La asignatura trata sobre funciones y sus propiedades. Se define función par e impar, función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. También se explican funciones monótonas, periódicas e inversa.

1. ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área: Ingenierías
Asignatura: Cálculo I
Semestre: 2020-II Fecha: 22-11-2020
Docente: Hernán Nicolay Cupi Condori
Sección
14
Integrantes del equipo Participación
Leonardo Fabián Malásquez Salas Paridad de funciones
Alexis Ricardo Luyo Casas Monotonía de funciones
José Gabriel Figueroa Salas Inversa de una composición
Diego Antonio Meza Martínez Funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas
Oscar Miguel Salazar Herrera Función inversa
Daniel Félix Meza Campos Funciones periódicas

2. FUNCIÓN PAR:
Una función f: A→B es par si f(x)= f(-x) para todo
x∈A, nótese que -x ∈A.
Desde un punto de vista geométrico, la gráfica de
una función par es simétrica con respecto al eje y.
Ejemplo 1:
Determine si la siguiente función es par:
La función cuadrática F(x)= 3𝑥4
− 5𝑥2
+ 3 , es par ya
que:
F(x)= 3𝑥4
− 5𝑥2
+ 3 F(-x) = 3(−𝑥)4
− 5(−𝑥)2
+ 3
F(x)= 3𝑥4 − 5𝑥2 + 3

3. Ejemplo 2:
Determine si la siguiente función es par:
La función seno F(x)= sen(𝑥2
+ 1) es par ya que,
F(x)= sen(𝑥2
+ 1) F(-x)= sen((−𝑥)2
+ 1)
FUNCIÓN IMPAR:
Una función f: A→B es impar si f(-x)= -f(x) para todo
x∈A, se considera -x ∈A.
F(x)= sen(𝑥2
+ 1)

4. Desde el punto de vista geométrico, una función
impar presenta una simetría rotacional con
respecto al origen de coordenadas.
Ejemplo 1:
Determinar si la siguiente función es impar:
La función cúbica F(x)= 𝑥3
− 5𝑥 es impar, ya que
F(x)= 𝑥3
− 5𝑥 F(-x)=(-𝑥)3
− 5(−𝑥)
F(x)= −𝑥3
+ 5𝑥
F(x)= 𝑥3 − 5𝑥

5. Ejemplo 2:
Determinar si la siguiente función es impar:
Esta función F(x)= 2senxcosx es impar, ya que
Sen(-x)= -senx
Cos(-x)= -cosx
F(x)= 2senxcosx
F(x)=2senxcosx
F(-x)=2sen(-x)cos(-x)
F(-x)=-2senxcosx
F(x) ≠ F(x)

7. Función inyectiva:
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un
único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir:
Se dice que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función inyectiva si:
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) → 𝑎 = 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) o su equivalente
𝑎 ≠ 𝑏 → 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏)
Una forma más didáctica de verificar si una función es inyectiva es
trazando una recta paralela al eje de las abscisas de la siguiente forma

8. Ejemplo 1:
Sea la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝐴 = {2,3,4} 𝑦 𝐵 = {3,4,5,6}
𝑓 = {(2; 3), (3; 4), (4; 5)} determinar si es inyectiva
Solución:
Partamos de la equivalencia de la definición de función inyectiva
𝑎 ≠ 𝑏 → 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
2 ≠ 3 → 𝑓(2) ≠ 𝑓(3) 3 ≠ 4 (𝑉)
3 ≠ 4 → 𝑓(3) ≠ 𝑓(4) 4 ≠ 5 (𝑉)
2 ≠ 4 → 𝑓(2) ≠ 𝑓(4) 3 ≠ 5 (𝑉)
Como vemos, para todos los valores de entrada corresponde un solo valor
de llegada, por lo que se puede concluir que f es inyectiva
Ejemplo 2:
Sea g(x) una función tal que 𝑔: ℝ → ℝ
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 17
Verificar si es inyectiva
Solución:
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 17
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 4 + 13
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2
+ 13
1) Bosquejamos la función en el plano
cartesiano
2) Trazamos una recta horizontal
paralela al eje x
Como podemos notar la recta corta en
2 puntos, por lo que podemos concluir que g(x) no es inyectiva.

9. Función sobreyectiva:
Una función sobreyectiva (o suprayectiva) f es una función tal que todos
los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del
conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir:
Se dice que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función sobreyectiva si:
∀𝑏 ∈ 𝐵, ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) = 𝑏 ó 𝑅𝑎𝑛(𝑓) = 𝐵
En el plano cartesiano en una regla de correspondencia:𝑓: ℝ → ℝ se
verifica que es sobreyectiva de la siguiente forma

10. Ejemplo 3:
Sea la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝐴 = {2,3,4} 𝑦 𝐵 = {3,4,5,6}
𝑓 = {(2; 3), (3; 4), (4; 5)} determinar si es sobreyectiva
Solución:
Sabemos por definición que 𝑅𝑎𝑛(𝑓) = 𝐵
Veamos:
𝑅𝑎𝑛(𝑓) = {3,4,5} ∧ 𝐵 = {3,4,5,6}
Como vemos el rango de f no coincide con el conjunto de llegada B.
Entonces, se concluye que la función no es sobreyectiva.
Ejemplo 4:
Sea g(x) una función tal que 𝑔: ℝ → ℝ
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 17
Verificar si es sobreyectiva
Solución:
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 17
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 4 + 13
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2
+ 13
1) Bosquejamos la función
2) Trazamos dos rectas para ver si la
función se refleja en todo el eje Y.
Como vemos una de las rectas no corta
a la función entonces se puede
concluir que “g” no es sobreyectiva.

11. Función biyectiva:
Se dice que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función biyectiva si es inyectiva y
sobreyectiva a la vez.
Ejemplo 5:
Sea la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝐴 = {2,3,4} 𝑦 𝐵 = {3,4,5,6}
𝑓 = {(2; 3), (3; 4), (4; 5)} determinar si es biyectiva
Solución:
1.-Primero veamos si la función es inyectiva:
𝑎 ≠ 𝑏 → 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
2 ≠ 3 → 𝑓(2) ≠ 𝑓(3) 3 ≠ 4 (𝑉)
3 ≠ 4 → 𝑓(3) ≠ 𝑓(4) 4 ≠ 5 (𝑉)
2 ≠ 4 → 𝑓(2) ≠ 𝑓(4) 3 ≠ 5 (𝑉)
Como vemos, para todos los valores de entrada corresponde un solo valor
de llegada, por lo que se puede concluir que f es inyectiva
2.-Ahora analicemos si es sobreyectiva:
Sabemos por definición que 𝑅𝑎𝑛(𝑓) = 𝐵
Veamos:
𝑅𝑎𝑛(𝑓) = {3,4,5} ∧ 𝐵 = {3,4,5,6}
Como vemos el rango de f no coincide con el conjunto de llegada B.
Entonces, se concluye que la función no es sobreyectiva
3.- La función es inyectiva mas no es sobreyectiva; entonces, se concluye
que la función no es biyectiva.

12. Ejemplo 4:
Sea g(x) una función tal que 𝑔: ℝ → ℝ
𝑔(𝑥) =
𝑥 − 3
𝑥 + 1
Verificar si la función es biyectiva
𝑔(𝑥) =
𝑥 + 1 − 4
𝑥 + 1
𝑔(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 + 1
+
−4
𝑥 + 1
𝑔(𝑥) = 1 −
4
𝑥 + 1
La gráfica de esta función
hiperbólica sería:
1) Si trazamos una recta paralela al eje X
notamos que solo la corta en 1 solo punto
2) Notamos que al trazar la recta y=1 no toca
ningún punto de la función.
Por 1) podemos concluir que la función es
inyectiva
Por 2) podemos concluir que la función no es
sobreyectiva
Entonces podemos afirmar que la función no es biyectiva

13. Función Monótona
Definición:
Se dice que f es una función monótona en un intervalo I, si y solo si f o es estrictamente creciente o es
estrictamente decreciente en ese intervalo.
• Función Estrictamente Creciente:
∀x1, x2 ϵ I [(x1<x2) → (f(x1) < f(x2)]
Ejm:
• Función Estrictamente Decreciente:
∀x1, x2 ϵ I [(x1<x2) → (f(x1)>f(x2)]
Ejm:
Teorema: Si la función f es monótona entonces es inyectiva.
Ejercicios Resueltos:
A) Estrictamente creciente:
X ϵ (- ∞, -3) U (4, + ∞)
Estrictamente decreciente:
X ϵ (-3,1)
Constante:
X ϵ (1,4)

14. B) Estrictamente creciente:
X ϵ (- 3,-2) U (2, + ∞)
Estrictamente decreciente:
X ϵ (- ∞, -3) U (-2,2)

15. Periodicidad de funciones
Afirmamos que una función f, con dominio Domf, es periódica si existe un número real fijo p≠0
tal que:
I)Si xЄ Domf →X + T Є Domf
II)f(X+T)=f(x) → ∀x Є Domf
Toda función periódica tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene en un
intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el anterior y en el siguiente
intervalo de longitud T.
Tal número T recibe el nombre de periodo de F.
Las funciones seno y coseno tienen periodo T=2π
Ejemplo 1:
Sen(x+2π)= senx , ∀x Є R
Ejemplo 2:
Cos(x+2π)=cosx, ∀x Є R

16. También se ve que +4 π, 6 π,-4 π, -6 π,…, 2n π, n ЄZ son periodos de seno y coseno. Siendo 2π
el menor periodo positivo.
Se define como periodo mínimo de F al menor de los periodos positivos.

17. Periocidad de funciones
Afirmamos que una función f, con dominio Domf, es periódica si existe un número real fijo p≠0
tal que:
I)Si xЄ Domf, entonces (x+p) Є Domf
II)f(x+p)=f(x) para todo xЄ Domf
Al número real fijo p se le llama periodo de la función f y nos indica que la gráfica se repite
cada intervalo consecutivo de ancho p unidades, repitiéndose también en intervalos
repitiéndose también en intervalos de anchos 2p, 3p, etc.
Al menor de dichos anchos lo llamaremos periodo mínimo o simplemente periodo.
Ejemplo 1:
Analizar la periocidad de la función definida por f(x)=senx
Resolución:
Aplicaremos la periodicidad
I)Para xЄ Domf, se tiene que (x+p)Є Domf.
II)Ahora f(x+p)=sen(x+p)=senxcosp+ cosxsenp
Para que sea periódica debe ocurrir f(x+p)=f(x), es decir:
Senxcosp+ cosxsenp= senx de donde cosp=1 senp=0,
luego el valor mínimo de p≠0 es p=2π.
Finalmente afirmamos qu el periodo mínimo es p=2π
Geométricamente, esto nos indica que el gráfico se repite cada 2π unidades.
Ejemplo 2:
Analizar la periodicidad de la función definida por f(x)=cosx

18. Resolución:
Aplicaremos la definición
I)Para xЄ Domf=R, se tiene que (x+p) Є Domf=R
II)Ahora f(x+p)=cos(x+p)=cosxcosp-senxsenp
Para que sea periódica debe ocurrir f(x+p)=f(x), es decir:
Cosxcosp-senxsenp=cosx, de donde cosp=1 y senp=0,
Luego el valor mínimo de p≠0 es p=2π.
Finalmente afirmamos que el periodo mínimo es p=2π.
Geométricamente esto nos indica que el gráfico se repite cada 2π unidades.

19. FUNCIÓN INVERSA
DEFINICIÓN:
Se llama función inversa o recíproca de una función (f) a una nueva
función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen
es el dominio de la función inicial.
Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple
que si f (b) = a, entonces g(a)=b.
PROPIEDADES
 La función inversa de la composición de dos funciones, siempre
que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
(𝒈 𝒐 𝒇 )−𝟏
= 𝒇−𝟏
𝒐 𝒈−𝟏
 El dominio de f-1 es el recorrido de f.
 El recorrido de f-1 es el dominio de f.
 La inversa de la función inversa es la propia función:
(𝒇−𝟏
)−𝟏
= 𝒇
B
F(x)
F(x) es una función y f-1
(x) es su inversa

20. Ejemplo 1:
Dada la función 𝑓(𝑥) = 8𝑥−3
𝑥−1
, hallar la función inversa si existe.
SOLUCIÓN:
La función no está definida en x=1
Resolvemos la ecuación 𝑦 =
8𝑥−3
𝑥−1
Para x en términos de y: xy − y = 8x + 3 o x(y-8) = 3+y
El único valor que puede tomar 𝑥 =
𝑦+3
𝑦−8
para todo 𝑥 ≠ 1
Luego la función realizada tiene inversa
𝑓−1
(𝑦) =
𝑦+3
𝑦−8
Ejemplo 2:
Hallar y graficar la función inversa ( de existir ) de: 𝑓(𝑥) = 𝑥2
−
2𝑥 − 1 ; x∈ [2; ∞ >
RESOLUCIÓN:
De: y = x2 – 2x – 1 → y= (x-1)2-2 ↔ (x-1)2 =y+2
↔lx-1l = √𝑦 + 2
↔x-1=√𝑦 + 2, ya que : x ≥ 2
↔x=1+√𝑦 + 2 = f-1
De donde: f-1(x)=1+√𝑥 + 2
El rango de f-1 será dominio de “f” es decir:
Rang(f-1)= [2; ∞ >

21. Función inversa de una composición:
Sean las funciones inyectivas𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑦 𝑔: 𝐵 → 𝐶
con 𝑅𝑎𝑛(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ≠ ∅
La inversa de la función compuesta 𝑔 𝑜 𝑓 es la función denotado
por (𝑔 𝑜 𝑓)−1
: 𝐶 → 𝐴 y definida como: (𝑔 𝑜 𝑓)−1(𝑦) = (𝑓−1
𝑜 𝑔−1
)(𝑦)
Donde
𝐷𝑜𝑚(𝑔 𝑜 𝑓)−1
= {𝑥 ∈ 𝐶/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔−1) ∧ 𝑔−1(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1
)}
Ejemplo 1:
Considere las siguientes funciones reales definidas por
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥3
Hallar (𝑔 𝑜 𝑓)−1
Solución
1. Para hallar la inversa de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 hacemos 𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 − 1 = 2𝑥
𝑦 − 1
2
= 𝑥
𝑓−1(𝑦) =
𝑦 − 1
2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 ∶ 𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 1
2
2. 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1
) = 𝑅𝑎𝑛(𝑓) = ℝ

22. 3. Para hallar la inversa de 𝑔(𝑥) = 𝑥3
hacemos 𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 𝑥3
√𝑦
3
= √𝑥3
3
√𝑦
3
= 𝑥
√𝑦
3
= 𝑔−1(𝑦) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 ∶ 𝑔−1(𝑥) = √𝑥
3
4. 𝐷𝑜𝑚(𝑔−1
) = 𝑅𝑎𝑛(𝑔) = ℝ
5.𝐷𝑜𝑚(𝑔 𝑜 𝑓)−1
= {𝑥 ∈ 𝐶/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔−1) ∧ 𝑔−1(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1
)}
𝑥 ∈ ℝ ∧ √𝑥
3
∈ ℝ)
𝐷𝑜𝑚(𝑔 𝑜 𝑓)−1
= ℝ
6. (𝑔 𝑜 𝑓)−1(𝑥) = (𝑓−1
𝑜 𝑔−1
)(𝑥)
= 𝑓−1(𝑔−1
(𝑥)) =
√𝑥
3
−1
2