Los números complejos son la suma de un número real y un número imaginario. Son una herramienta fundamental en álgebra y ramas de las matemáticas como variable compleja y electromagnetismo. Contienen a los números reales e imaginarios puros. Se definen operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos siguiendo reglas específicas.

1. Números Complejos
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario
(que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada
álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y
aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran
importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las
construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del
cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable
compleja o análisis complejo. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de
números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma
Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando
los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:
( 𝑎 + 𝑏𝑖) + ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎 + 𝑐) + ( 𝑏 + 𝑑)𝑖
Ejemplo de suma:
(4 + 2𝑖) + (3 + 2𝑖) = 4 + 2𝑖 + 3 + 2𝑖 = 4 + 3 + 2𝑖 + 2𝑖 = (4 + 3) + (2 + 2) =
El resultado es 7 + 4𝑖
Resta
Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:
(36 − 2𝑖) − (5 + 5𝑖) = (36 + 5) + (−2𝑖 − 5𝑖) = (36 + 5) + (−2 − 5)𝑖 = 31 − 7𝑖 ∶
(6 − 4𝑖) − (6 + 5𝑖) = (6 − 6) + (−4𝑖 − 5𝑖) = 0 − 9𝑖 = −9𝑖
Multiplicación
Forma rectangular
La multiplicación de forma rectangular se compone de un binomio al cuadrado:
( 𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑖𝑐 + 𝑏𝑑𝑖2) = (( 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + ( 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑖)
Ya que 𝑖2 = −1
Forma Polar
La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
𝑧1 𝑧2 = 𝑟𝑠𝑒 𝑖(∅+𝜓) ⇔ 𝑧1 𝑧2 = 𝑟𝑒 𝑖∅ 𝑠𝑒 𝑖𝜓

2. División
Forma Rectangular
La división en forma rectangular se compone de una racionalización:
( 𝑎 + 𝑏𝑖)
( 𝑐 + 𝑑𝑖)
=
(( 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + ( 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) 𝑖)
𝑐2 + 𝑑2 = (
( 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + ( 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐2 + 𝑑2
)
Forma Polar
La división de números complejos es recomendable con la notación polar:
𝑧1
𝑧2
=
𝑟
𝑠
𝑒 𝑖(∅+𝜓)
Potencias
Forma Rectangular
Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades
notables (cuadrado de la suma). Se debe tener en cuenta la igualdad 𝑖2 = −1
(6 − 3𝑖)2
= 62
− 2 ∙ 6 ∙ 3𝑖 + (3𝑖)2
= 36 − 36𝑖 + 9𝑖2
= 36 + 36𝑖 + 9(−1) = 36 − 36𝑖 − 9 = 27 − 36𝑖.
Esto es para explicar el proceso de potenciación.
Forma Polar
Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, 𝑧 =
𝑟(cos∅ + 𝑖 sin ∅), según el Teorema de Moivre:
𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛[cos𝑛∅ + 𝑖sin 𝑛∅]
 Entero Negativo
𝑧−𝑛 = (
1
𝑧 𝑛
) donde el entero 𝑛 ≥ 2
 Exponente racional. La ecuación
𝑧 =∝
𝑝
𝑞 significa 𝑧 𝑞 = ∝ 𝑝, en donde se toman en cuenta todas las soluciones
z posibles. Se supone que p y q son primos entre sí.
Se deduce
| 𝑧| 𝑞 = |∝| 𝑝 y 𝑞 ∙ arg 𝑧 = 𝑝 ∙ arg ∝ + 2𝑘𝜋
En consecuencia
| 𝑧| = |∝|
𝑝
𝑞 y arg 𝑧 =
𝑝
𝑞
∙ arg 𝛼 +
2𝑘𝑟
𝑞
Considerando 𝑘 = 0,1,. ., 𝑞 − 1, se obtiene 𝑞 resultados.

3.  Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces
𝑧∝ = 𝑒∝ ln𝑧 = exp(∝∙ ln 𝑧)
Un ejemplo sencillo: (−2)√2 = 2√2[cos(2𝑘 + 1) 𝜋√2 + 𝑖 sin(2𝑘 + 1) 𝜋√2]
Raíces
Para obtener las 𝑛 raíces de un numero complejo, se aplica:
𝑧1 𝑛⁄
= [ 𝑟(cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥)]1 𝑛⁄
= 𝑟1 𝑛⁄
[cos (
𝑥+2𝑘𝜋
𝑛
) + 𝑖 sin (
𝑥+2𝑘𝜋
𝑛
)]
Donde 𝒌 es un número entero que va desde 𝟎 hasta 𝒏 − 𝟏, que al sustituirlo en la
fórmula permite obtener las 𝒏 raíces diferentes de 𝒛.