Este documento discute el concepto de infinito en matemáticas y presenta dos sistemas importantes para trabajar con lo infinito: los números hiperreales de Abraham Robinson y los números transfinitos de George Cantor. También explora algunas paradojas relacionadas con el infinito y cómo estos sistemas permiten formalizar conceptos como la derivada sin límites.

1. Los números hiperreales y las
paradojas del infinito:
Cuando el infinito nos alcance
Universidad de Guadalajara
Maestría en Enseñanza de las Matemáticas
Francisco Saúl Tzintzún Rubio
Ensayo 4

2. El concepto de infinito es uno de los más
atractivos en el estudio de las matemáticas.
Su fundamento es comprensible de forma muy
sencilla, incluso para un niño en edad
preescolar…
«Un puntito más de lo que tú digas…»
Sin embargo, al manipularlo como ente
matemático se muestra retador y escurridizo,
pues plantea situaciones que llegan a confundir
nuestra mente y capacidad de abstracción.
Entre las creaciones más importantes e
interesantes para el trabajo con lo infinito está
el trabajo de Abraham Robinson sobre los
números hiperreales y el de George Cantor
sobre los Transfinitos.
2011 B · Francisco Saúl Tzintzún Rubio

3. • Paradojas del infinito
• El sistema de los hiperreales (Robinson)
• El sistema de los transfinitos (Cantor)
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4. • ¿Realmente comprendemos la Densidad infinitesimal de los
números?
• Hagamos el número
• Dicho número ¿es menor o igual a uno?
• Veamos:
• ¿Cómo se representa 1/3 en notación decimal?
• ¿Qué sucede si multiplicamos por 3 ambos miembros?
• ¿Cuál es el resultado de 1 – t ? ¿Qué número está entre 1 y t?
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0.9999... 0.9t  
1
0.3333... 0.3
3
 
 
1
0.3333... 0.3
3
1
3 3 0.3333...
3
1 0.9999... 0.9
1 0.9
 
 
 
 
 


5. • ¿En realidad comprendemos el concepto de lo
infinito?
• Veamos las siguientes cuestiones:
• ¿Cuántos números reales hay?
• ¿Hay un último número real?
• ¿No? OK.
• Hagamos el número A tal que empiece con dígito 1
luego una sucesión infinita de dígitos 0, es decir:
A = 1000…
• Hagamos ahora el número T una sucesión infinita
de dígitos 9, es decir:
T = 9999…
• ¿Qué número es mayor, A ó T? ¿Por qué?
• ¿Hay un número «mayor» que T?
• ¿Cuál sería? ¿T+1? ¿Cómo se vería?
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6. • Permite el desarrollo del Análisis No-Estándar como una
ramificación de la lógica matemática que permite la
existencia de «infinitesimales genuinos» y que tiene
aplicaciones en: Espacios de Banach, Ecuaciones
Diferenciales, Teoría de Probabilidades, Matemáticas
Financieras y Física teórica.
• Se considera una «Extensión» del sistema de los
números Reales, es decir, un sistema con elementos
y/o axiomas propios que contiene a los Reales pero con
más elementos y/o axiomas que para los Reales.
• Se representa como
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*
¡

7. • El fundamento Lógico para la existencia de los Hiperreales
es el Teorema de Compacidad de los números Reales, que
establece como una de sus consecuencias:
Existe un sistema de números en que es verdad que para
cualquier entero positivo dado n, existe un número h, tal que:
• Dicho sistema es el de los números Reales.
• Ahora, el mismo Teorema establece:
Existe una extensión del sistema anterior, en el que es verdad
que existe un número positivo dado h, tal que para
cualquier entero positivo n, se cumple:
• Dicho número es un infinitesimal y dicho sistema son los
Hiperreales.
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1
0 h
n
 
1
0 h
n
 

8. • Sea h un número hiperreal infinitesimal. (Como se
estableció en el Teorema de Compacidad).
• Definimos st(h) o «estándar de h» al número real más
cercano de h.
• Así, podemos definir las siguientes operaciones:
• Sea R un número Real.
• Sea H un hiperreal Infinito, esto es, un número tal que:
• Entonces se cumple que:
st(R)=R
st(R+h)=R
st(H+R)=st(H)
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1 1 1H    L

9. • Usando el sistema de los hiperreales obtenemos una
formalización del concepto de derivada de una función
f(x) sin recurrir a límites, con h hiperreal infinitesimal:
• Ejemplo:
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( ) ( )
´( )
f x h f x
f x st
h
  
  
 
2 2
2
2
( )
( )'
x h x
x st
h
x
st
  
  
 

2 2
2xh h x  
2
h
x h
st
 
  
 

2
h
h
 2
2
st x h
x
 
  
 
 


10. • ¿Existen conjuntos infinitos más grandes que
otros conjuntos infinitos?
• George Cantor se planteó y propuso una
solución: El sistema de los números
Transfinitos.
• ¿Qué conjunto es más grande: El de los números
pares o el de los números nones?
• ¿El de los números naturales o el de los números
pares?
• ¿El de los números naturales o la unión de los pares y
los nones?
• ¿El de los números naturales o el de los racionales?
• ¿Todos han sido del mismo «tamaño»? («Aleph
cero»)
• OK. Pero…
• ¿Cuál conjunto es más grande: el de los naturales
o el de los reales?
2011 B · Francisco Saúl Tzintzún Rubio

11. • Arcos, Ismael (2010), Cálculo Infinitesimal para
bachillerato, Editorial Kali.
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
recuperado el 3 de diciembre, 2011
• http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal recuperado el 3
de diciembre, 2011
• http://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html
recuperado el 3 de diciembre, 2011
• http://mathworld.wolfram.com/HyperrealNumber.html
recuperado el 3 de diciembre, 2011
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