Este documento describe un laboratorio sobre la superposición de dos movimientos armónicos simples. Los objetivos del laboratorio son analizar la superposición en direcciones paralelas y perpendiculares, observar las pulsaciones producidas por movimientos con la misma dirección y amplitud pero frecuencias cercanas, y generar figuras de Lissajous con diferentes desfases y relaciones de frecuencia. El documento también presenta información teórica sobre movimientos armónicos simples, osciloscopios, y figuras de Lissajous.

1. SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES
SANDRA PAOLA LEAL HERNANDEZ 1094271377
SEIDY GISELA VACCA LOZADA 96020708457
KERLY ZARITH PÉREZ CHAPETA 1098729365
LUZ ERIKA SOLER ALFONSO 1116868375
Presentado a :
MANUEL VILLAMIZAR
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
LAB. OSCILACIONES Y ONDAS
2015

2. SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES (M.A.S)
OBJETIVOS:
 Analizar la superposición de dos movimientos armónicos simples en
direcciones paralelas y perpendiculares.
 Observar y analizar las pulsaciones producida por la superposición de dos
movimientos armónicos simples con la misma dirección y amplitud y
frecuencias cercanas.
 Generar las figuras de lissajaus a través de la superposición de dos
movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares con
diferentes desfaces y relaciones de frecuencia.
RESUMEN
En el laboratorio de superposición de dos movimientos armónicos simples se
debe conectar la entrada de un circuito desfasador, conector amarillo (tierra) y
naranja (sonda) al canal 1(CH1) del osciloscopio en este se debe utilizar una
escala de 1v por división y en el bloque de tiempo 1ms.
Para continuar con el laboratorio aseguramos que el bloque TRIGGER este
seleccionado el CH1, la señal es utilizada con los controladores de posición
horizontal, vertical y Holdoff, esta se realiza con el fin que la señal tenga cero
voltios en el origen del display aunque esta señal puede ser variada a través de
las resistencias, siempre y cuando no sea a mayor proporción; esta debe tener
una amplitud de 2vPP.
Se determinara la frecuencia de la señal, se sugiere conectar la salida del
circuito desfasador al canal 2 del osciloscopio CH2 conector amarillo (tierra) y
azul(sonda). El osciloscopio se coloca en modo operación CH2; calibrar el
voltaje del canal 2 al mismo valor del canal 1 a 2vPP, para luego determinar la
frecuencia; se cambia ael modo del osciloscopio en la vertical a la función
DUAL y en el eje horizontal modo xy, lo anterior nos generara una línea que
indica un desfase de cero ente la señal de entrada y de salida del circuito
desfasador por último se varían las resistencias.
Para las figuras de Lissajaus se desconecta la señal de entrada del desfasador
del conector en el canal CH1 seguidamente se conecta la salida del generador
de señal variable al conector del osciloscopio en el canal CH1. Para el modo
CH1 vertical y horizontal se calibra el generador de señal a la misma
frecuencia registrada para el circuito desfasador, igualmente la amplitud a
(2vPP), la frecuencias también se debe realizar calibraciones para las
modulaciones y pulsaciones.

3. MARCO TEÓRICO
El movimiento oscilatorio simple es aquel movimiento entorno a un punto de
equilibrio es estable, un desplazamiento de la particula con respecto a la
posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza
restauradora que devolverá la partícula hasta el punto de equilibrio.
Una función x(t) tiene M.A.S alrededor de x=0, cuando la relación existe entre x
y t que está dada por:
𝑥( 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
La cantidad 𝜔𝑡 + 𝜑 se denomina fase inicial; aunque hemos definido el
movimiento simple mientras una función cosenoidal, puede igualmente
expresarse en una función senoidal, el único cambio sería una diferencia inicial
de fase=π/2.
Como la funcion seno y vcoseno varia entre -1 y 1, el desplazamiento de la
particula se repite después de un intervalo de tiempo de 2π/𝜔 luego el M.A.S e
s periódico y su periodo es de T=2π/ 𝜔
La frecuencia es igual al numero de oscilaciones completas por unidad de
tiempo F=1/T.
Cuando dos M.A.S actúan en la misma dirección y con la misma frecuencia, se
desaarrolla una superposición que tiene la misma frecuencia de sus
componentes pero cuya amplitud esta determinada por el desfase de los dos
movimientos.
FIGURAS DE LISSAJAUS: Estas fueron descubiertas por el físico francés
Julies Antoine Lissajaus; el usó los sonidos de diferentes frecuencias (agudos y
graves) para hacer vibrar un espejo un rayo de luz dibujando en el espejo,
dibujaba figuras, cuya forma de la frecuencia de los sonidos.
Las curvas o figuras de Lissajaus están dadas por:
𝑥 = 𝑎 sin( 𝜔1 + 𝛿)
𝑦 = 𝑏sin(𝜔2)
SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES (M.A.S)
OBJETIVOS:
 Analizar la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones
paralelas y perpendiculares.

4.  Observar y analizar las pulsaciones producida por la superposición de dos
movimientos armónicos simples con la misma dirección y amplitud y frecuencias
cercanas.
 Generar las figuras de lissajaus a través de la superposición de dos movimientos
armónicos simples en direcciones perpendiculares con diferentes desfaces y
relaciones de frecuencia.
 Osciloscopio
 El osciloscopio de rayos catódicos es un dispositivo extremadamente útil y
versátil, caracterizado por una alta impedancia de entrada y un amplio
dominio de frecuencias. Consiste en un tubo de vidrio al vacío que dirige un
haz de rayos catódicos (electrones) a diversas partes de una pantalla;
además de dos pares de placas paralelas, uno en sentido vertical y el otro
en horizontal.
 El haz de electrones incide sobre la cara del tubo de rayos catódicos que
está recubierto de una capa de material fosforescente y se produce un
punto de luz visible en el lugar donde incide el rayo. El haz puede sufrir
deflexiones al aplicar algún voltaje en las placas deflectoras horizontales y
verticales. El eje horizontal comúnmente se usa para una base de tiempo
lineal producida por un generador interno de onda de diente de sierra
(generador de tiempo base)1.
 Virtualmente cualquier rapidez de barrido deseada puede obtenerse
calibrando el barrido. La pantalla está cuadriculada a escala para poder
predeterminar la cantidad de segundos que cada cuadro representará en la
medición . Como una alternativa para la base de tiempo, cualquier voltaje
arbitrario puede aplicarse para operar el eje horizontal. El eje vertical
usualmente se emplea para mostrar un voltaje variable dependiente.
Cuando dos voltajes se aplican uno a cada eje, se producen las figuras de
Lissajous.
 Esquema de un osciloscopio
 Los electrones que emite el cátodo son acelerados por un alto voltaje que
se aplica en el ánodo. Los electrones salen disparados a través de un
pequeño agujero en el ánodo. El interior de la pared del tubo brilla cuando
chocan contra él los electrones. Así, resulta visible un diminuto punto
brillante en donde el haz de electrones incide sobre la pantalla llamado spot
luminoso. Las placas horizontales y las verticales desvían el haz de
electrones cuando se les aplica un voltaje. Los electrones son desviados
hacia cualquiera de las placas que sea positiva. Mediante la variación del
voltaje en las placas desviadoras, el punto brillante puede situarse en
cualquier punto sobre la pantalla.
 En la operación normal el haz de electrones se barre horizontalmente a un
ritmo uniforme en el tiempo mediante las placas de deflexión horizontal.
Este barrido lo se lo hace mediante la introducción del tiempo como variable

5. en el eje de las abscisas. Para esto se utiliza el generador de tiempo base,
que siempre va conectado a las placas en X. La señal que se desplegará
en la pantalla se hace pasar después de amplificarla, a través de las placas
de deflexión verticales. La traza visible en la pantalla constituye por tanto,
una gráfica del voltaje de la señal (verticalmente) contra el tiempo
(horizontalmente).
 Figuras de Lissajous
 Jules Lissajous (1822-1880), físico francés, se interesó por las ondas y
desarrolló un método óptico para el estudio de las vibraciones. Primero
estudió las ondas producidas por un diapasón en contacto con el agua. En
1855 describió una forma de estudiar vibraciones acústicas reflejando un
rayo de luz desde un espejo que se encuentra pegado a un objeto vibrante,
hacia una pantalla.
 Obtuvo las figuras que luego llevarían su nombre mediante el reflejo
sucesivo de la luz de dos espejos pegados a dos diapasones vibrando con
ángulos de desfase. Estas curvas pueden ser observadas sólo gracias a la
inercia o persistencia visual, que no es otra cosa que un fenómeno de la
visión por el cual aparece como continua la luz con variaciones rápidas de
intensidad, y como movimiento continuo lo que no es sino una sucesión
rápida de vistas fijas. Esto ocasiona que las imágenes o sucesos de
imágenes se queden grabadas en nuestra retina y veamos como
consecuencia una especie de “animación”. Los diapasones son análogos a
las placas del osciloscopio; la luz reflejada por los espejos, al haz de
electrones; y la pantalla de reflexión, a la pantalla fosforescente2.
 Lissajous estudió las oscilaciones observadas cuando sus diapasones
vibraban a frecuencias ligeramente diferentes. En este caso se observaba
una elipse rotante en la pantalla.
 Gracias a éste trabajo sobre la observación óptica de las vibraciones,
Lissajous obtuvo el premio Lacaze en 1873.
 Las figuras de Lissajous son frecuentemente llamadas curvas de Bowditch,
gracias a Nathaniel Bowditch, quien las consideró en 1815, y fueron
estudiadas más profundamente por Lissajous recién en 1857.
 Las figuras de Lissajous tienen aplicaciones en muchas ciencias,
especialmente en Física y Astronomía.
 Las siguientes ecuaciones paramétricas rigen las figuras de Lissajous3
 x = a sin(nt + ð), y = b sin(mt)
 donde a y b son las amplitudes de las señales en x e y,
respectivamente; n y m son las frecuencias de ambas ondas o señales,
pero expresadas en velocidad angular (ð = 2ðf); y ð es el ángulo de fase de
una señal con relación a la otra.

6. En nuestro experimento, se forman las figuras de Lissajous cuando se
combinan la señal periódica que se mueve hacia adelante y hacia atrás con
las onda periódica que se mueve hacia arriba y hacia abajo, ambas
provenientes de los generadores de funciones. El modelo que resulta se
puede observar en un osciloscopio.
EVIDENCIAS FOTOGRAFICAS

8. TIPO DE
POLARIZACIÓN
DESFASE FIGURAS DE LISSAJOUS
LINEAL
0
ELIPTICA
3𝜋
4

9. CIRCULAR
𝜋
2
ELIPTICA
𝜋
4
0
CONCLUSIONES
En la práctica aprendimos a manejar y calibrar el osciloscopio para luego así analizar
la superposición de los dos movimientos armónicos simples cuando estos están en
direcciones paralelas y perpendiculares.
Al realizar el laboratorio pudimos experimentalmente observar como se forman las
figuras de lissajaus cuando se le asignan frecuencias iguales y cuando estas son

10. diferentes también observamos que según la fase en la que se inicien los dos
movimientos armónicos simples se genera figuras de distinta forma.
Al generar las figuras de lissajaus pudimos determinar que estas están dadas por
cierta polarización y desfases diferentes.
BIBLIOGRAFIA
 Guía de laboratorio de oscilaciones y ondas
 http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica-
1/superposicion_del_mas.pdf
 http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html