Este documento resume los principales temas de álgebra lineal cubiertos en la Unidad 1 del portafolio de evidencias, incluyendo la definición y operaciones básicas de números complejos, su forma polar y exponencial, el teorema de Moivre para potencias de números complejos, y la extracción de raíces. El documento también introduce brevemente el tema de ecuaciones polinómicas.

1. ÁLGEBRA LINEAL
CARRERA: Ingeniería en Gestión
GRUPO: 3G1 y 3G2
MAESTRO: ING. RAMÓN
ALBERTO CUPUL Y DÍAZ
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS.
UNIDAD 1
Tema: Números complejos.

2. DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS
COMPLEJOS
Un número complejo es un número escrito en la forma
z= a + bi donde a y b son números reales e i es el
símbolo formal que satisface la relación i² = -1. (Lay,
2001). i es entonces un número imaginario.
En el siglo XVI la cantidad √-1 apareció por primera
vez en la escena matemática (Mahor, 2006). Se le
conoce como “unidad imaginaria” y se define como
una de las soluciones de la ecuación x² + 1 = 0. Esta
ecuación no admite soluciones reales, pues el
cuadrado de todo número real es positivo.
Procediendo formalmente se concluyó que i = √-1 es
un número “imaginario” con derecho a existir en las
matemáticas.
Posteriormente se formaron los objetos con la forma
z= a + bi donde a y b son números reales, dando paso
a los números complejos.

3. DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS
COMPLEJOS

4. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON
NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos pueden ser sumados,
restados multiplicados o divididos (salvo la división por
0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a
las que usamos con los números reales.
1) a + bi = c + di si y solo si a= c y b = d
2) (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b +d) i
EJEMPLO:(2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + (–4)) i
= 5 + 3 i
3) (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b - d) i
EJEMPLO: (9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i
= 5 – 2 i
4) (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi² = (ac – bd) +
(bc + ad)i
EJEMPLO: (3 + 2 i )(5 + 6 i ) = 15 + 18 i + 10 i + 12 i 2
= 15 + 28 i – 12
= 3 + 28 i

5. POTENCIAS DE “I” MODULO O VALOR
ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número
complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en z como algún punto en el plano;
podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor
absoluto de un número complejo coincide con la
distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r
eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar
como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es
la conocida fórmula de Euler.

6. POTENCIAS DE “I” MODULO O VALOR
ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO

7. FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN
NUMERO COMPLEJO
FORMA POLAR
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que
corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy.
Como x = r cos θ e y = r sen θ z puede ser
expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).
En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin
embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores
posibles, incluyendo valores negativos”[1].
r cosθ = x

9. FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN
NUMERO COMPLEJO
FORMA EXPONENCIAL
La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo
eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce
como fórmula de Euler. Si escribimos un número
complejo no nulo en forma polar.

10. FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN
NUMERO COMPLEJO

11. TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y
EXTRACCION DE UN NUMERO COMPLEJO
Teorema de Moivre, Potencias y raíces de números
complejos. “Fórmula de De Moivre se aplica para
cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para
cualquier n∈ Z: z = rn(cosnθ + isennθ). ”[3]. “La "raíz n-
ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces
da el valor inicial " n-ésima " .
Si Z = 4 ( cos(20°) + i sen(20°)) entonces Z4 = ?
Z4 = 44 ( cos(4*20°)+ i sen(4*20°))
Z4 = 256 ( cos(80°)+ i sen(80°))

12. TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y
EXTRACCION DE UN NUMERO COMPLEJO
EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO
COMPLEJO.
Si Z es un número complejo tal que para algún entero
positivodonde W es otro número complejo, entonces se
dice que W es una raíz enésima de
Z. En los números reales, todo número posee una raíz
de orden impar y dos raíces de orden par. En los
complejos hay una mayor abundancia de raíces .
Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:
Todo número complejo tiene exactamente n reices n -
esimas.

13. TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y
EXTRACCION DE UN NUMERO COMPLEJO

15. ECUACIONES POLINOMICAS
Las ecuaciones polinómicas son un
enunciado que plantea la igualdad de dos
expresiones o miembros, donde al menos
uno de los términos que conforman cada lado
de la igualdad son polinomios P(x). Estas
ecuaciones son nombradas según el grado
de sus variables.
Las ecuaciones polinómicas son expresiones
que están formadas por una igualdad entre
dos polinomios; es decir, por las sumas
finitas de multiplicaciones entre valores que
son desconocidos (variables) y números fijos
(coeficientes), donde las variables pueden
tener exponentes, y su valor puede ser un
número entero positivo, incluyendo el cero.

16. ECUACIONES POLINOMICAS