Karnaughy quine

F -X C h a n ge F -X C h a n ge
PD PD

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to

to
k

k
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m
w w
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.d o .c .d o .c
c u -tr a c k c u -tr a c k

Mapas de Karnaugh y método
de Quine McCluskey

Ing. Mónica Patricia René_2010

Ing. Mónica P. René_2010 1

PD PD

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C

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m

m
w w
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Introducción

Vimos como representar funciones de conmutación (o booleanas)
con tablas de verdad, implementándolas con compuertas lógicas.
Además mediante el álgebra de Boole, reducimos dichas funciones
para que puedan emplearse el mínimo número posible de
compuertas lógicas.
Cuando la función de conmutación depende de muchas entradas, el
método para reducir la función mediante teoremas y postulados
del álgebra booleana se vuelve tedioso.
Además una misma función se puede expresar algebraicamente de
distintas maneras.
Los métodos que veremos a continuación remedian estas
dificultades.


PD PD

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N

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C

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w w
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.d o .c .d o .c

Mapas de Karnaugh

Como una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh de una función,
especifica el valor de dicha función para todas las combinaciones de
valores de las variables independientes (entradas).

Es un diagrama en forma de matriz de cuadros, donde cada cuadro
corresponde a un minitérmino de la función.

Las expresiones simplificadas, que se generan del mapa, siempre
están en una de las dos formas canónicas: suma de minitérminos o
producto de maxitérminos.

La expresión más simple no es única.


PD PD

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w

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Mapas de Karnaugh de dos y tres variables

Para dos variables, existen 4 Ejemplo
minitérminos, por lo tanto 4 A,B: variables de
cuadros en la matriz.
entrada

A B
0 0
0 1
A A 1 0
A
B 0 1 B 0 1 1 1
B
0 m m2
0
0 0 2 00 10

m1 m3 1 3 01 11
1 1


PD PD

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.d o .c .d o .c

Se pueden leer los minitérminos
igual que en una tabla de verdad. Ejemplo
Cada 1 contenido en el mapa Para la siguiente tabla de verdad
corresponde a un minitérmino de F. construya el mapa de K.
Un 1 contenido en la celda 00, A
A B F 0 1
indica que A´B´ es un término B
1 0
producto de F. 0 0 1 0

Los términos productos ubicados en 0 1 1 1
1 0
celdas adyacentes, pueden 1 0 0 A
combinarse, dado que solo difieren 1 1 0
B 0 1

en una sola variable. 0
1 0
A´ B´
A´B´ y A´B se combinan para formar 1
1 0
A´. A´ B

Lo anterior se indica mediante un
lazo que envuelve a los
correspondientes unos sobre el
mapa.


PD PD

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C

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w w
w

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.d o .c .d o .c

Para tres variables:
A
0
A B C F
1
BC
0 4
0 0 0 0
00

1 5
0 0 1 0
01

3 7
0 1 0 1
11
0 1 1 1
2 6
10
NOTACION DECIMAL 1 0 0 1
Los términos productos situados en 1 0 1 0
celdas adyacentes se pueden combinar 1 1 0 1
utilizando el teorema XY´+XY=X 1 1 1 0
Por ejemplo el término producto 001
(A´B´C) se puede combinar con tres
términos producto como se ve en la fig.
Las filas superiores e inferiores del mapa
también son adyacentes (100 con 110
y 000 con 010) Ing. Mónica P. René_2010 6

PD PD

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m
w w
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Dada la expansión en términos producto canónicos de una función,
puede representarse sobre un mapa colocando unos en las celdas
que corresponden a lo minitérminos de la función y ceros en las
celdas restantes.
A
0 1
BC
0 0
00
1 1
01
1 0
11
0 0
10

F(A,B,C)= (m1,m3,m5)


PD PD

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Si una función se especifica en forma algebraica, no es necesario
expandirla en términos producto canónicos antes de representarla
sobre un mapa.
Por ejemplo suponiendo que f(a,b,c,d)=abc´+b´c+a´ construiremos el
mapa como se muestra:
El término abc’ es 1 cuando a=1, y bc=10, por lo que a
0 1
colocamos un 1 en la celda que corresponde a la bc
1 0
columna a= 1 y la fila bc=10 00

El término b´c es 1 cuando bc=01,por lo que 01
1 1

colocamos un 1 en ambas celdas de la fila bc=01 1 0
11
del mapa.
1 1
El término a´ es 1 cuando a=0, por lo que colocamos 10
un 1 en todas las celdas de la columna a=0 del mapa.
Nota: dado que hay un 1 en la celda abc=001 no tenemos que colocar
un segundo 1 ahí, ya que x+x=x


PD PD

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w

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Ejemplo de deducción de una expresión simplificada utilizando un
mapa de Karnaugh.
F(a,b,c)=a´bć+a´bc+abć

Rellenamos el mapa con los términos producto correspondientes.
Agrupamos mediante los lazos.
Simplificamos.
F(a,b,c)=ać+bć

PD PD

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Si queremos encontrar el complemento de la función mostrada en
el ejemplo anterior, simplemente cambiamos en el mapa los 0 por 1
y los 1 por 0.
F´(a,b,c)=(a´b´c+a´bc+ab´c)´

Simplificamos como se explicó.
F´(a,b,c)=c´+ab

PD PD

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w

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Si queremos expresar la función F como un producto estándar,
buscamos el complemento de dicha función simplificamos y luego
aplicamos el teorema de Morgan, para volver a complementar, y
poder expresar F finalmente como un producto estándar.

Para el ejemplo anterior donde F(a,b,c)=a´b´c+a´bc+ab´c vimos
como encontrar F´(a,b,c)=c´+ab

Ahora aplicando el teorema de Morgán, para volver a complemetar:
(F’)’= F = c (a’ +b’) producto estandar


PD PD

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Mapas de Karnaugh de cuatro variables

Las siguientes figuras muestran la distribución de un mapa K de
cuatro variables:
AB
00 01 11 10
CD
0 4 12 8
00
1 5 13 9
01

3 7 15 11
11

2 6 14 10
10

La definición de celdas adyacentes se amplia, no sólo las filas
superior e inferior son adyacentes, sino que también lo son la
primera y la última columna.


PD PD

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Ejemplos
Checar concepto de desbordamiento pag. 16
Fundamentos de diseño lógico, Charles H. Roth, Jr., 5ª ed.Thomson
• Problemas 5.3, a),b)c)
• 5.4
• 5.5 (observación la operación EQU (equivalencia)=XNOR)
• 5.6 (solo hallar la suma mínima de productos de cada función)


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Método de Quine McCluskey

Este método proporciona un procedimiento simplificado y
sistémico que puede programarse en una computadora.

Se utiliza cuando el número de variables es más grande o se tienen
que simplificar varias funciones y ya no es aconsejable utilizar
mapas de K.


PD PD

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El procedimiento consta de dos pasos:

Eliminar tantos literales como sea posible de cada término,
aplicando sistemáticamente el teorema XY+XY´=X . Los términos
resultantes se denominan resultantes primos.
Utilizar un gráfico de implicantes primos para seleccionar un
conjunto mínimo de implicantes primos que, combinados mediante
la operación OR, equivalgan a la función que se va a simplificar y
que contenga un número mínimo de literales.


PD PD

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Procedimiento:
La función debe estar dada como una suma de minitérminos ( o
suma de productos).

De no estar en la forma anterior, deberá expandirse a una suma de
minitérminos según los procedimientos vistos en temas anteriores.

Se forman sistemáticamente todos los implicantes primos de la
función, combinando los minitérminos.

Los minitérminos se representarán en notación binaria y se
combinarán utilizando el teorema de absorción XY+XY´=X

Donde X representa un producto literal e Y es una sola variable

PD PD

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Ej.
ABĆD´ ABĆD ABĆ
101 0 101 1 101 el guión indica una variable que falta
X Y´ X Y X

A´BC´D A´BCD ´ (no se combinan)
0 10 1 0110 (no se combinan)

Para hallar todos los implicantes primos, deben compararse todos los
pares posibles de producto y combinarse siempre que se pueda.
Veamos mediante un ejemplo como formar la tabla de determinación
de implicantes primos.


PD PD

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Veamos un ejemplo, dada la siguiente función encuentre los
implicantes primos
f a, b, c, d m 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14

Dividimos los minitérminos en grupos, numerados según la
cantidad de unos contenidos en dichos minitérminos:
grupo 0 0 0000
Luego, dos términos podrán
grupo 1 1 0001
combinarse si difieren en
2 0010
8 1000 exactamente una variable.
Compararemos los términos
grupo 2 5 0101
6 0110
del grupo 0 con los del grupo 1.
9 1001
10 1010

grupo 3 7 0111
14 1110 Ing. Mónica P. René_2010 18

PD PD

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GRUPO COLUMNA 1 COLUMNA 2 COLUMNA 3

0 0 0000 0,1 000- 0,1,8,9 -00-

1 0001 0,2 00-0 0,2,8,10 -0-0

1 2 0010 0,8 -000 0,8,1,9 -00-

8 1000 1,5 0-01 0,8,2,10 -0-0

5 0101 1,9 -001 2,6,10,14 --10

6 0110 2,6 0-10 2,10,6,14 --10
2
9 1001 2,10 -010

10 010 8,9 100-

7 0111 8,10 10-0
3
14 1110 5,7 01-1

6,7 011-

6,14 -110

10,14 1-10

Tabla 1 Ing. Mónica P. René_2010 19

PD PD

!

!
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N

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w w
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Se combinan a´bć´d´+a´bć´d=a´bć´
Se combinan a´bć´d´+a´bćd´=a´b´d´
Se combinan a´bć´d´+abć´d´=bć´d´
Los términos anteriores se combinan para eliminar una variable,
utilizando el teorema de absorción XY+XY´=X
Los términos de la columna 2 se dividen también en grupos según
la cantidad de unos que contienen.
Los términos del primer grupo de la columna 2 solo tienen que
compararse con los términos del segundo grupo que contengan
guiones en las mismas posiciones, a´bć´+abć´=bć´.
El término resultante se enumera en la columna 3.
Luego repetimos el procedimiento anterior para la columna 3.


PD PD

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C

C
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w w
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.d o .c .d o .c


De la tabla anterior, los términos que no se han combinado con
otros términos, se denominan implicantes primos.
Luego la función es la suma de sus implicantes primos.
f acd a bd a bc b‘ c ‘ b´d´ cd´
1, 5 5, 7 6, 7 0, 1, 8, 9 0, 2, 8, 10 2, 6, 10, 14

Pero la expresión anterior todavía se puede reducir:
f a bd b´c cd´

Vamos a utilizar la segunda parte del método para encontrar un
conjunto mínimo de implicantes primos.


PD PD

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La segunda parte del método de Quine McCluskey emplea un
gráfico de implicantes primos para seleccionar un conjunto mínimo
de implicantes primos.
A partir de la tabla anterior (tabla 1), se construye una tabla de
implicantes primos como se muestra a continuación:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14

(0,1,8,9) b´c´ x x x ¤
(0,2,8,10) b´d´ x x x x
(2,6,10,14) cd´ x x x ¤
(1,5) a´c´d x x
(5,7) a´bd x x
(6,7) a´bc x x

Si un término producto está cubierto sólo mediante un implicante
primo, entonces dicho implicante primo se denomina implicante
primo esencial.


PD PD

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Los implicantes primos esenciales son fáciles de encontrar y se
deben incluir en la suma mínima de productos de la función.
Si una determinada columna contiene sólo una X, entonces la
correspondiente fila es un implicante primo esencial.
En la tabla anterior, las columnas 9 y 14 contienen una sola X, por
lo que b´c´y cd´ son implicantes primos esenciales.
Cada vez que se selecciona un implicante primo esencial, se debe
tachar la fila correspondiente (ver líneas rojas en tabla siguiente).
Luego, las columnas que corresponden a todos los términos
producto cubiertos por dichos implicantes primos también deben
tacharse (ver líneas negras en tabla siguiente).
Veamos como queda la tabla.


PD PD

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14

(0,1,8,9) b´c´ x x x ¤
(0,2,8,10) b´d´ x x x x
(2,6,10,14) cd´ x x x ¤
(1,5) a´c´d x x
(5,7) a´bd x x
(6,7) a´bc x x

Luego se debe elegir un conjunto mínimo de implicantes primos
para cubrir las restantes columnas.
En este ejemplo a´bd cubre las dos columnas restantes.


PD PD

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Cubriendo las dos columnas restantes (líneas violetas).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14

(0,1,8,9) bć´ x x x ¤
(0,2,8,10) b´d´ x x x x
(2,6,10,14) cd´ x x x ¤
(1,5) ać´d x x
(5,7) a´bd x x
(6,7) a´bc x x

Finalmente la suma mínima de productos resultante es:

f a bd bć cd´


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