Introducción a los procesos estocásticos y sus aplicaciones

INTRODUCCIÓN A LOS
PROCESOS
ESTOCÁSTICOS Y SUS
APLICACIONES EN LA
ACTUARÍA
Emmanuel Ruíz
Guarneros

INTRODUCCIÓN
 La probabilidad es una estrategia
mediante la cual se intenta estimar la
frecuencia con la que se obtiene un cierto
resultado en el marco de una experiencia
en la que se conocen todos los resultados
posibles.

INTRODUCCIÓN
Como dice (Leandro, L. 2012), “En
muchas ocasiones de nuestra vida diaria
nos enfrentamos a procesos afectados
por eventos fortuitos que inciden en los
resultados que esperábamos. “
 Estos procesos a los que se refiere el
autor, son los procesos estocásticos, uno
de los muchos temas de la probabilidad.

VARIABLES ALEATORIAS
 En este capítulo se definirá lo que es una
variable aleatoria, un tema básico para
poder comprender los procesos
estocásticos, y se darán algunos ejemplos
de éstas para que la compresión de su
definición sea mucho mejor.

Definición


Definición
 Definición: Una variable aleatoria es una
función X de w de valores numéricos, que
puede ser el resultado de algún
experimento, cuyo dominio es un conjunto
A.

Definición
 Una variable aleatoria discreta es una
variable que sólo puede tomar valores
enteros y un número finito de éstos.
 Una variable aleatoria continua es una

variable que puede tomar tanto valores
enteros como fraccionarios, y un número
infinito de ellos dentro de un mismo
intervalo.

Conceptos Básicos
 Distribución.- La distribución de
probabilidades muestra toda la gama de
posibles resultados que puede tomar una
variable aleatoria.
 Función de Distribución.- Es una función

que nos proporciona la probabilidad de
que un evento se realice en el futuro, o de
que una variable aleatoria tome cierto
valor.
 Esperanza Matemática.- Simplemente es

PROCESOS ESTOCÁSTICOS
 En este capítulo definiremos lo que son
los procesos estocásticos, así como dos
clasificaciones que tienen. Se analizarán
por separado cada una de las
clasificaciones y además se verán
algunos ejemplos dónde se pueden
apreciar los procesos estocásticos para
que sea mucho más fácil su comprensión.

Definición y Conceptos Básicos
 Según (Ruíz, M. 2012), “Un proceso
estocástico es una colección o familia de
variables aleatorias {Xt, con tϵT},
ordenadas según el subíndice t que en
general se suele identificar con el tiempo”.
Donde T es llamado el espacio
paramétrico del proceso.

 Ya dijimos que Xt es una variable
aleatoria, pero dentro de los procesos
estocásticos, a cada variable aleatoria se
le llama “estado” del proceso estocástico
en el tiempo t. Por lo tanto, para cada
valor de t tenemos un estado
generalmente distinto, aunque puede
llegar a ser igual al estado de otro tiempo
t.

 Conjunto Discreto.- Un conjunto se puede
considerar discreto si entre dos de sus
elementos siempre hay un número finito
de ellos. El ejemplo más simple y usual de
conjunto discreto es el conjunto de los
naturales N

 Conjunto Continuo.- Un conjunto se
puede considerar continuo si no es
discreto. Es decir, entre dos elementos del
conjunto hay un número infinito de ellos.
Un ejemplo claro de conjunto continuo es
el de los números reales R.

 Sucesión.- Una sucesión de números
reales es una función de dominio
{nϵZ:n≥m:ƎmϵZ} y de rango R, donde Z es
el conjunto de los enteros, y R el de los
reales. Es decir, es una agrupación de
números ordenada.

Clasificación
Según (Ruíz, M. 2012):
 “Si el conjunto T es continuo, por ejemplo
R+, diremos que Xt es un proceso
estocástico de parámetro continuo.”
 “Si por el contrario T es discreto, por
ejemplo N, diremos que nos encontramos
frente a un proceso estocástico de
parámetro discreto.”

Clasificación
 “Si para cada instante t la variable
aleatoria Xt es de tipo continuo, diremos
que el proceso estocástico es de estado
continuo.”
 “Si para cada instante t la variable

aleatoria Xt es de tipo discreto, diremos
que el proceso estocástico es de estado
discreto.”

Clasificación
Procesos de Estado Discreto
 Dentro de los procesos de estado
discreto se incluyen tanto los procesos de
parámetro discreto como los de parámetro
continuo, siempre y cuando los estados
sean discretos.
 Los procesos de estado discreto y de
parámetro discreto reciben el nombre de
“cadenas”, y los procesos de estado
discreto y parámetro continuo reciben el
nombre de “procesos de saltos puros”.

Clasificación
Cadenas de Markov

 Según (Rincón, L. 2011), “Una cadena de
Markov es un proceso estocástico a tiempo
discreto {Xn:n = 0, 1,…}, con espacio de
estados discreto, y que satisface la propiedad
de Markov, esto es, para cualquier entero n ≥
0, y para cualesquiera estados xo,…, xn+1, se
cumple:
p(xn+1 | xo,…, xn) = p(xn+1 | xn).”, donde p(xn) es
la probabilidad de que la variable aleatoria Xn
tome el valor de xn, es decir, p(Xn = xn)

Clasificación
Cadenas de Markov

 Ejemplo de Cadena:

Clasificación
Procesos de Saltos Puros

 Un proceso de saltos puros es un proceso
estocástico de estados discretos pero de
parámetro continuo.
 Un ejemplo claro de esto se puede
considerar como un ejemplo una señal
telegráfica. Sólo hay dos posibles
estados, supongamos 2 y -2, por lo tanto
el proceso es de variable discreta, pero
puede cambiar en cualquier instante, por
lo tanto es de espacio paramétrico.

Clasificación
Procesos de Saltos Puros

 Ejemplo de Proceso de Saltos Puros

Clasificación
Procesos de Estado Continuo

 Las nociones de cadenas de Markov se
pueden extender a un tiempo continuo t≥0. En
tiempo continuo es complicado definir la
distribución condicionada, dados todos los
valores de Xr para r ≤ s, por lo que decimos en
su lugar que Xt, t ≥ 0, es una cadena de
Markov si dado el estado actual, el resto del
pasado es irrelevante para predecir el futuro.

Clasificación

 En este tema es bueno definir lo que es una
realización en un proceso estocástico. Una
realización de una experiencia aleatoria es el
resultado de haber hecho esa acción, por
ejemplo, al lanzar una moneda, una
realización sería el “águila” que obtuviste.
Cuando hablamos de procesos de estado
continuo, lo que se obtiene en una realización
es una gráfica continua.

Clasificación
Series Temporales

 Según (Ruíz, M. 2012), “Una serie
temporal es una realización parcial de un
proceso estocástico de parámetro
discreto”. Es decir, es una colección de
observaciones de una variable aleatoria
durante cierta cantidad de tiempo finita.

Clasificación
Series Temporales

 Las series temporales pueden ser de dos
formas. Cuando se puede predecir
exactamente el valor de la serie temporal,
entonces es determinística. Si el
comportamiento futuro de la serie sólo se
puede pronosticar de manera parcial y en
base a su comportamiento pasado,
entonces será una serie temporal
estocástica.

Clasificación
Procesos Estacionarios y No Estacionarios

 Un proceso o serie es estacionario(a) cuando
es estable, es decir, cuando la media y la
variabilidad de la variable aleatoria son
constantes a los largo del tiempo.
 los procesos o series no estacionarios(as) son
en los cuales la media y/o variabilidad
cambian en el tiempo. Los cambios en la
media determinan una tendencia a crecer o
decrecer a largo plazo, por lo que la serie no
oscila alrededor de un valor constante.

APLICACIONES DE LOS
PROCESOS ESTOCÁSTICOS EN
LA ACTUARÍA
 Los procesos estocásticos son una
herramienta importante para los actuarios,
sobre todo cuando se trata de evaluar
proyectos de inversión para ver si son
viables o no, además de que nos ayuda a
formar modelos de pérdida y a predecir
muchas cosas, como por ejemplo, la
cantidad de reclamos que tendrá una
aseguradora, la cantidad de muertes en
un año, el precio de una acción en un

APLICACIONES DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS EN LA
ACTUARÍA
Valoración de títulos
Acciones

 Dentro de los títulos de propiedad, las
acciones pueden considerarse como una de
los de mayor riesgo, ya que por ejemplo, a
diferencia de un bono, la acción puede fluctuar
en cuanto a su precio y rendimiento,
dependiendo de cómo vayan las cosas para la
empresa que emite las acciones.
 Una de las clasificaciones de las acciones es:
Acciones Comunes y Acciones Preferentes.

ACTUARÍA
Acciones
Acciones Preferentes

 Las acciones preferentes son un tipo de
seguridad que ofrece una tasa fija de
rendimiento similar a los bonos. Sin embargo,
se diferencia de un bono, ya que técnicamente
es una seguridad de la propiedad en lugar de
un título de deuda, es decir, el dueño de las
acciones preferentes es dueño de parte de la
sociedad emisora.

ACTUARÍA
Acciones
Acciones Preferentes

 A pesar de ser técnicamente dueño, alguien
que tiene acciones preferentes por lo general
tiene derechos limitados de voto, o quizá
ninguno en absoluto.
 El pago periódico de las acciones preferentes
se suele llamar un dividendo, ya que se paga
a un propietario.

ACTUARÍA
Acciones
Acciones Comunes u Ordinarias

 Las acciones comunes son un tipo de
seguridad de propiedad, éstas no ganan una
tasa fija de dividendos. Los dividendos de las
acciones comunes son pagados sólo después
de haber pagado todas las demás deudas, así
como los dividendos de las acciones
preferentes. Las tasas de dividendos de las
acciones comunes son completamente
flexibles.

ACTUARÍA
Obligaciones

 Una obligación es una garantía que devenga
intereses que se compromete a pagar una
cantidad determinada (o cantidades) de dinero
en una fecha futura (o fechas).
 El final del plazo de una obligación se llama
“fecha de vencimiento”.

ACTUARÍA
Obligaciones

 Según (Martínez, J. & Pedreira, L. 2012),
“Durante largo tiempo se ha considerado a las
obligaciones como el modelo estándar de los
títulos sin riesgo, pues, al contrario de las
acciones, las obligaciones tienen su vida fijada
y los ingresos generados por el título, así
como su valor de rembolso al fin de la
duración de su vida son ciertos”.

ACTUARÍA
Obligaciones

 Y aunque esto es verdad, las obligaciones no
están libres de riesgo al 100%, ya que su
riesgo financiero está asociado con la
evolución de los tipos de interés.
 Y es aquí donde hallamos una aplicación de
los procesos estocásticos, pues con ayuda de
ellos podemos clasificar los modelos
estocásticos de evolución de la estructura
temporal de los tipos de interés.

APLICACIÓN DE LOS PROCESOS
ESTOCÁSTICOS EN LA ACTUARÍA
Evaluación de Proyectos de Inversión

 Un proyecto de inversión es un plan que si se
le asigna determinado monto de capital y se le
proporciona insumos de varios tipos, podrá
producir un bien o servicio útil para el ser
humano o a la sociedad en general.
 La evaluación de proyectos de inversión tiene
por objeto conocer la rentabilidad económica y
social del proyecto, de tal manera que le
asegure resolver una necesidad humana en
forma eficiente, segura y rentable.


 Proceso de la evaluación de proyectos:
 El perfil o la gran visión.- Es la idea del
proyecto y el análisis
 La factibilidad del proyecto.- Es donde uno
hace todos los estudios necesarios para poder
determinar si el proyecto es factible o no
 El proyecto definitivo.- Es donde se define si el
proyecto se lleva a cabo o no.


 Las técnicas financieras para poder evaluar
proyectos de inversión son:
 El Valor Presente Neto (VPN)
 El Periodo de Recuperación
 El Periodo de Recuperación Descontado
 La Tasa Interna de Retorno (TIR)
 El índice de Rentabilidad.

 La Tasa Interna de Retorno consiste en igualar
a cero la diferencia de la inversión inicial del
proyecto menos el valor presente de todos los
flujos de efectivo de cierto tiempo, entonces con
este método, podremos encontrar aquella tasa
de interés en la que nuestro proyecto no
perderá ni ganará nada, y tomar ésta como
base.


 El Valor Presente Neto consiste en algo muy
parecido a los que es la Tasa Interna de
Retorno. Se trae a valor presente todos los
flujos de efectivo, y después se les resta la
cantidad de la inversión inicial. Si el resultado
de esta resta es mayor que uno, entonces el
proyecto tiene la aprobación, y si el resultado
es menor que uno, entonces el proyecto no se
lleva a cabo.


 Consideré explicar sólo estos dos métodos, ya
que es en éstos dónde más se utilizan los
procesos estocásticos, pues necesitamos
saber los flujos de efectivo de la empresa, los
cuales se pueden predecir en base a los flujos
que haya tenido anteriormente la empresa.


 Además, también se utilizan las tasas
estocásticas, que se pueden considerar como
variables aleatorias, y por lo tanto, el VPN y la
TIR se consideran un proceso estocástico de
parámetro discreto y de variable continua.

CONCLUSIONES
 Los procesos estocásticos son en general una
agrupación de variables que tienen un valor
incierto, y que con distintos métodos se puede
pronosticar o tener una aproximación de los
valores que pueden tomar estas variables. Los
podemos clasificar según que tan seguido
cambian, ya sea de manera espaciada o en
cualquier instante. También los podemos
clasificar según los valores que puedan tomar
las variables del proceso, ya sea que tome
valores enteros o que tome cualquier valor.

CONCLUSIONES
 Los procesos estocásticos son de gran
importancia para un actuario, ya que estos nos
pueden servir para pronosticar el precio de
una acción, los cuales varían diariamente, así
como para poder pronosticar el rendimiento
que ésta tendrá, ya que no tienen un
rendimiento fijo. También podemos utilizarlos
para poder ver la evolución que tienen los
tipos de interés, lo cual altera el rendimiento
de una obligación, aunque el riesgo de éstas
es muy pequeño comparado con otros títulos
de crédito como las acciones.

CONCLUSIONES
 También podemos ocuparlos para evaluar
proyectos próximos a realizarse, para poder
verificar que en verdad los proyectos sean
rentables, eficaces, y que no se generen
pérdidas en lugar de ganancias, ya que en los
métodos de evaluación de proyectos hay
mucha incertidumbre y es necesario
pronosticar bastantes cosas.

REFERENCIAS
 Martínez, J. (2003). Introducción al Cálculo
Estocástico Aplicado a la Modelación Económico-
Financiero-Actuarial. España: Netbiblo
 Leandro, L. (29 de Mayo del 2012). Aplicación de
los Procesos Estocásticos a la Vida Diaria.
Milenio. Recuperado de:
http://www.milenio.com/cdb/doc/impreso/9148799
 Ruíz, M. (2012). Procesos Estocásticos. España
 Rincón, L. (2011). Introducción a los Procesos
Estocásticos. Facultad de Ciencias UNAM.
México. Pp. 23 – 27, 123- – 127.

REFERENCIAS
 Martínez, J. & Pedreira, L. (2012). Valoración de
Títulos mediante el uso de los Procesos
Estocásticos. España. Pp. 269 – 288.
 Lai, C. (1983). Elementary Probability Theory With
Stochastic Processes. Barcelona. Reverte
 Broverman, S. (2008). Mathematics of Investment
And Credit. Actex Publications
 Cruz, F. (2012). Procesos Estocásticos en la
valuación de proyectos de inversión, opciones
reales, árboles binomiales, simulación bootstrap y
simulación Monte Carlo: Flexibilidad en la toma
de decisiones. México. Pp 83 – 112

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