El documento introduce el concepto de límite y su importancia en cálculo diferencial. Define formalmente el límite de una función y presenta ejemplos. Explica las leyes de los límites y cómo aplicarlas para calcular límites. También cubre límites laterales y el teorema de compresión para límites.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Las normas de clase,son pautas establecidas dentro del entorno educativo para regular el comportamiento de los estudiantes y del profesor. Estas normas tienen varios propósitos y beneficios en el contexto de un aula de clase.
Las normas de clase, son pautas establecidas dentro del entorno educativo para regular el comportamiento de los estudiantes y del profesor. Estas normas tienen varios propósitos y beneficios en el contexto de un aula de clase.
3. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
El concepto de l´ımite sirve como fundamento a nociones matem´aticas
como la continuidad, la derivada y la integral. Por tanto, es pertinente
comenzar su estudio que dar´a lugar a la idea central del c´alculo diferencial,
la derivada.
C´alculo Diferencial L´ımites
4. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
¿Qu´e es un l´ımite?
Definici´on
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de
x = a, excepto posiblemente en a. Decimos que el l´ımite de
f(x) cuando x se aproxima a x = a es el n´umero L y
escribimos
l´ım
x→a
f(x) = L,
si, para todo > 0, existe un n´umero δ > 0 correspondiente
tal que para toda x,
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| <
Ejemplo
¿Cu´al es el comportamiento de la funci´on
f(x) =
x2
− 4
x − 2
cerca de x = 2?
C´alculo Diferencial L´ımites
5. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Para hacerse a una idea del comportamiento de las im´agenes de la funci´on
se usar´an los valores de x que esten “lo suficientente cerca a 2”, sin
importar que ocurre en x = 2.
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1
f(x) 3.9 3.99 3.998 4.001 4.01 4.1
La tabla anterior se observa que, a medida que x es un n´umero cerca a 2,
f(x) se aproxima a 4.
x
−3 −2 −1 1 2 3
y
−2
−1
1
2
3
4 f(x)
C´alculo Diferencial L´ımites
6. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Teorema: Leyes de los l´ımites
Si L y M, a y k son n´umeros reales y
l´ım
x→a
f(x) = L y l´ım
x→a
g(x) = M,
entonces:
1 Regla de suma: l´ım
x→a
(f(x) + g(x)) = l´ım
x→a
f(x) + l´ım
x→a
g(x) = L + M
2 Regla de resta: l´ım
x→a
(f(x) − g(x)) = l´ım
x→a
f(x) − l´ım
x→a
g(x) = L − M
3 Regla del m´ultiplo constante: l´ım
x→a
(kf(x)) = k l´ım
x→a
f(x) = kL
4 Regla del producto: l´ım
x→a
(f(x)g(x)) = l´ım
x→a
f(x) l´ım
x→a
g(x) = LM
5 Regla del cociente: l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
l´ım
x→a
f(x)
l´ım
x→a
g(x)
=
L
M
, M = 0
6 Regla de la potencia: l´ım
x→a
[f(x)]n
= l´ım
x→a
f(x)
n
= Ln
, n ∈ Z+
7 Regla de la ra´ız: l´ım
x→a
n
f(x) = n l´ım
x→a
f(x) =
n
√
L, n ∈ Z+
. (Si n es
par, se debe tener que l´ım
x→a
f(x) > 0).
C´alculo Diferencial L´ımites
9. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
L´ımites laterales
Definici´on: L´ımite lateral a derecha
Sea f una funci´on definida en cada n´umero del intervalo
abierto (a, c). Entoces, el l´ımite de f(x), cuando x tiende a
a por derecha, es L, lo que se denota por
l´ım
x→a+
f(x) = L
Si 0 < x − a < δ entonces |f(x) − L| < .
“Es decir, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a
L, tanto como se quiera, tomando x suficientemente
cercanos a a, pero menores que a.”
De forma similar se puede definir el l´ımite lateral a izquierda.
C´alculo Diferencial L´ımites
10. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
En la gr´afica de la siguiente funci´on se observa que los valores de f(x)
tienden a 1 conforme x tiende a 0 por la izquierda, pero se acercan a -1 a
medida que x tiene a 0 por derecha. Por lo tanto,
l´ım
x→0−
f(x) = 1 y l´ım
x→0+
f(x) = −1
x
−3 −2 −1 1 2 3
y
−1
1
f(x)
t
Teorema
Una funci´on f(x) tiene un l´ımite cuando x tienda a a si y s´olo si tiene
l´ımites por derecha y por izquierda, y adem´as si estos l´ımites laterales son
iguales:
l´ım
x→a
f(x) = L ⇔ l´ım
x→a−
f(x) = L y l´ım
x→a+
f(x) = L
C´alculo Diferencial L´ımites
11. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
Considere la funci´on f(x) dada por
f(x) =
1 si x < 0
0 si x = 0
−1 si x > 0
Como l´ım
x→0−
f(x) = 1 = l´ım
x→0+
f(x) = −1 y en virtud del teorema anterior
se puede decir que l´ım
x→0
f(x) No existe.
Ejemplo
Calcule:
l´ım
x→7
x − 7
x2 − 49
.
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→7
x − 7
x2 − 49
= l´ım
x→7
x − 7
(x − 7)(x + 7)
C´alculo Diferencial L´ımites
13. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
1
3
l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
(3 + x)(4 +
√
x2 + 7)
=
1
3
l´ım
x→−3
3 − x
4 +
√
x2 + 7
=
1
3
·
3 − (−3)
4 + (−3)2 + 7
=
1
3
·
6
4 +
√
16
=
3
8
Teorema de compresi´on
Suponga que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todos los valores de x en alg´un
intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en x = a.
Tambi´en suponga que
l´ım
x→a
g(x) = l´ım
x→a
h(x) = L
Entonces l´ım
x→a
f(x) = L.
C´alculo Diferencial L´ımites
14. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
Si 5 − 3x − x2
≤ f(x) ≤ x + 9 para todo x cerca a -2 excepto tal vez para
x = −2. ¿Cu´al es el valor de l´ım
x→−2
g(x)?
Como l´ım
x→−2
(5 − 3x − x2
) = 7 y l´ım
x→−2
(x + 9) = 7 en virtud del teorema de
compresi´on se debe tener que l´ım
x→−2
g(x) = 7
C´alculo Diferencial L´ımites