Monto con Real con tiempo aproximado.
• Un documento de $5000, vence en 260. Calcular el valor actual 110 días antes de su
vencimiento considerando una tasa de interés del 5,8% anual.
• Establecer el valor actual, 90 días antes de su vencimiento, de un documento de $18000
que vence en 270 días, considerando una tasa de interés de 3,3% mensual.
• Un documento de $3000 fue suscrito el 24 marzo con vencimiento de 180 días. Establecer
su valor actual al 15 de julio considerando una tasa de interés del 7,5% mensual.
• Determine las cantidades que faltan en las variables:
VA i t I VF
$8300 12% 9 meses
$10300 9% 11 meses
$10300 7 meses $500
$300 4,5% 30

37
$15000 3 meses $15800
$3000 6,25% $3100
8% 1,5 años $262
7,5% 8 meses $1200
2.3. Descuento Simple
Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un
capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de
la ley financiera de descuento simple. Es una inversión inversa a la de capitalización.
(BLOGS udima, 2021).
Es la rebaja que se hace a una cantidad que se paga antes de su vencimiento.
Es una cantidad que tiene un vencimiento a un plazo futuro le corresponde un valor
actual, la diferencia de ambos se llama descuento.
2.3.1 Descuento Comercial o Bancario simple
(Jesús Rodriguez & Alberto Pierdant, 2007) El descuento comercial o bancario o simplemente
descuento, consiste en:
• Cobrar el interés cuando se realiza el préstamo; es decir, se cobran los intereses por
anticipado y no hasta la fecha de vencimiento.
• El cobro del interés se calcula considerando el valor final del documento o valor futuro
del capital.
Descuento (D)
• Es la cantidad descontada, en cierto tiempo (t o n)
• Con una tasa de descuento simple (d)
• El monto o valor final del documento es la cantidad solicitada en el préstamo, pero ésta
nunca se recibe.
Se calcula sobre el valor nominal, consiste en calcular el interés entre el vencimiento de la
deuda y la fecha de descuento a cierta tasa sobre el valor nominal, su fórmula es:
* *
c
D VF d t
=
Dc = Descuento comercial.
VF = Valor nominal o valor futuro.
d = i = Tasa de descuento o de interés que se aplica en la operación.

38
t = n= Tiempo por el cual se aplica el descuento. Es el periodo que falta para poder cobrar el
valor nominal.
Realizando las transposiciones respectivas de la ecuación se tiene:
Fórmula para el valor futuro o monto
* *
*
c
c
D VF d t
D
VF
d t
=
=
Fórmula para el tiempo
* *
*
c
c
D VF d t
D
t
d VF
=
=
Fórmula para el descuento
* *
*
c
c
D VF d t
D
d
t VF
=
=
Para obtener el valor actual o valor descontado (VA o C), se encuentra la diferencia entre el
valor nominal o futuro menso el descuento (Dc)
c
VA VF D
= −
Si realizamos la sustitución de la fórmula del Dc, se obtiene:
( )
* *
* 1 *
VA VF VF d t
VA VF d t
= −
= −
Ejemplos
• ¿Cuál es el descuento que se hace por un préstamo de $50000 para pagarse con un plazo
de 6 meses, con una tasa de descuento simple de 2,4% anual.

39
DATOS FÓRMULAS SOLUCIÓN
VF = 50000
t = 6 meses
d = 2,4% = 0,024
d = 0,024/12
* *
c
D VF d t
=
c
VA VF D
= −
0,024
50000*6*
12
600
c
D
D
=
=
50000 600
49400
VA
VA
= −
=
Valor efectivo, líquido o
actual
2.3.2. Descuento racional
(Jesús Rodriguez & Alberto Pierdant, 2007) El descuento racional es de menor uso si se
le compara con respecto al descuento comercial. Siempre debe ser llamado por su nombre
completo: descuento racional, porque si se le dice descuento, puede confundirse con descuento
comercial.
El descuento racional se obtiene con base en el capital del valor nominal del documento en el
momento de descontarlo, y para calcularlo, se emplea la fórmula de interés simple. La cantidad
que se descuenta es menor en el descuento racional que en el descuento comercial y su fórmula
es:
Dr VF VA
= −
El descuento real o justo puede considerarse como la diferencia entre el valor nominal y su
valor actual.
1 *
VF
Dr VF
i t
= −
+
Extrayendo el factor común que es en este caso VF
1
* 1
1 *
Dr VF
i t
 
= −
 
+
 
Ejemplo
Calcular el descuento racional de un pagaré de $5000, 40 días antes de su fecha de vencimiento,
la tasa de descuento es 12% anual.

40
Dr = ?
VF = $5000
i = 12% = 0,12 anual
t = 40 días 40
360
1
* 1
1 *
Dr VF
i t
 
= −
 
+
 
1
5000* 1
40
1 0,12*
360
65,79
Dr
Dr
 
 
= −
 
 
+
 
≈
1) Una persona pidió $7000 a una cooperativa de la localidad, que le descontó por
adelantado el 7,2%; dicho préstamo fue concedido a un año. Determine:
a) Cuánto recibió esta persona de la Cooperativa.
b) Cuánto le descontó la Cooperativa
c) Cuál fue la tasa de interés que cobró la cooperativa
d) Cuánto necesita pedir esta persona para que la cooperativa le de lo que pidió
2) Alejandro pidió $5000 a un Banco de la localidad, quien cobró el 6% de interés por
adelantado a 8 meses. Determinar:
a) El dinero que recibió Alejandro del Banco
b) La cantidad descontada por el banco
c) La tasa real cobrada por el banco
3) Jorge solicitó un préstamo a un Banco de $ 9000 a 3 meses. Si la tasa de interés es del
9,6% y los intereses son cobrados por anticipado, determinar:
a) La cantidad que recibió del Banco
b) La tasa real cobrada por el Banco
c) La cantidad que cobró el banco por adelantado
4) Una persona necesita $20000. Si el Banco cobra el 7,8% de interés por adelantado,
¿Qué cantidad necesita pedir para que le den los $ 20000 si el plazo para liquidar la
deuda es de 8 meses?
5) Una persona firmó un pagaré por $10000 con una tasa de interés del 9,6% con
capitalización trimestral a 2 años. Dicho documento fue vendido a un banco 6 meses
antes de su vencimiento; con una tasa de descuento del 9% pagado por adelantado,
calcular.
a) El monto del pagaré a su vencimiento
b) La ganancia del banco por la compra del documento
c) Cuánto perdió la persona que compró del documento
d) Cuánto pago el Banco por el documento
e) Cuál es el valor presente del documento 6 meses antes de su vencimiento
6) Cuál fue la tasa de descuento que pagó Miguel si él pidió al banco $25000 para ser
pagado en 4 meses, recibiendo un pagaré por $18000 por concepto del préstamo.
7) Cuál fue el tiempo pactado en la transacción, si un cliente recibió del banco $12000 y

41
había solicitado $28000, si la tasa de descuento fue del 7,2%.
8) Un comerciante tiene que pagar $5000 y $ 12000, con vencimiento a dos meses
y cinco meses, son descontadas a una tasa de interés simple del 12% y 15% anual
respectivamente. Calcule el importe total del descuento simple racional.
9) Faltando 55 días para su vencimiento, se descuenta una factura de $ 25345. Halle el
importe del descuento racional simple si la tasa de interés es del 9,5% anual.
10) En el ejercicio anterior realizar faltando 30 días.
2.4. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Simple
(Jesús Rodriguez & Alberto Pierdant, 2007) La ecuación de valor es una igualdad, que se
emplea en operaciones financieras, cuando existen dos o más transacciones diferentes y se
desea cambiar una o algunas de las formas de liquidar las obligaciones contraídas mediante
pagos y fechas diferentes a las originales.
Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor con una operación única,
es necesario:
• Trasladar las obligaciones originales a una sola fecha denominada fecha focal, la cual
es elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones.
• En la fecha focal todas las operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo
resultado económico y son equivalentes en valor a las obligaciones originales.
• Si la ecuación de valor es equivalente está bien planteada, será básica para determinar
cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Se recomienda
construir una gráfica de valor-tiempo de la siguiente manera:
• Trazar una línea horizontal
• Ubicar la fecha focal en la línea valor-tiempo,
La fecha focal está determinada en la redacción de los problemas de interés
simple, ya que, si se deja la alternativa a cada persona para seleccionar la fecha
focal a su conveniencia, el resultado puede variar un poco.
• En la línea de valor-tiempo, fijar las fechas de los préstamos (o deudas) y los
pagos.
• El cero representa siempre el día de hoy.
• Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte
superior de la línea de valor-tiempo.
• Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valor-tiempo.
• Unir con una flecha las operaciones d adeudo con la fecha focal y también las
operaciones de pago.

42
Ejemplos:
Estos ejemplos son tomados del libro de Matemática Financieras Teoría y práctica de Abraham
Hernández Hernández y adaptado al medio
• Un empresario tiene las siguientes obligaciones al día de hoy:
• Una primera deuda por$200000 pedida a 5 años, con una tasa de interés del
7,2% y que vence el día de hoy.
• Una segunda deuda por $100000 pedida a 2 años, con una tasa de interés del 6%
y que vence dentro de 12 meses.
• Una tercera deuda por $75000 pedida a 3 años, con una tasa de interés del 8% y
que vence dentro de 7 meses, y
• Una cuarta deuda por $50000 pedida a 2 años, con una tasa de interés del 7,4 y
que vence dentro de 9 meses.
El empresario decide negociar sus obligaciones, para lo cual llega a un acuerdo con su acreedor
con un rendimiento en las transacciones del 9%; Hará 3 pagos: el primero por $300000 el día
de hoy, el segundo por $800000 dentro de 6 meses y el saldo dentro de 12 meses. Empleando la
fecha focal dentro de 12 meses, calcular el importe del saldo.
Solución:
Primer Paso: Calcular el monto de cada una de las obligaciones a su vencimiento.
( )
* 1 *
VF VA i t
= +
Deuda 1:
7,2
* 1 *5
100
272000
200000
VF
VF
 
= +
 
 
=
Vence Hoy

43
Deuda 2:
6
* 1 *2
100
112000
100000
VF
VF
 
= +
 
 
=
Vence 12 meses
Deuda 3:
8
75 * 1 *3
100
93000
000
VF
VF
 
= +
 
 
=
Vence 7 meses
Deuda 4:
7,4
50 * 1 *2
100
57400
000
VF
VF
 
= +
 
 
=
Vence 9 meses
Paso 2: Representar en un diagrama de tiempo que contemple las fechas de vencimiento,
colocando sobre los montos en el mes que vencen y colocar debajo de la línea de tiempo los
pagos parciales, si los hay.
Paso 3: Plantear la ecuación
Suma de Pagos = Suma de Obligaciones
Con i = 9%

44
9 12 9 6
300000* 1 * 800000* 1 *
100 12 100 12
9 12 9 5 9 3
272000* 1 * 93000* 1 * 57400* 1 * 112000
100 12 100 12 100 12
x
   
   
+ + + + ≡
   
   
   
   
     
     
≡ + + + + + +
     
     
     
     
327000 80600 476000 96487,5 58691,5 112000
x
+ + ≡ + + +
407600 743179
x
+ ≡
Por transposición de términos
743179 407600
335579
x
x
≡ −
=
Saldo a pagar
• En el problema anterior en empresario propone 4 pagos iguales, el primero dentro de 3
meses, el segundo dentro de 6, el tercero dentro de 9 y el último dentro de 12, calcular
el importe de cada uno.
9 9 9 6 9 3
* 1 * * 1 * * 1 *
100 12 100 12 100 12
9 12 9 5 9 3
272000* 1 * 93000* 1 * 57400* 1 * 112000
100 12 100 12 100 12
x x x x
     
     
+ + + + + + ≡
     
     
     
     
     
     
≡ + + + + + +
     
     
     
     

45
1,0675 1,045 1,0225 476000 96487,5 58691,5 112000
4,135 743179
743179
4,135
179728,9
x x x x
x
x
x
+ + + ≡ + + +
≡
=
=
Cada pago
• En el mismo ejercicio, el deudor desea pagar dentro de 12 meses
• Un empresario tiene las siguientes obligaciones: la primera por $50000 a 5 años. Con
una tasa de interés del 5,2% y que vence dentro de 10 meses; la segunda por $75000 al
4,7% a 3 años que vence dentro de 7 meses; la tercera por $120000 a 4 años con una tasa
de interés de 6,5% y que vence dentro d 5 meses y la cuarta por $150000 a 2 años con
una tasa del 8% a 1 mes. Desea liquidar sus deudas mediante las siguientes condiciones,
con una tasa de rendimiento del 6,5%.
• Mediante 4 pagos iguales, el primero hoy mismo, el segundo en tres meses, el
tercero en cuarto y el último en ocho, tomando como fecha focal el sexto mes.
• En tres pagos iguales, el primero el día de hoy, el segundo en tres meses y el
último en cuatro, tomando como hecha focal en cuarto mes.
• Un solo pago el día de hoy, siendo la fecha focal el día de hoy.
• Una persona tiene las siguientes obligaciones:
• Una primera deuda por $50000 a 4 años, con una tasa de interés del 3,5% y que
vence dentro de 12 meses.
• Una segunda deuda por $100000, pedida a 5 años, con una tasa de interés del
2,5% y que vence dentro de 9 meses.
• Una tercera deuda por $80000 al 3%, pedida a 6 años y que vence dentro de 6
meses.

46
• Una cuarta deuda por $150000 a 8 años, con una tasa de interés del 1,8%, que
vence dentro de 3 meses.
• Una quinta deuda por $200000 sin interés y que vence el día de hoy.
Desea presentar los siguientes planes al acreedor, con un rendimiento de las transacciones del
4,8%.
• Con fecha focal el día de hoy, determinar el importe del pago.
• Si él decide liquidar su deuda mediante dos pagos iguales, el primero dentro de seis
meses y el segundo dentro de 12, con fecha focal dentro de 12 meses, determinar el
importe de cada pago.
• Si desea liquidar sus obligaciones mediante tres pagos iguales, el primero el día de
hoy, el segundo dentro de tres meses y el tercero dentro de cinco con fecha focal
dentro de cinco meses. Determine el importe de cada pago.
• Si liquida mediante un solo pago dentro de seis meses, con fecha focal dentro de seis
meses. Determinar el importe del pago.
• Mediante seis pagos iguales, cada dos meses, realizando el primero el día de hoy,
con fecha focal dentro de 10 meses. Determine el importe de cada pago.

47
INTERÉS COMPUESTO
Sumario
3.1. Conceptos básicos
3.2. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes
3.3. Monto, Valor Presente, tasa de interés y tiempo
3.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Resultados de Aprendizaje
• Conceptualizan el interés compuesto
• Determinan el Monto, Valor Presente, tasa de interés y tiempo en el interés compuesto
• Aplican la equivalencia entre la tasa nominal y efectiva
• Resuelven ecuaciones equivalentes con interés compuesto
• Aplican la función de Excel para el cálculo de los componentes del interés compuesto
Introducción
En esta unidad de aprendizaje, se comprenderá la diferencia existente entre el interés simple
y el interés compuesto; tasas de interés nominal, equivalente y efectiva en un periodo anual; y
que la mayoría de las operaciones financieras se realizan con interés compuesto con el fin de
que los intereses liquidados no entregados (en inversiones o créditos) entren a formar parte del
capital, y, por tanto, que, en periodos subsecuentes, también generarán intereses. Este fenómeno
se conoce con el nombre de capitalización de intereses y forma el interés compuesto.
Aprenderemos y aplicaremos el interés compuesto en el cálculo de capital, monto, intereses,
tasa de interés, tiempo, así en la restructuración de deudas.
3.1. Conceptos básicos
Se denomina interés compuesto en activos monetarios a aquel que va sumando al capital inicial
y sobre el que se van generando nuevos intereses. (Pedrosa, 2016).
El interés compuesto son las ganancias que generó una inversión en un periodo de tiempo,

48
este se acumula para aumentar el monto del capital de esta inversión para el siguiente periodo.
(Kueski, 2021)
(Mora Zambrano, 2010), expresa: “cuando se calcula interés compuesto el capital aumenta por
la adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los periodos a que se refiere la tasa.
Siempre que no se pague efectivamente el interés al final de cada uno de los periodos, si no que
se adiciona al capital, por lo mismo que los intereses se capitalizan.
(Ayres Frank, 2002), explica: “En aquellas transacciones que abarca un periodo largo de tiempo
a intervalos establecidos a el interés vencido es agregado al capital (por ejemplo, en las cuentas
de ahorro). En este caso, dicen que el interés es capitalizable o convertible en capital y, en
consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente durante la transacción”.
(Cissell Robert, “Matemática Financiera”, 1987), manifiesta: “El interés compuesto no es más
que el interés simple aplicado sucesivamente a un capital que crece a, medida que obtiene los
créditos del interés simple”.
Se puede concluir que:
• El capital inicial aumenta en cada periodo debido a que los intereses se van sumando.
• La tasa de interés se aplica sobre un capital que va variando.
• Los intereses son cada vez mayores.
El interés compuesto es una fórmula exponencial y en todas las fórmulas derivadas de ella
debemos operar únicamente con la tasa efectiva. La tasa periódica tiene la característica de
ser a la vez efectiva y nominal, ésta tasa es la que debemos utilizar en las fórmulas del interés
compuesto.
3.2. Tasas de Interés
En el interés compuesto hay dos tasas de interés. Tasa de interés Nominal y Tasa de Interés
Efectiva.
• Tasa de Interés Nominal: Es la tasa anual que capitaliza más de una vez al año.
La tasa Nominal equivale a la tasa capitalizable, se lo representa con j. El número de veces que

49
el interés se convierte en Capital se denomina Capitalización y lo simbolizamos con m.
Ejemplo
j = 15% N.M. Se lee: una tasa de del 15% nominal mensual, capitalizable o convertible
mensualmente. El intervalo durante el año se convierte 12 veces en capital: m = 12.
j = 18% N.T. Se lee: una tasa del 18% nominal trimestral, capitalizable o convertible
trimestralmente. El interés durante el año se convierte en cuatro veces en capital: m = 4
j = 18% N.B (nominal bimestral): m = 6
j = 18% N.D (nominal diaria): m = 360
• Tasa Efectiva: Es aquella que realmente opera sobre el capital en un periodo. El periodo
puede ser un año, un mes, un semestre, un trimestre, un bimestre, un día o una semana.
Ejemplo
Un banco nos concede un préstamo por consumo y nos cobra una tasa de interés del 16% N. T.
cuál es la tasa efectiva trimestral que nos cobra la institución financiera.
La tasa que nos cobra el banco es una tasa anual (nominal). Durante el año se convierte en
capital 4 veces (el año tiene 4 trimestres)
Para determinar cuál es la tasa de interés de un trimestre (un periodo) debemos dividir la tasa
nominal entre el número de capitalizaciones:
16%
4%
4
j
m
= =
El 4% es la tasa de periodo o tasa efectiva trimestral. La tasa de periodo es lo mismo que la tasa
efectiva y se simboliza con i, entonces se tiene:
j
i
m
=
Ejemplo
Se consigue un préstamo de consumo y nos cobran una tasa de interés del 18% N.T (nominal
trimestral) ¿Qué tasa efectiva debemos pagar?
j
i
m
=
18%
4,5%
4
i i
= →
=

50
Es el 4,5% efectiva trimestral o tasa de periodo trimestral.
• Tasas equivalentes es cuando producen el mismo interés compuesto al final de un año,
sean estas tasas anuales con diferentes periodos de conversión. Su fórmula es:
( )
1 1
m
j
i
m
 
+ = +
 
 
Con fines de practicidad se puede realizar las transposiciones respectivas o despeje de fórmulas
tanto para la tasa efectiva (i), como para la tasa nominal (j):
1 1
m
j
i
m
 
=+ −
 
 
( )
( )
1 1
* 1 1
m
m m
m
j
i
m
j m i
 
+ = +
 
 
 
= + −
 
Ejemplos
Determinar la tasa nominal j convertible trimestralmente, que produce un rendimiento de 25%
anual
( )
( )
4
* 1 1
4* 1 0,25 1
0,23*100%
23%
m
j m i
j
j
i
 
= + −
 
 
= + −
 
≈
≈
• Defina el valor de m e i en las siguientes tasas de intereses nominales:
a) 18% convertible bimensualmente.
b) 6% bimestral compuesto mensualmente.
c) 17,6% anual compuesto bimestralmente.
d) 8,9% semestral compuesto trimestralmente
e) 7,8% anual compuesto cuatrimestralmente.
• Calcular la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa
nominal es de 7,5% y se convierte:
a) Anualmente
b) Semestralmente

51
c) Trimestralmente
d) Bimestralmente
e) Mensualmente
f) Diariamente
• Calcular la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa
nominal es de 12% y se convierte:
a) Anualmente
b) Semestralmente
c) Trimestralmente
d) Bimestralmente
e) Mensualmente
f) Diariamente
• Establezca la tasa nominal j convertible trimestralmente que resulte equivalente a una
tasa del 16,7% convertible semestralmente.
• Dada la tasa del 16% nominal anual (16% TNA) con aplicación mensual, calcule las
tasas efectivas.
• Dada la tasa del 9% nominal anual (9% TNA) con aplicación trimestral, calcule las tasas
efectivas
3.3. Monto o Valor Futuro a interés compuesto.
Número
de
Periodos
Capital inicio
periodo
Interés durante
el periodo
Capital final
1 C C*i M1
= C + Ci = C (1 + i)
2 C (1 + i) C (1 + i) * i M2
= C (1 + i) + C (1 + i)i
M2
= C (1+ i) (1+ i)
M2
= C(1+i)2
3 C (1 + i )2
.
.
C (1 + i )2
*i
.
.
M3
= C (1 + i)2
+ C (1 + i)2
i
M3
= C(1+i)2
(1+i)
M3
= C(1+i)3
n C(1+i)n-1
C(1+i)n-1
*i Mn
= C(1+i)n
La fórmula del monto o valor futuro a interés compuesto para tasas anuales es:

52
M = VF = VA*(1+ i)n
Donde:
VA = Capital inicial o valor presente
VF = Monto o Valor Futuro
i = Tasa de interés durante el periodo
n = Número total de periodos de capitalización
(1+ i)n
= Factor de acumulación o factor de interés compuesto.
Ejemplo
Por un préstamo de $15000, se paga una tasa de interés del 18% N.B durante dos años. ¿Cuánto
se debe pagar por el préstamo?
Datos Fórmula Solución
C = $15000
18%
3%
6
j
i
m
= = = = 0,03
n = 2 años
M = VF = C (1+ i)n
VF = $15000 (1+ 0,03)2
VF = $15000*(1,03)2
VF = $15913,50
VF = $15913,50
SOLUCIÓN EXCEL
VA 15000
i 3%
nper 2
VF $15.913,50
Si la capitalización es anual (tasa efectiva), la fórmula del monto en un año es:
VF = VA*(1 + i)n
Si la capitalización es semestral

53
VF = VA*(1 +
2
j )2
Si la capitalización es trimestral
VF = VA*(1 +
4
j )4
Si la capitalización es bimestral
VF = VA*(1 +
6
j )6
Si la capitalización es mensual
VF = VA*(1 +
12
j )12
Si la capitalización es quincenal
VF = VA*(1 +
24
j )24
Si la capitalización es diaria
VF = VA*(1 +
360
j )360
o VF = VA (1 +
365
j )365
Si la capitalización es continua o instantánea, el valor del capital se capitaliza continuamente.
VF = VA (e)j * t
j = tasa nominal
VA = capital inicial
VF = monto
t = número de años
e ≡ 2,718281
Observaciones
• La tasa de interés y el tiempo deben expresarse con la misma unidad de tiempo.
• Si el periodo de capitalización de los intereses es trimestral se expresa como interés:
a) Capitalizable trimestralmente.
b) Convertible trimestralmente
c) Compuesto trimestralmente

54
Ejemplos
Calcular el monto de un capital de $ 15000 a interés compuesto durante cinco años, si la tasa de
interés es 14% anual capitalizable en la siguiente forma.
Tasa de 12% efectiva
VF = VA*(1 + i)n
VF = 15000*(1 + 0,14)5
= $30170,36
Tasa de 14% anual capitalizable semestralmente
10
0,14
15000* 1 $29507,27
2
VF
 
= + =
 
 
Tasa de 14% anual capitalizable trimestralmente
20
0,14
15000* 1 $29846,83
4
VF
 
= + =
 
 
Tasa de 14% anual capitalizable bimestralmente
30
0,14
15000* 1 $29964,35
6
VF
 
= + =
 
 
Tasa de 14% anual capitalizable mensualmente
60
0,14
15000* 1 $30084,15
12
VF
 
= + =
 
 
Tasa de 14% anual capitalizable diariamente
1800
0,14
15000* 1 $30202,18
360
VF
 
= + =
 
 
Tasa de 14% anual con capitalización continua
( )
0,14*5
15000* 2,718281 $30206,29
VF
= =
Como puede notar, cuando el periodo de capitalización aumenta, se incrementa el monto y el

55
interés compuesto.
En los siguientes problemas utilice las fórmulas respectivas y compruebe utilizando la hoja de
cálculo Excel.
• Una persona depositó $4000 en un banco, que paga una tasa de interés de 8,4%. ¿Cuánto
recibió esta persona al cabo de 5 años si la capitalización es:
a) Anual
b) Semestral
c) Trimestral
d) Bimestral
e) Mensual.
• Una persona recibe su bonificación por jubilación de $35000 y piensa invertir en
una institución financiera que le ofrece el 3,5% durante 3 años, cuanto recibirá si la
capitalización es:
a) Anual
b) Semestral
c) Trimestral
d) Bimestral
e) Mensual.
• Con un capital de $2540 invertido a un tipo de interés del 8,8% capitalizable
cuatrimestralmente. Encontrar el monto acumulado en 4 años.
• Un capital de $8000 se coloca al 5,6% anual durante 7 meses, 2 años y 3 años. Determinar
el monto compuesto producido en los diferentes periodos de tiempo.
• Calcular el valor futuro de un capital de $15000 a interés compuesto durante 25 meses
y 12 días a la tasa de interés de 12,6% capitalizable: mensualmente, trimestralmente,
semestralmente, cuatrimestralmente y mensualmente.
semestralmente, cuatrimestralmente y mensualmente.
semestralmente, cuatrimestralmente y mensualmente
capitalización es:
a) Anual
b) Semestral
c) Trimestral
d) Bimestral

56
e) Mensual.
capitalización es:
f) Anual
g) Semestral
h) Trimestral
i) Bimestral
j) Mensual.
3.3.1. Valor Presente a interés compuesto anual
De la fórmula del monto o valor futuro a interés compuesto para tasas anuales es:
( )
* 1
n
M VF VA i
= = +
Utilizando la transposición de términos se obtiene:
( )
( )
1
* 1
n
n
VF
VA
i
VA VF i
−
=
+
= +
Donde:
VA = Capital inicial o valor presente
M = Monto o Valor Futuro
i = Tasa de interés durante el periodo
n = Número total de periodos de capitalización
El valor presente es un concepto muy utilizado en las matemáticas financieras porque permite
conocer el valor en determinado momento, de una cantidad que se recibirá, que debe pagarse o
que se desea reunir el dinero en futuro.
3.3.2. Valor Presente a interés compuesto fraccionario
*
*
1
* 1
n m
n m
VF
VA
i
m
i
VA VF
m
−
=
 
+
 
 
 
= +
 
 

57
Ejemplos:
Una persona debe $12000, dinero que tiene que pagar dentro de 6 años. Si esta persona quisiera
liquidar la deuda el día de hoy y suponiendo que la tasa de interés es del 9,6% y la capitalización:
anual, ¿Qué cantidad pagaría?
VF = $12000
9,6% 0,096
i
= =
n = 6 años
( )
( )
1
* 1
n
n
VF
VA
i
VA VF i
−
=
+
= +
( )
6
12000
1 0,096
6923,38
VA
VA
=
+
≈
SOLUCIÓN EXCEL
VF 12000
i 9,6%
nper 6
VA $6.923,38

58
Una persona debe $12000, dinero que tiene que pagar dentro de 6 años. Si esta persona quisiera
liquidar la deuda el día de hoy y suponiendo que la tasa de interés es del 9,6% y la capitalización:
trimestral, ¿Qué cantidad pagaría?
VF = $12000
0,096
0,024
4
j
i
m
= = =
n = 6 años
*
1
n m
VF
VA
i
m
=
 
+
 
 
6*4
12000
0,096
1
4
6791,76
VA
VA
=
 
+
 
 
≈
SOLUCIÓN EXCEL
VF 12000
i 9,60%
nper 24
VA $6.791,76
En los siguientes problemas utilice las fórmulas respectivas y compruebe utilizando la hoja de
cálculo Excel.
• Una persona debe $7000, cantidad que debe liquidar dentro de 6 años. Si la tasa de
interés es de 3,7%, qué cantidad debe depositar el día de hoy si la capitalización es.
a) Anual
b) Semestral
c) Trimestral
d) Bimestral
e) Mensual
• Una persona debe $15000, cantidad que debe liquidar dentro de 3 años. Si la tasa de
interés es de 6,7%, qué cantidad debe depositar el día de hoy si la capitalización es.
• Anual
• Semestral
• Trimestral

59
• Bimestral
• Mensual
• Determine el valor actual y el interés compuesto en los siguientes problemas.
Valor al vencimiento Tiempo Tasa de interés
$8000 3 años 11% convertible trimestral
$5500 8 años 8% convertible semestral
$50000 10 años 12,45% anual
$37600 7 años 7,5% convertible mensual
$9000 4 años 6,54% anual
• ¿Cuánto debe invertir al 3,5% capitalizable cuatrimestralmente para tener $25000 en 8
años? ¿Cuánto interés se ganará?
• ¿Cuánto tiene que ser invertido al 8% capitalizable en forma trimestral para cubrir el
pago inicial de $14000 para una casa que se quiere comprar una persona dentro de 9
años? ¿Cuánto interés se ganará?
• ¿Cuál es el valor actual, si el valor del dinero es el 12% capitalizable en forma semestral,
de $40000 a pagar en 15 años?
• ¿Cuál es el valor presente de $30000 en 18 meses, a una tasa de 3,2% capitalizable
bimestralmente?
3.3.3. Tasa de interés (i)
( )
* 1
n
VF VA i
= +
Aplicando la transposición de términos o como se le conoce usando el despeje de fórmulas se
tiene:
( )
( )
( )
* 1
1
1
1
1
n
n
n
n n
n
n
VA i VF
VF
i
VA
VF
i
VA
VF
i
VA
VF
i
VA
+ =
+ =
+ =
+ =
= −

60
3.2.2.1. Fórmula para la tasa de interés anual fraccionario.
Para determinar la fórmula con capitalización fraccionaria, partimos de la fórmula del monto o
valor futuro y el despeje de fórmulas se tiene:
*
* 1
n m
i
VF VA
m
 
= +
 
 
*
*
* *
*
*
* 1
1
1
1 *
n m
n m
n m n m
n m
n m
i
VF VA
m
i VF
m VA
i VF
m VA
VF
i m
VA
 
= +
 
 
 
+ =
 
 
+ =
 
= −
 
 
Ejemplos
Un capital de $15000, ha estado invertido durante 3 años, luego de los cuales dio un monto de
$20000, ¿calcular la tasa de interés que fue la operación?
VF = $20000
VA = $15000
?
i =
n = 3 años
1
n
VF
i
VA
= − 3
20000
1
15000
0,1006*100% 10,06%
i
i
= −
≈ =
Tasa de interés anual
Solución en Excel

61
VF 20000
VA 15000
nper 3
i 10,06%
Un capital de $15000, ha estado invertido durante 3 años, luego de los cuales dio un monto de
$20000, ¿calcular la tasa de interés si la capitalización es trimestral de la operación?
VF = $20000
VA = $15000
?
i =
n = 3 años
m = 4 trimestres
*
1 *
n m
VF
i m
VA
 
= −
 
 
3*4
20000
1 *4
15000
0,0971*100% 9,71%
i
i
 
= −
 
 
≈ ≡
Tasa de interés anual
convertible trimestralmente
Solución en Excel
Observación: al resultado se debe multiplicar por la fracción a ser capitalizable
• Uncomercianteprestó$5000y,alcabode3años,ledevolverán$8000,silacapitalización
se considera anual, ¿Cuál fue la tasa que se pagó en la transacción?
• Se invirtió $3000 a 3 años, al cabo de los cuales recibió intereses la misma cantidad que

62
invirtió. Si la capitalización es trimestral, ¿Cuál fue la tasa de interés que prevaleció en
la transacción?
• Una persona cuenta con $2500 que desea invertir de tal forma que pueda tener dentro
de 5 años $6500. Si la capitalización es anual, ¿a qué tasa de interés debe invertir su
capital?
• Una persona cuenta con $2500 que desea invertir de tal forma que pueda tener dentro
de 5 años $6500. Si la capitalización es semestral, ¿a qué tasa de interés debe invertir
su capital?
• Un comerciante debe $5500 a un año al 6% de interés con capitalización mensual, ¿Cuál
es la tasa efectiva?
• ¿Cuál fue la tasa efectiva que se cobró en una transacción en donde la tasa nominal fue
del 9,7% con capitalización cuatrimestral?
• Se desea saber la tasa nominal que se cobró en una inversión de $20000 si la tasa
efectiva fue del 12% y la capitalización semestral?
efectiva fue del 12% y la capitalización trimestral?
• ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $4000 que se ha incrementado a
$7000 en 4 años, si dicho capital es convertible:
a) Mensualmente
b) Trimestralmente
c) Cuatrimestralmente
d) Semestralmente
e) Anualmente
efectiva fue del 11.5% y la capitalización es:
a) Mensualmente
b) Bimensual
c) Cuatrimestralmente
3.3.4. Tiempo (n)
( )
* 1
n
VF VA i
= +
Aplicando la transposición de términos se obtiene la fórmula para el tiempo:
( )
log
log 1
VF
VA
n
i
=
+
Para determinar la fórmula con capitalización fraccionaria, partimos de la fórmula del monto o
valor futuro y por transposición de términos tiene:

63
*
* 1
n m
i
VF VA
m
 
= +
 
 
log
*log 1
VF
VA
n
i
m
m
=
 
+
 
 
Ejemplo
¿Cuánto tiempo debe pasar para que $20000 se conviertan en $25000, si se sabe que la tasa de
interés es del 10,8% y su capitalización es anual?
VA = $20000
VF = $25000
10,8% 0,108
i
= =
n = ?
( )
log
log 1
VF
VA
n
i
=
+ ( )
( )
25000
log
20000
log 1 0,108
log1,25
log 1,108
2,17581
2 0,17581*12
2 2 0,10972*30
2 ; 2 3
n
n
n años
n años meses
n años meses y días
=
+
=
≈
=
=
=
Solución en Excel
VF 25000
VA 20000
i 10,80%
Nper 2,17580903

64
¿Cuánto tiempo debe pasar para que $20000 se conviertan en $25000, si se sabe que la tasa de
interés es del 10,8% y su capitalización es semestral?
VA = $20000
VF = $25000
10,8% 0,108
i
= =
n = ?
m = 2
log
*log 1
VF
VA
n
i
m
m
=
 
+
 
 
( )
25000
log
20000
0,108
2*log 1
2
log1,25
2log 1,054
2,12144
2 0,12144*12
2 1 0,457291*30
2 ; 2 14
n
n
n
n años meses
=
 
+
 
 
=
≈
=
=
=
Solución en Excel
Observación: al resultado se debe dividir por la fracción a ser capitalizable
¿Cuánto tiempo debe pasar para que $25000, se convierta en $28790, si se sabe que la tasa de
interés es del 11,8% y la convertible en:
a) Anual
b) Semestral
c) Cuatrimestral
d) Trimestral

65
e) Mensual
f) diario
¿Cuánto tiempo debe pasar para que una cantidad se quintuplique, si la tasa de interés es del
4,7% y la capitalización es:
a) Anual
b) Semestral
c) Cuatrimestral
d) Trimestral
e) Mensual
f) Diario
3.4. Ecuaciones Equivalentes a Interés Compuesto
(Jesús Rodriguez & Alberto Pierdant, 2007) Una ecuación de valor en interés compuesto es
la igualdad de dos conjuntos diferentes de obligaciones (que se pagan o se reciben; flujos en
efectivo), la original y la propuesta en una fecha determinada en forma arbitraria, conocida
como fecha focal, la fecha de comparación o fecha de evaluación.
Para resolver un problema utilizando la ecuación de valor, es necesario seguir los pasos que se
describen a continuación:
1. Identificar el primer conjunto de obligaciones, el original, el cual es intercambiando por
un segundo conjunto de obligaciones, el propuesto, que es diferente al original en lo
referente a pagos y vencimientos.
2. Trasladar los dos conjuntos de obligaciones a una fecha focal.
3. Plantear una ecuación de valor igualando los dos conjuntos de obligaciones; y para ello,
ambos conjuntos deben referirse a una misma fecha focal.
a) Cualquier suma de dinero puede determinarse a futuro con:
( )
* 1
n
VF VA i
= +
b) Cualquiersumadedineropuedeserdescontada,parapoderanticiparsudisponibilidad
con:
( )
* 1
n
VA VF i
−
= +

66
Grafica de las ecuaciones equivalentes
Observación: Cuando la saeta de la flecha va hacia la derecha se aplica la fórmula del valor
futuro y cuando viene desde la izquierda se aplica la fórmula del valor actual.
Gráfica al día de hoy
Gráfica al final
Ejemplos
¿Qué cantidad debe pagarse en un trimestre para saldar una deuda de tres pagos mensuales de
$500 dada una tasa del 12% capitalizable mensualmente?
Un comerciante recibió $60000, prestados al 12% anual convertible mensualmente,
comprometiéndose a liquidar dicha deuda mediante 3 pagos: $18000 al cabo de 2 meses,
$25000 dentro de 4 meses y el último pago al cabo de 9 meses. Determine la cuantía del tercer
pago y el interés pagado.
Resolver el mismo ejercicio situado la fecha focal a los 4 meses
Una persona desea saldar su deuda mediante dos pagos: $20000 en fecha 15 de junio y $35000

67
el 12 de diciembre. Si el primer pago no se efectuó en la fecha acordada, ¿Qué cantidad debería
pagar el 10 de noviembre, para liquidar completamente la deuda, se acuerda la tasa de interés
del 5,4% anual capitalizable diariamente?
3.4.1. Descuento Compuesto
Es la operación financiera cuyo objetivo es sustituir un capital futuro por otro, con vencimiento
presente.
Fórmula del descuento compuesto matemático es:
( )
* 1 1
n
c
D VF i
−
 
= − +
 
Fórmula del descuento compuesto bancario es:
( )
* 1 1
n
c
Db VF d
 
= − −
 
Ejemplo:
Un documento cuyo monto es de $15000, calcule el descuento compuesto matemático y
bancario, si se descontó 4 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 13% efectiva.
VF = $15000
n = 4 años
i = 15% anual
( )
* 1 1
n
c
D VF i
−
 
= − +
 
( )
* 1 1
n
c
Db VF d
 
= − −
 
( )
4
15000* 1 1 0,15
6423,70
c
c
D
D
−
 
= − +
 
=
( )
4
15000* 1 1 0,15
7830,09
c
c
Db
Db
 
= − −
 
=
El descuento bancario es mayor y por esta razón no se utiliza.

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