El documento describe el método de punto fijo para resolver ecuaciones. Explica que se transforma la ecuación original f(x)=0 en una nueva ecuación equivalente de la forma x=g(x), y luego se itera g(x) hasta converger a una solución. También discute las condiciones necesarias para la convergencia, como que la derivada de g(x) debe estar entre -1 y 1. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para encontrar un punto fijo iterando la función cos(x).

1. 2.3. Interacción de punto fijo
1
1
1 Generalidades Sustento teórico Aplicación
 El método de punto fijo es un método abierto, también llamado de iteración de un
punto o sustitución sucesiva, que ordena la ecuación
 Despeja una x de una función f(x)
 Encontrar una derivada(continua) y determinar si existe convergencia o divergencia
 De manera grafica encontrar 𝑥𝑖y 𝑥𝑓
 Verificar si existe raíz
 Igualar f(x)=0 generar una nueva función g(x)=f(x)+x
 g(x) debe ser continua en dicho intervalo
 g´ x debe ser convergente es decir en el intervalo -1< g´ x <1
 Luego se realiza las iteraciones solicitadas

2.  Sea el inicio la ecuación general:
f(x)=0
 De la cual se desea encontrar una raíz real x. El primer paso consiste en transformar
algebraicamente la ecuación a la forma equivalente:
x=g(x)
De manera que la solución de ambas ecuaciones sea la misma
Planteo del problema de punto fijo.
Supongamos que queremos resolver la ecuación
𝑥3+3x-2=0
entonces podemos tomar g(x) como cualquiera de las siguientes funciones y evaluar.
 𝑔1(x)=
2−𝑥3
3
, 𝑔2(x)=
2
𝑥2+3
, 𝑔3(x)=
3
2 − 3𝑥
Generalidades Sustento teórico Aplicación

3. sea f ɛ C [a, b].definamos a la función g como g(x)=f(x)+x. si p es una raíz de f ,es decir
f(P)=0 ,se dice que p es punto fijo de la función g ya que g(p)=p.
TEOREMA DE VALOR MEDIO
SI fɛC [a, b],∃ c ɛ (a,b) tal que
𝑓′ 𝑐 =
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
Con b-a≠0.
COMO FUNCIONA EL MÉTODO DE PUNTO FIJO
g(x)=f(x)+x, con fɛC [a,b], se genera la sucesión {𝑥𝑖}𝑖≥0 con 𝑥0 como un punto inicial en
un intervalo [a,b] cualquiera y:
𝑥𝑖+1 = 𝑦 𝑥𝑖 , 𝑖 ≥ 0
El método se detiene cuando 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 < T,siendo T la tolerancia deseada o bien
cuando se alcanza el numero máximo establecido de iteraciones
Generalidades Sustento teórico Aplicación

4.  Otra diferencia importante entre método de punto fijo y método de
bisección el de punto fijo no nos garantiza a aproximación de una raíz en
cambio el método de bisección si nos garantiza x el teorema de Bolzano.
Por que ?
𝑔 𝑝 = 𝑃
g(p)-𝑥𝑖+1=p-𝑥𝑖+1
𝑔 𝑝 −𝑔(𝑥𝑖)
𝑝−𝑥𝑖
=
𝑝−𝑥𝑖+1
𝑝−𝑥𝑖
Por el t.v.m,ⱻ c ɛ (𝑥𝑖,p)tal que g’(c)=
𝑔 𝑝 −𝑔(𝑥𝑖)
𝑝−𝑥𝑖
=
𝑝−𝑥𝑖+1
𝑝−𝑥𝑖
De manera que
1.Si g´ c < 1,entonces 𝑝 − 𝑥𝑖 < 𝑝 − 𝑥𝑖 el metodo converge
2. si g´ c > 1,entonces 𝑝 − 𝑥𝑖 > 𝑝 − 𝑥𝑖 el metodo diverge
3. si g´ c = 1,entonces 𝑝 − 𝑥𝑖 = 𝑝 − 𝑥𝑖 el metodo se estanca
Generalidades Sustento teórico Aplicación

5. Inicio
f(x),f’(x), xi, e
f(x)=0 Raíz=xi
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
≤ 𝑒
𝑁𝑂
Raíz=xi fin
Si
Si
𝑁𝑂

6. Ejercicio 2
 Encuentre el punto fijo con los siguiente datos
 Función: cos(x)
 Punto inicial: 0.5
 Interacciones a realizar: 50
 Error máximo permitido:0.00000001

7. INICIO
X=g(x0)
FIN
Si
DIAGRAMA DE FLUJO
Punto Fijo
(Función,
x0,𝜀,N)
i=i+1
No
|X-x0|< 𝜀
Solución x
i=N

9. Solución:
9
9
9 Generalidades Sustento teórico Aplicación