Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo transformar la matriz aumentada del sistema mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que permite obtener el vector solución. También presenta un ejemplo numérico resuelto paso a paso usando el método de Gauss-Jordan.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo el método de Gauss-Jordan transforma la matriz aumentada mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que proporciona el vector solución en la última columna. También presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando este método para resolver un sistema de ecuaciones derivado de un problema comercial.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Se describe el sistema de coordenadas cartesianas, el concepto de función, y algunas de las funciones básicas: lineal, afín, constante y de proporcionalidad directa
Este documento presenta una introducción a los conceptos de inversa, transpuesta y determinante de una matriz. Explica cómo calcular la inversa de matrices de 2x2 y 3x3 utilizando la eliminación de Gauss-Jordan. También define la matriz transpuesta y cómo calcular el determinante, junto con algunas de sus propiedades clave.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento describe un método para resolver sistemas lineales singulares con más variables que ecuaciones. Explica cómo convertir el sistema en una forma escalonada que identifica las variables libres, las cuales pueden asignarse valores arbitrarios. Incluye un algoritmo de Gauss-Jordan para sistemas singulares y un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo el método de Gauss-Jordan transforma la matriz aumentada mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que proporciona el vector solución en la última columna. También presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando este método para resolver un sistema de ecuaciones derivado de un problema comercial.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Se describe el sistema de coordenadas cartesianas, el concepto de función, y algunas de las funciones básicas: lineal, afín, constante y de proporcionalidad directa
Este documento presenta una introducción a los conceptos de inversa, transpuesta y determinante de una matriz. Explica cómo calcular la inversa de matrices de 2x2 y 3x3 utilizando la eliminación de Gauss-Jordan. También define la matriz transpuesta y cómo calcular el determinante, junto con algunas de sus propiedades clave.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento describe un método para resolver sistemas lineales singulares con más variables que ecuaciones. Explica cómo convertir el sistema en una forma escalonada que identifica las variables libres, las cuales pueden asignarse valores arbitrarios. Incluye un algoritmo de Gauss-Jordan para sistemas singulares y un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
Este documento describe dos tipos de métodos numéricos: métodos iterativos y métodos directos. Los métodos iterativos producen aproximaciones sucesivas a la solución mediante el uso de fórmulas iterativas. Se discuten conceptos como la convergencia, el error de truncamiento y criterios para finalizar el proceso iterativo. Los métodos iterativos son auto-correctivos y convergen hacia la solución de forma gradual a través de múltiples iteraciones.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, incluyendo la ecuación de Bernoulli, la ecuación de Ricatti y métodos para resolverlas. La ecuación de Bernoulli puede transformarse en una ecuación lineal mediante una sustitución, mientras que la ecuación de Ricatti puede resolverse encontrando primero una solución particular y luego realizando sustituciones para convertirla en una ecuación de Bernoulli. El documento también proporciona ejemplos resueltos de ambos tipos de ecuaciones.
Este documento presenta un resumen sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales. Explica que este tipo de ecuaciones se pueden expresar como y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) y depende de dos constantes arbitrarias. También cubre ecuaciones de Cauchy-Euler, el método de solución, y el uso del Wronskiano para verificar la independencia lineal de soluciones.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Richardson. Explica que los métodos iterativos calculan aproximaciones sucesivas a la solución mediante repetidas aplicaciones de una función. Luego, detalla los pasos matemáticos involucrados en cada uno de los tres métodos.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
El documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. El método de Jacobi involucra iteraciones para aproximar la solución diagonalizando la matriz, mientras que el método de Gauss-Seidel actualiza las variables una por una en cada iteración usando los valores más recientes. Ambos métodos convergen a la solución cuando la matriz es diagonalmente dominante.
Este documento describe diferentes métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce el método de Jacobi y cómo se puede implementar iterativamente para aproximar la solución de un sistema. Luego describe el método de Jacobi amortiguado y el método de Gauss-Seidel, explicando las pequeñas diferencias entre estos métodos iterativos. Finalmente, introduce el método de Gauss-Seidel amortiguado.
El documento trata sobre ecuaciones de segundo grado. Explica que una ecuación de segundo grado puede reducirse a la forma general ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente de x2, b de x y c el término independiente. Luego describe los tipos de cuadráticas y métodos para resolverlas, como factorización y completando el cuadrado. También introduce conceptos básicos de funciones como su definición, gráficas y ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.
Este documento trata sobre métodos de interpolación lineal y ajuste polinomial. Presenta el método de Newton y el método de Lagrange para la interpolación lineal de tablas de valores, así como el método de mínimos cuadrados para el ajuste polinomial. Explica cómo construir la tabla de diferencias finitas y deriva las fórmulas de interpolación de Newton y Lagrange.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo descomposición LU, el algoritmo de Thomas, descomposición de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos utilizan iteraciones para aproximar la solución de manera numérica.
Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se resuelven aplicando propiedades de la potenciación y descomponiendo factores para obtener una ecuación más sencilla. Un sistema de ecuaciones exponenciales contiene al menos una ecuación exponencial, y para hallar la solución debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Dichos sistemas se resuelven usando propiedades de la potenciación y métodos para ecuaciones lineales.
Este documento describe los sistemas mal condicionados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema es mal condicionado si pequeños cambios en los coeficientes producen grandes cambios en la solución. Introduce el número de condición para cuantificar el grado de mal condicionamiento, el cual depende de las normas de la matriz y su inversa. Finalmente, establece que el error en la solución está relacionado al error en los coeficientes multiplicado por el número de condición.
Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.
Este documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, orden, notación, igualdad, suma, producto por escalar, propiedades de las operaciones, producto, traspuesta, matriz identidad e inversa. Explica cómo representar elementos de una matriz, sumar y multiplicar matrices, y calcular la inversa de una matriz cuadrada utilizando un sistema de ecuaciones lineales.
El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
1) El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, tipos (triangular, diagonal, unidad), y operaciones como suma, producto por escalar, y producto.
2) Se explican propiedades de las operaciones, como la asociatividad y distributividad de la suma y el producto.
3) Se proveen ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método transforma la matriz aumentada del sistema a una forma triangular superior resolviendo luego el sistema triangular. También discute la formulación matemática del método, su eficiencia y cómo implementarlo computacionalmente, incluyendo una estrategia de pivoteo para mejorar la precisión.
Este documento describe dos tipos de métodos numéricos: métodos iterativos y métodos directos. Los métodos iterativos producen aproximaciones sucesivas a la solución mediante el uso de fórmulas iterativas. Se discuten conceptos como la convergencia, el error de truncamiento y criterios para finalizar el proceso iterativo. Los métodos iterativos son auto-correctivos y convergen hacia la solución de forma gradual a través de múltiples iteraciones.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, incluyendo la ecuación de Bernoulli, la ecuación de Ricatti y métodos para resolverlas. La ecuación de Bernoulli puede transformarse en una ecuación lineal mediante una sustitución, mientras que la ecuación de Ricatti puede resolverse encontrando primero una solución particular y luego realizando sustituciones para convertirla en una ecuación de Bernoulli. El documento también proporciona ejemplos resueltos de ambos tipos de ecuaciones.
Este documento presenta un resumen sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales. Explica que este tipo de ecuaciones se pueden expresar como y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) y depende de dos constantes arbitrarias. También cubre ecuaciones de Cauchy-Euler, el método de solución, y el uso del Wronskiano para verificar la independencia lineal de soluciones.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Richardson. Explica que los métodos iterativos calculan aproximaciones sucesivas a la solución mediante repetidas aplicaciones de una función. Luego, detalla los pasos matemáticos involucrados en cada uno de los tres métodos.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
El documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. El método de Jacobi involucra iteraciones para aproximar la solución diagonalizando la matriz, mientras que el método de Gauss-Seidel actualiza las variables una por una en cada iteración usando los valores más recientes. Ambos métodos convergen a la solución cuando la matriz es diagonalmente dominante.
Este documento describe diferentes métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce el método de Jacobi y cómo se puede implementar iterativamente para aproximar la solución de un sistema. Luego describe el método de Jacobi amortiguado y el método de Gauss-Seidel, explicando las pequeñas diferencias entre estos métodos iterativos. Finalmente, introduce el método de Gauss-Seidel amortiguado.
El documento trata sobre ecuaciones de segundo grado. Explica que una ecuación de segundo grado puede reducirse a la forma general ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente de x2, b de x y c el término independiente. Luego describe los tipos de cuadráticas y métodos para resolverlas, como factorización y completando el cuadrado. También introduce conceptos básicos de funciones como su definición, gráficas y ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.
Este documento trata sobre métodos de interpolación lineal y ajuste polinomial. Presenta el método de Newton y el método de Lagrange para la interpolación lineal de tablas de valores, así como el método de mínimos cuadrados para el ajuste polinomial. Explica cómo construir la tabla de diferencias finitas y deriva las fórmulas de interpolación de Newton y Lagrange.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo descomposición LU, el algoritmo de Thomas, descomposición de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos utilizan iteraciones para aproximar la solución de manera numérica.
Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se resuelven aplicando propiedades de la potenciación y descomponiendo factores para obtener una ecuación más sencilla. Un sistema de ecuaciones exponenciales contiene al menos una ecuación exponencial, y para hallar la solución debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Dichos sistemas se resuelven usando propiedades de la potenciación y métodos para ecuaciones lineales.
Este documento describe los sistemas mal condicionados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema es mal condicionado si pequeños cambios en los coeficientes producen grandes cambios en la solución. Introduce el número de condición para cuantificar el grado de mal condicionamiento, el cual depende de las normas de la matriz y su inversa. Finalmente, establece que el error en la solución está relacionado al error en los coeficientes multiplicado por el número de condición.
Este documento trata sobre el álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Explica conceptos clave como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Luego clasifica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y más. Finalmente, describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, reducción y sustitución.
Este documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, orden, notación, igualdad, suma, producto por escalar, propiedades de las operaciones, producto, traspuesta, matriz identidad e inversa. Explica cómo representar elementos de una matriz, sumar y multiplicar matrices, y calcular la inversa de una matriz cuadrada utilizando un sistema de ecuaciones lineales.
El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
1) El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, tipos (triangular, diagonal, unidad), y operaciones como suma, producto por escalar, y producto.
2) Se explican propiedades de las operaciones, como la asociatividad y distributividad de la suma y el producto.
3) Se proveen ejemplos ilustrativos de cada concepto.
1) El documento habla sobre matrices y determinantes. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales con dos subíndices para indicar la fila y columna. 2) Explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en la misma posición. 3) Describe cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la suma de productos de elementos con signos + o - según la paridad de la permutación.
Este documento describe un método para resolver sistemas lineales singulares con más variables que ecuaciones. Estos sistemas tienen una o más filas nulas en la matriz de coeficientes y no tienen una solución única. El método reduce la matriz aumentada a una forma escalonada para identificar variables libres, que pueden asignarse valores arbitrarios, y variables dependientes. Se ilustra con un ejemplo de asignación de recursos para la producción de cuatro productos usando tres materiales.
1) El documento presenta un problema de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas representadas por las cantidades de tres comprimidos. Se escribe la forma matricial y vectorial del sistema.
2) Se identifica la solución del sistema como un vector y una base de vectores para el espacio de soluciones.
3) Se piden ejemplos de vectores que pertenezcan y no pertenezcan al espacio generado por las columnas de la matriz dada.
Este documento presenta un resumen sobre sistemas lineales. Introduce conceptos como solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, matrices aumentadas, operaciones elementales por filas, forma escalonada y eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Proporciona ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos.
Este documento trata sobre las competencias genéricas y específicas relacionadas con las matemáticas. Describe habilidades como comunicarse usando lenguaje matemático, modelar fenómenos matemáticamente, pensamiento lógico y resolución de problemas. También cubre el manejo de matrices, sus propiedades, operaciones y tipos especiales como vectores y matrices cuadradas.
El documento introduce los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, igualdad, y cómo se representan. Explica que una matriz es una disposición rectangular de números y que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, diferencia, producto por escalar, y producto de matrices.
El documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas de ecuaciones lineales son importantes en matemáticas aplicadas y que se han desarrollado algoritmos sofisticados para resolverlos. Luego introduce conceptos clave como matrices, transformaciones elementales de filas, y teoremas sobre rangos que son útiles para determinar si un sistema es compatible o incompatible. Finalmente, presenta cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Introduce los conceptos básicos de matrices, incluidas las definiciones de matriz, tipos de matrices como cuadradas y triangulares, y operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica que las matrices se usan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tienen aplicaciones en áreas como economía, estadística y física.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre números complejos, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades. Introduce los números complejos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i2 = -1. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Luego, define expresiones algebraicas, términos, ecuaciones lineales y cómo resolver ecuaciones de primer grado. Finalmente, introduce inecuaciones de primer grado y cómo resolverlas.
Este documento explica conceptos básicos sobre funciones lineales, incluyendo su definición, pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados, sistemas de ecuaciones lineales, métodos para resolverlos, y aplicaciones de funciones lineales como la programación linear.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
Este documento presenta la teoría de matrices, incluyendo notación matricial, operaciones elementales, eliminación gaussiana, y operaciones con matrices como suma, multiplicación y propiedades. Explica cómo usar matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, reduciendo las matrices a forma triangular superior mediante eliminación gaussiana.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Introduce la noción de matriz, incluyendo su igualdad, dimensión y elementos. Explica diferentes tipos de matrices como simétricas, triangulares y diagonales. Finalmente, describe operaciones con matrices como suma, producto por un escalar y producto entre matrices.
1. El documento define y explica diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices cuadradas, rectangulares, nulas, diagonales, escalares, unitarias, triangulares, transpuestas, simétricas y antisimétricas.
2. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar, y producto de matrices.
3. Finalmente, presenta algunos ejemplos y propiedades de las operaciones con matrices.
Este documento describe el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Explica la fórmula iterativa para calcular las raíces reales de un sistema de n ecuaciones, presenta un algoritmo para implementar el método, y muestra un ejemplo numérico para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Finalmente, propone una función para automatizar el método en MATLAB.
El método de Newton es un método iterativo para encontrar las raíces de una función. Se basa en aproximar suavemente la función mediante una tangente y usar el punto de intersección de la tangente con el eje x como la siguiente aproximación. Esto genera una sucesión de valores que converge cuadráticamente a la raíz si se cumplen ciertas condiciones sobre la derivada segunda de la función. El método se interpreta gráficamente como seguir la trayectoria de las tangentes, y se demuestra su convergencia localmente bajo condiciones sobre el signo de
Este documento describe el método del punto fijo para encontrar las raíces reales de una ecuación no lineal f(x)=0. Explica cómo reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. También analiza las condiciones para la convergencia del método y provee un ejemplo numérico para calcular las raíces de la ecuación f(x)=e-πx=0.
Este documento describe el método numérico de la bisección para calcular raíces reales de ecuaciones no lineales. Explica que el método itera dividendo el intervalo que contiene la raíz en dos partes iguales hasta que la longitud del intervalo sea menor que un error especificado. Luego presenta detalles como la convergencia lineal del método y cómo implementarlo computacionalmente en MATLAB. Finalmente, incluye un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.
Este documento describe métodos directos para resolver problemas numéricos. Estos métodos involucran una secuencia finita de operaciones aritméticas para obtener resultados exactos. Se provee un ejemplo de un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales triangulares inferiores. Adicionalmente, se discute la eficiencia de los métodos directos y cómo medirla usando la notación O(n) que indica el orden de complejidad de un algoritmo.
Este documento presenta una introducción al análisis numérico y su enfoque algorítmico con MATLAB. Explica que el análisis numérico estudia métodos para resolver problemas numéricos complejos y que MATLAB es una herramienta útil para implementar dichos métodos de manera computacional. También describe los pasos generales para resolver un problema numérico, incluyendo el análisis, diseño e instrumentación del método, y las posibles fuentes de error. Finalmente, introduce conceptos básicos de MATLAB como su uso interactivo y programación.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
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Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLM
8.gaussjordan
1. 57
4 MÉTODOS DIRECTOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
En este capítulo se estudia el componente algorítmico y computacional de los métodos directos
para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo. Un comerciante compra tres productos: A, B, C, pero en las facturas únicamente
consta la cantidad comprada y el valor total de la compra. Se necesita determinar el precio
unitario de cada producto. Para esto dispone de tres facturas con los siguientes datos:
Factura Cantidad de A Cantidad de B Cantidad de C Valor pagado
1 4 2 5 $18.00
2 2 5 8 $27.30
3 2 4 3 $16.20
Análisis
Sean x1,x 2 ,x 3 variables que representan al precio unitario de cada producto. Entonces, se
puede escribir:
4x1 + 2x 2 + 5x 3 =18.00
2x1 + 5x 2 + 8x 3 =
27.30
2x1 + 4x 2 + 3x 3 =
16.20
El modelo matemático resultante es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres variables.
En general, se desea resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n variables
a1,1x1 + a1,2 x1 + ... + a1,n xn =
b1
a2,1x1 + a2,2 x1 + ... + a2,n xn =b2
...
an,1x1 + an,2 x1 + ... + an,n xn =
bn
En donde
ai,j ∈ ℜ : Coeficientes
bi ∈ ℜ : Constantes
xi ∈ ℜ : Variables cuyo valor debe determinarse
En notación matricial:
a1,1 a1,2 ... a1,n x1 b1
a a2,2 ... a2,n x 2 b2
2,1 =
... ... ... ...
an,1
an,1 ... an,n xn bn
Simbólicamente
AX = B
Siendo
a1,1 a1,2 ... a1,n b1 x1
a a2,2 ... a2,n b x
= ; B =
2,1 2 2
A = ; X
... ... ... ...
an,1
an,1 ... an,n
bn xn
2. 58
4.1 Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
-1
Sea A la matriz de coeficientes del sistema AX = B. Sea A su inversa y |A| su determinante.
La relación entre |A| y la existencia de la solución X se establece con la siguiente definición:
[adj(A)]t
A −1 = ,
|A|
t
En donde [adj(A)] es la transpuesta de la adjunta de la matriz A.
Si |A| ≠ 0 , entonces A −1 existe, y se puede escribir:
AX = B ⇒ A −1AX = A −1B ⇒ IX = A −1B ⇒ X = A −1B
En donde I es la matriz identidad. En resumen, si |A| ≠ 0 entonces X existe y además es único.
4.2 Método de Gauss - Jordan
La estrategia de este método consiste en transformar la matriz A del sistema AX = B y reducirla
a la matriz identidad I. Según el enunciado anterior, esto es posible si | A | ≠ 0. Aplicando
simultáneamente las mismas transformaciones al vector B, este se convertirá en el vector
solución A −1B .
En caso de que esta solución exista, el procedimiento debe transformar las ecuaciones mediante
operaciones lineales que no modifiquen la solución del sistema original, estas pueden ser:
a) Intercambiar ecuaciones
b) Multiplicar ecuaciones por alguna constante no nula
c) Sumar alguna ecuación a otra ecuación
Ejemplo. Con el Método de Gauss-Jordan resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
correspondiente al problema planteado al inicio del capítulo
4x1 + 2x 2 + 5x 3 =
18.00
2x1 + 5x 2 + 8x 3 =
27.30
2x1 + 4x 2 + 3x 3 =
16.20
Solución: Se define la matriz aumentada A | B para transformar simultáneamente A y B:
4 2 5 18.00
A | B = 2 5 8 27.30
2 4 3 16.20
Las transformaciones sucesivas de la matriz aumentada se describen en los siguientes pasos:
Dividir fila 1 para 4
1.0000 0.5000 1.2500 4.5000
2.0000 5.0000 8.0000 27.3000
2.0000 4.0000 3.0000 16.2000
3. 59
Restar de cada fila, la fila 1 multiplicada por el elemento de la columna 1
1.0000 0.5000 1.2500 4.5000
0 4.0000 5.5000 18.3000
0 3.0000 0.5000 7.2000
Dividir fila 2 para 4
1.0000 0.5000 1.2500 4.5000
0 1.0000 1.3750 4.5750
0 3.0000 0.5000 7.2000
Restar de cada fila, la fila 2 multiplicada por el elemento de la columna 2
1.0000 0 0.5625 2.2125
0 1.0000 1.3750 4.5750
0 0 -3.6250 -6.5250
Dividir fila 3 para -3.625
1.0000 0 0.5625 2.2125
0 1.0000 1.3750 4.5750
0 0 1.0000 1.8000
Restar de cada fila, la fila 3 multiplicada por el elemento de la columna 3
1.0000 0 0 1.2000
0 1.0000 0 2.1000
0 0 1.0000 1.8000
La matriz de los coeficientes ha sido transformada a la matriz identidad.
Simultáneamente, las mismas transformaciones han convertido a la última columna en el vector
solución:
1.2
X = 2.1
1.8
Como antes, la solución debe verificarse en el sistema
5. 61
>> a(1,3:4)=a(1,3:4)-a(1,3)*a(3,3:4) Reducir fila 1
a=
1.0000 0 0 1.2000
0 1.0000 1.3750 4.5750
0 0 1.0000 1.8000
>> a(2,3:4)=a(2,3:4)-a(2,3)*a(3,3:4) Reducir fila 2
a=
1.0000 0 0 1.2000
0 1.0000 0 2.1000
0 0 1.0000 1.8000
>> x=a(1:3,4) Vector solución
x=
1.2000
2.1000
1.8000
>> a*x Verificar la solución
ans =
18.0000
27.3000
16.2000
4.2.1 Formulación del método de Gauss-Jordan
Para establecer la descripción algorítmica, conviene definir la matriz aumentada A con el vector
B pues deben realizarse simultáneamente las mismas operaciones:
a1,1 a1,2 ... a1,n a1,n+1
a
2,1 a 2,2 ... a 2,n a 2,n+ 1
A |B =
... ... ... ... ...
an,1 an,2 ... an,n an,n+ 1
En donde se ha agregado la columna n+1 con el vector de las constantes:
ai,n+1 = bi, i = 1, 2, 3, ..., n (columna n+1 de la matriz aumentada)
El objetivo es transformar esta matriz y llevarla a la forma de la matriz identidad I:
a1,1 a1,2 ... a1,n a1,n+1 1 0 ... 0 a1,n+ 1
a
2,1 a 2,2 ... a2,n a2,n+1 0 1 ... 0 a2,n+ 1
A |B = →...→
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
an,1 an,2
... an,n an,n+ 1
0 0
... 1 an,n+ 1
Si es posible realizar esta transformación, entonces los valores que quedan en la última columna
constituirán el vector solución X
Las transformaciones deben ser realizadas en forma sistemática en n etapas, obteniendo
sucesivamente en cada etapa, cada columna de la matriz identidad, de izquierda a derecha.
En cada etapa, primero se hará que el elemento en la diagonal tome el valor 1. Luego se hará
que los demás elementos de la columna tomen el valor 0.
6. 62
1 0 ... 0 a1,n+ 1
0 1 ... 0 a2,n+ 1
... ... ... ... ...
0 0
... 1 an,n+ 1
Etapa 1
Etapa n
Etapa 2
Etapa 1
Normalizar la fila 1: (colocar 1 en el lugar del elemento a 1,1
a1,j ← a1,j / a1,1 j=1, 2, ..., n+1; supones que a1,1 ≠ 0
Reducir las otras filas: (colocar 0 en los otros elementos de la columna 1)
ai,j ← ai,j − ai,1a1,j , j=1, 2, ..., n+1; i=2, 3, ..., n
a1,1 a1,2 ... a1,n a1,n+ 1 1 a1,2 ... a1,n a1,n+ 1
A |B a2,1 a2,2 ... a2,n a2,n+ 1
→
0 a2,2 ... a2,n a2,n+ 1
... ... ... ... ... ...
an,1
an,1 ... an,n an,n+ 1
0
an,1 ... an,n an,n+ 1
Valores
transformados
Etapa 2
Normalizar la fila 2: (colocar 1 en el lugar del elemento a2,2
a2,j ← a2,j / a2,2 j=2, 3, ..., n+1; a 2,2 ≠ 0
Reducir las otras filas: (colocar 0 en los otros elementos de la columna 2
ai,j ← ai,j − ai,2 a2,j , j=2, 3, ..., n+1; i=1, 3, ..., n
Valores
1 a1,2 ... a1,n a1,n+ 1 1 0 ... a1,n a1,n+ 1 transformados
0 a2,2 ... a2,n a2,n+1 0 1 ... a2,n a2,n+1
→
... ... ... ... ... ...
0 an,1 ... an,n an,n+ 1
0
0 ... an,n an,n+ 1
La última columna contendrá e; vector solución
La formulación obtenida de estas dos etapas se puede generalizar y construir el agoritmo:
7. 63
ALGORITMO BÁSICO DE GAUSS-JORDAN
a: matriz aumentada del sistema de n ecuaciones lineales
Para e = 1, 2, . . ., n
Para j=e, e+1, ..., n+1
a e,j ← a e,j / a e,e Normalizar la fila e ( a e,e ≠ 0 )
Fin
Para i=1, 2, …, i -1, i +1,… n
Para j=e, e+1, ..., n+1
ai,j ← ai,j − ai,e a e,j Reducir las otras filas
Fin
Fin
Fin
Para i=1,2,...,n
xi ← ai,n+ 1 La última columna contendrá la solución
Fin
4.2.2 Eficiencia del método de Gauss-Jordan
El método de Gauss-Jordan es un método directo. Los métodos directos pueden estar afectados
por el error de redondeo, es decir los errores en la representación de los números que se
producen en las operaciones aritméticas. Para cuantificar la magnitud del error de redondeo se
define la función de eficiencia del método.
Sea n el tamaño del problema y T(n) la cantidad de operaciones aritméticas que se realizan
2
En la normalización: T(n) = O(n ) (Dos ciclos anidados)
3
En la reducción: T(n) = O(n ) (Tres ciclos anidados)
3
Por lo tanto, este método es de tercer orden: T(n) = O(n )
Mediante un conteo recorriendo los ciclos del algoritmo, se puede determinar la función de
eficiencia para este método directo:
e i j
1 n-1 n+1
2 n-1 n
. . .
. . .
. . .
n-1 n-1 3
n n-1 2
3 2
T(n) = (n-1)(2 + 3 + n + (n+1)) = (n-1) (3 + n ) (n/2) = n /2 + 2n /2 + 3n/2
8. 64
4.2.3 Instrumentación computacional
En esta primera versión del algoritmo se supondrá que el determinante de la matriz es diferente
de cero y que no se requiere intercambiar filas.
La codificación en MATLAB sigue directamente la formulación matemática descrita
anteriormente. Se usa notación compacta para manejo de matrices
function x=gaussjordan(a,b)
n=length(b);
a=[a,b]; %matriz aumentada
for e=1:n
a(e,e:n+1)=a(e,e:n+1)/a(e,e); %normalizar fila e
for i=1:n
if i~=e
a(i,e:n+1)=a(i,e:n+1)-a(i,e)*a(e,e:n+1); %reducir otras filas
end
end
end
x=a(1:n,n+1); %vector solución
Ejemplo. Desde la ventana de comandos de MATLAB, use la función Gauss-Jordan para
resolver el sistema:
2 3 7 x1 3
−2 5
6 x2 =
5
8 9
x 3 8
4
Escriba en la ventana de comandos de MATLAB
>> a=[2, 3, 7; -2, 5, 6; 8, 9, 4]; Matriz de coeficientes
>> b=[3; 5; 8]; Vector de constantes
>> x=gaussjordan(a,b) Llamada a la función
x=
-0.0556 Solución proporcionada por MATLAB
0.9150
0.0523
>> a*x Verificar la solución
ans =
3.0000 La solución satisface al sistema
5.0000
8.0000
Cuando se dispone de la instrumentación computacional de un algoritmo, se puede obtener
experimentalmente su eficiencia registrando, para diferentes valores de n, el tiempo de ejecución
del algoritmo. Este tiempo depende de la velocidad del procesador del dispositivo computacional,
pero es proporcional a T(n).
MATLAB dispone de las funciones tic, toc para registrar tiempo de ejecución, mientras que para
las pruebas se pueden generar matrices y vectores con números aleatorios. Se presentan
algunos resultados con obtenidos con un procesador intel core i5 y la versión 7.01 de MATLAB:
n=100, t=0.0781 seg.
n=200, t=0.3859 seg.
n=300, t=1.0336 seg.
n=400, t=2.0758 seg.
Se observa que T(n) tiene crecimiento tipo potencial
9. 65
4.2.4 Obtención de la inversa de una matriz
Para encontrar la matriz inversa se puede usar el método de Gauss-Jordan.
Sea A una matriz cuadrada cuyo determinante es diferente de cero.
Sean t 1 ,t 2 , . . . ,t m−1 ,t m las transformaciones lineales del método de Gauss-Jordan que
transforman la matriz A en la matriz identidad I incluyendo intercambios de filas
t m t m-1 . . . t 2 t 1 A = I
Entonces se puede escribir
t m t m-1 . . . t 2 t 1 A −1 A = A −1 I ⇒ t m t m-1 . . . t 2 t 1 I = A −1
Lo cual significa que las mismas transformaciones que convierten A en la matriz I, convertirán
la matriz I en la matriz A −1 .
−1
Para aplicar este algoritmo, suponiendo que se desea conocer la matriz A , se debe aumentar
la matriz anterior con la matriz I: A | B | I
Las transformaciones aplicadas simultáneamente proporcionarán finalmente el vector solución X
y la matriz identidad A −1
Ejemplo. Con el Método de Gauss-Jordan resuelva el sistema de ecuaciones siguiente y
simultáneamente obtenga la matriz inversa:
4x1 + 2x 2 + 5x 3 =
18.00
2x1 + 5x 2 + 8x 3 =
27.30
2x1 + 4x 2 + 3x 3 =
16.20
Solución. La matriz aumentada es:
4 2 5 18.00 1 0 0
A | B = 2 5 8
27.30 0 1 1
2 4 3
16.20 0 0 1
Cálculos
Normalizar fila 1 y reducir filas 2 y 3
1.0000 0.5000 1.2500 4.5000 0.2500 0 0
0 4.0000 5.5000 18.3000 -0.5000 1.0000 0
0 3.0000 0.5000 7.2000 -0.5000 0 1.0000