Este documento presenta conceptos y reglas sobre derivadas. Explica cómo calcular derivadas de funciones como potencias, sumas y restas utilizando reglas como la del múltiplo constante. También cubre derivadas de orden superior y aplica los conceptos en ejemplos numéricos como hallar la pendiente tangente y normal en un punto de una curva.

1. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
La derivada y sus reglas
CÁLCULO I
Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador

2. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Pendiente de rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas y perpendiculares

3. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Encuentre la ecuación de la recta tangente y
normal a la curva
x
4
y = en el punto ( 2 , 2 )
Hallamos la m T :
h
x
4
h
x
4
lím
m
0
h
T
−
+
=
→
x
)
h
x
(
h
h
4
lím
m
0
h
T
+
−
=
→ 2
T
x
4
m −
=
Evaluamos en x = 2, obteniendo 1
-
mT =
Luego, la ecuación de la recta tangente es:
)
2
-
x
(
1
-
2
-
y
:
T =
L 0
4
-
y
x
:
T =
+
L
La recta normal L N a una curva en un
punto P, es la recta perpendicular a la
tangente en el mismo punto P.
Entonces, 1
mN =
Y la ecuación de la
recta normal es:
)
2
-
x
(
1
2
-
y
:
N =
L
0
y
x
:
N =
−
L
L N
L T
Ejemplo 1

4. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Encuentre la ecuación de la recta tangente a
la curva que sea paralela a la recta
y = 4 x
2
x
y =
Hallamos la m T :
h
x
)
h
x
(
lím
m
2
2
0
h
T
−
+
=
→
h
x
h
h
x
2
x
lím
m
2
2
2
0
h
T
−
+
+
=
→
x
2
mT =
Como la recta y = 4 x es paralela a la recta
tangente L T , entonces:
x
2
4 =
Luego, la ecuación de la recta tangente es:
)
2
-
x
(
4
4
-
y
:
T =
L
0
4
-
y
x
4
:
T =
−
L
2
x =
Por lo que, el punto de tangencia es P ( 2 , 4 )
Ejemplo 2

5. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Ejemplo 3
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 2) que es
paralela a la recta 4x + 6y + 5 = 0.

6. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Ejemplo 4
Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta
4x + 6y + 5 = 0 y pasa por el origen.

7. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Ejemplo 5
Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta
4x - 3y + 6 = 0 y pasa por (0.-3).

8. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Derivadas
( )
( ) ( )
0 0
0
0
lim
h
f x h f x
f x
h
→
+ −
 =
𝑚𝐿𝑆
=
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ
𝑚𝐿𝑇
= lim
ℎ→0
𝑚𝐿𝑆
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ

9. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplos
Derivada de una función constante

10. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Derivada de una función potencia

11. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Derivada de una función potencia

12. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplos

13. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Regla del múltiplo Constante
Demostración

14. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplo

15. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Regla dela Suma y la Resta
Demostración

16. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Regla dela Suma y la Resta
La demostración es similar que la suma

17. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplo

18. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplo Hallar dx/dy de

19. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplo Hallar dy/dx de

20. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Derivadas de orden superior
Si y=f(x), entonces las derivadas sucesivas lo denotaremos por
O también

21. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas
Ejemplo

22. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas

23. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas

24. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas

25. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas

26. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador
Reglas de Derivadas

27. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador

28. Sé Íntegro, Sé Misionero, Sé Innovador