libro de complejos

1. • Ingeniero Mecánico
• Egresado de la Escuela de Posgrado de la Pontificia Universidad Católica del Perú,
Maestría en Ingeniería Mecánica.
• Egresado de la Maestría de Ingeniería Mecánica, Mención en Tecnologías
Apropiadas, Universidad Nacional del Centro del Perú
• Más de 33 años de docente universitario con las asignaturas de: Análisis Matemático
I, Análisis Matemático II, Análisis Matemático III, Análisis Matemático IV,
Ecuaciones Diferenciales, Análisis de la Variable Compleja, Física I, Física II,
Estática de los Cuerpos Rígidos, Dinámica de los Cuerpos Rígidos, Dinámica y
Vibraciones, Mecánica de Materiales I, Mecánica de Materiales II.
PRESENTACIÓN DEL DOCENTE

2. • Los Números Complejos
• Funciones de Variables Complejas.
• Fórmulas integrales de Cauchy
• Series de funciones complejas.
• Teorema del residuo
• Aplicaciones del Teorema del Residuo
• Series de Fourier.
• Aplicaciones de las series Fourier
• Transformadas Z
CONTENIDO DEL CURSO

3. 6ta. Semana : Primer consolidado de notas (P1)
12ava. Semana : Segundo consolidado de notas (P2)
17va. Semana : Tercer consolidado de notas (P3)
EVALUACIONES
• Examen
• Practicas calificadas

4. BIBLIOGRAFÍA
[1] Marsden, J.E. & Hoffman, Freeman. BASIC COMPLEX ANALYSIS (Third Edition). M.J. Ed 2015
[2] Krasnov, M.; Kiseliov, A.; Makarenko, C.; Shinkin, CURSO DE MATEMÁTICAS SUPERIORES
PARA INGENIEROS, Ed. Mir., 1998.
[3] Murray Spiegel. VARIABLE COMPLEJA. M.R. Ed. McGraw-Hill, 1995.
[4] R. Churchill and J. Brown. COMPLEX VARIABLES AND APLICATIONS 7ª Ed. (2003) McGraw
Hill Sciens.
[5] G. Arfken and H. Weber, MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICISTS, Academic Press, 5
edición, octubre 2000.
[6] Gorge Polya and Gordon Latta, VARIABLE COMPLEJA, Ed. Limusa, Mexico.2008

5. Una definición. Hace 200 años, más o menos, el tiempo que tomó a los números
complejos ganar cierta respetabilidad en la comunidad matemática, el símbolo i se
utilizaba originalmente como un disfraz para el engorroso símbolo −1. Ahora
simplemente se dice que i es la unidad imaginaria y se define por medio de la
propiedad 𝑖2 = −1. Utilizando la unidad imaginaria se construye un número complejo a
partir de dos números reales.
Introducción Indudablemente, en cursos previos de matemáticas aparecen números
complejos. Al aprender a resolver una ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 por medio
de la fórmula cuadrática, se observa que las raíces de la ecuación no son reales, sino
complejas, cuando el discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es negativo. Entonces, por ejemplo,
ecuaciones sencillas como 𝑥2
+ 5 = 0 y 𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0 no tienen soluciones reales.
Por ejemplo, las raíces de esta última ecuación son entonces las raíces se escriben como

6. Operaciones aritméticas. Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar
y dividir. Si 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, estas operaciones se definen como sigue:

7. Las conocidas leyes conmutativa, asociativa y distributiva son válidas para números
complejos.

8. Considerando estas leyes, no es necesario memorizar las definiciones de suma, resta y
multiplicación. Para sumar (restar) dos números complejos, simplemente se suman
(sustraen) las partes correspondientes reales e imaginarias. Para multiplicar dos
números complejos se utiliza la ley distributiva y la propiedad de que 𝑖2 = −1
Conjugado. Si z es un número complejo, entonces el número que se obtiene al cambiar
el signo de su parte imaginaria se denomina complejo conjugado o, simplemente, el
conjugado de z. Si 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑖𝑦 entonces su conjugado es ҧ
𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

10. EJEMPLO

11. Interpretación geométrica. Un número complejo
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 se determina únicamente por medio de un
par ordenado de números reales (x, y). El primero y
segundo elementos de cada par ordenado corresponden,
respectivamente, a la parte real y a la imaginaria del
número complejo.

12. EJEMPLO
Solución. Como se muestra en la figura, la suma de los
vectores 𝑧1 y 𝑧2 es el vector 𝑧1 + 𝑧2. Para el triángulo
indicado en la figura se sabe que la longitud del lado del
triángulo correspondiente al vector 𝑧1 + 𝑧2 no puede ser
más grande que la suma de los dos lados restantes.
Simbólicamente:

13. Potencias y raíces
Introducción. Recuérdese que un punto (x, y) en coordenadas rectangulares también
puede expresarse en coordenadas polares (r, 𝜃). En esta sección se plantea que la posi-
bilidad de expresar un número complejo z en términos de r y 𝜃 facilita enormemente el
cálculo de potencias y raíces de z.
Forma polar. Las coordenadas rectangulares (x, y) y las polares (r, 𝜃) se relacionan
mediante las ecuaciones x = rcos 𝜃 y y = rsen 𝜃. Por lo tanto, un número complejo no
nulo z = x + iy se escribe como z = (r cos 𝜃) + i(r sen 𝜃) o:

14. Se dice que (1) es la forma polar del número complejo z.
De la figura se observa que la coordenada polar r puede
interpretarse como la distancia desde el origen al punto
(x, y). En otras palabras, se adopta la convención de que r
nunca es negativo, por lo que se puede considerar que r es
el módulo de z, esto es, 𝑟 = 𝑧 .
El ángulo 𝜃 de inclinación del vector z medido en radianes desde el eje real desde sus
valores positivos, es igualmente positivo cuando se mide en contra del sentido del reloj
y negativo cuando se mide en sentido del reloj. El ángulo 𝜃 se denomina argumento de
z y se escribe 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑧 . De la figura se observa que el argumento de un número
complejo debe satisfacer la ecuación 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑦/𝑥.
EJEMPLO

15. Multiplicación y división La forma polar de un número
complejo es especialmente conveniente para multiplicar o
dividir dos números complejos. Supóngase que

17. EJEMPLO

18. Potencias de z. A partir de los resultados (4) y (5) se pueden encontrar potencias
enteras del número complejo z. Por ejemplo, si 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃), entonces con
𝑧1 = 𝑧 y 𝑧2 = 𝑧, (4) conduce a

19. EJEMPLO
Solución En los ejemplos anteriores se observa que

20. Fórmula de DeMoivre Cuando 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 se tiene que 𝑧 = 1 y por lo
tanto (8) produce a
Este resultado se conoce como la fórmula de DeMoivre y es útil para deducir ciertas
igualdades trigonométricas.
Raíces Se dice que un número w es una raíz n-ésima de un número complejo no nulo z
si 𝑤𝑛
= 𝑧. Si 𝑤 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠∅ + 𝑖𝑠𝑒𝑛∅) y z = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) son las formas polares de
w y z, entonces, de (8), 𝑤𝑛 = 𝑧 se convierte en

22. A continuación se sintetiza este resultado. Las raíces n-ésimas de un número complejo
no nulo 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) vienen dadas por
EJEMPLO
Con 𝑟 = 1, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 = 𝜋/2, la forma polar del número es 𝑧 = cos 𝜋/2 +𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋/2 .
De (10) con n = 3 se obtiene
Solución.

23. EJEMPLO