MODELOS CUYA NATURALEZA SE SUSTENTE EN VARIABLES DISCRETAS Y/O ESTOCÁSTICAS TÓPICOS DE INGENIERÍA DEL SISTEMA DE TRANSPORTE

1. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO TLÁHUAC II
INGENIERÍA EN LOGÍSTICA
TÓPICOS DE INGENIERÍA DEL SISTEMA DE TRANSPORTE
PROFESOR: TENORIO NÚÑEZ ARIEL
“MODELOS CUYA NATURALEZA SE SUSTENTE EN VARIABLES
DISCRETAS Y/O ESTOCÁSTICAS”
ALUMNA:
CRUZ MAYO MARLENE 191110188
13 de Abril de 2023

2. Introducción
En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático
que sirve para representar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para
caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en
función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables
aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y
pueden o no estar correlacionadas entre sí.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o
efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico puede
entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas
mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos
en los que hay cierta aleatoriedad. Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos
han inspirado a su vez la propuesta de nuevos procesos estocásticos.
De manera informal, un modelo estadístico puede considerarse como una
suposición estadística (o un conjunto de suposiciones estadísticas) con una
determinada propiedad: que la suposición nos permite calcular la probabilidad de
cualquier evento. Como ejemplo, considere un par de dados ordinarios de seis
caras.
Objetivo
• Que el alumno conozca cuales son los modelos sustentados con las variables
estocásticas.

3. Modelos cuya naturaleza se sustente en variables discretas y/o estocásticas
Tal clasificación hace referencia al grado de certeza con el cuál se conocen los
parámetros de un modelo matemático, el modelo es determinístico cuando se tiene
certeza de los valores de los parámetros, el modelo es estocástico cuando los
parámetros usados para caracterizar el modelo son variables aleatorias que tienen
unos comportamientos estimados, pero no se conoce con certidumbre previamente
cuál será el valor que tomen.
Los modelos determinísticos son aquellos donde se supone que los datos se
conocen con certeza, es decir, se supone que cuando el modelo sea analizado se
tiene disponible toda la información necesaria para la toma de decisiones.
Por el contrario, en los modelos estocásticos también conocidos como modelos
probabilísticos, algún elementó no se conoce con anticipación, incorporando así la
incertidumbre.
Modelo determinístico
Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas
producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia
del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la
creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de
situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la
incertidumbre. La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una
cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará
posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico.
Modelos estocásticos
Un modelo es estocástico cuando al menos una variable del mismo es tomada como
un dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de funciones
probabilísticas. Sirven por lo general para realizar grandes series de muestreos,
quitan mucho tiempo en el computador son muy utilizados en investigaciones
científicas. Para lograr modelar correctamente un proceso estocástico es necesario
comprender numerosos conceptos de probabilidad y estadística. Dentro del

4. conjunto de procesos estocásticos se encuentran, por ejemplo, el tiempo de
funcionamiento de una máquina entre avería y avería, su tiempo de reparación y el
tiempo que necesita un operador humano para realizar una determinada operación.
Un modelo estocástico representa una situación donde la incertidumbre está
presente. En otras palabras, es un modelo para un proceso que tiene algún tipo de
aleatoriedad. La palabra estocástico proviene de la palabra griega stokhazesthai
que significa apuntar o adivinar. En el mundo real, la incertidumbre es parte de la
vida cotidiana, por lo que un modelo estocástico podría representar literalmente
cualquier cosa. Lo contrario es un modelo determinista, que predice resultados con
un 100% de certeza. Los modelos deterministas siempre tienen un conjunto de
ecuaciones que describen exactamente las entradas y salidas del sistema. Por otro
lado, los modelos estocásticos probablemente producirán resultados diferentes
cada vez que se ejecute el modelo.
Todos los modelos estocásticos tienen lo siguiente en común:
1. Reflejan todos los aspectos del problema que se estudia,
2. Las probabilidades se asignan a los eventos dentro del modelo,
3. Esas probabilidades se pueden usar para hacer predicciones o
proporcionar otra información relevante sobre el proceso.
Pasos para construir un modelo estocástico
Los pasos básicos para construir un modelo estocástico son:
1. Cree el espacio muestral (Ω), una lista de todos los resultados posibles,
2. Asignar probabilidades a los elementos del espacio muestral,
3. Identificar los eventos de interés,
4. Calcular las probabilidades de los eventos de interés.
Un modelo estocástico corresponde a un análisis de un conjunto de variables
aleatorias que dependen de algún parámetro y están ligadas en el tiempo t. De
manera que para cada valor de t existe una probabilidad. En términos sencillos, un

5. modelo estocástico nos permite evaluar las posibilidades de ocurrencia de eventos
que no se pueden prever con exactitud.
Los modelos estocásticos pueden abarcar muchas áreas de interés como lo son la
ocurrencia y análisis de accidentes, marcadores, procesos de epidemias y sus
rastros de contagio entre muchas más. El presente documento se decanta por
mostrar la llamada teoría de colas como un modelo estocástico. Además, la misma
teoría de colas, tiene sistemas estocásticos como lo son la distribución de Poisson
que surge de modelos de Markov. Estos sistemas en sus entradas, crean un sistema
complejo que puede explicar gran cantidad de modelos de comportamiento de cómo
los sistemas reaccionan ante la llegada de clientes.
Teoría de Colas
Una cola, es una línea de espera que se forma cuando la demanda de un servicio
excede su disponibilidad. Un sistema de colas, se compone de clientes que llegan
por un servicio, son servidos y luego abandonan el sistema. Al referirse a clientes,
este no debe ser precisamente humano sino a cualquier entidad que requiera de un
servicio. Un sistema de colas, usualmente se describe mediante 5 características:
Patrón de llegada de los clientes: El patrón de llegada puede ser un sistema
estocástico. Pero este patrón de llegada puede ser dependiente o independiente del
tiempo por tanto estacionario o no estacionario.
Patrón de servicio al cliente: Este es otra característica dependiente o independiente
del tiempo que se caracteriza por la cantidad de clientes en espera.
Disciplina de cola: Se define la manera de recibir al cliente. Por lo tanto, cualquier
sistema de disciplina que envuelva un sistema de prioridades puede ser
implementable.
Capacidad del sistema: Define si la capacidad del sistema es finita o infinita y en el
caso de un sistema finito define la capacidad máxima del sistema.
Canales de servicio: Define la cantidad de servidores capaces de generar filas.

6. 1.1 Notación
La notación estándar para describir un sistema de colas en proceso es A/B/X/Y/Z,
donde A indica la distribución entre los intervalos de llegada, B indica la distribución
de probabilidad describiendo el tiempo de servicio, X el número de canales de
servicio en paralelo, Y es la restricción en la capacidad del sistema, y Z es la
disciplina de la cola. Las características X, Y pueden definirse como números
enteros positivos entre el rango [1, ∞], A y B por su parte se describen mediante
símbolos que representan las distribuciones de probabilidad por ejemplo M que
representa distribuciones exponenciales. Este tipo de notación utilizada se conoce
con el nombre Notación Kendall.
1.2 Rendimiento del sistema
Al analizar los sistemas de colas, se necesita encontrar formas de medir el
rendimiento del sistema en varios ámbitos. En otras palabras, ¿qué hace que un
sistema de colas sea efectivo? Hay tres características de los sistemas que son de
interés. Primero, una medida del tiempo de espera típico de un cliente, segundo, la
manera en que los clientes se acumulan y tercero, una medida del tiempo de
inactividad de los servidores.
Hay dos tipos de tiempos de espera del cliente: el tiempo que un cliente pasa la cola
en sí y el tiempo que un cliente pasa en todo el sistema. Según el sistema, uno de
estos puede ser más valioso que el otro. Del mismo modo, existen dos formas de
acumulaciones de clientes: el número de clientes en la cola y el número total de
clientes en el sistema. La medición del tiempo de inactividad del servidor es el
tiempo que este pasa sin ningún cliente.
1.3 Modelos de Markov
Un modelo de Markov es un método estocástico para sistemas que cambian
aleatoriamente donde se supone que los estados futuros no dependen de estados

7. pasados. Estos modelos muestran todos los estados posibles, así como las
transiciones, la tasa de transiciones y las probabilidades entre ellos. Los modelos
de Markov se usan para modelar las probabilidades de diferentes estados y las
tasas de transición entre ellos, así como para modelar sistemas. Los modelos de
Markov también se pueden usar para reconocer patrones, hacer predicciones y
aprender las estadísticas de datos secuenciales. Un proceso estocástico se llama
cadena de Markov cuando para n veces y para todos los estados i _ n se cumple:
Es decir, se pueden hacer predicciones de un estado futuro independientemente
de los estados pasados. La ecuación llamada probabilidad condicional es la
probabilidad de transición del estado i al estado j.
Dadas las probabilidades de transición, se puede construir la matriz de transición P
para la cadena de Markov. P es una matriz N×N, para que esta sea la matriz de
transición, debe ser una matriz estocástica. En otras palabras, debe satisfacer las
siguientes dos propiedades:
1.4 Modelo M/M/1
En teoría de colas se puede hablar de colas de un solo canal o multicanal. Un solo
canal ocurre cuando de la población (finita o infinita) de entrada solo existe un único
servidor. Multicanal ocurre cuando el sistema cuenta con múltiples servidores. En el

8. momento en que un servidor se desocupe abre paso al siguiente cliente. El modelo
M/M/1 corresponde al tipo de un solo canal, el cual es de los casos más generales.
La primera M indica que posee una distribución de llegadas de tipo Markoviana; es
decir, probabilística, la segunda M indica que posee una distribución de los tiempos
de servicio Markoviana (tipo exponencial). Por último, el número uno indica que el
sistema cuenta con un servidor.
Implementación en Matlab
Para la presentación de los modelos explicado anteriormente, se hace uso del
software de Matlab, específicamente su herramienta Simulink.
En el esquema mostrado anteriormente se busca modelar el sistema M/M/1 el cual
cuenta con una única cola, de servidor único y con una única fuente de tránsito,
cuya capacidad de almacenamiento tiende a ser alta. El modelo presentado cuenta
con los siguientes bloques:
Time-Based Entity Generator: Es el encargado de la generación de las entidades
en la teoría de colas, mediante un proceso de llegada de Poisson.
FIFO Queue: En este bloque es donde se almacenan las entidades que no han sido
atendidas y forma la cola en orden FIFO.
Single Server: Modela el servidor encargado de atender las solicitudes de las
entidades, se comprende de 2 entradas: la primera corresponde a la entrada de las
entidades presentes en las colas, la segunda es el event-based random number el
cual define el tiempo de servicio del servidor que presenta una distribución
exponencial.

9. Una vez presentado el modelo general del sistema M/M/1 se presentan los
siguientes 3 ejemplos, con el objetivo de entender su rendimiento a través de las
siguientes gráficas:
Server Utilizados: muestra la utilización del único servidor en el transcurso de la
simulación.
Tamaño de la fila: muestra la cantidad de entidades existen en la cola.
Promedio de Espera: muestran los valores en la simulación de los tiempos de
espera en la cola.
Tiempo de llegada es igual al tiempo de respuesta. a) Server utilizado. b) Tamaño
de la fila. c) Promedio de espera.
Tiempo de respuesta es mayor al tiempo de llegada. a) Server utilizado. b) Tamaño
de la fila. c) Promedio de espera.

10. La velocidad de llegada es menor a la velocidad de respuesta. a) Server utilizado.
b) Tamaño de la fila. c) Promedio de espera.
Conclusión
En esta investigación se centro en el tema de las variables estocásticas las cuales
son variables aleatorias las cueles en este caso existen modelos para poder realizar
operaciones que nos permite llegar a algún resultado en especifico donde en este
caso como se sabe es cuando se tiene variables pero estas no son suficientes para
poder llegar a la solución requerida y así tomar la mejor decisión posible para la
empresa por eso son importantes los modelos los cuales se vieron en el documento
como también la explicación de como es que se utiliza y los pasos a seguir para
realizarlo.

11. Fuentes de consulta
Recuperado de:
https://academia-lab.com/enciclopedia/modelo-
estadistico/#:~:text=Un%20modelo%20estad%C3%ADstico%20o%20probabil%C3
%ADstico%20es%20un%20modelo,considerablemente%20idealizada%2C%20el
%20proceso%20de%20generaci%C3%B3n%20de%20datos. [13 de Abril de 2023]
Recuperado de:
https://statologos.com/modelo-estocastico/ [13 de Abril de 2023]
Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico [13 de Abril de 2023]
Recuperado de:
https://medium.com/modelos-estoc%C3%A1sticos-teor%C3%ADa-de-colas-y-
modelos-de/modelos-estoc%C3%A1sticos-teor%C3%ADa-de-colas-y-modelos-de-
markov-18c0100ad077 [13 de Abril de 2023]