El documento explica las inecuaciones, que son desigualdades donde hay una o más cantidades desconocidas. Describe las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias e irracionales. Explica el método de los puntos críticos para resolver inecuaciones polinomiales.

1. INECUACIONES
Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas
(incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las
incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
e Desigualda d
x3 2 x
Inecuación
y seny y
Conjunto Solución (C.S.)
Ejemplos:
1) 2x + 1 > 7
x>3 C.S. = 3 ; +
2) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0 C.S. = R
1

2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1.Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una
misma cantidad el sentido de la desigualdad no varía.
Si a>b=> a c > b c
2.Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no
varía.
Si a > b y c > 0
3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se
invierte.
ac bc
4. Si a > b y c < 0
a/c b/c
2

3. 5. Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la
segunda mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la
tercera.
Si a > b y b > c  a > b > c  a > c
6. Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido.
Si a > b y c < d  a – c > b + d
7 .Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido que la desigualdad minuendo.
Si a>b y c < d  a-c > b-d
8. Si se multiplica miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se
obtiene una desigualdad, del mismo sentido.
Si a > b siendo b > 0 y c > d siendo d > 0  ac > bd 3
En consecuencia: Si a > b siendo b > O => an > bn

4. 9. Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, cuyos miembros son positivos, como resultados se obtiene
a b
una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividiendo.
c d
Si a > b siendo b > 0 y c < d siendo c > 0 
10.Si los dos miembros de una desigualdad se eleva a una misma
potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
Si a > b ^ a2n+1>b2n+l
11.Si se eleva a una misma potencia par los dos miembros de una
desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene
una desigualdad de sentido contrario.
Si a > b  siendo
12.Si se eleva a una misma potencia par los miembros de una
desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y uno
negativo, no se puede predecir el sentido de la desigualdad.
Si a > b siendo
13.Si a los dos miembros de una desigualdad se le extrae una misma
4
raíz de grado impar,nel sentido de la desigualdad no varía.
2n 1
Si a > b
a 2 1b

5. Punto Crítico
En la inecuación:
P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0
P(x) : Polinomios
Los puntos críticos son las raíces de P (x), es decir:
" " es punto crítico P( x ) 0
Ejemplo:
P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2 5

6. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En la inecuación polinomial
a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0
1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1.
2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+ +
......
xn x3 x2 x1
Si : P( x ) 0 Si : P( x ) 0
ZONA ZONA
ó C.S. ó C.S.
POSITIVA ( ) NEGATIVA ( )
P( x ) 0 P( x ) 0
6

7. Ejemplos:
Resolver las Sgtes. inecuaciones
1) x2 – 5x + 6 0
(x – 2)(x – 3) 0
Puntos críticos: 2 ; 3
+ +
C.S. = 2; 3
2 3
2) (2 – x)(x + 5) < 0
Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0
+ +
-5 2 7
C.S. = - ; -5 2;+

8. INECUACIONES POLINOMIALES
1) INECUACION LINEAL
ax b 0 ; a 0
RESOLUCIÓN
ax b 0 b
ax b (  )
b 0 (  )
b * Si a 0 x
  a
0 b b
ax b * Si a 0 x
a
8

9. Ejemplo:
2 2
a x + b < b x +a
Si: 0< a < b a–b<0
Solución:
( ) ( )
(a b)(a b) x (a b)
(a b )x 1
1
x
a b
INECUACIÓN CUADRATICA
P( x ) ax 2 bx c 0 ; a 0
Resolución:
1) 0 TRINOMIO CUADRADOPERFECTO
Donde: : discriminante 9
= b2 – 4ac

10. Ejemplos:
2
1. –4x – 4x + 1 < 0
=0
2
(2x – 1) < 0 C.S. =
2 3
2. (2x – 3) > 0 C.S. = R
2
2
3. (-2x + 4) 0 C.S. = R
2
4. (-5x + 20) 0 C.S. = {4}
10

11. 2) 0 METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS
Ejemplos:
2
1) x – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9
x -9
x -4
+ +
4 9
2
2) x – 2x – 2 0
2
= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x – 2x – 2 = 0
2 12
x
+ + 2
1 3
1 3 1 3
11
C.S. = - ;1 3 1+ 3;+

12. INECUACION FRACCIONARIA
P( x )
0
Q( x )
Resolución:
1) C. A
V. : Q(x) 0
Conjunto de v alores
Admisibles
P( x ) 2
2) 2
Q( x ) 0.Q (X)
Q( x )
P( x ) Q( x ) 0
12

13. Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:
x 2
1) 0
x 3
. C.V.A. : x -3
x 2
. (x 3)2 0 (x 3)2
x 3
(x – 2)(x + 3) 0
C.S.* = -3 ; 2
. C.S. = C.V.A C.S.*
C.S. = -3 ; 2
(x 1)( x 2)
2) 0
( x 3)
. x -3
+ +
-3 -1 2 13
C.S. = -3 ; -1 2,+

14. 3. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”
14

15. 4. Encontrar el intervalo al que pertenece
“x”
15

16. 5. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”
16

17. INECUACION IRRACIONAL
Forma General: I( x ) 0
Expresión algebraica irracional
Ejemplo:
x 1 x 1 ; 2x 3 5x 1
RESOLUCIÓN:
1) Hallamos su C.V.A.
Ejm:
2n 1 2n
  1
 x  x 
 2 2 ; n N
x R x 2
17
C.V.A. = 2 ; - >

18. 6. Resolver: x2 4x 5x 1
Solución:
x 2 4x 0 5x 1 0
x( x 4) 0 x 1/ 5
x - ;4 0;
1
C.V.A = ;
5
2
2
Operamos: x 4x (5x 1)2
24x2 – 14x + 1 > 0
(12x – 1) (2x – 1) > 0
1 1
x ; ; ……….. ( )
12 2
1
C.S. = C.V.A. ( )= ;
2
18

19. 7. Se desea contar cierto lote de vacunas, al hacerlo se conto de 4 en 4,
no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de9 en 9 se
completaron 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene
el lote?
SOLUCIÓN
X = N de vacunas
En el intervalo X solo puede tomar un
valor en el conjunto de los números
enteros 19

20. 8. Rubí dispone de S/.32.00 nuevos soles para asistir al cine con sus
primas, si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero y si compra
entradas de S/.4.00 le sobra dinero. ¿Cuál es número de primas que
invito Rubí?
SOLUCIÓN:
Supongamos que el N de personas que asisten al cine son “x”
Si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero
Si compra entradas de S/.4.00 le sobra dinero
De lo anterior se observa que “x” pertenece al intervalo
El único número entero en el intervalo es:
Por tanto se afirma que: 20
RESPUESTA: Rubí invito 6 primas

21. PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Sean:
A = {x R / x -2 v x 3}
B = {x R / -2 x 3}
Hallar A U B
02) Del problema anterior, hallar A B
03) Si a + 3 0. calcular el mínimo valor de (a + 5)
04) Resolver le inecuación: x +8 < 3x + 4
05) Hallar el mayor valor de “x” verifica: 4x – 56 16 – 2x
21