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![TEOREMA DE MOIVRÉ
Dado el número complejo no nulo
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 (cos𝜃𝜃 + 𝑖𝑖sen𝜃𝜃)
Se tiene(𝑛𝑛 ∈ ℕ)
𝒛𝒛𝒏𝒏
=
[cos(𝜃𝜃𝒏𝒏) + 𝑖𝑖sen(𝜃𝜃𝒏𝒏)]
𝑧𝑧 𝒏𝒏
cis(𝜃𝜃𝒏𝒏)
𝑧𝑧 𝒏𝒏
𝑒𝑒(𝜃𝜃𝒏𝒏)𝑖𝑖
𝑧𝑧 𝒏𝒏
Ejemplos
𝟏𝟏. cos36° + 𝑖𝑖sen36° 𝟓𝟓 = cos(36°. 𝟓𝟓) + 𝑖𝑖sen(36°. 𝟓𝟓)
= −1
= cos(180°) + 𝑖𝑖sen(180°)
+ 𝑖𝑖. 0
= −1
𝟐𝟐. 2 cis
𝜋𝜋
3
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 2
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 29
cis 𝟏𝟏𝟏𝟏.
𝜋𝜋
3
cis 6𝜋𝜋
= 512cis(0)
= 512( 1 + 0𝑖𝑖 )
= 512
𝟑𝟑. 5𝑒𝑒
7𝜋𝜋
4
𝑖𝑖
𝟔𝟔
= 5
𝟔𝟔
𝑒𝑒
21𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
. 𝑒𝑒𝟔𝟔�
7𝜋𝜋
4
𝑖𝑖
= 53
= 125𝑒𝑒
10𝜋𝜋+
𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
= 125𝑒𝑒
𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
= 125( 0 + 1𝑖𝑖 )
= 125𝑖𝑖
𝐈𝐈.](https://image.slidesharecdn.com/inu00001-al-teora-220924031035-0153159c/85/INU00001-AL-Teoria-pdf-14-320.jpg)
INU00001-AL-Teoría.pdf
- 2.
- 3. Objetivos: Manejar a losnúmeros complejos en sus diversas formas. Operar adecuadamente los números complejos y las propiedades que esta tiene. Resolver problemas tipo examen de admisión que involucren a los número complejos
- 4. 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 El nombre deCardano es conocido por los médicos, por loa matemáticos y por los mecánicos. Cardano perfeccionó las brújulas marinas de su tiempo y hoy en día, la energía del motor del automóvil se trasmite a las ruedas por el sistema de Cardano Cardano publica su famoso libro Ars Magna, donde presenta la fórmula general para encontrar las soluciones de la ecuación cúbica y las cuales muchas de ellas implican sacar la raíz cuadrada de números negativos.
- 5. UNIDAD IMAGINARIA 𝑖𝑖 =−1 Se denota por Euler como “𝑖𝑖” y se define: Donde: 𝑖𝑖2 = −1 POTENCIAS ENTERAS DE 𝑖𝑖 Se definen: 𝑖𝑖0 = 1 𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖 𝒊𝒊𝟐𝟐 = −𝟏𝟏 𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝒊𝒊 𝒊𝒊𝟑𝟑 = −𝒊𝒊 𝒊𝒊𝟒𝟒 = 𝟏𝟏 𝒊𝒊𝟔𝟔 = −𝟏𝟏 𝒊𝒊𝟓𝟓 = 𝒊𝒊 𝒊𝒊𝟕𝟕 = −𝒊𝒊 𝒊𝒊𝟖𝟖 = 𝟏𝟏 𝒊𝒊𝟏𝟏𝟏𝟏 = −𝟏𝟏 𝒊𝒊𝟗𝟗 = 𝒊𝒊 𝒊𝒊𝟏𝟏𝟏𝟏 = −𝒊𝒊 𝒊𝒊𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 Donde: PROPIEDADES Sean 𝑘𝑘, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, se cumple: 𝒊𝒊𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝒊𝒊 ̇ 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏 1 • 𝑖𝑖40 = 𝑖𝑖4(10) = 𝑖𝑖 ̇ 4 = 1 • 𝑖𝑖5616 = 𝑖𝑖16 = 𝑖𝑖 ̇ 4 = 1 • 𝑖𝑖−32 = 𝑖𝑖 ̇ 4 = 1 Ejemplos Cada 4 potencias se repite ℝ 𝕀𝕀 1 × 𝑖𝑖 𝑖𝑖 × 𝑖𝑖 −1 × 𝑖𝑖 −𝑖𝑖 × 𝑖𝑖
- 6. = 𝑖𝑖44+2 = 𝑖𝑖24+1 𝒊𝒊𝟒𝟒𝟒𝟒+𝒏𝒏 =𝒊𝒊𝒏𝒏 2 • 𝑖𝑖25 = 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖1 • 𝑖𝑖1746 = −1 = 𝑖𝑖2 Ejemplos ̇ 4 = 𝑖𝑖46 ̇ 4 = 𝑖𝑖−16+1 = 𝑖𝑖28+3 • 𝑖𝑖78931 = −𝑖𝑖 = 𝑖𝑖3 • 𝑖𝑖−15 = 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖1 𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝟐𝟐 + 𝒊𝒊𝟑𝟑 + ⋯ + 𝒊𝒊 ̇ 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎 3 = 𝑖𝑖31 ̇ 4 ̇ 4 • 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3 + ⋯ + 𝑖𝑖16 = 0 • 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3 + ⋯ + 𝑖𝑖100 = 0 • 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3 + ⋯ + 𝑖𝑖42 = = 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3 + ⋯ + 𝑖𝑖40 + 𝑖𝑖41 + 𝑖𝑖42 0 = 𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖 − 1 Ejemplos
- 7. DEFINICIÓN DE UNNÚMERO COMPLEJO Un número complejo 𝑧𝑧 es un par ordenado de número reales 𝑧𝑧 = (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎; 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ; 𝑖𝑖 = −1 Parte real 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑧𝑧) Parte imaginaria 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑧𝑧) Ejemplos • 𝑧𝑧 = 3 + 4𝑖𝑖 • 𝑤𝑤 = 2 − 3𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑧𝑧 = 3 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑧𝑧 = 4 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑤𝑤 = 2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑤𝑤 = −3 DEFINICIONES 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 Conjugado ̅ 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑖𝑖 Opuesto 𝑧𝑧∗ = −𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑖𝑖 Módulo 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ; 𝑖𝑖 = −1 𝑧𝑧 = 3 + 4𝑖𝑖 ̅ 𝑧𝑧 = 3 − 4𝑖𝑖 𝑧𝑧∗ = −3 − 4𝑖𝑖 𝑧𝑧 = 32 + 42 = 5 2 − 𝑖𝑖 2 + 𝑖𝑖 −2 + 𝑖𝑖 22 + (−1)2 = 5
- 8. IGUALDAD DE DOSNÚMEROS COMPLEJOS 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑛𝑛 ↔ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∧ 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℝ; 𝑖𝑖 = −1 OPERACIONES Adición 3 + 7𝑖𝑖 2 − 4𝑖𝑖 + 5 + 3𝑖𝑖 Sustracción 5 + 8𝑖𝑖 2 − 4𝑖𝑖 − 3 + 12𝑖𝑖 Multiplicación 4 + 3𝑖𝑖 2 − 3𝑖𝑖 = 8 −12𝑖𝑖 +6𝑖𝑖−9𝑖𝑖2 = 17 − 6𝑖𝑖 División (1 + 2𝑖𝑖) (3 + 𝑖𝑖) (3 − 𝑖𝑖) (3 − 𝑖𝑖) = 1 2 + 𝑖𝑖 2 𝟏𝟏 − 𝒊𝒊 𝟒𝟒 = −𝟒𝟒 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝒊𝒊 𝟐𝟐 = −𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 = −𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝟏𝟏 − 𝒊𝒊 = 𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝟒𝟒 = −𝟒𝟒 RESULTADOS NOTABLES
- 9. PROPIEDADES DEL CONJUGADO •� 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 • 𝒛𝒛 + � 𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝐑𝐑𝐑𝐑 𝒛𝒛 • 𝒛𝒛 + 𝒘𝒘 = � 𝒛𝒛 + � 𝒘𝒘 • 𝒛𝒛 − 𝒘𝒘 = � 𝒛𝒛 − � 𝒘𝒘 • 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = � 𝒛𝒛. � 𝒘𝒘 • 𝒛𝒛 𝒘𝒘 = � 𝒛𝒛 � 𝒘𝒘 • 𝒛𝒛𝒏𝒏 = � 𝒛𝒛𝒏𝒏 • 𝒏𝒏 𝒛𝒛 = 𝒏𝒏 � 𝒛𝒛 • 𝒛𝒛 − � 𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝐈𝐈𝐈𝐈 𝒛𝒛 𝒊𝒊 Ejemplos • 𝑧𝑧 + (1 + 4𝑖𝑖) = ̅ 𝑧𝑧 + 1 − 4𝑖𝑖 • 𝑧𝑧 × (1 + 𝑖𝑖) = ̅ 𝑧𝑧 × (1 − 𝑖𝑖) • 2 + 4𝑖𝑖 3 = 2 − 4𝑖𝑖 3 • 4 + 7𝑖𝑖 = 4 + 7𝑖𝑖 = 4 − 7𝑖𝑖
- 10. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DELMÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea el complejo 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦, su módulo es graficamente, la distancia del polo al afijo Ejemplos • 𝑧𝑧 = 1 + 3𝑖𝑖 𝑧𝑧 = 3 2 + −1 2 = 2 + 3 2 12 PROPIEDADES DEL MÓDULO 𝟏𝟏) 𝒛𝒛 ≥ 𝟎𝟎 ∀𝒛𝒛 ∈ ℂ 𝟐𝟐) 𝒛𝒛 = � 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛∗ 𝟑𝟑) 𝒛𝒛 𝟐𝟐 = 𝒛𝒛. � 𝒛𝒛 𝟒𝟒) 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = 𝒛𝒛 𝒘𝒘 𝟓𝟓) 𝒛𝒛 𝒘𝒘 = 𝒛𝒛 𝒘𝒘 𝟔𝟔) 𝒛𝒛𝒏𝒏 = 𝒛𝒛 𝒏𝒏 𝟕𝟕) 𝒏𝒏 𝒛𝒛 = 𝒏𝒏 𝒛𝒛 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 Re Im • 𝑧𝑧 = 3 + 4𝑖𝑖 𝑧𝑧 = 3 2 + −1 2 = 5 + 42 32 Ejemplos • 3 + 4𝑖𝑖 = 3 − 4𝑖𝑖 = −3 − 4𝑖𝑖 = 5 • (1 + 3𝑖𝑖)(1 − 3𝑖𝑖) = 1 + 3𝑖𝑖 2 = 22 • (1 + 𝑖𝑖)(3 + 4𝑖𝑖)= 1 + 𝑖𝑖 3 + 4𝑖𝑖 = 2 × 5
- 11. FORMA POLAR YEXPONENCIAL DE UN COMPLEJO Sea 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 ∈ ℂ 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑧𝑧 = (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝜃𝜃 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝜽𝜽 𝒃𝒃 = 𝑧𝑧 sen𝜃𝜃 𝒂𝒂 = 𝑧𝑧 cos𝜃𝜃 Como 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 cos𝜃𝜃+ 𝑧𝑧 sen𝜃𝜃. 𝑖𝑖 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽 𝜃𝜃 ∶ Argumento de 𝑧𝑧 (𝐀𝐀𝐀𝐀𝐠𝐠 𝒛𝒛 ) 𝟎𝟎 ≤ 𝜽𝜽 < 𝟐𝟐𝟐𝟐 Observación 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽 = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 = 𝒆𝒆𝜽𝜽𝜽𝜽 Forma cis 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜽𝜽 Forma exponencial 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝒆𝒆𝜽𝜽𝜽𝜽 Ejemplos 1) 𝒛𝒛 = 𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝒊𝒊 Exprese en las otras formas los siguientes números: 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐼𝐼𝐼𝐼 5 5 𝑧𝑧= 5 + 5𝑖𝑖 𝟒𝟒𝟒𝟒°= 𝝅𝝅 𝟒𝟒 5 5 𝑧𝑧 =5 2�cos 𝜋𝜋 4 � + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 4 𝑧𝑧 = cis 𝜋𝜋 4 5 2 𝑒𝑒 𝜋𝜋 4 𝑖𝑖 𝑧𝑧 =5 2 Forma polar o trigonométrica
- 12. 2) 𝑤𝑤 =−2 + 2 3𝑖𝑖 𝑹𝑹𝑹𝑹 𝑰𝑰𝑰𝑰 −𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒘𝒘 2 𝒘𝒘 2 3 60° = 4 120° = 2𝜋𝜋 3 𝑧𝑧 =4�cos 2𝜋𝜋 3 � + 𝑖𝑖sen 2𝜋𝜋 3 𝑧𝑧 = cis 2𝜋𝜋 3 4 𝑒𝑒 2𝜋𝜋 3 𝑖𝑖 𝑧𝑧 =4 Complejos Notables 𝟏𝟏 = −𝟏𝟏 = 𝒊𝒊 = = 𝑒𝑒0𝑖𝑖 = 𝑒𝑒 𝜋𝜋 2 𝑖𝑖 = cis 𝜋𝜋 2 (cos0+ 𝑖𝑖sen0)= cis 0 �cos 𝜋𝜋 2 � + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 2 = 𝑒𝑒𝜋𝜋𝑖𝑖 (cos𝜋𝜋 + 𝑖𝑖sen𝜋𝜋)= cis 𝜋𝜋 −𝒊𝒊 = = 𝑒𝑒 3𝜋𝜋 2 𝑖𝑖 = cis 3𝜋𝜋 2 �cos 3𝜋𝜋 2 � + 𝑖𝑖sen 3𝜋𝜋 2
- 13. TEOREMAS Sean los númeroscomplejos 𝑧𝑧 y 𝑤𝑤 no nulos. 𝑧𝑧 = = 𝑧𝑧 cis(𝜃𝜃) = 𝑧𝑧 𝑒𝑒𝜃𝜃𝑖𝑖 𝑧𝑧 (cos𝜃𝜃 + 𝑖𝑖sen𝜃𝜃) 𝑤𝑤 = = 𝑤𝑤 cis(𝛼𝛼)= 𝑤𝑤 𝑒𝑒𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑤𝑤 (cos𝛼𝛼 + 𝑖𝑖sen𝛼𝛼) Donde se cumplen: 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = 𝑧𝑧 . 𝑤𝑤 𝑧𝑧 . 𝑤𝑤 cos 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 + 𝑖𝑖sen 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 𝑧𝑧 . 𝑤𝑤 cis 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 𝑒𝑒 𝜃𝜃+𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝒛𝒛 𝒘𝒘 = 𝑧𝑧 𝑤𝑤 cos 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼 + 𝑖𝑖sen 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼 cis 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼 𝑧𝑧 𝑤𝑤 𝑒𝑒 𝜃𝜃−𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑧𝑧 𝑤𝑤 Ejemplos Sean los números complejos 𝑧𝑧 = 6 cos 𝜋𝜋 4 + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 4 y 𝑤𝑤 = 2 cos 𝜋𝜋 8 + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 8 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = cos 𝜋𝜋 4 + 𝜋𝜋 8 + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 4 + 𝜋𝜋 8 𝜋𝜋 4 + 𝜋𝜋 8 𝜋𝜋 4 + 𝜋𝜋 8 6.2 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 =12 cos 3𝜋𝜋 8 + 𝑖𝑖sen 3𝜋𝜋 8 = 12cis 3𝜋𝜋 8 = 12𝑒𝑒 3𝜋𝜋 8 𝑖𝑖 𝒛𝒛 𝒘𝒘 = 6 2 cos 𝜋𝜋 4 + 𝜋𝜋 8 + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 4 + 𝜋𝜋 8 𝜋𝜋 4 − 𝜋𝜋 8 𝜋𝜋 4 − 𝜋𝜋 8 𝒛𝒛 𝒘𝒘 =3 cos 𝜋𝜋 8 + 𝑖𝑖sen 𝜋𝜋 8 = 3cis 𝜋𝜋 8 = 3𝑒𝑒 𝜋𝜋 8 𝑖𝑖
- 14. TEOREMA DE MOIVRÉ Dadoel número complejo no nulo 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 (cos𝜃𝜃 + 𝑖𝑖sen𝜃𝜃) Se tiene(𝑛𝑛 ∈ ℕ) 𝒛𝒛𝒏𝒏 = [cos(𝜃𝜃𝒏𝒏) + 𝑖𝑖sen(𝜃𝜃𝒏𝒏)] 𝑧𝑧 𝒏𝒏 cis(𝜃𝜃𝒏𝒏) 𝑧𝑧 𝒏𝒏 𝑒𝑒(𝜃𝜃𝒏𝒏)𝑖𝑖 𝑧𝑧 𝒏𝒏 Ejemplos 𝟏𝟏. cos36° + 𝑖𝑖sen36° 𝟓𝟓 = cos(36°. 𝟓𝟓) + 𝑖𝑖sen(36°. 𝟓𝟓) = −1 = cos(180°) + 𝑖𝑖sen(180°) + 𝑖𝑖. 0 = −1 𝟐𝟐. 2 cis 𝜋𝜋 3 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 2 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 29 cis 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝜋𝜋 3 cis 6𝜋𝜋 = 512cis(0) = 512( 1 + 0𝑖𝑖 ) = 512 𝟑𝟑. 5𝑒𝑒 7𝜋𝜋 4 𝑖𝑖 𝟔𝟔 = 5 𝟔𝟔 𝑒𝑒 21𝜋𝜋 2 𝑖𝑖 . 𝑒𝑒𝟔𝟔� 7𝜋𝜋 4 𝑖𝑖 = 53 = 125𝑒𝑒 10𝜋𝜋+ 𝜋𝜋 2 𝑖𝑖 = 125𝑒𝑒 𝜋𝜋 2 𝑖𝑖 = 125( 0 + 1𝑖𝑖 ) = 125𝑖𝑖 𝐈𝐈.