1) Los números complejos son un conjunto provisto de dos operaciones: suma y producto. No tienen una relación de orden definida. 2) Las partes real e imaginaria de un número complejo z se denotan como Re(z) y Im(z), respectivamente. La unidad imaginaria se representa por i y cumple que i^2 = -1. 3) Las propiedades básicas de los números complejos incluyen la suma, resta, multiplicación, división, módulo, conjugado y representación gráfica en el plano complejo.

1. MATEMÁTICA BÁSICA
II
Números complejos
Semana 06 - Clase:
PROGRAMA DEPROGRAMA DE
ESTUDIOS BÁSICOSESTUDIOS BÁSICOS
2016- I
Jenny carbajal Licas

2. NÚMEROS COMPLEJOS:Definición.
Es el conjunto
provisto de dos operaciones: suma y producto,
más
no una relación de orden.
2
a) : C C C
(z,w) (z,w) z w
(x iy) (u iv)
+ × →
→ + = +
= + + +
{ }2
C z x yi / x, y ; i 1 i 1= = + ∈ = − ∧ = −R
(z,w) (x u) (y v)i+ = + + +
R(z,w) (x u y v) (x v u y)i= − + +
( ) ( )
b) : C C C
Z.W x i y u i v
× × →
= + +

3. Im(z) y=
2
3 2
4 2 2
5 2 3
i 1
i 1
i i i ( 1)i i
i i i ( 1)( 1) 1
i i i ( 1)( i) i
= −
=−
= = − =−
= = − − =
= = − − =
Re(z) x=
i 1= −
3
z x yi= ±
PARTE REAL :
PARTE IMAGINARIA :
UNIDAD IMAGINARIA :
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Si tenemos entonces;

4. • Conjugado de un número complejo :
• PropiedadesPropiedades
z x yi z x i y x yi= + → = + = −
( ) ( )
1. z w z w
2. z w z w, z z
z z
3.
w w
4. Si z x R z z
1 1
5. Si z x iy, z x i y x z z , y z z
2 2i
+ = +
= =
 
= ÷
 
= ∈ ⇒ =
= + = − ⇒ = + = −
4

5. • Igualdad de números complejos :
• Suma de números complejos :
5
1 2z z x yi u vi x u y v= → + = + ⇔ = ∧ =
1 2z z (x yi) (u vi) (x u) (y v)i+ = + + + = + + +

6.  Propiedades
1.
2.
3. Elemento neutro aditivo
:
4. Elemento inverso aditivo:
0z 0 0i= +
1z x yi= − −
6
1 2 2 1z z z z+ = +
1 2 3 1 2 3(z z ) z z (z z )+ + = + +
1 1z x yi C, z x yi / z z 0 0i∀ = + ∈ ∃ = − − + = +
0z x yi C; z 0 0i C / (x yi) (0 0i) x yi∀ = + ∈ ∃ = + ∈ + + + = +

7. • Sustracción de números complejos
• Multiplicación de números complejos
• División de números complejos
7
1 2z z (x yi) (u vi) (x u) (y v)i− = + − + = − + −
1 2z z (x yi)(u vi)
(x u y v) (x v yu)i
= + +
= − + +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1
2 2
2
x yi x yi u vi x yi u viz
z u vi u vi u vi u v
+ + − + −
= = =
+ + − +

8.  Propiedades
1.
2.
3. Elemento neutro multiplicativo:
4. Elemento inverso multiplicativo:
5. Asociatividad
8
1 2 2 1z z z z=
1 2 3 1 2 3(z z )z z (z z )=
1
z−
z' 1 0i= +
1 2 3 1 2 1 3z (z z ) z z z z+ = +
z x yi C, z' 1 0i C / z z' (x yi)(1 0i) x yi∀ = + ∈ ∃ = + ∈ = + + = +
1 1
z x yi 0 0 i C, z C / z z 1 0 i− −
∀ = + ≠ + ∈ ∃ ∈ = +

9.  Inversa de un número complejo
 División de números complejos
9
1 2z x yi ; z u vi C= + = + ∈
11
1 2 2 2
2
z x yi (x yi)(u vi) (x yi)(u vi)
z z
z u vi (u vi)(u vi) u v
− + + − + −
= = = =
+ + − +
1
2 2 2 2
1 x y
z x yi z i
z x y x y
−
= + → = = −
+ +

10.  Representación gráfica de un número complejo
 Plano Complejo
 Afijo z=
Re: eje real
Im: eje imaginario
: argumento del complejo
 Módulo de un número complejo
Si
10
z x i y C= + ∈
2 2
z x y= +
θ
Z= x+i y
Im
x
y
0 Re
z
θ
⇒
( ),x y
0 2≤ θ ≤ π

11. Propiedades del módulo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
11
z 0 s.s.s z 0 i0= = +
zw z w=
2
z z.z=
zz
w w
=
Re(z) Im(z) 2 z+ ≤
z 0, z C≥ ∀ ∈
z z z= − =
z w z w+ ≤ +

12.  Ejercicios
 1. Dado , calcular y
y sus respectivos argumentos, si:
 2. Graficar los complejos obtenidos.
 3. Hallar el valor del número complejo
 4. Si ,hallar
 5. Hallar z tal que
z,w C∈ z
z w, z 2w, z w,
w
+ −
z w , z w+
( ) ( )
( ) ( )
3 4
2 3
1. 2 1 2
2. 3 2 2
3. 1 2 1 3
Z i W i
Z i W i
Z i W i
= − − = − +
= − = +
= − = − −
3 5
2 i 1 i
z
1 i2 i
 − − 
=  ÷  ÷ ÷ ++   
( )
1
z 1 3i
2
= −
3 1
z 1 z
−
+
3 2i
4i 8
z (2 i)
+
= +
+

13.  6.Si y
Expresarlos en su forma binomial, hallar las conjugadas
complejas, sus inversas y .
 7. Simplificar y determinar
 8. Calcular el valor de
z y w
4321 279 420 381
52 38
(27i 25i 2i 2 )
z
( 1024i )
+ + −
=
−
z , Arg(z).θ =
z (1 i )(1 2i )(2 i )= + + − 1 i 1 3 i
w
1 i 3
 − − 
=  ÷ ÷ ÷+  
9
E 4 2 i i i= − +

14.  Forma polar o trigonométrica de un número
complejo.
Forma trigonométrica :
2 2
z x i y 0
z x y
y
sen y z sen
z
x
cos x z cos
z
z z (cos isen )
= + ≠
= +
θ = → = θ
θ = → = θ
⇒ = θ + θ
14
Re
Im
θ
z x i y= +
0 x
y
z
y
arctg
x
θ=
z z (cos isen )= θ + θ

15.  Dado el número complejo determinar:
a.
b. Argumento principal
c. Forma polar y exponencial
d.
 Solución
a.
b. Como cuadrante hallamos el ángulo reducido
Por tanto
c.
d.
3z i= −
z
θ =
6
z
( ) ( )
2 2
3 1 3 1 2z = + − = + =
IVθ ∈ → α
1 1
30
3
tgα α−  
= − → = ÷
 
o 11
360 30 330
6
rad
π
θ = − = =o o o
( )
11
6
11 11
2 330 330 2 2
6 6
i
Z Cos i Sen Cos i Sen e
π
π π 
= + = + =  
o
o
( ) ( )6 6 6
2 6 330 6 330 2 1980 5 360 180z Cos i Sen Cos i Sen= × + × = + × +o o o
( ) ( )6 6 6
2 180 180 2 1 0 64 0z Cos i Sen i i= + = − + = − +o o

16.  Forma exponencial de un número complejo
 Multiplicación y división de números complejos
dado en forma polar.
 Si

16
1 1 1 1
2 2 2 2
z z (cos isen )
z z (cos isen )
= θ + θ
= θ + θ
1 2 1 2 1 2 1 2z z z z (cos( ) isen ( ))= θ +θ + θ +θ
11
1 2 1 2
2 2
zz
(cos( ) isen( ))
z z
= θ − θ + θ − θ
( ) i
z z cos isen r Cis re , r zθ
= θ + θ = θ = =

17.  Potencia de un número complejo.
 Teorema de De Moivre

 Raíces de un número complejo
17
1/ n1/ n 2k 2k
z z cos i sen
n n
k 0, 1, 2, ..., n 1
π + θ π + θ 
= + ÷
 
= −
( )
nn
Cis -n , n entero positivoZ z θ
−−
=
nn
z z (cos n isen n )= θ + θ

18. 18

19. 19

20.  Ejercicios
 1. Si ;
determinar: a) , b) u en su forma polar .
 2. Si calcular el argumento principal de
 3. Determinar la forma polar del número complejo
si
4. Hallar la suma de las raíces de la ecuación
 5. Determinar el menor entero positivo n para el cual
 ,es imaginario puro.
 6. Representar en el plano complejo las siguientes
relaciones: a)
 b)
u
6
z
3
z 1 i= − +
( )
n
3z i= −
( ){ }1 / 2 Im 3R z z= − ≤ <
( ) ( ){ }2 / 2Re 3Im 6R z z z= − ≤
20
z
w
 
 ÷
 
z 1 i y w 3 i= − = − +
2
3
z
z 2 i, w 1 i y u
w
= + = + =
z 1 3 i,= − +

21.  Ejemplo
 1.Representar en el plano complejo la siguiente
relación:
Solución:
a. Igualando por separado a 2 y 4 se tiene:
b. Vemos que se trata de dos circunferencias
concéntricas de radios 2 y 4 con centro
La gráfica ,es un anillo circular comprendido
entre las circunferencias y , incluyendo
los bordes ó fronteras.
{ }R z/ 2 z 1 4= ≤ − ≤
( )1,0c
1C 2C
( ) ( ) ( )
2 22 2
1z 1 2 x 1 y i x 1 y 2 C : x 1 y 4− = → − + = − + = → − + =
( ) ( ) ( )
2 22 2
2z 1 4 x 1 y i x 1 y 4 C : x 1 y 16− = → − + = − + = → − + =