Presentación con definición de determinante, inversa, matriz adjunta y producto cruz con propiedades.

2. DETERMINANTES, INVERSAS Y PRODUCTO CRUZ
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. CONTENIDO
1 DETERMINANTES E INVERSAS
Matriz de Cofactores
Matriz Adjunta
Inversa de una Matriz
2 PRODUCTO CRUZ

4. Se puede utilizar el determinante para calcular la inversa de una matriz. Esto
brinda un procedimiento diferente al de calcular la inversa de una matriz a
trav´es del proceso de eliminaci´on de Gauss-Jordan, haciendo quiz´a, un poco
m´as amigable el c´alculo de ´este.
Adem´as, se hace la definici´on del producto cruz de dos vectores, retomando
el concepto de vector visto en la primera semana de clase (puede observar la
presentaci´on de la semana 1 para refrescar conceptos). La idea es tener claridad
en el producto cruz para entender de manera sencilla la generaci´on de rectas y
planos.

5. DETERMINANTES E INVERSAS
DETERMINANTES E INVERSAS
De acuerdo a la semana anterior, se sabe que si el determinante de una matriz
es diferente de cero, entonces la matriz es invertible (no singular).
¿Existe una forma diferente para calcular inversas?
Usando matrices de cofactores y matriz adjunta.

6. DETERMINANTES E INVERSAS
DETERMINANTES E INVERSAS
DEFINICI ´ON
Si A es una matriz invertible, entonces det(A) = 0 y
det(A−1
) =
1
det(A)
Pueden revisar ejemplos hechos en clase verificando la relaci´on del determi-
nante de una matriz y de su inversa.

7. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ DE COFACTORES
MATRIZ DE COFACTORES
DEFINICI ´ON
Sea A una matriz de n × n. El cofactor ij de A, denotado por Aij, est´a dado
por:
Aij = (−1)i+j
|Mij|
Esto es, el cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij
y multiplic´andolo por (−1)i+j. As´ı se obtiene la siguiente relaci´on:
(−1)i+j
=
1 si i + j es par
−1 si i + j es impar
Es decir, el ser par o impar determina el signo de la expresi´on encontrada.

8. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ DE COFACTORES
EJEMPLO
EJEMPLO
Calcular la matriz de cofactores asociada a la matriz
A =


1 0 1
4 1 0
0 2 −1


Los c´alculos quedan de la siguiente forma:
A11 = (−1)2 1 0
2 −1
A12 = (−1)3 4 0
0 −1
A13 = (−1)4 4 1
0 2
A21 = (−1)3 0 1
2 −1
A22 = (−1)4 1 1
0 −1
A23 = (−1)5 1 0
0 2
A31 = (−1)4 0 1
1 0
A32 = (−1)5 1 1
4 0
A33 = (−1)6 1 0
4 1

9. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ DE COFACTORES
EJEMPLO
EJEMPLO
Resolviendo, se tiene:
A11 = −1 A12 = 4 A13 = 8
A21 = 2 A22 = −1 A23 = −2
A31 = −1 A32 = 4 A33 = 1
Finalmente, la matriz de cofactores es de la forma:
B =


−1 4 8
2 −1 −2
−1 4 1



10. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ DE COFACTORES
EJEMPLO
NOTA
El c´alculo de la matriz de cofactores para una matriz de 3 × 3 implica realizar
9 determinantes de 2 × 2 teniendo cuidado con el signo (−1)i+j.
El c´alculo de la matriz de cofactores para una matriz de n × n implica realizar
n2 determinantes de (n − 1) × (n − 1) teniendo cuidado con el signo (−1)i+j.

11. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ ADJUNTA
MATRIZ ADJUNTA
DEFINICI ´ON
Sea A una matriz de n × n. La adjunta de A, notada por ajd(A), es la matriz
de n × n cuya componente ij es Aji, el cofactor ji de A.
NOTA
La matriz adjunta de A es la transpuesta de la matriz de cofactores.

12. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ ADJUNTA
EJEMPLO
EJEMPLO
Determinar la matriz adjunta de
A =


1 0 1
4 1 0
0 2 −1


De acuerdo al ejercicio anterior, se tiene que la matriz de cofactores es:
B =


−1 4 8
2 −1 −2
−1 4 1



13. DETERMINANTES E INVERSAS MATRIZ ADJUNTA
EJEMPLO
EJEMPLO
Finalmente, la matriz adjunta de A, est´a dado por:
Adj(A) = BT
=


−1 2 −1
4 −1 4
8 −2 1



14. DETERMINANTES E INVERSAS INVERSA DE UNA MATRIZ
INVERSA DE UNA MATRIZ
DEFINICI ´ON
Si det(A) = 0, entonces A es invertible y
A−1
=
1
det(A)
adj(A)
NOTA
Esta ecuaci´on ayuda a calcular la inversa de una matriz de una forma
diferente. Tenga cuidado en pensar en que esta forma es m´as corta que
haciendo el proceso de eliminaci´on de Gauss-Jordan. Puede que en algunos
casos se haga menos cuentas, pero en otros se hacen muchas m´as cuentas.

15. DETERMINANTES E INVERSAS INVERSA DE UNA MATRIZ
EJEMPLO
EJEMPLO
Calcular la inversa de la matriz
A =


1 0 1
4 1 0
0 2 −1


Como el determinante de la matriz es 7, al usar la matriz adjunta escrita en el
ejemplo anterior, se tiene:
A−1
=
1
det(A)
adj(A) =
1
7


−1 2 −1
4 −1 4
8 −2 1

 =


−1/7 2/7 −1/7
4/7 −1/7 4/7
8/7 −2/7 1/7


Observe que da la misma matriz que la calculada en la presentaci´on de inversa
de una matriz.

16. PRODUCTO CRUZ
PRODUCTO CRUZ
El producto cruz es una herramienta bastante utilizada para el c´alculo de ´areas
y vol´umenes as´ı como la construcci´on de planos en el espacio. Tambi´en se usa
en c´alculo vectorial para calcular el vector normal a una superficie.
DEFINICI ´ON
Sea u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces el producto cruz o
producto vectorial de u y v, notado por u × v, est´a dado por:
u × v =
i j k
a1 b1 c1
a2 b2 c2
Es decir, el c´alculo de un determinante.
NOTA
El producto cruz se calcula para vectores en R3. Sin embargo, tambi´en es
posible calcularlo para vectores en R2 haciendo la tercera componente cero.

17. PRODUCTO CRUZ
EJEMPLO
EJEMPLO
Calcular el producto cruz de los vectores dados por u = 2i − 5j + k y
v = −4i + j + 4k.
Al aplicar la definici´on, se tiene:
u × v =
i j k
2 −5 1
−4 1 4
= −21i − 12j − 18k
NOTA
El producto cruz siempre da un vector. Mientras que el producto punto
siempre da un escalar.

18. PRODUCTO CRUZ
PROPIEDADES
Las propiedades del producto cruz son:
TEOREMA
Sean u, v y w vectores en R3 y α un escalar. Entonces:
u × 0 = 0 × u = 0.
u × v = −v × u.
(αu) × v = α(u × v).
u × (v + w) = (u × v) + (u × w).
(u × v · w) = u · (v × w).
u × v es ortogonal tanto a u como a v.
Si u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos s´ı y s´olo s´ı
u × v = 0.
Ortogonal se refiere a la perpendicularidad entre vectores (forman un ´angulo
de 90 grados).

19. PRODUCTO CRUZ
UNA COSA M ´AS...
DEFINICI ´ON
Si ρ es el ´angulo entre u y v, entonces:
|u × v| = |u||v| sin(ρ)
Que corresponde al ´area del paralelogramo con lados u y v.

20. PRODUCTO CRUZ
EJEMPLO
EJEMPLO
Encontrar el ´area del paralelogramo con v´ertices consecutivos en
P = (1, 3, −2), Q = (2, 1, 4) y R = (−3, 1, 6).
Se deben calcular dos vectores que son, a saber, PQ = Q − P y
QR = R − Q. Es decir, los vectores PQ = (1, −2, 6) y QR = (−1, 2, 0). Al
calcular el producto cruz y usar la definici´on del ´area del paralelogramo se
tiene:
PQ × QR =
i j k
1 −2 6
−5 0 2
= −4i − 32j − 10k
Finalmente, el ´area del paralelogramo es:
|PQ × QR| = | − 4i − 32j − 10k| =
√
1140u2