Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, incluyendo sustitución, igualación, reducción y determinantes. Explica que un sistema puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, y muestra ejemplos resueltos de cada caso usando diferentes métodos. También describe cómo resolver un sistema gráficamente trazando las ecuaciones como rectas y encontrando su punto de intersección.

1. MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2

2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (2X2)Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:donde x e y son las incógnitas, a, a’, b y b’ son los coeficientes y c y c’ son los términos independientes.

3. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas3x-y=92x +3y= 5Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que resten -9 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya suma sea 5. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos

4. POSIBILIDAD DE SOLUCIONESUna solución del sistema es un par de números “x” e “y” reales que al sustituirlos en las dos ecuaciones las verifiquen.Cuando un sistema tiene solución se dice que es compatible; en caso contrario será incompatible. Los sistemas compatibles pueden tener una única solución o infinitas soluciones.

5. El análisis de las diferentes soluciones de un sistema sería el siguiente:

6. a) Infinitas soluciones En este caso se llama sistema compatible indeterminado.Esto se producirá cuando todos los coeficientes que forman una y otra ecuación seanproporcionales, es decir :a/a’ = b/b’ = c/c’( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 , c’ ≠ 0 porque no existe la división por cero )Gráficamente significaría que ambas rectas son la misma, son coincidentes

7. b) Solución únicaEn este caso se llama sistema compatible determinado. Loscoeficientes de las incógnitas no serán proporcionales , es decir:a/a’ ≠ b/b’( con a’ ≠ 0 y b’ ≠ 0 )Gráficamente significaría que ambas rectas se cortan en un único punto

8. c) No tenga soluciónEn este caso se llama sistema incompatible. Los coeficientes de x e y serán proporcionales pero no a los términos independientes, es decir :a/a’ = b/b’ ≠ c/c’( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 y c’ ≠ 0)Gráficamente esto ocurrirá cuando las dos rectas no tengan puntos comunes es decir sean paralelas

9. Existen cuatro métodos o técnicas básicas para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones:

10. MÉTODOS DE SOLUCIÓNMÉTODO DE SUSTITUCIÓNMÉTODO DE IGUALACIÓNMÉTODO DE REDUCCIÓN (+ y -)MÉTODO DE DETERMINANTESMÉTODO POR REPRESENTACION GRAFICA

11. EjemploHallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema3x+y=7X+2y=-1

12. MÉTODO DE SUSTITUCIÓNDespejando de la primer ecuación la variable “y” se obtiene:y = 7 − 3x (*)Sustituyendo en la segunda ecuación:x + 2.(7 − 3x) = −1y aplicando distintas operaciones se llega:x+14-6x=1 => -5x+14=-1 -5 x--------- => x=3 -5

13. MÉTODO DE SUSTITUCIÓNy = 7 – 3.3 ⇒ y = -2volviendo a la ecuación (*) se obtiene queEntonces las soluciones son:x = 3 e y = -27=7-1=-13x+y=7x+2y=-13.3+(-2)=73+2.(-2)-1se reemplaza por los valores obtenidos:⇒Verificación:

14. MÉTODO DE igualaciónConsiste en despejar de ambas ecuaciones una misma variable y luego igualar.3x+y=7X+2y=-1

15. MÉTODO DE igualaciónDespejando de la primer y segunda ecuación la variable “y” se obtiene:Y=7-3xY=Igualando:multiplicando cruzado se llega a:-1-x(*)______2.(7 − 3x) = −1− x2aplicando distributiva:14 − 6x = −1− xagrupando variables: 14+1 = −x +6 x ⇒15 = x se llega a el valor__5de: x = 3 volviendo a las ecuaciones (*) se obtiene el valor de y = -2

16. MÉTODO DE reducción + o -Consiste en multiplicar una (o ambas) ecuación (es) por números reales que permitan igualar los coeficientes de una de las variables, para luego sumar o restar las ecuaciones y anular dicha variable.Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema:3x+y=7X+2y=-1

17. OPCIÓN I:Si quisiéramos anular la variable x, tendríamos que multiplicar a la segunda ecuación por “3” y luego restarlas. Es equivalente a multiplicarla por “-3” y sumar las ecuaciones.Multiplicando por “-3” a la segunda ecuación nos queda:3x+y=7-3x-6y=33x+y=710___-3x-6y=3________⇒ y =y = -2⇒Sumando ambas ecuaciones:50x-5y=10

18. OPCIÓN I:Al valor de “y” se lo reemplaza en la primer o segunda ecuación y se obtiene el de “x”, ejemplo reemplazando en la segunda:x + 2.(−2) = −1⇒ x − 4 = −1⇒ x = −1+ 4 entonces x = 3

19. OPCIÓN ii:La otra posibilidad era la de cancelar la variable “y”, para ello convenía multiplicar a la primer ecuación por “-2” :-6x-2y=-14X+2y=-1sumando ambas ecuaciones16x-2y=-14X+2y=-1-15 5____________⇒x =⇒x = 3-5x- 0y =-15

20. OPCIÓN ii:Teniendo el valor de “x” se reemplaza en alguna de las ecuaciones como por ejemplo en la primer ecuación :3.3 + y = 7⇒9 + y = 7⇒ y = 7 − 9 entonces y = -2

21. MÉTODO por determinantesEste método tiene una justificación teórica no tan sencilla como suresolución. En este nivel de conocimientos, adoptaremos la practicidad de hallar las soluciones de las variables a través del cálculo por determinantes sin entrar en el desarrollo formal de ellos.Partimos de un sistema de ecuaciones ordenado3x+y=7X+2y=-1como el del ejemplo anterior:

22. MÉTODO por determinantes(en el miembro de la derecha de cada ecuación se encuentra los términos de la variable “x” e “y” , y en el miembro del lado derecho el término independiente) 3 1 1 2=3.2-1.1=6-1=5Δ=1231Leyendo por columna son los coeficientes de “x” y son los coeficientes de “y”

23. MÉTODO por determinantesTambién se calculan otros dos determinantes x Δ y Δ y 3 7 1 -1 7 1 -1 2Δy==3.(-1)-1.7=-3-7=-10=7.2-(-1).1=14-1=15Δx=La columna de los coeficientes de “x” se reemplazó por la de los términos independientes La columna de los coeficientes de “y” se reemplazó por lade los términos independientes

24. MÉTODO por determinantesΔyΔxAhora calculamos la variable “x” comoy la variable “y” comoy=--------X=--------ΔΔResulta en el ejemplo que las soluciones son:Δx155X=---------=-------=3ΔΔy-10 5Y=---------=-------=-2Δ

25. MÉTODO graficoUn sistema puede resolverse en forma gráfica. Su solución resulta ser la intersección de dos rectas.De cada una de las ecuaciones se despeja la variable “y”, para transformar a la ecuación en una función de “y” dependiendo de “x”, se grafica cada función, que resulta ser una recta (por tener la variable “x” elevada a la primer potencia).¿Cómo graficar estas rectas?█ Podemos armar una tabla de valores o graficarla usando el concepto de pendiente y ordenada al origen

26. MÉTODO graficoResolver analítica y gráficamente el siguiente sistema:-2x+y=-7X+y=2Para resolverlo analíticamente podemos aplicar cualquiera de los métodos antes mencionados (Sustitución, igualación, reducción). Llegamos a obtener la siguiente solución:x = 3 e y = -1

27. MÉTODO graficoResolución gráfica:Para este ejemplo armaremos dos sencillas tablas, recomendando representar por lo mínimo tres puntos (si bien una recta se determina con dos puntos, no es conveniente representar sólo dos, porque puede calcularse alguno mal y graficar en consecuenciaincorrectamente)Despejando de ambas ecuación la variable “y” se obtiene:Y=-x+2Y=2x-7

28. MÉTODO graficoArmando tablas de valores y graficando se obtiene:

29. MÉTODO grafico( 3; -1) Es el punto deintersección de las rectas:es decir la solución gráfica,coincidente con la que seencontró en forma analítica.

30. Muchas gracias