Deduccion predicados

Deducción en la
Lógica de Predicados
Roberto Moriyón

Razonamiento
• Recordatorio: El razonamiento se utiliza
para obtener nuevos hechos ciertos a
partir de otros que lo son o al menos se
supone que lo son. Por lo tanto razonar
consiste en deducir las consecuencias
de un conjunto de axiomas.
• Las reglas de deducción del Cálculo de
Predicados permiten deducir a partir de
un conjunto de axiomas cualquier
consecuencia de ellos.

Ejemplo de deducción
• Axiomas:
– Todas las personas andan
– Todo objeto que anda se mueve
– Juan no se mueve

Demostrar que Juan no es una persona.
• Posible formalización con proposiciones:
Demostrar ~Persona Juan sabiendo que
∀x,(Persona x⇒Anda x),
∀x,(Anda x⇒Mueve x) y ~Mueve Juan

Ejemplo de deducción, II
• Utilizando las iniciales:
– Los símbolos de predicados unarios P, A y M
representan las condiciones ser una persona,
andar y moverse respectivamente.
– El símbolo de constante J representa a Juan.
– Axiomas:
A = {∀x,(Px⇒Ax); ∀x,(Ax⇒Mx) ; ~MJ }

Lenguaje lógico
• Un lenguaje lógico está formado por una
colección de símbolos de variables,
constantes, funciones y predicados.
• En este curso supondremos que hay al
menos una constante, lo que implica que
el conjunto de valores posibles de las
variables no es vacío.
• Esta hipótesis se puede evitar, pero con
demostraciones más complicadas.

Lenguaje lógico, II
• En el ejemplo anterior hay una constante,
J, y tres predicados unarios (P, A y M).
• Un lenguaje lógico determina dos
lenguajes asociados: términos y fórmulas.
• En el ejemplo anterior hay un solo
término, J, e infinitas fórmulas como las
que se han mostrado como axiomas.

Lenguaje lógico, III
•
•
•
•
•

Otro ejemplo:
Constantes: 0.
Funciones: f (unaria).
Predicados: = (binario infijo).
Términos: fff…f0, fff…fx, etc.
Predicados: f0=ff0, ∀x,fx=0, etc.

Lenguaje Lógico, IV
• Lenguaje de la Aritmética:
– Constantes: 0.
– Funciones: S (siguiente, unaria), + (suma,
binaria infija) y * (producto, binaria infija).
– Predicado: = (binario infijo).
– Términos: SS0+S(x*y) etc.
• También abreviadamente: 2+(x*y+1), etc.

– Fórmulas: ∀x,∀y,~y+Sx=0, etc.

Lenguaje Lógico, V
• Lenguaje de la Semiótica:
– Constantes: 0 (cadena vacía).
– Funciones: Sσ (anteposición, unaria) y +
(concatenación, binaria).
– Predicado: = (binario infijo)
– Términos: SaSb0+Sa(x+y), etc.
• También abreviadamente: “ab”+Sa(x+y), etc.

– Fórmulas: ∀x,∀y,~y+Sx=0, etc.

Ejemplo de deducción, III
Recordamos nuestro ejemplo inicial:
• Predicados unarios: P (es persona), A
(anda) y M (se mueve).
• Constante: J (Juan).
• Axiomas: ∀x,(Px⇒Ax); ∀x,(Ax⇒Mx) ;
~MJ.

Ejemplo de deducción, IV
De∀x,(Px⇒Ax) se deduce PJ⇒AJ
De lo anterior se deduce ~AJ⇒~PJ [*]
De ∀x,(Ax⇒Mx) se deduce AJ⇒MJ
De lo anterior se deduce ~MJ⇒~AJ
Por el modus ponens, de lo anterior y ~MJ
se deduce ~AP.
• Por el modus ponens, de lo anterior y [*]
se deduce ~PJ.
•
•
•
•
•

Ejemplo de deducción, V
• La deducción anterior se escribe
habitualmente como sigue:
∀x,(Ax⇒Ux)
[Axioma]
AP⇒UP
[R. de especificación]
~UP⇒~AP
[R. implicación
contrarr.]
~UP
[Axioma]
~AP
[Modus Ponens]

Ejemplo de deducción, V
∀x,(Mx⇒Ax)
MP⇒AP
~AP ⇒~MP
contrarr.]
~MP

[Axioma]
[R. de especificación]
[R. implicación
[Modus Ponens]

• La única regla nueva en el ejemplo
anterior es la de especificación.

Lógica de predicados:
Reglas de deducción
• Todas las de la lógica proposicional,
sustituyendo sus átomos por los de la
lógica de predicados (con una limitación
en la regla de deducción de implicaciones
que se describirá enseguida).

Reglas de deducción, II
• Si permitiéramos lenguajes lógicos sin
constantes habría que restringir la
utilización del modus ponens para no
permitir deducciones como
x=x, x=x ⇒ ∃y,y=y  ∃y,y=y

Reglas de deducción, III
• Regla de especificación
Ejemplo: ∀a,~Sa=0  ~S(c+SS0)=0
- ∀ω,α  α
[ω: Cualquier variable]
- ∀ω,α  ατ/ω

[ω: Cualquier variable]

[τ: Término todas cuyas variables son nuevas]
Sin la restricción anterior, habría deducciones
falsas como ∀a,∃b,b=Sa  ∃b,b=Sb

Reglas de deducción, IV
• Regla de generalización:
Ejemplo:
(~x=0 ⇒ ∃y,x+x=SSy) 
∀x, (~x=0 ⇒ ∃y,x+x=SSy)
- α  ∀ω,α
[ω: Cualquier variable no ligada en α].
Significado: Las variables libres pueden
tener valor arbitrario.

Reglas de deducción, V
Limitación en la regla de deducción de
implicaciones (Ξ,α ↑ β  Ξ ↑ α⇒β):
• La deducción de partida (Ξ,α ↑ β) no
puede incluir ninguna generalización
sobre ninguna variable libre de α.
• Consecuencia: en una deducción auxiliar,
no equivalen una fórmula α y ∀x,α. Se
puede aplicar especificación a la última,
pero no generalización a la primera.

Deducción de implicación a partir de
inferencia
• Si se permitieran generalizaciones en las
deducciones que dan lugar a
implicaciones, se podrían hacer
deducciones falsas como la siguiente:
• Deducción auxiliar:
a=0  ∀a,a=0
[Generalización]
 Sa=0
[Especificación]
• Fórmula deducida: a=0 ⇒ Sa=0

Reglas de deducción, VI
• Regla de intercambio:
Ejemplo: ∀a,~Sa=0  ~∃a,Sa=0
- A∀ω ,~B  A~∃ω ,B
[ω: variable]
• Observaciones:
∀x,~α ⇔ ~∃x,α

Reglas de deducción, VII
• Comentario a la regla de intercambio:
∃ω,~ α ⇔ ~∀ω,α
Se pueden añadir las reglas
A∃ω,~B  A~∀ω,B

Reglas de deducción, VIII
• Regla de existencia:
Ejemplos:
a) ∀a,~Sa=0  ∃b,∀a,~Sa=b
b) ∀a,~Sa=0 ^ ∀a,~SSa=0 
∃b, (∀a,~Sa=b ^ ∀a,~SSa=0)
- α  ∃ω,αω//τ
[τ: Término en ω]

Reglas de deducción, IX
• Regla de ámbito:
Ejemplo:
∀y,(SSy=Sy+S0 v∀z,Sz=0) 
(∀y, SSy=Sy+S0) v ∀z,~Sz=0
- ∀ω,(αvβ)  (∀ω,α)vβ
[ω no libre en β]
- ∃ω,(α^β)  (∃ω,α)^β
[ω no libre en β]

Reglas de deducción, X
• Comentario a la regla de ámbito: Las
siguientes deducciones son correctas bajo
la hipótesis de existencia de constantes:
- ∀ω,(α^β)  (∀ω,α)^β
- (∃ω,α)vβ  ∃ω,(αvβ)
[ω no libre en β]
(pero no en general: las partes derechas
pueden ser falsas si el dominio es vacío
aunque las partes izquierdas sean ciertas)

Reglas de deducción, XI
• Comentario a la regla de ámbito: Las
siguientes deducciones son correctas en
general:
- (∀ω,α)^β  ∀ω,(α^β)
- ∃ω,(αvβ)  (∃ω,α)vβ
[ω no libre en β]
La demostración se dará más adelante.
Podemos aceptar cuatro reglas de deducción correspondientes a estas
deducciones.

Reglas de deducción, XII
• Reglas para la igualdad:
R. fundamental:  τ=τ
R. de simetría:
τ=θ  θ=τ
de Transitividad: τ=θ, θ=ρ  τ=ρ
R. de Sustitución: τ=θ, α  αθ//τ
[τ, θ, ρ: Términos]

Reglas de deducción, XIII
• Las tres primeras reglas de la igualdad se
pueden reescribir de manera natural como
axiomas (son la idempotencia, simetría y
transitividad de la igualdad).
• En general, todo el sistema de reglas se
puede sustituir por un conjunto de
axiomas junto con una sola regla: el
modus ponens.

Ejemplo de deducción, VI
• Axiomas:
– A todos los gatos les gusta el pescado
– Todos los gatos comen todo lo que les gusta
– Ziggy es un gato

• Demostrar que Ziggy come pescado

Ejemplo de deducción, VII
• Constantes:
– Ziggy ≡ z
– Pescado ≡ p

• Predicados:
– x es un gato ≡ g x
– A y le gusta z ≡ t y z
– u come w ≡ c u w

Ejemplo de deducción, VIII
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

∀x, g x ⇒ t x p
∀x, ∀y, g x ^ t x y ⇒ c x y
gz
gz⇒tzp
tzp
gz^tzp
∀y, g z ^ t z y ⇒ c z y
gz^tzp⇒czp
czp

[Axioma]
[Axioma]
[Axioma]
[Espec. 1]
[Modus pon.]
[3, 5]
[Espec. 2]
[Espec.]
[Modus pon.]

Ejercicio obligatorio
• [PESC] Deducir que algún lenguado es
un desgraciado a partir de los
siguientes axiomas:
– Todo tiburón se come un lenguado
– Todo pez grande y blanco es un tiburón
– Algunos peces grandes blancos viven en
aguas profundas
– Todo lenguado comido por un pez que
vive en aguas profundas es desgraciado

Universalidad del
Cálculo de Predicados
• La última demostración es válida
independientemente del dominio. Podría ser,
por ejemplo, una demostración acerca de
números y funciones, alcachofas y caballos o
puntos y rectas.
• Esto es cierto en todas las deducciones
formales basadas en el Cálculo de Predicados.
• Las personas razonamos en base a unas reglas
lógicas fijas, pero guiamos nuestro
razonamiento en base a nuestro conocimiento
del modelo que tenemos en mente.

Ejemplo de deducción, IX
∀∀ x,(F ⇒ G)  (∀ x,F) ⇒
(∀ x,G)
∀ x,(F ⇒ G)
F⇒G
[ ∀x,F
F
G
Gy/x]

(∀x,F) ⇒ Gy/x
∀y,((~∀x,F)vGy/x)
∀y,(Gy/xv(~∀x,F))
(∀y,Gy/x)v(~∀x,F)
(~∀x,F)v(∀y,Gy/x)
(∀ x,F) ⇒ (∀ y,Gy/x)

Ejemplo de deducción, X
∀ ∀ x,(F ⇒ G)  (∃ x,F) ⇒ (∃ x,G)
∀ x,(F ⇒ G)
F⇒G
~G ⇒ ~F
[ ∀x,~G
~G
~F
~Fy/x]

∀x,~G⇒~Fy/x
(∃x,G)v(~Fy/x)
(~Fy/x)v(∃x,G)
∀y,((~Fy/x)v(∃x,G))
(∀y,~Fy/x)v(∃x,G)
(∃y,Fy/x)⇒(∃x,G)

Ejemplo de deducción, XI
∀ ∃ x, α ; (α ⇒ β )  ∃ x,β
• Demostración:

∃ x,α
α ⇒β
[ ∀ x, ~β
~β
~β⇒ ~α
~α ]

(∀ x,~β )⇒ ~α
∀ x,((∀ x,~β )⇒ ~α )
(∀ x,~β )⇒∀ x,~α
(∃ x,α )⇒ ∃ x,β
∃ x,β

Ejemplo de deducción, XII
∀ ∃ω,(FvG)  (∃ω,F)vG
• Demostración:
[

~G
[
(FvG)^~G
FvG
~G
~G⇒ F
F]

[ω no libre en G]

Ejemplo de deducción, XIII
…
((FvG)^~G) ⇒ F
∃x,((FvG)^~G) ⇒∃x,F
((∃x,FvG)^~G)⇒∃x,((FvG)^~G)
[
(∃x,FvG)^~G
∃x,((FvG)^~G)
∃x,((FvG)^~G) ⇒∃x,F
∃x,F]

[VISTO EN CLASE]
[REGLA DE AMBITO]
[MODUS PONENS]
[MODUS PONENS]

Ejemplo de deducción, XIV
…
(∃x,(FvG))^~G⇒∃x,F
(∃x,(FvG))^~G
∃x,F]
[MODUS PONENS]
~G⇒∃x,F
(∃x,F)vG
UFFFF!!!

Ejemplo de deducción, XV
∀ ∀ x,F, ∃x,G  ∃x,F
• Demostración:
[ ∀ x,~F
[[Reducción al
absurdo]]
~F
F
F^~F]
(∀ x,~F) ⇒ F^~F
(∀ x,~F) ⇒ (∀ x, F^~F) [General. y ámbito]

Ejemplo de deducción, XVI
…
(∃x,Fv~F) ⇒ (∃x,F)
Fv~F
G ⇒ (Fv~F)
∃x,G ⇒ ∃x,(Fv~F)
∃x,G
∃x,(Fv~F)
∃x,F

[VISTO EN CLASE]
[AXIOMA]
[MODUS PONENS]

Ejercicios obligatorios
• [LOB] Se supone que en la lobera hay lobos, que
son carnívoros, y hombres, que pueden ser
carnívoros o hervíboros. También se supone que
los carnívoros no comen lechuga y que Tom, que
está en la lobera, la come. Demostrar que Tom
es un hombre.
• [ARD] Resolver el ejercicio anterior suponiendo
que en la lobera también puede haber ardillas,
que son hervíboras, y que los hombres también
pueden ser omníboros, así como que los hervíboros no comen carne, que los omníboros comen
carne y lechuga y que Tom come carne y
lechuga. Es innecesaria alguna de las hipótesis?

Ejercicios opcionales

•
•
•
•

[TAUT] Demostrar que las siguientes
fórmulas lógicas son tautologías:
(∀x,∃y,P x y) ⇒ (∃y,∃z,(P 0 y ^ P y z)
(P ⇒ (Q^R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ^ (P ⇒ R))
((P ⇒ Q) ^ (P ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ (Q^R))
((∀x, R x v Q x) ^ ∃x,~R x) ⇒ ∃x,Q x

Interpretación: Definición formal
• Recordatorio: En los sistemas formales que
hemos estudiado una interpretación asigna
objetos de un conjunto a partes de la palabra de
partida.
• En la Lógica de Predicados una interpretación
asigna objetos de un conjunto a los términos y
afirmaciones acerca de esos objetos a los
predicados.
• El conjunto de objetos asociado a una
interpretación se llama su dominio (puede ser
vacío).

Interpretación:
Definición formal, II
• Una interpretación I de un lenguaje lógico
consiste en un conjunto D (su dominio) y:
– Para cada variable ω, un elemento de D, ωI.
– Para cada constante c, un elemento de D, cI.
– Para cada símbolo de función n-aria f, una
función
fI: DxDx…xD → D.
– Para cada símbolo de predicado n-ario P, un
subconjunto PI ⊂ DxDx…xD.

Interpretación:
Definición formal, III
• En la definición anterior las operaciones
se consideran funciones binarias.
• La interpretación de los símbolos de un
lenguaje formal se extiende a todos los
términos y todas las fórmulas del
lenguaje:
– Los términos se interpretan como elementos
del dominio. Si un término tiene la forma
f(τ1, …, τn), su interpretación es fI(τ1I, …, τnI).
– Las fórmulas se interpretan como booleanos.

Interpretación:
Definición formal, IV
• Las fórmulas se interpretan …
– Si una fórmula tiene la forma P(τ1, …, τn), su
interpretación es (τ1I, …, τnI) ∈ PI.
– Las fórmulas compuestas se interpretan
como en el cálculo de proposiciones. Por
ejemplo, F^G se interpreta como FI^GI.
– Las fórmulas con cuantificador se interpretan
como sigue:
∀ ∀x,F es cierta si ∀x∈D,FI.
∀ ∃x,F es cierta si ∃ x∈D,FI.

Teorema de coherencia del
Cálculo de Predicados
• Si una fórmula F se deduce a partir de un
conjunto de fórmulas A, es consecuencia
de dicho conjunto de fórmulas.
• Demostración:
Es consecuencia de que en cada regla de
deducción, si todas fórmulas de su
cabecera son ciertas en una
interpretación, su cuerpo también es
cierto.

Teorías lógicas
Deducción como sistema formal
• Una teoría lógica está formada por un
lenguaje lógico, un cálculo lógico (sistema
formal) y un conjunto de axiomas, que son
fórmulas cerradas. Las fórmulas
deducidas de los axiomas se denominan
teoremas.
• El conjunto de axiomas de una teoría
lógica puede ser infinito, pero tiene que
ser recursivo.

Deducción y consecuencia
• En una teoría lógica basada en el Cálculo
de Predicados, dada cualquier deducción
que utilice los axiomas Ai para demostrar
un teorema T, la fórmula A1^A2^…^AN ⇒T
es una tautología.
Demostración:
Es consecuencia del teorema de
coherencia para el Cálculo de Predicados.

Modelos
• Un modelo es una interpretación de una
teoría lógica en la que todos los axiomas
son ciertos (y por lo tanto los teoremas
también).
• Ejemplo: En una lógica con un sólo
símbolo de función f y un único axioma,
A = { ∀x,∀y,f x = f y ⇒ x = y },
cualquier conjunto D con una aplicación
inyectiva f:D→D es un modelo.


•
•
•
•
•
•
•

Dar modelos para los siguientes conjuntos de
axiomas suponiendo que el lenguaje lógico que
se considera no tiene constantes:
[MOD1] { ∀x,∀y,x=y }
[MOD2] { ∃x,x=x }
[MOD3] { ∀ x,~x=x }
[MOD4] { ∃x,~x=x }
[MOD5] { ∃x,∀y,x=y }
[MOD6] { ∀y,∃x,x=y }
[MOD7] { ∃x,∃y,(~x=y ^ ∀z,(x=z v y=z)) }

Lógica de predicados con un
modelo numérico: Axiomas
∀ ∀x,~Sx=0
∀ ∀x,0+x=x
∀ ∀x,∀y,Sx+y=S(x+y)
∀ ∀x,x.0=0
∀ ∀x,∀y,x.Sy=(x.y)+x
∀ ∀x,∀y,(Sx=Sy ⇒ x=y)
• Nota: ∀x,∀y,(x=y ⇒ Sx=Sy) es un
teorema, consecuencia de la regla
genérica de sustitución.

Lógica de predicados con modelo
numérico: Axiomas, II
• Inducción (conjunto infinito de axiomas)
Ejemplo:
0+0=0 ^ ∀x,(x+0=x⇒Sx+0=Sx) ⇒
∀x,(x+0=x)
- α0/ω, ∀ω,(α⇒ αSω/ω) ⇒ ∀ω,α
[F: Fórmula; V: Variable]
Es un conjunto infinito (recursivo) de
axiomas, que se pueden utilizar como reglas
de deducción.

Utilización de inducción para
demostrar un teorema
• Para demostrar en la lógica de predicados
con modelo numérico un teorema de la
forma ∀x,F mediante inducción, hay que
demostrar dos cosas:
– A  F0/x
– A  ∀x,(F⇒FSx/x)

• Una vez demostrado lo anterior, se tiene
que AF0/x^∀x,(F⇒FSx/x), y por la regla
del modus ponens y el axioma de elección
para la fórmula F, A∀x,F.

Ejemplo sencillo de demostración
por inducción sobre números
• Queremos demostrar por inducción que
∀x,(x+0=x) . Tenemos que ver que:
– 0+0=0

∀x,(x+0=x⇒Sx+0=Sx)

• Lo primero es un axioma
• Lo segundo se demuestra mediante la
regla de deducción de implicaciones

por inducción sobre números, II
∀x, (x+0=x⇒Sx+0=Sx)
0+0=0
0+0=0 ^
∀x,∀y,Sx+y=S(x+y) (∀x, (x+0=x⇒Sx+0=Sx))
∀y,Sx+y=S(x+y)
(0+0=0 ^
Sx+0=S(x+0)
∀x,(x+0=x⇒Sx+0=Sx))
[
x+0=x
⇒∀x,(x+0=x)
Sx+0=Sx]
∀ x,(x+0=x)
x+0=x⇒Sx+0=Sx

Modelo numérico
• La interpretación
(D = ℵ, 00, SS, ++, ..)
es un modelo de la teoría lógica anterior.
• Hay más modelos: D = ℵ x {0} ∪ Z x Q+, con
S(x, y) = (Sx, y)
(x, y) + (p, q) = (x+p, y+q)
(n, 0) . (x, p/q) = (x, p/q) . (n, 0) = (x.n, n.p/q)
(x, p/q) . (y, r/s) = (x.y, p.r/(q.s))

numérico: Ejemplo de deducción
• Teorema: S0+S0=SS0
1 ∀x,∀y,Sx+y=S(x+y)
2 ∀y,S0+y=S(0+y)
3 S0+S0=S(0+S0)
4 ∀x,(0+x)=x
5 (0+S0)=S0
6 S(0+S0)=SS0
7 (S0+S0)=SS0

[Ax. 3]
[Espec. x  0]
[Espec. y  S0]
[Ax. 2]
[Espec. a  S0]
[Adición suces.]
[Transitiv (3, 6)]

Ejemplo de demostración numérica
por inducción
∀ ∀ x,∃ y,∃ z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)
• Caso x=0:
Partimos del teorema visto
S0+S0=SS0
∀x,~Sx=0
[Axioma 1]
~S0=0
[Espec, x0]
~S0=0 ^ S0+S0=SS0
[Agrup. Conj.]
~S0=0 ^ ~S0=0 ^ S0+S0=SS0 [Agrup. Conj.]
∃z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^ S0+z=SS0) [Existencia]
∃ y,∃ z,(~y=0 ^ ~z=0 ^ y+z=SS0)[Existencia]

Ejemplo de demostración numérica
por inducción, II
• Paso de inducción:
∃ y,∃ z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx) ⇒
∃ u,∃ w,(~u=0^~w=0^u+w=SSSx)
[ ~y=0^~z=0^y+z=SSx
~y=0^~z=0
y+z=SSx
Sy+z=SSSx
[Modus ponens]
~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx]
(~y=0^~z=0^y+z=SSx)⇒(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx)
[D.I.I.]
∃z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)⇒∃z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [Ej.V]
∃ y,∃ z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)⇒∃ y,∃ z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx)
∀ x,∃ y,∃ z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)

Ejemplo: Demostración más
sencilla
∀x,∀y,Sx+y=S(x+y) ~Sx=0
∀y,S0+y=S(0+y)
~S0=0 ^ ~Sx=0 ^
S0+Sx=S(0+Sx)
S0+Sx=SSx
∀x,0+x=x
∃z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^
0+Sx=Sx
S0+z=SSx)
S0+Sx=SSx
∃y,∃z,(~y=0 ^ ~z=0 ^
∀x,~Sx=0
y+z=SSx)
~S0=0
∀ x, ∃ y,∃ z,(~y=0 ^ ~z=0 ^
y+z=SSX)

[NUM1] Demostrar las siguientes afirmaciones:
•
•
•
•
•

~S0+SS0=S(S0+0)+SSS(S0+S0)
6 es un número par
2 no es el cuadrado de ningún número
25 es la suma de dos cuadrados
Hay números impares que no son el cuadrado de
otro número
• Si t1 y t2 son términos cerrados de la lógica de la
aritmética, o bien t1=t2 es un teorema o ~t1=t2 es un
teorema.

•
•
•
•
•

[NUM2] Demostrar las siguientes afirmaciones:
Si un número es mayor que otro no nulo, hay un
múltiplo de éste que es mayor que el primero
No todos los números son iguales a 4
Ningún número, salvo el 0 y el 1, es igual a su
cuadrado.
Dos números distintos tienen siguientes
distintos.
No todo número x es una potencia de 2.

[NUM3] Demostrar cada una de las
siguientes fórmulas, o su negación:
• ~∀x,∃y,(SSO.y)=x
∀ ∀x,∃y,~(SSO.y)=x
∀ ∃x,~∀y,(SSO.x)=y
∀ ∃x,∀y,~(SSO.x)=y

[IND] Demostrar por inducción las
siguientes afirmaciones:
- Todo número distinto de cero es el
siguiente a otro número
- El producto de números naturales es
distributivo con respecto a la suma
- Todo múltiplo de cuatro es un múltiplo
de dos

• [PRDEDN] Escribir un programa que hace
deducciones lógicas sobre predicados
numéricos a partir de un conjunto de
axiomas.
• [PRDEDNUS] Escribir un programa que
permite al usuario construir paso a paso
deducciones lógicas sobre números a
partir de un conjunto de axiomas.

numérico: Observación
• La afirmación
[T]
~z=0⇒~z=x.x.x+y.y.y
es un caso particular del Teorema de Fermat, y
por lo tanto es un teorema.
• Sin embargo, entre los siglos X y XVIII no se
sabía si era un teorema o no. Nadie dudaba
entonces que o bien era un teorema o su
negación lo era. Sin embargo, no era imposible
que ni [T] ni su negación fueran teoremas. Los
matemáticos generalmente hacen este tipo de
suposiciones.

de cadenas: Axiomas
∀ ∀x,~Sσx=0

[σ∈Σ]

∀ ∀x,0+x=x
∀ ∀x,∀y,Sσx+y=Sσ(x+y)

[σ∈Σ]

• Sσx=Sσy ⇒ x=y
(elimin.)
• ~Sσx=Sτx

[σ∈Σ]
[σ,τ∈Σ, σ≠τ]

• Nota: ∀x,∀y,(x=y ⇒ Sσx=Sσy) es un
teorema, consecuencia de la regla
genérica de sustitución.

de cadenas: Axiomas, II
• Inducción
Ejemplo: F ≡ ∀ x,∀ y,∀ z,(x+y)+z=x+(y+z)
(∀y,∀z,(0+y)+z=0+(y+z) ^
(∀x,(∀y,∀z,(x+y)+z=x+(y+z) ⇒
∀y,∀z,(Sσx+y)+z= Sσx+(y+z))) ⇒
∀x,∀y,∀z,(x+y)+z=x+(y+z)
• Axioma:
F0/V, ∀ V,<F⇒ FSσ .V/V> [∀σ∈Σ ] ⇒ ∀ V,F
• Es un conjunto infinito de axiomas que se
pueden utilizar como reglas de deducción.

por inducción sobre cadenas
0+y=y
[Axioma de inducción]
y+z=y+z
∀ x,∀ y,∀ z,(x+y)+z=x+(y+z)
(0+y)+z=y+z
0+(y+z)=y+z
(0+y)+z=0+(y+z)
[
x+(y+z)=(x+y)+z
Sσx+(y+z)=Sσ(x+(y+z))
…
Sσx+(y+z)=(Sσx+y)+z]
(0+y)+z=0+(y+z) ^ x+(y+z)=(x+y)+z⇒
Sσx+(y+z)=(Sσx+y)+z)

Modelo de cadenas
• La interpretación
(D= Σ*, 00, SσSσ, ++)
es un modelo de la teoría lógica anterior.

de cadenas: Ejemplo de predicado
• sinCorchete 0
∀ ∀C,sinCorchete C⇔sinCorchete SσC
– [, ] ∈ Σ.
σ ≠ [, σ ≠].

• Definición sin utilizar un símbolo nuevo:
∀x,∀y,
((C=x+y ^ ~y=0)⇒∃z,(y=Saz v y=Sbz))

Demostrar las siguientes
afirmaciones:
• [STR1] Si dos palabras tienen
descomposiciones idénticas como
concatenación de otras dos, son iguales
• [STR2] Si dos palabras tienen
descomposiciones diferentes como
concatenación de otras dos, no tienen por qué
ser iguales
• [STR3] La palabra “101010” no es la
concatenación de otra palabra consigo misma

Demostrar cada una de las
siguientes afirmaciones o su
negación:
•
•
•
•
•

[STR4] ~∀x,∀y,(SaSbO+y)=x
[STR5] ∀x,∀y,~(SaSbO+y)=x
[STR6] ~∃x,∃y,(SaSbO+x)=y
[STR7] ∃x,~∃y,(SaSbO+x)=y
[STR8] ∃x,∃y,~(SaSbO+x)=y

[LENGTH] Se define la longitud de una cadena de
caracteres mediante la función L tal que
L0 = 0 ^ LSaw=Saw ^ LSbw=Saw.
Demostrar que
∀x,∀y,∀u,∀v,(Lx=u^Ly=v⇒L(x+y)=u+v)
[MENOR] Definir el predicado < sobre cadenas,
que significa que la segunda cadena contiene a
la primera al comienzo, y demostrar que
∀x,∀y,∀u,∀v,L(x,u)^L(y,v)^x<y ⇒u<v
y la negación de la implicación contraria.

• [PRDEDCH] Escribir un programa que
hace deducciones lógicas sobre
predicados sobre cadenas a partir de un
conjunto de axiomas.
• [PRDEDCHUS] Escribir un programa que
permite al usuario construir paso a paso
deducciones lógicas sobre cadenas a
partir de un conjunto de axiomas.

Teoría de conjuntos: Axiomas de
Zermelo Fraenkel (ZF)
• Extensionalidad (mismos elementos ⇒igualdad)
• Regularidad
• Especificación [φ: Fórmula] ({x∈y|φ})
• Emparejamiento ({x,y})
• Unión (∪{y|y∈x})

Teoría de conjuntos: Axiomas de
Zermelo Fraenkel (ZF), II
• Reemplazamiento (imagen de función)
• Infinito [∅: ∀y,~(y∈x). S(y): y∪{y}, x∈z⇔(x=y)v(x∈y)]
• Potencia [z⊂x: y∈z⇒y∈x] ({y|y⊂x})
• Elección [well-orders: …]

Ejemplo de teorema de la teoría de
conjuntos
∀ X, X ≠ { y | y∉ y }
[ ∀y,(y∈x⇔~y∈y)
x∈x⇒~x∈x
~x∈x v ~x∈x
~x∈x
~x∈x⇒x∈x
x∈x v x∈x
x∈x

x∈x^~x∈x
~∀y,(y∈x⇔~y∈y)]
(∀y,(y∈x⇔~y∈y))⇒
~∀y,(y∈x⇔~y∈y)
~∀y,(y∈x⇔~y∈y) v
~∀y,(y∈x⇔~y∈y)
~∀ y,(y∈ x⇔ ~y∈ y)

Teoría lógica de Zermelo-Fraenkel:
Incompletitud
• La afirmación
(∀x,x∈y⇒∃z,z∈x)⇒(∃u,∀x,x∈y⇒∃z,z∈x^z∈u)
se conoce como axioma de elección.
• En la segunda mitad del siglo XX, Paul
Cohen demostró que el axioma de elección
es independiente de los axiomas de
Zermelo-Fraenkel.
• Ello se debe a que en algunos modelos de
la teoría es cierto y en otros no.

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