Int dobles

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
3
1. INTEGRALES DOBLES
En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable
real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de
funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo 2
f : D ⊆ → . La integral
doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su
significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una
función de variable real es el área.
1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA
Como referencia para la definición de la integral doble, se debe
recordar la integral definida de una función real de variable real, la
cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una
curva.
Sea f una función real definida en [ ]ba, y sea P una partición del
intervalo cerrado [ ]ba, , donde { }nnii xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 −−= .
Una suma de Riemann de la función f para la partición P ,
denotada por PR es un número real obtenido como:
( )
1
n
*
P i i
i
R f x x
=
= ∆∑ (I.1)
donde: n es el número de subintervalos de la partición P ,
[ ]*
1i i ix x ,x−∈ y ix∆ es la longitud del subintervalo genérico
(también llamado subintervalo i-ésimo).
En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de
Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo
cerrado [ ]ba, .
El nombre de Suma de
Riemann se debe al
matemático alemán:
Georg Friedrich
Bernhard Riemann
(1826-1866).
Sus contribuciones
destacaron en las áreas de
análisis y geometría
diferencial, la
fisicomatemática y la
teoría de funciones de
variables complejas.
Su nombre también está
relacionado con la
función zeta.
La longitud del
subintervalo genérico se
calcula de la siguiente
manera:
1−−=∆ iii xxx

4
Figura 1.1
Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función f
positiva en el intervalo cerrado[ ]ba, .
En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la
gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas ax = y bx = .
En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el
valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo
cerrado [ ]ba, .
Si la norma de una partición P, denotada como P , se define
como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces
al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es
0→P , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición
de la Integral Definida.
DEFINICIÓN: integral definida de f en [ ]b,a
Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [ ]ba, .
La integral definida de f desde a hasta b , denotada por
( )∫
b
a
dxxf , esta dada por:
( ) ( )0
1
nb
*
ia p
i
f x dx Lím f x x
→
=
= ∆∑∫ (I.2)
si el límite existe.
Significado geométrico
de la suma de Riemann
Si la función f es
positiva [ ]bax ,∈∀ ,
entonces la suma de
Riemann corresponde a
un valor aproximado del
área de la región
comprendida bajo la
gráfica de la función f ,
sobre el eje x, y entre las
rectas ax = y x b= .
Decir que la norma de la
partición P tiende a cero,
0→P , es equivalente
a decir que el número de
subintervalos de la
partición P tiende a
infinito, ∞→n .
El símbolo ∫ lo introdujo
el matemático alemán
Gottfried Wilhelm
von Leibniz
(1646, 1716).

5
Donde: ∫ es el signo de integración, a y b son los límites de
integración inferior y superior, respectivamente; ( )xf es el
integrando o función integrando y la diferencial de x, denotada por
dx , indica que la variable de integración es x.
1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS
Sea 2
:f → una función definida sobre la región rectangular
cerrada D , dada por:
[ ] [ ] ( ){ }2
D a,b c,d x,y a x b c y d= × = ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.3)
Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el
producto cartesiano de las particiones xP y yP de los intervalos
[ ]ba, y [ ]dc, , respectivamente, como se muestra a continuación:
{ }nniix xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 −−= …… (I.4)
{ }mmjjy yyyyyyyP ,,,,,,,, 11210 −−= …… (I.5)
entonces
yx PPP ×= (I.6)
Si la partición xP tiene 1+n elementos y n subintervalos [ ]ii xx ,1−
de longitud 1−−=∆ iii xxx , y la partición yP tiene 1+m elementos y
m subintervalos [ ]jj yy ,1− de longitud 1−−=∆ jjj yyy , entonces la
región rectangular D queda dividida por la partición P en mn⋅
rectángulos denominados ijD , tal como se muestra en la figura
1.2.
La Integral Definida
( )∫
b
a
dxxf es un número
real que puede
interpretarse como el área
bajo la gráfica de la
función f , sobre el eje
x y entre las rectas ax =
y bx = , si la función es
positiva.
Una partición xP del
intervalo [ ]ba, es un
conjunto finito de
elementos, donde se
cumple:
bxxxxxa nii =<<<<<<= − …… 110

6
Figura 1.2
Partición P de una región rectangular D .
El subrectángulo denotado ijD , es un elemento de la partición P ,
cuya área, denotada ijA∆ se calcula como:
jiij yxA ∆⋅∆=∆ (I.7)
Al tomar un punto arbitrario ( )**
, ji yx en el subrectángulo ijD , se
puede establecer la doble suma de Riemann para la función f
en la partición P , denotada como DS :
( ) ij
n
i
m
j
*
j
*
iD Ay,xfS ∆= ∑∑= =1 1
(I.8)
Esta doble suma de Riemann es un valor numérico que se obtiene
al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en
cada punto arbitrario ( )**
, ji yx y el área de cada rectángulo ijD . Al
expandir la expresión (I.8) se obtiene:
En la figura 1.2, se
aprecia que:
jjj
iii
yyy
xxx
≤≤
≤≤
−
−
*
1
*
1
Figura 1.3
Subrectángulo ijD
El punto ( )* *
,i j ijx y D∈
por lo tanto existen
diferentes alternativas
para su selección las más
comunes son:
Esquina inferior
izquierda
( ) ( )* *
1 1, ,i j i jx y x y− −=
Esquina inferior
derecha
( ) ( )* *
1, ,i j i jx y x y −=
Esquina superior
izquierda
( ) ( )* *
1, ,i j i jx y x y−=
Esquina superior
derecha
( ) ( )ji
*
j
*
i y,xy,x =
Punto medio
( ) 1* * 1
, ,
2 2
j ji i
i j
y yx x
x y
−−
+ +
=  
 

7
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) nm
*
m
*
nn
**
nn
**
n
m
*
m
*****
m
*
m
*****
D
Ay,xfAy,xfAy,xf
Ay,xfAy,xfAy,xf
Ay,xfAy,xfAy,xfS
∆++∆+∆
+∆++∆+∆
+∆++∆+∆=
2211
2222222112
1112211111
(I.9)
Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la
diagonal más grande de todos los rectángulos ijD y se hace que
0→P , entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora
la región R queda dividida en muchos más rectángulos, y se
puede plantear:
( ) ij
n
i
m
j
*
j
*
i
P
D
P
Ay,xfLimSLim ∆= ∑∑= =
→→
1 1
00
(I.10)
Todo esto permite establecer la definición de la integral doble.
1.2.1 INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D
Decir que el límite existe significa que:
( ) LdAy,xf
D
=∫∫ (I.12)
donde L∈
DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D
Sea 2
:f → una función real definida sobre un rectángulo
D del plano. La integral doble de f sobre D , denotada por
( )∫∫D
dAy,xf , se define como:
( ) ( ) ij
n
i
m
j
*
j
*
i
PD
Ay,xfLimdAy,xf ∆= ∑∑∫∫ = =
→
1 1
0
(I.11)
si el límite existe.
Así como la suma de
Riemann es una
aproximación de la
integral definida, la
doble suma de Riemann
es una aproximación de
la integral doble.
Otras notaciones para
la integral doble son:
( )∫∫D
dxdyy,xf
( )∫∫D
dydxy,xf

8
Si el límite de la expresión (I.11) existe se dice que f es
integrable sobre D , recordando la definición del límite, esto
significa que para todo 0>ε existe un número 0>δ , tal que:
( ) ε<−∆∑∑= =
LAy,xf ij
n
i
m
j
*
j
*
i
1 1
(I.13)
Siempre que:
δ<P (I.14)
Para cualquier partición P del rectángulo D , y para cualquier
( )**
, ji yx en el subrectángulo ijD .
1.2.2 INTEGRABILIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUA
TEOREMA: Integrabilidad de una función continua
Sea 2
D del plano acotada, y continua, excepto quizás en un
número finito de curvas suaves en D , entonces la función f
es integrable en D .
Definición del límite de
una función:
El límite
( ) LxfLim
xx
=
→ 0
existe si 00 >∃>∀ δε
tal que ( ) ε<− Lxf
siempre que
δ<−< 00 xx
Observe que la condición
P<0 no se coloca ya
que la norma de la
partición P es una
longitud por lo tanto ya
es positiva.

9
1.3 INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO
VOLUMEN
Sea 2
[ ] [ ]d,cb,aD ×= , la cual es continua y positiva en D . Entonces la
gráfica de f es una superficie definida por la ecuación:
( )y,xfz = (I.15)
En la figura 1.4 se aprecia la gráfica de una función 2
:f →
definida sobre un rectángulo D .
Figura 1.4
Gráfica de una función 2
:f → definida sobre un rectángulo D
Sea S el sólido que está definido sobre la región D y bajo la
superficie definida por la gráfica de f . En la figura 1.5 se aprecia
el sólido S .
( )yxfz ,=
D

10
Figura 1.5
Sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de f
El volumen V del sólido S puede aproximarse como la suma del
volumen de los paralelepípedos base ijD y altura es ( )*
j
*
i y,xf , tal
como indica la expresión (I.16).
1 1
n m
ij
i j
V V
= =
≈ ∑∑ (I.16)
donde ijV es el volumen del paralelepípedo de base ijD , también
llamado paralelepípedo aproximante, y cuya altura es ( )*
j
*
i y,xf . El
punto ( )**
, ji yx pertenece al subrectángulo genérico. El volumen de
este paralelepípedo o caja rectangular viene dado por:
( ) ij
*
j
*
iij Ay,xfV ∆= (I.17)
Al sustituir (I.17) en (I.16) se obtiene la doble suma de Riemann
planteada en (I.8) como ( ) ij
n
i
m
j
*
j
*
i Ay,xf ∆∑∑= =1 1
por lo tanto esta doble
suma es una aproximación del volumen del sólido S , es decir:
yx

11
( ) ij
n
i
m
j
*
j
*
i Ay,xfV ∆≈ ∑∑= =1 1
(I.18)
La figura 1.6 muestra la gráfica de un paralelepípedo aproximante
del volumen del sólido S sobre la región D .
Figura 1.6
Paralelepípedo de base ijD y altura ( )* *
i jf x ,y , empleado para
aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D
La figura 1.7 muestra los paralelepípedos empleados en la
aproximación del volumen del sólido S , el cual se encuentra
limitado por la gráfica de la función f y por el rectángulo D .
( )yxfz ,=
D
( )( )* * * *
i j i jx ,y , f x ,y
1ix x −=
ix x=
1jy y −=
jy y=

12
Figura 1.7
Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S
definido sobre la región D
Cuando 0→P , la partición P se hace más fina y por lo tanto la
región R queda dividida en muchos más rectángulos, por lo cual
el límite ( )* *
0
1 1
,
n m
i j ij
P
i j
Lim f x y A
→
= =
∆∑∑ representa el volumen del sólido
S , es decir:
( ) ( )* *
0
1 1
, ,
n m
i j ij DP
i j
V Lim f x y A f x y dA
→
= =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (I.19)
En la figura 1.8 se observan los paralelepípedos empleados en la
aproximación del volumen del sólido S , pero ahora con una
partición más refinada sobre el rectángulo D .

13
Figura 1.8
Paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S
con una partición refinada sobre D .
Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la
superficie yxz 42
+= y arriba del rectángulo
( ){ }3020, ≤≤∧≤≤= yxyxD . Utilice una suma de Riemann con
2=n y 3=m y considerando el punto de muestra como:
a)La esquina superior derecha de cada subrectángulo.
b)El punto medio de cada subrectángulo
Solución:
a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie yxz 42
+=
y arriba del rectángulo D . Entonces se desea estimar a V de la
siguiente manera:
( ) ( )
2 3
2
1 1
4 * *
i j ijD
i j
V x y dA f x ,y A
= =
= + ≈ ∆∑∑∫∫
EJEMPLO 1.1
Figura 1.9
Sólido del ejemplo 1.1

14
donde ( )* *
i jx ,y es el punto perteneciente a ijD donde será
evaluada la función. El enunciado de este ejercicio exige que el
punto de muestra sea la esquina superior derecha de cada
subrectángulo, por lo cual ( ) ( )ji
*
j
*
i y,xy,x = .
La región D y su partición se muestran en la siguiente figura.
Figura 1.10
Partición empleada para el ejemplo1.1
Luego, la aproximación del volumen es:
( ) ( )( )
2 3 2 3
* *
1 1 1 1
, , 1i j ij
i j i j
V f x y A f i j
= = = =
≈ ∆ =∑∑ ∑∑
Para evaluar esta doble suma de Riemman se pueden emplear las
fórmulas y propiedades de la notación sigma:
( )( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2
2 2
1 1 1 1 1
, 1 4 3 24 15 48 63
i j i j i
V f i j i j i
= = = = =
≈ = + = + = + =∑∑ ∑∑ ∑
( )2
4 63
D
V x y dA= + ≈∫∫
Si 3=m y 2=n ,
entonces
1
2
02
=
−
=
−
=∆
n
ab
x
1
3
03
=
−
=
−
=∆
m
cd
y
Como ( ) ( )ji
*
j
*
i y,xy,x = ,
entonces se debe expresar
en función de i y j:
( ) iixixxi =+=∆+= 100
( ) jjyjyyj =+=∆+= 100
Y además:
( )( )1 1 1ijA x y∆ = ∆ ∆ = =
Recuerde:
1
n
i
k kn
=
=∑ si k ∈
( )
1
1
2
n
i
n n
i
=
+
=∑
( )( )2
1
1 2 1
6
n
i
n n n
i
=
+ +
=∑

15
Figura 1.11
descrito en el ejemplo 1.1 parte a
En la figura 1.11, se aprecia la superficie definida por la función f
y los paralelepípedos aproximantes de volumen.
b) Cuando se desea estimar el volumen V del sólido debajo de la
superficie yxz 42
+= y arriba del rectángulo D en donde ( )* *
,i jx y
es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:
( ) 1* * 1 1 1 1 1
, , , ,
2 2 2 2 2 2
j ji i
i j
y yx x i i j j
x y i j−−
+ + − + − +   
= = = − −     
    
Luego:
( ) ( )
2 3 2 3
* *
1 1 1 1
1 1
, , 1
2 2
i j ij
i j i j
V f x y A f i j
= = = =
 
≈ ∆ = − − 
 
∑∑ ∑∑
A continuación esta doble suma de Riemann se resolverá
calculando la imagen de cada ( )* *
,i jx y en la función f y
posteriormente se efectuará la suma.
Cuando se selecciona
( ) ( )ji
*
j
*
i y,xy,x = , en el
cálculo de la doble suma
de Riemann del ejemplo
1.1 parte a, la
aproximación del
volumen obtenida es por
exceso ya que el volumen
del sólido S es inferior
al volumen de las cajas
rectangulares.
( )1 0 1 1ix x i x i− = + − ∆ = −
( )1 0 1 1jy y j y j− = + − ∆ = −

16
( )* * 1 1
, ,
2 2
i jx y i j
 
= − − 
 
( ) ( )
2* * * *
, 4i j i jf x y x y= +
i
j
1 2 1 2
1
1 1
,
2 2
 
 
 
3 1
,
2 2
 
 
 
9
4
17
4
2
1 3
,
2 2
 
 
 
3 3
,
2 2
 
 
 
25
4
33
4
3
1 5
,
2 2
 
 
 
3 5
,
2 2
 
 
 
41
4
49
4
Cuadro 1.1
Valores de ( )* *
,i jf x y empleados en el ejemplo 1.1 (b)
9 25 41 17 33 49
43,5
4 4 4 4 4 4
V ≈ + + + + + =
Por lo tanto ( )2
4 43 5
D
V x y dA ,= + ≈∫∫
Figura 1.12
descrito en el ejemplo 1.1 parte b
En la figura 1.12, se observa la superficie definida por la función f
y los paralelepípedos aproximantes de volumen.
En el ejemplo 1.1 parte
b, cuando se selecciona
( )* *
,i jx y como el punto
medio de cada
subrectángulo se puede
apreciar en la figura 1.12
que la gráfica de la
función f atraviesa a
los paralelepípedos, por
lo cual no se puede
asegurar si la
aproximación del
volumen del sólido S es
por exceso o por defecto.

17
Sea S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado
[ ] [ ]0,4 0,4D = × y abajo del paraboloide elíptico 2 2
36z x y= − − .
Estime el volumen del sólido tomando como punto de muestra la
esquina superior derecha de cada subcuadrado y dividiendo a la
región D en:
a) Cuatro cuadrados iguales.
b) Diez mil cuadrados iguales.
Solución:
a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie
2 2
36z x y= − − y arriba del rectángulo D . Entonces se desea
estimar a V de la siguiente manera:
( ) ( )
2 2
2 2 * *
1 1
36 ,i j ijD
i j
V x y dA f x y A
= =
= − − ≈ ∆∑∑∫∫
donde ( ) ( )ji
*
j
*
i y,xy,x =
La región R y su partición se muestran en la siguiente figura.
Figura 1.14
Partición empleada para el ejemplo 1.2
EJEMPLO 1.2
Figura 1.13
Como [ ] [ ]0,4 0,4D = ×
y se divide en 4
subcuadrados, entonces
2n m= =
4 0
2
2
b a
x
n
− −
∆ = = =
4 0
2
3
d c
y
m
− −
∆ = = =

18
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3
2 2* *
1 1 1 1 1 1
, 2 ,2 4 4 16 2 2i j ij
i j i j i j
V f x y A f i j i j
= = = = = =
 ≈ ∆ = = − −
 ∑∑ ∑∑ ∑∑
Resolviendo de manera análoga al ejemplo anterior:
( )2 2
36 256
D
V x y dA= − − ≈∫∫
Figura 1.15
Volumen aproximado en el ejemplo 1.2 parte a
y los paralelepípedos aproximantes empleados.
a, la aproximación del
volumen obtenida es por
defecto ya que las cajas
rectangulares empleadas
se encuentran dentro del
sólido S .
( )( )2 2 4ijA x y∆ = ∆ ∆ = =
Como ( ) ( )ji
*
j
*
i y,xy,x = ,
entonces
( )0 0 2 2ix x i x i i= + ∆ = + =
( )0 0 2 2jy y j y j j= + ∆ = + =

19
b) Ahora la región D , está dividida en diez mil subcuadrados
iguales; es decir, 100n m= = . Por lo tanto, la estimación del
volumen del sólido viene dada por:
( ) ( )
100 100
2 2 * *
1 1
36 ,i j ijD
i j
V x y dA f x y A
= =
= − − ≈ ∆∑∑∫∫
Realizar este cálculo como se ha ilustrado en los ejemplos 1.1 y la
parte a de éste, es muy largo pues el número de subcuadrados es
elevado. Entonces para resolver la doble suma de Riemann
planteada es necesario emplear un software matemático.
A continuación se presenta los resultados obtenidos, con un
software matemático, para el ejemplo 1.2 parte b. También se
incluye otra aproximación empleando una partición aún más
refinada.
Número de
subcuadrados
n m ( )* *
1 1
,
n m
i j ij
i j
f x y A
= =
∆∑∑
Diez mil 100 100 402,7648
Un millón 1.000 1.000 405,077248
Cuadro 1.2
Aproximaciones del volumen del sólido planteado en el ejemplo 1.2
Con la ayuda del software se obtuvo las siguientes
aproximaciones:
( )2 2
36 402 7648
D
V x y dA ,= − − ≈∫∫
( )2 2
36 405 077248
D
V x y dA ,= − − ≈∫∫
b, se aprecia que la
aproximación del
volumen del sólido S
aumenta a medida que se
incrementa el número de
subcuadrados.

20
Sea S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado
[ ] [ ]1130 ,,D −×= y bajo el plano de ecuación yz −=1 . Estime el
volumen del sólido considerando:
a) 3=n , 2=m y el punto de muestra como el punto medio de
cada subrectángulo.
b) 6=n , 8=m y el punto de muestra como el punto medio de
cada subrectángulo.
Solución:
a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie yz −= 1 y
arriba del rectángulo D .
La región D y su partición se muestran en la siguiente figura
Figura 1.17
Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte a
EJEMPLO 1.3
Figura 1.16

21
Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera:
( ) ( )
3 2
1 1
1 * *
i j ijD
i j
V y dA f x ,y A
= =
= − ≈ ∆∑∑∫∫ , donde ( )* *
,i jx y es el punto
medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:
( ) j
j
yy,xf
*
j
*
j
*
i −=




 −
−=−=
2
5
2
32
11
( ) 621
2
5 3
1
3
1
2
1
==





−≈ ∑∑∑ == = ii j
jV
( )1 6
D
V y dA= − ≈∫∫
y la aproximación del volumen.
Figura 1.18
Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte a
Si 2=m y 3=n ,
entonces
1
3
03
=
−
=
−
=∆
n
ab
x
( ) 1
2
11
=
−−
=
−
=∆
m
cd
y
( )( ) 1=∆∆=∆ yxAij
( ) 2101 −=∆−+=− jyjyyj
jyjyyj +−=∆+= 10
a, en la aproximación del
volumen, se observa que
la gráfica de la función
f atraviesa a los
paralelepípedos, por lo
cual no se puede asegurar
si la aproximación es por
exceso o por defecto.

22
b) Se desea estimar el volumen V pero ahora con una partición
refinada, donde 6=n y 8=m . En la figura 1.19 se aprecia
esta partición.
Figura 1.19
Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte b
( ) ( )
3 2
1 1
1 * *
i j ijD
i j
V y dA f x ,y A
= =
= − ≈ ∆∑∑∫∫ , donde ( )* *
,i jx y sigue siendo
el punto medio de cada subrectángulo, pero como la partición es
más fina, entonces:
( ) 48
17
8
92
11
jj
yy,xf
*
j
*
j
*
i −=




 −
−=−=
Entonces el volumen aproximado es:
68
8
1
8
1
48
17 6
1
6
1
8
1
==











−≈ ∑∑∑ == = ii j
j
V
( )1 6
D
V y dA= − ≈∫∫
Si 6=n y 8=m
entonces
2
1
=
−
=∆
n
ab
x
4
1
=
−
=∆
m
cd
y
8
1
=∆ ijA
( )
4
5
101
−
=∆−+=−
j
yjyyj
4
4
0
−
=∆+=
j
yjyyj

23
En la figura 1.20 se aprecia la aproximación del volumen del sólido
S empleando la partición más refinada.
Figura 1.20
Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte b

24
1.4 INTEGRALES ITERADAS
Para evaluar una integral definida en un intervalo cerrado se
tienen dos alternativas: la definición, donde se emplean fórmulas y
propiedades de la notación sigma y además, la resolución de un
límite; la otra opción para resolver una integral definida de una
función real de variable real, es el Segundo Teorema Fundamental
del Cálculo, el cual consiste en encontrar una antiderivada y
evaluarla en los extremos del intervalo de integración. El primer
método, la definición como el límite de una suma suele ser un
procedimiento más riguroso en comparación con el segundo.
Análogamente, la resolución de una integral doble por definición
es un cálculo muy complejo, ya que es el resultado del límite de
una doble suma de Riemann.
A continuación se expone un método que consiste en expresar
una integral doble como una integral iterada, lo cual implica la
evaluación sucesiva de dos integrales simples.
DEFINICIÓN: La Integral Iterada
Sea 2
f : → una función real y continua de dos variables,
definida en la región rectangular [ ] [ ]dcbaD ,, ×= . La integral
iterada de la función f sobre D , denotada por
d b
c a
f ( x,y )dxdy∫ ∫ ó
b d
a c
f ( x,y )dydx∫ ∫ , se define como:
( ) ( )
d b d b
c a c a
f x,y dxdy f x,y dx dy =
  ∫ ∫ ∫ ∫ (I.20)
O también
( ) ( )
b d b d
a c a c
f x,y dydx f x,y dy dx =
  ∫ ∫ ∫ ∫ (I.21)
Segundo Teorema
Fundamental del
Cálculo
Si f es una función
continua en el intervalo
cerrado [ ]b,a y si F es
una antiderivada de f ,
entonces:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
b b
aa
b
a
f x dx F x
f x dx F b F a
=
= −
∫
∫

25
Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos
integrales simples. En la ecuación (I.20), la integral que debe
resolverse primero es la que se encuentra dentro del corchete; es
decir, ( )
b
a
f x,y dx∫ . El resultado de esta integral es una función de
y, ya que y se considera constante. Tal como se ilustra:
( ) ( )
b
a
f x,y dx A y=∫ (I.22)
Finalmente:
( ) ( ) ( )
d b d b d
c a c a c
f x,y dxdy f x,y dx dy A y dy = =
  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.23)
En forma análoga, en la expresión (I.21), la integral
( )
b d
a c
f x,y dydx∫ ∫ se resuelve primero ( )
d
c
f x,y dy∫ , resultando una
función de x, como sigue:
( ) ( )
d
c
f x,y dy A x=∫ (I.24)
para luego integrar respecto a y:
( ) ( ) ( )
b d b d b
a c a c a
f x,y dydx f x,y dy dx A x dx = =
  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.25)
Evalúe las siguientes integrales iteradas:
a) ( )
3 2
2
0 0
4x y dxdy+∫ ∫ b) ( )
2 3
2
0 0
4x y dydx+∫ ∫
c) ( )
4 4
2 2
0 0
36 x y dxdy− −∫ ∫ d) ( )
4 4
2 2
0 0
36 x y dydx− −∫ ∫
e) ( )
1 3
1 0
1 y dxdy
−
−∫ ∫ f) ( )
3 1
0 1
1 y dydx
−
−∫ ∫
EJEMPLO 1.4
Recuerde que en la
integral ( )
b
a
f x,y dx∫ , la
dx indica que la variable
de integración es x, por lo
tanto la variable y se
considera constante en
esta integral. Esto se
conoce como integración
parcial con respecto a x
Entonces para resolver
( )
d
c
f x,y dy∫ se integra
parcialmente respecto a
la variable y; es decir x es
considerada constante.

26
Solución:
a) Para resolver la integral ( )
3 2
2
0 0
4x y dxdy+∫ ∫ , primero se integra
parcialmente respecto a x,
( )
2
3
2
2
0
0
8
4 4 8
3 3
x
x y dx xy y
 
+ = + = + 
 
∫
Luego se evalúa la segunda integral
3
3
2
0
0
8 8
8 4 8 36 44
3 3
y dy y y
   
+ = + = + =      
∫
Por lo tanto:
( )
3 2
2
0 0
4 44x y dxdy+ =∫ ∫
b) Se desea resolver ( )
2 3
2
0 0
4x y dydx+∫ ∫ :
( )
33
2 2 2 2
0 0
4 2 3 18x y dy x y y x + = + = + ∫
( )
22
2 3
0 0
3 18 18 8 36 44x dx x x + = + = + = ∫
( )
2 3
2
0 0
4 44x y dydx+ =∫ ∫
c) Para resolver la integral ( )
4 4
2 2
0 0
36 x y dxdy− −∫ ∫ , primero se
integra parcialmente respecto a x:
( )
4
3
4
2 2 2 2 2
0
0
64 368
36 36 144 4 4
3 3 3
x
x y dx x y x y y
 
− − = − − = − − = − 
 
∫
Recuerde que en el
ejemplo 1.1 se aproximó
la integral doble de dos
maneras diferentes:
( )2
4 63
D
V x y dA= + ≈∫∫
( )2
4 43 5
D
V x y dA ,= + ≈∫∫
Al comparar estas
aproximaciones con el
valor de la integral, en
efecto se puede
comprobar que la primera
estimación es por exceso,
mientras que la segunda
es una mejor
aproximación.

27
Luego se resuelve la segunda integral, cuya variable es y
4
4
2 3
0
0
368 368 4 1472 256 1216
4 405 3
3 3 3 3 3 3
y dy y y ,
   
− = − = − = ≈      
∫
Por lo tanto:
( )
4 4
2 2
0 0
36 405 3x y dxdy ,− − =∫ ∫
d) Resolviendo ( )
4 4
2 2
0 0
36 x y dydx− −∫ ∫
( )
4
4
2 2 2 3 2 2
0
0
1 64 368
36 36 144 4 4
3 3 3
x y dy y x y y x x
 
− − = − − = − − = −  
∫
4
4
2 3
0
0
368 368 4 1472 256
4 405 3
3 3 3 3 3
x dx x x ,
   
− = − = − =      
∫
( )
4 4
2 2
0 0
36 405 3x y dydx ,− − =∫ ∫
e) Para resolver la integral ( )
1 3
1 0
1 y dxdy
−
−∫ ∫ , primero se integra
respecto a x como sigue:
( ) ( ) ( )
3 3
00
1 1 3 1y dx y x y− = − = −  ∫
Seguidamente se resuelve la integral:
( ) [ ]
1
1 2
1
1
3
3 1 1 6
2
y dy y
−
−
− = − − =  ∫
Es decir:
Recuerde que en el
ejemplo 1.2 parte a se
obtuvo una aproximación
por defecto de:
( )2 2
36 256
D
V x y dA= − − ≈∫∫
Mientras que en la parte
b, se obtuvo:
402 7648V ,≈ y
405 077248V ,≈
Al observar el valor real
de la integral doble,
( )
4 4
2 2
0 0
36 405 3x y dxdy ,− − =∫ ∫
se puede concluir que
las aproximaciones de la
parte b son mejores que
la estimación de la parte
a.
En el ejemplo 1.3, se
aproximó la integral
doble mediante una
doble suma de Riemann
con dos particiones
diferentes, donde en
ambos casos se obtuvo:
( )1 6
D
V y dA= − ≈∫∫

28
( )
1 3
1 0
1 6y dxdy
−
− =∫ ∫
f) Ahora se resuelve ( )
3 1
0 1
1 y dydx
−
−∫ ∫ en el orden de integración
inverso, primero respecto a la variable x:
( )
1
2
1
1
1
1 3
1 2
2 2 2
y
y dx y
−
−
    
− = − = − − =    
   
∫
Ahora respecto a la variable y:
3
0
2 6dx =∫
( )
3 1
0 1
1 6y dydx
−
− =∫ ∫

29
1.5 TEOREMA DE FUBINI
El siguiente teorema proporciona un método práctico para evaluar
una integral doble expresándola como una integral iterada
Demostración intuitiva:
Considere que la función f es positiva, es decir, ( ) 0, ≥yxf , por lo
cual la integral doble ( )D
f x,y dA∫∫ representa el volumen del
sólido S que se encuentra arriba del rectángulo D y por debajo
de la superficie definida por ( )yxfz ,= .
El volumen del sólido S también puede ser calculado empleando
el principio de Cavalieri, donde el volumen de secciones
transversales conocidas se calcula mediante una integral simple.
( )
b
a
V A x dx= ∫ (I.26)
En la figura 1.21 se ilustra una sección transversal del sólido S .
TEOREMA de Fubini para Integrales Dobles
Sea 2
f : → una función real y continua en el rectángulo
[ ] [ ]dcbaD ,, ×= , entonces:
( ) ( ) ( )
d b b d
D c a a c
f x,y dA f x,y dxdy f x,y dydx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.25)
El nombre de Teorema
de Fubini se debe al
matemático italiano:
Guido Fubini
(1879, 1943).
También resaltó por sus
contribuciones en los
campos de geometría
diferencial, ecuaciones
diferenciales, funciones
analíticas y funciones de
varias variables.
El principio de Cavalieri
se debe al matemático
italiano
Bonaventura
FrancescoCavalieri
(1598, 1647).
Célebre por introducir en
Italia el cálculo
logarítmico y por su
teoría de indivisibles, la
cual es el principio del
cálculo de una integral
definida pero sin la
rigurosidad moderna del
límite.

30
Figura 1.21
Interpretación geométrica del Teorema de Fubini
donde ( )xA es el área de la sección transversal del sólido S que
es perpendicular al eje x y al plano xy , entonces ( )xA se puede
obtener como:
( ) ( )
d
c
A x f x,y dy= ∫ (I.27)
Sustituyendo la ecuación (I.27) en (I.26), se obtiene:
( ) ( )
b d
D a c
V f x,y dydx f x,y dydx= =∫∫ ∫ ∫ (I.28)
En forma análoga, el volumen del sólido S se puede obtener
como:
( )
d
c
V A y dy= ∫ (I.29)
z = f(x,y)
D
A(x)
a
b
x = x0

31
donde ( )yA es el área de la sección transversal del sólido S que
es perpendicular al eje y y al plano xy , como se ilustra en la
figura 1.22; es decir:
( ) ( )
b
a
A y f x,y dx= ∫ (I.30)
Al sustituir la expresión de ( )yA en la ecuación (I.29) se tiene:
( ) ( )
d b
D c a
V f x,y dydx f x,y dxdy= =∫∫ ∫ ∫ (I.31)
Finalmente, se concluye que la integral doble de f sobre D es
igual a la integral iterada de la función f ; es decir:
( ) ( ) ( )
b d d b
D a c c a
f x,y dA f x,y dydx f x,y dxdy= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.32)
Figura 1.22
Interpretación
geométrica del
teorema de Fubini
( )A y es el área de la
sección transversal del
sólido S que es
perpendicular al eje y y al
plano xy .
( )A y

32
1.6 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS
GENERALES
En esta sección se amplía la definición de la integral doble de una
función f , sobre regiones más generales que rectángulos, para
posteriormente explicar cómo se resuelven este tipo de integrales.
En la figura 1.23 se presenta una región D de una forma más
general.
Figura 1.23
Región D con una forma más general
Entre las regiones más generales se tienen las de tipo 1 y las de
tipo 2.
En otras palabras, la región D está limitada por la izquierda por la
recta ax = , por la derecha por la recta bx = , inferiormente por la
DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 1
Sean [ ], : ,g h a b → , dos funciones reales de variable real,
continuas en [ ]b,a , de modo que ( ) ( ) [ ]g x h x , x a,b≤ ∀ ∈ .
Una región de tipo 1, es una región definida como:
( ) ( ) ( ){ },D x y a x b g x y h x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.33)
Como las funciones f y
g son continuas en
[ ]b,a , entonces son
acotadas, por lo cual la
región D del tipo 1 es
una región acotada del
plano.

33
gráfica de la función g y superiormente por la gráfica de la función
h .
En la figura 1.24 se observan algunas regiones de tipo 1.
Figura 1.24
Regiones de tipo 1
Entonces toda región D está limitada por la izquierda por la
gráfica de la función g , por la derecha por la gráfica de la función
h , y superior e inferiormente por las rectas y d= y y c= ,
respectivamente.
En la figura 1.25 se aprecian algunas regiones de tipo 2.
DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 2
Sean [ ], : ,g h c d → , dos funciones reales de variable real,
continuas en [ ],c d , de modo que ( ) ( ) [ ], ,g y h y y c d≤ ∀ ∈ .
Una región de tipo 2, es una región definida como:
( ) ( ) ( ){ }, cD x y g y x h y y d= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.34)
En una región de tipo 1 ó
de tipo 2, las curvas y
segmentos de rectas que
limitan a la región D ,
constituyen la frontera de
D y se denota como
D∂ .

34
Figura 1.25
Regiones de tipo 2
Una vez explicadas las regiones de tipo 1 y de tipo 2, se presenta
la siguiente definición:
Ahora bien, para resolver la integral ( )D
f x,y dA∫∫ , se debe
identificar si la región D es de tipo 1 o de tipo 2.
DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones generales
Sea 2
f : → una función real y continua de dos variables,
definida en una región general D .
Sea R un rectángulo que contiene a la región D .
Sea F una función definida en el rectángulo R como:
( )
( ) ( )
( ) ( )
si
si0
x,y Df x,y
F x,y
x,y D x,y R
∈

= 
 ∉ ∧ ∈
(I.35)
La integral doble de f sobre D , denotada ( )D
f x,y dA∫∫ , está
dada por:
( ) ( )D R
f x,y dA F x,y dA=∫∫ ∫∫ (I.36)
Algunas regiones pueden
ser del tipo 1 del tipo 2
simultáneamente, a estas
regiones se les clasifica
como de tipo 3.
Ejemplo:
2
1y x= −
2
1y x= − −
Figura 1.26
El círculo unitario
como una región
tipo 1
2
1x y= − −
2
1x y= −
Figura 1.27
El círculo unitario
como una región
tipo 2

35
Si la región D es de tipo 1, se debe seleccionar un rectángulo
[ ] [ ]R a,b c,d= × que contenga a D , tal como se ilustra en la
siguiente figura.
Figura 1.28
Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 1
Luego, como ( ) ( )D R
f x,y dA F x,y dA=∫∫ ∫∫ , por el teorema de Fubini
resulta:
( ) ( )
b d
R a c
F x,y dA F x,y dydx=∫∫ ∫ ∫ (I.37)
Y según la definición de la función F , se tiene que ( ) 0F x,y = si
( ) ( )y g x y h x< ∨ > , entonces:
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )d h x h x
c g x g x
F x,y dy F x,y dy f x,y dy= =∫ ∫ ∫ (I.38)
Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de
tipo 1 de la siguiente manera:

36
Si por el contrario, la región D es de tipo 2, se debe seleccionar
un rectángulo [ ] [ ]R a,b c,d= × que contenga a D , tal como se
muestra en la figura 1.29.
x
y
x = h(y)
c
d
x = g(y)
D
ba
R
Figura 1.29
Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 2
Como ( ) ( )D R
f x,y dA F x,y dA=∫∫ ∫∫ , por el teorema de Fubini se
tiene:
( ) ( )
d b
R c a
F x,y dA F x,y dxdy=∫∫ ∫ ∫ (I.41)
DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 1
Sea f una función real y continua de dos variables, definida
en una región D del tipo 1, tal que
( ) ( ) ( ){ },D x y a x b g x y h x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.39)
La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada
( )D
f x,y dA∫∫ , está dada por:
( ) ( )( )
( )b h x
D a g x
f x,y dA f x,y dydx=∫∫ ∫ ∫ (I.40)

37
donde ( ) 0F x,y = si ( ) ( )xx g y h y< ∨ > , entonces:
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )b h y h y
a g y g y
F x,y dx F x,y dx f x,y dx= =∫ ∫ ∫ (I.42)
La integral doble sobre una región del tipo 2 se puede definir
como:
De ahora en adelante, para indicar el orden de integración y para
una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán
unas flechas, sobre la gráfica de la región D , que indicarán el
valor inicial y final de la variable de acuerdo a la entrada y salida
de la flecha, respectivamente.
En una región de tipo 1, la integral doble de la función f se
obtiene como ( )( )
( )b h x
a g x
f x,y dydx∫ ∫ , de acuerdo a la ecuación (I.40),
esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a
la variable y , por lo cual se indicará sobre la región D como se
ilustra en la siguiente figura:
DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 2
Sea f una función real y continua de dos variables, definida
en una región D del tipo 2, tal que
( ) ( ) ( ){ },D x y g y x h y c y d= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.43)
La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada
( )D
f x,y dA∫∫ , está dada por:
( ) ( )( )
( )d h y
D c g y
f x,y dA f x,y dxdy=∫∫ ∫ ∫ (I.44)
COMENTARIO

38
Figura 1.30
Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 1
Por otra parte, la ecuación (I.44) señala que en una región de tipo
2, la integral doble de la función f se obtiene como
( )( )
( )d h y
c g y
f x,y dxdy∫ ∫ , lo que indica que la primera integración se
realiza respecto a la variable x, por lo cual se señalará sobre la
región D como se muestra a continuación:
x
y
x = h(y)
c
d
x = g(y)
D
ba
R
Figura 1.31
Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 2
: Indica cual es el
valor de la variable
y a la salida de la
región D (límite
superior).
: Indica cual es el
y a la entrada de la
región D (límite
inferior).
: Indica cual es el
x a la salida de la
región D (límite
superior).
: Indica cual es el
x a la entrada de la
región D (límite
inferior).

39
Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D
determinada por los límites de integración e indique cuales
regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos.
a)
2
1
0 0
x
dydx∫ ∫ b)
2 3 1
1 2
x
x
dydx
+
∫ ∫
c)
2
2
2 4
0 4
y
y
dxdy
−
− −∫ ∫ d)
1
0
y
e
y
xdxdy∫ ∫
Solución:
a) Para resolver la integral
2
1
0 0
x
dydx∫ ∫ , se evalúa primero la integral
interna, pero a diferencia del ejemplo 1.4 de aquí en adelante se
mantendrá la integral externa, como sigue:
2 2 2
13
1 1 1 1
2
00 0 0 0 0 0
0
1
3 3
x x x x
dydx dy dx y dx x dx   = = = = =     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
1
0 0
1
3
x
dydx =∫ ∫
La región D de este ejercicio es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se
puede definir como:
Región tipo 1: ( ){ }2
, 0 1 0D x y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Región tipo 2: ( ){ }, y 1 0 1D x y x y= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se
muestra en la siguiente figura:
Figura 1.32
parte a
Figura 1.33
Función f definida en
la región D del
ejemplo 1.5 parte a
EJEMPLO 1.5

40
Figura 1.34
Región D del ejemplo 1.5 a
b) Se desea resolver la integral
2 3 1
1 2
x
x
dydx
+
∫ ∫
( )
2 3 1 2 3 1 2 23 1
21 2 1 2 1 1
1
x x x
xx x
dydx dy dx y dx x dx
+ + +   = = = +
    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
22
2
1
1
1 5
1
2 2
x
x dx
+
+ = =∫
2 3 1
1 2
5
2
x
x
dydx
+
=∫ ∫
La región D es una región de tipo 1, definida como:
( ){ }, 1 2 2 3 1D x y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ +
La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura
En el ejemplo 1.5 a la
integral
2
1
0 0
1
3
x
dydx =∫ ∫
, lo
cual quiere decir que el
sólido definido sobre
D bajo la gráfica de
f , tiene como volumen
1
3
(UL)3
, donde UL son
unidades de longitud.
Figura 1.35
parte b
Figura 1.36
la región D del
ejemplo 1.5 parte b
D
Valor de y a
la salida de D
2
y x=
Valor de y a
la entrada de D
0y =

41
Figura 1.37
Región D del ejemplo1.5 b
c) Resolviendo la integral doble
2
2
2 4
0 4
y
y
dxdy
−
− −∫ ∫ , se tiene:
2 2 2
22 2
2 4 2 4 2 24 2
40 4 0 4 0 0
2 4
y y y
yy y
dxdy dx dy x dy y dy
− − −
− −− − − −
   = = = −     
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Esta integral se resuelve empleando una sustitución
trigonométrica:
2
2
2
2 4 2 2
2
0 4 0 0
2 4 4 1
2
y
y
y
dxdy y dy dy
−
− −
 
= − = − 
 
∫ ∫ ∫ ∫
Al sustituir el cambio de variable se tiene:
Figura 1.38
parte c
Figura 1.39
la región D del
ejemplo 1.5 parte c
x = 2
x =1
D
Valor de y a
la salida de D
3 1y x= +
Valor de y a
la entrada de D
2y x=

42
( )
2
2
2 4 2 22 2
0 4 0 0
4 1 2cos 8 cos
y
y
dxdy sen d d
π π
θ θ θ θ θ
−
− −
= − =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2
2
22 4
2
0 4 0
0
1 cos 2 2
8 4 2
2 2
y
y
sen
dxdy d
π
π
θ θ
θ θ π
−
− −
+  
= = + = 
 
∫ ∫ ∫
2
2
2 4
0 4
2
y
y
dxdy π
−
− −
=∫ ∫
La región D del ejemplo 1.5 c es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se
puede definir como:
Región tipo 1: ( ){ }2
, 2 2 0 4D x y x y x= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Región tipo 2: ( ){ }2 2
, 4 4 0 2D x y y x y y= − − ≤ ≤ − ∧ ≤ ≤
La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:
Figura 1.40
Región D del ejemplo 1.5 c
CV: Cambio de Variable
2
y
senθ=
2cosdy dθ θ=
CLI: Cambio de los
límites de integración
LI:
0 0 0y arcsenθ= → = =
LS:
2 1
2
y arcsen
π
θ= → = =
De radio = 2 y altura = 1
por lo tanto se puede
calcular su volumen
como:
( ) ( )
2
2 1
2
2
V
π
π= =
lo que coincide con la
integral:
2
2
2 4
0 4
2
y
y
dxdy π
−
− −
=∫ ∫
y =0
D
Valor de x a
la entrada de D
2
4x y= − −
Valor de x a
la salida de D
2
4x y= −

43
d) La integral
1
0
y
e
y
xdxdy∫ ∫ es diferente a las tres partes
anteriores, ya que la función integrando es diferente a la unidad.
31 1 1 13 3
2 2 2
0 0 0 0
2 2
3 3
y
y y e ye e
y y y
xdxdy xdx dy x dy e y dy
    = = = −        
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1
31 5 3 3
2 2 2 2
0
0
2 2 2 2 2 2 2 4 32
3 3 5 3 3 5 3 9 45
y ye
y
xdxdy e y e e
    
= − = − − = −       
∫ ∫
1 3
2
0
4 32
9 45
y
e
y
xdxdy e= −∫ ∫
La región D es una región de tipo 2, definida como:
( ){ }, y 0 1y
D x y x e y= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:
Figura 1.43
Región D del ejemplo 1.5 d
Figura 1.41
parte d
Figura 1.42
la región D del
ejemplo 1.5 parte d
y = 0
y = 1
D
Valor de x a
la entrada de D
x y=
Valor de x a
la salida de D
y
x e=

44
1.7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE
A continuación se presentan las propiedades de la integral doble
de una función 2
f : → real de dos variables sobre una región
general D.
1.7.1 Propiedad de linealidad
Sean 2
f : → y 2
g : → dos funciones reales y continuas
definidas en una región D , y sean α y β dos números reales
cualesquiera, entonces:
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
D D D
f x y g x y dA f x y dA g x y dAα β α β+ = +          ∫∫ ∫∫ ∫∫
(I.45)
1.7.2 Propiedad de orden
Sean 2
f : → y 2
g : → dos funciones reales y continuas
definidas en una región D , tales que ( ) ( )f x,y g x,y≥ ( )x,y D∀ ∈ ,
entonces:
( ) ( ), ,
D D
f x y dA g x y dA≥∫∫ ∫∫ (I.46)
1.7.3 Propiedad aditiva respecto a la región de integración
Sea 2
f : → una función real y continua definida en una región
general D . Si la región D está dividida en dos subregiones 1D y
2D (es decir 1 2D D D= ∪ ), entonces:
( ) ( ) ( )1 2
, , ,
D D D
f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫ (I.47)

45
Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .
( )1
D
x y dA+ +∫∫ , ( ){ }2
2 3 3 6D x,y y x x y y x= ≥ + ∧ ≤ ∧ ≤ +
Solución:
El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región
D es tipo 1 o tipo 2. En la siguiente figura se muestra la región D .
Figura 1.45
Región D del ejemplo 1.6
La región D de este ejemplo no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo
tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la
propiedad señalada en la ecuación (I.47).
Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D
en dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos subregiones tipo 2. A
continuación se analizan ambas situaciones.
i) Cuando la región D es dividida por la recta 1x = − , se obtienen
dos subregiones de tipo 1; es decir, 1 2D D D= ∪ , donde:
( ){ }2
1 , 2 1 2 3 6D x y x x x y x= − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ + y
( ){ }2
2 , 1 1 2 3D x y x x x y= − ≤ ≤ ∧ + ≤ ≤
EJEMPLO 1.6
y = x2
+2x
y = 3x+6
y = 3
Figura 1.44
la región D del
ejemplo 1.6
Nótese como en este
ejemplo la función f no
es estrictamente positiva.

46
En la figura 1.46 se aprecia la región D dividida en dos regiones
tipo 1.
Figura 1.46
Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 1
Por lo tanto:
( ) ( ) ( )2 2
1 3 6 1 3
2 2 1 2
1 1 1
x
D x x x x
I x y dA x y dydx x y dydx
− +
− + − +
= + + = + + + + +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 2 4
1 1
3 3 2
2 1
5 15
24 3 25 3 5
2 2 2 2
x x x
I x x dx x x x dx
−
− −
   
= − − − + + + − − + +   
   
∫ ∫
29 172
60 15
I = +
( )
239
1
20D
I x y dA= + + =∫∫
ii) Cuando se traza la recta 0y = , la región D se divide en dos
subregiones de tipo 2; es decir, A BD D D= ∪ , donde:
( ){ }, 1 1 1 1 1 0AD x y y x y y= − − + ≤ ≤ − + + ∧ − ≤ ≤ y
( )
6
, 1 1 0 3
3
B
y
D x y x y y
− 
= ≤ ≤ − + + ∧ ≤ ≤ 
 
D1
D2
Valor de y a
la salida de D2
3y =
Valor de y a
la salida de D1
3 6y x= +
Valor de y a
la entrada de D2
2
2y x x= +Valor de y a
la entrada de D1
2
2y x x= +
1x = −

47
La figura 1.47 muestra la región D dividida en dos regiones tipo 2.
Figura 1.47
Entonces, siendo ( )1
D
I x y dA= + +∫∫ , se tiene que:
( ) ( )
0 1 1 3 1 1
6
1 1 1 0
3
1 1
y y
y
y
I x y dxdy x y dxdy
− + + − + +
−
− − − +
= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
Resolviendo se obtiene
8 749
15 60
I = − + , luego:
( )
239
1
20D
I x y dA= + + =∫∫
DA
DB
1
Valor de x a
la salida de DB
1 1x y= − + +
Valor de x a
la salida de DA
1 1x y= − + +
Valor de x a
la entrada de DB
6
3
y
x
−
=
Valor de x a
la entrada de DA
1 1x y= − − +
0y =

48
( )2
10 4
D
x y dA+ −∫∫ , ( ){ }2 2
2 4D x,y y x x y= − ≤ ∧ + ≤
Solución:
Tal como se explicó en los ejemplos anteriores, el primer paso
para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la
región D en una región de tipo 1 o tipo 2. Para ello se deben
estudiar las inecuaciones que definen a la región D .
La solución de la inecuación 2y x− ≤ es la intersección de las
inecuaciones: i) 2y x− ≤ (si y x≥ )
ii) 2x y− ≤ (si y x< )
La solución de la inecuación 2 2
4x y+ ≤ es el conjunto de pares
ordenados ( )x,y que se encuentran dentro y sobre la
circunferencia de radio 2 y con centro en el origen del sistema de
coordenadas.
La región D del ejemplo 1.7 se muestra en la figura 1.49
Figura 1.49
EJEMPLO 1.7
Figura 1.48
la región D del
ejemplo 1.7
Según la definición del
valor absoluto:
si
si
y x y x
y x
x y y x
− ≥

− = 
 − <
D
2y x= +
2 2
4x y+ =
2y x= −

49
En la figura anterior se aprecia que la región D no es de tipo 1, ni
de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se
emplea la propiedad aditiva respecto a la región de integración,
señalada en 1.7.3. Por lo que la región D se divide en dos
regiones tipo 1, esto es: 1 2D D D= ∩ , las cuales se detallan en la
figura 1.50.
Figura 1.50
Donde: ( ){ }2
1 , 2 0 4 2D x y x x y x= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ + y
( ){ }2
2 , 0 2 2 4D x y x x y x= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −
Por lo tanto:
( ) ( ) ( )1 2
2 2 2
10 4 10 4 10 4
D D D
I x y dA x y dA x y dA= + − = + − + + −∫∫ ∫∫ ∫∫
( ) ( )
2
2
0 2 2 4
2 2
2 4 0 2
10 4 10 4
x x
x x
I x y dydx x y dydx
+ −
− − − −
= + − + + −∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
0
2 3 2 2 2
2
2
2 3 2 2 2
0
8 20 10 4 4 7 4 4
12 20 10 4 4 9 4 4
I x x x x x x dx
x x x x x x dx
−
= + + − + + + − +
+ − + + − − + + −
∫
∫
D1
D2
Valor de y a
la salida de D2
2
4y x= −
Valor de y a
la salida de D1
2y x= +
Valor de y a
la entrada de D2
2y x= −
Valor de y a
la entrada de D1
2
4y x= − −
0x =

50
( )
80
14 14 24
3
I π π
 
= + + + 
 
( )2 152
10 4 28
3D
x y dA π+ − = +∫∫
D
x y dA+∫∫ , ( ){ }2 2
0 9D x,y y x y= ≥ ∧ + ≤
Solución:
La región D es una región tipo 1 tal como se muestra en la
siguiente figura.
Figura 1.52
Sin embargo, como la función integrando es un valor absoluto,
también llamado módulo, se tiene que:
( )
( )
si 0
si 0
x y x y
f x,y x y
x y x y
+ + ≥

= + = 
− + + <
A continuación se debe verificar si existe intersección entre la
región y las inecuaciones 0x y+ ≥ y 0x y+ < . Este resultado se
muestra en la figura siguiente.
EJEMPLO 1.8
Figura 1.51
la región D del
ejemplo 1.8
D
y = 0
2
9y x= −

51
Figura 1.53
Intersección de la región D con las inecuaciones 0x y+ ≥ y 0x y+ <
Entonces se tiene:
( )
( )
( ) ( )
1
2
si
si
x y x,y D
f x,y
x y x,y D
+ ∈

= 
− + ∈
Donde: ( ){ }2 2
1 0 9 0D x,y y x y x y= ≥ ∧ + ≤ ∧ + ≥ y
( ){ }2 2
2 0 9 0D x,y y x y x y= ≥ ∧ + ≤ ∧ + <
Por lo tanto la integral doble se resuelve como:
( ) ( )1 2D D D
I x y dA x y dA x y dA= + = + + − +  ∫∫ ∫∫ ∫∫
En las figuras 1.54 y 1.55, se muestra el orden de integración para
resolver las integrales dobles anteriores.
Figura 1.54
Región 1D del ejemplo 1.8
y = 0
0x y+ ≥
D1
D2
2
9y x= −
y = -x
0x y+ <
D1.A
3 3
2 2
,
 
− 
 
D1.B
Valor de y a
la salida de D1 .A
2
9y x= −
Valor de y a
la entrada de D1.B
0y =
Valor de y a
la entrada de D1.A
y x= −
0x =
Valor de y a
la salida de D1 .B
2
9y x= −
En la figura 1.54, se tiene
que:
1 1 1.A .BD D D= ∪

52
Entonces:
( ) ( ) ( )
2 2
1
0 9 3 9
3
0 0
2
x x
D x
x y dA x y dydx x y dydx
− −
− −
+ = + + +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )1
2
0 3
2 2
3
0
2
9 9
9 9
2 2 2D
x
x y dA x x dx x x dx
−
  
+ = − + + − + −  
   
∫∫ ∫ ∫
( ) ( )1
9 2 9 18
D
x y dA+ = − +∫∫
Ahora para la región D2:
Figura 1.54
Región 2D del ejemplo 1.8
Así:
( ) ( )2
2
3 3
22 2
0 9 0
9
9
2
y
D y
x y dA x y dxdy y y dy
−
− −
 
− + = − + = − − −    
 
∫∫ ∫ ∫ ∫
( )2
9 2 9
D
x y dA− + = −  ∫∫
Por lo tanto
18 2
D
I x y dA= + =∫∫
0y =
D2
Valor de x a
la salida de D2
x y= −
Valor de x a
la entrada de D2
2
9x y= − −
3 3
2 2
,
 
− 
 

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