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- 1. SUPERPOSICIÓN Y ONDASESTACIONARIAS Tipler problemas. Capítulo 16. Superposición e interferencia 1. Verdadero o falso: a) Las ondas de dos fuentes coherentes que emiten en fase interfieren constructivamente en todos lo putos del espacio. b) Dos fuentes de ondas que están desfasadas 180º son incoherentes. c) Los diagramas de interferencia se observan solo en fuentes coherentes. a) Falso b) Falso c) Verdadero 2. Dos violinistas próximos están tocando las mismas notas. ¿Existirán puntos en la sala donde ciertas notas no se escuchan por causa de una interferencia destructiva? Razonar la respuesta. En principio si se producen dos notas iguales, dependiendo de la frecuencia de las notas , de la separación entre los violinistas y de las dimensiones de la sala podrían existir puntos con interferencia destructiva. 3. Dos pulsos de onda rectangulares se mueven en sentidos opuestos a lo largo de una cuerda. En t=0 los dos pulsos se encuentran tal y como indica la figura. Dibujar las funciones de onda para t=1,2 y 3 s.
- 2. 4. Repetir elproblema 3 para el caso en que el pulso de la derecha en la figura esté invertido. 5. Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0,02 m. Determinar la amplitud de la onda resultante si las dos ondas difieren en fase a) En π/6. b) En π/3. a) 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄( 𝜹𝜹 𝟐𝟐 )� ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝜹𝜹� 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝝅𝝅 𝟏𝟏𝟏𝟏 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝝅𝝅 𝟑𝟑 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 6. ¿Cuál es la diferencia de fase entre las dos ondas del problema 5 si la amplitud de la onda resultante es 0,02 m, que es la misma que poseen las ondas componentes? 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � ; 𝜹𝜹 𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝑨𝑨 𝟐𝟐∗𝒚𝒚𝒐𝒐 � 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝑨𝑨 𝟐𝟐∗𝒚𝒚𝒐𝒐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 � = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 7. Dos ondas que tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, se están moviendo en la misma dirección y sentido. Si difieren en fase en π/2 y cada una de ellas tiene una amplitud de 0,05 m, hallar la amplitud de la onda resultante. 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝝅𝝅 𝟒𝟒 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 8. Dos fuentes sonoras oscilan en fase con la misma amplitud A. Están separadas en el espacio por una distancia λ/3. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante de las dos fuentes en un punto situado en la línea que une las fuentes, admitiendo que el punto no está entre las fuentes? La diferencia de fase debido a la diferencia de caminos es: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝀𝝀 𝟑𝟑 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝝅𝝅 𝟑𝟑 � = 𝑨𝑨
- 3. 9. Dos fuentessonoras oscilan en fase con una frecuencia de 100 Hz. En un punto situado a 5,00 m de una de ellas y a 5,85 m de la otra, la amplitud del sonido procedente de cada fuente separadamente es A. a) ¿Cuál es la diferencia de fase de las ondas sonoras procedentes de ambas fuentes en dichos puntos? b) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante en dicho punto? a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 b) 𝑨𝑨𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝝅𝝅 𝟒𝟒 � = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨 𝒎𝒎 10. Con un compás dibujar arcos de circunferencia que representen crestas de ondas para dos fuentes puntuales distantes entre si d= 6 cm y para λ= 1 cm como en la figura: Conectar las intersecciones que corresponden a los puntos de diferencias de caminos constantes y marcar dicha diferencia en cada línea. 11. Dos altavoces están separados entre sí una distancia de 6 m. Un observador se sienta directamente delante de uno de ellos y a una distancia de 8 m de él de modo que los dos altavoces y el observador forman un triángulo rectángulo. a) Hallar las dos frecuencias más bajas para las cuales la diferencia de trayectos entre los altavoces y el observador es un número impar de semi longitudes de onda.
- 4. b) ¿Por quépueden oírse estas frecuencias, aunque los altavoces están accionados en fase por el mismo amplificador? a) 𝒙𝒙𝟐𝟐 = �𝟖𝟖𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 ; 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 ∆𝒙𝒙 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒙𝒙 (𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒙𝒙 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗∗𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟑𝟑 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Los focos no son exactamente puntuales, por ello no se produce exactamente el fenómeno tal como se considera, hay una zona donde se observa una disminución de intensidad, pero no un punto. 12. Dos altavoces separados por una cierta distancia emiten sonidos de una misma frecuencia. En un punto determinado P la intensidad debida a cada altavoz separadamente es Io. La distancia desde P a uno de los altavoces es ½ λ mayor que la de P al otro. Determinar la intensidad de P si los altavoces a) Son coherentes y están en fase. b) Son incoherentes. c) Son coherentes, pero tienen una diferencia de fase de π rad. a) Como 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ;𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓; 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅;𝑰𝑰 = 𝟎𝟎. b) 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 c) 𝜹𝜹 = 𝜹𝜹𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 + 𝜹𝜹𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 + 𝝅𝝅 = (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 )𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 13. Responder a las cuestiones del problema 12 par el punto P’ en el cual la distancia al altavoz más alejado es 1 λ mayor que la distancia al más cercano. Admitir de nuevo que la intensidad en el punto P’ es Io debido a cada altavoz separadamente. a) 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝝀𝝀 ; 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒊𝒊𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄;𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝑰𝑰 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 b) 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐
- 5. c) 𝜹𝜹 =𝜹𝜹𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 + 𝜹𝜹𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 = (𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 )𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 Interferencia destructiva; I=0. 14. Dos altavoces separados cierta distancia emiten ondas sonoras de la misma frecuencia, pero el altavoz 1 tiene una fase adelantada en 90º a la del altavoz 2. Sea r1 la distancia de un punto determinado al altavoz 1 y r2 la que dista del mismo punto al altavoz 2. Hallar el menor valor de r2-r1 tal que el sonido en el punto sea a) Máximo. b) Mínimo. (Expresar la respuesta en función de la longitud de onda) a) 𝜹𝜹 = 𝜹𝜹𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 + 𝜹𝜹𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐−𝒓𝒓𝟏𝟏 𝝀𝝀 Máximo, implica 𝜹𝜹 = 𝟎𝟎 𝝅𝝅 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐−𝒓𝒓𝟏𝟏 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎 ; 𝒓𝒓𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝝀𝝀 𝟒𝟒 b) Mínimo implica 𝜹𝜹 = 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝝅𝝅 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏−𝒓𝒓𝟐𝟐 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 ; 𝒓𝒓𝟏𝟏 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝝀𝝀 𝟒𝟒 15. Demostrar que, si la separación entre dos fuentes de sonido que irradian coherentemente en fase es inferior a media longitud de onda, la interferencia totalmente destructiva no se presentará en ninguna dirección. 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒓𝒓 𝝀𝝀 𝚫𝚫𝒓𝒓 < 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ≤ 𝒅𝒅 𝛅𝛅 < 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝝀𝝀 ≤ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅 𝝀𝝀 Como 𝒅𝒅 < 𝝀𝝀 𝟐𝟐 𝛅𝛅 < 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 Para una interferencia destructiva: 𝜹𝜹 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝅𝝅 . Como δ < π no se producirá.
- 6. 16. Una ondatransversal de frecuencia 40 Hz se propaga por una cuerda. Dos puntos separados entre sí 5 cm estás desfasados en π/6. a) ¿Cuál es la longitud de onda? b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos en un punto determinado para instantes separados 5 ms entre sí? c) ¿Cuál es la velocidad de onda? a) 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝅𝝅 𝟔𝟔 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒎𝒎 b) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟓𝟓 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 c) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 17. Se supone que el cerebro determina la dirección de una fuente de sonido porque es capaz de apreciar la diferencia de fase entre las ondas sonoras que chocan contra los tímpanos auditivos. Una fuente sonora distante emite un sonido de frecuencia 680 Hz. Si nuestro rostro está frontalmente dirigido hacia la fuente sonora, no apreciamos diferencia de fase. Estimar el cambio de diferencia de fase entre los sonidos recibidos por los oídos si ahora giramos 90º respecto a la posición frontal. Sea la distancia entre los ojos 0,2 m. ∆𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙∗𝒇𝒇 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖 ∗ 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 18. Una fuente sonora A está localizada en x=0, y=0 y otra B en x=0, y = 2,4 m. Las dos fuentes emiten coherentemente en fase. Una observadora en x=40 m, y=0 observa que cuando camina en dirección y positiva o negativa alejándose de y=0, la intensidad del sonido disminuye. ¿Cuál es la frecuencia más baja y más alta de las fuentes que puede explicar dicha observación? La distancia del observador a la fuente A: 𝒓𝒓𝑨𝑨 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎. La distancia del observador a la fuente B: 𝒓𝒓𝑩𝑩 = �𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟐𝟐 m. La diferencia de caminos entre las dos fuentes en el punto del observador es: ∆𝒓𝒓 = �𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 + 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐦 La condición de interferencia constructiva es: ∆𝒓𝒓 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝚫𝚫𝒓𝒓 𝒏𝒏 ; 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐,𝟑𝟑, 𝟒𝟒,… ; 𝒇𝒇 = 𝒏𝒏∗𝒗𝒗 𝚫𝚫𝒓𝒓 = 𝒏𝒏∗𝒗𝒗 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒏𝒏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇 = (𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒏𝒏) 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 ; 𝒇𝒇 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐; 𝒇𝒇 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 19. Suponer que la observadora del problema 18 localiza un punto de intensidad mínima en x=40 m, y=0. ¿Cuál es entonces la frecuencia más alta y más baja congruente con esta observación? La condición de interferencia destructiva: ∆𝒓𝒓 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒓𝒓 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 ; 𝒇𝒇 = (𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏)∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒓𝒓 ; 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏,𝟐𝟐, 𝟑𝟑 … 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒓𝒓 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯
- 7. 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒓𝒓 = 𝟑𝟑∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 20. Dos focos puntuales que están en fase se encuentran separados una distancia d. Se detecta un esquema de interferencia a lo largo de una recta paralela a la que une los focos y situada a una distancia grande D, como se india en la figura. a) Demostrar que la diferencia de trayectos desde los dos focos al mismo punto de la línea situado a un ángulo ϴ viene dada aproximadamente por Δs =d senϴ (Sugerencia: Suponer que las líneas procedentes de las fuentes a P son aproximadamente paralelas). b) Demostrar que la distancia ym desde el punto correspondiente al máximo central hasta el máximo m de interferencia viene dada aproximadamente por 𝒚𝒚𝒎𝒎 = 𝒎𝒎 𝑫𝑫 𝝀𝝀 𝒅𝒅 a) 𝚫𝚫𝒔𝒔 ≈ 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 b) Para ángulos pequeños 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ≈ 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 𝚫𝚫𝒔𝒔 ≈ 𝒅𝒅 ∗ 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 Por el dibujo del problema: 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 ≈ 𝒚𝒚𝒎𝒎 𝑫𝑫 𝚫𝚫𝒔𝒔 ≈ 𝒅𝒅 ∗ 𝒚𝒚𝒎𝒎 𝑫𝑫 Para una interferencia constructiva: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒔𝒔 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒏𝒏 ; 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐,𝟑𝟑,… Utilizando la expresión de Δs: 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅∗ 𝒚𝒚𝒎𝒎 𝑫𝑫 𝝀𝝀
- 8. 𝒚𝒚𝒎𝒎 = 𝒏𝒏∗𝝀𝝀∗𝑫𝑫 𝒅𝒅 21. Dosfocos sonoros que emiten en fase con una frecuencia de 480 Hz interfieren de tal modo que los máximos se oyen bajo ángulos de 0 y 23 grados medidos a partir de una línea perpendicular a la que une los dos focos. Determinar la separación entre ambos focos, así como cualquier otro ángulo bajo el cual se percibe una intensidad máxima (Utilizar los resultados del problema 20). Usando la expresión del problema 20: 𝚫𝚫𝒔𝒔 ≈ 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ;𝒅𝒅 = 𝚫𝚫𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 Con la condición de máximo: 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀; 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 ; 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝝀𝝀. 𝒅𝒅 = 𝝀𝝀 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗/𝒇𝒇 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎 Usando: 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀. 𝒅𝒅 = 𝚫𝚫𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒏𝒏∗𝝀𝝀 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒏𝒏∗𝝀𝝀 𝒅𝒅 � Para n=2. 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟐𝟐∗𝝀𝝀 𝒅𝒅 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 � = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟓𝟓 º Para n=3. No hay solución. 22. Se accionan en fase dos altavoces mediante un amplificado de audiofrecuencia de 600 Hz. Ambos están sobre el eje y, uno en y=+1,00 m y el otro en y=-1,00 m. Un observador empieza a nadar desde y=0 a lo largo de una línea paralela al eje y pero a una distancia D muy grande de éste (Ver problema 20). a) ¿A qué ángulo ϴ escuchará por primera vez un mínimo de intensidad sonora? b) ¿A qué ángulo escuchará el primer máximo (después de ϴ=0)? c) ¿Cuántos máximos podrá escuchar posiblemente si se mantiene andando en la misma dirección? a) Para una interferencia destructiva: 𝚫𝚫𝒔𝒔 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; n=0,1,2,3,… 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝚫𝚫𝒔𝒔 ≈ 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏); 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝝀𝝀∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒗𝒗∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝒇𝒇∗𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎: 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟐𝟐∗𝟐𝟐 � = 𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏º b) Para un máximo: 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝚫𝚫𝒔𝒔 ≈ 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒏𝒏 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝝀𝝀∗𝒏𝒏 𝒅𝒅 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗∗𝒏𝒏 𝒇𝒇∗𝒅𝒅 � Para n=1: 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓º c) 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒏𝒏 𝒇𝒇∗𝒅𝒅 Imponiendo la condición: 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ≤ 𝟏𝟏 𝒗𝒗∗𝒏𝒏 𝒇𝒇∗𝒅𝒅 ≤ 𝟏𝟏 ; 𝒏𝒏 ≤ 𝒇𝒇∗𝒅𝒅 𝒗𝒗 ; 𝒏𝒏 ≤ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟑𝟑,𝟓𝟓 Por tanto 3 máximos
- 9. 23. Dos focossonoros, accionados en fase por el mismo amplificador, están sobre el eje y separados una distancia de 2 m. En un punto situado a una distancia muy grande del eje y se oye la primera interferencia constructiva a un ángulo ϴ1=0,140 rad respecto al eje x y el siguiente se escucha a ϴ2=0,282 (Ver figura problema 20). a) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras procedentes de los focos? b) ¿Cuál es la frecuencia de los focos? c) ¿A qué otros ángulos se escuchará interferencia constructiva? d) ¿Cuál es al ángulo menor para el cual se cancelarán completamente las ondas sonoras? a) Para la interferencia constructiva: 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 = 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝜽𝜽 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏; 𝝀𝝀 = 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 = 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝜽𝜽 ;𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒏𝒏∗𝝀𝝀 𝒅𝒅 � 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 ; 𝜽𝜽 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟐𝟐∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒏𝒏 = 𝟑𝟑 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟑𝟑∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒏𝒏 = 𝟒𝟒 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟒𝟒∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒏𝒏 = 𝟓𝟓 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒏𝒏 = 𝟔𝟔 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟔𝟔∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒏𝒏 = 𝟕𝟕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟕𝟕∗𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒏𝒏 = 𝟖𝟖, 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ó𝒏𝒏. d) 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝝀𝝀∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 24. Dos focos sonoros idénticos tienen una frecuencia de 500 Hz. Las coordenadas de los focos son (0,1) m y (0,-1) m. Un detector situado a 80 m del origen es libre de girar en el plano xy con un radio de 80 m. Se detecta el primer máximo cuando el detector está en (80,0) m. a) Hallar las coordenadas del detector para los cinco primeros máximos en orden de valores positivos decrecientes de x. b) Hallar las coordenadas para los cuatro primeros mínimos en orden de valores decrecientes de x bajo la condición �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖. a) Para la interferencia constructiva: 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 = 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝜽𝜽 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒏𝒏∗𝝀𝝀 𝒅𝒅 � 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖º 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟐𝟐∗𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐 � = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟖𝟖º 𝒏𝒏 = 𝟑𝟑, 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ó𝒏𝒏. 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒆𝒆 á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒚𝒚.
- 10. 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷ó𝒏𝒏 𝟏𝟏: 𝒙𝒙𝟏𝟏= 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟒𝟒 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟕𝟕 𝒎𝒎 Posición 2: Simétrico, pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟒𝟒 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = −𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟕𝟕 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷ó𝒏𝒏 𝟑𝟑:: 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟐𝟐 𝒎𝒎 Posición 4, Simétrico: pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟒𝟒 = −𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟐𝟐 𝒎𝒎 La siguiente, corresponde a n=0 y es el punto “central”:𝒙𝒙𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟓𝟓 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎 b) 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝝀𝝀∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 ; 𝜽𝜽𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � = 𝟗𝟗,𝟕𝟕𝟕𝟕º 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 ; 𝜽𝜽𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟑𝟑∗𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟔𝟔º 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ; 𝜽𝜽𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟓𝟓∗𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 � = 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟐𝟐º 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷ó𝒏𝒏 𝟏𝟏: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔,𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄,𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝒎𝒎 Posición 2: Simétrico, pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = −𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷ó𝒏𝒏 𝟑𝟑:: 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔,𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟖𝟖 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄, 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 𝒎𝒎 Posición 4, Simétrico: pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟖𝟖 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟒𝟒 = −𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷ó𝒏𝒏 𝟓𝟓:: 𝒙𝒙𝟓𝟓 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔,𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟓𝟓 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄,𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟐𝟐 𝒎𝒎 Posición 6, simétrico, pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟔𝟔 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟖𝟖 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟔𝟔 = −𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 𝒎𝒎 25. Un radiotelescopio se compone de dos antenas separadas una distancia de 200 m. Cada antena se sintoniza a una frecuencia particular como 20 MHz. Las señales procedentes de cada antena pasan a un amplificador común, pero una de las señales pasa primero por un ajustador de fase, que retrasa la fase en una cantidad, que retrasa la fase en una cantidad prevista de modo que el telescopio puede “mirar” en diferentes direcciones. Con un retraso de fase cero, las ondas de radio planas que inciden verticalmente se suman constructivamente en el amplificador. ¿Cuál deberá ser el retraso de fase para que las señales que vienen formando un ángulo de ϴ=10º con la vertical (en el plano formado por la vertical y la línea que une las antenas) se sumen constructivamente en el amplificador? La diferencia de fase viene dada por: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒔𝒔 𝝀𝝀 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝒅𝒅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 𝝀𝝀 = 𝒄𝒄 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝚫𝚫𝒔𝒔 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝚫𝚫𝒔𝒔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀 + 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝝀𝝀 Por ser interferencia constructiva, el desfase ha de eliminar la parte “que sobra”: 0,315λ. 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 Pulsaciones 26. Las pulsaciones se producen por superposición de dos ondas armónicas sólo si a) Sus amplitudes y frecuencias son iguales. b) Sus amplitudes son iguales, pero sus frecuencias difieren ligeramente. c) Sus frecuencias difieren ligeramente incluso si sus amplitudes no son iguales. d) Sus frecuencias son iguales pero sus amplitudes difieren ligeramente. La respuesta correcta es la c.
- 11. 27. Verdadero ofalso: La frecuencia de batido entre dos sonoras de frecuencia casi iguales es igual a la diferencia de frecuencias de las ondas sonoras individuales. La frecuencia de batido es: 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝚫𝚫𝒇𝒇. Por tanto, es correcto. 28. ¿Con qué exactitud podemos sintonizar una cuerda de piano y un diapasón? Los pianos se afinan haciendo sonar el diapasón y la nota del piano simultáneamente y afinando la cuerda del piano hasta que los tiempos estén separados; es decir, el tiempo entre latidos es muy largo. Si asumimos que 2 s es el período máximo detectable para los latidos, entonces uno debería poder afinar la cuerda del piano a por lo menos 0,5 Hz. 29. Dos diapasones tienen frecuencias de 256 Hz y 260 Hz. ¿Cuál es la frecuencia de los batidos si ambos vibran al mismo tiempo? 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 30. Cuando se toca una cuerda de violín (sin pulsar con los dedos) al mismo tiempo que un diapasón de frecuencia 440 Hz, se oyen los batidos de la cuerda a un ritmo de 3 por segundo. Cuando la tensión en la cuerda se aumenta ligeramente, disminuye la frecuencia de los batidos. ¿Cuál era la frecuencia inicial de la cuerda del violín? 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒐𝒐 𝒇𝒇 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 Al aumentar la tensión, aumentamos la velocidad, v=λ*f; disminuye la frecuencia, por tanto, como disminuye la frecuencia de los batidos, Δf se hace menor, por tanto, f=443 Hz. 31. Se golpean simultáneamente dos diapasones y se oyen cuatro batidos por segundo. La frecuencia de uno de los diapasones es 500 Hz. a) ¿Cuáles son los valores posibles de la frecuencia del otro diapasón? b) Se coloca un trocito de cera en el diapasón de 500 Hz para disminuir ligeramente su frecuencia. Explicar cómo puede utilizarse la medida de la nueva frecuencia de batido para determinar cuál de las respuestas a la parte (a) es la frecuencia correcta del segundo diapasón. a) 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒐𝒐 𝒇𝒇 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Si la frecuencia de los batidos aumenta, al bajar la frecuencia del segundo, su frecuencia es de 504 Hz. Si la frecuencia de los batidos baja, como hemos bajos la frecuencia del segundo, la respuesta es 496 Hz. Ondas estacionarias 32. Verdadero o falso: a) La frecuencia del tercer armónico es tres veces la del primer armónico. b) La frecuencia del quinto armónico es cinco veces la del fundamental. c) En un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro no se excitan los armónicos pares. Si hablamos de una cuerda atada por los dos extremos. a) Verdadero, dado que las frecuencias de los armónicos son múltiplos de la fundamental. b) Verdadero, por el mismo motivo.
- 12. c) En estecaso solo se dan los armónicos dados por: 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 ; 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑,𝟓𝟓, .. Verdadero. 33. Las ondas estacionarias proceden de la superposición de dos ondas de a) La misma amplitud, frecuencia y sentido de propagación. b) La misma amplitud, frecuencia y sentidos opuestos de propagación. c) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y el mismo sentido de propagación. d) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y sentidos opuestos de propagación. La opción correcta es la b. 34. Un tubo de órgano abierto por ambos extremos tiene una frecuencia fundamental de 400 Hz. Si ahora se cierra un extremo de este tubo, la frecuencia fundamental será a) 200 Hz b) 400 Hz c) 546 Hz d) 800 Hz Las ondas fundamentales en cada caso viene dadas por : En el primer caso 2*L=λ ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 . En el segundo caso, L= 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 . La frecuencia se ha reducido a la mitad. Respuesta a. 35. Una cuerda fija por ambos extremos resuena con una frecuencia fundamental de 180 Hz. ¿Cuál de las acciones siguientes reducirá la frecuencia fundamental a 90 Hz? a) Duplicar la tensión y duplicar la longitud. b) Reducir a la mitad la tensión y mantener fija la longitud. c) Mantener fija la tensión y duplicar la longitud. d) Mantener fija la tensión y reducir la longitud a la mitad.
- 13. 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝟐𝟐∗ 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 a) Si duplicamos la tensión y duplicamos la longitud la frecuencia es √𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐. b) En este caso la nueva frecuencia será 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐. c) En este caso la nueva frecuencia es 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐. 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯. 36. ¿Cómo se modifican las frecuencias de resonancia de un tubo de órgano cuando aumenta la temperatura del aire? La velocidad del sonido en el aire es: 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 Si aumenta la temperatura, la velocidad aumenta y la frecuencia también. La variación es función de √𝑻𝑻. 37. Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo armónico a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales sobre ella? 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝑳𝑳 ; 𝒗𝒗 = 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 38. Una cuerda de 3 m de largo y fija por sus dos extremos está vibrando en su tercer armónico. El desplazamiento máximo de los puntos de la cuerda es de 4 mm. La velocidad de las ondas transversales en ella es de 50 m/s. a) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de esta onda? b) Escribir la función de onda correspondiente a este caso. a) 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐∗𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒇𝒇𝟑𝟑 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀𝟑𝟑 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 = 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 39. Calcular la frecuencia fundamental de un tubo de órgano de 10 m de longitud que está: a) Abierto en sus dos extremos. b) Cerrado por un extremo.
- 14. a) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 40. Un hilo de acero de 5 g y 1,4 m de longitud está fijo por ambos extremos y soporta una tensión de 968 N. a) Hallar la velocidad de las ondas transversales en él. b) Hallar la longitud de onda y la frecuencia de la onda fundamental. c) Hallar las frecuencias del segundo y tercer armónico. a) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏,𝟒𝟒 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏, 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐∗𝟏𝟏,𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 c)
- 15. 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀𝟐𝟐;𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝑳𝑳 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏,𝟒𝟒 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀𝟑𝟑; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐∗𝟏𝟏,𝟒𝟒 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 41. Una cuerda de 4 m de longitud se fija por un extremo y se liga por el otro a una cuerda ligera de modo que puede moverse libremente en dicho extremo. La velocidad de las ondas sobre la cuerda es 20 m/s. Hallar la frecuencia a) Del armónico fundamental. b) Del segundo armónico. c) Del tercer armónico. a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) El segundo armónico, n=2, no existe al estar libre en un extremo. c) El tercero 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝝀𝝀𝟐𝟐; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑∗𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 = 𝟑𝟑, 𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 42. Una cuerda de piano sin arrollamientos tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz. Cuando se le arrolla un hilo, su densidad másica lineal se duplica. ¿Cuál es la nueva frecuencia fundamental, suponiendo que no se varia la tensión? 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝀𝝀 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟐𝟐 𝝀𝝀 = � 𝑻𝑻 𝟐𝟐∗𝝁𝝁 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 43. El intervalo normal de audición humana está comprendido entre 20 Hz y 20 000 Hz. ¿Cuál es la mayor longitud de un tubo de órgano cuya nota fundamental se encuentre dentro de este intervalo si a) Está cerrado por un extremo. b) Está abierto por los dos extremos. a)
- 16. 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 ; 𝑳𝑳= 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝒇𝒇 Para 20 Hz: 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 b) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟖𝟖, 𝟓𝟓 𝒎𝒎 44. La longitud de la cuerda Si en una cierta guitarra es 60 cm. Su frecuencia fundamental es 247 Hz. a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales sobre la cuerda? b) Si la densidad másica lineal de la cuerda es 0,01 g/cm, ¿Cuál deberá ser su tensión cuando esté afinada? a) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; 𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝑻𝑻 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟒𝟒 𝟐𝟐 ∗ �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟗𝟗 𝑵𝑵 45. La función de onda y(x,t) correspondiente a cierta onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos viene dada por 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟒𝟒,𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) Con y y x en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda y frecuencia de estas ondas? b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en esta cuerda? c) Si la cuerda está vibrando en su cuarto armónico, ¿Cuál es su longitud? a) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇:𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎
- 17. 46. La funciónde onda y(x,t) para una cierta onda estacionaria sobre una cuerda que está fija por ambos extremos es 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔�𝟐𝟐,𝟓𝟓 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒙𝒙�𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒕𝒕) a) Hallar la velocidad y la amplitud de las dos ondas móviles que originan la onda estacionaria. b) ¿Cuál es la distancia entre nodos sucesivos en la cuerda? c) ¿Cuál es la longitud más corta posible de la cuerda? a) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟐𝟐,𝟓𝟓 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇:𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝒘𝒘 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝚫𝚫𝒙𝒙(𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 − 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏) = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 c) La cuerda está fija por los dos extremos, en ellos hemos de tener un nodo, por tanto, Lmín=1,26 m. 47. Una cuerda de 2,51 m de largo tiene la función de onda dada Enel problema 46. a) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes t=0, t=1/4T, t=1/2 T y t=3/4T. en donde T=1/f es el periodo de la vibración. b) Hallar T en segundos. c) En un instante t en el que la cuerda es horizontal, es decir, y(x)=0 para todo valor de x, ¿Cuál resulta ser la energía de la onda? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝒙𝒙) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝑻𝑻/𝟒𝟒) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟒𝟒∗𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟔𝟔 � = 𝟎𝟎
- 18. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝑻𝑻/𝟐𝟐) =𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐∗𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟔𝟔 � = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝒙𝒙) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝟑𝟑 ∗ 𝑻𝑻/𝟒𝟒) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝟑𝟑∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟒𝟒∗𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟔𝟔 � = 𝟎𝟎 b) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟔𝟔 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 c) En la cuerda se da conversión de energía cinética en potencial continuamente, en el momento en que la cuerda está horizontal toda la energía esta en forma de energía cinética. 48. Una cuerda fija por un extremo está vibrando en su modo fundamental. La función de onda es 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒕𝒕, estando y y x en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda? b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? c) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda? a) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 b) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 c) 𝒗𝒗 = 𝒘𝒘 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 49. En una cuerda existen las tres frecuencias de resonancia sucesivas de 75, 125 y 175 Hz.
- 19. a) Hallar loscocientes entre cada par de frecuencias sucesivas de resonancia. b) ¿Cómo podría saberse si estas frecuencias corresponden a la cuerda fija por un extremo y no a la cuerda fija por los dos extremos? c) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? d) ¿Qué armónicos son estas frecuencias de resonancia? e) Si la velocidad de las ondas transversales en esta cuerda es 400 m/s, hallar la longitud de la misma. a) 𝒇𝒇′ = 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯; 𝒇𝒇" = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯; 𝒇𝒇′′′ = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇′ 𝒇𝒇" = 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝒇𝒇′ 𝒇𝒇′′′ = 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝟕𝟕 𝒇𝒇′′ 𝒇𝒇′′′ = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 𝟕𝟕 b) La relación entre las frecuencias no es de números enteros, como sería en el caso de cuerda fija, por tanto, estamos ante una u cerda fija por uno de sus extremos. c) Mirando la relación entre frecuencias para una cuerda fija por un extremo: Para la relación general: 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ; 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏,𝟐𝟐, 𝟑𝟑 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏′ = 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒏𝒏′+𝟏𝟏 Mirando las relaciones entre frecuencias, la primera corresponde a 2*n+1=3 y la segunda a 2*n+1 =5. La fundamental será:
- 20. 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒇𝒇′ 𝟑𝟑 = 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑯𝑯𝑯𝑯 d) Según lo dicho son el tercer, el quinto y el séptimo armónico. e) 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 ; 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒∗𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎 50. El espacio que hay por encima del agua en un tubo semejante al siguiente: Tiene una longitud de 120 cm. Cerca del extremo abierto existe un altavoz accionado por un oscilador de audio cuya frecuencia puede variar de 10 a 5000 Hz. a) ¿Cuál es la frecuencia más baja del oscilador que resonará dentro del tubo? b) ¿Cuál es la frecuencia mayor con la que resonará? c) ¿Cuántas frecuencias diferentes del oscilador producirán resonancia? (Despreciar la corrección del extremo) a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) La expresión general para las frecuencias será: 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ;𝒎𝒎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟒𝟒∗𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 ∗ 𝒎𝒎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏 = 𝟕𝟕𝟕𝟕 ;𝒏𝒏 = 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 51. Un diapasón de 460 Hz produce resonancia en el tubo del ejemplo anterior cuando la parte superior del tubo está a 18,3 cm y a 55,8 cm por encima de la superficie del agua. a) Hallar la velocidad del sonido en el aire. b) ¿Cuál es la corrección del extremo para ajustar el hecho de que el vientre no se presente exactamente en el extremo del tubo abierto? a)
- 21. La diferencia entredos armónicos sucesivos es 𝝀𝝀/𝟐𝟐. 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑳𝑳𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝑳𝑳 + 𝚫𝚫𝑳𝑳 En la primera resonancia: 𝑳𝑳𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝝀𝝀 𝟒𝟒 = 𝑳𝑳 + 𝚫𝚫𝑳𝑳 ; 𝚫𝚫𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟒𝟒 − 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟒𝟒 − 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 52. A 16ºC la frecuencia fundamental de un tubo de órgano es 440,0 Hz. ¿Cuál será la frecuencia fundamental del tubo si la temperatura aumenta a 32ºC? ¿Sería preferible construir el tubo con un material que se dilatara sustancialmente cuando aumenta la temperatura o con un material que mantuviera su longitud a todas las temperaturas normales? 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝝀𝝀′ ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻′ 𝑴𝑴 Si el tubo no ha cambiado de longitud, 𝝀𝝀 = 𝝀𝝀′. 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = � 𝑻𝑻 𝑻𝑻′ ;𝒇𝒇 = 𝒇𝒇′ ∗ � 𝑻𝑻 𝑻𝑻′ = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 Es mejor que se expanda de forma que el cociente v/L se mantenga constante. 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳
- 22. 53. Una cuerdade violín de 40 cm de longitud y 1,2 g de masa tiene una frecuencia de 500 Hz cuando está vibrando en su modo fundamental. a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria de la cuerda? b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? c) ¿Dónde se debería colocar el dedo para incrementar la frecuencia a 650 Hz? a) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟒𝟒 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝒎𝒎 b) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝑻𝑻 = 𝝀𝝀𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 = 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟒𝟒 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑵𝑵 c) 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟒𝟒 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 Los dedos se han de poner a 0,40-0,3077=0,0923 cm del extremo. 54. La cuerda Sol de un violín tiene 30 cm de longitud. Cuando se toca sin pulsar, vibra con una frecuencia de 196 Hz. Las notas próximas más altas en la escala son: La (220 Hz), Si (247 Hz), Do (262 Hz) y Re (294 Hz). ¿A qué distancia del extremo de la cuerda debe colocarse un dedo para generar estas notas? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 La longitud de la cuerda para las diferentes notas viene dada por: 𝑳𝑳′ = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 La distancia al extremo es: 𝒅𝒅 = 𝑳𝑳 − 𝑳𝑳′ = 𝑳𝑳 − 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 = 𝑳𝑳 − 𝟐𝟐∗𝑳𝑳∗𝒇𝒇𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 = 𝑳𝑳 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒇𝒇𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒇𝒇 � Para el La: 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 Para el Si: 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 Para el Do: 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 Para el Re: 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 55. Una cuerda con una densidad de masa 4 10-3 kg/m está sometida a una tensión de 360 N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz. La frecuencia de resonancia más alta siguiente es 450 Hz. a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia fundamental? b) ¿qué armónicos son los que se dan? c) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? a) 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
- 23. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = (𝒏𝒏+ 𝟏𝟏) ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Resolviendo obtenemos 𝒇𝒇𝒐𝒐 =75 Hz. b) Resolviendo n: n=5. Tenemos el quinto y sexto armónicos. c) 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓 ∗ � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 56. Una cuerda sujeta por ambos extremos tiene resonancias sucesivas con longitudes de onda de 0,54 m para el armónico n y de 0,48 m para el armónico (n+1). a) ¿Qué armónicos son? b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? a) 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏+𝟏𝟏 = (𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀𝒏𝒏+𝟏𝟏 Substituyendo valores: 𝒏𝒏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓 (𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒏𝒏 𝒏𝒏+𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓 ; 𝒏𝒏 = 𝟖𝟖 Tenemos el octavo y noveno armónicos. b) 𝑳𝑳 = 𝟒𝟒 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 57. Una cinta de caucho con una longitud no deformada de 0,80 m y una masa de 6 10-3 kg se estira a 1,20 m bajo una tensión de 7,60 N. ¿Cuál es la frecuencia fundamental de oscilación de esta cinta cuando se estira entre dos postes separados 1,20 m? 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = � 𝟕𝟕,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 58. Las cuerdas de un violín están afinadas con los tonos Sol, Re, La y Mi, que están separados entre sí por un quinto. Es decir, f(Re)=1,5 f(Sol), f(La)=1,5 f(Re)=440 Hz y f(Mi)=1,5 f(La). La distancia entre los puntos fijos de las cuerdas es de 30 cm. La tensión de la cuerda Mi es 90 N. a) ¿Cuál es la masa por metro de longitud de dicha cuerda? b) Para evitar distorsiones del instrumento con el tiempo, es importante que la tensión en todas las cuerdas sea la misma. Determinar las masas por metro de longitud de las restantes cuerdas. a) 𝒇𝒇(𝑴𝑴𝑴𝑴) = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝝁𝝁 = 𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝑳𝑳𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟒𝟒∗𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟓𝟓.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎 b) 𝝁𝝁𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝑳𝑳𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐∗( 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏.𝟓𝟓 )𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎
- 24. 𝝁𝝁𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝑳𝑳𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐∗� 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏.𝟓𝟓 � 𝟐𝟐= 𝟐𝟐.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎 𝝁𝝁𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝑳𝑳𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐∗( 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟔𝟔.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎 59. Para afinar un violín, el violinista primero afina la cuerda La con el tono correcto de 440 Hz y después toca simultáneamente con el arco dos cuerdas contiguas y escucha las pulsaciones producidas. Cuando toca con el arco las cuerdas La y Mi detecta una frecuencia de batido de 3 Hz y observa que esta frecuencia crece cuando la tensión de la cuerda Mi aumenta (la cuerda Mi se afina a 660 Hz). a) ¿Por qué se produce el batido cuando estas cuerdas se tocan simultáneamente? b) ¿Cuál es la frecuencia de la cuerda Mi en vibración si la frecuencia de batido es de 3 Hz? c) Si la tensión de la cuerda Mi es 80,0 N cuando la frecuencia de batido es 3 Hz, ¿Qué tensión corresponde al tono perfecto de dicha cuerda? a) La cuerda La tiene como frecuencias de vibración: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝑳𝑳 ; 𝒇𝒇𝟑𝟑 = 𝟑𝟑∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; 𝒇𝒇𝟒𝟒 = 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝑳𝑳 ; … ;𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑳𝑳𝑳𝑳: 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 Para la cuerda Mi: 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 Si igualamos las dos frecuencias: 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 = 𝒏𝒏𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒏𝒏𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒚𝒚 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒚𝒚 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑. b) 𝒇𝒇𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 + 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝑻𝑻𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝝁𝝁 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟓𝟓 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝝁𝝁 𝑻𝑻𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟔𝟔 𝑵𝑵 60. a) En el caso de la función de onda dada en el problema 48 hallar la velocidad de un segmento de cuerda en cierto punto x en función del tiempo.
- 25. b) ¿Qué puntotiene la máxima velocidad en un instante cualquiera? ¿Cuál es esta velocidad máxima? c) Hallar la aceleración de un segmento de cuerda en un punto cualquiera x en función del tiempo. d) ¿Qué punto tiene la mayor aceleración? ¿Cuánto vale esta aceleración máxima? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄( 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕) 𝒗𝒗(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒗𝒗(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) ⟶ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 ;𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏) 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏);𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒗𝒗(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒂𝒂(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕) d) 𝒂𝒂(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) ⟶ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 ;𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏) 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟑𝟑 (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏);𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒂𝒂(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 61. Una estudiante lleva consigo un pequeño oscilador y altavoz cuando pasea muy ligeramente por una larga sala. El altavoz emite un sonido de frecuencia 680 Hz que se refleja en las paredes de los extremos de la sala. La estudiante observa que cuando pasea a lo largo de la sala, la intensidad del sonido que ella percibe, pasa por una serie de máximos y mínimos sucesivos. ¿qué distancia debe recorrer para que el sonido pase de un máximo al siguiente? 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 Si suponemos que la persona camina hacia la pared, la diferencia de camino entre la onda reflejada en una pared cercana y la reflejada en la pared más lejana será, si d es la distancia que camina la persona entre dos máximos y se dirige a la pared más cercana: 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 = 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 . Reducción de distancia en 2d. 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 . Aumenta la distancia en 2d. 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭: 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅 𝐧𝐧 ∗ 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐧𝐧 = 𝟏𝟏: 𝐝𝐝 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇∗𝟒𝟒 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 62. Suponer que la cinta de caucho del problema 57 se comporta como un muelle ideal. La cinta se ata a dos postes cuya separación D puede modificarse. a) Deducir una expresión para la frecuencia de la vibración fundamental de este sistema. b) ¿Cuál debería ser la separación entre los extremos fijos de la cinta de caucho, para que vibrase comuna frecuencia fundamental de 21 Hz? a) 𝟐𝟐 ∗ 𝑫𝑫 = 𝝀𝝀 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝟓𝟓𝟓𝟓: Para T=7,60 N , D=1,20 m , 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒 𝒎𝒎; Longitud sin tensión =0,80 m; m=6*10-3 kg. En estas condiciones:
- 26. 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙= 𝑻𝑻 ; 𝒌𝒌 = 𝑻𝑻 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟕𝟕,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟎𝟎,𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎 Para una longitud D de la molla: 𝒇𝒇 = � 𝑻𝑻 𝒎𝒎 𝑫𝑫 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 Si consideramos T=k* 𝚫𝚫𝒙𝒙 y 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝑫𝑫 − 𝑳𝑳. 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝒌𝒌∗𝚫𝚫𝒙𝒙 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝒌𝒌∗(𝑫𝑫−𝑳𝑳) 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 b) 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒌𝒌∗(𝑫𝑫−𝑳𝑳) 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 𝑫𝑫 = 𝒌𝒌∗𝑳𝑳 𝒌𝒌−𝟒𝟒∗𝒇𝒇𝟐𝟐∗𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎 63. Se fija una cuerda de 2 m por un extremo y se la hace vibrar en su tercer armónico con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de vibración de 100 Hz. a) Escribir la función de onda correspondiente a esta vibración. b) Escribir una expresión para la energía cinética de un segmento de cuerda de longitud dx en el punto x y en un cierto tiempo t. ¿en qué instante es máxima esta energía cinética? ¿Cuál es la forma de la cuerda en dicho momento? c) Hallar la energía cinética máxima de la cuerda integrándola expresión anterior (b) en la longitud total de la cuerda. a) 𝒚𝒚𝟑𝟑(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕) 𝝎𝝎𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅)𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑∗𝝀𝝀𝟑𝟑 𝟒𝟒 ; 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝟑𝟑 = 𝝀𝝀𝟑𝟑 𝒌𝒌𝟑𝟑 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀𝟑𝟑 = 𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐 = 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒎𝒎 𝒚𝒚𝟑𝟑(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟒𝟒 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 (𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 � 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟒𝟒 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima, por tanto: 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟏𝟏 ;𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ; 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ; 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝝎𝝎 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 La situación se repita cada T/2 s: 𝒕𝒕 = (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝒏𝒏 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 )𝒔𝒔 ; t=0,025; 0,075 ; 0,125,… 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒍𝒍í𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓. c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 � 𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟒𝟒 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌 ∗ � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙)� 𝟎𝟎 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎
- 27. Paquetes de ondas(opcional) 64. Una información para uso en ordenadores se transmite por cable en forma de pulsos eléctricos cortos a razón de 107 pulsos por segundo. a) ¿Cuál es la duración máxima de cada pulso para que dos pulsos no se solapen? b) ¿Cuál es el intervalo de frecuencias a las cuales debe responder el equipo receptor? a) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝒔𝒔 b) ∆𝝎𝝎 ∗ ∆𝒕𝒕 ≈ 𝟏𝟏;𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒇𝒇 ∗ ∆𝒕𝒕 ≈ 𝟏𝟏; ∆𝒇𝒇 ≈ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗∆𝒕𝒕 = 𝒇𝒇 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒔𝒔−𝟏𝟏 65. Un diapasón de frecuencia fo empieza a vibrar en el instante t=0 y se detiene después de un intervalo de tiempo Δt. La forma de la onda sonora un cierto tiempo después se muestra como una función de x. Sea N el número (aproximado) de ciclos en esta forma de onda. a) ¿Cómo están relacionados entre sí N, fo y Δt? b) Si Δx es la longitud en el espacio de este grupo de ondas, ¿Cuál es la longitud de onda en función de Δx y N? c) ¿Cuál es el número de onda k en función de N y Δx? d) El número de ciclos N posee una incertidumbre de ±1 ciclo aproximadamente. Explicar por qué, usando la figura inferior. e) Demostrar que la incertidumbre del número de onda debido a la incertidumbre en N es 𝟐𝟐𝟐𝟐/∆𝒙𝒙. a) ∆𝒕𝒕 ≈ 𝑵𝑵 ∗ 𝑻𝑻 = 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒐𝒐 b) 𝝀𝝀 ≈ ∆𝒙𝒙 𝑵𝑵 c) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 ∆𝒙𝒙 d) La incertidumbre se debe a que el inicio de la onda y su extinción son progresivos y no de repente, el inicio y el final no están bien definidos. e) ∆𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗∆𝑵𝑵 ∆𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∆𝒙𝒙 ;𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∆𝑵𝑵 = ±𝟏𝟏. Problemas generales 66. Cuando dos ondas se mueven en direcciones opuestas se superponen como en la figura
- 28. ¿Impide cada unael progreso de la otra? Las dos ondas se mueven independientemente, por ello no impiden una el avance de la otra. 67. Cuando se pulsa la cuerda de una guitarra, ¿la longitud de onda de la onda producida en el aire es la misma que la longitud de onda de la onda en la cuerda? Las dos frecuencias son iguales, pero las velocidades de propagación son diferentes, por tanto, sus longitudes de onda serán diferentes: 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 . 68. Cuando dos ondas interfieren constructiva o destructivamente, ¿hay ganancia o pérdida de energía? Razonar la respuesta. No, en una región del espacio del tamaño de una longitud de onda se observa que no hay ganancia ni perdida de energía en promedio. 69. Un instrumento musical está formado por un conjunto de copas de bebida parcialmente llenas de agua que son golpeadas con un pequeño mazo. Explicar como funciona. Cada vaso tendrá una frecuencia propia de resonancia dependiendo de la altura de la columna de aire que hay en él. 70. Durante un recital de órgano, el compresor de aire que alimenta los tubos se avería súbitamente. Un estudiante de física emprendedor, que forma parte del público, aconseja conectar un tanque de gas nitrógeno puro de alta presión a la salida del compresor. ¿Qué efecto, si lo hay, tendrá esta sustitución en el funcionamiento del órgano? ¿Y si el tanque fuera de helio? 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 Los valores de ϒ y M dependerán del gas. 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏
- 29. 𝒇𝒇𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸𝑯𝑯𝑯𝑯∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴𝑯𝑯𝑯𝑯 Comparando: 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒇𝒇𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 =� 𝜸𝜸𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝜸𝜸𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 ∗ 𝑴𝑴𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = � 𝑴𝑴𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ; 𝒇𝒇𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ � 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑴𝑴𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 ; 𝒇𝒇𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 > 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒇𝒇𝑯𝑯𝑯𝑯 = � 𝜸𝜸𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝜸𝜸𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝑴𝑴𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 = ; 𝒇𝒇𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 ∗ � 𝜸𝜸𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝜸𝜸𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝑴𝑴𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑴𝑴𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 > 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 , 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒎𝒎á𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑. 71. Cuando se incrementa la tensión de una cuerda de piano, ¿Cuál de los siguientes hechos tiene lugar? a) Su longitud de onda decrece. b) Su longitud de onda permanece la misma, pero su frecuencia crece. c) Su longitud de onda y su frecuencia crecen. d) Ninguno de los anteriores. Al aumentar la tensión la velocidad crece, la longitud de onda es la misma, pero la frecuencia crece. Respuesta b. 72. Las instrucciones para conectar correctamente los altavoces estéreo a un amplificador de modo que estén en fase son las siguientes: ·Después de conectar ambos altavoces, póngase un disco o programa monofónico con el control de bajos al máximo y el de agudos al mínimo. Escuchando los altavoces, girar el control de balance, de modo que primero se oiga fuerte un solo altavoz, luego los dos juntos y finalmente solo el otro altavoz. Si las notas bajas suenan más fuertes cuando los dos altavoces se oyen a la vez, entonces están conectados correctamente. Si las notas bajas se oyen más débiles con los dos altavoces juntos que con uno y otro solo, intercambiar las conexiones de uno de los altavoces”. Explicar la razón de este método. En particular explicar por qué no se utiliza un programa estéreo y por qué se comparan sólo las notas bajas. La distancia entre máximos dependerá de la longitud de onda, si la frecuencia es baja está distancia aumenta, será más fácil distinguir los máximos per la persona dado que su separación será mayor que la distancia entre los oídos del observador. Para poder detectar la interferencia será necesario tener ondas monofónicas. 73. La constante ϒ del helio (como todos los gases monoatómicos) es 1,67. Si un hombre inhala helio y después comienza a hablar, sus sonidos son más agudos. ¿Por qué? Dado que ϒHe>ϒaire la velocidad de propagación del sonido es mayor, por tanto, también lo será su frecuencia. 74. La nota Do de la escala bien temperada utilizada por los constructores de modernos instrumentos musicales tiene una frecuencia de 261,63 Hz. Si una cuerda de piano de 7 g y 80 cm de longitud ha de afinarse de modo que 261,63 Hz sea su frecuencia fundamental, ¿qué tensión debe aplicarse a la cuerda? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 ; � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 ;𝑻𝑻 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇)𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 𝑻𝑻 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎. 𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵
- 30. 75. El canalauditivo, que tiene una longitud próxima a los 2,5 cm, se puede considerar como un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro. a) ¿Cuáles son las frecuencias de resonancia del mismo? b) Describir los posibles efectos de los modos de resonancia del canal auditivo sobre el umbral de audición. a) Las longitudes de onda vienen dadas por: 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; n=0,1,2,3,4.. ; 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Las frecuencias alrededor de la fundamental serán las mejor percibidas. 76. Una cuerda de 160 g y 4 m de largo está fija por un extremo y ligada a una cuerda ligera por el otro. Su tensión es 400 N. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda del armónico fundamental y los dos siguientes? b) ¿Cuáles son las frecuencias de estas ondas estacionarias? a) 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; n=0,1,2,3,4.. ; 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 𝟏𝟏 =16 m 𝝀𝝀𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 𝟑𝟑 = 𝟓𝟓, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝝀𝝀𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 𝟓𝟓 = 𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀𝒏𝒏 = 𝒗𝒗∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = (𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 ∗ � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 ∗ � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟒𝟒 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 ∗ � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟒𝟒 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝟑𝟑 = 𝟓𝟓 𝟒𝟒∗𝟒𝟒 ∗ � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟒𝟒 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 77. Los tubos más cortos utilizados en los órganos tienen aproximadamente 7,5 cm de largo. a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de un tubo con esta longitud que está abierto por ambos extremos? b) ¿Cuál es el armónico más alto para un tubo de estos que está dentro del intervalo audible? (Entre 20 y 20 000 Hz). a) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒏𝒏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟖𝟖, 𝟖𝟖 El noveno armónico estará por encima de los 20 000 Hz. 78. Dos ondas procedentes de dos fuentes coherentes poseen la misma longitud de onda λ, frecuencia ω y amplitud A. ¿Cuál es la diferencia de trayectos si la onda resultante en algún punto tiene la amplitud A? 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝜹𝜹� Para una amplitud A = yo. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜹𝜹 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟑𝟑
- 31. 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟑𝟑 ; 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝝀𝝀 𝟑𝟑 79. Una cuerda de 35 m tiene una densidad másica lineal de 0,0085 kg/m y soporta una tensión de 18 N. Determinar las frecuencias de los cuatro primeros armónicos si a) El muelle está fijo por ambos extremos. b) La cuerda está fija por un extremo y atada a un hilo largo y de masa despreciable en el otro extremo. a) 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 𝒇𝒇 = 𝒏𝒏 ∗ �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐;𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟑𝟑;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟒𝟒;𝒇𝒇 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝒇𝒇 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐;𝒇𝒇 = 𝟓𝟓 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟑𝟑;𝒇𝒇 = 𝟕𝟕 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 80. Una persona encuentra un pozo de una mina abandonada y desea medir su profundidad. Utilizando un oscilador de audio de frecuencia variable, observa que se producen Enel pozo resonancias sucesivas a frecuencias de 63,58 y 89,25 Hz. ¿Cuál es la profundidad del pozo? 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝒇𝒇𝒏𝒏 𝑳𝑳 = (𝒏𝒏 + 𝟐𝟐) ∗ 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝒇𝒇𝒏𝒏+𝟐𝟐 Dividiendo: 𝟏𝟏 = 𝒏𝒏 𝒏𝒏+𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒∗𝒇𝒇𝒏𝒏+𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒇𝒇𝒏𝒏 ; (𝒏𝒏 + 𝟐𝟐) ∗ 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒇𝒇𝒏𝒏+𝟐𝟐 ; 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏+𝟐𝟐−𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝟓𝟓 𝑳𝑳 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 81. Una cuerda de 5 m de largo que está fija sólo por un extremo está vibrando en su quinto armónico con una frecuencia de 400 Hz. El desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda es 3 cm. a) ¿Cuál es la longitud de onda del mismo? b) ¿Cuál es el número de ondas k? c) ¿Cuál es la frecuencia angular? d) Escribir la función de onda correspondiente a esta onda estacionaria.
- 32. a) 𝑳𝑳 =(𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 = 𝟒𝟒∗𝟓𝟓 𝟓𝟓 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎 b) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 d) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 82. Una onda estacionaria en una cuerda está representada por la siguiente función de onda 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒)𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔) En donde x e y se expresan en metros y t en segundos. Determinar el máximo desplazamiento y la máxima velocidad de un punto de la cuerda situado en a) x=0,10 m b) x=0,25 m c) x= 0,30 m d) x=0,50 m. 𝒗𝒗𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) a) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏) = 𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑) = −𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; en valor absoluto 0,012 m 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐) = −𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 ; en valor absoluto 2.22 m d) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎. 𝟓𝟓) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 83. Un alambre de 2,5 m y masa 0,10 kg está fijo por ambos extremos bajo una tensión de 30 N. Al excitar el armónico n se forma un nodo a 0,5 m de un extremo. a) ¿Cuánto vale n? b) ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres modos permitidos de vibración? a) 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝝀𝝀 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓 𝒎𝒎; 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎. 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 b) 𝒇𝒇 = 𝒏𝒏 ∗ �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = � 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟓𝟓 = 𝟓𝟓,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐;𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓,𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒏𝒏 = 𝟑𝟑;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟓𝟓,𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 84. En un método antiguo (método de Kunt) para determinar la velocidad del sonido en gases, se colocaba horizontalmente un tubo de vidrio cilíndrico y se esparcía en el fondo del tubo una determinada cantidad de un polvo muy fino. Un extremo se cerraba con un pistón que podía ajustarse a un oscilador de frecuencia conocida f (como un diapasón). El otro extremo se cerraba por un pistón cuya posición podía modificarse. Mientras se hacía oscilar el primer pistón cuya posición a la frecuencia f, se ajustaba la posición del
- 33. pistón móvil hastaque se presentaba la resonancia. Cuando esto ocurría, el polvo se recogía en montoncillos igualmente separados a lo largo del fondo del tubo. a) Explicar por qué se recogía el polvo de esta manera. b) Deducir una fórmula que nos da la velocidad del sonido en el gas en función de f y de la distancia entre los montoncitos de polvo. c) Dar valores adecuados de la frecuencia f y de la distancia ente los montoncitos de polvo. d) Dar valores adecuados de la frecuencia f y de la longitud L del tubo con los cuales podía medirse la velocidad del sonido utilizando aire o helio. a) La situación en el tubo es la formación de ondas estacionarias, los puntos donde el polvo no se mueve son los nodos y los puntos de máxima vibración son los vientres de la onda. b) La distancia entre dos montoncitos será λ/2. 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 ; 𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 ∗ 𝝀𝝀;𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 c) Supongamos una longitud del tubo de 1,2 m. La velocidad del sonido en el aire de 344 m/s. Supongamos una distancia entre nodos de 25,3 cm. En estas condiciones la frecuencia será: 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗(𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑯𝑯𝑯𝑯 d) La velocidad en el He es de 1008 m/s, para tener una distancia entre nodos de 25,3 cm deberemos utilizar una frecuencia de: 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐∗(𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 85. En una demostración en clase de ondas estacionarias, se sujeta una cuerda a un diapasón que vibra a 60 Hz que origina la formación de ondas transversales de esta frecuencia en la cuerda. El otro extremo de la cuerda pasa por una polea, variándose la tensión con pesos en este extremo. La cuerda tiene nodos aproximadamente en el diapasón y la polea. a) Si la cuerda tiene una densidad másica lineal de 8 g/m y tiene una longitud de 2,5 m (desde el diapasón hasta la polea), ¿Cuál deberá ser la tensión para que la cuerda vibre en su modo fundamental? b) Hallar las tensiones necesarias para la cuerda de forma que vibre en sus armónicos segundo, tercero y cuarto. a) En el modo fundamental: 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝑻𝑻 = 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑵𝑵 b) En el segundo armónico, la frecuencia es n*fo, pero cambia la Tensión, la longitud de onda sigue siendo 2*L: 𝑻𝑻 = 𝝁𝝁 ∗ 𝝀𝝀𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 𝑻𝑻 = 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝟐𝟐 = 𝒏𝒏𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝒐𝒐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑵𝑵 En el tercero: 𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝒐𝒐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑵𝑵 En el cuarto:
- 34. 𝑻𝑻 = 𝟒𝟒𝟐𝟐 ∗𝑻𝑻𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 86. Tres frecuencias sucesivas de un tubo de órgano son 1310, 1834 y 2358 Hz. a) ¿Está cerrado por un extremo o abierto en ambos extremos? b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental? c) ¿Cuál es la longitud del tubo? a) En un tubo abierto por los dos extremos: 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏); 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗∗(𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕: 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝟐𝟐 En un tubo abierto solo por un extremo: 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗∗𝒏𝒏 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ 𝒏𝒏 Por tanto: 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝒇𝒇 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝒏𝒏 En nuestro caso 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 Si hacemos las divisiones de las frecuencias dadas: 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟐𝟐. 𝟓𝟓 Nos encontramos con el caso de tubo abierto por los dos extremos. b) La diferencia entre las dos primeras frecuencias debe cumplir: 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝟐𝟐 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ 𝟐𝟐; 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) Para la frecuencia fundamental: 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ;𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 87. Una cuerda de 1 g de masa y una longitud de 50 cm se tensa comuna fuerza de 440 N. Está colocada próxima al extremo abierto del tubo del ejemplo
- 35. Y se hacesonar con un arco de violín de modo que oscile con su frecuencia fundamental. El nivel del agua del tubo se hace bajar hasta que se obtiene por primera vez la resonancia a 18 cm por debajo de la parte superior del tubo Utilizar estos datos para determinar la velocidad del sonido en el aire. ¿por qué no es muy exacto este método? Para la columna tenemos: 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟒𝟒 ; 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 (𝟐𝟐∗𝒏𝒏+𝟏𝟏) Para el primer armónico: 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 Para la cuerda tenemos: 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 Por tanto: 𝒗𝒗 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝒗𝒗 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 La poca sensibilidad del método radica en que el nodo de la columna no se produce exactamente en su extremo libre. 88. En un día de mucho viento resuena a veces un tubo de desagüe. Estimar la frecuencia de resonancia de este tubo en una casa de un solo piso. Estimar el cambio de esta frecuencia del invierno al verano en una región templada. Podemos considerar el tubo de desagüe un tubo abierto en sus dos extremos, por tanto: 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝒏𝒏 Si suponemos unos 5 m de altura en la casa: 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟓𝟓 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒏𝒏 La velocidad del sonido Enel aire viene dada por: 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃á 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒚𝒚 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔á 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗. 89. Un alambre de 50 cm de longitud, fijo por ambos extremos, vibra con una frecuencia fundamental fo cuando la tensión es de 50 N. Si la tensión se incrementa a 60 N, la frecuencia fundamental se incrementa en 5 Hz y un incremento posterior de la tensión hasta 70 N da lugar a una frecuencia fundamental de (fo +9,6) Hz. Determinar la masa del alambre. � 𝑻𝑻𝟏𝟏∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 � 𝑻𝑻𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ (𝒇𝒇𝒐𝒐 + 𝟓𝟓) � 𝑻𝑻𝟑𝟑∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ (𝒇𝒇𝒐𝒐 + 𝟗𝟗, 𝟔𝟔) De las dos últimas obtenemos:
- 36. � 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟑𝟑 = 𝒇𝒇𝒐𝒐+𝟓𝟓 𝒇𝒇𝒐𝒐+𝟗𝟗,𝟔𝟔 ; 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟗𝟗.𝟔𝟔∗� 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟑𝟑 −𝟓𝟓 𝟏𝟏−� 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟑𝟑 = 𝟗𝟗.𝟔𝟔∗� 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟕𝟕𝟕𝟕 −𝟓𝟓 𝟏𝟏−� 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟕𝟕𝟕𝟕 =𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑: 𝒎𝒎 = 𝑻𝑻𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝑳𝑳∗𝒇𝒇𝒐𝒐 𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟓𝟓𝟓𝟓.𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 90. Una onda estacionaria sobre una cuerda viene descrita por la siguiente función de onda: 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅𝝅𝝅 𝟐𝟐 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒) En donde x e y están en metros y t en segundos. a) Escribir funciones de onda para dos trenes de ondas que al superponerse producirán un esquema de ondas estacionarias. b) ¿Cuál es la distancia entre los nodos de la onda estacionaria? c) ¿Cuál es la velocidad de un segmento de cuerda en x=1 m? d) ¿Cuál es la aceleración del mismo segmento de cuerda? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔( 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔( 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) b) La distancia entre nodos es λ/2. 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝅𝝅/𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎 . Distancia entre nodos 2 m. c) 𝒗𝒗(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒗𝒗(𝟏𝟏,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏� ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒗𝒗(𝟏𝟏,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) d) 𝒂𝒂(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅)𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒂𝒂(𝟏𝟏,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅)𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏� ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒂𝒂(𝟏𝟏,𝒕𝒕) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅)𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 91. Dos altavoces idénticos emiten uniformemente en todas direcciones ondas sonoras de 680 Hz de frecuencia con una potencia de salida total de audio de 1 mW cada uno de ellos. Un punto P está a una distancia de 2,00 m de un altavoz y a 3,00 m del otro. a) Hallar las intensidades I1 y I2 de cada altavoz en el punto P separadamente. b) Si los altavoces se alimentan coherentemente y en fase, ¿Cuál será la intensidad en el punto P? c) Si se alimentan coherentemente, pero desfasados 180º, ¿Cuál será la intensidad en el punto p? d) Si los altavoces son incoherentes, ¿Cuál es la intensidad en el punto P? a) 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟖𝟖,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝒎𝒎 La intensidad en el punto será proporcional a la amplitud al cuadrado de la onda en el punto: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑪𝑪 ∗ �𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ �𝑰𝑰𝟐𝟐
- 37. La amplitud resultanteserá: 𝑨𝑨𝟐𝟐 = (𝑨𝑨𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ ��𝑰𝑰𝟏𝟏 + �𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰 Donde: 𝑰𝑰 = ��𝑰𝑰𝟏𝟏 + �𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝟐𝟐 = ��𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 + �𝟖𝟖,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 � 𝟐𝟐 = 𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) En este caso debido al desfase tenemos: 𝑰𝑰 = ��𝑰𝑰𝟏𝟏 − �𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝟐𝟐 = ��𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 − �𝟖𝟖,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 � 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 d) 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 + 𝟖𝟖, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟐𝟐,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 92. Tres ondas con la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, se mueven en la misma dirección y sentido. Las tres ondas vienen dadas por 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎 − 𝝅𝝅 𝟑𝟑 ) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝒚𝒚𝟑𝟑(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝅𝝅 𝟑𝟑 ) Hallar la onda resultante. Podemos representar una función armónica como un vector girando con una frecuencia angular ω. Podemos representar las tres ondas de esta manera, la onda resultante vendrá dada por el vector resultante de los tres: Los vectores en el eje y se anulan. El vector resultante Enel eje x es: 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝝅𝝅 𝟑𝟑 � + 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�− 𝝅𝝅 𝟑𝟑 � + 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 El vector resultante tiene dirección x y módulo 2*A. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 93. a) Demostrar que, si la temperatura varía en una pequeña cantidad ΔT, la frecuencia fundamental de un tubo de órgano varía aproximadamente en Δf, siendo 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝚫𝚫𝑻𝑻 𝑻𝑻 . b) Suponer un tubo de órgano cerrado por un extremo y que tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz cuando la temperatura es de 20º C. ¿Cuál será su frecuencia fundamental cuando la temperatura sea de 30ºC? (Ignorar cualquier variación de longitud del tubo debido a la dilatación térmica). a) 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴
- 38. 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 Lalongitud de onda depende de la longitud del tubo, si no consideramos dilataciones será constante. Todas las otras magnitudes son también constantes con la temperatura. 𝒇𝒇 = 𝑪𝑪 ∗ √𝑻𝑻 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝟏𝟏 √𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹 𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 √𝑻𝑻 Usando incrementos: 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝚫𝚫𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹 𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 √𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝝀𝝀 ∗ 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝚫𝚫𝚫𝚫 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝑻𝑻 𝑻𝑻 b) 𝚫𝚫𝚫𝚫 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝚫𝚫𝚫𝚫 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝐇𝐇𝐇𝐇 94. Dos pulsos de ondas que se mueven sobre una cuerda están representados por las funciones de onda 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟐𝟐+(𝒙𝒙−𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = − 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟐𝟐+(𝒙𝒙+𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 En donde x está en metros y t en segundos. a) Dibujar por separado cada onda en función de x para t=0 y describir el comportamiento de ambas al aumentar el tiempo. b) Hallar la función de onda resultante para t=0. c) Hallar la función de onda resultante para t=1 s. d) Dibujar la función de onda resultante en este último caso. a) La primera en t=0 es La primera en t=1 s: 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y
- 39. La segunda ent=0 s. La segunda en t=1 s: La primera se mueve hacia la derecha y la segunda hacia la izquierda. b) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝟎𝟎) + 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 c) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝟏𝟏) + 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐+(𝒙𝒙−𝟐𝟐)𝟐𝟐 + −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐+(𝒙𝒙+𝟐𝟐)𝟐𝟐 d) 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y(1) -0,012 -0,01 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y2 -0,012 -0,01 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y2(1)
- 40. 95. La energíacinética de un segmento Δm de una cuerda vibrante viene dada por ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∆𝒎𝒎 � 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁 � 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 a) Hallar la energía cinética total del modo enésimo de vibración de una cuerda de longitud L fija por ambos extremos. b) Dar la energía cinética máxima de la cuerda. c) ¿Cuál es la función de onda cuando la energía cinética tiene su valor máximo? d) Demostrar que la energía cinética máxima del modo enésimo es proporcional a 𝒏𝒏𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 . a) 𝒚𝒚𝒏𝒏(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒏𝒏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒏𝒏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕) Con 𝒌𝒌𝒏𝒏 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀𝒏𝒏 y 𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝀𝝀𝒏𝒏 𝟐𝟐 ;𝒏𝒏 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐, 𝟑𝟑,…. 𝝀𝝀𝒏𝒏 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒏𝒏 𝒌𝒌𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝅𝝅 𝑳𝑳 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 (𝒚𝒚𝒏𝒏(𝒙𝒙,𝒕𝒕)) = 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 �𝑨𝑨𝒏𝒏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒏𝒏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕)� = −𝑨𝑨𝒏𝒏 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒏𝒏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕) 𝚫𝚫𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ {−𝑨𝑨𝒏𝒏 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒏𝒏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕)}𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 𝚫𝚫𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 ((𝒌𝒌𝒏𝒏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 (�𝒏𝒏 ∗ 𝝅𝝅 𝑳𝑳 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕) b) La energía máxima corresponde a sen=1 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟏𝟏 ; 𝝎𝝎𝒏𝒏 ∗ 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ;𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝝎𝝎𝒏𝒏 c) 𝒚𝒚𝒏𝒏 �𝒙𝒙, 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝝎𝝎𝒏𝒏 � = 𝑨𝑨𝒏𝒏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒏𝒏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝝅𝝅 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎 d) 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝝎𝝎𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 e) 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ (𝒏𝒏 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝒏𝒏𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 𝟐𝟐 � = 𝒏𝒏𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y(1)
- 41. 96. a) Demostrarque, si la tensión de una cuerda fija por ambos extremos varía en una pequeña cantidad dF, la frecuencia del armónico fundamental varía aproximadamente en df, siendo 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅/𝑭𝑭. ¿se aplica este resultado a todos los armónicos? b) Utilizar este resultado para hallar la variación porcentual de la tensión que se necesita para aumentar la frecuencia del armónico fundamental de una cuerda de piano de 260 a 262 Hz. a) La expresi´0on general de los armónicos de una cuerda es: 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; n=1,2,3… 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 ∗ � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 Derivando: 𝒅𝒅𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏 √𝝁𝝁 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 √𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏 √𝝁𝝁 ∗ √𝑭𝑭 𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒏𝒏 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑭𝑭 𝒅𝒅𝒇𝒇𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑭𝑭 Valido para todos los armónicos. b) Poniendo la expresión anterior en incrementos: ∆𝒇𝒇𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ ∆𝑭𝑭 𝑭𝑭 ∆𝑭𝑭 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒇𝒇𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏 ∆𝑭𝑭 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 % 97. Dos fuentes tienen una diferencia de fase δo que es proporcional al tiempo δo=Ct, siendo C una constante. La amplitud de la onda procedente de cada fuente en el punto P es Ao. a) Escribir las funciones de onda de cada una de las ondas en el punto P admitiendo que este punto está a una distancia x1 de una fuente y a x1+Δx de la otra. b) Hallar la función de onda resultante y demostrar que su amplitud es 2Aocos1/2(δ+ δo), siendo δ la diferencia de fase en P debida a la diferencia de trayectos. c) Hacer un esquema de la intensidad en el punto P en función del tiempo para una diferencia cero de trayectos. (Sea Io la intensidad debida a cada onda separadamente). ¿Cuál es el promedio temporal de la intensidad? d) Hacer el mismo esquema para un punto cuya diferencia de trayectos sea media longitud de onda. a) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙𝟏𝟏 + ∆𝒙𝒙) − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐) b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ {𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙𝟏𝟏 + ∆𝒙𝒙) − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐)} Usando: 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝑨𝑨+𝑩𝑩 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄� 𝑨𝑨−𝑩𝑩 𝟐𝟐 � 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝒌𝒌 ∗ ∆𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝜹𝜹+𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ ∆𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝜹𝜹+𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒉𝒉𝒉𝒉 𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖𝒖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(−𝑨𝑨) = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑨𝑨 La diferencia de fase debida a la diferencia de caminos es: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 ; 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝜹𝜹 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 �
- 42. La amplitud será: 𝟐𝟐∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � c) La intensidad en un punto P es: 𝑰𝑰 = 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 �� 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � Para δ=0 𝑰𝑰 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � La intensidad media es: 𝑰𝑰𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 La intensidad en función del tiempo es: 𝑰𝑰 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � Para C=1 Para C=3 El valor de C hace que la variación sea más o menos rápida. d) En este caso δ=π. 𝑰𝑰 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝝅𝝅 + 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y
- 43. 𝑰𝑰 = 𝟒𝟒∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝝅𝝅 + 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏 98. Las funciones de dos ondas estacionarias sobre una cuerda de longitud L son 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝎𝝎𝟏𝟏𝒕𝒕 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒌𝒌𝟏𝟏𝒙𝒙 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝎𝝎𝟐𝟐𝒕𝒕 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒌𝒌𝟐𝟐𝒙𝒙 En donde kn=nπ/L y ωn=nω1. La función de la onda resultante se expresa como 𝒚𝒚𝒓𝒓(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙,𝒕𝒕) + 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) a) Hallar la velocidad de un segmento de la cuerda. b) Hallar la energía cinética de este segmento. c) Por integración, hallar la energía cinética total de la onda resultante. Obsérvese la desaparición de los términos cruzados de modo que la energía cinética total es proporcional a (𝒏𝒏𝟏𝟏𝑨𝑨𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝒏𝒏𝟐𝟐𝑨𝑨𝟐𝟐)𝟐𝟐 . a) 𝒚𝒚𝒓𝒓(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) + 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) 𝒗𝒗𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = −𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) − 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) b) 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝒗𝒗𝒚𝒚 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝒗𝒗𝒚𝒚 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ (𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) + 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ ∫ �(𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) + 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝑳𝑳 𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) + 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅� 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ �𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 + 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 � ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �𝒏𝒏𝟏𝟏 𝝅𝝅 𝑳𝑳 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �𝒏𝒏𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝑳𝑳 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 � 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = � 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝒏𝒏𝟏𝟏 𝝅𝝅 𝑳𝑳 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝒏𝒏𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝑳𝑳 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2 4 6 8 10 12 y
- 44. 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝁𝝁∗ 𝑳𝑳 ∗ �𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) + 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕)� 99. Un alambre de 2 m fijo por ambos extremos está vibrando con su modo fundamental. La tensión es 40 N y la masa del alambre vale 0,1 kg. El punto medio del alambre tiene una amplitud de 2 cm. a) Hallar la energía cinética máxima del alambre. b) En el instante en que el desplazamiento transversal viene dado por (0,02 m) sen(πx/2), ¿Cuál es la energía cinética del alambre? c) ¿En qué posición sobre el alambre tiene su mayor valor la energía cinética por unidad de longitud del alambre? d) ¿En dónde tiene su máximo valor la energía potencial por unidad de longitud? a) En el problema 95 se encontró: 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒏𝒏 𝟐𝟐 Para el modo fundamental: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = � 𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻 𝟒𝟒∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) Si y(x,t)= (0,02 m) sen(πx/2) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟏𝟏 ;𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔((𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎 ;𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 𝑱𝑱 c) La energía cinética será máxima cuando el desplazamiento lo sea, es decir, en el centro del mismo. X= 1 m. d) ∆𝑼𝑼 ∆𝒙𝒙 ≈ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ � 𝜹𝜹𝜹𝜹 𝜹𝜹𝜹𝜹 � 𝟐𝟐 𝜹𝜹𝜹𝜹 𝜹𝜹𝜹𝜹 = 𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ( 𝜹𝜹𝜹𝜹 𝜹𝜹𝜹𝜹 )𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎 ;𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙) = 𝟎𝟎;𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝒌𝒌𝟏𝟏 = 𝝅𝝅∗𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎 100. Una cuerda de 3,2 m de longitud y densidad másica lineal de 0,008 kg/m se somete a una tensión de tal modo que un tren de ondas se propaga a 48 m/s a lo largo de la cuerda. Los extremos de la cuerda se sujetan y se establece una onda estacionaria de 5,0 cm de amplitud. ¿Cuánta energía se almacena en el sistema vibrante en estas condiciones? Si la amplitud de la onda estacionaria disminuye a 3,0 cm en 1,0 s, ¿Cuál es el valor de Q en este sistema vibrante? 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒏𝒏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝑳𝑳𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑,𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝑸𝑸 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 �𝚫𝚫𝑬𝑬 𝑬𝑬 � � 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 Para la variación indicada: 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟑,𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝚫𝚫𝑬𝑬 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱
- 45.