Problemas tipo admisión UNI, FUNCIONES, OPERADORES, POLINOMIOS, HORNER, TEOREMA DEL RESTO

1. ´Indice general
1. FUNCIONES 2
2. OPERADORES 9
3. POLINOMIOS 10
4. HORNER 12
5. TEOREMA DEL RESTO 13
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1

2. Cap´ıtulo 1
FUNCIONES
№ 1 CepreUNI 2019-II.
Dada la funci´on
f(x) =



4 − x2
; |x| < 1
3
|x|
; |x| ≥ 1
Indique la alternativa correcta.
A) f es impar.
B) f es creciente en R+
C) f es decreciente en R.
D) f(x) = 1 tiene dos soluciones.
E) f(x) = x tiene dos soluciones.
Soluci´on: La idea es esbozar la grafica la funci´on
f(x) =



4 − x2
; −1 < x < 1
3
|x|
; x ≤ −1 ∨ 1 ≤ x
Seg´un el esbozo vemos que solo satisface la clave
C, f(x) = 1 tiene dos soluciones, 3 y −3.
№ 2 CepreUNI 2019-II.
Dada las funciones
f = {(1; −1), (2; −2), (−1; 0), (9; 2)}
y
g(x) =
x2
; x < 1√
x ; x ≥ 1
Calcule la suma de los elementos del rango de
g ◦ (2f).
A) 14 B) 16 C) 20 D) 21 E) 22
Soluci´on: Observe que D(2f) = {1; 2; −1; 9} =
D(f), esto porque 2f(x) existe cuando f(x) exis-
te, adem´as el dominio de la composici´on est´a dado
por
D(g ◦ (2f)) = {x | x ∈ D(2f) ∧ 2f(x) ∈ D(g)}
como D(2f) es un conjunto finito podemos hacer
lo siguiente
x ∈ D(2f) f(x) 2f(x) ¿2f(x) ∈ D(g)?
1 −1 −2 S´ı
2 −2 −4 S´ı
−1 0 0 No
9 2 4 S´ı
entonces D(g ◦ (2f)) = {1; 2; 9} adem´as
R(g ◦ (2f)) = {g(2f(x)) | x ∈ D(g ◦ (2f))}
por lo tanto R(g ◦ (2f)) = {4; 16; 2}, entonces la
suma de los elemento de R(g ◦ (2f)) es 22.
№ 3 CepreUNI 2019-II.
Dadas las siguientes proposiciones, indique su res-
pectivo valor de verdad.
I. Sean las funciones f : A → B y g : B → C. Si
g ◦ f es suryectiva, entonces g es suryectiva.
II. Si f es creciente, entonces la funci´on g tal que
g(x) = −f(2 − x) es decreciente.
III. Si f es acotada e invertible, entonces su in-
versa f∗
, tambi´en es acotada.
A) FVV B) VFV C) VVF
D) VFF E) FFF
№ 4 CepreUNI 2019-I.
Sea T = Z ∩ R, donde Z es el conjunto de los
enteros y R es el rango de la funci´on
f(x) = x2
+
2
x
+ 1 , 1 ≤ x < 2
2

3. calcule el cardinal del conjunto T.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
№ 5 CepreUNI 2019-I.
Dada la funci´on f(x) = x2
− 2x + 4, x ≥ 1. Deter-
mine la funci´on f∗
(inversa de f)
A) f∗
(x) = −1 +
√
3 − x , x ≤ 3
B) f∗
(x) = 1 −
√
x − 3 , x ≥ 3
C) f∗
(x) = 3 +
√
x − 1 , x ≥ 1
D) f∗
(x) = 1 +
√
x − 3 , x ≥ 3
E) f∗
(x) = −1 −
√
x − 3 , x ≥ 3
№ 6 CepreUNI 2019-I.
Dadas las funciones
f = {(−1; 3), (0; 2), (2; 2), (4; 0)}
g = {(−1; 2), (0; 1), (2; 3), (4; 4)}
Calcule la suma de los elementos del rango de f ◦g∗
A) − 3 B) 0 C) 5 D) 7 E) 13
№ 7 CepreUNI 2019-I.
Sea f la funci´on definida por
f(x) =
8
x2 + 2x + 9
, x ≥ −1
Si el rango de f es a; b], indique el valor de
T = a + 3b
A) − 4 B) − 2 C) 1 D) 3 E) 5
№ 8 CepreUNI 2019-I.
Sea f la funci´on definida por
f(x) =
x2
− 3 ; x ∈ Q
−x + 3 ; x ∈ Qc
A partir de esta funci´on identifique la alternativa
verdadera.
A) ∃x ∈ Q | f(x) = 2.
B) Si 1 < x < 3, entonces |f(x) − 1| < 5|x − 2|.
C) f est´a acotada.
D) ∃x ∈ Qc
| f(x) = x.
E) La ecuaci´on f(x) = 0 tiene soluci´on.
№ 9 CepreUNI 2019-I.
Sea f : A → B y g : B → C dos funciones. Indique
el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si B ⊂ R+
y f es decreciente, entonces
1
f
es
creciente.
II. Si g ◦ f y es suryectiva, entonces g es suryec-
tiva.
III. Si g◦f y g es cotada, entonces g◦f es acotada.
A) VVV B) FVV C) FFV
D) FVF E) FFF
№ 10 Dada la funci´on f(x) =
x2
− nx + 1
x2 + x + 1
+2 con
Domf = R, determine todos los valores de n ∈ R
de tal manera que se cumpla Ranf ⊂ [2; 5 .
A) ∅ B) R C) [−2; 2]
D) −7; 1 E) [−2; 1
V´ıdeo soluci´on.
№ 11 CepreUNI 2018-I.
Sea f la funci´on definida por
f(x) = |x| + xsgn(1 − x), x ∈ R
Si el rango de f es el intervalo [n; m , determine
T = m − n.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Soluci´on: Rpt.- 2 V´ıdeo soluci´on.
№ 12 CepreUNI 2018-I.
Dadas las funciones
f = {(0; 0), (1; 0), (2; 1), (3; 2), (4; 3)} y
g : −2; 2 → R dada por g(x) =
√
x + 2. Si
(g2
+ f)(α) = 3, halle 2α + 3.
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
V´ıdeo soluci´on.
№ 13 CepreUNI 2018-I.
Dadas las funciones
f(x) =
√
x − 2 + x2
− 4x
g(x) = ax + 3, a = 0
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. f es inyectiva.
II. f ◦ g es decreciente, si a < 0.
III. Existe un ´unico α ∈ R+
tal que f(α) = α
A) VFV B) FVF C) VVF
D) VVV E) FFF
V´ıdeo soluci´on.
№ 14 CepreUNI 2018-I.
Dadas las funciones
g = {(1; 2), (2; 5), (4; 0)}
3

4. f(x) =
√
x − 2 + 1
Calcule la suma de los elementos del dominio de
f∗
◦ g.
A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1
№ 15 CepreUNI 2018-I.
Dada la gr´afica de la funci´on f
Se˜nale la gr´afica que mejor se aproxima a g(x) =
f(|x| + 2).
A)
3
_
3_
B) 3
_
3_
C)
3
_
3_
D)
3_
3_
E)
№ 16 CepreUNI 2017-II.
Dado X = {1, 2, 3}, se define el conjunto
P = {f : X → X | f es biyectiva }
Siendo la composici´on de funciones una operaci´on
binaria en P.
Si f, g ∈ P tal que
f(1) = 2 , f(2) = 3 , f(3) = 1
g(1) = 1 , g(2) = 3 , g(3) = 2
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones
I. “ ◦ ” es asociativa.
II. “ ◦ ” es conmutativa.
III. g ◦ g = f ◦ f ◦ f.
IV. Existe f ∈ P, f = I tal que f ◦ f = I
A) VFFF B) FVFV C) FVVF
D) VFVV E) VVFV
Soluci´on: Rpt. VFVV
№ 17 CepreUNI 2017-II.
Siendo f, g funciones reales, indique el valor de ver-
dad del as siguientes proposiciones:
I. Si f2
es inyectiva, entonces f es inyectiva.
II. Si f es acotada (e invertible), entonces f∗
es
acotada.
III. Si f ◦ g∗
(x) = 3x, entonces
g(x) =
1
3
f(x) (g biyectiva).
A) VFV B) FFV C) VFF
D) FVV E) VVF
№ 18 CepreUNI 2017-II.
Sea f una funci´on definida por
f(x) =
x2
+ 3x + 2
x + 1
,
x ∈ [−2; −1 ∪ −1; 0]. Indique la gr´afica de la fun-
ci´on g(x) = f(|x|)
A) B)
C) D)
E)
Soluci´on: Calve A
№ 19 CepreUNI 2017-I.
Sea f : 1; 3] → 1; 2 ∪ [4; 6 ∪ {9} la funci´on defi-
nida por
f(x) = x x para todo x ∈ 1; 3] .
Determine T = f∗
(9) + f∗
(5) + f∗ 3
2
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
№ 20 CepreUNI 2017-I.
Dada la funci´on f : N → Z definida por
f(x) =



x
2
, si x es par
1 − x
2
, si x es impar
4

5. Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. f es una funci´on inyectiva.
II. f no es una funci´on sobreyectiva.
III. f es una funci´on biyectiva.
A) VVF B) VFV C) FVV
D) FVF E) VFF
№ 21 CepreUNI 2015-II.
Halle la inversa de la funci´on f definida por
f(x) = x2
− 4x + 7 , x ∈ [−4, 0]
A) f∗
(x) = 2 +
√
x − 3, x ∈ [7, 39]
B) f∗
(x) = 2 +
√
x − 3, x ∈ [3, 7]
C) f∗
(x) = 2 +
√
x + 3, x ∈ [7, 39]
D) f∗
(x) = 2 −
√
x − 3, x ∈ [3, 7]
E) f∗
(x) = 2 −
√
x − 3, x ∈ [7, 39]
№ 22 CepreUNI 2015-II.
Si
f = {(2, 4), (3, −3), (5, 2), (7, 0)}
y ∀x ≥ 2, g(x) =
√
x − 2. Indique el valor de ver-
dad de las siguientes proposiciones:
I. Dom(g ◦ f) = {2, 5}.
II. g ◦ f es creciente.
III. f ◦ f es un conjunto unitario.
A) VFV B) VVF C) VVV
D) VFF E) FVV
№ 23 CepreUNI 2015-II.
Sea f una funci´on creciente en [−2, 2] y g la fun-
ci´on definida por g(x) = f(2 − x).
Dada las siguientes proposiciones:
I. Dom(g) = [−2, 2].
II. −g es una funci´on decreciente.
III. g es una funci´on decreciente.
Indique cu´al o cu´ales son verdaderas.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y III E) I, II y III
Soluci´on: Rpt.- FFV
№ 24 Sea f y g funciones, determine el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobre-
yectiva.
II. Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva en-
tonces g es inyectiva.
III. Si f, g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyec-
tiva.
A) VFF B) FFF C) VVV
D) VVF E) FFV
Soluci´on: La respuesta es VVV, veamos por qu´e:
I. Recuerde que en la composici´on de g ◦ f, g y
la composici´on comparten el mismo conjunto
de llegada, sea este el conjunto C.
Sea y ∈ C, de la sobreyectividad de la com-
posici´on tenemos que existe a ∈ D(g ◦ f) tal
que (g◦f)(a) = y, es decir g(f(a)) = y, obser-
ve que necesariamente f(a) ∈ Dg, denotando
x = f(a) ∈ Dg, luego tenemos que g(x) = y,
es decir existe x ∈ Dg tal que g(x) = y.
Esto muestra que g es sobreyectiva.
II. Recuerde que en la composici´on de g ◦ f el
conjunto de llegada de f es Dg (dominio de
g). Como nos dicen que f es sobreyectiva
entonces Rf = Dg. Sean x, y ∈ Dg talque
x = y.
Luego como f es sobreyectiva, entonces exis-
ten a, b ∈ Df tal que f(a) = x y f(b) = y,
note que tambi´en a = b, ya que de lo contra-
rio f no ser´ıa funci´on porque tendriamos que
para a = b entonces f(a) = x = y = f(b),
observe que f(a), f(b) ∈ Rf = Dg y como
a, b ∈ Df, entonces a, b ∈ D(g ◦ f) adem´as
a = b, entonces por la inyectividad de g ◦ f
tenemos que (g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(b), es decir
g(f(a)) = g(f(b)), como f(a) = x y f(b) = y,
entonces reemplazando en la composici´on te-
nemos que g(x) = g(y).
Lo que finalmente muestra que f es inyectiva.
III. Sean x, y ∈ D(g ◦ f) tal que x = y, adem´as
recuerde que x, y ∈ Df y f(x), f(y) ∈ Dg
esto por definici´on composici´on de funciones,
luego como f es inyectiva tenemos que
x = y ⇒ f(x) = f(y)
como g es inyectiva
f(x) = f(y) ⇒ g(f(x)) = g(f(y))
recuerde que g(f(x)) = (g◦f)(x) y g(f(y)) =
(g ◦ f)(y), entonces tenemos que se cumple
x = y ⇒ g ⇒ (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y)
lo que muestra que g ◦ f es inyectiva.
5

6. № 25 CepreUNI 2015-I.
Sea
f : [a, b] → [−3, 1]
la funci´on definida por f(x) = 3
√
1 − x. Si f es
biyectiva, entonces el valor de a + b es
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
№ 26 CepreUNI 2015-I.
Dadas las funciones f, g : R → R. Indique el valor
de verdad de cada una de las siguientes proposi-
ciones:
I. Si (f +g) es acotada, entonces (f −g) es aco-
tada.
II. Si f y g son crecientes, entonces (f + g) es
creciente.
III. Si f y g son biyectivas, entonces (f + g) es
biyectiva.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FFV E) FFF
№ 27 CepreUNI 2015-I.
Sea f la funci´on definida por:
f(x) = x + |x| , x ∈ R .
En cada una de las siguientes proposiciones indi-
que si es verdadero (V) o falso (F).
I. Existe la funci´on inversa f∗
de f.
II. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
III. f es acotada.
A) VVF B) VVV C) FVV
D) FFF E) FVF
№ 28 CepreUNI 2015-I.
Dada la funci´on
f(x) =
−5 + ax
bx + 4
.
Si se tiene que Dom(f∗
) = R {−1} y adem´as
f = f∗
. Halle M = f∗
(0) · f(1).
A) −
63
19
B) −
45
32
C)
32
45
D)
45
32
E)
45
37
№ 29 CepreUNI 2015-I.
Si f es una funci´on inyectiva definida por
f = {(x, x2
− 2x) | x ∈ −∞, a − 3]} ,
entonces el m´aximo valor de a es
A) 7 B) 5 C) 4 D) 1 E) 0
№ 30 CepreUNI 2014-II.
El dominio de f y g es el conjunto de los n´umeros
reales R, f(x) = x + 2 y (f ◦ g)(x) = 2x2
+ 1. Si
h(x) =
√
x, determine el dominio de h ◦ g.
A) −
√
2
2
;
√
2
2
B) −
1
2
;
1
2
C) −2;
1
2
∪
1
2
; +∞
D)
√
2
2
; +∞
E) −∞;
√
2
2
∪
√
2
2
; +∞
№ 31 CepreUNI 2014-II.
Determine el valor de verdad de las afirmaciones
I. Toda funci´on impar es inyectiva.
II. La funci´on f definida por
f(x) = x|x| +
1
x
sen(x2
) es par.
III. Si la funci´on
f : [−4; −1] → [a; 14]
tal que f(x) = x2
+ b es inyectiva, entonces
a + b = −3.
A) FVF B) FFF C) VFV
D) FVV E) FFV
№ 32 CepreUNI 2014-II.
Indique el valor de verdad de cada una de las si-
guientes afirmaciones
I. Sean f, g : R → R, si f +g es acotada, enton-
ces f y g son acotadas.
II. Sea f : R → R, si f2
es acotada, entonces f
es acotada.
III. Si f : R → R es inyectiva, entonces f es cre-
ciente o decreciente.
A) FFV B) FFF C) FVF
D) VVF E) VFV
№ 33 CepreUNI 2014-II.
Determine el rango de la funci´on
f(x) = x + 3
√
x , x ∈ 1; 8
6

7. A) −1; +∞ B) 1; +∞ C) 2; 10
D) [1; +∞ E) 8; +∞
№ 34 CepreUNI 2014-II.
En la figura adjunta se muestra la gr´afica de la
funci´on f, definida por f(x) = b − 2
√
a − x con
a > b > 0. Determine a + b
A) − 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0
№ 35 Concurso Nacional Escolar 2013.
Sea la funci´on
f = 2x − 1;
x
3
+ 4 ∈ R2
| x ∈ 1; 2]
Halle su regla de correspondencia y su dominio
A) f(x) =
1
6
(x + 25), x ∈ 1; 2]
B) f(x) = (2x − 1), x 1; 2]
C) f(x) =
1
6
(x + 25), x ∈ 1; 3]
D) f(x) = (2x − 1), x ∈ 1; 3]
E) f(x) =
1
3
(x + 25), x ∈ 1; 3]
№ 36 CepreUNI 2010-II.
Determine la funci´on inversa de
f : [1; 4] → R
con regla de correspondencia
f(x) = x2
− 2x − 6|x − 1| + 9.
A) f∗
(x) = 1 −
√
x + 1; x ∈ [0; 9]
B) f∗
(x) = 4 +
√
x + 1; x ∈ [−1; 8]
C) f∗
(x) = 6x −
√
x + 1; x ∈ [0; 9]
D) f∗
(x) = −4 +
√
x + 1; x ∈ [−1; 8]
E) f∗
(x) = 4 −
√
x + 1; x ∈ [−1; 8]
V´ıdeo soluci´on.
№ 37 CepreUNI 2008-I.
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. Sea X = Domf
M = {f : X → R | f es una funci´on
acotada }.
Si g, h ∈ M entonces g + h ∈ M y
g
h
∈ M.
II. Si f es una funci´on biyectiva entoncs |f| es
tambi´en una funci´on biyectiva.
III. Si f : Domf → Ranf es una funci´on biyecti-
va entonces Dom(f∗
◦ f) = Dom(f).
Nota: f∗
es la funci´on inversa de f.
A) VFV B) FFV C) FVV
D) FVF E) VFF
№ 38 CepreUNI 2008-I.
Sea f : Domf → R una funci´on definida por
f(x) =
mx + 4
3x − n
que cumple:
a) Domf∗
= R {4}.
b) f = f∗
.
Determine E =
1
2
(m + n).
A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 24
№ 39 CepreUNI 2006-I.
Sea A = {x ∈ Z | x2
< 25} y
f : A → R
cuya regla de correspondencia es: f(x) = (x − 1)2
,
x ∈ A se tiene que:
I. ∃x ∈ A | f(x) = 36
II. f[2 + f(0)] = 4
III. f(x + 8) = f(x − 8)
Indique cu´al(es) de los enunciados dados son co-
rrectos.
A) Solo II y III B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y III
E) I, II y III
№ 40 CepreUNI 2006-I.
Determine el rango de la funci´on f tal que: f(x) =
x − 1
|x − 1|
(x2
+ 2|x − 1|)
A) 2, ∞ B) −∞, −1
C) R [−1, 1] D) R −1, 1
E) −1, 2
V´ıdeo soluci´on.
№ 41 CepreUNI 2006-I.
Sea f una funci´on creciente en su dominio; x ∈
[−2, 2] y sea g una funci´on definida por g(x) =
f(2 − x). Se proponen los siguientes enunciados:
I. El dominio de g es [−2, 2]
7

8. II. −g es una funci´on decreciente.
III. g es una funci´on decreciente.
Entonces son verdaderos:
A) Solo I B) Solo I y III C) Solo III
D) Solo II E) I, II y III
№ 42 CepreUNI 2006-I.
Sean las funciones f y g definidas por:
f = {(−1, 1), (1, 2), (π, 0), (4, −1)}
g(x) = x − 1 , x ∈ −3, 3 .
Halle: f2
− f · g
A) {(−1, 2), (1, 4)} B) {(1, 0), (−1, 4)}
C) {(−1, 3), (1, 0)} D) {(−1, 3), (1, 4)}
E) {(−1, 2), (0, 4)}
№ 43 CepreUNI 2006-I.
Dadas las funciones f y g definidas por:
f = {(1, 2), (2, 3)(3, 5)(4, 7)}
g = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 4)}
Determine la suma de los elementos del rango de
la funci´on h tal que: h = (f ◦ g) + (g ◦ f)
A) 2 B) 4 C) 7 D) 8 E) 10
№ 44 CepreUNI 2005-II.
Se define la siguiente funci´on:
f(x) = x2
− 4x + 3 , x > 4 .
Determine la funci´on inversa f∗
.
A) f∗
(x) =
√
x − 1 − 2
B) f∗
(x) =
√
x + 1 + 2
C) f∗
(x) =
√
x − 1 + 2
D) f∗
(x) = −
√
x + 1 + 2
E) f∗
(x) = −
√
x + 1 − 2
№ 45 CepreUNI 2005-II.
Si f y g son dos funciones tales que g(x) = x3
+ 1
y f(g(x)) = x3
+ x + 1 entonces g(f(2)) es:
A) 13 B) 28 C) 30 D) 40 E) 25
№ 46 CepreUNI 2005-II.
Si f es una funci´on definida por
f(x) =
8
x2 − 2x + 3
− 3 , ∀x ∈ R .
Entonces el menor valor de K tal que |f(x)| ≤ K,
∀x ∈ Domf es:
A)
1
3
B)
1
2
C) 2 D) 3 E) 4
№ 47 CepreUNI 2005-II.
Dadas la funciones f y g definidas por:
f(x) = 4 − |x| , x ∈ [−2, 2]
g = {(−6, 6), (−2, 1), (0, 2), (1, 0),
(2, 3), (6, −2)} ,
calcule la suma de elementos del rango de la fun-
ci´on f · g.
A) 3(
√
2 − 1) B) 3(
√
2 + 1)
C) 4(
√
2 + 1) D) 4(
√
2 − 1)
E) 2(
√
2 − 1)
№ 48 CepreUNI 2005-II.
Indique cu´al(es) de los siguientes enunciados son
correctas.
I. La funci´on f(x) = |x + 1| − |x − 1| es funci´on
impar en R.
II. La funci´on g(x) =
x
x2 + x + 1
es funci´on im-
par en R.
III. Existen funciones que son pares e impares a
la vez.
A) VVV B) VFF C) FVF
D) FFF E) VFV
№ 49 CepreUNI 2005-I.
Si f y g son dos funciones tales que g(x) = x3
+ 1
y f(g(x)) = x3
+ x + 1 entonces g(f(2)) es:
A) 13 B) 28 C) 30 D) 40 E) 25
№ 50 CepreUNI 2005-I.
Se define la funci´on:
f : [a, 1] → [b, 5]
tal que f(x) = (x − 1)2
− 4 es biyectiva. Calcule
T = a + b
A) − 2 B) − 3 C) − 4
D) − 5 E) − 6
8

9. Cap´ıtulo 2
OPERADORES
№ 1 CepreUNI 2019-I.
Dada la operaci´on ∗ en el conjunto Z, definida por
a ∗ b = m´ax a, b − m´ın a, b
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones.
I. ∗ es conmutativa.
II. ∗ es asociativa.
III. El elemento neutro es el 0
A) VFV B) VFV C) VVF
D) FFV E) VFF
№ 2 CepreUNI 2017-I.
Se define la operaci´on ∗ sobre R: x∗y = x. Indique
el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I. ∗ es conmutativa.
II. ∗ es asociativa.
III. ∗ posee elemento neutro.
A) VVF B) FFF C) FVF
D) FVV E) VVV
№ 3 CepreUNI 2016-I.
Se define el operador ⊕ en A = −∞; 0] por
a ⊕ b = m´ın{a, b}. Indique el valor de verdad de
las siguientes proposiciones:
I. ⊕ es conmutativo.
II. ⊕ satisface le propiedad de clausura en A.
III. ⊕ tiene elemento neutro.
A) VVF B) VVV C) VFV
D) FFV E) VFF
№ 4 CepreUNI 2015-II.
Se sabe que el operador ∗ definido sobre el conjun-
to A = {1, 2, 3} es conmutativo y posee elemento
neutro e.
∗ 1 2 3
1 3 m y
2 x 2 n
3 2 z 1
Halle e + x−1
(x−1
es el inverso de x respecto al
operador ∗)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9

10. Cap´ıtulo 3
POLINOMIOS
№ 1 CepreUNI 2019-II.
Si el polinomio
P(x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2
+ x + 1)
es id´entico al polinomio
Q(x) = 2x2
+ 5x − 1 ,
calcule el valor de T = a + b − c
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
№ 2 CepreUNI 2019-II.
Del polinomio sobre R.
P(x; y) = (b − 2a)xa+1
yb−2
+ 3xa+2
yb−2
+ (b − 8)xa+3
yb−2
se sabe que su grado absoluto es 20 y la suma de
sus coeficientes es 13. Halle el valore de T = ab.
A) 36 B) 54 C) 66 D) 70 E) 84
Soluci´on: Rpt.- 70
№ 3 CepreUNI 2019-II.
Sea P(x; y) un polinomio homog´eneo de primer
grado en R[x; y] tal que P(x; y) = P(y; x).
Determine el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I. ∀α ∈ R; ∀β ∈ R, P(α; −α) = P(−β; β)
II. P(x; y) = zP
x
z
;
y
z
, z = 0
III. ∃α ∈ R | ∀β ∈ R, P(α; α) =
α
2
P(β; β)
A) VFV B) VVV C) VVF
D) FVV E) VFF
№ 4 CepreUNI 2017-II.
Indique el valor de las siguientes proposiciones:
I. Si p(x, y) es un polinomio de grado 2, enton-
ces q(x, y, z) = z2
p
x
z
,
y
z
es homog´enea.
II. Si para todo x ∈ R, se cumple:
a(x2
+ 1) + (x − 1)(bx + c) = 5x2
− 4x + 3 ,
entonces abc es igual a −6.
III. Siendo p(x) y q(x) polinomios tales que
gr(p(x)) = 2 y gr(q(x)) = 5, entonces
gr (p6
(x) − q3
(x)) = 12.
A) VFV B) VVV C) FVF
D) VVF E) FVV
№ 5 CepreUNI 2017-I.
En el polinomio completo ordenado:
P(x) = xc
+ 2xa
+ 3xb
+ 4xm
+ · · · + 2b + 2c − 37 .
Encuentre el valor de:
a + b + c
3
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
№ 6 CepreUNI 2017-I.
Si el polinomio
p(x, y) = 5xm−2
yn−1
(x7
+ 2y2n−3
)
es homog´eneo de grado 16, calcule p(−1, −1).
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
№ 7 CepreUNI 2017-I.
Si P, Q y R son polinomios cuyos grados (gr) son
p, q y r respectivamente, siendo p, q y r distintos
entre s´ı. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de
las siguientes afirmaciones:
I. gr(PQ) = p + q
II. Si
P4
Q
es igual a un polinomio, entonces
gr
P4
Q
= 4p − q.
III. 3gr(P + Q + R) ≥ p + q + r
10

11. A) VFF B) FFF C) VVV
D) FVF E) VFV
№ 8 CepreUNI 2015-II.
Indique el valor de verdad de las siguientes afirma-
ciones:
I. P(x, y) = x2
+xy es un polinomio homog´eneo.
II. Si P(x, y) es un polinomio homog´eneo con
grado de homogeneidad 3 y P(2, −1) = 2 en-
tonces P(−8, 4) = 128.
III. Si P(x, y) y Q(x, y) son polinomios ho-
mog´eneos de grado 2, entonces P2
(x, y) +
Q2
(x, y) es un polinomio homog´eneo de grado
4.
A) FFF B) FFV C) VFF
D) VFV E) VVF
№ 9 CepreUNI 2011-I.
Determine la suma de los coeficientes del polino-
mio P(x) ordenado y completo, siendo:
P(x) = 2a + b + 5bxa−b
− (b − a)xa2−2b
+ xa+b
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15
№ 10 CepreUNI 2011-I.
Dados los polinomios P(x) y Q(x), halle el grado
de Q(x), si el grado de P4
(x)Q3
(x) es 29 y el grado
de
P3
(x)
Q2(x)
es 9
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
№ 11 CepreUNI 2011-I.
Sea {a, b, c, x, y, z} ⊂ R. Si a2
+ b2
+ c2
= 1 y
x2
−2ax+y2
z2
= 2cz +2by −1. Determine el valor
de: x2
+ y2
+ z2
.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
№ 12 CepreUNI 2008-II.
Sea P un polinomio definido por
P(x, y) = (2m + n)xm+n−2
ym−3
+
(8n + 1)xm+n+5
ym−4
+ 3(n − m)xm+n−6
ym+2
Si el menor exponente de y es 4, adem´as GR(x)−
GR(y) = 5, entonces la suma de coeficientes de P
es:
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
№ 13 CepreUNI 2008-II.
Si (a + 1)2
= (2 +
√
6)a, entonces el valor de
M =
(a2
+ 1)2
1 + a4
es:
A)
2
3
B)
3
2
C)
5
3
D) 2 E) 3
№ 14 CepreUNI 2008-II.
Sea m, n y k ∈ Z (Z: conjunto de los n´umeros
enteros) tal que m < n < 9. Si
P(x; y) = xm2+m+k
− 2x
n2
5 ym+1
+ 3y
n2
5
+4
es un polinomio homog´eneo, entonces el valor de
la suma k + gr(P) es:
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
№ 15 CepreUNI 2007-II.
Sea el polinomio:
P(x, y) = . . . + xa
yb+2
+ xr
ys
+ xb
ya+2
+ . . .
que es completo y homog´eneo de grado 8 y est´a
ordenado en forma creciente respecto al grado de
x. Los t´erminos que se muestran son consecutivos.
Halle el grado, relativo a y, del t´ermino xr
ys
.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
№ 16 CepreUNI 2006-II.
Si P, Q y R son polinomios cuyos grados son
gr(P) = p ≥ 0, gr(Q) = q ≥ 0 y gr(R) = r ≥ 0,
siendo p, q y r distintos entre s´ı. Indique la veraci-
dad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmacio-
nes:
I. gr(PQ) = p + q
II. Si el cociente
P4
Q
es igual a un polinomio, en-
tonces gr
P4
Q
= 4p − q
III. 3gr(P + Q + R) ≥ p + q + r
A) VVV B) VFV C) VVF
D) VFF E) FVF
№ 17 CepreUNI 2006-II.
Si se cumple que:
(a + 2x + b)(a − 2x + b) = (a − b)2
Simplifique:
E =
(x + a)(x + b)
a + 2x + b
−
x3
ab
A) − 1 B) −
1
2
C) 0 D)
1
2
E) 1
№ 18 CepreUNI 2006-II.
Un polinomio m´onico P(x) de grado n + 1 es di-
visible por el polinomio (xn
+ 2). Si los restos de
dividir P(x) separadamente entre (x+1) y (x+2)
son respectivamente 12 y 198, halle n.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10
11

12. Cap´ıtulo 4
HORNER
№ 1 CepreUNI 2006-II.
Si (x − k)2
es un factor del polinomio P(x) =
x5
− 5ax + 4b, a = 0 y b = 0, entonces
a5
b4
es
igual a:
A)
1
4
B)
1
2
C)
3
4
D) 1 E) 2
12

13. Cap´ıtulo 5
TEOREMA DEL RESTO
№ 1 CepreUNI 2015-I.
Calcule la suma de los coeficientes del residuo en
la divisi´on x100
÷ (x49
+ 1)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
№ 2 CepreUNI 2011-I.
Determine el resto en la siguiente divisi´on:
(x3
+ 3x2
+ 3x + 1)2
+ (x + 1)2
+ 8
x2 + 2x − 2
A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42
№ 3 CepreUNI 2006-II.
Si R(x) es el resto de la siguiente divisi´on indicada:
x34
+ x2
− 1
x32 + x30 + x28 + · · · + x4 + x2 + 1
.
Halle el valor de R(2)
A) 4 B) 8 C) 12
D) 16 E) 132
Soluci´on: Denotemos
D(x) = x34
+ x2
− 1
d(x) = x32
+ x30
+ x28
+ · · · + x4
+ x2
+ 1
luego por el algoritmo de la divisi´on tenemos que,
existen Q(x) y R(x) ´unicamente determinados ta-
les que
D(x) = d(x)Q(x) + R(x) . (1)
Multiplicando (1) por (x − 1) tenemos
(x2
− 1)D(x)
D (x)
= (x2
− 1)d(x)
d (x)
Q(x)+(x2
− 1)R(x)
R (x)
.
Esto es una nueva divisi´on
D (x) = d (x)Q(x) + R (x)
donde
D (x) = x36
− x34
+ x4
− 2x2
+ 1
d (x) = x34
− 1
ahora con el teorema del resto descubriremos
R (x).
Haciendo
D (x) = (x34
)x2
− x34
+ x4
− 2x2
− x + 1
reemplazando x34
= 1 tenemos el resto R (x)
R (x) = x2
− 1 + x4
− 2x2
+ 1 = x4
− x2
R (x) = x2
(x2
− 1), entonces R(x) = x2
, luego
R(2) = 4
13