El documento describe la distribución exponencial, una distribución de probabilidad continua utilizada para modelar el tiempo entre eventos. Explica que sigue una función de densidad de probabilidad exponencial y analiza propiedades como la media y función de distribución. Luego presenta ejemplos como el tiempo entre desintegraciones de partículas radiactivas y el tiempo de espera en una línea telefónica.

1. Realizado por:
Jorge Luis Masache
Omar Merizalde
Laura Enríquez N.
Sergio Cedeño
Christian Chávez
Revisado por:
Mónica Mantilla

3. 


Una de las distribuciones de variable contínua más
importantes es la distribución exponencial
Se la utiliza como modelo para representar el tiempo
de funcionamiento o de espera.
Tiene como función expresar también el tiempo
transcurrido entre eventos que se contabilizan por
medio de la distribución de Poisson.

4. 


El tiempo que tarda una partícula radiactiva en
desintegrarse. Por ejemplo, la datación de fósiles o
cualquier materia orgánica mediante la técnica del
carbono 14.
El tiempo que puede transcurrir, en un servicio de
urgencias para la llegada de un paciente;
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente
un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo
que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos
consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial.
Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos
dos veces una herida importante.

5. Se dice que una variable aleatoria continua X sigue
una distribución exponencial de parámetro λ si su
función de densidad es:
0
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 =
𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Donde λ es una constante positiva. Se nota como
X~E(λ)

6. La función de distribución
correspondiente es
𝟎,
− 𝒙𝝀
𝑭 𝒙 = 𝟏− 𝒆
,
𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎

7. Distribución exponencial Exp ()
f ( x)  e
2.0
 x
para x  0,   0




1.8
1.6
1.4
1.2
1.0




f ( x)dx   e
0
 e
0.8
 x  
0.6
0
1
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4

Vida media
5
6
   xe dx 
0
 x
7
1

8
 x
dx

8. Distribución exponencial Exp ()

x
0
t
e dt   e
1  e  x , x  0
F ( x)  
x0
 0,
t x
0
 1 e
x

10. Sea X la variable que cuenta el numero de eventos
que ocurren en el tiempo (0,t), con media λt;
entonces

11. Sea T el tiempo que transcurre hasta que sucede el
primer evento de Poisson. El rango de T es el intervalo
(0,∞( y su función de distribución es:
Donde el evento (T>t) indica que el primer evento de
Poisson ocurre después de t, o lo que es lo mismo, que
no ocurre ningún evento en el intervalo (0,t); es decir,
(T > t) = (X = 0).

12. La distribución exponencial no tiene memoria :
Poseer información de que el elemento que consideramos
ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no
modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de
tiempo más. La probabilidad de que el elemento falle en
una hora (o en un día, o en segundo) no depende del
tiempo que lleve funcionando. No existe envejecimiento
ni mayor probabilidad de fallos al principio del
funcionamiento

13. El tiempo durante el cual las baterías para un teléfono celular
trabajan en forma efectiva hasta que fallan se distribuyen
según un modelo exponencial, con un tiempo promedio de falla
de 500horas.
a) Calcular la probabilidad de una batería funcione por más de
600horas.
b) Si una batería ha trabajando
350 horas, ¿Cuál es la
probabilidad de que trabaje más de 300 horas adicionales.
Solución:
X = tiempo que dura la batería hasta que falla
Entonces como E(x) = 500, entonces λ=1/500 con lo que E(1/500).
Por tanto su función de distribución seria:

14. a) Pr(x > 600)
Pr 𝑥 > 600 = 1 − Pr 𝑥 ≤ 600
𝑃𝑟 𝑥 > 600 = 1 − 𝐹(60)
𝑃𝑟 𝑥 > 600 = 1 − 1 −
600
−
𝑒 500
= 0.301
b) Si la batería ya trabajo 350horas, queremos conocer la
probabilidad de que trabaje mas de 650:
𝑃𝑟 𝑥 > 350 + 300| 𝑥 > 350 =
Pr⁡𝑋 > 650)
(
𝑃𝑟⁡𝑋 > 350)
(
𝑃𝑟 𝑥 > 350 + 300| 𝑥 > 350 =
1 − F(650)
1 − 𝐹(350)
650
𝑃𝑟 𝑥 > 350 + 300| 𝑥 > 350 =
−
1− 1−𝑒 500
1−
350
−
1−𝑒 500
=0.549

15. Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un
centro de atención al público para ser atendido por un asesor es
una variable aleatoria exponencial con µ = 5 minutos. Encuentre
la probabilidad de que una persona que llame al azar en un
momento dado tenga que esperar:

17. En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos
de Po sabiendo que la duración media de un átomo
de esta materia es de 140 días, ¿cuantos días
transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de
este material?
Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de
Po es una v.a. de distribución exponencial:
u=1/λ
λ = 1/140

18. La duración de los neumáticos de una marca
determinada siguen la ley exponencial cuyo
promedio es 30 (en miles de kilómetros). Calcule la
probabilidad de que un neumático dure:
a)
b)
Más de 30 mil kilómetros
Más de 30 mil kilómetros, dado que ha durado
15 mil Km.

19. La duración (en años) de la vida de los individuos de una población
humana se puede modelar mediante una variable aleatoria con
función de densidad:
0 si t ≤0
f(x)=
1/60 e-t/60 t>0
a) Determine la vida media de la población.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo llegue a los 42 años?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a los 65 años un individuo
que ya tiene 50 años?

20. El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene
una distribución aproximadamente exponencial, con
media 22 minutos.
a)
Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación
sea menor que diez minutos.
b)
2. El costo de reparación es de 2000 pts. por cada
media hora o fracción. cueste 4000 pts.?