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Álgebra Lineal de Luis F. Moreno S.

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Luis Fernando Moreno Suárez

Surge este texto por la necesidad detectada en los estudiantes de pregrado de ingeniería de disponer de una herramienta básica provechosa para seguir un curso introductorio de Álgebra Lineal en el aula de clase. Se explican los temas de Matrices, Sistemas lineales, Determinantes, Transformaciones lineales, Vectores en R^n, Rn como espacio vectorial y, por último, Valores y vectores propios. Se ofrecen ejemplos prácticos y teóricos; y se proponen ejercicios a medida que los conceptos teóricos surgen, buena parte con sus respuestas; siempre partiendo de lo simple a lo medianamente complejo; y en algunos casos estimulando la creatividad. Se recomienda al profesor explicar solo algunos ejemplos y ejercicios, y realizar y proponer los propios en el aula de clase. Además, se incluyen algunas demostraciones sencillas para aquellos estudiantes que deseen trascender de los ejercicios operativos a lo abstracto. Queda a juicio del profesor profundizar en las demostraciones. El seguimiento de estas notas en el aula de clase (física o virtual) ahorrará tiempo al docente, pues no requerirá escribir los conceptos, y podrá aprovechar este tiempo en la explicación de nuevos ejemplos que él considere pertinentes. Además, el estudiante evitará estudiar de errores que se cometen al tomar nota en clase y de errores casuales del mismo docente. Agradecimientos a mis alumnos, pues fueron la semilla que dio origen a estos escritos. En un futuro se espera enriquecer el tipo de ejemplos, que tanto ayudan al alumno y facilitan la labor al docente; tambiién se planea emplear software matemático en la solución de problemas; y desarrollar una herramienta interactiva en la que el estudiante se ejercite y las instituciones educativas puedan hacer seguimiento al desarrollo de sus educandos.

Ciencias
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Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal Septiembre 05 de 2016 ´Ultima versi´on en http://textodealgebralineal.blogspot.com.co/ Luis F. Moreno S. Antioquia–Colombia
ii Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Autor Luis F. Moreno S. Mag´ıster en Matem´aticas Aplicadas Docente Edici´on y diagramaci´on: Jos´e Luis Moreno Avenda˜no y Luis F. Moreno S. Correcci´on de estilo: Luis F. Moreno S. Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal Realizado en Antioquia–Colombia Agosto de 2017
´Indice general Pr´ologo v Introducci´on vii Preliminares ix 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Multiplicaci´on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Propiedades de las operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 Determinantes 65 2.1 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2 Determinantes por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.4 Uso de determinantes para calcular ´areas en R2 . . . . . . . . . . 91 3 Vectores en Rn 95 3.1 Vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2 Vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3 Aplicaciones de vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
iv Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016
Pr´ologo Surge este texto por la necesidad detectada en los estudiantes de pregrado de ingenier´ıa de disponer de una herramienta b´asica provechosa para seguir un curso introductorio de ´Algebra Lineal en el aula de clase. Se explican los temas de Matrices, Sistemas lineales, Determinantes, Trans- formaciones lineales, Vectores en Rn, Rn como espacio vectorial y, por ´ultimo, Valores y vectores propios. Se ofrecen ejemplos pr´acticos y te´oricos; y se propo- nen ejercicios a medida que los conceptos te´oricos surgen, buena parte con sus respuestas; siempre partiendo de lo simple a lo medianamente complejo; y en algunos casos estimulando la creatividad. Se recomienda al profesor explicar solo algunos ejemplos y ejercicios, y realizar y proponer los propios en el aula de clase. Adem´as, se incluyen algunas demostraciones sencillas para aquellos estudiantes que deseen trascender de los ejercicios operativos a lo abstracto. Queda a juicio del profesor profundizar en las demostraciones. El seguimiento de estas notas en el aula de clase (f´ısica o virtual) ahorrar´a tiempo al docente, pues no requerir´a escribir los conceptos, y podr´a aprovechar este tiempo en la explicaci´on de nuevos ejemplos que ´el considere pertinentes. Adem´as, el estudiante evitar´a estudiar de errores que se cometen al tomar nota en clase y de errores casuales del mismo docente. Agradecimientos a mis alumnos, pues fueron la semilla que dio origen a estos escritos. En un futuro se espera enriquecer el tipo de ejemplos, que tanto ayudan al alumno y facilitan la labor al docente; tambi´en se planea emplear software ma- tem´atico en la soluci´on de problemas; y desarrollar una herramienta interactiva en la que el estudiante se ejercite y las instituciones educativas puedan hacer seguimiento al desarrollo de sus educandos.
vi Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016
Introducci´on Se sabe hasta ahora que los or´ıgenes del ´algebra lineal se remontan a los babi- lonios en el siglo XXI antes de Cristo. Un ejemplo es el escrito en una de las famosas tablillas de Croquetta: Existen dos campos cuyas ´areas suman 1800 yardas1 cuadradas. Uno produce granos en raz´on de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en raz´on de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producci´on total es de 1100 sacos, ¿cu´al es el tama˜no de cada campo? Se conoce tambi´en el papiro Rhind, del a˜no 1650 antes de cristo, del sacerdo- te egipcio ´Ahmes, donde se consideran ecuaciones de primer grado. Luego, los matem´aticos chinos, durante los siglos III y IV antes de cristo, continuaron la tradici´on de los babilonios con los primeros m´etodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, el m´etodo para la soluci´on de problemas lineales, que es conocido co- mo la regla fan-chen, que trascendi´o en lo que hoy es conocido como el m´etodo de eliminaci´on gaussiana. Luego vendr´ıan los aportes de los isl´amicos y de los europeos. Actualmente, el ´algebra lineal estudia, entre otros, conceptos tales como: matrices, sistemas de ecuaciones lineales, determinantes, vectores, espacios vec- toriales, y valores y vectores propios. Estos conceptos tienen conexiones con ´areas pr´acticas y te´oricas como: las ingenier´ıas, econom´ıa, f´ısica, astronom´ıa, gr´aficas por computador, an´alisis funcional, ecuaciones diferenciales e investigaci´on de operaciones, entre otros. Nos proponemos en las pr´oximas l´ıneas entender los conceptos b´asicos de estos temas mediante sencillos ejemplos y ejercicios operativos, pr´acticos y abs- tractos. 1 Medida de longitud del sistema ingl´es que equivale a 91,4 cent´ımetros
viii Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016
Preliminares Acerca de las pruebas matem´aticas Comenzar´e la explicaci´on de lo que es una prueba mediante una analog´ıa y asumiendo que usted no sabe algo acerca de estas: suponga que deseamos fabricar una mesa sencilla. Para ello requeriremos de materiales (madera, pegamento, clavos . . . ) y herramientas (martillo, serrucho, metro, . . . ). Llamaremos a los materiales y herramientas nuestra hip´otesis; y a nuestro objetivo, construir la mesa, la tesis. Sabemos que para lograr la tesis hay una serie de pasos (comprar la madera, transportarla, tomar medidas, cortar, untar pegamento, ensamblar, etc´etera). A esta serie de pasos le llamaremos procedimiento. Pues bien, una prueba matem´atica consta de esos tres elementos: una hip´otesis, una tesis y un procedimiento que partiendo de la hip´otesis alcanza la tesis. Por supuesto, el procedimiento puede tener variaciones; no todos fabricar´ıamos una mesa de igual forma, aunque tuvi´eramos los mismos materiales y herramientas. Los procesos pueden ser diferentes: dependen de nuestros conocimientos, gustos y objetivos. Y as´ı son los procedimientos en las pruebas: variados. Hay diferentes formas de realizar pruebas, las cuales iremos observando. Veamos ahora algo m´as formal: Una prueba matem´atica es un argumento convincente acerca de la precisi´on de una afirmaci´on. Dicho argumento debe contener los suficientes detalles para convencer a la audiencia de la veracidad o falsedad de tal afirmaci´on. Una afirmaci´on puede ser algo sencillo como 8÷2 = 4, la cual es verdadera o 12×5 = 57, la cual es falsa. Pero una m´as compleja podr´ıa ser: si ax2 +bx+c = 0 con a = 0, entonces x = −b ± √ b2 − 4ac 2a . Para este caso, la hip´otesis, es decir, la herramienta y materiales con los que vamos a trabajar, es ax2 +bx+c = 0 con a = 0 y la tesis, lo que vamos a probar, es x = −b± √ b2−4ac 2a , donde la prueba ser´ıa
x Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sea ax2 + bx + c = 0 y a = 0, por hip´otesis 2 x2 + b a x + c a = 0, dividiendo por a 3 x2 + b a x = −c a, sumando −c a a ambos lados 4 x2 + b a x + b 2a 2 = b 2a 2 − c a, sumando b 2a 2 5 x + b 2a 2 = b2−4ac 4a2 , el lado izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto 6 x + b 2a = ± √ b2−4ac 2a , obteniendo ra´ız cuadrada 7 x = −b± √ b2−4ac 2a , sumando − b 2a a ambos lados. Luego, por 7 , queda demostrado. Observe que la anterior prueba est´a dividida en tres columnas y varias l´ıneas que corresponden cada una a un paso de la prueba. La primera columna indica el n´umero de cada paso, la segunda es el paso propiamente dicho, y la tercera corresponde a la raz´on de el porque se dio ese paso. El anterior conjunto de pasos no es la ´unica forma de probar una afirmaci´on; por lo general, los matem´aticos prueban en prosa. El autor prefiere utilizar el anterior m´etodo debido a que facilita el orden y, por su experiencia, considera que es m´as f´acil de entender para los estudiantes. Cuando hemos probado una afirmaci´on le llamamos proposici´on o teorema. Un corolario es una consecuencia de una proposici´on o teorema tan evidente que no necesita demostraci´on. Existen diferentes t´ecnicas para probar las afirmaciones, las cuales iremos aprendiendo, pero para prevenir algunos errores frecuentes tenga en cuenta lo siguiente: 1. Un ejemplo no es una prueba. Es solo una verificaci´on. 2. Nunca asuma hip´otesis que no han sido dadas en la afirmaci´on.
Unidad 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales El objetivo de esta unidad es conocer el concepto de matriz, sus operaciones y propiedades, con la finalidad de representar y resolver algunos problemas pr´acti- cos en ingenier´ıa, matem´aticas y administraci´on, empleando el m´etodo de Gauss- Jordan o la inversa de una matriz. Inicialmente veremos las definiciones necesa- rias con sus respectivos ejemplos. 1.1 Matrices Definici´on 1 (Matriz). Una matriz, denotada por una letra may´uscula, es un arreglo rectangular de elementos; elementos que para nosotros ser´an n´umeros reales1 (R). Por ejemplo, A = 3 1 2 −2 4 5 , es una matriz de dos filas y tres columnas. La fila uno (f1) est´a constituida por los elementos 3, 1 y 2, y la fila dos (f2) por −2, 4 y 5. La columna uno (c1) est´a constituida por los elementos 3 y −2, la columna dos (c2) est´a constituida por 1 Lo expresado en este texto tambi´en es v´alido para n´umeros complejos
2 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 los elementos 1 y 4 y la columna tres (c3) est´a constituida por los elementos 2 y 5. En general, una matriz de m filas y n columnas la escribiremos como Am×n o A ∈ Mm×n, que en forma matricial es A =        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn        , donde la fila i es fi = ai1 ai2 · · · ain para i = 1, . . . , m ; y la columna j es cj =        a1j a2j ... amj        para j = 1, . . . , n . Por ejemplo: A2×3 es la matriz A de dos filas y tres columnas y B4×5 es la matriz B de cuatro filas y cinco columnas. Diremos que Am×n es una matriz de tama˜no m × n. Al elemento de la i–´esima fila y la j–´esima columna, de la matriz Am×n, lo denotaremos como aij, por ejemplo, en la matriz A3×2, donde A =     0 1 2 −2 3 4     , los elementos son a11 = 0, a12 = 1, a21 = 2, a22 = −2, a31 = 3 y a32 = 4. En algunas ocasiones nos referiremos a una matriz Am×n como [aij]. Nota. La notaci´on i = 1, . . . , m quiere decir que i toma valores desde uno hasta m enteros. Ejemplo 1 (Notas de clase). Suponga que para el curso de ´algebra lineal hay matriculados siete alumnos al final del semestre: Mar´ıa, Pedro, M´onica, Luis,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 3 Ana, John, y Camila. Podemos organizar las notas de sus tres parciales P1, P2 y P3, del 25 % cada uno, y seguimiento S, del 25 %, en una matriz B de la forma P1 P2 P3 S B =               4,5 3,5 4,0 4,5 3,0 3,5 2,0 4,0 5,0 3,0 2,0 1,0 1,5 3,5 4,0 4,0 3,5 3,0 3,0 5,0 4,0 3,0 2,0 3,0 5,0 5,0 5,0 5,0               Mar´ıa Pedro M´onica Luis Ana John Camila. Entonces, cada bij indica la nota del alumno i en el parcial j o seguimiento. Por ejemplo, b32 = 3,0 indica la nota obtenida por M´onica en el parcial 2. Ejercicio 1. Calcule la nota promedio de cada estudiante. Puede hacerlo ma- nualmente, con una hoja de c´alculo o mediante programaci´on con dos for, uno dentro del otro. Ejercicio 2. Construya una matriz N en la que represente las asignaturas que curs´o el semetre anterior versus las diversas notas obtenidas durante el semetre. Asuma igual cantidad de notas por cada asignatura. Calcule la nota promedio de cada materia en la forma que lo desee. Ejemplo 2 (Producci´on). Para la elaboraci´on de plastilina se requiere dos com- puestos principalmente: sales de calcio y vaselina. Una empresa produce dos tipos de plastilina: fina y suave. Para la elaboraci´on de una barra de plastilina fina se requiere dos gramos de sales de calcio y tres de vaselina; y para la de una suave se requieren cuatro de sales de calcio y dos de vaselina. Si la ganancia por cada barra de plastilina fina es de $5 y la de suave es de $8 y, adem´as, la disponibilidad diaria de sales de calcio es de 50 gramos y de vaselina es de 35 gramos, ¿cu´antas barras de plastilina fina y cu´antas de plastilina suave se deben producir para maximizar la ganancia? El anterior es un problema de programaci´on lineal en el que se emplean matrices para resolverlo. Si x1 es la cantidad de barras de plastilina fina a producir y x2 es la cantidad de barras de plastilina suave a producir, entonces se debe maximizar la ecuaci´on z = 5x1 + 8x2, que es la ganancia, sujeta a: 2x1 + 4x2 50
4 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3x1 + 2x2 35 . Las anteriores inecuaciones son representadas matricialmente en la forma   2 4 ... 50 3 2 ... 35   , y se emplea en la soluci´on del problema. Ejemplo 3 (Grafo). Suponga que tenemos un sistema de comunicaci´on com- puesto por seis nodos como el que se muestra en la figura 1.1. Las flechas indican el sentido de comunicaci´on, por ejemplo: e1 env´ıa mensajes a e2 y viceversa; e1 tambi´en puede enviar mensajes a e5 y a e6, pero ni e5 ni e6 pueden enviar a e1. e5 e4 e3 e1 e2 e6 Figura 1.1: grafo dirigido de un sistema de comunicaci´on La representaci´on matricial de este grafo es e1 e2 e3 e4 e5 e6 C = e1 e2 e3 e4 e5 e6            0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0            ,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 5 donde cada cij indica que el emisor i puede enviar mensajes al receptor j sola- mente si cij = 1, por ejemplo: como c21 = 1, entonces e2 puede enviar mensajes a e1. Ejemplo 4 (Gr´afica). Si tenemos una gr´afica en R2 y deseamos reflejarla al otro lado de la recta y = −x, tal como se ilustra en la figura 1.2, 10 10 -10 -10 Figura 1.2: Tri´angulo a ser reflejado en y = −x habr´ıa que multiplicar la matriz 0 −1 −1 0 , por la matriz 8 −4 2 2 6 10 , que corresponde a los v´ertices del tri´angulo mostrado, para obtener −2 −6 −10 −8 4 −2 , que corresponde a los v´ertices del nuevo tri´angulo. Luego unir´ıa los v´ertices. M´as adelante veremos como es la multiplicaci´on de matrices y usted podr´a verificar dicha operaci´on.
6 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Definici´on 2 (Matrices iguales). Dos matrices Am×n = [aij] y Bm×n = [bij] son iguales si aij = bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, es decir, si el elemento a11 es igual al b11, si el elemento a12 es igual al elemento b12, y as´ı sucesivamente para cada par de elementos. Ejemplo 5. Diremos que las matrices A =     1 3 −2 4 8 2 4 2 1     y B =     1 x + y −2 4 2x + 3y 2 2x + y 2 1     , son iguales si y solo si x + y = 3, 2x + 3y = 8 y 2x + y = 4. Ejercicio 3. De acuerdo a sus conocimientos previos de ´algebra, en el ejemplo 5 determine los valores de x y y tales que A y B sean iguales. Ejercicio 4. ¿Son las matrices A =     1 2 −2 4 5 2 3 2 1     y B =     1 2 4 5 3 2     , iguales? Justifique su respuesta. Respuesta: no son iguales puesto que para comparar si dos matrices son iguales, estas deben tener igual tama˜no. Para el presente caso, el tama˜no de A es tres por tres y el tama˜no de B es tres por dos. Definici´on 3 (Matriz cuadrada). Una matriz Am×n es cuadrada si m = n, es decir, si el n´umero de filas es igual al n´umero de columnas. Ejemplo 6. La matriz A4×4 es cuadrada A =       3 4 0 5 7 5 2 −7 8 −2 1 0 −1 3 4 0       , pues tiene cuatro filas y cuatro columnas.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 7 En una matriz, A = [aij], los elementos a11, a22, . . . , ann conforman la dia- gonal principal. En la matriz A4×4, del ejemplo 6, la diagonal principal est´a conformada por los elementos: a11 = 3, a22 = 5, a33 = 1 y a44 = 0. Ejercicio 5. Construya una matriz A4×4, una B3×3, otra C2×2 y, por ´ultimo, una D1×1. Ejercicio 6. Identifique y escriba los elementos de la diagonal principal de cada una de las matrices del ejercicio 5. Definici´on 4 (Matriz diagonal). Una matriz cuadrada donde los elementos por fuera de la diagonal principal son ceros es llamada una matriz diagonal, es decir, dada An×n = [aij], si aij = 0 para todo (∀) i = j, con i, j = 1, . . . , n, entonces An×n es diagonal. Ejemplo 7. A, B y C son matrices diagonales A = 5 0 0 −2 , B =     3 0 0 0 3 0 0 0 3     , C =     7 0 0 0 0 0 0 0 0     . Ejercicio 7. ¿Es la matriz     0 0 0 0 0 0 0 0 0     diagonal? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente. Respuesta: s´ı es diagonal porque los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son todos ceros, es decir, si llamamos O = [oij] a la matriz, entonces podemos escibir o21 = o31 = o32 = o12 = o13 = o23 = 0, lo cual implica que O es una matriz diagonal. Definici´on 5 (Matriz escalar). Una matriz escalar es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales, es decir, An×n = [aij] es escalar si: 1. aij = 0 ∀ i = j. 2. aij = c ∀ i = j.
8 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 8. Las matrices A, B y C dadas a continuaci´on son escalares. A = −3 0 0 −3 , B =     4 0 0 0 4 0 0 0 4     y C =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     . Ejercicio 8. Construya una matriz escalar A2×2, otra B3×3 y una C4×4. Ejercicio 9. ¿Es la matriz     0 0 0 0 0 0 0 0 0     escalar? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente. Definici´on 6 (Matriz identidad). Una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos unos es llamada matriz identidad, es decir, An×n = [aij] es identidad si: 1. aij = 0 ∀ i = j. 2. aij = 1 ∀ i = j. Emplearemos la notaci´on In para representar a la matriz identidad de tama˜no n × n. Ejemplo 9. Son matrices identidad I2 = 1 0 0 1 , I3 =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     , I4 =       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       . Ejercicio 10. Construya I5 e I6. Ejercicio 11. ¿Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros por fuera de ella es una matriz identidad? Justifique su respuesta. Definici´on 7 (Suma de matrices). Dadas las matrices Am×n = [aij] y Bm×n = [bij] definimos su suma como A + B = C = [cij] donde cada cij = aij + bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 9 Ejemplo 10. Dadas las matrices A =     4 2 −2 1 5 2 3 −2 1     y B =     −4 2 0 4 −5 0 3 2 5     , su suma es A + B =     4 2 −2 1 5 2 3 −2 1     +     −4 2 0 4 −5 0 3 2 5     =     4 + (−4) 2 + 2 (−2) + 0 1 + 4 5 + (−5) 2 + 0 3 + 3 (−2) + 2 1 + 5     =     0 4 −2 5 0 2 6 0 6     . Ejercicio 12. Determinar A + B, si A =     5 2 −2 3 3 −5 12 −1 11 2 0 5     y B =     −1 2 −7 3 4 5 −2 2 2 −5 3 −4     . Ejercicio 13. Las matrices A = 5 2 −2 4 −5 2 y B =     −1 2 4 5 25 4     no pueden ser sumadas. ¿Por qu´e? Teorema 1 (Suma de matrices diagonales). La suma de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. Nota. Para probar un teorema debemos identificar claramente la(s) hip´otesis y la tesis. En este caso la hip´otesis consiste en dos matrices diagonales de igual dimensi´on y la tesis, es decir, lo que hay que probar, es que su suma es una matriz diagonal.
10 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sean An×n = [aij] y Bn×n = [bij], matrices diagonales hip´otesis Para i, j = 1, . . . , n se tiene 2 aij = 0 para i = j, definici´on de matriz diagonal en 1 3 bij = 0 para i = j, definici´on de matriz diagonal en 1 4 Sea A + B = C = [cij], suma de matrices 5 cij = aij + bij, definici´on de suma de matrices en 4 6 cij = 0 para i = j, por 2 y 3 en 5 . Luego, por 6 , C es diagonal por definici´on de matriz diagonal. Ejercicio 14. Para verificar el teorema 1, invente dos matrices diagonales y s´umelas. Ejercicio 15. Probar que la suma de dos matrices escalares es una matriz escalar. Ejercicio 16. Para verificar las pruebas realizadas en el ejercicio 15, invente dos matrices escalares de tama˜no seis por seis y s´umelas. Nota. Si se le dificulta realizar el ejercicio 15, primero realice al menos tres veces el ejercicio 16. Tenga en cuenta la diferencia entre verificar y probar un teorema. Definici´on 8 (Multiplicaci´on de un escalar por una matriz). Dados c ∈ R, un escalar, y Am×n = [aij], definimos la multiplicaci´on de un escalar por una matriz como cA = B = [bij] donde cada bij = caij , es decir, para multiplicar un escalar por una matriz, simplemente multiplicamos el escalar por cada entrada de la matriz. Ejemplo 11. Sean c = −3 y A =     2 3 4 1 −2 0     ,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 11 entonces cA = (−3)     2 3 4 1 −2 0     =     −3 × 2 −3 × 3 −3 × 4 −3 × 1 −3 × (−2) −3 × 0     =     −6 −9 −12 −3 6 0     . Ejercicio 17. Si c = 5 y B = −3 2 6 −1 2 5 −2 −4 , entonces cB =? Ejercicio 18. Si c = −1, d = 4, A = −2 5 −1 2 −3 4 y B = 0 −1 4 2 3 1 , entonces cA + dB = 2 −9 17 6 15 0 . Verif´ıquelo. Definici´on 9 (Diferencia de matrices). Dadas las matrices Am×n = [aij] y Bm×n = [bij] definimos su diferencia (tambi´en llamada resta) como A+(−1)B = A − B = C = [cij] donde cada cij = aij − bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
12 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 12. Dadas las matrices A =     −1 2 0 4 5 2 −3 2 4     y B =     −3 2 2 4 −5 0 −1 2 −3     , su diferencia es A − B =     −1 2 0 4 5 2 −3 2 4     −     −3 2 2 4 −5 0 −1 2 −3     =     −1 − (−3) 2 − 2 0 − 2 4 − 4 5 − (−5) 2 − 0 −3 − (−1) 2 − 2 4 − (−3)     =     2 0 −2 0 10 2 −2 0 7     . Ejercicio 19. 1. Probar que la resta de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. 2. Probar que la resta de dos matrices escalares es una matriz escalar. Ejercicio 20. Para verificar las pruebas realizadas en el ejercicio 19, invente dos matrices diagonales de tama˜no seis por seis y r´estelas. Tambi´en invente dos matrices escalares de tama˜no seis por seis y r´estelas. Si se le dificulta realizar el ejercicio 19, primero realice al menos tres veces el ejercicio 20. Definici´on 10 (Transpuesta de una matriz). Dada la matriz Am×n = [aij], entonces su transpuesta es AT = [aji] donde cada aT ij = aji para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, es decir, la transpuesta de una matriz es aquella que se obtiene al convertir las filas en columnas. Ejemplo 13. Sea A = 1 0 3 7 2 4 −2 5 ,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 13 entonces AT =       1 2 0 4 3 −2 7 5       . Ejercicio 21. Si B =       −3 4 4 3 0 −2 4 7       , determine su transpuesta. Ejercicio 22. Construya cinco matrices de diferentes tama˜nos y determine la transpuesta de cada una. Ejemplo 14 (Resta de matrices y multiplicaci´on por un escalar). Dados A = 3 −2 1 2 0 5 , B =     −5 2 0 1 1 4    , c = −1 y d = 3; encontrar c dA − BT . Soluci´on. c dA − BT = −1 3 3 −2 1 2 0 5 − −5 0 1 2 1 4 = −1 3 × 3 3 × (−2) 3 × 1 3 × 2 3 × 0 3 × 5 − −5 0 1 2 1 4 = −1 9 −6 3 6 0 15 − −5 0 1 2 1 4 = −1 9 − (−5) −6 − 0 3 − 1 6 − 2 0 − 1 15 − 4 = −1 14 −6 2 4 −1 11
14 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 = (−1) × 14 (−1) × (−6) (−1) × 2 (−1) × 4 (−1) × (−1) (−1) × 11 = −14 6 −2 −4 1 −11 . Ejercicio 23. Dados A = 4 2 1 4 5 −8 , B =     5 2 −2 0 1 −3    , c = 2 y d = −3; encontrar c dA + BT . Definici´on 11 (Matriz sim´etrica). Una matriz A es sim´etrica si es igual a su transpuesta, es decir, si A = AT . Ejemplo 15. La matriz B =       −3 5 −1 −4 5 −8 4 7 −1 4 0 −1 −4 7 −1 6       es sim´etrica, pues B = BT . Se puede observar que cada aij = aji. Ejercicio 24. ¿Es la matriz A =     1 2 −1 2 3 4 −1 4 0     sim´etrica? Justifique su respuesta. Ejercicio 25. Construya tres matrices sim´etricas. Ejercicio 26. Para que una matriz sea sim´etrica, ¿cu´al o cu´ales de las defini- ciones vistas hasta el momento debe cumplir? Justifique su respuesta. Definici´on 12 (Matriz antisim´etrica). Una matriz A es antisim´etrica si AT = −A.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 15 Ejemplo 16. La matriz A =     0 −1 −3 1 0 −4 3 4 0     es antisim´etrica, pues AT = −A. Verif´ıquelo. Ejercicio 27. Construya tres matrices antisim´etricas. Ejercicio 28. Para que una matriz sea antisim´etrica, ¿cu´al o cu´ales de las defi- niciones vistas hasta el momento debe cumplir? Justifique su respuesta. Definici´on 13 (Triangular superior). Una matriz An×n = [aij] es triangular superior (△S) si aij = 0 ∀ i > j, es decir, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo 17. Las matrices A, B y C son △S: A =     1 3 0 0 2 −2 0 0 −5     , B =       −3 2 1 4 0 0 0 0 0 0 2 7 0 0 0 5       , C =          c11 c12 · · · · · · c1n 0 c22 · · · · · · c2n 0 0 c33 · · · c3n ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 cnn          . Ejercicio 29. Construya tres matrices que sean △S. Ejercicio 30. ¿Es la matriz O =     0 0 0 0 0 0 0 0 0     . △S? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente. Teorema 2 (Suma de matrices triangulares superiores). La suma de dos matri- ces △S es una matriz △S.
16 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sean An×n = [aij] y Bn×n = [bij] △S, hip´otesis Para i, j = 1, . . . , n se tiene 2 aij = 0 para i > j, definici´on de △S en 1 3 bij = 0 para i > j, definici´on de △S en 1 4 Sea A + B = C = [cij], suma de matrices 5 cij = aij + bij, por definici´on de suma de matrices 6 cij = 0 para i > j, por 2 y 3 en 5 . Luego, por 6 , C es △S por definici´on de matriz △S. Ejercicio 31. Para verificar el teorema 2, invente dos matrices △S y s´umelas. Ejercicio 32. Probar que la resta de dos matrices △S es una matriz △S. Definici´on 14 (Triangular inferior). Una matriz An×n = [aij] es triangular inferior (△I) si aij = 0 ∀ i < j, es decir, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo 18. Las matrices A, B y C son △I A =     5 0 0 −2 2 0 3 7 4     , B =       4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1       , C =           c11 0 · · · · · · 0 c12 c22 · · · · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 cn1 cn2 · · · · · · cnn           . Observe que B tambi´en es △S. Ejercicio 33. Construya tres matrices que sean △I. Ejercicio 34. ¿Es la matriz O =     0 0 0 0 0 0 0 0 0     △I? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 17 Ejercicio 35. ¿Es On×n =           0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · · · · 0           △I, es △S? Justifique sus respuestas verbal y matem´aticamente. Ejercicio 36. 1. Probar que la suma de dos matrices △I es una matriz △I. 2. Probar que la resta de dos matrices △I es una matriz △I. Ejercicio 37. Para verificar las pruebas realizadas en el ejercicio 36, invente dos matrices △S de tama˜no cinco por cinco. S´umelas y luego r´estelas. Si se le dificulta realizar el ejercicio 36, primero realice al menos tres veces el ejercicio 37. Teorema 3 (Matriz diagonal). Si una matriz es al mismo tiempo △S y △I, entonces es una matriz diagonal. Prueba. 1 Sea A = [aij] △S y △I, hip´otesis Para i, j = 1, . . . , n se tiene 2 aij = 0 para i > j, por A ser △S 3 aij = 0 para i < j, por A ser △I 4 aij = 0 para i = j, por 2 y 3 . Luego, por 4 y definici´on de matriz diagonal, A es diagonal. Ejercicio 38. Invente dos matrices que sean △S y △I al mismo tiempo. S´umelas. El resultado debe ser una matriz diagonal de acuerdo al teorema 3. Ejercicio 39. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique.
18 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 1.2 Multiplicaci´on de matrices La multiplicaci´on de matrices es una operaci´on efectuada entre dos matrices de acuerdo a reglas que aprenderemos en la presente secci´on. Viene dada por un algoritmo de f´acil implementaci´on en un computador. Es muy ´util para la soluci´on de sistemas de ecuaciones de muchas variables. Tiene aplicaciones en el c´alculo num´erico, al igual que poderosas aplicaciones como diversos programas matem´aticos. Actualmente se utiliza mucho en el c´alculo de microarrays y en el ´area de la bioinform´atica. Definici´on 15 (Vector). Por ahora, definiremos vector como una matriz de n filas y una columna. Denotaremos a los vectores con letras min´usculas con una flecha encima, por ejemplo, u = [ui], con i = 1, . . . , n. Ejemplo 19. Son vectores u =       5 3 −1 0       , v = 7 4 , w =     1 −3 −7     . Ejercicio 40. Escriba 10 vectores de diferentes tama˜nos. Definici´on 16 (Producto escalar). Dados dos vectores u =        u1 u2 ... un        y v =        v1 v2 ... vn        , definimos su producto escalar como u·v = u1v1 +u2v2 +· · · +unvn = n i=1 uivi, es decir, para encontrar el producto escalar entre dos vectores, estos deben ser de igual tama˜no y el resultado es un escalar que se obtiene al sumar los resultados de las multiplicaciones efectuadas componente a componente. Ejemplo 20. Sean los vectores u =       4 −3 −1 7       y v =       1 0 −2 1       ,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 19 entonces su producto escalar es u·v = 4×1+(−3)×0+(−1)×(−2)+7×1 = 13. Ejercicio 41. Encontrar el producto escalar de u =       2 5 −1 3       y v =       4 −2 −2 3       . Respuesta: 9. Ejercicio 42. Construya tres pares de vectores y encuentre el producto escalar de cada par. Teorema 4 (Algunas propiedades del producto escalar). Dados a, b y c, n- vectores, y k un escalar, entonces: 1. a · b = b · a (conmutatividad). 2. (a + b) · c = a · c + b · c (distributividad). 3. (ka) · b = a · (kb) = k(a · b) (asociatividad). 4. a · a 0 (positividad). 5. a · a = 0 si y solo si a = 0. 6. a · 0 = 0. Prueba de 1. 1 Sean a = [ai] y b = [bi] n-vectores, hip´otesis 2 a · b = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn, definici´on de producto escalar 3 = b1a1 + b2a2 + · · · + bnan, conmutatividad en R 4 = b · a, definici´on de producto escalar. Luego a · b = b · a por 2 a 4 . Ejemplo 21. Dados los vectores a =       4 −3 1 0       y b =       1 −1 −2 1       ,
20 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 entonces a · b = 4 × 1 + (−3) × (−1) + 1 × (−2) + 0 × 1 = 5 y b · a = 1 × 4 + (−1) × (−3) + (−2) × 1 + 1 × 0 = 5 , por lo tanto se verifica que a · b = b · a. Ejercicio 43. Para cada par de vectores de los que invent´o en el ejercicio 42, verifique la parte 1 del teorema 4. Prueba de 2. 1 Sean a = [ai], b = [bi] y c = [ci] n-vectores, hip´otesis 2 (a + b) · c = (a1 + b1)c1 + (a2 + b2)c2 + · · · + por suma de vectores (an + bn)cn, y producto escalar 3 = a1c1 + b1c1 + a2c2 + b2c2 + · · · + ancn + bncn, distributividad en R 4 = (a1c1 + a2c2 + · · · + ancn)+ (b1c1 + b2c2 + · · · + bncn), conmutatividad en R 5 = a · c + b · c, producto escalar. Luego (a + b) · c = a · c + b · c por 2 a 5 . Ejemplo 22. Dados los vectores a =       4 −3 1 0       , b =       1 −1 −2 1       y c =       −1 2 3 −1       , entonces (a + b) · c =             4 −3 1 0       +       1 −1 −2 1             ·       −1 2 3 −1      
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 21 =       5 −4 −1 1       ·       −1 2 3 −1       = (−5) × 1 + (−4) × 2 + (−1) × 3 + 1 × (−1) = −17 y a · c + b · c =       4 −3 1 0       ·       −1 2 3 −1       +       1 −1 −2 1       ·       −1 2 3 −1       = [4 × (−1) + (−3) × 2 + 1 × 3 + 0 × (−1)]+ [1 × (−1) + (−1) × 2 + (−2) × 3 + 1 × (−1)] = (−7) + (−10) = −17 . Por lo tanto se verifica que (a + b) · c = a · c + b · c. Ejercicio 44. Dados los vectores a =       1 −2 2 3       , b =       3 0 −2 1       y c =       −3 2 1 0       , realizar primero (a + b) · c y luego a · c + b · c. Ejercicio 45. Elaborar la prueba de la parte 3 e inventar un ejercicio que veri- fique este numeral. Ejercicio 46. Elaborar las pruebas de las partes 4,5 y 6 e inventar un ejercicio que verifique cada numeral. Definici´on 17 (Multiplicaci´on de matrices). Sean Am×p = [aik] y Bp×n = [bkj], su producto es AB = Cm×n = [cij] donde cada cij = ai1b1j +ai2b2j +· · ·+aipbpj = p k=1 aikbkj, es decir, cada cij es la multiplicaci´on escalar entre la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda matriz.
22 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Para multiplicar dos matrices lo que primero se debe verificar es que el n´umero de columnas de la primera matriz debe ser igual al n´umero de filas de la segunda matriz; si son iguales, entonces, para hallar la matriz C resultante, cuyo tama˜no es el n´umero de filas de la primera matriz por el n´umero de columnas de la segunda matriz, procedemos de la siguiente forma: 1. El elemento c11 es igual al producto escalar entre la fila 1 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz. 2. El elemento c12 es igual al producto escalar entre la fila 1 de la primera matriz y la columna 2 de la segunda matriz. 3. El elemento c13 es igual al producto escalar entre la fila 1 de la primera matriz y la columna 3 de la segunda matriz. 4. Y as´ı sucesivamente hallamos la primera fila de C. Ahora: 5. El elemento c21 es igual al producto escalar entre la fila 2 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz. 6. El elemento c22 es igual al producto escalar entre la fila 2 de la primera matriz y la columna 2 de la segunda matriz. 7. El elemento c23 es igual al producto escalar entre la fila 2 de la primera matriz y la columna 3 de la segunda matriz. 8. Y as´ı sucesivamente hallamos la segunda fila de C. 9. En forma similar a como hallamos las primeras dos filas, determinamos las siguientes filas. Ejemplo 23. Dadas A2×3 = 1 −3 5 2 2 −1 y B3×2 =     1 2 0 3 1 4     , encontrar AB. Soluci´on. Primero verificamos que la multiplicaci´on se pueda realizar, es decir, que el n´umero de columnas de la primera matriz, A, sea igual al n´umero de filas de la segunda matriz, B: para este caso es tres, luego, s´ı se puede realizar el producto.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 23 La matriz resultante tendr´a tama˜no: n´umero de filas de la primera matriz por n´umero de columnas de la segunda matriz; para este caso es 2 × 2. Luego, AB = 1 −3 5 2 2 −1     1 2 0 3 1 4     = 1 × 1 + (−3) × 0 + 5 × 1 1 × 2 + (−3) × 3 + 5 × 4 2 × 1 + 2 × 0 + (−1) × 1 2 × 2 + 2 × 3 + (−1) × 4 = 6 13 1 6 . Ahora realicemos BA: BA =     1 2 0 3 1 4     1 −3 5 2 2 −1 =     1 × 1 + 2 × 2 1 × (−3) + 2 × 2 1 × 5 + 2 × (−1) 0 × 1 + 3 × 2 0 × (−3) + 3 × 2 0 × 5 + 3 × (−1) 1 × 1 + 4 × 2 1 × (−3) + 4 × 2 1 × 5 + 4 × (−1)     =     5 1 3 6 6 −3 9 5 1     . Se observa claramente que la multiplicaci´on de matrices no es conmutativa. Ejercicio 47. Dadas A =     0 −3 1 3 4 −2 2 0 5     y B =     −1 2 0 3 1 4     , encontrar AB. Respuesta:     1 −5 −5 10 3 24    .
24 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 24. A cualquier matriz Am×n al multiplicarla por la correspondiente matriz identidad se obtiene nuevamente A, es decir, ImAm×n = Am×nIn = A. Por ejemplo: sea A =     5 1 1 0 −5 7     , entonces     1 0 0 0 1 0 0 0 1         5 1 1 0 −5 7     =     5 1 1 0 −5 7     1 0 0 1 =     5 1 1 0 −5 7     . Ejemplo 25 (Suma y multiplicaci´on de matrices). Dadas A =     5 0 1 −3 4 −3 −1 2 −2     , B =     1 0 3 4 −4 1 1 −3 2     y C =     3 1 1 2 0 4     , encontrar (A + B)C. Soluci´on. (A + B)C =         5 0 1 −3 4 −3 −1 2 −2     +     1 0 3 4 −4 1 1 −3 2             3 1 1 2 0 4     =     6 0 4 1 0 −2 0 −1 0         3 1 1 2 0 4     =     6 × 3 + 0 × 1 + 4 × 0 6 × 1 + 0 × 2 + 4 × 4 1 × 3 + 0 × 1 + (−2) × 0 1 × 1 + 0 × 2 + (−2) × 4 0 × 3 + (−1) × 1 + 0 × 0 0 × 1 + (−1) × 2 + 0 × 4     =     18 22 3 −7 −1 −2     .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 25 Ejercicio 48. Dadas A =     1 −2 5 3 4 2 1 3 3     , B =     2 6 −4 4 2 1 5 −3 0     y C =     2 −1 3 0 −4 1     , encontrar (A + B)C. Respuesta:     14 −2 20 −4 0 −3     . Ejemplo 26. La microempresa de manillas Macaos, entre otros, fabrica dos tipos de manillas: la manilla sencilla (ms) y la manilla especial (me). Para cada ms emplea 20 cent´ımetros de hilo (h), un dije (d) y 5 minutos de mano de obra (o); para cada me emplea 30 cent´ımetros de hilo, 2 dijes y 10 minutos de mano de obra. Ambos productos son elaborados en dos lugares diferentes: la ciudad (c) y el pueblo (p). El costo de cada cent´ımetro de hilo en la ciudad es de $10, cada dije $200 y la mano de obra tiene un costo de $50 el minuto. Los costos respectivos en el pueblo son: $15, $250 y $40. La gerente de Macaos desea saber los costos de cada manilla en cada lugar de producci´on. Soluci´on. Si representemos, mediante una matriz las componentes de cada ma- nilla: h d o A = ms me 20 1 5 30 2 10 y mediante otra matriz los costos de cada componente por sucursal c p B = h d o     10 15 200 250 50 40     ,
26 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 entonces, c p A × B = ms me 650 750 1200 1350 . Lo anterior significa que el valor de producci´on de una manilla sencilla en la ciudad es de $650, mientras que en el pueblo es de $750. Y que el valor de producci´on de una manilla especial en la ciudad es de $1200, y en el pueblo es de $1350. Ejemplo 27 (Contacto con una enfermedad contagiosa). Suponga que tres in- dividuos han contra´ıdo una enfermedad. Este grupo entra en contacto con cinco personas de un segundo grupo y algunos de primer grupo contagian a algunos del segundo grupo. Estos contagios, llamados contagios directos, se representan en la matriz A3×5 A =     0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1     , donde aij = 1 si la i-´esima persona del primer grupo contagia a la j-´esima persona del segundo grupo. Por ejemplo, a1,2 = 1 significa que la primera persona del primer grupo contagi´o a la segunda persona del segundo grupo. Ahora suponga que un tercer grupo de cuatro personas tiene varios contactos directos con individuos del segundo grupo y algunos son infectados. Esto es representado mediante la matriz B =          0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1          , donde bij = 1 significa que la i-´esima persona del segundo grupo infect´o a la j-´esima persona del tercer grupo. Por ejemplo, b5,1 = 1 significa que la quinta persona del segundo grupo (infectada) entr´o en contacto con la primera persona del tercer grupo y la infect´o.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 27 Los contagios indirectos o de segundo orden entre individuos del primero y tercer grupos se representan mediante la matriz C = (AB)3×4. Para ver esto, observe que una persona del grupo 3 puede quedar contagiada por alguien del grupo 2, quien a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. Por ejemplo, como a12 = 1 y b23 = 1, entonces la tercera persona del grupo 3 obtuvo contagio (a trav´es de la segunda persona del grupo 2) con la primera persona del grupo 1. El n´umero total de contagios indirectos entre la primera persona del grupo 1 y la tercera persona del grupo 3 est´a dado por c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 + a14b43 + a15b53 = 0 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 0 = 2 . Ahora, la matriz de contagios indirectos es C = AB =     2 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1     − Observe que todas las persona del grupo 3 tienen contagios indirectos con la enfermedad. La tercera persona de este grupo tiene 4 contagios indirectos. Ejercicio 49 (Transmisi´on de datos). En las comunicaciones actuales la trans- misi´on de datos se realiza mediante el env´ıo de grupos de bits, unos y ceros, llamados palabras. A veces, durante las transmisiones ocurren errores, por ejem- plo, el emisor env´ıa la palabra 0100, pero se recibe 0101. Para solucionar el problema existen c´odigos correctores, por ejemplo, para enviar 0100 se env´ıa 0100101. Suponga que el receptor recibe 0101101, entonces, de alguna forma, ´el sabe que hay un error, pues esta ´ultima palabra no hace parte de su acervo. El re- ceptor, mediante alg´un algoritmo, determina que la palabra correcta es 0100101 y, entonces, toma los primeros cuatro bits 0100. Suponga que se desea transmitir palabras de cuatro bits, es decir, las siguien- tes: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 . Encontrar las palabras correspondientes de siete bits que deben ser transmi- tidas para que el receptor determine si la palabra recibida es correcta o no. Para
28 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 ello realice la multiplicaci´on de matrices [x1 x2 x3 x4]       1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1       , donde [x1 x2 x3 x4] es la palabra de cuatro bits a ser transmitida. Nota. Sume en binario m´odulo dos, es decir, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Ejercicio 50. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique. 1.3 Propiedades de las operaciones con matrices Teorema 5 (De la suma). Sean A, B, C matrices de tama˜no m × n, entonces 1. A + B = B + A (conmutatividad). 2. A + (B + C) = (A + B) + C (asociatividad). 3. Existe una ´unica matriz Om×n tal que A + O = O + A = A (matriz nula). 4. Para toda matriz Am×n existe una ´unica matriz Dm×n tal que A + D = O. Tal matriz la escribiremos como −A y la llamaremos la inversa aditiva de A. Entonces A + (−A) = O. Probaremos la asociatividad. Prueba. 1 A = [aij], B = [bij], C = [cij] ∈ Mm×n, hip´otesis 2 A + (B + C) = D = [dij] ∈ Mm×n, suma de matrices Ahora, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n 3 dij = aij + (bij + cij) def. de suma de matrices 4 = (aij + bij) + cij asociatividad en R 5 D = (A + B) + C, de 3 y 4 . Luego, A + (B + C) = (A + B) + C por 2 a 5 .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 29 Ejercicio 51. Pruebe que A + B = B + A. Ejercicio 52. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 5. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Teorema 6 (De la multiplicaci´on). Sean las matrices A, B y C de los tama˜nos apropiados. Entonces: 1. A(BC) = (AB)C (asociatividad). 2. A(B + C) = AB + AC (distributividad a la izquierda). 3. (A + B)C = AC + BC (distributividad a la derecha). Probaremos A(B + C) = AB + AC. Prueba. 1 Sea A = [aij] ∈ Mm×p, hip´otesis 2 B = [bij] y C = [cij] ∈ Mp×n, hip´otesis 3 A(B + C) = D = [dij] ∈ Mm×n, suma y multiplicaci´on de matrices Ahora, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n 4 dij = p k=1 aik(bkj + ckj) definici´on de suma y multiplicaci´on de matrices 5 = p k=1 (aikbkj + aikckj), distributividad en R 6 = p k=1 aikbkj + p k=1 aikckj, propiedad de sumatoria 7 D = AB + AC, definici´on de multiplicaci´on de matrices. Luego A(B + C) = AB + AC, por 3 a 7 . Ejercicio 53 (Distributividad). Probar que (A + B)C = AC + BC. Ejercicio 54. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 6. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Teorema 7 (De la multiplicaci´on por un escalar). Sean r, s escalares y A y B matrices de los tama˜nos adecuados, entonces: 1. r(sA) = (rs)A. 2. (r + s)A = rA + sA.
30 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3. r(A + B) = rA + rB. 4. A(rB) = r(AB) = (rA)B. Probaremos r(A + B) = rA + rB. Prueba. 1 A = [aij], B = [bij] ∈ Mm×n, hip´otesis 2 r es un escalar, hip´otesis 3 r(A + B) = C = [cij] ∈ Mm×n, suma de matrices y multiplicaci´on por un escalar Ahora, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n 4 cij = r(aij + bij), definici´on de suma de matrices y multiplicaci´on por un escalar 5 = raij + rbij, distributividad en R 6 C = rA + rB, por 4 y 5 . Luego, r(A + B) = rA + rB por 3 = 6 . Ejercicio 55 (Distributividad de la suma de dos escalares por una matriz). Probar que (r + s)A = rA + sA. Ejercicio 56. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 7. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Ejercicio 57. Si usted tuviese que realizar un algoritmo en el que hay involu- crada una matriz de 100 millones de entradas y se viese enfrentad@ a realizar la operaci´on r(sA), ¿realizar´ıa esta operaci´on? O aplicar´ıa la primera propiedad del teorema 7, r(sA) = (rs)A, para ejecutar (rs)A. Puede justificar su respuesta sin usar t´erminos matem´aticos. Teorema 8 (De la transpuesta). Sean r un escalar y A y B matrices de los tama˜nos apropiados, entonces 1. AT T = A. 2. (A + B)T = AT + BT . 3. (AB)T = BT AT . 4. (rA)T = rAT .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 31 Ejemplo 28. Dadas A =     4 0 1 −3 5 0 −1 2 −6     y B =     0 2 3 4 −3 1 2 −1 5     , verificar (A + B)T = AT + BT . Soluci´on. Veamos a qu´e es igual (A + B)T . (A + B)T =         4 0 1 −3 5 0 −1 2 −6     +     0 2 3 4 −3 1 2 −1 5         T =         4 2 4 1 2 1 1 1 −1         T =     4 1 1 2 2 1 4 1 −1     . Ahora veamos a qu´e es igual AT + BT . AT + BT =     4 0 1 −3 5 0 −1 2 −6     T +     0 2 3 4 −3 1 2 −1 5     T =     4 −3 −1 0 5 2 1 0 −6     +     0 4 2 2 −3 −1 3 1 5     =     4 1 1 2 2 1 4 1 −1     . Como (A + B)T = AT + BT , entonces hemos verificado la segunda parte del teorema 8.
32 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejercicio 58. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 8. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Ejercicio 59. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique. 1.4 Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales La palabra ecuaci´on proviene del lat´ın aequatio que significa igualdad. Una ecua- ci´on es una igualdad en la que hay algunas cantidades desconocidas; por ejemplo, 3x + 2y = 5 es una ecuaci´on en la que hay dos inc´ognitas: la x y la y llamadas variables. La pregunta es, ¿cu´al par de valores satisface la ecuaci´on? Observe que x = 1 y y = 1 cumplen. ¿Existen otros valores que cumplen esta igualdad? La respuesta es s´ı, de hecho, en este caso, hay infinitos. Una ecuaci´on lineal es aquella ecuaci´on donde todas las variables est´an ele- vadas a la potencia uno. De ecuaciones lineales es sobre lo que hablaremos en este texto. En general, una ecuaci´on lineal, de n inc´ognitas, se escribe como a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b, donde los ai son llamados coeficientes, las xi son las variables y b es el t´ermino independiente. Ahora, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales y se escribe como a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm , donde se indica que hay m ecuaciones y n inc´ognitas. Este sistema de ecuaciones puede ser escrito matricialmente como        a11x1 a12x2 · · · a1nxn a21x1 a22x2 · · · a2nxn ... ... ... am1x1 am2x2 · · · amnxn        =        b1 b2 ... bm        ,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 33        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn               x1 x2 ... xn        =        b1 b2 ... bm        , que en forma abreviada se representa como Ax = b . La matriz A es llamada matriz de coeficientes. Adem´as, al agregar el vector b a la matriz A obtenemos la matriz aumentada A ... b =         a11 a12 · · · a1n ... b1 a21 a22 · · · a2n ... b2 ... ... ... ... ... am1 am2 · · · amn ... bm         . Ejemplo 29. El sistema lineal 7x1 + 4x2 − 3x3 = 8 5x1 − 2x2 + x3 = 4 6x1 − 3x2 + 6x3 = 9 puede ser representado matricialmente como     7 4 −3 5 −2 1 6 −3 6         x1 x2 x3     =     8 4 9     , donde su matriz aumentada es      7 4 −3 ... 8 5 −2 1 ... 4 6 −3 6 ... 9      .
34 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Definici´on 18 (Matriz escalonada reducida). Una matriz Am×n est´a en forma escalonada reducida por filas si cumple las siguientes caracter´ısticas: 1. Si existen filas de ceros (filas nulas), estas se encuentran en la parte inferior de la matriz. 2. En las filas no nulas, el primer n´umero no nulo es un uno. Y, antes de ´el, si hay n´umeros, son ceros. Este uno es llamado uno principal o pivote. 3. Cuando en una fila hay un uno principal, este se encuentra abajo y a la derecha de los otros unos principales superiores. 4. Si una fila contiene un uno principal, entonces los dem´as elementos de la correspondiente columna son ceros. Una matriz Am×n que satisface las tres primeras propiedades es llamada escalo- nada por filas. Ejemplo 30. Las matrices A =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     , B =     1 0 −3 0 1 0 0 0 0     y C =     1 0 0 0 −6 0 0 1 0 7 0 0 0 1 0     est´an en forma escalonada reducida por filas. Las matrices A =     1 0 −4 0 1 0 0 0 1     , B =     1 3 3 0 1 0 0 0 0     y C =     1 0 3 −2 4 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0     est´an en forma escalonada por filas. Nota. Las definiciones y operaciones que se realicen con las filas tambi´en se pueden realizar con las columnas en forma similar. Para simplificar, solo traba- jaremos con filas. Definici´on 19 (Operaciones elementales fila). Son tres las operaciones elemen- tales fila permitidas en las matrices: 1. fi ↔ fj: intercambie las filas i y la j.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 35 2. fi ← cfi: a la fila i as´ıgnele la fila i multiplicada por c, c = 0. 3. fi ← fi + cfj: a la fila i as´ıgnele la fila i m´as c veces la fila j. Ejemplo 31. Mediante operaciones elementales fila, convierta la matriz aumen- tada A ... b =      2 1 1 ... 1 2 −1 1 ... −3 1 1 −1 ... 0      en escalonada reducida. Soluci´on. El objetivo es llevar esta matriz a la forma      1 0 0 ... a 0 1 0 ... b 0 0 1 ... c      , si es posible, o al menos a escalonada. Entonces, por medio de operaciones ele- mentales fila, tenemos: f1 ←→ f3      1 1 −1 ... 0 2 −1 1 ... −3 2 1 1 ... 1      f2 ←− f2 −2f1 f3 ←− f3 −2f1      1 1 −1 ... 0 0 −3 3 ... −3 0 −1 3 ... 1      f2 ←− −1 3 f2      1 1 −1 ... 0 0 1 −1 ... 1 0 −1 3 ... 1      f1 ←− f1 −f2 f3 ←− f3 +f2      1 0 0 ... −1 0 1 −1 ... 1 0 0 2 ... 2      f3 ←− 1 2f3      1 0 0 ... −1 0 1 −1 ... 1 0 0 1 ... 1      f2 ←− f2 + f3      1 0 0 ... −1 0 1 0 ... 2 0 0 1 ... 1      .
36 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Nota. siempre determine un uno principal como pivote y realice las operaciones elementales fila alrededor de ´el. No hacerlo puede generar errores como      1 1 1 ... 3 1 3 1 ... 5 1 4 1 ... 6      f2 ←− f2 −f3 f3 ←− f3 −f2      1 1 1 ... 3 0 −1 0 ... −1 0 1 0 ... 1      ; luego, al sumarle a la fila tres la fila dos (f3 ←− f3 + f2), la fila tres queda nula. Lo que, como veremos m´as adelante, es un error. ¡Atenci´on! No cometa los siguientes errores: 1. Una fila no puede ser multiplicada por cero. 2. A una fila no le reste la misma fila. 3. A una fila no se le puede sumar un escalar. Ejercicio 60. Dada la matriz aumentada      3 2 1 ... 16 2 1 1 ... 11 1 3 2 ... 19      , del ejemplo 2, ll´evela a escalonada reducida mediante operaciones elementales fila. Respuesta.      1 0 0 ... 2 0 1 0 ... 3 0 0 1 ... 4      . Definici´on 20 (Matrices equivalentes). Dos matrices Am×n y Bm×n son equi- valentes si una se puede obtener de la otra por medio de operaciones elementales fila. En el ejemplo 31, la matriz A ... b y las siguientes, obtenidas al ejecutar operaciones elementales fila, son todas equivalentes entre s´ı.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 37 Teorema 9. Toda matriz Am×n es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas. En el ejemplo 31, la matriz A ... b es equivalente por filas a la pen´ultima matriz      1 0 0 ... −1 0 1 −1 ... 1 0 0 1 ... 1      , la cual est´a en forma escalonada. Teorema 10. Toda matriz Am×n es equivalente por filas a una ´unica matriz escalonada reducida por filas. En el ejemplo 31, la matriz A ... b es equivalente por filas a la ´ultima matriz      1 0 0 ... −1 0 1 0 ... 2 0 0 1 ... 1      , la cual est´a en forma escalonada reducida. Adem´as, gracias al teorema 10, po- demos asegurar que esta es la ´unica matriz escalonada reducida equivalente por filas a la matriz A ... b , es decir, no existe otra. Teorema 11. Dados dos sistemas lineales Ax = b y Cx = d, cada uno con m ecuaciones y n inc´ognitas. Si las matrices aumentadas A ...b y C ...d son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen la misma soluci´on. Ejemplo 32. En el ejemplo 31, la matriz aumentada A ... b y la ´ultima matriz aumentada, equivalente por filas, representan dos sistemas lineales diferentes que tienen exactamente la misma soluci´on, es decir,      2 1 1 ... 1 2 −1 1 ... −3 1 1 −1 ... 0      y      1 0 0 ... −1 0 1 0 ... 2 0 0 1 ... 1     
38 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 representan los sistemas lineales 2x1 + x2 + x3 = 1 x1 + 0x2 + 0x3 = −1 2x1 − x2 + x3 = −3 y 0x1 + x2 + 0x3 = 2 x1 + x2 − x3 = 0 0x1 + 0x2 + x3 = 1 , respectivamente; y aunque ambos sistemas lineales son diferentes, tienen la mis- ma soluci´on por sus matrices aumentadas ser equivalentes entre s´ı. El asunto es que del segundo sistema lineal podemos leer directamente la soluci´on, la cual es x =     x1 x2 x3     =     −1 2 1     , que, por tanto, es la soluci´on del primer sistema lineal. Definici´on 21 (Rango de una matriz). El rango de una matriz A es el n´umero de filas no nulas de la matriz escalonada reducida por filas, B, que es equivalente a A. En el ejemplo 31, el rango de A es tres. Hemos visto que un sistema lineal podemos representarlo en forma matricial. Si tomamos la matriz aumentada correspondiente a un sistema lineal y la lleva- mos a su forma escalonada reducida por filas, entonces, de acuerdo al teorema 11, el nuevo sistema, representado por la matriz escalonada reducida por filas, tendr´a exactamente la misma soluci´on que el sistema original. Para solucionar sistemas lineales la idea es tomar su matriz aumentada y llevarla a escalonada reducida. En esta ´ultima es posible leer la soluci´on del sistema directamente. Este m´etodo se denomina reducci´on de Gauss–Jordan. Si la matriz aumentada solo se lleva a escalonada, entonces el m´etodo es denominado eliminaci´on de Gauss. Veamos varios ejemplos. Ejemplo 33 (Gauss–Jordan). Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solu- cionan el sistema x1 + x2 − x3 = −1 2x1 − x2 + x3 = 1 −x1 + 2x2 + x3 = 4 .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 39 Soluci´on. La matriz aumentada correspondiente es      1 1 −1 ... −1 2 −1 1 ... 1 −1 2 1 ... 4      . El objetivo es llevar esta matriz a la forma      1 0 0 ... a 0 1 0 ... b 0 0 1 ... c      , si es posible. Entonces por medio de operaciones elementales fila tenemos f2 ←− f2 −2f1 f3 ←− f3 + f1      1 1 −1 ... −1 0 −3 3 ... 3 0 3 0 ... 3      f2 ←→ f3      1 1 −1 ... −1 0 3 0 ... 3 0 −3 3 ... 3      f2 ←− 1 3 f2 f3 ←− 1 3 f3      1 1 −1 ... −1 0 1 0 ... 1 0 −1 1 ... 1      f1 ←− f1 +f3 f3 ←− f3 +f2      1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 1 0 0 1 ... 2      . Luego, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     0 1 2     . Para verificar el resultado se reemplazan los valores de x1, x2 y x3 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es tres y que el rango de la matriz de coeficientes tambi´en es tres. Ejercicio 61. Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solucionan el sistema x1 − x2 + x3 = 2 2x1 − 3x2 + x3 = −1 2x2 + x3 = 7 . Respuesta.
40 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 x =     x1 x2 x3     =     1 2 3     . Ejemplo 34 (Gauss–Jordan). Encontrar los valores de x1, x2 y x3 que solucio- nan el sistema 3x1 + x2 + 2x3 = 13 x2 − x3 = −5 x1 + x3 = 6 . Soluci´on. Reorganizando el sistema se tiene    3x1 + x2 + 2x3 = 13 0x1 + x2 − x3 = −5 x1 + 0x2 + x3 = 6 . La matriz aumentada es      3 1 2 ... 13 0 1 −1 ... −5 1 0 1 ... 6      . Entonces, por medio de operaciones elementales fila, tenemos f1 ←→ f3      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 3 1 2 ... 13      f3 ←− f3 − 3f1      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 1 −1 ... −5      f3 ←− f3 − f2      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 0 0 ... 0      . ⇒ x1 + x3 = 6 x2 − x3 = −5. ⇒ x1 = 6 − x3 x2 = x3 − 5. Sea x3 = r ∈ R, entonces x1 = 6 − r x2 = r − 5. As´ı     x1 x2 x3     =     6 − r r − 5 r     .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 41 De lo anterior se obtiene que el sistema tiene infinitas soluciones. Para verificar el resultado se reemplazan los valores de x1, x2 y x3 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es dos y que el rango de la matriz de coeficientes tambi´en es dos. Ejercicio 62. Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solucionan el sistema x1 − x2 + x3 = 1 2x1 − 3x2 + x3 = −1 4x1 − 5x2 + 3x3 = 1 . Respuesta. x =     x1 x2 x3     =     4 − 2r 3 − r r     , con r ∈ R. Ejemplo 35 (Gauss–Jordan). Encontrar los valores de x1, x2 y x3 que solucio- nan el sistema 3x1 + x2 + 2x3 = 13 x2 − x3 = −5 x1 + x3 = 10 . Soluci´on. Reorganizando el sistema se tiene    3x1 + x2 + 2x3 = 13 0x1 + x2 − x3 = −5 x1 + 0x2 + x3 = 10 . La matriz aumentada es      3 1 2 ... 13 0 1 −1 ... −5 1 0 1 ... 10      .
42 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Entonces, por medio de operaciones elementales fila, tenemos f1 ←→ f3      1 0 1 ... 10 0 1 −1 ... −5 3 1 2 ... 13      f3 ←− f3 − 3f1      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 1 −1 ... −17      f3 ←− f3 − f2      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 0 0 ... −12      f3 ←− − 1 12 f3      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 0 0 ... 1      f1 ←− f1 −6f3 f2 ←− f2 +5f3      1 0 1 ... 0 0 1 −1 ... 0 0 0 0 ... 1      . De la tercera fila obtenemos que 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1, lo cual es absurdo; luego el sistema no tiene soluci´on. Note que el rango de la matriz aumentada es tres, pero que el rango de la matriz de coeficientes es dos. Ejercicio 63. Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solucionan el sistema x1 − x2 + x3 = 1 2x1 − 3x2 + x3 = −1 4x1 − 5x2 + 3x3 = 3 . Respuesta. Al realizar varias operaciones elementales fila sobre la matriz au- mentada correspondiente, obtenemos que 0x1 +0x2 +0x3 = 2, lo cual es absurdo; luego el sistema no tiene soluci´on. Ejemplo 36 (Gauss–Jordan). Encontrar los valores de x1, x2, x3 y x4 que solucionan el sistema 2x1 − x2 + x3 = −1 4x2 − x3 + x4 = 9 x3 + x1 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 2 .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 43 Soluci´on. Reorganizando el sistema    2x1 − x2 + x3 + 0x4 = −1 0x1 + 4x2 − x3 + x4 = 9 x1 + 0x2 + x3 + 0x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 2 . La matriz aumentada es         2 −1 1 0 ... −1 0 4 −1 1 ... 9 1 0 1 0 ... 0 1 1 1 1 ... 2         . Efectuando operaciones elementales fila para llevar la matriz a escalonada reducida, tenemos f1 ←→ f4 f2 ←→ f3         1 1 1 1 ... 2 1 0 1 0 ... 0 0 4 −1 1 ... 9 2 −1 1 0 ... −1         f2 ←− f2 − f1 f4 ←− f4 −2f1         1 1 1 1 ... 2 0 −1 0 −1 ... −2 0 4 −1 1 ... 9 0 −3 −1 −2 ... −5         f2 ←− −f2 f3 ←− f3 +4f2 f4 ←− f4 −3f2         1 1 1 1 ... 2 0 1 0 1 ... 2 0 0 −1 −3 ... 1 0 0 −1 1 ... 1         f1 ←− f1 − f2 f3 ←− −f3 f4 ←− f4 − f3         1 0 1 0 ... 0 0 1 0 1 ... 2 0 0 1 3 ... −1 0 0 0 4 ... 0         f1 ←− f1 − f3 f4 ←− 1 4f4         1 0 0 −3 ... 1 0 1 0 1 ... 2 0 0 1 3 ... −1 0 0 0 1 ... 0         f1 ←− f1 +3f4 f2 ←− f2 − f4 f3 ←− f3 −3f4         1 0 0 0 ... 1 0 1 0 0 ... 2 0 0 1 0 ... −1 0 0 0 1 ... 0         . Entonces x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1 y x4 = 0 o x =       x1 x2 x3 x4       =       1 2 −1 0       .
44 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Para verificar se reemplazan los valores de x1, x2, x3 y x4 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es cuatro y que el rango de la matriz de coeficientes tambi´en es cuatro. Ejercicio 64 (Gauss–Jordan: circuitos el´ectricos). Un circuito el´ectrico sencillo est´a constituido por bater´ıas ( - + ), resistencias ( ) y cables el´ectricos (—) que los unen. La figura 1.3 ilustra un circuito el´ectrico I1 I2 I3 V: voltios Ω: ohmios I: intensidad - + - + Figura 1.3: circuito el´ectrico Se desea saber cu´ales son las intensidades I1, I2 e I3 (en amperios) que cir- culan por los cables. Para ello, mediante la ley de voltaje y ley de intensidad, ambas de Kirchhoff, se ha determinado que I1, I2 e I3 satisfacen I1 + I2 − I3 = 1 I1 − 2I2 = −1 I2 + 3I3 = 4 . Mediante el m´etodo de Gauss–Jordan, determinar los valores de las tres in- tensidades de corriente. Respuesta. I =     I1 I2 I3     =     1 1 1     . Teorema 12 (Rouch´e-Fr¨obenius). Un sistema de m ecuaciones lineales y n inc´ognitas, Ax = b, tiene soluci´on si y solo si el rango de A es igual al rango de A ... b .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 45 1. Si el rango de A es igual al rango de A ... b y es igual a n, entonces la soluci´on es ´unica. Observe el ejemplo 33. 2. Si el rango de A es igual al rango de A ... b y es menor que n, entonces existen infinitas soluciones. Observe el ejemplo 34. 3. Si el rango de A es diferente del rango de A ... b , entonces el sistema no tiene soluci´on. Observe el ejemplo 35. Ejemplo 37 (Gauss–Jordan). Determinar los valores de ‘a’ y ‘b’ de tal forma que el sistema 2x1 + 2x2 + ax3 = b − 4 x1 + x2 − 2x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 = 0 : 1. No tenga soluci´on. Explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Encontrar las soluciones. 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar alguna soluci´on. Soluci´on. La correspondiente matriz aumentada y la soluci´on, a continuaci´on      2 2 a ... b − 4 1 1 −2 ... 0 1 2 1 ... 0      f1 ←→ f3      1 2 1 ... 0 1 1 −2 ... 0 2 2 a ... b − 4      f2 ← f2 − f1 f3 ← f3−2f1      1 2 1 ... 0 0 −1 −3 ... 0 0 −2 a − 2 ... b − 4      f1 ← f1 + 2f2 f2 ← (−1)f2 f3 ← f3 − 2f2      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 a + 4 ... b − 4      . Entonces: 1. Con a = −4 y b = 4, por ejemplo b = 0, el sistema no tiene soluci´on. 2. Con a = −4 y b = 4 el sistema tiene infinitas soluciones.
46 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3. Con a = −4, por ejemplo, a = 1 y b = −1, el sistema tiene una ´unica soluci´on. Veamos 1. No tenga soluci´on Si a = −4 y b = 0, entonces      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 0 ... −4      f3 ← −1 4 f3      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 0 ... 1      De la fila 3 se observa que 0 = 1, lo cual es un absurdo, por lo tanto el sistema no tiene soluci´on. Adem´as, observe que el rango de A es dos y el de A ... b es tres, por lo tanto, el sistema no tiene soluci´on por el teorema 12. 2. Infinitas soluciones Si a = −4 y b = 4, entonces      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 0 ... 0      . De donde obtenemos las ecuaciones ⇒ x1 − 5x3 = 0 x2 + 3x3 = 0 . Lo que implica: x1 = 5x3 y x2 = −3x3. Ahora, si x3 = r ∈ R, entonces x1 = 5r y x2 = −3r. Luego, x =     x1 x2 x3     =     5r −3r r     . Observe que el rango de A es igual al de A ... b (dos), pero es menor que la cantidad de inc´ognitas (tres); lo que implica infinitas soluciones de acuerdo al teorema 12.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 47 3. Soluci´on ´unica Si a = −3 y b = 5, entonces tenemos      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 1 ... 1      f1 ←− f1 +5f3 f2 ←− f2 −3f3      1 0 0 ... 5 0 1 0 ... −3 0 0 1 ... 1      . Luego, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     5 −3 1     Observe que el rango de A es igual al de A ... b y tambi´en es igual a la cantidad de inc´ognitas (tres), lo que implica soluci´on ´unica de acuerdo al teorema 12. Ejemplo 38 (Gauss–Jordan). Dado el sistema lineal x1 + x2 − 2x3 = −2 2x1 + 3x2 − 2x3 = 1 x1 + 3x2 + (a2 − 2)x3 = a + 6 . Encontrar los valores de a de tal forma que el sistema: 1. No tenga soluci´on, explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3. 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3 para alg´un a. Soluci´on. La matriz aumentada es      1 1 −2 ... −2 2 3 −2 ... 1 1 3 a2 − 2 ... a + 6      ,
48 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 entonces f2 ← f2−2f1 f3 ← f3 − f1      1 1 −2 ... −2 0 1 2 ... 5 0 2 a2 ... a + 8      f1 ← f1 − f2 f3 ← f3−2f2      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 a2 − 4 ... a − 2      . Para que el sistema: 1. No tenga soluci´on. Con a = −2, tenemos      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 0 ... −4      f3 ← −1 4 f3      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 0 ... 1      f2 ← f2−5f3 f1 ← f1+7f3      1 0 −4 ... 0 0 1 2 ... 0 0 0 0 ... 1      . Observe que el rango de A es dos y el de A ... b es tres, por lo tanto, el sistema no tiene soluci´on por el teorema 12. Adem´as, de la fila 3 se observa que 0 = 1, lo cual es un absurdo, por lo tanto el sistema no tiene soluci´on. 2. Infinitas soluciones. Con a = 2, tenemos      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 0 ... 0      , De donde se obtiene x1 − 4x3 = −7 y x2 + 2x3 = 5. Ahora, si x3 = r ∈ R, entonces x1 = 4r − 7 y x2 = 5 − 2r. Luego, x =     x1 x2 x3     =     4r − 7 5 − 2r r     .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 49 Observe que el rango de A es igual al de A ... b (dos), pero es menor que la cantidad de inc´ognitas (tres), lo que implica infinitas soluciones por el teorema 12. 3. Soluci´on ´unica. Con a = ±2 tenemos una ´unica soluci´on, pues en la tercera fila no tendr´ıamos una inconsistencia como con a = −2 y tampoco se anular´ıa la fila como con a = 2; por ejemplo, con a = −1 tenemos      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 −3 ... −3      f3 ← (−1 3)f3      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 1 ... 1      f1 ← f1 + 4f3 f2 ← f2 − 2f3      1 0 0 ... −3 0 1 0 ... 3 0 0 1 ... 1      . Entonces, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     −3 3 1     . Observe que el rango de A es igual al de A ... b y es igual al n´umero de inc´ognitas (tres); lo que implica una ´unica soluci´on por el teorema 12. Ejemplo 39. Encontrar los valores de a de tal forma que el sistema x1 + x2 + x3 = 2 2x1 + 3x2 + 3x3 = 3 3x1 + 3x2 + (a2 + 2)x3 = a + 5 . 1. No tenga soluci´on, explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3.
50 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3 para alg´un a. Soluci´on. La matriz aumentada es      1 1 1 ... 2 2 3 3 ... 3 3 3 a2 + 2 ... a + 5      , entonces f2 ← f2−2f1 f3 ← f3−3f1      1 1 1 ... 2 0 1 1 ... −1 0 0 a2 − 1 ... a − 1      f1 ← f1 − f2      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 (a − 1)(a + 1) ... a − 1      . Para que el sistema: 1. No tenga soluci´on. Con a = −1, tenemos      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 0 ... −2      f3 ← −1 2 f3      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 0 ... 1      f2 ← f2 + f3 f1 ← f1−3f3      1 0 0 ... 0 0 1 1 ... 0 0 0 0 ... 1      . Observe que el rango de A es dos y el de A ... b es tres, por lo tanto, el sistema no tiene soluci´on por el teorema 12.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 51 Adem´as, de la fila 3 se observa que 0 = 1, lo cual es un absurdo, por lo tanto el sistema no tiene soluci´on. 2. Infinitas soluciones. Con a = 1, tenemos      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 0 ... 0      , De donde se obtiene x1 = 3 y x2 +x3 = −1. Ahora, si x3 = r ∈ R, entonces x2 = −1 − r. Luego, x =     x1 x2 x3     =     3 −1 − r r     . Observe que el rango de A es igual al de A ... b (dos), pero es menor que la cantidad de inc´ognitas (tres), lo que implica infinitas soluciones por el teorema 12. 3. Soluci´on ´unica. Con a = ±1 tenemos una ´unica soluci´on, pues en la tercera fila no tendr´ıamos una inconsistencia como con a = −1 y tampoco se anular´ıa la fila como con a = 1; por ejemplo, con a = 0 tenemos      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 −1 ... −1      f3 ← −f3 f2 ← f2 + f3      1 0 0 ... 3 0 1 0 ... −2 0 0 1 ... 1      . Entonces, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     3 −2 1     .
52 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Observe que el rango de A es igual al de A ... b y es igual al n´umero de inc´ognitas (tres); lo que implica una ´unica soluci´on por el teorema 12. Ejercicio 65. Encontrar los valores de a de tal forma que el sistema: x1 + x2 − x3 = 2 x1 − x2 + 3x3 = 4 x1 + x2 + (a2 − 5)x3 = a . 1. No tenga soluci´on, explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3. 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3 para alg´un a. Respuesta. Con a = −2 no hay soluci´on; con a = 2 se obtienen infinitas solu- ciones de la forma (x)T = [3 − s, −1 + 2s, s], s ∈ R; y con a = ±2 se obtiene una ´unica soluci´on, por ejemplo, con a = 0 se obtiene (x)T = [5/2, 0, 1/2]. Sistema lineal homog´eneo Un sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ognitas de la forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 es llamado sistema lineal homog´eneo. Su representaci´on matricial es        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn               x1 x2 ... xn        =        0 0 ... 0        ,
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 53 que en forma abreviada es Ax = 0 . Una soluci´on de este sistema es la llamada trivial, que es x1 = x2 = · · · = xn = 0. Una soluci´on donde no todas las xi sean cero es llamada no trivial. Teorema 13. Un sistema de ecuaciones homog´eneo siempre tiene soluci´on no trivial si el n´umero de ecuaciones es menor que el de inc´ognitas. Ejemplo 40. Encontrar la soluci´on del siguiente sistema homog´eneo. 4x1 + x2 + x3 = 0 5x1 − x2 − x3 = 0 . Soluci´on. La matriz aumentada es   4 1 1 ... 0 5 −1 −1 ... 0   , entonces, por medio de operaciones elementales fila, tenemos f1 ←− f1 + f2   9 0 0 ... 0 5 −1 −1 ... 0   f1 ←− 1 9f1   1 0 0 ... 0 5 −1 −1 ... 0   f2 ←− f2 − 5f1   1 0 0 ... 0 0 −1 −1 ... 0   f2 ←− (−1)f2   1 0 0 ... 0 0 1 1 ... 0   . ⇒ x1 = 0 x2 + x3 = 0. Si x3 = r ∈ R, entonces x2 = −r. As´ı, x =     x1 x2 x3     =     0 −r r     . El sistema tiene infinitas soluciones. Para verificar el resultado se reemplazan los valores de x1, x2 y x3 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es dos que es igual al rango de la matriz de coeficientes y es menor que el n´umero de inc´ognitas, que es tres, lo que implica infinitas soluciones por el teorema 12.
54 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejercicio 66. Por Gauss–Jordan, determinar la soluci´on del sistema homog´eneo 4x1 + 8x2 − 8x3 = 0 2x1 − 2x2 − 2x3 = 0 . Respuesta. (x)T = 4 3 r, r 3, r , con r ∈ R. Teorema 14. Si A ∈ Mm×n, entonces el sistema homog´eneo Ax = 0 tiene: 1. Infinitas soluciones si el rango de A es menor que n. 2. Una ´unica soluci´on, la trivial, si el rango de A es igual a n Ejercicio 67. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique. 1.5 Inversa de una matriz Definici´on 22 (Matriz invertible). Una matriz A ∈ Mn×n es invertible o no singular si existe (∃) B ∈ Mn×n tal que AB = BA = In, es decir, una matriz cuadrada tiene inversa si existe otra matriz cuadrada de igual tama˜no tal que al multiplicarlas entre s´ı, en cualquier orden, se obtiene la matriz identidad. Ejemplo 41. Dadas A = 2 3 1 4 y B = 4/5 −3/5 −1/5 2/5 , verifiquemos que B es inversa de A. Soluci´on. AB = 2 3 1 4 4/5 −3/5 −1/5 2/5 = 2 3 1 4 1 5 4 −3 −1 2 = 1 5 2 3 1 4 4 −3 −1 2
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 55 = 1 5 8 − 3 −6 + 6 4 − 4 −3 + 8 = 1 5 5 0 0 5 = 1 0 0 1 . Entonces B es inversa de A. Realice BA y tambi´en obtendr´a I2. Ejercicio 68. Dadas A = 3 7 2 5 y B = 5 −7 −2 3 , verifique que B es inversa de A. Realice AB y BA. Observe que aunque la multiplicaci´on de matrices no es en general conmuta- tiva, este es uno de esos casos donde s´ı lo es. De ahora en adelante, a la inversa de A la denotaremos como A−1, entonces, si A−1 existe AA−1 = A−1 A = In . ¿C´omo determinar la inversa de una matriz? Suponga que desea saber si A ∈ Mn×n es invertible y en caso de serlo en- contrar A−1. Pasos para lograr este objetivo: 1. Forme la matriz [A ... In] 2. Ejecute operaciones elementales fila a [A ... In], de tal forma que A quede en forma escalonada reducida, obtendr´a la matriz [B ... C] 3. Si B = In, entonces A−1 = C. Si B tiene al menos una fila de ceros, entonces A no es invertible. Ejemplo 42. Dada A =     3 5 1 1 2 3 −1 −3 −12     ,
56 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 encontrar A−1. Soluci´on.    3 5 1 ... 1 0 0 1 2 3 ... 0 1 0 −1 −3 −12 ... 0 0 1    f1 ↔ f2    1 2 3 ... 0 1 0 3 5 1 ... 1 0 0 −1 −3 −12 ... 0 0 1    f2 ← f2 − 3f1 f3 ← f3 + f1    1 2 3 ... 0 1 0 0 −1 −8 ... 1 −3 0 0 −1 −9 ... 0 1 1    f1 ← f1 + 2f2 f2 ← −f2 f3 ← f3 − f2    1 0 −13 ... 2 −5 0 0 1 8 ... −1 3 0 0 0 −1 ... −1 4 1    f2 ← f2 + 8f3 f1 ← f1 − 13f3 f3 ← −f3    1 0 0 ... 15 −57 −13 0 1 0 ... −9 35 8 0 0 1 ... 1 −4 −1    Entonces, A−1 =     15 −57 −13 −9 35 8 1 −4 −1     . Ejercicio 69. Verifique el ejemplo 42, es decir, verifique que AA−1 = I3. Ejercicio 70. Si A = 3 −2 1 2 , determinar A−1. Verifique su respuesta. Respuesta. A−1 = 1 8 2 2 −1 3 .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 57 Ejercicio 71. Sea A = 2 3 1 4 la matriz del ejemplo 41, determinar A−1 mediante el m´etodo ense˜nado. Respuesta. A−1 = 1 5 4 −3 −1 2 . Ejercicio 72. Sea A = a b c d , determinar A−1. ¿Qu´e condiciones deben cumplir a, b, c y d para que la inversa exista? Respuesta. A−1 = 1 ad−bc d −b −c a y (ad − bc) = 0. Teorema 15. Si una matriz tiene inversa, entonces es ´unica. Hasta ahora, hemos realizado pruebas en las que partiendo de una hip´otesis H llegamos a una tesis T a trav´es de inferencias l´ogicas (pasos) =⇒, es decir, H =⇒ T. Pues bien, est´a demostrado que otra forma de probar es negando la tesis ∼T y, a trav´es de inferencias l´ogicas =⇒, llegamos a una negaci´on de la hip´otesis ∼H, es decir, ∼T =⇒∼H, o llegamos a una contradicci´on =⇒⇐=. A este m´etodo de demostrar se le llama reducci´on al absurdo o prueba por contradicci´on. Por ejemplo, usted sabe que el inverso multiplicativo del 5 es 1 5 porque 5× 1 5 = 1 y es el ´unico. Pues bien, una forma de probar que es el ´unico es suponiendo que existe otro inverso multiplicativo diferente de 1 5 . Supongamos que existe un b = 1 5 tal que b × 5 = 1, luego b = b × 1 = b × (5 × 1 5) = (b × 5) × 1 5 = 1 × 1 5 = 1 5. Luego, b = 1 5, pero hab´ıamos dicho que b = 1 5 . Entonces es una contradicci´on. Concluimos que no existe otro inverso multiplicativo para el cinco. Cuando se nos habla de unicidad en un teorema, entonces pensamos que la forma de probarlo es seguramente por reducci´on al absurdo. Veamos c´omo probar el teorema 15 por reducci´on al absurdo.
58 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sea A ∈ Mn×n invertible, hip´otesis 2 Suponga que existen B, C ∈ Mn×n negaci´on de la tesis diferentes tales que AB = In y AC = In, 3 B = BIn, multiplicando por la identidad 4 = B(AC), 2 en 3 5 = (BA)C, asociatividad 6 = InC, por 2 7 = C, raz´on de 3 . Como B = C, por 3 a 7 , entonces hay una contradicci´on porque hab´ıamos su- puesto en 2 que eran diferentes. Luego, la inversa es ´unica. Teorema 16 (Propiedades de la inversa). 1. Si A ∈ Mn×n es invertible, entonces A−1 es tambi´en invertible y A−1 −1 = A. 2. Si A, B ∈ Mn×n son invertibles, entonces AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1. 3. Si A es invertible, entonces AT −1 = A−1 T . Prueba de 2.
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 59 1 Sean A, B ∈ Mn×n invertibles, hip´otesis Entonces, 2 La inversa de (AB) es (B−1A−1) si y solo si (sii) 3 (AB)(B−1A−1) = I sii, definici´on de inversa 4 A(BB−1)A−1 = I sii, asociatividad 5 A(I)A−1 = I sii, definici´on de inversa 6 AA−1 = I sii, por matriz identidad 7 I = I, raz´on de 6 . Ahora, 8 La inversa de (AB) es (B−1A−1) sii 9 (B−1A−1)(AB) = I sii, definici´on de inversa 10 B−1(A−1A)B = I sii, asociatividad 11 B−1(I)B = I sii, definici´on de inversa 12 B−1B = I sii, por matriz identidad 13 I = I, raz´on de 12. Luego, por 2 a 13, la inversa de AB es B−1A−1. Ejemplo 43. 1. Sea A = 2 1 5 3 , su inversa es A−1 = 3 −1 −5 2 . Observe que la inversa de la inversa de A es la misma A, es decir, A−1 −1 = A. 2. Sean A = 3 7 −1 −2 , A−1 = −2 −7 1 3 , B = 2 1 3 2 y B−1 = 2 −1 −3 2 , (por favor verifique las inversas con el m´etodo explicado). (a) Entonces: AB = 3 7 −1 −2 2 1 3 2
60 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 = 6 + 21 3 + 14 −2 − 6 −1 − 4 = 27 17 −8 −5 . (b) La inversa de AB es (AB)−1 = −5 −17 8 27 , por favor verif´ıquelo. (c) Ahora, B−1 A−1 = 2 −1 −3 2 −2 −7 1 3 = −4 − 1 −14 − 3 6 + 2 21 + 6 = −5 −17 8 27 . Se observa, entonces, que (AB)−1 = B−1A−1. 3. Sea A = 2 1 7 4 , entonces AT = 2 7 1 4 . La inversa de la transpuesta de A es AT −1 = 4 −7 −1 2 .
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 61 Ahora, A−1 es 4 −1 −7 2 , entonces (A−1 )T = 4 −7 −1 2 . Observe que la inversa de la transpuesta de A es igual a la transpuesta de la inversa de A, es decir, AT −1 = A−1 T . Corolario 1. Si A1, A2, . . . , Ap ∈ Mn×n son invertibles, entonces A1A2 . . . Ap es invertible y (A1A2 . . . Ap)−1 = A−1 p . . . A−1 2 A−1 1 . Teorema 17. Dados A, B ∈ Mn×n, si AB = In, entonces BA = In y B = A−1. Teorema 18. Una matriz A ∈ Mn×n es invertible si y solo si es equivalente por filas a In. Aplicaci´on de la inversa de una matriz Sabemos que un sistema lineal de n ecuaciones y n inc´ognitas puede ser expresado como Ax = b. Si A es invertible, entonces podemos multiplicar a ambos lados de esta ecuaci´on por A−1, luego: A−1 (Ax) = A−1 b , (A−1 A)x = A−1 b , Inx = A−1 b , x = A−1 b . (1.1) Ahora, en la industria, el gobierno y la academia, diversos problemas pueden ser expresados como sistemas lineales, de tal forma que si se desea obtener ciertos resultados b, la pregunta es: ¿qu´e valores x deber´an ser ingresados en el proceso? La ecuaci´on (1.1) responde a esta pregunta.
62 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 44. En la instituci´on educativa Lucrecio Jaramillo del municipio de Medell´ın se requiere comprar 2 fotocopiadoras, 7 computadores y 3 escritorios. Si se sabe, por informaci´on de otras tres instituciones, que 1 fotocopiadora, m´as 3 computadores, m´as 2 escritorios valen $9 millones; que 2 fotocopiadoras, m´as 7 computadores, m´as 1 escritorio valen $17 millones; y que 3 fotocopiadora, m´as 11 computadores, m´as 1 escritorio valen $26 millones; entonces, ¿cu´anto es el costo por unidad y total de los art´ıculos que la instituci´on desea comprar? Soluci´on. Sean f: valor de una fotocopiadora, c: valor de un computador y e: valor de un escritorio. Entonces, f + 3c + 2e = 9 2f + 7c + e = 17 3f + 11c + e = 26 , que en forma abreviada es Ax = b, donde: A =     1 3 2 2 7 1 3 11 1     , x =     f c e     y b =     9 17 26     . La inversa de A es A−1 =     −4 19 −11 1 −5 3 1 −2 1     . Luego, como x = A−1b, entonces x =     −4 19 −11 1 −5 3 1 −2 1         9 17 26     =     1 2 1     . De esta forma, la instituci´on educativa Lucrecio Jaramillo debe invertir 2 × 1 + 7 × 2 + 3 × 1 = 19 millones. Si los valores facturados por las tres instituciones hubiesen sido 6, 10 y 15 millones, respectivamente, ¿requerir´ıa usted resolver un nuevo sistema lineal?
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 63 La respuesta es no, simplemente multiplicar´ıa A−1 por el vector [6, 10, 15]T y obtendr´ıamos [1, 1, 1]T , que corresponde a los valores de cada fotocopiadora, cada computador y cada escritorio, respectivamente. De esta forma, la instituci´on deber´ıa invertir 2 × 1 + 7 × 1 + 3 × 1 = 12 millones. Ejercicio 73. En el plano cartesiano un punto cualquiera (x, y) puede ser gi- rado un ´angulo φ, en direcci´on contraria a las manecillas del reloj, mediante la transformaci´on Av = cos(φ) − sen(φ) sen(φ) cos(φ) x y . Si se sabe que siete puntos fueron girados 90o con dicha transformaci´on y se obtuvo el siguiente conjunto {(−9, −3), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (5, 5)}, ¿cu´ales fueron los puntos originales? Graf´ıquelos. Ayuda. La inversa de A es cos(φ) sen(φ) − sen(φ) cos(φ) . Respuesta. {(−3, 9), (4, 2), (1, 1), (0, 0), (1, −1), (4, −2), (5, −5)}. Teorema 19. Si A ∈ Mn×n, entonces el sistema homog´eneo Ax = 0 tiene soluci´on no trivial si y solo si A es no invertible. Ejemplo 45. Dado el sistema 2x1 + 4x2 = 0 −6x1 − 12x2 = 0 , que en forma matricial es 2 4 −6 −12 A x1 x2 x = 0 0 0 . A es no invertible (verificarlo). Solucionando el sistema se tiene 2 4 ... 0 −6 −12 ... 0
64 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 f1 ← 1 2f1 f2 ← f2 + 3f1 1 2 ... 0 0 0 ... 0 . Luego, el sistema tiene infinitas soluciones x1 = −2x2 . Si x2 = r ∈ R, entonces la soluci´on del sistema es x = −2r r . Teorema 20. Si A ∈ Mn×n, entonces A es invertible si y solo si el sistema lineal Ax = b tiene soluci´on ´unica. Dado un sistema lineal Ax = b de n ecuaciones con n inc´ognitas, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es invertible. 2. Ax = b tiene soluci´on ´unica. 3. A es equivalente por filas a In. 4. El rango de A es n. Ejercicio 74. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique.
Unidad 2 Determinantes Los objetivos de esta unidad son: aprender a calcular el determinante de una matriz, probar la existencia o no de la inversa de una matriz y calcularla, si existe, empleando los determinantes y sus propiedades; resolver sistemas linea- les empleando determinantes; y resolver problemas de ´areas en R2 empleando determinantes. El determinante de una matriz An×n es una funci´on que asigna a esta un ´unico n´umero real. Denotaremos el determinante de A como det(A) o |A|. Primero veamos c´omo calcular el determinante de matrices de tama˜no uno, dos y tres: 1. El determinante de una matriz de tama˜no uno, A = [a], es a; por ejemplo: el determinante de A = [7] es 7, el determinante de B = [−5] es −5, etc´etera. 2. El determinante de una matriz de tama˜no dos por dos, A = a11 a12 a21 a22 es det(A) = a11 a12 a21 a22 ❅ ❅❅❘     ✠ = a11a22 − a12a21 .
66 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 46. Sea A = 2 1 3 4 , entonces det(A) = (2 × 4) − (1 × 3) = 5. Ejercicio 75. Hallar el determinante de las matrices A = 2 −2 5 3 , B = 2 1 5 −3 y C = 2 1 −4 −3 . Respuesta. det(A) = 16, det(B) = −11 y det(C) = −2. 3. Para calcular el determinante de una matriz de tama˜no tres por tres, A =     a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     , emplearemos la regla de Sarrus: agregamos las filas uno y dos debajo, y trazamos seis flechas diagonales en la forma a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ❅ ❅❅❘     ✠ ❅ ❅ ❅❅❘       ✠❅ ❅ ❅❅❘       ✠ . a11 a12 a13 a21 a22 a23 Para encontrar el determinante de A realizamos la suma de los productos indicados por las flechas descendentes de izquierda a derecha (verdes) y lue- go restamos la suma de los productos indicados por las flechas descendentes de derecha a izquierda (rojas), de la siguiente forma: det(A) =(a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23)− (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21) .
Determinantes 67 Ejemplo 47. Calcular el determinante de A =     1 0 3 −2 −1 4 0 2 5     . Soluci´on. Entonces, det(A) = 1 0 3 −2−1 4 0 2 5 ❅❅❘  ✠ ❅ ❅❅❘     ✠❅ ❅❅❘     ✠ , 1 0 3 −2 −1 4 luego, det(A) = (1 × (−1) × 5 + (−2) × 2 × 3 + 0 × 0 × 4) − (3 × (−1) × 0 + 4 × 2 × 1 + 5 × 0 × (−2)) =(−5 − 12 + 0) − (0 + 8 + 0) = − 25 . Ejercicio 76. Calcular el determinante de cada una de las matrices A =     3 0 −3 4 2 −1 0 1 5     , B =     4 2 −1 3 0 −3 0 1 5     y C =     3 4 1 5 −2 −7 0 0 0     . Respuesta. det(A) = 21, det(B) = −21 y det(C) = 0. Observe que la matriz B se obtiene a partir del intercambio de las filas 1 y 2 en A. Tambi´en observe que la matriz C tiene una fila de ceros. Entonces, ya sabemos calcular el determinante de matrices de tama˜no uno por uno, dos por dos o tres por tres. Veamos a continuaci´on algunos teoremas que nos permitir´an calcular el determinante de matrices de tama˜no mayor por el m´etodo que llamaremos triangulaci´on. Este consiste en llevar la matriz a trian- gular superior (o inferior) por medio de operaciones elementales fila (o columna) y luego realizar el producto de la diagonal principal; el resultado, habiendo con- siderado los teoremas siguientes, es el determinante de la matriz original.
68 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 2.1 Propiedades de los determinantes Teorema 21. Si una matriz se obtiene de una matriz An×n al intercambiar dos filas (columnas), entonces su determinante es el mismo de A con signo inverso, es decir, si en A intercambiamos las filas (columnas) i y j, entonces det(Afi↔fj ) = − det(A) o det(Aci↔cj ) = − det(A) . Ejemplo 48. Al intercambiar las filas uno y dos del ejemplo 51, obtenemos Af2↔f3 =     −2 0 1 1 3 4 3 2 1     . Su determinante es det(Af1↔f2 ) =(−2 × 3 × 1 + 1 × 2 × 1 + 3 × 0 × 4)− (1 × 3 × 3 + 4 × 2 × (−2) + 1 × 0 × 1) =(−6 + 2 + 0) − (9 − 16 + 0) =3 . Efectivamente, det(Af1↔f2 ) = − det(A). Ejercicio 77. Sean A =     1 5 3 3 0 2 −2 2 1     y B =     3 0 2 1 5 3 −2 2 1     . Calcular det(A) y det(B). Respuesta. -21 y 21, respectivamente. Ejercicio 78. Sean A =     1 2 3 3 0 1 −2 2 1     y B =     3 0 1 −2 2 1 1 2 3     . Calcular det(A) y det(B). Respuesta. det(A) = 6 y det(B) = 6.
Determinantes 69 Teorema 22. Si una matriz se obtiene de otra An×n al multiplicar una fila (o columna) por un k ∈ R, entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz original, es decir, det(Afi←kfi ) = k det(A) (det(Aci←kci ) = k det(A)). Ejemplo 49. Sean A = 2 −1 3 4 y Af1←−2f1 = −4 2 3 4 , entonces det(A) = (2×4)−(−1×3) = 11 y det(Af1←−2f1 ) = −2×det(A) = −22. Ejercicio 79. Calcular el determinante de las matrices A =     2 1 3 3 −2 −1 0 2 4     , Af1←3f1 =     6 3 9 3 −2 −1 0 2 4     y Af3←−5f3 =     2 1 3 3 −2 −1 0 −10 −20     . Respuesta. det(A) = −6, −18 y 30, respectivamente. Teorema 23. Si una matriz se obtiene de otra matriz An×n al sumar a la i– ´esima fila (o columna) k–veces la j–´esima fila (o columna), i = j, entonces el determinante de la nueva matriz es igual al de la matriz original, es decir, det(Afi←fi+kfj ) = det(A) o det(Aci←ci+kcj ) = det(A) . Ejemplo 50. Sean A =     1 −2 0 0 5 −1 5 1 0     y Af3←f3−5f1 =     1 −2 0 0 5 −1 0 11 0     . Sus determinantes son: det(A) =(1 × 5 × 0 + 0 × 1 × 0 + 5 × (−2) × (−1))− (0 × 5 × 5 + (−1) × 1 × 1 + 0 × (−2) × 0) =(0 + 0 + 10) − (0 − 1 + 0) =11
70 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 y det(Af3←f3−5f1 ) =(1 × 5 × 0 + 0 × 11 × 0 + 0 × (−2) × (−1))− (0 × 5 × 0 + (−1) × 11 × 1 + 0 × (−2) × 0) =(0 + 0 + 0) − (0 − 11 + 0) =11 . Hemos verificado que ambos determinantes son 11. Ejercicio 80. Calcular el determinante de las matrices A =     4 1 3 3 −2 −1 1 2 0     y Af1←f1+3f2 =     13 −5 0 3 −2 −1 1 2 0     . Respuesta. Los dos resultados son 31. Teorema 24. El determinante de la transpuesta de una matriz An×n es igual al determinante de A, es decir, det AT = det(A) . Ejemplo 51. El determinante de A =     1 3 4 −2 0 1 3 2 1     , es det(A) = (1 × 0 × 1 + (−2) × 2 × 4 + 3 × 3 × 1) − (4 × 0 × 3 + 1 × 2 × 1 + 1 × 3 × (−2)) =(0 − 16 + 9) − (0 + 2 − 6) = − 3 . Ahora, la matriz transpuesta de A es AT =     1 −2 3 3 0 2 4 1 1     ,
Determinantes 71 y su determinante es det AT = (1 × 0 × 1 + 3 × 1 × 3 + 4 × (−2) × 2) − (3 × 0 × 4 + 2 × 1 × 1 + 1 × (−2) × 3) =(0 + 9 − 16) − (0 + 2 − 6) = − 3 . Hemos verificado que det(A) = det AT . Ejercicio 81. Si det(A) = −7, entonces ¿cu´anto es det AT ? Teorema 25. Dada una matriz An×n, si dos de sus filas (columnas) son iguales, entonces det(A) = 0. Para entender mejor la siguiente prueba suponga una matriz A con dos filas iguales A =       4 0 3 5 1 3 4 0 4 0 3 5 2 0 5 7       y suponga que det(A) = c. Observe que la fila uno y la tres son iguales. Ahora construya una matriz B obtenida al intercambiar las filas uno y tres. Por tanto, B =       4 0 3 5 1 3 4 0 4 0 3 5 2 0 5 7       . Como se intercambiaron dos filas, entonces det(B) = −c. Pero, A y B son iguales, entonces det(A) = det(B), por tanto c = −c. El ´unico real que cumple c = −c es el 0. Se concluye que det(A) = 0. Ahora s´ı, veamos la prueba formal. Prueba.
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Álgebra Lineal de Luis F. Moreno S.

  • 1. Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal Septiembre 05 de 2016 ´Ultima versi´on en http://textodealgebralineal.blogspot.com.co/ Luis F. Moreno S. Antioquia–Colombia
  • 2. ii Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Autor Luis F. Moreno S. Mag´ıster en Matem´aticas Aplicadas Docente Edici´on y diagramaci´on: Jos´e Luis Moreno Avenda˜no y Luis F. Moreno S. Correcci´on de estilo: Luis F. Moreno S. Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal Realizado en Antioquia–Colombia Agosto de 2017
  • 3. ´Indice general Pr´ologo v Introducci´on vii Preliminares ix 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Multiplicaci´on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Propiedades de las operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 Determinantes 65 2.1 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2 Determinantes por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.4 Uso de determinantes para calcular ´areas en R2 . . . . . . . . . . 91 3 Vectores en Rn 95 3.1 Vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2 Vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3 Aplicaciones de vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
  • 4. iv Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016
  • 5. Pr´ologo Surge este texto por la necesidad detectada en los estudiantes de pregrado de ingenier´ıa de disponer de una herramienta b´asica provechosa para seguir un curso introductorio de ´Algebra Lineal en el aula de clase. Se explican los temas de Matrices, Sistemas lineales, Determinantes, Trans- formaciones lineales, Vectores en Rn, Rn como espacio vectorial y, por ´ultimo, Valores y vectores propios. Se ofrecen ejemplos pr´acticos y te´oricos; y se propo- nen ejercicios a medida que los conceptos te´oricos surgen, buena parte con sus respuestas; siempre partiendo de lo simple a lo medianamente complejo; y en algunos casos estimulando la creatividad. Se recomienda al profesor explicar solo algunos ejemplos y ejercicios, y realizar y proponer los propios en el aula de clase. Adem´as, se incluyen algunas demostraciones sencillas para aquellos estudiantes que deseen trascender de los ejercicios operativos a lo abstracto. Queda a juicio del profesor profundizar en las demostraciones. El seguimiento de estas notas en el aula de clase (f´ısica o virtual) ahorrar´a tiempo al docente, pues no requerir´a escribir los conceptos, y podr´a aprovechar este tiempo en la explicaci´on de nuevos ejemplos que ´el considere pertinentes. Adem´as, el estudiante evitar´a estudiar de errores que se cometen al tomar nota en clase y de errores casuales del mismo docente. Agradecimientos a mis alumnos, pues fueron la semilla que dio origen a estos escritos. En un futuro se espera enriquecer el tipo de ejemplos, que tanto ayudan al alumno y facilitan la labor al docente; tambi´en se planea emplear software ma- tem´atico en la soluci´on de problemas; y desarrollar una herramienta interactiva en la que el estudiante se ejercite y las instituciones educativas puedan hacer seguimiento al desarrollo de sus educandos.
  • 6. vi Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016
  • 7. Introducci´on Se sabe hasta ahora que los or´ıgenes del ´algebra lineal se remontan a los babi- lonios en el siglo XXI antes de Cristo. Un ejemplo es el escrito en una de las famosas tablillas de Croquetta: Existen dos campos cuyas ´areas suman 1800 yardas1 cuadradas. Uno produce granos en raz´on de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en raz´on de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producci´on total es de 1100 sacos, ¿cu´al es el tama˜no de cada campo? Se conoce tambi´en el papiro Rhind, del a˜no 1650 antes de cristo, del sacerdo- te egipcio ´Ahmes, donde se consideran ecuaciones de primer grado. Luego, los matem´aticos chinos, durante los siglos III y IV antes de cristo, continuaron la tradici´on de los babilonios con los primeros m´etodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, el m´etodo para la soluci´on de problemas lineales, que es conocido co- mo la regla fan-chen, que trascendi´o en lo que hoy es conocido como el m´etodo de eliminaci´on gaussiana. Luego vendr´ıan los aportes de los isl´amicos y de los europeos. Actualmente, el ´algebra lineal estudia, entre otros, conceptos tales como: matrices, sistemas de ecuaciones lineales, determinantes, vectores, espacios vec- toriales, y valores y vectores propios. Estos conceptos tienen conexiones con ´areas pr´acticas y te´oricas como: las ingenier´ıas, econom´ıa, f´ısica, astronom´ıa, gr´aficas por computador, an´alisis funcional, ecuaciones diferenciales e investigaci´on de operaciones, entre otros. Nos proponemos en las pr´oximas l´ıneas entender los conceptos b´asicos de estos temas mediante sencillos ejemplos y ejercicios operativos, pr´acticos y abs- tractos. 1 Medida de longitud del sistema ingl´es que equivale a 91,4 cent´ımetros
  • 8. viii Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016
  • 9. Preliminares Acerca de las pruebas matem´aticas Comenzar´e la explicaci´on de lo que es una prueba mediante una analog´ıa y asumiendo que usted no sabe algo acerca de estas: suponga que deseamos fabricar una mesa sencilla. Para ello requeriremos de materiales (madera, pegamento, clavos . . . ) y herramientas (martillo, serrucho, metro, . . . ). Llamaremos a los materiales y herramientas nuestra hip´otesis; y a nuestro objetivo, construir la mesa, la tesis. Sabemos que para lograr la tesis hay una serie de pasos (comprar la madera, transportarla, tomar medidas, cortar, untar pegamento, ensamblar, etc´etera). A esta serie de pasos le llamaremos procedimiento. Pues bien, una prueba matem´atica consta de esos tres elementos: una hip´otesis, una tesis y un procedimiento que partiendo de la hip´otesis alcanza la tesis. Por supuesto, el procedimiento puede tener variaciones; no todos fabricar´ıamos una mesa de igual forma, aunque tuvi´eramos los mismos materiales y herramientas. Los procesos pueden ser diferentes: dependen de nuestros conocimientos, gustos y objetivos. Y as´ı son los procedimientos en las pruebas: variados. Hay diferentes formas de realizar pruebas, las cuales iremos observando. Veamos ahora algo m´as formal: Una prueba matem´atica es un argumento convincente acerca de la precisi´on de una afirmaci´on. Dicho argumento debe contener los suficientes detalles para convencer a la audiencia de la veracidad o falsedad de tal afirmaci´on. Una afirmaci´on puede ser algo sencillo como 8÷2 = 4, la cual es verdadera o 12×5 = 57, la cual es falsa. Pero una m´as compleja podr´ıa ser: si ax2 +bx+c = 0 con a = 0, entonces x = −b ± √ b2 − 4ac 2a . Para este caso, la hip´otesis, es decir, la herramienta y materiales con los que vamos a trabajar, es ax2 +bx+c = 0 con a = 0 y la tesis, lo que vamos a probar, es x = −b± √ b2−4ac 2a , donde la prueba ser´ıa
  • 10. x Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sea ax2 + bx + c = 0 y a = 0, por hip´otesis 2 x2 + b a x + c a = 0, dividiendo por a 3 x2 + b a x = −c a, sumando −c a a ambos lados 4 x2 + b a x + b 2a 2 = b 2a 2 − c a, sumando b 2a 2 5 x + b 2a 2 = b2−4ac 4a2 , el lado izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto 6 x + b 2a = ± √ b2−4ac 2a , obteniendo ra´ız cuadrada 7 x = −b± √ b2−4ac 2a , sumando − b 2a a ambos lados. Luego, por 7 , queda demostrado. Observe que la anterior prueba est´a dividida en tres columnas y varias l´ıneas que corresponden cada una a un paso de la prueba. La primera columna indica el n´umero de cada paso, la segunda es el paso propiamente dicho, y la tercera corresponde a la raz´on de el porque se dio ese paso. El anterior conjunto de pasos no es la ´unica forma de probar una afirmaci´on; por lo general, los matem´aticos prueban en prosa. El autor prefiere utilizar el anterior m´etodo debido a que facilita el orden y, por su experiencia, considera que es m´as f´acil de entender para los estudiantes. Cuando hemos probado una afirmaci´on le llamamos proposici´on o teorema. Un corolario es una consecuencia de una proposici´on o teorema tan evidente que no necesita demostraci´on. Existen diferentes t´ecnicas para probar las afirmaciones, las cuales iremos aprendiendo, pero para prevenir algunos errores frecuentes tenga en cuenta lo siguiente: 1. Un ejemplo no es una prueba. Es solo una verificaci´on. 2. Nunca asuma hip´otesis que no han sido dadas en la afirmaci´on.
  • 11. Unidad 1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales El objetivo de esta unidad es conocer el concepto de matriz, sus operaciones y propiedades, con la finalidad de representar y resolver algunos problemas pr´acti- cos en ingenier´ıa, matem´aticas y administraci´on, empleando el m´etodo de Gauss- Jordan o la inversa de una matriz. Inicialmente veremos las definiciones necesa- rias con sus respectivos ejemplos. 1.1 Matrices Definici´on 1 (Matriz). Una matriz, denotada por una letra may´uscula, es un arreglo rectangular de elementos; elementos que para nosotros ser´an n´umeros reales1 (R). Por ejemplo, A = 3 1 2 −2 4 5 , es una matriz de dos filas y tres columnas. La fila uno (f1) est´a constituida por los elementos 3, 1 y 2, y la fila dos (f2) por −2, 4 y 5. La columna uno (c1) est´a constituida por los elementos 3 y −2, la columna dos (c2) est´a constituida por 1 Lo expresado en este texto tambi´en es v´alido para n´umeros complejos
  • 12. 2 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 los elementos 1 y 4 y la columna tres (c3) est´a constituida por los elementos 2 y 5. En general, una matriz de m filas y n columnas la escribiremos como Am×n o A ∈ Mm×n, que en forma matricial es A =        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn        , donde la fila i es fi = ai1 ai2 · · · ain para i = 1, . . . , m ; y la columna j es cj =        a1j a2j ... amj        para j = 1, . . . , n . Por ejemplo: A2×3 es la matriz A de dos filas y tres columnas y B4×5 es la matriz B de cuatro filas y cinco columnas. Diremos que Am×n es una matriz de tama˜no m × n. Al elemento de la i–´esima fila y la j–´esima columna, de la matriz Am×n, lo denotaremos como aij, por ejemplo, en la matriz A3×2, donde A =     0 1 2 −2 3 4     , los elementos son a11 = 0, a12 = 1, a21 = 2, a22 = −2, a31 = 3 y a32 = 4. En algunas ocasiones nos referiremos a una matriz Am×n como [aij]. Nota. La notaci´on i = 1, . . . , m quiere decir que i toma valores desde uno hasta m enteros. Ejemplo 1 (Notas de clase). Suponga que para el curso de ´algebra lineal hay matriculados siete alumnos al final del semestre: Mar´ıa, Pedro, M´onica, Luis,
  • 13. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 3 Ana, John, y Camila. Podemos organizar las notas de sus tres parciales P1, P2 y P3, del 25 % cada uno, y seguimiento S, del 25 %, en una matriz B de la forma P1 P2 P3 S B =               4,5 3,5 4,0 4,5 3,0 3,5 2,0 4,0 5,0 3,0 2,0 1,0 1,5 3,5 4,0 4,0 3,5 3,0 3,0 5,0 4,0 3,0 2,0 3,0 5,0 5,0 5,0 5,0               Mar´ıa Pedro M´onica Luis Ana John Camila. Entonces, cada bij indica la nota del alumno i en el parcial j o seguimiento. Por ejemplo, b32 = 3,0 indica la nota obtenida por M´onica en el parcial 2. Ejercicio 1. Calcule la nota promedio de cada estudiante. Puede hacerlo ma- nualmente, con una hoja de c´alculo o mediante programaci´on con dos for, uno dentro del otro. Ejercicio 2. Construya una matriz N en la que represente las asignaturas que curs´o el semetre anterior versus las diversas notas obtenidas durante el semetre. Asuma igual cantidad de notas por cada asignatura. Calcule la nota promedio de cada materia en la forma que lo desee. Ejemplo 2 (Producci´on). Para la elaboraci´on de plastilina se requiere dos com- puestos principalmente: sales de calcio y vaselina. Una empresa produce dos tipos de plastilina: fina y suave. Para la elaboraci´on de una barra de plastilina fina se requiere dos gramos de sales de calcio y tres de vaselina; y para la de una suave se requieren cuatro de sales de calcio y dos de vaselina. Si la ganancia por cada barra de plastilina fina es de $5 y la de suave es de $8 y, adem´as, la disponibilidad diaria de sales de calcio es de 50 gramos y de vaselina es de 35 gramos, ¿cu´antas barras de plastilina fina y cu´antas de plastilina suave se deben producir para maximizar la ganancia? El anterior es un problema de programaci´on lineal en el que se emplean matrices para resolverlo. Si x1 es la cantidad de barras de plastilina fina a producir y x2 es la cantidad de barras de plastilina suave a producir, entonces se debe maximizar la ecuaci´on z = 5x1 + 8x2, que es la ganancia, sujeta a: 2x1 + 4x2 50
  • 14. 4 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3x1 + 2x2 35 . Las anteriores inecuaciones son representadas matricialmente en la forma   2 4 ... 50 3 2 ... 35   , y se emplea en la soluci´on del problema. Ejemplo 3 (Grafo). Suponga que tenemos un sistema de comunicaci´on com- puesto por seis nodos como el que se muestra en la figura 1.1. Las flechas indican el sentido de comunicaci´on, por ejemplo: e1 env´ıa mensajes a e2 y viceversa; e1 tambi´en puede enviar mensajes a e5 y a e6, pero ni e5 ni e6 pueden enviar a e1. e5 e4 e3 e1 e2 e6 Figura 1.1: grafo dirigido de un sistema de comunicaci´on La representaci´on matricial de este grafo es e1 e2 e3 e4 e5 e6 C = e1 e2 e3 e4 e5 e6            0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0            ,
  • 15. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 5 donde cada cij indica que el emisor i puede enviar mensajes al receptor j sola- mente si cij = 1, por ejemplo: como c21 = 1, entonces e2 puede enviar mensajes a e1. Ejemplo 4 (Gr´afica). Si tenemos una gr´afica en R2 y deseamos reflejarla al otro lado de la recta y = −x, tal como se ilustra en la figura 1.2, 10 10 -10 -10 Figura 1.2: Tri´angulo a ser reflejado en y = −x habr´ıa que multiplicar la matriz 0 −1 −1 0 , por la matriz 8 −4 2 2 6 10 , que corresponde a los v´ertices del tri´angulo mostrado, para obtener −2 −6 −10 −8 4 −2 , que corresponde a los v´ertices del nuevo tri´angulo. Luego unir´ıa los v´ertices. M´as adelante veremos como es la multiplicaci´on de matrices y usted podr´a verificar dicha operaci´on.
  • 16. 6 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Definici´on 2 (Matrices iguales). Dos matrices Am×n = [aij] y Bm×n = [bij] son iguales si aij = bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, es decir, si el elemento a11 es igual al b11, si el elemento a12 es igual al elemento b12, y as´ı sucesivamente para cada par de elementos. Ejemplo 5. Diremos que las matrices A =     1 3 −2 4 8 2 4 2 1     y B =     1 x + y −2 4 2x + 3y 2 2x + y 2 1     , son iguales si y solo si x + y = 3, 2x + 3y = 8 y 2x + y = 4. Ejercicio 3. De acuerdo a sus conocimientos previos de ´algebra, en el ejemplo 5 determine los valores de x y y tales que A y B sean iguales. Ejercicio 4. ¿Son las matrices A =     1 2 −2 4 5 2 3 2 1     y B =     1 2 4 5 3 2     , iguales? Justifique su respuesta. Respuesta: no son iguales puesto que para comparar si dos matrices son iguales, estas deben tener igual tama˜no. Para el presente caso, el tama˜no de A es tres por tres y el tama˜no de B es tres por dos. Definici´on 3 (Matriz cuadrada). Una matriz Am×n es cuadrada si m = n, es decir, si el n´umero de filas es igual al n´umero de columnas. Ejemplo 6. La matriz A4×4 es cuadrada A =       3 4 0 5 7 5 2 −7 8 −2 1 0 −1 3 4 0       , pues tiene cuatro filas y cuatro columnas.
  • 17. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 7 En una matriz, A = [aij], los elementos a11, a22, . . . , ann conforman la dia- gonal principal. En la matriz A4×4, del ejemplo 6, la diagonal principal est´a conformada por los elementos: a11 = 3, a22 = 5, a33 = 1 y a44 = 0. Ejercicio 5. Construya una matriz A4×4, una B3×3, otra C2×2 y, por ´ultimo, una D1×1. Ejercicio 6. Identifique y escriba los elementos de la diagonal principal de cada una de las matrices del ejercicio 5. Definici´on 4 (Matriz diagonal). Una matriz cuadrada donde los elementos por fuera de la diagonal principal son ceros es llamada una matriz diagonal, es decir, dada An×n = [aij], si aij = 0 para todo (∀) i = j, con i, j = 1, . . . , n, entonces An×n es diagonal. Ejemplo 7. A, B y C son matrices diagonales A = 5 0 0 −2 , B =     3 0 0 0 3 0 0 0 3     , C =     7 0 0 0 0 0 0 0 0     . Ejercicio 7. ¿Es la matriz     0 0 0 0 0 0 0 0 0     diagonal? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente. Respuesta: s´ı es diagonal porque los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son todos ceros, es decir, si llamamos O = [oij] a la matriz, entonces podemos escibir o21 = o31 = o32 = o12 = o13 = o23 = 0, lo cual implica que O es una matriz diagonal. Definici´on 5 (Matriz escalar). Una matriz escalar es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales, es decir, An×n = [aij] es escalar si: 1. aij = 0 ∀ i = j. 2. aij = c ∀ i = j.
  • 18. 8 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 8. Las matrices A, B y C dadas a continuaci´on son escalares. A = −3 0 0 −3 , B =     4 0 0 0 4 0 0 0 4     y C =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     . Ejercicio 8. Construya una matriz escalar A2×2, otra B3×3 y una C4×4. Ejercicio 9. ¿Es la matriz     0 0 0 0 0 0 0 0 0     escalar? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente. Definici´on 6 (Matriz identidad). Una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos unos es llamada matriz identidad, es decir, An×n = [aij] es identidad si: 1. aij = 0 ∀ i = j. 2. aij = 1 ∀ i = j. Emplearemos la notaci´on In para representar a la matriz identidad de tama˜no n × n. Ejemplo 9. Son matrices identidad I2 = 1 0 0 1 , I3 =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     , I4 =       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       . Ejercicio 10. Construya I5 e I6. Ejercicio 11. ¿Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros por fuera de ella es una matriz identidad? Justifique su respuesta. Definici´on 7 (Suma de matrices). Dadas las matrices Am×n = [aij] y Bm×n = [bij] definimos su suma como A + B = C = [cij] donde cada cij = aij + bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
  • 19. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 9 Ejemplo 10. Dadas las matrices A =     4 2 −2 1 5 2 3 −2 1     y B =     −4 2 0 4 −5 0 3 2 5     , su suma es A + B =     4 2 −2 1 5 2 3 −2 1     +     −4 2 0 4 −5 0 3 2 5     =     4 + (−4) 2 + 2 (−2) + 0 1 + 4 5 + (−5) 2 + 0 3 + 3 (−2) + 2 1 + 5     =     0 4 −2 5 0 2 6 0 6     . Ejercicio 12. Determinar A + B, si A =     5 2 −2 3 3 −5 12 −1 11 2 0 5     y B =     −1 2 −7 3 4 5 −2 2 2 −5 3 −4     . Ejercicio 13. Las matrices A = 5 2 −2 4 −5 2 y B =     −1 2 4 5 25 4     no pueden ser sumadas. ¿Por qu´e? Teorema 1 (Suma de matrices diagonales). La suma de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. Nota. Para probar un teorema debemos identificar claramente la(s) hip´otesis y la tesis. En este caso la hip´otesis consiste en dos matrices diagonales de igual dimensi´on y la tesis, es decir, lo que hay que probar, es que su suma es una matriz diagonal.
  • 20. 10 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sean An×n = [aij] y Bn×n = [bij], matrices diagonales hip´otesis Para i, j = 1, . . . , n se tiene 2 aij = 0 para i = j, definici´on de matriz diagonal en 1 3 bij = 0 para i = j, definici´on de matriz diagonal en 1 4 Sea A + B = C = [cij], suma de matrices 5 cij = aij + bij, definici´on de suma de matrices en 4 6 cij = 0 para i = j, por 2 y 3 en 5 . Luego, por 6 , C es diagonal por definici´on de matriz diagonal. Ejercicio 14. Para verificar el teorema 1, invente dos matrices diagonales y s´umelas. Ejercicio 15. Probar que la suma de dos matrices escalares es una matriz escalar. Ejercicio 16. Para verificar las pruebas realizadas en el ejercicio 15, invente dos matrices escalares de tama˜no seis por seis y s´umelas. Nota. Si se le dificulta realizar el ejercicio 15, primero realice al menos tres veces el ejercicio 16. Tenga en cuenta la diferencia entre verificar y probar un teorema. Definici´on 8 (Multiplicaci´on de un escalar por una matriz). Dados c ∈ R, un escalar, y Am×n = [aij], definimos la multiplicaci´on de un escalar por una matriz como cA = B = [bij] donde cada bij = caij , es decir, para multiplicar un escalar por una matriz, simplemente multiplicamos el escalar por cada entrada de la matriz. Ejemplo 11. Sean c = −3 y A =     2 3 4 1 −2 0     ,
  • 21. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 11 entonces cA = (−3)     2 3 4 1 −2 0     =     −3 × 2 −3 × 3 −3 × 4 −3 × 1 −3 × (−2) −3 × 0     =     −6 −9 −12 −3 6 0     . Ejercicio 17. Si c = 5 y B = −3 2 6 −1 2 5 −2 −4 , entonces cB =? Ejercicio 18. Si c = −1, d = 4, A = −2 5 −1 2 −3 4 y B = 0 −1 4 2 3 1 , entonces cA + dB = 2 −9 17 6 15 0 . Verif´ıquelo. Definici´on 9 (Diferencia de matrices). Dadas las matrices Am×n = [aij] y Bm×n = [bij] definimos su diferencia (tambi´en llamada resta) como A+(−1)B = A − B = C = [cij] donde cada cij = aij − bij para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
  • 22. 12 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 12. Dadas las matrices A =     −1 2 0 4 5 2 −3 2 4     y B =     −3 2 2 4 −5 0 −1 2 −3     , su diferencia es A − B =     −1 2 0 4 5 2 −3 2 4     −     −3 2 2 4 −5 0 −1 2 −3     =     −1 − (−3) 2 − 2 0 − 2 4 − 4 5 − (−5) 2 − 0 −3 − (−1) 2 − 2 4 − (−3)     =     2 0 −2 0 10 2 −2 0 7     . Ejercicio 19. 1. Probar que la resta de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. 2. Probar que la resta de dos matrices escalares es una matriz escalar. Ejercicio 20. Para verificar las pruebas realizadas en el ejercicio 19, invente dos matrices diagonales de tama˜no seis por seis y r´estelas. Tambi´en invente dos matrices escalares de tama˜no seis por seis y r´estelas. Si se le dificulta realizar el ejercicio 19, primero realice al menos tres veces el ejercicio 20. Definici´on 10 (Transpuesta de una matriz). Dada la matriz Am×n = [aij], entonces su transpuesta es AT = [aji] donde cada aT ij = aji para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, es decir, la transpuesta de una matriz es aquella que se obtiene al convertir las filas en columnas. Ejemplo 13. Sea A = 1 0 3 7 2 4 −2 5 ,
  • 23. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 13 entonces AT =       1 2 0 4 3 −2 7 5       . Ejercicio 21. Si B =       −3 4 4 3 0 −2 4 7       , determine su transpuesta. Ejercicio 22. Construya cinco matrices de diferentes tama˜nos y determine la transpuesta de cada una. Ejemplo 14 (Resta de matrices y multiplicaci´on por un escalar). Dados A = 3 −2 1 2 0 5 , B =     −5 2 0 1 1 4    , c = −1 y d = 3; encontrar c dA − BT . Soluci´on. c dA − BT = −1 3 3 −2 1 2 0 5 − −5 0 1 2 1 4 = −1 3 × 3 3 × (−2) 3 × 1 3 × 2 3 × 0 3 × 5 − −5 0 1 2 1 4 = −1 9 −6 3 6 0 15 − −5 0 1 2 1 4 = −1 9 − (−5) −6 − 0 3 − 1 6 − 2 0 − 1 15 − 4 = −1 14 −6 2 4 −1 11
  • 24. 14 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 = (−1) × 14 (−1) × (−6) (−1) × 2 (−1) × 4 (−1) × (−1) (−1) × 11 = −14 6 −2 −4 1 −11 . Ejercicio 23. Dados A = 4 2 1 4 5 −8 , B =     5 2 −2 0 1 −3    , c = 2 y d = −3; encontrar c dA + BT . Definici´on 11 (Matriz sim´etrica). Una matriz A es sim´etrica si es igual a su transpuesta, es decir, si A = AT . Ejemplo 15. La matriz B =       −3 5 −1 −4 5 −8 4 7 −1 4 0 −1 −4 7 −1 6       es sim´etrica, pues B = BT . Se puede observar que cada aij = aji. Ejercicio 24. ¿Es la matriz A =     1 2 −1 2 3 4 −1 4 0     sim´etrica? Justifique su respuesta. Ejercicio 25. Construya tres matrices sim´etricas. Ejercicio 26. Para que una matriz sea sim´etrica, ¿cu´al o cu´ales de las defini- ciones vistas hasta el momento debe cumplir? Justifique su respuesta. Definici´on 12 (Matriz antisim´etrica). Una matriz A es antisim´etrica si AT = −A.
  • 25. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 15 Ejemplo 16. La matriz A =     0 −1 −3 1 0 −4 3 4 0     es antisim´etrica, pues AT = −A. Verif´ıquelo. Ejercicio 27. Construya tres matrices antisim´etricas. Ejercicio 28. Para que una matriz sea antisim´etrica, ¿cu´al o cu´ales de las defi- niciones vistas hasta el momento debe cumplir? Justifique su respuesta. Definici´on 13 (Triangular superior). Una matriz An×n = [aij] es triangular superior (△S) si aij = 0 ∀ i > j, es decir, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo 17. Las matrices A, B y C son △S: A =     1 3 0 0 2 −2 0 0 −5     , B =       −3 2 1 4 0 0 0 0 0 0 2 7 0 0 0 5       , C =          c11 c12 · · · · · · c1n 0 c22 · · · · · · c2n 0 0 c33 · · · c3n ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 cnn          . Ejercicio 29. Construya tres matrices que sean △S. Ejercicio 30. ¿Es la matriz O =     0 0 0 0 0 0 0 0 0     . △S? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente. Teorema 2 (Suma de matrices triangulares superiores). La suma de dos matri- ces △S es una matriz △S.
  • 26. 16 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sean An×n = [aij] y Bn×n = [bij] △S, hip´otesis Para i, j = 1, . . . , n se tiene 2 aij = 0 para i > j, definici´on de △S en 1 3 bij = 0 para i > j, definici´on de △S en 1 4 Sea A + B = C = [cij], suma de matrices 5 cij = aij + bij, por definici´on de suma de matrices 6 cij = 0 para i > j, por 2 y 3 en 5 . Luego, por 6 , C es △S por definici´on de matriz △S. Ejercicio 31. Para verificar el teorema 2, invente dos matrices △S y s´umelas. Ejercicio 32. Probar que la resta de dos matrices △S es una matriz △S. Definici´on 14 (Triangular inferior). Una matriz An×n = [aij] es triangular inferior (△I) si aij = 0 ∀ i < j, es decir, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo 18. Las matrices A, B y C son △I A =     5 0 0 −2 2 0 3 7 4     , B =       4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1       , C =           c11 0 · · · · · · 0 c12 c22 · · · · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 cn1 cn2 · · · · · · cnn           . Observe que B tambi´en es △S. Ejercicio 33. Construya tres matrices que sean △I. Ejercicio 34. ¿Es la matriz O =     0 0 0 0 0 0 0 0 0     △I? Justifique su respuesta verbal y matem´aticamente.
  • 27. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 17 Ejercicio 35. ¿Es On×n =           0 0 · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · · · · 0           △I, es △S? Justifique sus respuestas verbal y matem´aticamente. Ejercicio 36. 1. Probar que la suma de dos matrices △I es una matriz △I. 2. Probar que la resta de dos matrices △I es una matriz △I. Ejercicio 37. Para verificar las pruebas realizadas en el ejercicio 36, invente dos matrices △S de tama˜no cinco por cinco. S´umelas y luego r´estelas. Si se le dificulta realizar el ejercicio 36, primero realice al menos tres veces el ejercicio 37. Teorema 3 (Matriz diagonal). Si una matriz es al mismo tiempo △S y △I, entonces es una matriz diagonal. Prueba. 1 Sea A = [aij] △S y △I, hip´otesis Para i, j = 1, . . . , n se tiene 2 aij = 0 para i > j, por A ser △S 3 aij = 0 para i < j, por A ser △I 4 aij = 0 para i = j, por 2 y 3 . Luego, por 4 y definici´on de matriz diagonal, A es diagonal. Ejercicio 38. Invente dos matrices que sean △S y △I al mismo tiempo. S´umelas. El resultado debe ser una matriz diagonal de acuerdo al teorema 3. Ejercicio 39. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique.
  • 28. 18 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 1.2 Multiplicaci´on de matrices La multiplicaci´on de matrices es una operaci´on efectuada entre dos matrices de acuerdo a reglas que aprenderemos en la presente secci´on. Viene dada por un algoritmo de f´acil implementaci´on en un computador. Es muy ´util para la soluci´on de sistemas de ecuaciones de muchas variables. Tiene aplicaciones en el c´alculo num´erico, al igual que poderosas aplicaciones como diversos programas matem´aticos. Actualmente se utiliza mucho en el c´alculo de microarrays y en el ´area de la bioinform´atica. Definici´on 15 (Vector). Por ahora, definiremos vector como una matriz de n filas y una columna. Denotaremos a los vectores con letras min´usculas con una flecha encima, por ejemplo, u = [ui], con i = 1, . . . , n. Ejemplo 19. Son vectores u =       5 3 −1 0       , v = 7 4 , w =     1 −3 −7     . Ejercicio 40. Escriba 10 vectores de diferentes tama˜nos. Definici´on 16 (Producto escalar). Dados dos vectores u =        u1 u2 ... un        y v =        v1 v2 ... vn        , definimos su producto escalar como u·v = u1v1 +u2v2 +· · · +unvn = n i=1 uivi, es decir, para encontrar el producto escalar entre dos vectores, estos deben ser de igual tama˜no y el resultado es un escalar que se obtiene al sumar los resultados de las multiplicaciones efectuadas componente a componente. Ejemplo 20. Sean los vectores u =       4 −3 −1 7       y v =       1 0 −2 1       ,
  • 29. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 19 entonces su producto escalar es u·v = 4×1+(−3)×0+(−1)×(−2)+7×1 = 13. Ejercicio 41. Encontrar el producto escalar de u =       2 5 −1 3       y v =       4 −2 −2 3       . Respuesta: 9. Ejercicio 42. Construya tres pares de vectores y encuentre el producto escalar de cada par. Teorema 4 (Algunas propiedades del producto escalar). Dados a, b y c, n- vectores, y k un escalar, entonces: 1. a · b = b · a (conmutatividad). 2. (a + b) · c = a · c + b · c (distributividad). 3. (ka) · b = a · (kb) = k(a · b) (asociatividad). 4. a · a 0 (positividad). 5. a · a = 0 si y solo si a = 0. 6. a · 0 = 0. Prueba de 1. 1 Sean a = [ai] y b = [bi] n-vectores, hip´otesis 2 a · b = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn, definici´on de producto escalar 3 = b1a1 + b2a2 + · · · + bnan, conmutatividad en R 4 = b · a, definici´on de producto escalar. Luego a · b = b · a por 2 a 4 . Ejemplo 21. Dados los vectores a =       4 −3 1 0       y b =       1 −1 −2 1       ,
  • 30. 20 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 entonces a · b = 4 × 1 + (−3) × (−1) + 1 × (−2) + 0 × 1 = 5 y b · a = 1 × 4 + (−1) × (−3) + (−2) × 1 + 1 × 0 = 5 , por lo tanto se verifica que a · b = b · a. Ejercicio 43. Para cada par de vectores de los que invent´o en el ejercicio 42, verifique la parte 1 del teorema 4. Prueba de 2. 1 Sean a = [ai], b = [bi] y c = [ci] n-vectores, hip´otesis 2 (a + b) · c = (a1 + b1)c1 + (a2 + b2)c2 + · · · + por suma de vectores (an + bn)cn, y producto escalar 3 = a1c1 + b1c1 + a2c2 + b2c2 + · · · + ancn + bncn, distributividad en R 4 = (a1c1 + a2c2 + · · · + ancn)+ (b1c1 + b2c2 + · · · + bncn), conmutatividad en R 5 = a · c + b · c, producto escalar. Luego (a + b) · c = a · c + b · c por 2 a 5 . Ejemplo 22. Dados los vectores a =       4 −3 1 0       , b =       1 −1 −2 1       y c =       −1 2 3 −1       , entonces (a + b) · c =             4 −3 1 0       +       1 −1 −2 1             ·       −1 2 3 −1      
  • 31. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 21 =       5 −4 −1 1       ·       −1 2 3 −1       = (−5) × 1 + (−4) × 2 + (−1) × 3 + 1 × (−1) = −17 y a · c + b · c =       4 −3 1 0       ·       −1 2 3 −1       +       1 −1 −2 1       ·       −1 2 3 −1       = [4 × (−1) + (−3) × 2 + 1 × 3 + 0 × (−1)]+ [1 × (−1) + (−1) × 2 + (−2) × 3 + 1 × (−1)] = (−7) + (−10) = −17 . Por lo tanto se verifica que (a + b) · c = a · c + b · c. Ejercicio 44. Dados los vectores a =       1 −2 2 3       , b =       3 0 −2 1       y c =       −3 2 1 0       , realizar primero (a + b) · c y luego a · c + b · c. Ejercicio 45. Elaborar la prueba de la parte 3 e inventar un ejercicio que veri- fique este numeral. Ejercicio 46. Elaborar las pruebas de las partes 4,5 y 6 e inventar un ejercicio que verifique cada numeral. Definici´on 17 (Multiplicaci´on de matrices). Sean Am×p = [aik] y Bp×n = [bkj], su producto es AB = Cm×n = [cij] donde cada cij = ai1b1j +ai2b2j +· · ·+aipbpj = p k=1 aikbkj, es decir, cada cij es la multiplicaci´on escalar entre la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda matriz.
  • 32. 22 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Para multiplicar dos matrices lo que primero se debe verificar es que el n´umero de columnas de la primera matriz debe ser igual al n´umero de filas de la segunda matriz; si son iguales, entonces, para hallar la matriz C resultante, cuyo tama˜no es el n´umero de filas de la primera matriz por el n´umero de columnas de la segunda matriz, procedemos de la siguiente forma: 1. El elemento c11 es igual al producto escalar entre la fila 1 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz. 2. El elemento c12 es igual al producto escalar entre la fila 1 de la primera matriz y la columna 2 de la segunda matriz. 3. El elemento c13 es igual al producto escalar entre la fila 1 de la primera matriz y la columna 3 de la segunda matriz. 4. Y as´ı sucesivamente hallamos la primera fila de C. Ahora: 5. El elemento c21 es igual al producto escalar entre la fila 2 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz. 6. El elemento c22 es igual al producto escalar entre la fila 2 de la primera matriz y la columna 2 de la segunda matriz. 7. El elemento c23 es igual al producto escalar entre la fila 2 de la primera matriz y la columna 3 de la segunda matriz. 8. Y as´ı sucesivamente hallamos la segunda fila de C. 9. En forma similar a como hallamos las primeras dos filas, determinamos las siguientes filas. Ejemplo 23. Dadas A2×3 = 1 −3 5 2 2 −1 y B3×2 =     1 2 0 3 1 4     , encontrar AB. Soluci´on. Primero verificamos que la multiplicaci´on se pueda realizar, es decir, que el n´umero de columnas de la primera matriz, A, sea igual al n´umero de filas de la segunda matriz, B: para este caso es tres, luego, s´ı se puede realizar el producto.
  • 33. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 23 La matriz resultante tendr´a tama˜no: n´umero de filas de la primera matriz por n´umero de columnas de la segunda matriz; para este caso es 2 × 2. Luego, AB = 1 −3 5 2 2 −1     1 2 0 3 1 4     = 1 × 1 + (−3) × 0 + 5 × 1 1 × 2 + (−3) × 3 + 5 × 4 2 × 1 + 2 × 0 + (−1) × 1 2 × 2 + 2 × 3 + (−1) × 4 = 6 13 1 6 . Ahora realicemos BA: BA =     1 2 0 3 1 4     1 −3 5 2 2 −1 =     1 × 1 + 2 × 2 1 × (−3) + 2 × 2 1 × 5 + 2 × (−1) 0 × 1 + 3 × 2 0 × (−3) + 3 × 2 0 × 5 + 3 × (−1) 1 × 1 + 4 × 2 1 × (−3) + 4 × 2 1 × 5 + 4 × (−1)     =     5 1 3 6 6 −3 9 5 1     . Se observa claramente que la multiplicaci´on de matrices no es conmutativa. Ejercicio 47. Dadas A =     0 −3 1 3 4 −2 2 0 5     y B =     −1 2 0 3 1 4     , encontrar AB. Respuesta:     1 −5 −5 10 3 24    .
  • 34. 24 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 24. A cualquier matriz Am×n al multiplicarla por la correspondiente matriz identidad se obtiene nuevamente A, es decir, ImAm×n = Am×nIn = A. Por ejemplo: sea A =     5 1 1 0 −5 7     , entonces     1 0 0 0 1 0 0 0 1         5 1 1 0 −5 7     =     5 1 1 0 −5 7     1 0 0 1 =     5 1 1 0 −5 7     . Ejemplo 25 (Suma y multiplicaci´on de matrices). Dadas A =     5 0 1 −3 4 −3 −1 2 −2     , B =     1 0 3 4 −4 1 1 −3 2     y C =     3 1 1 2 0 4     , encontrar (A + B)C. Soluci´on. (A + B)C =         5 0 1 −3 4 −3 −1 2 −2     +     1 0 3 4 −4 1 1 −3 2             3 1 1 2 0 4     =     6 0 4 1 0 −2 0 −1 0         3 1 1 2 0 4     =     6 × 3 + 0 × 1 + 4 × 0 6 × 1 + 0 × 2 + 4 × 4 1 × 3 + 0 × 1 + (−2) × 0 1 × 1 + 0 × 2 + (−2) × 4 0 × 3 + (−1) × 1 + 0 × 0 0 × 1 + (−1) × 2 + 0 × 4     =     18 22 3 −7 −1 −2     .
  • 35. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 25 Ejercicio 48. Dadas A =     1 −2 5 3 4 2 1 3 3     , B =     2 6 −4 4 2 1 5 −3 0     y C =     2 −1 3 0 −4 1     , encontrar (A + B)C. Respuesta:     14 −2 20 −4 0 −3     . Ejemplo 26. La microempresa de manillas Macaos, entre otros, fabrica dos tipos de manillas: la manilla sencilla (ms) y la manilla especial (me). Para cada ms emplea 20 cent´ımetros de hilo (h), un dije (d) y 5 minutos de mano de obra (o); para cada me emplea 30 cent´ımetros de hilo, 2 dijes y 10 minutos de mano de obra. Ambos productos son elaborados en dos lugares diferentes: la ciudad (c) y el pueblo (p). El costo de cada cent´ımetro de hilo en la ciudad es de $10, cada dije $200 y la mano de obra tiene un costo de $50 el minuto. Los costos respectivos en el pueblo son: $15, $250 y $40. La gerente de Macaos desea saber los costos de cada manilla en cada lugar de producci´on. Soluci´on. Si representemos, mediante una matriz las componentes de cada ma- nilla: h d o A = ms me 20 1 5 30 2 10 y mediante otra matriz los costos de cada componente por sucursal c p B = h d o     10 15 200 250 50 40     ,
  • 36. 26 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 entonces, c p A × B = ms me 650 750 1200 1350 . Lo anterior significa que el valor de producci´on de una manilla sencilla en la ciudad es de $650, mientras que en el pueblo es de $750. Y que el valor de producci´on de una manilla especial en la ciudad es de $1200, y en el pueblo es de $1350. Ejemplo 27 (Contacto con una enfermedad contagiosa). Suponga que tres in- dividuos han contra´ıdo una enfermedad. Este grupo entra en contacto con cinco personas de un segundo grupo y algunos de primer grupo contagian a algunos del segundo grupo. Estos contagios, llamados contagios directos, se representan en la matriz A3×5 A =     0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1     , donde aij = 1 si la i-´esima persona del primer grupo contagia a la j-´esima persona del segundo grupo. Por ejemplo, a1,2 = 1 significa que la primera persona del primer grupo contagi´o a la segunda persona del segundo grupo. Ahora suponga que un tercer grupo de cuatro personas tiene varios contactos directos con individuos del segundo grupo y algunos son infectados. Esto es representado mediante la matriz B =          0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1          , donde bij = 1 significa que la i-´esima persona del segundo grupo infect´o a la j-´esima persona del tercer grupo. Por ejemplo, b5,1 = 1 significa que la quinta persona del segundo grupo (infectada) entr´o en contacto con la primera persona del tercer grupo y la infect´o.
  • 37. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 27 Los contagios indirectos o de segundo orden entre individuos del primero y tercer grupos se representan mediante la matriz C = (AB)3×4. Para ver esto, observe que una persona del grupo 3 puede quedar contagiada por alguien del grupo 2, quien a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. Por ejemplo, como a12 = 1 y b23 = 1, entonces la tercera persona del grupo 3 obtuvo contagio (a trav´es de la segunda persona del grupo 2) con la primera persona del grupo 1. El n´umero total de contagios indirectos entre la primera persona del grupo 1 y la tercera persona del grupo 3 est´a dado por c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 + a14b43 + a15b53 = 0 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 0 = 2 . Ahora, la matriz de contagios indirectos es C = AB =     2 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1     − Observe que todas las persona del grupo 3 tienen contagios indirectos con la enfermedad. La tercera persona de este grupo tiene 4 contagios indirectos. Ejercicio 49 (Transmisi´on de datos). En las comunicaciones actuales la trans- misi´on de datos se realiza mediante el env´ıo de grupos de bits, unos y ceros, llamados palabras. A veces, durante las transmisiones ocurren errores, por ejem- plo, el emisor env´ıa la palabra 0100, pero se recibe 0101. Para solucionar el problema existen c´odigos correctores, por ejemplo, para enviar 0100 se env´ıa 0100101. Suponga que el receptor recibe 0101101, entonces, de alguna forma, ´el sabe que hay un error, pues esta ´ultima palabra no hace parte de su acervo. El re- ceptor, mediante alg´un algoritmo, determina que la palabra correcta es 0100101 y, entonces, toma los primeros cuatro bits 0100. Suponga que se desea transmitir palabras de cuatro bits, es decir, las siguien- tes: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 . Encontrar las palabras correspondientes de siete bits que deben ser transmi- tidas para que el receptor determine si la palabra recibida es correcta o no. Para
  • 38. 28 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 ello realice la multiplicaci´on de matrices [x1 x2 x3 x4]       1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1       , donde [x1 x2 x3 x4] es la palabra de cuatro bits a ser transmitida. Nota. Sume en binario m´odulo dos, es decir, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Ejercicio 50. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique. 1.3 Propiedades de las operaciones con matrices Teorema 5 (De la suma). Sean A, B, C matrices de tama˜no m × n, entonces 1. A + B = B + A (conmutatividad). 2. A + (B + C) = (A + B) + C (asociatividad). 3. Existe una ´unica matriz Om×n tal que A + O = O + A = A (matriz nula). 4. Para toda matriz Am×n existe una ´unica matriz Dm×n tal que A + D = O. Tal matriz la escribiremos como −A y la llamaremos la inversa aditiva de A. Entonces A + (−A) = O. Probaremos la asociatividad. Prueba. 1 A = [aij], B = [bij], C = [cij] ∈ Mm×n, hip´otesis 2 A + (B + C) = D = [dij] ∈ Mm×n, suma de matrices Ahora, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n 3 dij = aij + (bij + cij) def. de suma de matrices 4 = (aij + bij) + cij asociatividad en R 5 D = (A + B) + C, de 3 y 4 . Luego, A + (B + C) = (A + B) + C por 2 a 5 .
  • 39. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 29 Ejercicio 51. Pruebe que A + B = B + A. Ejercicio 52. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 5. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Teorema 6 (De la multiplicaci´on). Sean las matrices A, B y C de los tama˜nos apropiados. Entonces: 1. A(BC) = (AB)C (asociatividad). 2. A(B + C) = AB + AC (distributividad a la izquierda). 3. (A + B)C = AC + BC (distributividad a la derecha). Probaremos A(B + C) = AB + AC. Prueba. 1 Sea A = [aij] ∈ Mm×p, hip´otesis 2 B = [bij] y C = [cij] ∈ Mp×n, hip´otesis 3 A(B + C) = D = [dij] ∈ Mm×n, suma y multiplicaci´on de matrices Ahora, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n 4 dij = p k=1 aik(bkj + ckj) definici´on de suma y multiplicaci´on de matrices 5 = p k=1 (aikbkj + aikckj), distributividad en R 6 = p k=1 aikbkj + p k=1 aikckj, propiedad de sumatoria 7 D = AB + AC, definici´on de multiplicaci´on de matrices. Luego A(B + C) = AB + AC, por 3 a 7 . Ejercicio 53 (Distributividad). Probar que (A + B)C = AC + BC. Ejercicio 54. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 6. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Teorema 7 (De la multiplicaci´on por un escalar). Sean r, s escalares y A y B matrices de los tama˜nos adecuados, entonces: 1. r(sA) = (rs)A. 2. (r + s)A = rA + sA.
  • 40. 30 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3. r(A + B) = rA + rB. 4. A(rB) = r(AB) = (rA)B. Probaremos r(A + B) = rA + rB. Prueba. 1 A = [aij], B = [bij] ∈ Mm×n, hip´otesis 2 r es un escalar, hip´otesis 3 r(A + B) = C = [cij] ∈ Mm×n, suma de matrices y multiplicaci´on por un escalar Ahora, para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n 4 cij = r(aij + bij), definici´on de suma de matrices y multiplicaci´on por un escalar 5 = raij + rbij, distributividad en R 6 C = rA + rB, por 4 y 5 . Luego, r(A + B) = rA + rB por 3 = 6 . Ejercicio 55 (Distributividad de la suma de dos escalares por una matriz). Probar que (r + s)A = rA + sA. Ejercicio 56. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 7. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Ejercicio 57. Si usted tuviese que realizar un algoritmo en el que hay involu- crada una matriz de 100 millones de entradas y se viese enfrentad@ a realizar la operaci´on r(sA), ¿realizar´ıa esta operaci´on? O aplicar´ıa la primera propiedad del teorema 7, r(sA) = (rs)A, para ejecutar (rs)A. Puede justificar su respuesta sin usar t´erminos matem´aticos. Teorema 8 (De la transpuesta). Sean r un escalar y A y B matrices de los tama˜nos apropiados, entonces 1. AT T = A. 2. (A + B)T = AT + BT . 3. (AB)T = BT AT . 4. (rA)T = rAT .
  • 41. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 31 Ejemplo 28. Dadas A =     4 0 1 −3 5 0 −1 2 −6     y B =     0 2 3 4 −3 1 2 −1 5     , verificar (A + B)T = AT + BT . Soluci´on. Veamos a qu´e es igual (A + B)T . (A + B)T =         4 0 1 −3 5 0 −1 2 −6     +     0 2 3 4 −3 1 2 −1 5         T =         4 2 4 1 2 1 1 1 −1         T =     4 1 1 2 2 1 4 1 −1     . Ahora veamos a qu´e es igual AT + BT . AT + BT =     4 0 1 −3 5 0 −1 2 −6     T +     0 2 3 4 −3 1 2 −1 5     T =     4 −3 −1 0 5 2 1 0 −6     +     0 4 2 2 −3 −1 3 1 5     =     4 1 1 2 2 1 4 1 −1     . Como (A + B)T = AT + BT , entonces hemos verificado la segunda parte del teorema 8.
  • 42. 32 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejercicio 58. Realice dos ejemplos de cada una de las propiedades del teorema 8. Recuerde que los ejemplos sirven para verificar, mas no para probar. Ejercicio 59. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique. 1.4 Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales La palabra ecuaci´on proviene del lat´ın aequatio que significa igualdad. Una ecua- ci´on es una igualdad en la que hay algunas cantidades desconocidas; por ejemplo, 3x + 2y = 5 es una ecuaci´on en la que hay dos inc´ognitas: la x y la y llamadas variables. La pregunta es, ¿cu´al par de valores satisface la ecuaci´on? Observe que x = 1 y y = 1 cumplen. ¿Existen otros valores que cumplen esta igualdad? La respuesta es s´ı, de hecho, en este caso, hay infinitos. Una ecuaci´on lineal es aquella ecuaci´on donde todas las variables est´an ele- vadas a la potencia uno. De ecuaciones lineales es sobre lo que hablaremos en este texto. En general, una ecuaci´on lineal, de n inc´ognitas, se escribe como a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b, donde los ai son llamados coeficientes, las xi son las variables y b es el t´ermino independiente. Ahora, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales y se escribe como a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm , donde se indica que hay m ecuaciones y n inc´ognitas. Este sistema de ecuaciones puede ser escrito matricialmente como        a11x1 a12x2 · · · a1nxn a21x1 a22x2 · · · a2nxn ... ... ... am1x1 am2x2 · · · amnxn        =        b1 b2 ... bm        ,
  • 43. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 33        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn               x1 x2 ... xn        =        b1 b2 ... bm        , que en forma abreviada se representa como Ax = b . La matriz A es llamada matriz de coeficientes. Adem´as, al agregar el vector b a la matriz A obtenemos la matriz aumentada A ... b =         a11 a12 · · · a1n ... b1 a21 a22 · · · a2n ... b2 ... ... ... ... ... am1 am2 · · · amn ... bm         . Ejemplo 29. El sistema lineal 7x1 + 4x2 − 3x3 = 8 5x1 − 2x2 + x3 = 4 6x1 − 3x2 + 6x3 = 9 puede ser representado matricialmente como     7 4 −3 5 −2 1 6 −3 6         x1 x2 x3     =     8 4 9     , donde su matriz aumentada es      7 4 −3 ... 8 5 −2 1 ... 4 6 −3 6 ... 9      .
  • 44. 34 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Definici´on 18 (Matriz escalonada reducida). Una matriz Am×n est´a en forma escalonada reducida por filas si cumple las siguientes caracter´ısticas: 1. Si existen filas de ceros (filas nulas), estas se encuentran en la parte inferior de la matriz. 2. En las filas no nulas, el primer n´umero no nulo es un uno. Y, antes de ´el, si hay n´umeros, son ceros. Este uno es llamado uno principal o pivote. 3. Cuando en una fila hay un uno principal, este se encuentra abajo y a la derecha de los otros unos principales superiores. 4. Si una fila contiene un uno principal, entonces los dem´as elementos de la correspondiente columna son ceros. Una matriz Am×n que satisface las tres primeras propiedades es llamada escalo- nada por filas. Ejemplo 30. Las matrices A =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     , B =     1 0 −3 0 1 0 0 0 0     y C =     1 0 0 0 −6 0 0 1 0 7 0 0 0 1 0     est´an en forma escalonada reducida por filas. Las matrices A =     1 0 −4 0 1 0 0 0 1     , B =     1 3 3 0 1 0 0 0 0     y C =     1 0 3 −2 4 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0     est´an en forma escalonada por filas. Nota. Las definiciones y operaciones que se realicen con las filas tambi´en se pueden realizar con las columnas en forma similar. Para simplificar, solo traba- jaremos con filas. Definici´on 19 (Operaciones elementales fila). Son tres las operaciones elemen- tales fila permitidas en las matrices: 1. fi ↔ fj: intercambie las filas i y la j.
  • 45. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 35 2. fi ← cfi: a la fila i as´ıgnele la fila i multiplicada por c, c = 0. 3. fi ← fi + cfj: a la fila i as´ıgnele la fila i m´as c veces la fila j. Ejemplo 31. Mediante operaciones elementales fila, convierta la matriz aumen- tada A ... b =      2 1 1 ... 1 2 −1 1 ... −3 1 1 −1 ... 0      en escalonada reducida. Soluci´on. El objetivo es llevar esta matriz a la forma      1 0 0 ... a 0 1 0 ... b 0 0 1 ... c      , si es posible, o al menos a escalonada. Entonces, por medio de operaciones ele- mentales fila, tenemos: f1 ←→ f3      1 1 −1 ... 0 2 −1 1 ... −3 2 1 1 ... 1      f2 ←− f2 −2f1 f3 ←− f3 −2f1      1 1 −1 ... 0 0 −3 3 ... −3 0 −1 3 ... 1      f2 ←− −1 3 f2      1 1 −1 ... 0 0 1 −1 ... 1 0 −1 3 ... 1      f1 ←− f1 −f2 f3 ←− f3 +f2      1 0 0 ... −1 0 1 −1 ... 1 0 0 2 ... 2      f3 ←− 1 2f3      1 0 0 ... −1 0 1 −1 ... 1 0 0 1 ... 1      f2 ←− f2 + f3      1 0 0 ... −1 0 1 0 ... 2 0 0 1 ... 1      .
  • 46. 36 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Nota. siempre determine un uno principal como pivote y realice las operaciones elementales fila alrededor de ´el. No hacerlo puede generar errores como      1 1 1 ... 3 1 3 1 ... 5 1 4 1 ... 6      f2 ←− f2 −f3 f3 ←− f3 −f2      1 1 1 ... 3 0 −1 0 ... −1 0 1 0 ... 1      ; luego, al sumarle a la fila tres la fila dos (f3 ←− f3 + f2), la fila tres queda nula. Lo que, como veremos m´as adelante, es un error. ¡Atenci´on! No cometa los siguientes errores: 1. Una fila no puede ser multiplicada por cero. 2. A una fila no le reste la misma fila. 3. A una fila no se le puede sumar un escalar. Ejercicio 60. Dada la matriz aumentada      3 2 1 ... 16 2 1 1 ... 11 1 3 2 ... 19      , del ejemplo 2, ll´evela a escalonada reducida mediante operaciones elementales fila. Respuesta.      1 0 0 ... 2 0 1 0 ... 3 0 0 1 ... 4      . Definici´on 20 (Matrices equivalentes). Dos matrices Am×n y Bm×n son equi- valentes si una se puede obtener de la otra por medio de operaciones elementales fila. En el ejemplo 31, la matriz A ... b y las siguientes, obtenidas al ejecutar operaciones elementales fila, son todas equivalentes entre s´ı.
  • 47. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 37 Teorema 9. Toda matriz Am×n es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas. En el ejemplo 31, la matriz A ... b es equivalente por filas a la pen´ultima matriz      1 0 0 ... −1 0 1 −1 ... 1 0 0 1 ... 1      , la cual est´a en forma escalonada. Teorema 10. Toda matriz Am×n es equivalente por filas a una ´unica matriz escalonada reducida por filas. En el ejemplo 31, la matriz A ... b es equivalente por filas a la ´ultima matriz      1 0 0 ... −1 0 1 0 ... 2 0 0 1 ... 1      , la cual est´a en forma escalonada reducida. Adem´as, gracias al teorema 10, po- demos asegurar que esta es la ´unica matriz escalonada reducida equivalente por filas a la matriz A ... b , es decir, no existe otra. Teorema 11. Dados dos sistemas lineales Ax = b y Cx = d, cada uno con m ecuaciones y n inc´ognitas. Si las matrices aumentadas A ...b y C ...d son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen la misma soluci´on. Ejemplo 32. En el ejemplo 31, la matriz aumentada A ... b y la ´ultima matriz aumentada, equivalente por filas, representan dos sistemas lineales diferentes que tienen exactamente la misma soluci´on, es decir,      2 1 1 ... 1 2 −1 1 ... −3 1 1 −1 ... 0      y      1 0 0 ... −1 0 1 0 ... 2 0 0 1 ... 1     
  • 48. 38 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 representan los sistemas lineales 2x1 + x2 + x3 = 1 x1 + 0x2 + 0x3 = −1 2x1 − x2 + x3 = −3 y 0x1 + x2 + 0x3 = 2 x1 + x2 − x3 = 0 0x1 + 0x2 + x3 = 1 , respectivamente; y aunque ambos sistemas lineales son diferentes, tienen la mis- ma soluci´on por sus matrices aumentadas ser equivalentes entre s´ı. El asunto es que del segundo sistema lineal podemos leer directamente la soluci´on, la cual es x =     x1 x2 x3     =     −1 2 1     , que, por tanto, es la soluci´on del primer sistema lineal. Definici´on 21 (Rango de una matriz). El rango de una matriz A es el n´umero de filas no nulas de la matriz escalonada reducida por filas, B, que es equivalente a A. En el ejemplo 31, el rango de A es tres. Hemos visto que un sistema lineal podemos representarlo en forma matricial. Si tomamos la matriz aumentada correspondiente a un sistema lineal y la lleva- mos a su forma escalonada reducida por filas, entonces, de acuerdo al teorema 11, el nuevo sistema, representado por la matriz escalonada reducida por filas, tendr´a exactamente la misma soluci´on que el sistema original. Para solucionar sistemas lineales la idea es tomar su matriz aumentada y llevarla a escalonada reducida. En esta ´ultima es posible leer la soluci´on del sistema directamente. Este m´etodo se denomina reducci´on de Gauss–Jordan. Si la matriz aumentada solo se lleva a escalonada, entonces el m´etodo es denominado eliminaci´on de Gauss. Veamos varios ejemplos. Ejemplo 33 (Gauss–Jordan). Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solu- cionan el sistema x1 + x2 − x3 = −1 2x1 − x2 + x3 = 1 −x1 + 2x2 + x3 = 4 .
  • 49. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 39 Soluci´on. La matriz aumentada correspondiente es      1 1 −1 ... −1 2 −1 1 ... 1 −1 2 1 ... 4      . El objetivo es llevar esta matriz a la forma      1 0 0 ... a 0 1 0 ... b 0 0 1 ... c      , si es posible. Entonces por medio de operaciones elementales fila tenemos f2 ←− f2 −2f1 f3 ←− f3 + f1      1 1 −1 ... −1 0 −3 3 ... 3 0 3 0 ... 3      f2 ←→ f3      1 1 −1 ... −1 0 3 0 ... 3 0 −3 3 ... 3      f2 ←− 1 3 f2 f3 ←− 1 3 f3      1 1 −1 ... −1 0 1 0 ... 1 0 −1 1 ... 1      f1 ←− f1 +f3 f3 ←− f3 +f2      1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 1 0 0 1 ... 2      . Luego, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     0 1 2     . Para verificar el resultado se reemplazan los valores de x1, x2 y x3 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es tres y que el rango de la matriz de coeficientes tambi´en es tres. Ejercicio 61. Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solucionan el sistema x1 − x2 + x3 = 2 2x1 − 3x2 + x3 = −1 2x2 + x3 = 7 . Respuesta.
  • 50. 40 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 x =     x1 x2 x3     =     1 2 3     . Ejemplo 34 (Gauss–Jordan). Encontrar los valores de x1, x2 y x3 que solucio- nan el sistema 3x1 + x2 + 2x3 = 13 x2 − x3 = −5 x1 + x3 = 6 . Soluci´on. Reorganizando el sistema se tiene    3x1 + x2 + 2x3 = 13 0x1 + x2 − x3 = −5 x1 + 0x2 + x3 = 6 . La matriz aumentada es      3 1 2 ... 13 0 1 −1 ... −5 1 0 1 ... 6      . Entonces, por medio de operaciones elementales fila, tenemos f1 ←→ f3      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 3 1 2 ... 13      f3 ←− f3 − 3f1      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 1 −1 ... −5      f3 ←− f3 − f2      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 0 0 ... 0      . ⇒ x1 + x3 = 6 x2 − x3 = −5. ⇒ x1 = 6 − x3 x2 = x3 − 5. Sea x3 = r ∈ R, entonces x1 = 6 − r x2 = r − 5. As´ı     x1 x2 x3     =     6 − r r − 5 r     .
  • 51. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 41 De lo anterior se obtiene que el sistema tiene infinitas soluciones. Para verificar el resultado se reemplazan los valores de x1, x2 y x3 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es dos y que el rango de la matriz de coeficientes tambi´en es dos. Ejercicio 62. Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solucionan el sistema x1 − x2 + x3 = 1 2x1 − 3x2 + x3 = −1 4x1 − 5x2 + 3x3 = 1 . Respuesta. x =     x1 x2 x3     =     4 − 2r 3 − r r     , con r ∈ R. Ejemplo 35 (Gauss–Jordan). Encontrar los valores de x1, x2 y x3 que solucio- nan el sistema 3x1 + x2 + 2x3 = 13 x2 − x3 = −5 x1 + x3 = 10 . Soluci´on. Reorganizando el sistema se tiene    3x1 + x2 + 2x3 = 13 0x1 + x2 − x3 = −5 x1 + 0x2 + x3 = 10 . La matriz aumentada es      3 1 2 ... 13 0 1 −1 ... −5 1 0 1 ... 10      .
  • 52. 42 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Entonces, por medio de operaciones elementales fila, tenemos f1 ←→ f3      1 0 1 ... 10 0 1 −1 ... −5 3 1 2 ... 13      f3 ←− f3 − 3f1      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 1 −1 ... −17      f3 ←− f3 − f2      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 0 0 ... −12      f3 ←− − 1 12 f3      1 0 1 ... 6 0 1 −1 ... −5 0 0 0 ... 1      f1 ←− f1 −6f3 f2 ←− f2 +5f3      1 0 1 ... 0 0 1 −1 ... 0 0 0 0 ... 1      . De la tercera fila obtenemos que 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1, lo cual es absurdo; luego el sistema no tiene soluci´on. Note que el rango de la matriz aumentada es tres, pero que el rango de la matriz de coeficientes es dos. Ejercicio 63. Determinar los valores de x1, x2 y x3 que solucionan el sistema x1 − x2 + x3 = 1 2x1 − 3x2 + x3 = −1 4x1 − 5x2 + 3x3 = 3 . Respuesta. Al realizar varias operaciones elementales fila sobre la matriz au- mentada correspondiente, obtenemos que 0x1 +0x2 +0x3 = 2, lo cual es absurdo; luego el sistema no tiene soluci´on. Ejemplo 36 (Gauss–Jordan). Encontrar los valores de x1, x2, x3 y x4 que solucionan el sistema 2x1 − x2 + x3 = −1 4x2 − x3 + x4 = 9 x3 + x1 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 2 .
  • 53. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 43 Soluci´on. Reorganizando el sistema    2x1 − x2 + x3 + 0x4 = −1 0x1 + 4x2 − x3 + x4 = 9 x1 + 0x2 + x3 + 0x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 2 . La matriz aumentada es         2 −1 1 0 ... −1 0 4 −1 1 ... 9 1 0 1 0 ... 0 1 1 1 1 ... 2         . Efectuando operaciones elementales fila para llevar la matriz a escalonada reducida, tenemos f1 ←→ f4 f2 ←→ f3         1 1 1 1 ... 2 1 0 1 0 ... 0 0 4 −1 1 ... 9 2 −1 1 0 ... −1         f2 ←− f2 − f1 f4 ←− f4 −2f1         1 1 1 1 ... 2 0 −1 0 −1 ... −2 0 4 −1 1 ... 9 0 −3 −1 −2 ... −5         f2 ←− −f2 f3 ←− f3 +4f2 f4 ←− f4 −3f2         1 1 1 1 ... 2 0 1 0 1 ... 2 0 0 −1 −3 ... 1 0 0 −1 1 ... 1         f1 ←− f1 − f2 f3 ←− −f3 f4 ←− f4 − f3         1 0 1 0 ... 0 0 1 0 1 ... 2 0 0 1 3 ... −1 0 0 0 4 ... 0         f1 ←− f1 − f3 f4 ←− 1 4f4         1 0 0 −3 ... 1 0 1 0 1 ... 2 0 0 1 3 ... −1 0 0 0 1 ... 0         f1 ←− f1 +3f4 f2 ←− f2 − f4 f3 ←− f3 −3f4         1 0 0 0 ... 1 0 1 0 0 ... 2 0 0 1 0 ... −1 0 0 0 1 ... 0         . Entonces x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1 y x4 = 0 o x =       x1 x2 x3 x4       =       1 2 −1 0       .
  • 54. 44 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Para verificar se reemplazan los valores de x1, x2, x3 y x4 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es cuatro y que el rango de la matriz de coeficientes tambi´en es cuatro. Ejercicio 64 (Gauss–Jordan: circuitos el´ectricos). Un circuito el´ectrico sencillo est´a constituido por bater´ıas ( - + ), resistencias ( ) y cables el´ectricos (—) que los unen. La figura 1.3 ilustra un circuito el´ectrico I1 I2 I3 V: voltios Ω: ohmios I: intensidad - + - + Figura 1.3: circuito el´ectrico Se desea saber cu´ales son las intensidades I1, I2 e I3 (en amperios) que cir- culan por los cables. Para ello, mediante la ley de voltaje y ley de intensidad, ambas de Kirchhoff, se ha determinado que I1, I2 e I3 satisfacen I1 + I2 − I3 = 1 I1 − 2I2 = −1 I2 + 3I3 = 4 . Mediante el m´etodo de Gauss–Jordan, determinar los valores de las tres in- tensidades de corriente. Respuesta. I =     I1 I2 I3     =     1 1 1     . Teorema 12 (Rouch´e-Fr¨obenius). Un sistema de m ecuaciones lineales y n inc´ognitas, Ax = b, tiene soluci´on si y solo si el rango de A es igual al rango de A ... b .
  • 55. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 45 1. Si el rango de A es igual al rango de A ... b y es igual a n, entonces la soluci´on es ´unica. Observe el ejemplo 33. 2. Si el rango de A es igual al rango de A ... b y es menor que n, entonces existen infinitas soluciones. Observe el ejemplo 34. 3. Si el rango de A es diferente del rango de A ... b , entonces el sistema no tiene soluci´on. Observe el ejemplo 35. Ejemplo 37 (Gauss–Jordan). Determinar los valores de ‘a’ y ‘b’ de tal forma que el sistema 2x1 + 2x2 + ax3 = b − 4 x1 + x2 − 2x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 = 0 : 1. No tenga soluci´on. Explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Encontrar las soluciones. 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar alguna soluci´on. Soluci´on. La correspondiente matriz aumentada y la soluci´on, a continuaci´on      2 2 a ... b − 4 1 1 −2 ... 0 1 2 1 ... 0      f1 ←→ f3      1 2 1 ... 0 1 1 −2 ... 0 2 2 a ... b − 4      f2 ← f2 − f1 f3 ← f3−2f1      1 2 1 ... 0 0 −1 −3 ... 0 0 −2 a − 2 ... b − 4      f1 ← f1 + 2f2 f2 ← (−1)f2 f3 ← f3 − 2f2      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 a + 4 ... b − 4      . Entonces: 1. Con a = −4 y b = 4, por ejemplo b = 0, el sistema no tiene soluci´on. 2. Con a = −4 y b = 4 el sistema tiene infinitas soluciones.
  • 56. 46 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3. Con a = −4, por ejemplo, a = 1 y b = −1, el sistema tiene una ´unica soluci´on. Veamos 1. No tenga soluci´on Si a = −4 y b = 0, entonces      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 0 ... −4      f3 ← −1 4 f3      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 0 ... 1      De la fila 3 se observa que 0 = 1, lo cual es un absurdo, por lo tanto el sistema no tiene soluci´on. Adem´as, observe que el rango de A es dos y el de A ... b es tres, por lo tanto, el sistema no tiene soluci´on por el teorema 12. 2. Infinitas soluciones Si a = −4 y b = 4, entonces      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 0 ... 0      . De donde obtenemos las ecuaciones ⇒ x1 − 5x3 = 0 x2 + 3x3 = 0 . Lo que implica: x1 = 5x3 y x2 = −3x3. Ahora, si x3 = r ∈ R, entonces x1 = 5r y x2 = −3r. Luego, x =     x1 x2 x3     =     5r −3r r     . Observe que el rango de A es igual al de A ... b (dos), pero es menor que la cantidad de inc´ognitas (tres); lo que implica infinitas soluciones de acuerdo al teorema 12.
  • 57. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 47 3. Soluci´on ´unica Si a = −3 y b = 5, entonces tenemos      1 0 −5 ... 0 0 1 3 ... 0 0 0 1 ... 1      f1 ←− f1 +5f3 f2 ←− f2 −3f3      1 0 0 ... 5 0 1 0 ... −3 0 0 1 ... 1      . Luego, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     5 −3 1     Observe que el rango de A es igual al de A ... b y tambi´en es igual a la cantidad de inc´ognitas (tres), lo que implica soluci´on ´unica de acuerdo al teorema 12. Ejemplo 38 (Gauss–Jordan). Dado el sistema lineal x1 + x2 − 2x3 = −2 2x1 + 3x2 − 2x3 = 1 x1 + 3x2 + (a2 − 2)x3 = a + 6 . Encontrar los valores de a de tal forma que el sistema: 1. No tenga soluci´on, explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3. 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3 para alg´un a. Soluci´on. La matriz aumentada es      1 1 −2 ... −2 2 3 −2 ... 1 1 3 a2 − 2 ... a + 6      ,
  • 58. 48 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 entonces f2 ← f2−2f1 f3 ← f3 − f1      1 1 −2 ... −2 0 1 2 ... 5 0 2 a2 ... a + 8      f1 ← f1 − f2 f3 ← f3−2f2      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 a2 − 4 ... a − 2      . Para que el sistema: 1. No tenga soluci´on. Con a = −2, tenemos      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 0 ... −4      f3 ← −1 4 f3      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 0 ... 1      f2 ← f2−5f3 f1 ← f1+7f3      1 0 −4 ... 0 0 1 2 ... 0 0 0 0 ... 1      . Observe que el rango de A es dos y el de A ... b es tres, por lo tanto, el sistema no tiene soluci´on por el teorema 12. Adem´as, de la fila 3 se observa que 0 = 1, lo cual es un absurdo, por lo tanto el sistema no tiene soluci´on. 2. Infinitas soluciones. Con a = 2, tenemos      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 0 ... 0      , De donde se obtiene x1 − 4x3 = −7 y x2 + 2x3 = 5. Ahora, si x3 = r ∈ R, entonces x1 = 4r − 7 y x2 = 5 − 2r. Luego, x =     x1 x2 x3     =     4r − 7 5 − 2r r     .
  • 59. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 49 Observe que el rango de A es igual al de A ... b (dos), pero es menor que la cantidad de inc´ognitas (tres), lo que implica infinitas soluciones por el teorema 12. 3. Soluci´on ´unica. Con a = ±2 tenemos una ´unica soluci´on, pues en la tercera fila no tendr´ıamos una inconsistencia como con a = −2 y tampoco se anular´ıa la fila como con a = 2; por ejemplo, con a = −1 tenemos      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 −3 ... −3      f3 ← (−1 3)f3      1 0 −4 ... −7 0 1 2 ... 5 0 0 1 ... 1      f1 ← f1 + 4f3 f2 ← f2 − 2f3      1 0 0 ... −3 0 1 0 ... 3 0 0 1 ... 1      . Entonces, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     −3 3 1     . Observe que el rango de A es igual al de A ... b y es igual al n´umero de inc´ognitas (tres); lo que implica una ´unica soluci´on por el teorema 12. Ejemplo 39. Encontrar los valores de a de tal forma que el sistema x1 + x2 + x3 = 2 2x1 + 3x2 + 3x3 = 3 3x1 + 3x2 + (a2 + 2)x3 = a + 5 . 1. No tenga soluci´on, explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3.
  • 60. 50 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3 para alg´un a. Soluci´on. La matriz aumentada es      1 1 1 ... 2 2 3 3 ... 3 3 3 a2 + 2 ... a + 5      , entonces f2 ← f2−2f1 f3 ← f3−3f1      1 1 1 ... 2 0 1 1 ... −1 0 0 a2 − 1 ... a − 1      f1 ← f1 − f2      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 (a − 1)(a + 1) ... a − 1      . Para que el sistema: 1. No tenga soluci´on. Con a = −1, tenemos      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 0 ... −2      f3 ← −1 2 f3      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 0 ... 1      f2 ← f2 + f3 f1 ← f1−3f3      1 0 0 ... 0 0 1 1 ... 0 0 0 0 ... 1      . Observe que el rango de A es dos y el de A ... b es tres, por lo tanto, el sistema no tiene soluci´on por el teorema 12.
  • 61. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 51 Adem´as, de la fila 3 se observa que 0 = 1, lo cual es un absurdo, por lo tanto el sistema no tiene soluci´on. 2. Infinitas soluciones. Con a = 1, tenemos      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 0 ... 0      , De donde se obtiene x1 = 3 y x2 +x3 = −1. Ahora, si x3 = r ∈ R, entonces x2 = −1 − r. Luego, x =     x1 x2 x3     =     3 −1 − r r     . Observe que el rango de A es igual al de A ... b (dos), pero es menor que la cantidad de inc´ognitas (tres), lo que implica infinitas soluciones por el teorema 12. 3. Soluci´on ´unica. Con a = ±1 tenemos una ´unica soluci´on, pues en la tercera fila no tendr´ıamos una inconsistencia como con a = −1 y tampoco se anular´ıa la fila como con a = 1; por ejemplo, con a = 0 tenemos      1 0 0 ... 3 0 1 1 ... −1 0 0 −1 ... −1      f3 ← −f3 f2 ← f2 + f3      1 0 0 ... 3 0 1 0 ... −2 0 0 1 ... 1      . Entonces, la soluci´on del sistema es x =     x1 x2 x3     =     3 −2 1     .
  • 62. 52 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Observe que el rango de A es igual al de A ... b y es igual al n´umero de inc´ognitas (tres); lo que implica una ´unica soluci´on por el teorema 12. Ejercicio 65. Encontrar los valores de a de tal forma que el sistema: x1 + x2 − x3 = 2 x1 − x2 + 3x3 = 4 x1 + x2 + (a2 − 5)x3 = a . 1. No tenga soluci´on, explicar porqu´e. 2. Tenga infinitas soluciones, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3. 3. Tenga soluci´on ´unica, explicar porqu´e. Determinar los valores de x1, x2 y x3 para alg´un a. Respuesta. Con a = −2 no hay soluci´on; con a = 2 se obtienen infinitas solu- ciones de la forma (x)T = [3 − s, −1 + 2s, s], s ∈ R; y con a = ±2 se obtiene una ´unica soluci´on, por ejemplo, con a = 0 se obtiene (x)T = [5/2, 0, 1/2]. Sistema lineal homog´eneo Un sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ognitas de la forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 es llamado sistema lineal homog´eneo. Su representaci´on matricial es        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn               x1 x2 ... xn        =        0 0 ... 0        ,
  • 63. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 53 que en forma abreviada es Ax = 0 . Una soluci´on de este sistema es la llamada trivial, que es x1 = x2 = · · · = xn = 0. Una soluci´on donde no todas las xi sean cero es llamada no trivial. Teorema 13. Un sistema de ecuaciones homog´eneo siempre tiene soluci´on no trivial si el n´umero de ecuaciones es menor que el de inc´ognitas. Ejemplo 40. Encontrar la soluci´on del siguiente sistema homog´eneo. 4x1 + x2 + x3 = 0 5x1 − x2 − x3 = 0 . Soluci´on. La matriz aumentada es   4 1 1 ... 0 5 −1 −1 ... 0   , entonces, por medio de operaciones elementales fila, tenemos f1 ←− f1 + f2   9 0 0 ... 0 5 −1 −1 ... 0   f1 ←− 1 9f1   1 0 0 ... 0 5 −1 −1 ... 0   f2 ←− f2 − 5f1   1 0 0 ... 0 0 −1 −1 ... 0   f2 ←− (−1)f2   1 0 0 ... 0 0 1 1 ... 0   . ⇒ x1 = 0 x2 + x3 = 0. Si x3 = r ∈ R, entonces x2 = −r. As´ı, x =     x1 x2 x3     =     0 −r r     . El sistema tiene infinitas soluciones. Para verificar el resultado se reemplazan los valores de x1, x2 y x3 en las ecuaciones originales. Note que el rango de la matriz aumentada es dos que es igual al rango de la matriz de coeficientes y es menor que el n´umero de inc´ognitas, que es tres, lo que implica infinitas soluciones por el teorema 12.
  • 64. 54 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejercicio 66. Por Gauss–Jordan, determinar la soluci´on del sistema homog´eneo 4x1 + 8x2 − 8x3 = 0 2x1 − 2x2 − 2x3 = 0 . Respuesta. (x)T = 4 3 r, r 3, r , con r ∈ R. Teorema 14. Si A ∈ Mm×n, entonces el sistema homog´eneo Ax = 0 tiene: 1. Infinitas soluciones si el rango de A es menor que n. 2. Una ´unica soluci´on, la trivial, si el rango de A es igual a n Ejercicio 67. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique. 1.5 Inversa de una matriz Definici´on 22 (Matriz invertible). Una matriz A ∈ Mn×n es invertible o no singular si existe (∃) B ∈ Mn×n tal que AB = BA = In, es decir, una matriz cuadrada tiene inversa si existe otra matriz cuadrada de igual tama˜no tal que al multiplicarlas entre s´ı, en cualquier orden, se obtiene la matriz identidad. Ejemplo 41. Dadas A = 2 3 1 4 y B = 4/5 −3/5 −1/5 2/5 , verifiquemos que B es inversa de A. Soluci´on. AB = 2 3 1 4 4/5 −3/5 −1/5 2/5 = 2 3 1 4 1 5 4 −3 −1 2 = 1 5 2 3 1 4 4 −3 −1 2
  • 65. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 55 = 1 5 8 − 3 −6 + 6 4 − 4 −3 + 8 = 1 5 5 0 0 5 = 1 0 0 1 . Entonces B es inversa de A. Realice BA y tambi´en obtendr´a I2. Ejercicio 68. Dadas A = 3 7 2 5 y B = 5 −7 −2 3 , verifique que B es inversa de A. Realice AB y BA. Observe que aunque la multiplicaci´on de matrices no es en general conmuta- tiva, este es uno de esos casos donde s´ı lo es. De ahora en adelante, a la inversa de A la denotaremos como A−1, entonces, si A−1 existe AA−1 = A−1 A = In . ¿C´omo determinar la inversa de una matriz? Suponga que desea saber si A ∈ Mn×n es invertible y en caso de serlo en- contrar A−1. Pasos para lograr este objetivo: 1. Forme la matriz [A ... In] 2. Ejecute operaciones elementales fila a [A ... In], de tal forma que A quede en forma escalonada reducida, obtendr´a la matriz [B ... C] 3. Si B = In, entonces A−1 = C. Si B tiene al menos una fila de ceros, entonces A no es invertible. Ejemplo 42. Dada A =     3 5 1 1 2 3 −1 −3 −12     ,
  • 66. 56 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 encontrar A−1. Soluci´on.    3 5 1 ... 1 0 0 1 2 3 ... 0 1 0 −1 −3 −12 ... 0 0 1    f1 ↔ f2    1 2 3 ... 0 1 0 3 5 1 ... 1 0 0 −1 −3 −12 ... 0 0 1    f2 ← f2 − 3f1 f3 ← f3 + f1    1 2 3 ... 0 1 0 0 −1 −8 ... 1 −3 0 0 −1 −9 ... 0 1 1    f1 ← f1 + 2f2 f2 ← −f2 f3 ← f3 − f2    1 0 −13 ... 2 −5 0 0 1 8 ... −1 3 0 0 0 −1 ... −1 4 1    f2 ← f2 + 8f3 f1 ← f1 − 13f3 f3 ← −f3    1 0 0 ... 15 −57 −13 0 1 0 ... −9 35 8 0 0 1 ... 1 −4 −1    Entonces, A−1 =     15 −57 −13 −9 35 8 1 −4 −1     . Ejercicio 69. Verifique el ejemplo 42, es decir, verifique que AA−1 = I3. Ejercicio 70. Si A = 3 −2 1 2 , determinar A−1. Verifique su respuesta. Respuesta. A−1 = 1 8 2 2 −1 3 .
  • 67. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 57 Ejercicio 71. Sea A = 2 3 1 4 la matriz del ejemplo 41, determinar A−1 mediante el m´etodo ense˜nado. Respuesta. A−1 = 1 5 4 −3 −1 2 . Ejercicio 72. Sea A = a b c d , determinar A−1. ¿Qu´e condiciones deben cumplir a, b, c y d para que la inversa exista? Respuesta. A−1 = 1 ad−bc d −b −c a y (ad − bc) = 0. Teorema 15. Si una matriz tiene inversa, entonces es ´unica. Hasta ahora, hemos realizado pruebas en las que partiendo de una hip´otesis H llegamos a una tesis T a trav´es de inferencias l´ogicas (pasos) =⇒, es decir, H =⇒ T. Pues bien, est´a demostrado que otra forma de probar es negando la tesis ∼T y, a trav´es de inferencias l´ogicas =⇒, llegamos a una negaci´on de la hip´otesis ∼H, es decir, ∼T =⇒∼H, o llegamos a una contradicci´on =⇒⇐=. A este m´etodo de demostrar se le llama reducci´on al absurdo o prueba por contradicci´on. Por ejemplo, usted sabe que el inverso multiplicativo del 5 es 1 5 porque 5× 1 5 = 1 y es el ´unico. Pues bien, una forma de probar que es el ´unico es suponiendo que existe otro inverso multiplicativo diferente de 1 5 . Supongamos que existe un b = 1 5 tal que b × 5 = 1, luego b = b × 1 = b × (5 × 1 5) = (b × 5) × 1 5 = 1 × 1 5 = 1 5. Luego, b = 1 5, pero hab´ıamos dicho que b = 1 5 . Entonces es una contradicci´on. Concluimos que no existe otro inverso multiplicativo para el cinco. Cuando se nos habla de unicidad en un teorema, entonces pensamos que la forma de probarlo es seguramente por reducci´on al absurdo. Veamos c´omo probar el teorema 15 por reducci´on al absurdo.
  • 68. 58 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Prueba. 1 Sea A ∈ Mn×n invertible, hip´otesis 2 Suponga que existen B, C ∈ Mn×n negaci´on de la tesis diferentes tales que AB = In y AC = In, 3 B = BIn, multiplicando por la identidad 4 = B(AC), 2 en 3 5 = (BA)C, asociatividad 6 = InC, por 2 7 = C, raz´on de 3 . Como B = C, por 3 a 7 , entonces hay una contradicci´on porque hab´ıamos su- puesto en 2 que eran diferentes. Luego, la inversa es ´unica. Teorema 16 (Propiedades de la inversa). 1. Si A ∈ Mn×n es invertible, entonces A−1 es tambi´en invertible y A−1 −1 = A. 2. Si A, B ∈ Mn×n son invertibles, entonces AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1. 3. Si A es invertible, entonces AT −1 = A−1 T . Prueba de 2.
  • 69. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 59 1 Sean A, B ∈ Mn×n invertibles, hip´otesis Entonces, 2 La inversa de (AB) es (B−1A−1) si y solo si (sii) 3 (AB)(B−1A−1) = I sii, definici´on de inversa 4 A(BB−1)A−1 = I sii, asociatividad 5 A(I)A−1 = I sii, definici´on de inversa 6 AA−1 = I sii, por matriz identidad 7 I = I, raz´on de 6 . Ahora, 8 La inversa de (AB) es (B−1A−1) sii 9 (B−1A−1)(AB) = I sii, definici´on de inversa 10 B−1(A−1A)B = I sii, asociatividad 11 B−1(I)B = I sii, definici´on de inversa 12 B−1B = I sii, por matriz identidad 13 I = I, raz´on de 12. Luego, por 2 a 13, la inversa de AB es B−1A−1. Ejemplo 43. 1. Sea A = 2 1 5 3 , su inversa es A−1 = 3 −1 −5 2 . Observe que la inversa de la inversa de A es la misma A, es decir, A−1 −1 = A. 2. Sean A = 3 7 −1 −2 , A−1 = −2 −7 1 3 , B = 2 1 3 2 y B−1 = 2 −1 −3 2 , (por favor verifique las inversas con el m´etodo explicado). (a) Entonces: AB = 3 7 −1 −2 2 1 3 2
  • 70. 60 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 = 6 + 21 3 + 14 −2 − 6 −1 − 4 = 27 17 −8 −5 . (b) La inversa de AB es (AB)−1 = −5 −17 8 27 , por favor verif´ıquelo. (c) Ahora, B−1 A−1 = 2 −1 −3 2 −2 −7 1 3 = −4 − 1 −14 − 3 6 + 2 21 + 6 = −5 −17 8 27 . Se observa, entonces, que (AB)−1 = B−1A−1. 3. Sea A = 2 1 7 4 , entonces AT = 2 7 1 4 . La inversa de la transpuesta de A es AT −1 = 4 −7 −1 2 .
  • 71. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 61 Ahora, A−1 es 4 −1 −7 2 , entonces (A−1 )T = 4 −7 −1 2 . Observe que la inversa de la transpuesta de A es igual a la transpuesta de la inversa de A, es decir, AT −1 = A−1 T . Corolario 1. Si A1, A2, . . . , Ap ∈ Mn×n son invertibles, entonces A1A2 . . . Ap es invertible y (A1A2 . . . Ap)−1 = A−1 p . . . A−1 2 A−1 1 . Teorema 17. Dados A, B ∈ Mn×n, si AB = In, entonces BA = In y B = A−1. Teorema 18. Una matriz A ∈ Mn×n es invertible si y solo si es equivalente por filas a In. Aplicaci´on de la inversa de una matriz Sabemos que un sistema lineal de n ecuaciones y n inc´ognitas puede ser expresado como Ax = b. Si A es invertible, entonces podemos multiplicar a ambos lados de esta ecuaci´on por A−1, luego: A−1 (Ax) = A−1 b , (A−1 A)x = A−1 b , Inx = A−1 b , x = A−1 b . (1.1) Ahora, en la industria, el gobierno y la academia, diversos problemas pueden ser expresados como sistemas lineales, de tal forma que si se desea obtener ciertos resultados b, la pregunta es: ¿qu´e valores x deber´an ser ingresados en el proceso? La ecuaci´on (1.1) responde a esta pregunta.
  • 72. 62 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 44. En la instituci´on educativa Lucrecio Jaramillo del municipio de Medell´ın se requiere comprar 2 fotocopiadoras, 7 computadores y 3 escritorios. Si se sabe, por informaci´on de otras tres instituciones, que 1 fotocopiadora, m´as 3 computadores, m´as 2 escritorios valen $9 millones; que 2 fotocopiadoras, m´as 7 computadores, m´as 1 escritorio valen $17 millones; y que 3 fotocopiadora, m´as 11 computadores, m´as 1 escritorio valen $26 millones; entonces, ¿cu´anto es el costo por unidad y total de los art´ıculos que la instituci´on desea comprar? Soluci´on. Sean f: valor de una fotocopiadora, c: valor de un computador y e: valor de un escritorio. Entonces, f + 3c + 2e = 9 2f + 7c + e = 17 3f + 11c + e = 26 , que en forma abreviada es Ax = b, donde: A =     1 3 2 2 7 1 3 11 1     , x =     f c e     y b =     9 17 26     . La inversa de A es A−1 =     −4 19 −11 1 −5 3 1 −2 1     . Luego, como x = A−1b, entonces x =     −4 19 −11 1 −5 3 1 −2 1         9 17 26     =     1 2 1     . De esta forma, la instituci´on educativa Lucrecio Jaramillo debe invertir 2 × 1 + 7 × 2 + 3 × 1 = 19 millones. Si los valores facturados por las tres instituciones hubiesen sido 6, 10 y 15 millones, respectivamente, ¿requerir´ıa usted resolver un nuevo sistema lineal?
  • 73. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 63 La respuesta es no, simplemente multiplicar´ıa A−1 por el vector [6, 10, 15]T y obtendr´ıamos [1, 1, 1]T , que corresponde a los valores de cada fotocopiadora, cada computador y cada escritorio, respectivamente. De esta forma, la instituci´on deber´ıa invertir 2 × 1 + 7 × 1 + 3 × 1 = 12 millones. Ejercicio 73. En el plano cartesiano un punto cualquiera (x, y) puede ser gi- rado un ´angulo φ, en direcci´on contraria a las manecillas del reloj, mediante la transformaci´on Av = cos(φ) − sen(φ) sen(φ) cos(φ) x y . Si se sabe que siete puntos fueron girados 90o con dicha transformaci´on y se obtuvo el siguiente conjunto {(−9, −3), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (5, 5)}, ¿cu´ales fueron los puntos originales? Graf´ıquelos. Ayuda. La inversa de A es cos(φ) sen(φ) − sen(φ) cos(φ) . Respuesta. {(−3, 9), (4, 2), (1, 1), (0, 0), (1, −1), (4, −2), (5, −5)}. Teorema 19. Si A ∈ Mn×n, entonces el sistema homog´eneo Ax = 0 tiene soluci´on no trivial si y solo si A es no invertible. Ejemplo 45. Dado el sistema 2x1 + 4x2 = 0 −6x1 − 12x2 = 0 , que en forma matricial es 2 4 −6 −12 A x1 x2 x = 0 0 0 . A es no invertible (verificarlo). Solucionando el sistema se tiene 2 4 ... 0 −6 −12 ... 0
  • 74. 64 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 f1 ← 1 2f1 f2 ← f2 + 3f1 1 2 ... 0 0 0 ... 0 . Luego, el sistema tiene infinitas soluciones x1 = −2x2 . Si x2 = r ∈ R, entonces la soluci´on del sistema es x = −2r r . Teorema 20. Si A ∈ Mn×n, entonces A es invertible si y solo si el sistema lineal Ax = b tiene soluci´on ´unica. Dado un sistema lineal Ax = b de n ecuaciones con n inc´ognitas, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es invertible. 2. Ax = b tiene soluci´on ´unica. 3. A es equivalente por filas a In. 4. El rango de A es n. Ejercicio 74. De los ejercicios propuestos en esta secci´on, entregue en forma escrita, a su docente, aquellos que ´el le indique.
  • 75. Unidad 2 Determinantes Los objetivos de esta unidad son: aprender a calcular el determinante de una matriz, probar la existencia o no de la inversa de una matriz y calcularla, si existe, empleando los determinantes y sus propiedades; resolver sistemas linea- les empleando determinantes; y resolver problemas de ´areas en R2 empleando determinantes. El determinante de una matriz An×n es una funci´on que asigna a esta un ´unico n´umero real. Denotaremos el determinante de A como det(A) o |A|. Primero veamos c´omo calcular el determinante de matrices de tama˜no uno, dos y tres: 1. El determinante de una matriz de tama˜no uno, A = [a], es a; por ejemplo: el determinante de A = [7] es 7, el determinante de B = [−5] es −5, etc´etera. 2. El determinante de una matriz de tama˜no dos por dos, A = a11 a12 a21 a22 es det(A) = a11 a12 a21 a22 ❅ ❅❅❘     ✠ = a11a22 − a12a21 .
  • 76. 66 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 Ejemplo 46. Sea A = 2 1 3 4 , entonces det(A) = (2 × 4) − (1 × 3) = 5. Ejercicio 75. Hallar el determinante de las matrices A = 2 −2 5 3 , B = 2 1 5 −3 y C = 2 1 −4 −3 . Respuesta. det(A) = 16, det(B) = −11 y det(C) = −2. 3. Para calcular el determinante de una matriz de tama˜no tres por tres, A =     a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     , emplearemos la regla de Sarrus: agregamos las filas uno y dos debajo, y trazamos seis flechas diagonales en la forma a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ❅ ❅❅❘     ✠ ❅ ❅ ❅❅❘       ✠❅ ❅ ❅❅❘       ✠ . a11 a12 a13 a21 a22 a23 Para encontrar el determinante de A realizamos la suma de los productos indicados por las flechas descendentes de izquierda a derecha (verdes) y lue- go restamos la suma de los productos indicados por las flechas descendentes de derecha a izquierda (rojas), de la siguiente forma: det(A) =(a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23)− (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21) .
  • 77. Determinantes 67 Ejemplo 47. Calcular el determinante de A =     1 0 3 −2 −1 4 0 2 5     . Soluci´on. Entonces, det(A) = 1 0 3 −2−1 4 0 2 5 ❅❅❘  ✠ ❅ ❅❅❘     ✠❅ ❅❅❘     ✠ , 1 0 3 −2 −1 4 luego, det(A) = (1 × (−1) × 5 + (−2) × 2 × 3 + 0 × 0 × 4) − (3 × (−1) × 0 + 4 × 2 × 1 + 5 × 0 × (−2)) =(−5 − 12 + 0) − (0 + 8 + 0) = − 25 . Ejercicio 76. Calcular el determinante de cada una de las matrices A =     3 0 −3 4 2 −1 0 1 5     , B =     4 2 −1 3 0 −3 0 1 5     y C =     3 4 1 5 −2 −7 0 0 0     . Respuesta. det(A) = 21, det(B) = −21 y det(C) = 0. Observe que la matriz B se obtiene a partir del intercambio de las filas 1 y 2 en A. Tambi´en observe que la matriz C tiene una fila de ceros. Entonces, ya sabemos calcular el determinante de matrices de tama˜no uno por uno, dos por dos o tres por tres. Veamos a continuaci´on algunos teoremas que nos permitir´an calcular el determinante de matrices de tama˜no mayor por el m´etodo que llamaremos triangulaci´on. Este consiste en llevar la matriz a trian- gular superior (o inferior) por medio de operaciones elementales fila (o columna) y luego realizar el producto de la diagonal principal; el resultado, habiendo con- siderado los teoremas siguientes, es el determinante de la matriz original.
  • 78. 68 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 2.1 Propiedades de los determinantes Teorema 21. Si una matriz se obtiene de una matriz An×n al intercambiar dos filas (columnas), entonces su determinante es el mismo de A con signo inverso, es decir, si en A intercambiamos las filas (columnas) i y j, entonces det(Afi↔fj ) = − det(A) o det(Aci↔cj ) = − det(A) . Ejemplo 48. Al intercambiar las filas uno y dos del ejemplo 51, obtenemos Af2↔f3 =     −2 0 1 1 3 4 3 2 1     . Su determinante es det(Af1↔f2 ) =(−2 × 3 × 1 + 1 × 2 × 1 + 3 × 0 × 4)− (1 × 3 × 3 + 4 × 2 × (−2) + 1 × 0 × 1) =(−6 + 2 + 0) − (9 − 16 + 0) =3 . Efectivamente, det(Af1↔f2 ) = − det(A). Ejercicio 77. Sean A =     1 5 3 3 0 2 −2 2 1     y B =     3 0 2 1 5 3 −2 2 1     . Calcular det(A) y det(B). Respuesta. -21 y 21, respectivamente. Ejercicio 78. Sean A =     1 2 3 3 0 1 −2 2 1     y B =     3 0 1 −2 2 1 1 2 3     . Calcular det(A) y det(B). Respuesta. det(A) = 6 y det(B) = 6.
  • 79. Determinantes 69 Teorema 22. Si una matriz se obtiene de otra An×n al multiplicar una fila (o columna) por un k ∈ R, entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz original, es decir, det(Afi←kfi ) = k det(A) (det(Aci←kci ) = k det(A)). Ejemplo 49. Sean A = 2 −1 3 4 y Af1←−2f1 = −4 2 3 4 , entonces det(A) = (2×4)−(−1×3) = 11 y det(Af1←−2f1 ) = −2×det(A) = −22. Ejercicio 79. Calcular el determinante de las matrices A =     2 1 3 3 −2 −1 0 2 4     , Af1←3f1 =     6 3 9 3 −2 −1 0 2 4     y Af3←−5f3 =     2 1 3 3 −2 −1 0 −10 −20     . Respuesta. det(A) = −6, −18 y 30, respectivamente. Teorema 23. Si una matriz se obtiene de otra matriz An×n al sumar a la i– ´esima fila (o columna) k–veces la j–´esima fila (o columna), i = j, entonces el determinante de la nueva matriz es igual al de la matriz original, es decir, det(Afi←fi+kfj ) = det(A) o det(Aci←ci+kcj ) = det(A) . Ejemplo 50. Sean A =     1 −2 0 0 5 −1 5 1 0     y Af3←f3−5f1 =     1 −2 0 0 5 −1 0 11 0     . Sus determinantes son: det(A) =(1 × 5 × 0 + 0 × 1 × 0 + 5 × (−2) × (−1))− (0 × 5 × 5 + (−1) × 1 × 1 + 0 × (−2) × 0) =(0 + 0 + 10) − (0 − 1 + 0) =11
  • 80. 70 Conceptos b´asicos de ´Algebra Lineal, Septiembre 05 de 2016 y det(Af3←f3−5f1 ) =(1 × 5 × 0 + 0 × 11 × 0 + 0 × (−2) × (−1))− (0 × 5 × 0 + (−1) × 11 × 1 + 0 × (−2) × 0) =(0 + 0 + 0) − (0 − 11 + 0) =11 . Hemos verificado que ambos determinantes son 11. Ejercicio 80. Calcular el determinante de las matrices A =     4 1 3 3 −2 −1 1 2 0     y Af1←f1+3f2 =     13 −5 0 3 −2 −1 1 2 0     . Respuesta. Los dos resultados son 31. Teorema 24. El determinante de la transpuesta de una matriz An×n es igual al determinante de A, es decir, det AT = det(A) . Ejemplo 51. El determinante de A =     1 3 4 −2 0 1 3 2 1     , es det(A) = (1 × 0 × 1 + (−2) × 2 × 4 + 3 × 3 × 1) − (4 × 0 × 3 + 1 × 2 × 1 + 1 × 3 × (−2)) =(0 − 16 + 9) − (0 + 2 − 6) = − 3 . Ahora, la matriz transpuesta de A es AT =     1 −2 3 3 0 2 4 1 1     ,
  • 81. Determinantes 71 y su determinante es det AT = (1 × 0 × 1 + 3 × 1 × 3 + 4 × (−2) × 2) − (3 × 0 × 4 + 2 × 1 × 1 + 1 × (−2) × 3) =(0 + 9 − 16) − (0 + 2 − 6) = − 3 . Hemos verificado que det(A) = det AT . Ejercicio 81. Si det(A) = −7, entonces ¿cu´anto es det AT ? Teorema 25. Dada una matriz An×n, si dos de sus filas (columnas) son iguales, entonces det(A) = 0. Para entender mejor la siguiente prueba suponga una matriz A con dos filas iguales A =       4 0 3 5 1 3 4 0 4 0 3 5 2 0 5 7       y suponga que det(A) = c. Observe que la fila uno y la tres son iguales. Ahora construya una matriz B obtenida al intercambiar las filas uno y tres. Por tanto, B =       4 0 3 5 1 3 4 0 4 0 3 5 2 0 5 7       . Como se intercambiaron dos filas, entonces det(B) = −c. Pero, A y B son iguales, entonces det(A) = det(B), por tanto c = −c. El ´unico real que cumple c = −c es el 0. Se concluye que det(A) = 0. Ahora s´ı, veamos la prueba formal. Prueba.