punto fijo

1. MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO

2. Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).

3. Definición Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

4. Teorema de punto fijo: Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración: xn=g(xn-1), n=1,2,3…..

5. Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

6. El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión <Xn> converge siempre y cuando |g’(x) <1|.

7. Ejemplo Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación X3+4X2-10=0 dentro del intervalo [1,2]. Lo primero es buscar una función g(x) adecuada x3+4X2-10=0 x2(x+4)=10 x= Y claramente elegimos como función iteradora a g(x)= además observe que Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

8. Implementación Excel En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones: =raiz(10/(A5+4)) 3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones. Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.

9. Algoritmo

10. Ejemplo 1 Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cosx-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%. Solución Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. Aplicando la fórmula iterativa tenemos, x1=g(x0)=cos 0=1 Con un error aproximado de 100%

11. Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos, x1=g(x1 )=cos 1=0.540302305 Y un error aproximado de 85.08%.

12. Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es: Con un error aproximado igual al 0.78%. x13=0,907447