logica matematica

LÓGICA MATEMÁTICA
primera versión 2005: NUBIA JANETH GALINDO PATIÑO
versiones 2006 a 2010: GEORFFREY ACEVEDO GONZÁLEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD -
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Medellín D. C, 2010

General
MÓDULO
LÓGICA MATEMÁTICA
CUARTA EDICIÓN
3 de febrero de 2010
Editor de texto: OpenOffice 3.1.0
© Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
ISBN
2010
Medellín, Colombia
__________________________________________________________________________
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.
2

¡OH dicha de
entender, mayor que la de
imaginar o la de sentir!
Borges.
Introducción
Este módulo está concebido para ser un curso introductorio al apasionante mundo
de la lógica Matemática, ha sido diseñado para ser un curso transversal a todos los
programas académicos de la UNAD.
Para leer el módulo sólo se necesitan los conceptos de conjuntos numéricos, y
operaciones algebraicas como destrucción de signos de agrupación, factor común,
ecuaciones e inecuaciones de primer grado que pueden ser recordados de manera
simultánea.
La intención es que el estudiante pueda aprender de este módulo por sí mismo, en
este sentido es un texto escrito más para los estudiantes que para el profesor.
En el primer capítulo, analizaremos las diferentes operaciones entre conjuntos, tales
como unión, intersección y complemento, entre otras operaciones, que nos permitirán
llegar a la compresión de los conectivos lógicos usados en el lenguaje natural, partiendo
de una representación gráfica. A la par desarrollaremos las destrezas lógico matemáticas,
dando solución a problemas como éste:
“De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la
UNAD, los amantes de la música de Juanes son 15; mientras que los que
únicamente gustan de la música de Shakira son 20, ¿Cuántos son fanáticos de los
dos artistas si 10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanáticos de Shakira,
afirman ser fanáticos de Juanes?”
El segundo capítulo es una herramienta que permite adquirir habilidades para
comprender conceptos como los conectivos lógicos que usamos diariamente en nuestro
leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y comprender, por ejemplo, nuestro
amigo “Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto hará fiesta”, pasado un
tiempo encontramos que Boole está festejando pero que su equipo predilecto ha perdido,
¿Se está contradiciendo el amigo Boole?, en este curso descubriremos y analizaremos el
conectivo lógico que ha usado Boole en su afirmación, para concluir sobre este asunto.
Identificar los conectivos lógicos, las premisas y comprender su función en el
lenguaje nos permitirá diseñar frases cada vez más complejas sin que se pierda la
coherencia en la construcción gramatical.

Posteriormente aprenderemos ha hacer simplificaciones de expresiones complejas
o difíciles de descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas
por medio de símbolos. Por ejemplo, al expresar en lenguaje natural que “Es falso que
Augustus no miente”, por medio de la lógica aprendemos a llegar a la simplificación:
“Augustus miente” utilizando leyes lógicas básicas que nos permiten validar la
simplificación hecha con un argumento más allá de la simple intuición.
Otra interesante aplicación de la lógica es en el proceso de validar nuestros
argumentos. Por ejemplo, analicemos que puede concluirse de la siguiente afirmación: “Si
llueve hace frío”, posteriormente “ocurre que hace frío”, ¿es entonces correcto concluir
que llueve?, por medio de la lógica transformaremos esta expresión en lenguaje simbólico
que posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y descubrir en
que caso específico el argumento se contradice.
En el mundo de la argumentación siempre estamos utilizando unos principios
lógicos básicos que estudiaremos en este apasionante curso, permitiéndonos mejorar en
la construcción de argumentos fuertes, basados en los cimientos de la lógica.
Agradezco a toda la comunidad académica su valiosa colaboración.
Que estas páginas os brinden muchas horas de diversión.
Georffrey Acevedo G.
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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
MODULO DE LOGICA MATEMÁTICA
INDICE DE CONTENIDO
Unidad 1
Capítulo 1- Teoría de Conjuntos y principios de lógica
Lección 1 - Representación gráfica de los conjuntos
Lección 2 - Operaciones entre conjuntos
Lección 3 - Principios de Lógica
Lección 4 - Conectivos Lógicos
Lección 5 - Leyes de la Lógica
Capítulo 2 - Preliminares sobes las Proposiciones
Lección 6 - Proposiciones Categóricas
Lección 7 - Proposiciones Universal y Particular
Lección 8 - Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias
Lección 9 - Simbología
Lección 10- Diagramas para proposiciones categóricas
Capítulo 3 - Deducción e Inducción
Lección 11 - Decucción vs Inducción
Lección 12 - Silogismos Categóricos
Lección 13 - Inferencias Lógicas
Lección 14 - Demostración Directa e Indirecta
Lección 15 - Argumentos Inductivos
Unidad 2 - Algebra Booleana y Circuitos Lógicos
Capítulo 1 - Axiomas del Álgebra Booleana
Lección 16 - Variables y Constantes Booleanas
Lección 17 - Algebra Booleana en sistemas numéricos
Lección 18 - Expresiones Booleanas y sus Propiedades
Lección 19 - Forma Normal Disyuntiva
Lección 20 - Forma Normal Conjuntiva
Capítulo 2 - Simplificación de expresiones Booleanas
Lección 21 - Otras técnicas de Simplificación
Lección 22 - Mapas de Karnaugh de tres variables
Lección 23 - Proceso Algebraico vs Mapa de K
Lección 24 - Mapa de Karnaugh de tres variables
Lección 25 - Mapa de Karnaugh de cuatro variables
Capítulo 3 - Definición y representación de los circuitos lógicos y aplicaciones
Lección 26 - Representación de los circuitos lógicos
Lección 27 - Operaciones Aritméticas con Circuitos Lógicos
Lección 28 - Compuertas NOR, NAND, XNOR
Lección 29 - Circuito Aritmético Digital
Lección 30 - Control de una estación de combustible
3

Contenido
Teoría de conjuntos y principios de Lógica.
Teoría de conjuntos
 Representación gráfica
 Formas para determinar un conjunto
 Conjuntos Finitos
 Conjuntos especiales
 Relaciones entre conjuntos
 Operaciones entre conjuntos
 Álgebra de conjuntos
Principios de Lógica
 Historia y clasificación
 Clasificación de la lógica
 Conceptualización
 Lógica y lingüística
 Simbolización
 Proposiciones
 Conectivos Lógicos
 Proposiciones simples
 Proposiciones Compuestas
 Tablas de verdad
 Leyes de la lógica
 Leyes del álgebra de proposiciones
 Cuantificadores
Preliminares sobre las proposiciones
 Proposiciones categóricas
• Proposición categórica universal afirmativa
• Proposición Categórica Universal negativa
• Proposición categórica afirmativa particular
• Proposición Categórica Negativa particular
 Cualidad y cantidad de las proposiciones categóricas
 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias
 Símbolo y diagramas para proposiciones categóricas
Deducción
 El método científico
 Silogismos categóricos
 Forma Estándar de un silogismo categórico
 Argumento deductivo
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4

 Argumento Válido
• Prueba formal de validez
• Prueba de invalidez
• Argumento Invalido
 Inferencias lógicas
• 9 Reglas de inferencia
 La demostración
• Demostración directa
• Demostración indirecta
• Demostración por recursión
• Demostración por refutación
• Refutación por contradicción
• Refutación por contraejemplo
Inducción
 El problema de la inducción:
 Argumento inductivo por analogía
 Evaluación de los argumentos analógicos
 La fuerza de las conclusiones con respecto a sus premisas.
 Refutación por medio de una analogía lógica
Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana
Axiomas del Álgebra Booleana
 propiedades o axiomas
 Álgebra booleana en sistemas numéricos
 Álgebra booleana de los conjuntos
 Álgebra booleana de la lógica
Expresiones Booleanas
 Forma normal disyuntiva
 Forma normal conjuntiva
Simplificación de Expresiones Booleanas
 Simplificación de expresiones booleanas mediante mapas de
Karnaugh
Definición y representación de los circuitos lógicos
 Circuito de disyunción
 Circuito de negación
 Adición o suma lógica.
 Multiplicación o producto lógico
 Complementación o inversión lógica
 Otras compuertas lógicas
Aplicación de los circuitos lógicos
5

Unidad 11
Teoría de conjuntos y
principios de Lógica.
__________________________________________________________________________
6

Capítulo 11:
Teoría de conjuntos y
principios de lógica
7
A
B
C
U

1.Unidad 1
◦Capítulo 1 Teoría de conjuntos y principios de lógica
Objetivo general
Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos,
básicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y su relación con el
lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solución de problemas.
Objetivos específicos
1. Identificar las relaciones entre conjuntos.
2. Distinguir las diferentes clases de conjuntos.
3. Representar gráficamente los conjuntos.
4. Realizar las diferentes operaciones entre conjuntos.
5. Resolver problemas con conjuntos.
Definición y generalidades
Las nociones de conjunto y de elemento son ideas primitivas que se presentan en forma
intuitiva. Los conjuntos están relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten
resolver problemas que involucran el concepto de cantidad.
Se puede afirmar que un conjunto es una colección de objetos, símbolos o entidades bien
definidas, que reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto.
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8

Lección No.1 Representación gráfica de los conjuntosLección No.1 Representación gráfica de los conjuntos
Representación gráfica de los conjuntos
Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la
utilización de esquemas gráficos llamados circulos de Euler o diagramas de Venn.
Estos esquemas están compuestos por una región cerrada del plano (generalmente un
rectángulo), la cual representa el conjunto universal, y por uno o varios círculos que
representan los conjuntos a graficar.
Generalmente, los conjuntos se identifican con letras mayúsculas y sus elementos con
minúsculas.
 Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto,
se utiliza el símbolo “ ∈ ” (se lee pertenece a
) y
 para indicar que no esta en el conjunto se utiliza el símbolo
“∉” (se lee no pertenece a).
Esta es la representación gráfica correspondiente:
9
A
U
x ∈ A
x
U
x A∉
A
x
Figura No. 1

Formas para determinar un conjunto
Básicamente existen dos formas para determinar un conjunto, éstas son:
Por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se describe el conjunto nombrando
cada uno de sus elementos. Por ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8}
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,…}
D = {a, e, i, o, u }
Por comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando se nombra una propiedad, una
regla o una característica común a los elementos del conjunto. Por ejemplo:
C = {Números impares menores que 10}
D = {Vocales}
B = {Dígitos}
Lenguaje:
E = {x ∈R / 0 ≤ x < 9}, en este caso se utiliza un lenguaje muy específico, el cual se lee
así:
E igual al conjunto de todos los números reales tales que (o que verifican que) cero (0) es
menor o igual a x, y, x a su vez es menor que 9, esta notación se usa con mucha
frecuencia para describir intervalos, para escribir la solución de una inecuación o para
representar el dominio de una función real.
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10

Conjuntos finitos, infinitos y conjuntos especiales
Conjuntos infinitos
Existen conjuntos como por ejemplo:
A = {x ∈ R / 0 ≤ x < 9} ó Z = {x ∈ N / x es par}
Que no se pueden expresar por extensión debido a que nunca se terminaría de escribir la
lista de los números reales que pertenecen al conjunto A, o, los naturales que pertenecen
a Z, este tipo de conjuntos, reciben el nombre de INFINITOS;
Conjuntos finitos
Mientras que otros, como por ejemplo:
C = {x / x es vocal} ó D = {x / x es dígito par}
Que están formados por cierto número de elementos distintos, reciben el nombre de
conjuntos FINITOS.
¿Todos los conjuntos que se nombran por comprensión, se pueden escribir por extensión?
El análisis anterior, permite dar respuesta a esta pregunta, se sugiere buscar más
ejemplos que justifiquen la respuesta para que sean analizados con el tutor y luego
socializados en los equipos de trabajo.
11

Conjuntos especiales
Conjunto Vacío
Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vacío y se simboliza así:
Naturalmente el conjunto ø forma parte de cualquier conjunto A, por lo cual se puede
afirmar que:
Ϲ A
¿El conjunto Ф (vacío) es un subconjunto de todo conjunto?
Ejemplo 1.
Si D = {x ∉ N / x ≠ x ), obviamente D es un conjunto que carece de elementos, puesto
que no existe ningún número natural que sea diferente a sí mismo.
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12
U
A
A =
Figura No. 2.
{ } ó

Conjunto Unitario
Se denomina conjunto unitario al conjunto formado por un sólo elemento.
Ejemplo:
E = {x / x es un primo par}
El único número que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el número 2,
por lo tanto E = {2} se llama unitario.
Conjunto Universal
Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturaleza de
sus elementos, por ejemplo:
Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a, e, i,
o, u}, es decir, A Ϲ V, este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razón
se dice que V es un conjunto Universal.
Similarmente, si A = {x ∈ N / x es primo} sus elementos son elementos del conjunto de
los números naturales “N”, A Ϲ N y en este caso, N se constituye en el conjunto universal.
Generalmente, el conjunto universal se simboliza con la letra U.
13
U
A U = Conjunto Universal
A = {a,e,i}
U = V = {a,e,i,o,u}
a
e
i
o
u
Figura No. 4
U
A
A = Conjunto Unitario
A = {7}7
Figura No. 3

Conjunto de partes o conjunto de conjuntos
Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito como P(A) está formado por todos
los subconjuntos que se pueden formar del conjunto A.
Ejemplo 1.
Si A = {1, 3, 5}, entonces el conjunto de partes de A esta formado por los siguientes
subconjuntos:
P (A) = {{1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}, ø}.
ø ∈ P(A) y 2n
subconjuntos
Note que:
Como ya habíamos analizado, el conjunto vacío está en todo conjunto y este caso no es la
excepción, por esta razón ø∈ P(A). Además, cave anotar que los elementos del conjunto
A son a su vez conjuntos, por lo que se dice que el conjunto P(A) constituye una familia
de conjuntos.
El número de elementos del conjunto P(A) depende del número de elementos de A; en el
ejemplo, A tiene 3 elementos y P(A) tiene 8 = 23
elementos, en general, “Si A tiene n-
elementos se pueden formar 2n
subconjuntos del conjunto A”.
¿Cuántos y cuáles son los subconjuntos que se pueden formar de un conjunto
A = { 1,3,5} ?
Ejemplo 2.
Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}. B no es una familia de conjuntos porque algunos elementos
de B son conjuntos y otros no. Para que el conjunto B fuera un conjunto de partes o una
familia de conjuntos debería estar expresado de la siguiente forma:
B = { {2}, {1,3}, {4}, {2,5} }.
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14

Relaciones entre conjuntos
Subconjuntos
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A
también es elemento del conjunto B.
Simbólicamente esta relación se expresa así:
A Ϲ B (se lee A esta contenido en B)
si todo elemento x que está en el conjunto A entonces
x también está en B, es decir;
A Ϲ B si todo x ∈ A, entonces x ∈ B
Ejemplo 1:
Si A = {x / x es dígito par} y B = {x / x es dígito}, claramente A Ϲ B ya que todo
dígito par es dígito. Por extensión la situación se expresa así:
A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Entonces A es un subconjunto de B.
15
B
A
U
A C B
x ∈ A
x ∈ B
x
Figura No. 5

Un resultado muy útil e importante acerca de la contenencia entre conjuntos es el
siguiente:
Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto
de C; simbólicamente este enunciado se escribe así:
Sí A Ϲ B y B Ϲ C, entonces, A Ϲ C
La demostración es la siguiente:
Sí x ∈ A; entonces x ∈ B porque A Ϲ B, pero x también esta en n porque
B Ϲ C; por lo tanto si x∈A, entonces x ∈ C y esto se cumple para todo elemento x que
está en A, debido a que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y B a su vez, esta
contenido en C; por consiguiente queda demostrado que A Ϲ C.
Si A, B y C son tres conjuntos no vacíos que verifican las condiciones A Ϲ B y B Ϲ C,
¿qué se puede concluir de A con respecto a C?
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16
C
U A C B
B C C
______
A C C
x A∈
x B∈
x ∈ C
A
x
B
Figura No. 6

Igualdad entre conjuntos
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es
decir, si todos los elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B
pertenecen al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma:
A = B si A Ϲ B y B Ϲ A
Ejemplo 1.
Si M = {1, 1, 0, 2} y N = {2, 1, 0, 1}, claramente se observa que M Ϲ N y que N Ϲ M,
por lo tanto M = N.
Ejemplo 2.
Si A = {x / x es dígito} y B = {x / x es dígito par}, se puede observar que B Ϲ A pero A
⊄ B, por lo tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A ≠ B.
17
B
U
A C B
B C A
______
B = A
1
A
2
4
3
5
B
U B C A
A B⊄
______
A ≠ B
6
A
2 4
3 8
1
5
7
9
Figura No. 8
Figura No. 7.

Conjuntos Completamente Diferentes o Disyuntos:
Es importante destacar que cuando dos conjuntos son completamente diferentes (no
tienen ningún elemento en común) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.
Ejemplo 3.
Los conjuntos A = {x / x es dígito par} y B = {x / x es dígito impar} no tienen ningún
elemento en común, es decir A y B son disyuntos.
Subconjunto propio
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir, A Ϲ A (con A un conjunto cualquiera),
si ese subconjunto se llama B, entonces se puede afirmar que B es un subconjunto propio
de A, este hecho se simboliza así:
__________________________________________________________________________
18
B
U
A ⊄ B y
B ⊄ A y no hay
elementos
comunes
A
7
1
5
2
9
Figura No. 9.

Lección No.2 Operaciones entre conjuntosLección No.2 Operaciones entre conjuntos
Operaciones entre conjuntos
Así como las operaciones suma, resta, multiplicación y división están definidas sobre los
números reales, también existen operaciones definidas entre los conjuntos como la unión,
intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica y producto cartesiano; éstas se
estudiarán en las siguientes secciones.
Unión
Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y B como el conjunto de
todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
Simbólicamente la unión se define así:
A U B = {x / x ∈ A,v, x ∈ B}, donde el símbolo “v” se lee “o”.
Para representar gráficamente una operación entre conjuntos, se debe tener en cuenta la
relación que exista entre ellos, según los siguientes casos:
Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común.
(conjuntos disyuntos).
La parte subrayada representa la unión entre los conjuntos A y B.
19
A B
U
A U B
A B
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7}
A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
3 2
41 5
76
Figura No. 10.

Caso 2. Que los conjuntos tengan sólo unos elementos en común.
Subconjunto propio
Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.
la parte sombreada indica la operación.
__________________________________________________________________________
20
A B
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {5,6,7}
A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
3
2
41 5
76
A
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {5,6,7}
A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
3
2
4
1
B
5
76
Figura No. 12
Figura No. 11

Ejemplo 1.
Si A = {x ∈ N / x es dígito par o dígito primo}, gráficamente la representación de está
unión es:
La figura No.3 permite apreciar que el único dígito que es a la vez par y primo es el
número 2; esto conlleva a la formulación de la siguiente operación entre conjuntos:
Intersección
Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B.
Simbólicamente la intersección se expresa así:
A ∩ B = {x / x ∈ A, ʌ ,x ∈ B}
el símbolo “∩” se lee intersección y el símbolo “ʌ” se lee y.
21
U
A B
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,5,7,9}
B = {2,4,6,8}
A U B =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3 7
51 2
8
4
Figura No. 13
6
9

La parte subrayada representa la unión entre los conjuntos A y B.
Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su intersección es vacía y
los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se había mencionado;
__________________________________________________________________________
22
A B
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7}
A ∩ B = { }
3 2
41 5
76
Figura No. 14.
Figura No. 15
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {5,6,7}
A ∩ B = {5,6 }
A B
U
8
9
3 2
41
7
5
6

La parte sombreada indica la operación:
Esto permite afirmar que si A Ϲ B, entonces. A ∩ B = A; análogamente se puede inferir
que si B Ϲ A, entonces, A ∩ B = B.
A continuación se realiza la demostración analítica para el caso 3 de la figura No. 16, la
otra situación si B Ϲ A, entonces, A ∩ B = B, se deja como ejercicio complementario (se
encuentra al final del capítulo), esta demostración es muy similar a la que se hará a
continuación, sin embargo la puede consultar en el libro, Teoría de conjuntos de Seymour
Lipschutz.
Si A Ϲ B, por definición de contenencia entre conjuntos se puede afirmar que todo
elemento x ∈ A, entonces x ∈ B; por definición de intersección, éstos elementos x
forman el conjunto A ∩ B y como todos estos son elementos de A, se puede concluir que
A ∩ B = A.
Ejemplo 1.
Dados los conjuntos:
M = {x ∈ N / x es múltiplo de 2}
N = {x ∈ N / x es múltiplo de 3}
P = {x ∈ N / x es impar}
Se pueden analizar las siguientes intersecciones:
1. M ∩ N = {6, 12, 18, 24, 36,…}, escrito por comprensión es:
M ∩ N = {x ∈ N / x es múltiplo de 6}.
2. M ∩ P = ø , no existe ningún número natural que sea múltiplo de 2 y a la vez
impar.
23
A
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {5,6,7}
A ∩ B = {5,6,7 } = B
3
2
4
1
B
5
76
Figura No. 16

3. ø ∩ M =ø , El conjunto vacío está contenido en cualquier conjunto, en particular
en M, esto es ø Ϲ M, luego se puede concluir que ø ∩ M = ø .
4. Para hallar la intersección M ∩ N ∩ P, se puede encontrar la intersección de M con
N y luego con el conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que están en
los tres conjuntos: M, N y P.
En este caso M ∩ N = {x ∈ N / x es múltiplo de 6} y éste intersecado con el conjunto P
está formado por los múltiplos de 6 que son impares, es decir, M ∩ N ∩ P = {x ∈ N / x es
impar y múltiplo de 6}, por extensión el conjunto es:
M ∩ N ∩ P = ø , pues no existe ningún número natural que sea a la vez impar y múltiplo
de 6.
Ejercicio propuesto:
Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn
Diferencia
Según los tres casos estudiados, se puede afirmar que al comparar dos conjuntos no
vacíos, puede suceder que:
1. No tengan ningún elemento en común, (conjuntos totalmente diferentes).
2. Sólo algunos elementos sean comunes, (conjuntos parcialmente diferentes o
parcialmente iguales)
3. Un conjunto este contenido en el otro.
4. Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales)
En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan
a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto así formado, se denomina diferencia
entre conjuntos.
Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces se define la diferencia entre A y B así:
__________________________________________________________________________
24
U =
M =
N =
M ∩ N =
M ∩ P =
M ∩ N ∩ P =
M NU
Figura No. 17
P

A – B = {x / x ∈ A, ʌ, x ∉ B}
Esto se lee: A menos B, es el conjunto formado por los elementos que están en el
conjunto A pero no en el B.
En la siguientes gráficas, la parte sombreada representa la diferencia entre los conjuntos A
y B.
Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su diferencia es vacía y los
conjuntos se llaman disyuntos, como ya se había mencionado;
25
A B8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7}
A - B = A = {1,2,3,4}
B - A = B = {5,6,7}
3 2
41 5
76
Figura No. 18.
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {5,6,7}
A - B = {1,2,3,4}
A B
U
8
9
3
2
41
7
Figura No. 19
5
6

La parte sombreada indica la operación.
En la figura 20, se puede observar que todos los elementos que están en B, están en A
(debido a que B Ϲ A), por lo tanto no existe ningún elemento que pertenezca a la
diferencia B – A y en consecuencia B – A = ø . Surge ahora, la siguiente inquietud:
¿Cuál será la diferencia entre A y B (A – B) cuando B Ϲ A?
Esta pregunta se plantea formalmente en el numeral 4 de los ejercicios complementarios y
el propósito es realizar la demostración con el apoyo del tutor.
__________________________________________________________________________
26
A
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {5,6,7}
A - B = {1,2,3,4}
B - A = { }
3
2
41
B
5
76
Figura No. 20

Ejemplo 1.
Dados los conjuntos A = {x / x es un dígito} y B = {0, 2, 3, 7} hallar A – B y B – A y
hacer la representación gráfica.
Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensión, así:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7}, entonces:
A – B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B – A = ø ,
Diferencia simétrica
Se define la diferencia simétrica entre dos conjuntos no vacíos A y B, como el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no
pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
Simbólicamente la diferencia simétrica entre A y B se escribe así:
A Δ B = {x / x ∈ A, v, x ∈ B, ʌ, x ∉ A ∩ B}.
27
A
U
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = {0,2,3,7}
A - B = {1,4,5,6,8,9}
B - A = { }
6
5
4
1
B
2
73
Figura No. 21
89
0

En la siguientes gráficas, la parte sombreada representa la diferencia simétrica entre los
conjuntos A y B.
Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su interse es vacía y los
conjuntos se llaman disyuntos.
__________________________________________________________________________
28
A B8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7}
A ∆ B = {1,2,3,4,5,6,7}
B ∆ A = {1,2,3,4,5,6,7}
3 2
41 5
76
Figura No. 22.
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {5,6,7}
A ∆ B = {1,2,3,4,7}
B ∆ A = {1,2,3,4,7}
Figura No. 23
A B
U
8
9
3
2
41
7
5
6

Ejemplo 1.
Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x / x es una letra de la
palabra SISTEMAS}, entonces A Δ B = {N, G, R, M, S, T}.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia simétrica entre M y N es:
M Δ N = {1, 2, 3, 5}, claramente se puede observar que el número 4, no pertenece a la
diferencia simétrica porque forma parte de la intersección entre M y N.
29
A
U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {5,6,7}
A Δ B = {1,2,3,4}
B Δ A = {1,2,3,4}
3
2
41
B
5
76
Figura No. 24
U =
A =
B =
A ∩ B =
A Δ B =
A U B =
A B
U
Figura No. 25

Complemento
Si A es un conjunto no vacío, el complemento de A, simbolizado por A’, está formado por
todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,
A’ = Ac
= A*
= ~A = ¬ A = A = {x / x ∉ A}
En la siguientes gráficas, la parte sombreada representa el complemento del conjunto A.
__________________________________________________________________________
30
U =
A =
B =
A ∩ B =
A Δ B =
A U B =
A B
U
Figura No. 26
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7}
A’ = {5,6,7,8,9}
3 2
41 5
76
Figura No. 27.
A B

Caso 2. Que los conjuntos tengan sólo unos elementos en común
Ejemplo 1.
Al considerar el conjunto universal como el conjunto de los estudiantes de Ingeniería de
sistemas de la UNAD y A como el conjunto de los estudiantes que están en el primer
semestre, el complemento del conjunto A (A’) será el conjunto formado por todos los
estudiantes de ingeniería de sistemas de la UNAD que no cursan primer semestre, esto
es:
U = {x ϵ UNAD / x estudia ingeniería de sistemas}.
A = {x ϵ Ingeniería de sistemas / x ϵ Primer semestre}.
A’ = {x ϵ Ingeniería de sistemas / x ∉ Primer semestre}.
31
Figura No. 28
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {5,6,7}
A’ = {7,8,9}
U
8
9
7
A B
41
3
2
6
5
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,3,4,5,6,7}
B = {5,6,7}
A’ = {8,9}
A
U
8
9
3 2
4
1
B
5
76
A

Producto Cartesiano
Par ordenado o pareja ordenada:
La expresión (x , y ) representa una pareja ordenada , que cumple la condición de que su
primera componente, (“x”) pertenece al conjunto A y la segunda componente (“y”)
pertenece al conjunto B.
Plano cartesiano:
Los pares ordenados (x,y), (-x,y), (x,-y), (-x,-y) se representan en el plano cartesiano
como sigue:
Producto Cartesiano:
Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define el producto cartesiano entre A y B así:
A X B = {(x , y ) / x Є A , ᴧ , y Є B }.
Ejemplo 1.
Si A = {1, 2,3} y B = {-1, 0, 2} el producto cartesiano de A X B es:
A X B = {(1,-1),(1,0),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,2),(3,-1),(3,0),(3,2)} y el producto de BXA es
B X A = {(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3)}
De donde se observa que el producto cruz no es conmutativo, es decir:
A x B ≠ B x A
Se puede observar que el producto cartesiano entre A y B no es conmutativo, puesto que
la pareja ordenada ( x, y ) es diferente a la pareja ordenada ( y, x ), en particular, (-1,1) es
diferente a (1, -1) y ( 1,1) es diferente a (-1,-1).
__________________________________________________________________________
32
x-x
-y
y(-x,y) (x,y)
(-y,-x) (x,-y)
Y
X
Figura No. 30

La siguiente gráfica muestra la diferencia.
Realiza el siguiente producto cartesiano y luego ubica los pares ordenados en el plano
cartesiano: Si A = {2,3} y B = {1, -2} A x B es:
33
1-1
-1
1
(-1,1) (1,1)
(-1,-1) (1,-1)
Y
X
Figura No. 31

Algebra de conjuntos
Propiedades de las operaciones entre conjuntos
Las siguientes cuatro propiedades, son válidas para las operaciones de unión e
intersección:
a. Leyes de idempotencia:
A U A = A
A ∩ A = A
b) Leyes asociativas:
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
b. Leyes conmutativas:
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
d) Leyes distributivas:
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Las siguientes propiedades están relacionadas con los conjuntos Universal “U” y vacío ø
:
e) Leyes de identidad:
A U U = U A ∩ U = A
A U Ф = A A ∩ Ф = Ф
Propiedades con respecto al complemento.
f) Leyes del complemento:
A U A' = U A ∩ A' = Ф
(A' )' = A Ф' = U
g) Leyes de D’Morgan:
(A U B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' U B'
Estas leyes se pueden representar gráficamente de la siguiente forma:
a) Leyes de idempotencia:
A U A = A
__________________________________________________________________________
34

A ∩ A = A
¿Qué obtenemos de interceptar el conjunto A con él mismo?
¿Qué pasa si unimos A con A? :
b) Leyes de identidad: A U U = U A ∩ U = A
A U Ф = A A ∩ Ф = Ф
¿Qué se obtiene de unir el conjunto A con el universo? :
¿Qué se obtiene de unir el conjunto A con el vacío? :
35
Figura No. 33
∩ =A A A
U =
A A A
A
U U U
AAA
Figura No. 35
A
U U U
U =
A
U =U U
Figura No. 34
A
U
U
U

¿Qué tienen en común A y el universo?
¿Qué tienen en común A y el vacío? :
c) Leyes del complemento:
A U A' = U A ∩ A' = Ф
(A' )' = A Ф' = U
¿Qué se obtiene de unir A con lo que no es A?
__________________________________________________________________________
36
Figura No. 36
A
U U
∩ =
A
U
Figura No. 37
A
U
∩ =
Figura No. 38
A
U U U
U =
A
UU

¿Qué tienen común A con lo que no es A?
d) Leyes de D’ Morgan:
(A U B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' U B'
La demostración gráfica de (A U B)' = A' ∩ B' es la siguiente:
Así
hemos encontrado el área que representa a la primera parte de la igualdad, ahora
representamos la segunda parte, se espera que los resultados sean iguales:
37
Figura No. 39
A
U U U
∩ =
A
U
8
9
7
A B
41
3
2 6
5
A U B
U
8
9
7
A B
41
3
2 6
5
(A U B)’
Figura No. 40
9
A’
U
8
7
A B
41
3
2 6
5
U
B’
8
9
7
A B
41
3
2 6
5
U
A' ∩ B'
8
9
7
A B
41
3
2 6
5

Realiza la demostración gráfica del teorema de D’ Morgan para: (A ∩ B)' = A' U B'
para ello subraya el área correspondiente.
Primera parte
Las anteriores leyes están formuladas por pares, lo cual verifica la naturaleza dual de la
teoría de conjuntos.
Simplificar aplicando las leyes del Algebra de conjuntos:
1) ( (A ∩ B)' )’
2) (A’ ) ’ ∩ ( ( (B)' ) ’ )
3) (A' U A' ) U B'
4) (A ∩ Ф)'
5) (A ∩ Ф’ )'
__________________________________________________________________________
38
Figura No. 41
9
______
U
8
7
A B
41
3
2 6
5
U
____
8
9
7
A B
41
32 6
5
U
_______
8
9
7
A B
41
3
2
6
5
9
______
U
8
7
A B
41
3
2 6
5
U
____
8
9
7
A B
41
3
2 6
5
U
_______
8
9
7
A B
41
3
2 6
5
6) (A’ ∩ U’ ) '
7) (A ∩ A)' U (A' U A' )
8) (A U A’ ) '
9) (A’ ∩ A’ ) ' U A'
10) ( (A’ ) ’ U U’ )' ∩ A'
Segunda parte de la igualdad A' U B':

Principio de dualidad
Si se intercambian las operaciones unión (U) por intersección (∩), como también el
conjunto universal (U) por el conjunto vacío (Ф), en cualquier razonamiento sobre
conjuntos, el enunciado resultante se llama DUAL del primero.
Ejemplo 1.
Demostrar que el dual de;
(U U B) ∩ (A U Ф) = A es:
(Ф ∩ B) U (A ∩ U) = A
Tomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene que:
(U U B) ∩ (A U Ф)
U ∩ A = A
Ahora, considerando la segunda y nuevamente aplicando las leyes de identidad se tiene
que:
(Ф ∩ B) U (A ∩ U)
Ф U A = A
Con lo cual queda demostrado.
39

Ejemplo 2.
Demostrar que el dual de
(A ∩ B) U (A ∩ B') = A es
(A U B) ∩ (A U B') = A
En este caso se puede hacer la demostración en forma gráfica así:
i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma:
figura No.42 primera parte
__________________________________________________________________________
40
9
A
U
8
7
A B
41
32 6
5
U
B’
8
9
7
A B
41
3 2 6
5
U
A ∩ B'
8
9
7
A B
41
3 2 6
5
9
A
U
8
7
A B
41
3
2 6
5
9
U
( A ∩ B' )
8
7
A B
41
3
2 6
5
9
U
( A ∩ B )
8
7
A B
41
3
2 6
5
U =

Segunda parte: (A U B) ∩ (A U B') = A
i) La segunda parte se puede representar de la siguiente forma:
41
9
A
U
8
7
A B
41
3 2 6
5
U
B’
8
9
7
A B
41
32 6
5
9
A
U
8
7
A B
41
3 2 6
5
∩ =
A U B’
8
9
U
A
41
3
B
6
5
72
9
U
( A U B )
8
7
A B
41
3
2 6
5
A U B’
8
9
U
A
41
3
B
6
5
72
Figura No.43 segunda parte (A U B) ∩ (A U B') = A

__________________________________________________________________________
42
Lección No.3 Principios de LógicaLección No.3 Principios de Lógica
Principios de lógica.
y ᴧ
o v
No ~
Si … entonces →
Sí y sólo si ↔

Principios de lógica
Objetivo general
Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lógicos, utilizando las leyes de
la lógica y las de las inferencias, ya sea para determinar la conclusión, o para determinar
la consistencia interna de un razonamiento.
Utilizar las diferentes leyes de la lógica con el fin de obtener precisión, claridad y
generalidad en diferentes razonamientos.
1. Conocer la historia de la lógica y su clasificación.
2. Establecer la relación entre lógica y lingüística.
3. Aprender los conectivos lógicos: disyunción, conjunción, negación, implicación y
equivalencia.
4. Elaborar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lógicas.
5. Aplicar las leyes del álgebra de proposiciones para realizar demostraciones.
6. Determinar la conclusión de un grupo de premisas utilizando las inferencias lógicas.
7. Definir y diferenciar conceptos tales como razonamiento, demostración y
argumento.
43

Historia y clasificación de la lógica
Etimológicamente la lógica es la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o
discurso, por lo que en un principio se definió la lógica como la rama de la gramática que
se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.
Como la palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento
racional es la base de la filosofía, puede decirse en general, que la lógica es la ciencia del
pensamiento racional; es de aclarar que la lógica no se ocupa del contenido de los
pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.
En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar
pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos. “El padre de la
lógica”, creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo
cual desarrolló la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la
verdad o falsedad de proposiciones compuestas.
El gran matemático Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica
clásica, planteando que la dependencia lógica entre proposiciones es demostrada,
reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el
conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a éste
esquema (lógica simbólica) lo llamó una característica universal.
El proceso de la lógica continuó en el siglo XIX. En 1847 el matemático inglés George
Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las
operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de
adición, multiplicación y sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión,
intersección y negación; además formularon los principios del razonamiento simbólico y el
análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de las tablas de verdad para
comprobar la veracidad de proposiciones compuestas.
Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra
“Principio Matemático”, quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma
definiéndola como la “Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles”, por
esta razón la fundación de la lógica formal moderna se le atribuye a ellos.
__________________________________________________________________________
44

Clasificación de la lógica
La lógica se puede clasificar como:
1. Lógica tradicional o no formal.
2. Lógica simbólica o formal.
En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del pensamiento lógico,
y los métodos de inferencia que están relacionados con la destreza para interpretar y
distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se puede considerar que la lógica no
formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observación
del mundo circundante.
La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de
investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la
inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas
puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las palabras se manipulan, según las
reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.
Conceptualización
La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de
verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de
proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia que se interesa por las
relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y
generalidad en los razonamientos.
La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función
primordial eliminar las ambigüedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede
evitar con facilidad.
La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los
elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación simbólica como en
su significado para luego establecer un lenguaje simbólico artificial, que le permita
simplificar argumentos lógicos complicados; de esta manera, el símbolo permite
concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que
se aplica el conocimiento.
45

Lógica y Lingüística
Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes:
los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales.
Los lenguajes naturales no se establecieron a través de ninguna teoría, entre ellos están el
castellano, el francés y el inglés. Las teorías y gramáticas de lenguajes naturales, fueron
establecidas a posteriori, es decir después de que el lenguaje ya había madurado.
Los lenguajes formales como las matemáticas y la lógica, fueron desarrollados,
generalmente, a partir del establecimiento de una teoría, la cual da las bases para que a
través de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teoría.
Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en común, en principio, se tiene la
existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de símbolos
simples llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos
los alfabetos: latino, griego y árabe-persa, entre otros. En los formales como la lógica se
tiene el léxico del cálculo proposicional y de predicados.
Mediante la concatenación de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o
palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se
considera como un conjunto infinito de oraciones o enunciados que se forman con
palabras del diccionario.
En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de símbolos,
(lógicos o matemáticos) sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las
palabras y las oraciones están perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo
significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto,
necesariamente exentos de cualquier componente semántico fuera de sus operadores y
relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes
formales pueden ser usados para modelar una teoría de la ingeniería de sistemas,
mecánica, eléctrica, entre otras.
__________________________________________________________________________
46

La lógica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como
elemento básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del
lenguaje cotidiano con un significado mucho más limitado; en tales condiciones, se puede
considerar una proposición como una excepción lingüística que tiene la propiedad de ser
verdadera o falsa.
y para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados; crea un lenguaje
simbólico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que
no presentan las ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente.
Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas,
las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un
predicado y una conjugación del verbo ser.
Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas
del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o
variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y
exacto que el lenguaje natural.
Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones:
 p : Hoy es sábado.
 q : Estudio ingeniería de sistemas.
 r : New York es llamada la capital del mundo.
 s : 1 no es un número primo.
 x : 4 + 3 = 10.
Es decir, se puede establecer una relación biunívoca entre el lenguaje natural y el lenguaje
formal. Estas proposiciones generalmente se llaman frases.
En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como por ejemplo:
 Las rosas son rojas y tienen espinas.
 ¿La selección Colombia ganó o perdió?
 En el país no hay violencia.
 Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado ingeniero de
sistemas.
 4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.
Estas expresiones se denominan oraciones y para su formación se utilizaron las letras y,
o, no, si … entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados.
47

Lección No.4 Conectivos LógicosLección No.4 Conectivos Lógicos
Conectivos Lógicos
Estos términos de enlace reciben el nombre de Conectivos lógicos y al igual que a las
proposiciones, también se les asignan un lenguaje simbólico, así:
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL
y ᴧ
o v
No
~
Si … entonces →
Sí y sólo si ↔
Vemos varios ejemplos de notación simbólica de las proposiciones:
p : Las rosas son rojas.
q : Las rosas tienen espinas.
P ᴧ q: Las rosas son rojas y tienen espinas.
r: La selección Colombia ganó?.
s: La selección Colombia perdió?.
r v s : La selección Colombia ganó o perdió?.
t : En el país hay violencia.
~ t : En el país no hay violencia.
x : Estudio lógica matemática
y : Seré un destacado ingeniero de sistemas
__________________________________________________________________________
48

x → y : Si estudio lógica matemática seré un destacado ingeniero de sistemas.
u : 4 es un número par.
v : 4 es divisible por 2.
u ↔ v : 4 es un número par si y sólo si es divisible por 2.
Clasificación de las proposiciones
En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atómicas o simples y
moleculares o compuestas, veamos:
Proposiciones simples:
Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos
lógicos.
Estos son algunos ejemplos:
p : El eclipse es un fenómeno natural.
q : La luna es un satélite de la tierra.
r : 2 es el inverso multiplicativo de –2.
s: -3 es el inverso aditivo de 3.
El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no
los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición.
Proposiciones Compuestas
Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más
proposiciones simples mediante términos de enlace.
Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas:
p : Está lloviendo.
q: El sol brilla.
p ᴧ q: Está lloviendo y el sol brilla.
49

x : Quieres café?.
y : Quieres té?.
x v y : quieres café o té?.
s : Llueve.
r : Hace frío.
s →r : Si llueve entonces hace frío.
p : Un triángulo es equilátero.
q: Un triángulo tiene sus tres lados iguales.
p ↔ q : Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados iguales.
La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de
cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén
combinadas; para establecer este valor, se fijan criterios que se estudiarán en las
próximas secciones de este capítulo.
__________________________________________________________________________
50

Conectivos Lógicos
Como ya se dijo en la sección anterior, los símbolos que sirven para enlazar dos o más
proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son: la conjunción, la
disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional.
La conjunción: “ ᴧ “
Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada
por
“p ᴧ q“, se denomina la conjunción de p y q.
Ejemplos de conjunción:
Ejemplo 1
La proposición compuesta r ᴧ s : 6 es número par y entero positivo, está formada
por:
r : 6 es un número par.
ᴧ : y
s : entero positivo.
Ejemplo 2
p ᴧ q : Termino de escribir mi programa de computación y luego jugaré tenis
p : Termino de escribir mi programa de computación.
ᴧ: y
q : jugaré tenis.
51

Para establecer el valor de verdad de la conjunción, surgen las siguientes posibilidades:
1. Que p y q sean verdaderas.
2. Que p sea verdadera y q sea falsa.
3. Que p sea falsa y q verdadera.
4. Que p y q sean falsas.
A continuación se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1, el análisis del ejemplo 2
se deja como ejercicio.
1. r: Verdadera. 6 es un número par.
s: Verdadera. 6 es un entero positivo.
r ᴧ s : Verdadera (V)
2. r: Verdadera. 6 es un número par.
s: Falsa. 6 no es un entero positivo.
r ᴧ s : Falsa (F).
3. r: Falsa. 6 no es un número par.
s: Verdadera. 6 es un entero positivo.
r ᴧ s :Falsa (F).
4 r : Falsa. 6 no es un número par.
s: Falsa. 6 no es un entero positivo.
r ᴧ s: Falsa (F).
__________________________________________________________________________
52

La disyunción “ v “
Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición p o q, simbolizada “p v q” se llama
disyunción de p y q.
El operador “o” se puede usar de dos formas: como “o incluyente” o como “o excluyente”.
En el primer caso (“o” incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos
proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva;
mientras que en la segunda forma (“o” excluyente) el valor de verdad de una proposición
excluye la veracidad de la otra proposición, esto hace que la proposición disyuntiva tome
el valor verdadero.
Ejemplo 1. Uso del “o” incluyente
r v s: Juan estudia ingeniería o Paola estudia medicina.
r : Juan estudia ingeniería.
v : O
s: Paola estudia medicina.
Ejemplo 2. Uso del “o” excluyente.
x v y : Quieres helado o gaseosa.
x : Quieres helado.
v : O
y: Quieres gaseosa.
Ejemplo 3: Uso del “o” excluyente
p v q: Alexandra vive en Bogotá o en Barranquilla.
p : Alexandra vive en Bogotá.
v : O
q : Alexandra vive en Barranquilla.
53

La negación ~
Sea p una proposición simple. Se define la negación de p mediante la proposición
compuesta no p simbolizada por: “~ p”.
Ejemplo 1.
p : 3 es un número entero primo.
~ p : 3 no es un número entero primo, también se puede leer.
es falso que 3 es un número entero primo.
Ejemplo 2.
q : El automóvil de Francisco es rojo.
~ q: El automóvil de Francisco no es rojo ,o, es falso que el automóvil de
Francisco es rojo.
El condicional “→“
Se dice que una proposición compuesta es condicional, si esta formada por dos
proposiciones simples enlazadas por la expresión “si…entonces”.
Si p y q representan dos proposiciones, la expresión “si p entonces q” se simboliza así :
p → q y se lee p implica q.
La proposición precedida por la expresión “si”, se llama antecedente o hipótesis y la
proposición precedida por la expresión “entonces”, se llama consecuente o conclusión
de la implicación. En la expresión p → q, el antecedente es p y el consecuente es q.
Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras así:
 Si p entonces q.
 p sólo si q.
 q si p.
 p es suficiente para q.
 q es necesaria para p.
Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:
 Si un entero es múltiplo de 4 entonces es divisible por 2.
 Apruebo el semestre sólo si estudio.
 El algoritmo esta bien enunciado si el programa corre.
 Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas.
Cuando una proposición condicional se escribe en una de las anteriores formas,
probablemente, en el lenguaje común habrá alguna que no se interprete como se desea,
__________________________________________________________________________
54

pero como la lógica no permite ambigüedades, éstas se deben escribir según la definición
dada en la sección.
Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así:
Implicación directa: p → q
Implicación contraria: q → p
Implicación recíproca: ~ p → ~ q
Implicación contrarrecíproca: ~ q → ~ p
Ejemplo 1.
Dadas las proposiciones p: 2m es divisible por 4
q: m es par
entonces:
La proposición directa es: p → q: Si 2m es divisible por 4 entonces m es par, la contraria
es: q → p: Si m es par entonces 2m es divisible por 4, la recíproca es: ~ p → ~ q: si
2m no es divisible por 4, entonces m no es par y la contrarrecíproca es: ~ q → ~ p : Si m
no es par, entonces 2m no es divisible por 4.
Ejemplo 2.
Teniendo en cuenta la proposición directa: ~ p → q construir las otras formas de la
implicación:
Contraria: q →~ p
Recíproca: ~ (~ p) →~ q
p→~ q
Contrarrecíproca: ~ q →~ (~ p)
~ q→ p.
Ejemplo 3.
Proposición directa: ~ p →~ q
Contraria: ~ q →~ p
Recíproca: ~ (~ p) →~ (~ q)
p→q
Contrarrecíproca: ~ (~ q) →~ (~ p)
q→p
55

El bicondicional “↔ “
Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples
conectadas por la expresión “sí y sólo sí”.
Simbólicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicación p ↔ q constituye
un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.
El bicondicional está formado por las implicaciones p → q y q → p, las cuales deben
tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia,
se dice que la proposición p es equivalente a la proposición q y se acostumbra a escribir
p ↔ q.
La proposición bicondicional tiene varias formas de traducción más no de significación,
éstas son:
 p sí y sólo si q.
 q sí y sólo si p.
 si p entonces q y recíprocamente.
 si q entonces q y recíprocamente.
 p es una condición necesaria y suficiente para q.
 q es una condición necesaria y suficiente para p.
Ejemplo 1.
Dadas las proposiciones:
p: Un triángulo es rectángulo.
q: Un triángulo tiene un ángulo recto.
El bicondicional p ↔ q se puede traducir de las siguientes formas:
Un triángulo es rectángulo sí y sólo sí tiene un ángulo recto.
 Un triángulo tiene un ángulo recto sí y sólo sí es un triángulo rectángulo
 Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene
un ángulo recto entonces es un triángulo rectángulo.
 Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que
tenga un ángulo recto.
 Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto es
que sea un triángulo rectángulo.
 Un triángulo rectángulo es equivalente a un triángulo con un ángulo recto.
__________________________________________________________________________
56

Tablas de verdad- Definición
Una tabla de verdad es una representación esquemática de las relaciones entre
proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas,
las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus
proposiciones simples.
En la elaboración de una tabla de verdad los términos de enlace tales como la negación
( “ ~ “), la disyunción ( “ v “) y la conjunción ( “ ᴧ “) se consideran conectivos
fundamentales; por tal razón, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo
qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa.
p q ~ p p ᴧ q p v q p → q p ↔ q
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
Para simbolizar los valores de verdad de una proposición, se utiliza el sistema binario,
mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. La siguiente tabla
resume los valores de verdad de los conectivos lógicos:
p q ~ p P ᴧ q p v q P → q p ↔ q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1
Construcción de tablas de verdad
Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario elaborar la
correspondiente tabla de verdad; para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian
los pasos a seguir:
57

Ejemplo 1.
Construir la tabla de verdad para la proposición ~ (p ᴧ q).
Paso 1.
Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los paréntesis.
Paso 2.
Se identifica el conectivo que aparece dentro del paréntesis, en este ejemplo la
conjunción.
Paso 3.
Se precisa el término de enlace que precede al paréntesis, en el ejemplo la negación.
Paso 4.
Se elabora la tabla con el número de columnas determinado por:
 Proposiciones que intervienen
 Conectivos utilizados dentro del paréntesis
 Conectivo utilizado fuera del paréntesis.
La siguiente tabla ilustra el paso 4:
p q p ᴧ q ~ ( p ᴧ q )
Paso 5.
Se fijan los valores de verdad en las columnas de las proposiciones p y q. se ilustra en la
siguiente tabla
p q p ᴧ q ~ ( p ᴧ q )
1 1
1 0
0 1
0 0
Paso 6.
Se completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de
cada proposición simple. La finalización de la elaboración de la tabla de verdad es:
p q p ᴧ q ~ ( p ᴧ q ) p q p ᴧ q ~ ( p ᴧ q )
V V V F 1 1 1 0
V F F V 1 0 0 1
F V F V 0 1 0 1
F F F V 0 0 0 1
__________________________________________________________________________
58

Ejemplo 2.
Elaborar la tabla de verdad de la proposición: (p v q) ᴧ (p ᴧ q).
Al realizar el recorrido de izquierda a derecha se observa que la proposición está
conformada por dos paréntesis conectados por la disyunción y dentro de cada paréntesis
se identifican la disyunción y la conjunción respectivamente; después de éste análisis se
elabora la tabla.
p q p v q p ᴧ q (p v q) ᴧ (p ᴧ q)
1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
Ejemplo 3
Elaborar la tabla de verdad para la doble negación, es decir, ~ (~ p)
p ~ p ~ (~ p) p ~ p ~ (~ p)
V F V 1 0 1
F V F 0 1 0
Este resultado permite concluir que la doble negación de una proposición es la misma
proposición.
59

Tabla No. 1 La conjunción.
Tabla No.2 La disyunción.
Tabla No.3 La negación.
Tabla No.4 El condicional.
Tabla No.5 El Bicondicional.
Tablas de verdad para los conectivos lógicos
La conjunción
p q p ᴧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
De la anterior tabla de verdad podemos concluir que la conjunción es verdadera
únicamente cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, en cualquier otro caso
la proposición es falsa.
La disyunción
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
La negación
p ~ p
V F
F V
El condicional
El bicondicional
p q p →q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
__________________________________________________________________________
60

Implicación directa, contraria, recíproca y contrarecíproca
Tabla de verdad para las cuatro formas de la implicación,
p q ~ p ~ q p →q
Directa
q →p
Contraria
~ p →~ q
Recíproca
~ q →~ p
Contrarrecíporca
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1
Tabla No. 6. Formas de la implicación.
Esta tabla permite analizar que los valores de verdad correspondientes a las columnas de
la directa y la contrarecípoca coinciden, al igual que los de las columnas de la contraria y
de la recíproca, por lo tanto estas implicaciones son equivalentes, es decir:
1. ( p →q ) ↔ (~ q →~ p )
2. ( q →p ) ↔ (~ p →~ q )
Se propone al estudiante construir la tabla de verdad para las anteriores equivalencias.
61

Lección No.5 Leyes de la lógicaLección No.5 Leyes de la lógica
Leyes de la lógica
Tautología
Entre las proposiciones compuestas existen unas muy importantes por ser siempre
verdaderas, independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la
conforman, este tipo de proposiciones reciben el nombre de tautologías, es decir, una
tautología es una proposición que es verdadera en todos los casos.
Ejemplo 1.
Demostrar que la proposición ( p v q ) → (~ q →p ) es verdadera:
Para verificar la validez de esta proposición es necesario realizar la tabla de verdad y
comprobar que en la última columna solamente aparecen valores verdaderos.
p q p v q ~ q ~ q →p ( p v q ) →(~ q →p)
1 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
Tabla No. 7. Ejemplo 1.
Una proposición compuesta, que es falsa en todos los casos independientemente de los
valores de verdad de las proposiciones que la conforman se llama Contradicción.
Ejemplo 2.
¿Es ( p ᴧ ~ q ) ᴧ q una tautología?
Para responder la pregunta se hace necesario hacer la tabla de verdad, así:
p q ~ q p ᴧ ~ q ( p ᴧ ~ q) ᴧ q
V V F F F
V F V V F
F V F F F
F F V F F
Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción.
Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes si tienen los
mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
__________________________________________________________________________
62

Ejemplo 3
Establecer si las proposiciones (p →q ) y (~ p v q ) son lógicamente equivalentes.
Para esto hay que probar que (p →q) ↔ (~ p v q), la tabla de verdad es:
p q p →q ~ p ~ p v q (p →q ) ↔ (~ p v q)
1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
Como la última columna es toda verdadera (tautología), se puede concluir que las
proposiciones son lógicamente equivalentes.
63

Leyes del algebra de proposiciones
Las siguientes son las leyes de la lógica.
1. Idempotencia:
p v p ↔ p
p ᴧ p ↔p
3. Asociativas:
(p v q) v r ↔p v (q v r )
(p ᴧ q) ᴧ r ↔p ᴧ (q ᴧ r)
4. Conmutativas:
p v q ↔ q v p
p ᴧ q ↔q ᴧ p
5. Distributivas:
p v (q ᴧ r) ↔ (p v q) ᴧ (p v r)
p ᴧ (q v r) ↔ (p ᴧ q) v (p ᴧ r)
6. Identidad:
p v 0 ↔ p , p v 1 ↔ 1
p ᴧ 0 ↔0 , p ᴧ 1 ↔ p.
7. Complemento:
p v ~ p ↔ 1, p ᴧ ~ p ↔ 0
~ ( ~ p) ↔ p, ~ 1 ↔ 0, ~ 0 ↔ 1
8. Leyes D’ Morgan:
~ ( p v q ) ↔ ~ p ᴧ ~ q
~ ( p ᴧ q ) ↔ ~ p v ~ q
Estas leyes están formuladas por pares debido a la naturaleza dual del álgebra de
proposiciones.
__________________________________________________________________________
64

En los ejemplos que aparecen a continuación, se utilizan las leyes de la lógica para
realizar las respectivas demostraciones:
Ejemplo 1
Demostrar que:
1. p ᴧ p ↔ p
2. p v p ↔ p.
Estas demostraciones se pueden efectuar partiendo del primer miembro y llegar al
segundo o partiendo del segundo y llegar al primero. En la parte derecha se escribe el
nombre de la ley que justifica ese paso.
1. Partiendo del primer miembro se llega al segundo así:
p ᴧ p ↔ (p ᴧ p) v 0 Identidad
p ᴧ p ↔ (p ᴧ p) v (p ᴧ ~ p) Complemento
p ᴧ p ↔ p ᴧ (p v ~ p) Distributiva
p ᴧ p ↔ p ᴧ 1 Complemento
p ᴧ p ↔ p Identidad
2. Partiendo del segundo miembro se llega al primero así:
p ↔ p v 0 Identidad
p ↔ p v (p ᴧ ~ p) Complemento
p ↔ (p v p) ᴧ (p v ~ p) Distributiva
p ↔ (p v p) ᴧ 1 Complemento
p ↔ (p v p) Identidad.
Se sugiere hacer las demostraciones partiendo del primer miembro.
Ejemplo 2
Demostrar que: (p v q) ᴧ (~ p v q) ↔ q
( q v p) ᴧ (q v ~ p) ↔ q Conmutativa
q v ( p ᴧ ~ p ) Distributiva
q v 0 Complemento
q Identidad
65

Ejemplo 3.
Demostrar que: [ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) v (q ᴧ r) ] ↔ [ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r)]
[ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) v (q ᴧ r) ] ↔ [ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) v (q ᴧ r) ] v 0 Identidad
↔ [(p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) v (q ᴧ r)] v (q ᴧ r) ᴧ ~ (q ᴧ r) Complemento
↔ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) v (q ᴧ r) ᴧ ~ (q ᴧ r) Asociativa
↔ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) v 0 Complemento
↔ (p ᴧ q) v (~ p ᴧ r) Identidad
Ejemplo 4.
Demostrar: (p v ~ q) ᴧ (q v r) ᴧ (q v ~ r) ↔ (p ᴧ q)
(p v ~ q) ᴧ [q v (r ᴧ ~ r)] Distributiva
(p v ~ q) ᴧ [q v 0] Complemento
(p v ~ q) ᴧ q Identidad
(p ᴧ q) v (~ q ᴧ q) Distributiva
(p ᴧ q) v 0 Complemento
(p ᴧ q) Identidad.
Ejemplo 5.
Demostrar: ~ [(p ᴧ ~ q ᴧ r) v (p ᴧ q ᴧ r)] ↔ (~ p v ~ r)
~ [(p ᴧ ~ q ᴧ r) v (p ᴧ q ᴧ r)] ↔ ~ [(p ᴧ r) ᴧ (~ q v q)] Conmutativa y distributiva
~ [(p ᴧ ~ q ᴧ r) v (p ᴧ q ᴧ r)] ↔ ~ [(p ᴧ r) ᴧ 1] Complemento
~ [(p ᴧ ~ q ᴧ r) v (p ᴧ q ᴧ r)] ↔ ~ (p ᴧ r) Identidad
~ [(p ᴧ ~ q r) v (p ᴧ q ᴧ r)] ↔ (~ p v ~ r) D’ Morgan
__________________________________________________________________________
66

Cuantificadores
Cuantificador universal y existencial
Existen especialmente en matemáticas, expresiones que contienen variables tales como x,
y, z, etc., para las cuales su valor de verdad depende del valor que tome la variable.
Ejemplo 1. x + 1 = 2
Esta proposición es verdadera si x = 1 y falsa si x ≠ 1. A estas proposiciones se les llama
“Proposiciones abiertas”.
Hasta el momento se han tratado proposiciones a las cuales se les puede asignar un valor
de verdad, ya sea falso o verdadero, ahora en esta sección, se estudia la lógica de
proposiciones abiertas, para ello, se asigna una expresión llamada cuantificador, que
permite restringir los valores de las variables, de tal forma que la proposición toma un solo
valor de verdad para dicha restricción.
En el ejemplo, la proposición se puede enunciar de las siguientes formas:
1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2. Proposición verdadera
2. Para todo x ≠ 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposición falsa.
Simbólicamente, en el primer caso el cuantificador recibe el nombre de cuantificador
existencial, pues está informando que existe un sólo valor para x que hace verdadera la
proposición dada, mientras que en el segundo caso el cuantificador se llama universal
porque afirma que todos los valores de x diferentes de 1 hacen la proposición falsa, es
decir, que un valor de x diferente de 1 convierte x + 1 = 2 en proposición falsa.
Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada se llama
cuantificador universal y se simboliza por “∀ ”
Ejemplo 2.
( ∀ x) / ( x + 4 = 4 + x). Significa que todo x verifica la ecuación.
La palabra algunos(s) significa que por lo menos uno verifica la condición. Los
cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, y se llaman cuantificadores
existenciales y se representan así: “∃“.
67
(∃x = 1) / (x + 1 = 2)
Verdadera.
( ∀ x ≠ 1 ) / ( x + 1 = 2) Falsa.

Ejemplo 3
(∃ x ) / ( 2 x + 2 = 5 ).
Valores de verdad de expresiones con cuantificadores
Para determinar el valor de verdad de una expresión que contiene un cuantificador es
importante tener claros los siguientes conceptos:
1. Conjunto Universal: es el conjunto que contiene todos los elementos
considerados en un estudio determinado.
2. Conjunto dominio de la variable: corresponde al conjunto de valores posibles de
la variable.
Ejemplo 1.
(∀x Є R ) / ( 2 x – 1 = 0 ) que se lee “ para todo x que pertenece a los reales se verifica
que 2 x – 1 = 0 “.
En esta proposición el conjunto universal esta formado por los números reales y el dominio
de la variable es x = ½.
El ejemplo afirma que todo número real verifica 2x – 1 = 0, lo cual es falso, pero si se
cambia el conjunto universal, por el conjunto { 1/2 }, la proposición se convierte en
verdadera y se enuncia así:
(∀ x Є { 1/2 } ) / ( 2 x – 1 = 0) es verdadera.
Lo anterior conduce a la siguiente afirmación:
Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera sí y sólo sí el
dominio de la variable es igual al conjunto universal.
Ejemplo 2.
(∃x Є R ) / ( x 2 - 1 = 0)
Conjunto universal: R (reales)
Dominio de la variable: x = 1 ,v, x = -1
En este caso el cuantificador existencial afirma que por lo menos existe un valor que
satisface la proposición, así, el ejemplo 2 es verdadero.
Ejemplo 3.
(∃x Є R ) ( x 2 + 1 = 0)
El conjunto universal está formado por los números reales, pero el dominio de la variable
es el conjunto vacío, pues, no hay un número real que al elevarlo al cuadrado y sumarle 1
de cómo resultado cero, esto hace que la proposición sea falsa.Del análisis de los
ejemplos 2 y 3 se puede afirmar: Una proposición con un cuantificador existencial es
verdadera si y sólo si el dominio de la variable no es vacío.
__________________________________________________________________________
68

69
PS
Clases S y P
S P S P
 S P
 SP
Capítulo 22
Preliminares sobre las
proposiciones

Lección No.6 Proposiciones categóricasLección No.6 Proposiciones categóricas
Capítulo 3 Preliminares sobre las proposiciones
Proposiciones categóricas
El estudio clásico o aristotélico de la deducción está centrado en argumentos que
contienen solamente proposiciones de un tipo especial, llamadas proposiciones
categóricas.
El tipo especial se refiere a que las proposiciones pueden ser
universales (afirmativas o negativas) o
particulares (afirmativas o negativas).
Por lo tanto, se puede afirmar que hay cuatro formas estándar de proposiciones
categóricas. Los siguientes ejemplos ilustran cada una de ellas.
Proposición Categórica Universal afirmativa
Todos los conductores de automóviles que no son seguros son personas
temerarias que ponen en peligro la vida de los demás.
Esta es una proposición universal afirmativa. Se refiere a dos clases:
1. Conductores de automóviles inseguros y
2. personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás
y dice que la primera clase está contenida en la segunda, lo cual significa que cada
miembro de la primera clase es también miembro de la segunda.
__________________________________________________________________________
70
Personas

En este ejemplo, el término sujeto conductores, designa a la
clase de todos los conductores y el término predicado temerarias, designa a la clase de
todas las personas temerarias.
Este tipo de proposición categórica se llama universal afirmativa, porque la proposición
afirma que la relación de inclusión entre las dos clases es completa, todos los elementos o
miembros de S también lo son de P.
Todas las proposiciones universales afirmativas se pueden escribir simbólicamente así:
Todo S es P , donde S representa el sujeto y P el predicado.
71
Conductores de automóviles
Inseguros
SP
Personas temerarias
Todo S es P

Lección No.7 Proposiciones universal y particularLección No.7 Proposiciones universal y particular
Proposición Categórica Universal negativa
Ningún conductor de automóvil responsable es un peligro para la vida de los demás.
Esta es una proposición universal negativa. Niega (en forma universal) que los
conductores responsables son un peligro para la vida de los demás.
En este caso se hace referencia a dos clases:
1. Conductor de automóvil responsable y
2. personas que ponen en peligro la vida de los demás
la primera clase excluye a la segunda, la excluye totalmente, es decir, que no hay
ningún miembro de la primera clase (conductor responsable) que también pertenezca a la
segunda (que represente un peligro para la vida de los demás). Todas las proposiciones
universales negativas se pueden escribir así:
Ningún S es P
,donde S representa el término sujeto y P el término predicado.
La proposición recibe el nombre universal negativo, porque la proposición niega que la
relación de inclusión de clase tenga lugar entre las dos clases y lo niega en forma
universal: no hay ningún miembro de S que también lo sea de P.
__________________________________________________________________________
72
Conductores de automóvil
Responsable
S P
teme
raria
s
Personas
Ningún S es P
Persona temeraria que
pone en peligro la vida de
los demás

Proposiciones categóricas afirmativa particular
Algunos estudiantes de la secundaria ingresan a la educación superior.
Este ejemplo afirma que algunos de los miembros de la clase de todos los estudiantes de
secundaria son (ingresan) miembros de la clase de estudiantes de universidad. Pero no
afirma esto universalmente: no dice que todos los estudiantes de secundaria (sin
excepción) ingresan a la universidad, sino más bien algunos en particular. Esta
proposición no afirma ni niega que “todos” los estudiantes ingresan a la universidad, se
refiere sólo a algunos.
Clases:
1. Estudiantes de secundaria y
2. Estudiantes que ingresan a la educación superior
La palabra “algunos” es indefinida, significa ¿” al menos uno ”?, ¿” al menos dos”?, ¿”al
menos tres”? O ¿”al menos cuántos”? Para mayor precisión, se acostumbra usar éste
término como “al menos uno “. Por lo tanto una proposición afirmativa particular se escribe
simbólicamente así:
Algún S es P,
Lo cual significa que por lo menos un miembro de la clase designada con el término sujeto
S también es miembro de la clase designada por el término predicado P. El nombre
afirmativa particular hace referencia a que la proposición afirmativa se cumple en la
relación de inclusión entre clases, pero no lo afirma de la primera clase universalmente,
sólo parcialmente, de algunos miembros particulares de la primera clase.
73
S
P
Estudiantes
Algún S es P
Estudiante que ingresa a la
educación superior
Estudiantes de secundaria

Proposiciones categóricas Negativa particular
Algunos números reales no son positivos.
Clases
1. Números reales y
2. Números negativos
En este ejemplo el antecedente (algunos números reales) es particular en el sentido que
no se refiere universalmente a los números reales, sólo a algunos de ellos, algunos
miembros de esa clase. Pero a diferencia del ejemplo anterior, no afirma que los miembros
particulares de la primera clase a los que se refiere (números reales) están incluidos en la
segunda clase (reales no positivos), esto es precisamente lo que se niega. Una
proposición particular negativa, se escribe en forma simbólica así:
Algún S no es P. dice que por lo menos un miembro que pertenece a la clase designada
por el término sujeto, S, es excluido de la totalidad de la clase designada por el término
predicado, P.
__________________________________________________________________________
74
S
P
Números
Algún S no es P
Números Negativos
Números Reales ---

Cualidad y cantidad de las proposiciones categóricas
Cada proposición categórica de forma estándar tiene una cualidad y una cantidad.
Cualidad Afirmativa o Negativa:
La cualidad de una proposición es afirmativa o negativa, según el sujeto, completa o
parcialmente, afirme o niegue la inclusión de la clase. Por lo tanto las proposiciones
afirmativas universales y particulares tienen cualidad afirmativa, en cambio las
proposiciones negativas universales y particulares tienen cualidad negativa.
Cantidad Universal o Particular de cantidad:
La cantidad de una proposición es universal o particular según que la proposición se
refiera a todos los miembros o solamente a algunos de la clase designada por el término
sujeto. Así, las proposiciones universales afirmativas o negativas son universales de
cantidad y las proposiciones particulares afirmativas o negativas son particulares de
cantidad.
------------------ La clave -----------------
ALGUNOS = PARTICULAR
TODOS = UNIVERSAL
De la lectura anterior, y puedes completar la siguiente tabla:
Proposición
Categórica
Representación
Todo S es P
Particular Negativa
75

Lección No.8 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrariasLección No.8 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias
Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias
Las proposiciones categóricas en forma estándar que tienen el mismo término sujeto y
término predicado, pueden diferir unas de otras en cualidad o en cantidad o en ambas
Existen ciertas relaciones importantes correlacionadas con los diversos tipos de oposición
(diferencia en cualidad, cantidad o en ambas) éstas pueden ser de CONTRADICCIÓN,
CONTINGENCIA, o, SUBCONTRARIAS
Proposiciones contradictorias
Dos proposiciones son CONTRADICTORIAS si una de ellas es la negación de la otra, es
decir, las dos proposiciones no pueden ser a la vez verdaderas ni a la vez falsas. Es claro
que dos proposiciones categóricas en forma estándar que tienen el mismo término sujeto y
término predicado, pero son diferentes tanto en cantidad como en cualidad, son
contradictorias entre sí.
Ejemplo 1
Las proposiciones
P: todos los jueces son abogados
Q: algunos jueces no son abogados
Son contradictorias porque son opuestas tanto en cantidad como en cualidad. La
proposición P es universal afirmativa, mientras que la proposición Q es particular negativa.
Ejemplo 2
Las siguientes proposiciones también son contradictorias.
P: algunos números reales son negativos. Es particular afirmativa
Q: todos los números reales son negativos. Es universal negativa.
En este caso son opuestas en cantidad y en cualidad.
Otra forma de identificar las proposiciones contrarias, es cuando la verdad de una
proposición implica la falsedad de la otra.
__________________________________________________________________________
76

Ejemplo 3
P: -3 es mayor que -1
Q: -1 es mayor que -3.
Son contradictorias porque la proposición P es falsa y esto implica que la proposición Q
sea verdadera.
Ejemplo 4
Dadas las proposiciones
P: hoy es lunes
Q: hoy no es lunes.
Son contradictorias porque si P es verdadera automáticamente Q será falsa y lo contrario.
Proposiciones Contradictorias y Contrarias
Es importante aclarar la diferencia entre proposiciones contradictorias y proposiciones
contrarias.
Proposiciones contrarias:
Se dice que dos proposiciones son CONTRARIAS si no pueden ser ambas verdaderas,
aunque ambas puedan ser falsas.
Ejemplo 5
Considerando las proposiciones
P: Paola es mayor que Angélica
Q: Angélica es mayor que Paola
Inicialmente se podría pensar que son contradictorias, es decir, que si P es verdadera, Q
sería falsa, y consecuentemente, si P es falsa, entonces Q sería verdadera, pero al
considerar el hecho de que Paola y Angélica tengan la misma edad, ambas proposiciones
serían falsas, por lo tanto no serían contradictorias, y en este caso se llamarían
contrarias, debido a que ambas no pueden ser verdaderas pero sí falsas.
En forma general se puede decir que dos proposiciones universales que tienen los mismos
sujetos y predicados pero difieren en cualidad son contrarias.
77

El siguiente ejemplo muestra claramente la diferencia entre las proposiciones
contradictorias y contrarias.
Ejemplo 6
Dadas las proposiciones:
P: todos los números enteros son positivos
Q: algunos enteros son positivos
R: todos los enteros son negativos
Se puede afirmar que las proposiciones P y Q son contradictorias porque una es la
negación de la otra (en este caso P es falsa mientras que Q es verdadera). Y las
proposiciones P y R son contrarias ya que ambas no pueden se verdaderas pero si son
ambas falsas.
------------------Nemotecnia-----------------
contrarias = ambas pueden ser falsas
contradictorias = cuando una es verdadera la otra es falsa y viceversa.
Proposición Contingente
Una proposición que no es necesariamente verdadera ni necesariamente falsa se llama
CONTINGENTE.
Ejemplo 1
P: todos los matemáticos son filósofos
Esta es una proposición que no es necesariamente verdadera (no todos los matemáticos
son filósofos), ni necesariamente falsa (existen matemáticos que sí son filósofos)
Ejemplo 2
Q: todos los cuadrados son rectángulos
No necesariamente es falsa porque el cuadrado es un tipo de rectángulo, ni es
necesariamente verdadera porque no todos los cuadrados son rectángulos
__________________________________________________________________________
78

Proposiciones Subcontrarias
Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero sí ambas verdaderas
Ejemplo 1
Las proposiciones
P: algunos enteros son positivos
Q: algunos enteros son negativos
Son subcontrarias debido a que ambas son verdaderas.
------ la Clave----
Observa que necesariamente, al afirmar que “algunos enteros son negativos”, estamos
afirmando que el resto son enteros positivos. Esto imposibilita que ambas proposiciones
sean falsas.
---------------------
En forma general se afirma que dos proposiciones particulares que tienen el mismo
término sujeto y término predicado pero diferente cualidad son subcontrarias
Ejemplo 2
P: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos
Q: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos
Las proposiciones P y Q pueden ser las dos verdaderas, pero no pueden ser las dos
falsas, por lo tanto se dice que son subcontrarias.
------------------Nemotectnia-----------------
contrarias = ambas pueden ser falsas
subcontrarias = ambas pueden ser verdaderas
contradictorias = cuando una es verdadera necesariamente la otra es falsa y
viceversa.
79

Lección No.9 SímbologíaLección No.9 Símbología
Simbología y diagramas para proposiciones categóricas
Como la interpretación de las proposiciones categóricas depende fundamentalmente de la
noción de una clase vacía, se utiliza el cero (0) para representar este hecho y para
simbolizar que la clase determinada por S no tiene miembros, se utiliza la ecuación S = 0.
Cuando se afirma que la clase S si tiene elementos, equivale a negar que S es vacía, por
lo tanto su representación simbólica es S ≠ 0.
Las proposiciones categóricas se pueden representar gráficamente diagramando las
clases a las que pertenecen, de tal forma que el diagrama es de una clase, no de una
proposición, para realizar esta representación se utiliza un círculo marcado con el término
que designa la clase, por ejemplo la clase S sé grafica así:
Clase S
Para diagramar la proposición de que S no tiene miembros, o de que no hay S, se
sombrea todo el círculo que representa S, lo cual indica que no contiene nada, que es
vacía, y, para graficar la proposición que existen S, que se interpreta en el sentido de que
hay por lo menos un miembro de la clase S, se coloca una x en cualquier parte en el
interior del círculo que representa a S, lo cual indica que sí hay algo dentro de él, que no
está vacío.
__________________________________________________________________________
80
s

A continuación se representa gráficamente las proposiciones “No hay S” y “Hay S”.
Se puede observar que el círculo que representa la clase S también representará la clase
de su complemento, S, es decir, si en el interior del círculo se representa a todos los
miembros de S, entonces, su exterior representará todos los miembros que no están en S,
por lo tanto están en S.
Representación de una proposición categórica:
Para representar una proposición categórica en forma estándar se necesitan dos círculos
intersecados. Si S y P representan los sujetos y predicados de la proposición, entonces su
representación es:
La figura representa las dos clases S y P, pero no diagrama alguna proposición de ellas,
no afirma ni niega que una de las dos o las dos clases tengan miembros. La parte del
círculo S que esta fuera de P representa todos los S que no son P, lo cual se identificará
como el producto de las clases S y P (SP); la parte común de los dos círculos
representa la intersección o producto de las dos clases SP; la parte del círculo P que esta
fuera de S representa a todos los P que no están en S (por lo tanto están en S ), es decir,
el producto SP, y la parte externa a los dos círculos representa todas las proposiciones
que no están en S ni en P, lo cual corresponde a la cuarta clase SP.
Lo anterior permite representar la figura No. 3 de la siguiente manera:
81
PS
Clases S y P
SP
SP
SP
SP
PS
clases S y P

Lección No.10 diagramas para proposiciones categóricasLección No.10 diagramas para proposiciones categóricas
Proposiciones categóricas
Para representar las cuatro proposiciones categóricas de forma estándar se sombrea o se
inserta x en varias partes de la gráfica, a continuación se presenta cada uno de los
casos:
Todo S es P, simbolizada por SP = 0, su representación gráfica es:
Ningún S es P, o, Ningún P es S simbolizadas por SP = 0 y PS = 0,
respectivamente, la representación gráfica en ambos casos es:
__________________________________________________________________________
82
SP = 0
Todo S es P
PS
S
P
U
Ningún S es P, o,
Ningún P es S
SP = 0 y PS = 0,

Algún S es P, simbolizada por SP ≠ 0, su representación gráfica es:
Algún S no es P, simbolizada por SP ≠ 0, su representación gráfica es:
83
S
P
U
Algún S es P o
Algún P es S
SP ≠ 0 ; PS ≠ 0 ;
x
S
P
U
Algún S no es P
SP ≠ 0
x

En el caso Algún P no es S, simbolizada por PS ≠ 0, su representación gráfica es:
Las siguientes son algunas observaciones acerca de las representaciones gráficas
realizadas:
1. El diagrama simple de los dos círculos, sin otro tipo de marcas o indicaciones,
representa clases pero no representa ninguna proposición.
2. Un espacio en blanco a la izquierda no significa nada (ni que una clase tiene o no
tiene miembros).
3. Las proposiciones sólo las representan aquellos diagramas en los que una parte ha
sido sombreada o en la que se ha insertado una x.
4. Los diagramas de Venn constituyen una representación de las proposiciones
categóricas en forma estándar, en las cuales las inclusiones y exclusiones
espaciales corresponden a inclusiones y exclusiones no espaciales de clases.
5. Proporcionan un método claro de notación y se constituyen en la base del método
más simple y directo para probar la validez de los silogismos categóricos (Ver
siguiente capítulo).
__________________________________________________________________________
84
S
P
U
Algún P no es S
PS ≠ 0
x

85
Capítulo 33
Deducción e Inducción
(G v H) → (J ^ K)
G / ∴ J
_________________________________
G v H 2, Ad.
J ^ K 1,3, M. P
J 4, Simp.

Lección No.11 Deducción vs InsucciónLección No.11 Deducción vs Insucción
Deducción
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Inferir una conclusión a partir de dos o más premisas
2. Utilizar las reglas de inferencia para establecer la validez o invalidez de un argumento.
OBJETIVO GENERAL
Utilizar el método deductivo como una forma de razonamiento mediante el cual se puede
establecer un principio general a partir de casos particulares.
OBJETIVOS
1. Identificar y clasificar las proposiciones categóricas de un argumento
2. Diferenciar la cualidad y cantidad de una proposición categórica en forma estándar.
3. Establecer el tipo de oposición que se puede presentar entre dos proposiciones
categóricas
4. Representar gráficamente proposiciones categóricas de forma estándar
__________________________________________________________________________
86

INTRODUCCIÓN
Razonar es un proceso por el cual se establece una conclusión basada en una o más
proposiciones supuestas o aceptadas, llamadas premisas, las cuales constituyen el punto
de partida del proceso. Si la conclusión es correcta significa que las premisas contienen la
información necesaria y suficiente para establecer la conclusión y por lo tanto se puede
afirmar que el razonamiento es correcto, de lo contrario, se dirá que es incorrecto.
Todos los seres humanos tenemos la capacidad del raciocinio; una operación del
pensamiento, la más elevada, en la cual se enlazan ideas y fluyen otras, permitiendo así la
comunicación con el exterior.
Se ha dicho que la lógica es la ciencia que estudia la estructura o forma del pensamiento,
por lo cual no es difícil comprender que hay varias formas de pensamientos, más aún,
existen varias formas de razonar, deductivamente o inductivamente. Cuando se hace un
estudio lógico del razonamiento, es conveniente tener presente algún modelo con el que
puedan compararse algunas otras especies de razonamiento; la tarea del lógico es
explicar las diferencias entre un cierto modo de razonar y el modelo escogido, el modelo
que habitualmente se adopta consciente o inconscientemente para comparar con él todas
las otras clases de razonamiento, es la deducción simple, en la cual se pueden identificar
las premisas y una conclusión y se puede formular una regla según la cual, la conclusión
se sigue de las premisas.
En el presente capítulo se estudiará el método deductivo, este se puede definir como el
proceso del pensamiento mediante el cual con base en experiencias, se establece un
principio general, el que tendrá validez no sólo para los casos observados, sino también
para todos los de su especie.
87

El método científico
El método científico consiste en el conjunto de procedimientos para obtener un
conocimiento que sea universal y, en principio, reproducible por cualquiera.
Desde los inicios de la Modernidad, el conocimiento científico en las ciencias naturales y
exactas ha estado ligado a la observación sistemática y a la formulación de dicha
observación mediante ecuaciones matemáticas, la llamada matematización de la ciencia,
que garantiza tanto su explicación como su factibilidad.
Desde el punto de vista de los positivistas, el primer paso en cualquier investigación es la
observación, una vez que se ejecuta la observación, surgen una o más preguntas,
generadas por la curiosidad del observador, luego, el observador, mediante razonamiento
inductivo, trata de dar una o más respuestas lógicas a las preguntas, cada solución
tentativa preliminar a estas preguntas, son las hipótesis. Después de que ha enunciado
una o más hipótesis, o explicaciones propuestas, el investigador elabora una o más
predicciones, las cuales deben ser consistentes con las observaciones e hipótesis. Para
hacer esto, el investigador usa el razonamiento deductivo. Enseguida, las predicciones son
sometidas a pruebas sistemáticas para comprobar su ocurrencia en el futuro. Estas
comprobaciones en conjunto reciben el nombre de experimentación. Cuándo la hipótesis
se verifica, entonces se procesa la declaración final, que en ciencias se llama teoría que
solo es válida para un tiempo y un lugar determinados. Si la teoría se verificara como
verdadera en todo tiempo y lugar, entonces es considerada como ley.
Cosa distinta es la ciencia social. Aquí la reproducibilidad y la explicación son débiles o
imposibles. En ellas se trata, no tanto de explicar como de comprender, en cuanto lo que
se hace es una lectura de sistemas simbólicos, que son susceptibles de distintas
interprepataciones, tanto desde las características mismas del científico, como de la época
en la cual él está haciendo su trabajo.
Karl Popper, en la lógica del conocimiento científico, discutió con los positivistas sobre el
carácter de la observación y el modelo inductivo de la ciencia. En efecto, aquellos
pensaban que la ciencia comienza con la observación y de allí se hace una inducción para
obtener una ley general. Popper, en cambio, señala que la ciencia comienza con una
hipótesis que debe intentar falsarse (de ahí que su teoría se llame el falsacionismo), es
decir, refutarse.
En la ciencia no se trata tanto de verificar como de que las teorías resistan los intentos de
ser refutadas. Y para ello las teorías científicas deben ser escritas en encunciados
universales, que pueden refutarse mediante contraejemplo, y no de enunciados
existenciales. Hagamos una ilustración; de la observación de los cuervos, alguien puede
afirmar que existen cuervos negros. Pero ese enunciado no es falsable. En Cambio si
__________________________________________________________________________
88

alguien dice ‘Todos los cuervos son negros’ y alguien encuentra un cuervo de otro color, el
enunciado resultó falsable. Por eso hay que escribir la ciencia en enunciados universales,
que sean susceptibles de ser refutados.
Mientras una teoría resista los intentos de ser refutada, se dice que es el paradigma
científico vigente. Todos los problemas de su campo de conocimiento se resuelven según
establecen las leyes de la teoría, pero cuando esta es refutada, aparece un paradigma
nuevo, que toma el papel del anterior, y así sucesivamente. Eso sucedió con la física
toloméica, que fue refutada por la física galileana, que fue mejorada por la newtoniana,
que a su vez, fue rebatida, en sus fundamentos, por la física de la relatividad de Einstein.
Una explicación científica tiene la forma: un hecho se explica dentro de una ley científica
que es una ecuación matemática. Así, el movimiento de un planeta se explica por la
ecuación que describe su movimiento. Ella explica ese movimiento. Pero la explicación
también sirve para la predicción porque la ecuación que sirve para describir también sirve
para calcular en que lugar se encontrará ese planeta en un momento T cualquiera.
Para Popper su método sirve para superar el dilema entre explicar, en ciencias naturales,
y comprender, en ciencias sociales. Porque explicar es comprender. Pero a diferencia de
las ciencias naturales, la ciencias sociales no son susceptibles de matematización: nadie
puede calcular los movimientos sociales ni las acciones de las personas, porque éstas son
voluntarias, distintas, en consecuencia, a los movimientos físicos.
La comprensión, que como se dijo, refiere a sistemas simbólicos, como las culturas y las
sociedades, es lo propio de las ciencias sociales. Aquí no hay una explicación distinta a la
comprensión de un sistema simbólico y estas comprensiones se hacen en ‘horizontes de
comprensión que dependen del científico y su época. Por eso las ciencias sociales no son
neutrales, ni existe la objetividad del investigador social, porque el lee los hechos sociales
desde su formación, desde su propia personalidad y desde lo que sabe su época. Este es
el `punto distintivo central entre las ciencias naturales y las ciencias sociales. Por eso no
hay una sola sociología, sino distintas escuelas sociológicas, ni una antropología, sino
escuelas distintas, ni una pedagogía sino múltiples escuelas de pensamiento sobre la
enseñanza.
Bibliografía:
Gadamer, Hans Georg. Verdad y Método. Editorial Sígueme, salamanca, 1972
Monsalve, Alfonso. La Teoría de la Argumentación. Editorial Universidad de Antioquia,
1982
Popper, Karl. La Lógica de la Investigación Científica. Tecnos, Madrid, 1962
___________. La Miseria del Historicismo. Tecnos, Madrid, 1975.
89

Lección No.12 Silogismos categóricosLección No.12 Silogismos categóricos
Silogismos categóricos
Un silogismo es un argumento deductivo en el que se infiere una conclusión a partir de
dos premisas. Un silogismo categórico es un argumento deductivo consistente en tres
proposiciones categóricas que contienen exactamente tres términos, cada uno de los
cuales sólo aparece en dos de las proposiciones que lo constituyen. Dos de las
proposiciones reciben el nombre de premisas y la otra se llama conclusión.
Forma estándar de un silogismo categórico
Se dice que un silogismo categórico está en forma estándar cuando satisface las
siguientes condiciones:
1. Las premisas y conclusión son proposiciones categóricas que conservan el
siguiente orden:
1. la premisa mayor se enuncia primero, luego
2. la premisa menor y
3. al final la conclusión.
2. La conclusión de un silogismo de forma estándar es una proposición de forma
estándar que contiene dos de los tres términos del silogismo.
3. La premisa mayor es aquella que contiene el término mayor y este es el que
aparece como predicado de la conclusión.
4. La premisa menor es aquella que contiene el término menor, que es el
correspondiente al sujeto de la conclusión.
5. Los términos mayor y menor aparecen, cada uno, en una premisa diferente.
__________________________________________________________________________
90

Ejemplo 1
Dadas las premisas:
Ningún héroe es cobarde
Algunos soldados son cobardes
Y la conclusión: por lo tanto, algunos soldados no son héroes
Se puede observar claramente que el argumento deductivo es un silogismo categórico
porque consiste en tres proposiciones categóricas (dos premisas y una conclusión) que
contienen exactamente tres términos (héroe, cobarde y soldado).
Para saber si el silogismo categórico está en forma estándar, es necesario identificar el
término mayor, el término menor, premisa mayor, premisa menor y analizar la conclusión.
En este caso el predicado de la conclusión es héroe, que constituye el término mayor, y
por consiguiente la premisa mayor es: ningún héroe es cobarde; el sujeto de la
conclusión es soldado que es el término menor, por lo tanto la premisa menor es:
algunos soldados son cobardes, además, la conclusión tiene dos de los tres términos
del silogismo: soldados y héroes, los términos mayor y menor aparecen, cada uno, en
una premisa diferente, por consiguiente se puede establecer que este es un ejemplo de
silogismo categórico en forma estándar, también aparece el término cobardes el cual se
denomina término medio.
Ejemplo 2
Teniendo en cuenta el siguiente argumento deductivo, identificar la conclusión, establecer
la naturaleza del silogismo y verificar sí esta en forma estándar.
Ningún barco de guerra es un navío comercial, así, ningún submarino
nuclear es un navío comercial, puesto que todos los submarinos nucleares
son barcos de guerra.
Como el argumento deductivo está formado por tres proposiciones categóricas que
contienen exactamente los tres términos: submarino nuclear, navío comercial y barcos de
guerra, se puede afirmar que se trata de un silogismo categórico.
La conclusión se identifica como la proposición:
ningún submarino nuclear es un navío comercial.
Y las premisas como las proposiciones:
ningún barco de guerra es un navío comercial y
todos los submarinos nucleares son barcos de guerra.
91

El predicado de la conclusión es el término navío comercial, el cual se constituye en el
término mayor y por consiguiente la premisa mayor es, ningún barco de guerra es un
navío comercial.
El sujeto de la conclusión es submarino nuclear, el cual se constituye en el término
menor y por consiguiente la premisa menor es, todos los submarinos nucleares son
barcos de guerra.
El análisis anterior permite afirmar que es un silogismo categórico en forma estándar el
cual se puede escribir así:
Premisa mayor: Ningún barco de guerra es un navío comercial
Premisa menor: Todos los submarinos nucleares son barcos de guerra
Conclusión: Ningún submarino nuclear es un navío comercial
Agradecimientos al estudiante Carlos Arturo Serrano.
Ejemplo 3
Teniendo en cuenta el siguiente argumento deductivo, identificar la conclusión, establecer
la naturaleza del silogismo y verificar si está en forma estándar.
Todos los satélites artificiales son descubrimientos científicos importantes;
por lo tanto, algunos descubrimientos científicos importantes no son inventos
norteamericanos puesto que algunos satélites artificiales no son
norteamericanos.
El argumento deductivo está formado por tres proposiciones categóricas que contienen los
términos: satélites artificiales, descubrimientos científicos, inventos norteamericanos, por lo
tanto se puede afirmar que se trata de un silogismo categórico.
Las premisas son:
Todos los satélites artificiales son descubrimientos científicos importantes, algunos
satélites artificiales no son norteamericanos.
La conclusión es:
Algunos descubrimientos científicos importantes no son inventos norteamericanos.
El predicado de la conclusión es el término invento norteamericano, el cual se constituye
en el término mayor y por consiguiente, la premisa mayor es, algunos satélites artificiales
no son norteamericanos.
El sujeto de la conclusión es descubrimientos científicos, el cual se constituye en el
término menor y por consiguiente la premisa menor es, todos los satélites artificiales son
descubrimientos científicos.
__________________________________________________________________________
92

Teniendo en cuenta el análisis anterior, se puede afirmar que es un silogismo categórico
en forma estándar, el cual se puede escribir así.
Premisa mayor: algunos satélites artificiales no son norteamericanos
Premisa menor: todos los satélites artificiales son descubrimientos científicos
Conclusión: algunos descubrimientos científicos importantes no son inventos
norteamericanos.
-------------------------------------------- Nemotecnia ----------------------------------
Forma Estándar de un silogismo categórico
Sigue el siguiente protocolo y lograrás el objetivo....no olvides divertirte:
1. Identifica los tres términos
2. Separa las premisas de la conclusión
3. Analiza la conclusión obteniendo de esta el Sujeto y el Predicado
4. Identifica la premisa Mayor, y la premisa menor
5. Identifica el término medio.
Las premisas
Primera premisa: Solo esta premisa contiene el término mayor
Segunda premisa: Solo esta premisa contiene el término menor
Existe un término medio que aparece en las dos premisas
La conclusión: -Contiene 2 de los 3 términos de la siguiente manera:
Para identificar cual es la premisa mayor busca el predicado de la
conclusión y observa en cual de las dos premisas aparece este.
Término Mayor Predicado de la conclusión
Término menor Sujeto de la conclusión
93

Validez de un argumento
Argumento deductivo
Un argumento en el cual las premisas involucradas proporcionan bases concluyentes para
la verdad de la conclusión, se llama argumento deductivo.
Consiste en deducir su conclusión a partir de sus premisas, mediante una serie de
argumentos elementales, cada uno de los cuales se conoce y acepta como válido
Argumento Válido
Un argumento que sigue una regla bien establecida se dice que es válido; los argumentos
se juzgan como aceptables o inaceptables en la medida en que sean válidos.
Validez o invalidez de un argumento
Para probar la validez o invalidez de un argumento, se utiliza un método basado en el
hecho de que éstas son características puramente formales de los argumentos, es decir,
que dos argumentos que tienen exactamente la misma forma; son válidos o inválidos,
independientemente de las diferencias del tema que traten.
Específicamente, para probar la invalidez de un argumento, basta con formular otro
argumento que tenga exactamente la misma forma y tenga premisas verdaderas y
conclusión falsa
En teoría, las tablas de verdad son apropiadas para probar la validez de un argumento de
tipo general, pero en la práctica son cada vez más difíciles de manejar a medida que
aumenta el número de enunciados o proposiciones que conforman dicho argumento. Un
método más eficiente para probar la validez de un argumento extenso consiste en deducir
su conclusión a partir de sus premisas, mediante una serie de argumentos elementales,
cada uno de los cuales se conoce y acepta como válido, este proceso es el que se
denomina método deductivo.
Prueba formal de validez
Se define una prueba formal que un argumento determinado es válido, como una
sucesión de enunciados, cada uno de los cuales, o es una premisa del razonamiento
dado, o, se deduce de los enunciados precedentes mediante un argumento válido
elemental, de tal forma que el último enunciado o proposición constituye la conclusión del
argumento cuya validez se quiere demostrar.
Se define un argumento válido elemental, como un argumento que se puede interpretar
como el proceso de sustituir enunciados o proposiciones en lugar de variables
enunciativas.
__________________________________________________________________________
94

Prueba de invalidez
Es obvio que, para un argumento inválido no existe una prueba formal de validez. Pero, si
no se puede hallar una prueba de validez para un argumento, eso no quiere decir que sea
inválido y que no se pueda construir dicha prueba.
A continuación se describe un método que está muy relacionado con el de las tablas de
verdad, pero que es mucho más breve, en el cual se prueba la invalidez de un argumento
hallando un único caso en el que se asignan valores de verdad a las variables del
enunciado de tal forma que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, lo que
lleva a concluir que la forma argumental es inválida.
Ejemplo 1
Probar la invalidez del siguiente argumento por el método de asignar valores de verdad.
1. f → r
2. p →r
3. ∴ f →p
Para probar que este argumento es inválido sin tener que construir una tabla de verdad
completa, es necesario tener claro que un condicional es falso solamente si su
antecedente es verdadero y su consecuente falso, utilizando este hecho se procede a
asignar valores de verdad a las proposiciones de la conclusión, es decir, si F es verdadero
y P es falso, entonces, la conclusión es falsa. Si a la proposición R se le asigna el valor
verdadero, ambas premisas se convierten en verdaderas, porque un condicional es
verdadero siempre que su consecuente sea verdadero. Lo anterior permite afirmar que si a
las proposiciones F y R se les asigna un valor verdadero y a la proposición P un valor
falso, entonces el argumento tendrá premisas verdaderas y una conclusión falsa, con lo
cual queda probado que el argumento es inválido.
Con este método lo que realmente se hace es construir un renglón de la tabla de verdad
del argumento indicado, la relación se puede observar más claramente cuando los valores
de verdad se escriben horizontalmente, de la siguiente forma:
-------- Nemotecnia------
PREMISAS VERDADERAS CONCLUSIÓN
FALSA
f r p f → r p → r f → p
verdader
o
verdader
o
fals
o
verdadero verdadero falso
95

Argumento Invalido
Un argumento se prueba inválido mostrando que por lo menos en un renglón de su tabla
de verdad todas las premisas son verdaderas pero su conclusión es falsa.
Ejemplo 2.
Si Sandra es inteligente y estudia mucho, sacará buenas calificaciones y aprobará el
curso. Si Sandra estudia mucho pero no es inteligente, sus esfuerzos serán apreciados y
si sus esfuerzos son apreciados, aprobará el curso. Si Sandra es inteligente, entonces
estudia mucho. Luego, Sandra aprobará el curso.
Tomando el siguiente lenguaje simbólico
I: Sandra es inteligente
S: Sandra estudia mucho
G: Sandra sacará buenas calificaciones
P: Sandra aprobará el curso
A: los esfuerzos de Sandra serán apreciados
Se pueden establecer las siguientes premisas:
1. (i ʌ s) →(g ʌ p)
2. [(s ʌ ∼ i) →t ] ʌ [t →p]
3. i →s
4. ∴ p
Este argumento es inválido porque con cualquiera de las siguientes asignaciones de
valores de verdad la conclusión P es falsa.
i s g t p ó i s g t p
________________________ _______________________
F F V F F F F F F F
__________________________________________________________________________
96

Ejemplo 3
Si la inflación continua, entonces las tasas de interés permanecerán altas. Si la inflación
continúa, entonces si las tasas de interés permanecen altas, descenderá la actividad
comercial. Si las tasas de interés permanecen altas, entonces si la actividad comercial
decrece, el desempleo aumenta. Así, si el desempleo aumenta, continuará la inflación.
Tomando el siguiente lenguaje simbólico:
P: la inflación continúa
Q: las tasas de interés permanecen altas
R: descenderá la actividad comercial
S: el desempleo aumenta
Se pueden establecer las siguientes premisas:
1. p →q
2. p →(q →r)
3. q →(r →s) / ∴ s → p
Este argumento es inválido porque la siguiente asignación de valores de verdad hace las
premisas verdaderas pero la conclusión falsa:
p q r s P → q P → (q → r) q →(r → s) S → p
F F F V V V V F
Inconsistencia
En algunos casos no se puede dar ninguna asignación de valores de verdad a los
enunciados de un argumento que hagan verdaderas sus premisas y falsa su conclusión,
entonces, en este caso el argumento debe ser válido.
97

Lección No.13 Inferencias LógicasLección No.13 Inferencias Lógicas
Inferencias Lógicas
Para definir las inferencias lógicas es necesario precisar algunos conceptos tales como
razonamiento y demostración.
Razonamiento es el proceso que se realiza para obtener una demostración.
Demostración es el encadenamiento de proposiciones que permiten obtener otra
proposición, llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iniciales supuestas como
verdaderas, que reciben el nombre de premisas. En la sección
se hará un análisis más detallado de la demostración.
Las inferencias lógicas: son las conclusiones que se pueden obtener después de realizar
un razonamiento, este razonamiento solamente es verdadero si se cumplen las siguientes
condiciones:
1. Las premisas deben ser verdaderas.
2. Durante el proceso de deducción las premisas deben relacionarse sujetas a las
leyes de la lógica.
Así, el conocimiento obtenido de proposiciones verdaderas preestablecidas (premisas), y
aplicando las leyes de la lógica a esas premisas, se denomina conclusión.
A continuación se plantean algunas reglas de inferencia, se propone al estudiante, como
ejercicio, probar su validez utilizando las tablas de verdad:
------ La clave --------
PONENS = PONER TOLLENS = SACAR = NEGAR
__________________________________________________________________________
98

Reglas de inferencia:
A medida que vallas estudiando las reglas de inferencias encontrás que éstas son usadas
continuamente en el lenguaje natural. Las usamos para obtener conclusiones que
consideramos normalmente válidas. Lo que haremos ahora, es detenernos a analizar
porqué consideramos a estas inferencias válidas, aprenderemos que al construir la tabla
de verdad de la inferencia lógica se puede determinar la validez de la misma, a la vez que
aprendes a identificar las diferentes inferencias lógicas en los razonamientos que hacemos
continuamente.
Poder identificar una inferencia lógica y poder clasificarla como válida o no mediante la
construcción de la tabla de verdad te dará las bases para elaborar argumentos sólidos,
presentes en todas las actividades académicas ya sea en la elaboración de ensayos o
debates, como en las actividades cotidianas.
Veamos la primera regla, denominada Modus Ponendo Ponens ó MPP, también llamada
simplemente MP ó Modus Ponens, nombre que puedes leer como Modo Afirmando_
Afirmando, veamos:
Modus Ponens (M. P)
[ ( p → q ) ᴧ p ] → q
¿Cómo interpretar esta ley?, observa el siguiente ejemplo:
Daniel escucha la siguiente afirmación “Si llueve hace frío”
En la siguiente “escena”, Daniel observa llover, es decir “llueve”
¿Qué puede concluir Daniel? Que hará frío, es decir “hace frío”
Para obtener tan “obvia” conclusión, Daniel ha utilizado la más común de las
inferencias lógicas, la cual denominaremos MPP ó Modus Ponendo Ponens.
En este ejemplo, las proposiciones simples son:
p = llueve
q = hace frío
Las proposiciones así declaradas, nos permiten expresar en lenguaje natural lo
expresado en lenguaje simbólico así:
99
Modus Ponens (M. P)
1-Si llueve hace frío
2-llueve
3-luego Hace frío
Ejemplo:

p → q = Si llueve hace frío
Así que nuestro ejemplo puede ser representado en el lenguaje simbólico de la
siguiente manera:
p → q Se lee : si p entonces q
p Se lee : ocurre p
∴ q Se lee : de donde q
El símbolo ∴(de donde) representa la conclusión de las premisas dadas; es decir
que la conclusión, en este caso, es la proposición q
Ahora ya estamos listos para interpretar la regla de inferencia tal y como nos fue
presentada en un comienzo, esto es:
[ ( p → q ) ᴧ p ] → q
¿Cómo leer la regla de inferencia?
p → q Si p entonces q
ᴧ p y p (y se da p, y ocurre p)
→q Entonces q (en conclusión q)
Es decir que [ ( p → q ) ᴧ p ] → q puede ser leído como “Si p entonces q y se ocurre p,
luego ocurre q”
La magia del asunto radica en que mediante la aplicación de lo que ya has aprendido en el
capítulo de conectivos lógicos podemos determinar la validez de la inferencia lógica Modus
Ponen mediante la construcción de la tabla de verdad, de la cual esperamos obtener una
tautología.
¿Cómo puede decirnos la lógica que estamos argumentando bien? ¿Cómo puede la lógica
mediante una tabla de verdad demostrarnos que estamos usando una inferencia lógica
correcta o incorrecta?
Tabla de verdad para la inferencia lógica MPP:
p q p → q ( p →q ) ᴧ p [ ( p →q ) ᴧ p ] →q
F F V F V
F V V F V
V F F F V
V V V V V
__________________________________________________________________________
100

Observa que efectivamente hemos obtenido una tautología, es decir, la inferencia lógica
que estamos utilizando es correcta.
A continuación se presentan nueve reglas de inferencia. En el lado izquierdo se enuncia la
regla de inferencia y en el lado derecho se propone una aplicación de la ley de inferencia
en el lenguaje natural:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Modus Tollens (M. T)
∼ q Se lee : ocurre ~q
∴ ∼ p Se lee : de donde ~p
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Silogismo Hipotético (S: H)
q → r Se lee : si q entonces r
∴ p → r Se lee : de donde
si p entonces r
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Silogismo disyuntivo (S. D)
P v q
∼ p
∴ q
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dilema constructivo (D.C)
(p → q) ʌ (r → s)
p v r
∴q v s
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
101
Modus Tollens (M. T)
Si llueve hace frío
no hace frío
luego no llovió
Silogismo Hipotético (S: H)
Si llueve hace frío
Si hace frío llevo un abrigo
luego si llueve llevo un abrigo
Silogismo disyuntivo (S. D)
Cae Cara o Sello
No cayó sello
luego cayó cara.
Dilema constructivo (D.C)
Si estudio aprendo y si duermo
descanso.
Estudié o dormí.
Luego Aprendí o descansé.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:

Absorción (Abs)
p → q
∴ p → (q ʌ p)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Simplificación (Simp.)
p ʌ q
∴ p
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Conjunción (Conj)
p
q
∴ p ʌ q
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Adición (Ad.)
p
∴ p v q
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
__________________________________________________________________________
102
Absorción (Abs.)
Si estudio aprendo
Estudio, luego aprendo y estudio
Simplificación (Simp.)
Estudio y aprendo
Luego, estudio
Conjunción (Conj.)
Estudio
Trabajo
Luego, etudio y trabajo
Adición (Ad.)
Estudio
Luego, etudio ó trabajo

A continuación se estudian más afondo las cuatro reglas de inferencia más comunes, las
cuales corresponden a los argumentos elementales y cuya validez se puede establecer
por medio de las tablas de verdad:
Modus Ponendo Ponens (MPP)
[ ( p → q ) ᴧ p ] → q
Modus Tollendo Tollens ( MTT )
[ ( p → q ) ᴧ ~ q ] → ~ p
Modus Tollendo Ponens ( MTP)
[ ( p v q ) ᴧ ~ p ] → q o
[ ( p v q ) ᴧ ~ q ] → p
Silogismo Hipotético ( SH )
[ ( p → q ) ᴧ ( q → r ) ] → ( p → r)
103

Modus Ponendo Ponens (MPP)
Este método de inferencia establece que si una implicación es cierta y además también lo
es su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente verdadero; de forma
simbólica esto se expresa así:
[ ( p → q ) ᴧ p ] → q
Ejemplo 1.
Premisa 1: Si Julián estudia Ingeniería de sistemas a distancia, entonces él estudia en la
UNAD.
Premisa 2: Julián estudia Ingeniería de sistemas a distancia.
Conclusión:Julián estudia en la UNAD.
Simbólicamente, el ejemplo 1 se expresa así:
Si
p: Julián estudia Ingeniería de Sistemas a Distancia
q: Él estudia en la UNAD.
Procedemos ahora a utilizar el lenguaje simbólico definido, así:
Premisa 1: p → q
Premisa 2: p
Conclusión: q
Ejemplo 2.
Premisa 1: Si x + y = z, entonces, y + x = z.
Premisa 2: x + y = z
Conclusión:y + x = z
Simbólicamente, si p: x + y = z
q: y + x = z
Entonces: Premisa 1: p → q
Premisa 2: p
Conclusión: q
Ejemplo 3.
Premisa 1: ~ p → s
Premisa 2: ~ p
Conclusión: s
Ejemplo 4.
Premisa 1: ~ r → ~ t ᴧ s
Premisa 2 : ~ r
Conclusión: ~ t ᴧ s
__________________________________________________________________________
104

Modus Tollendo Tollens ( MTT )
Esta regla de inferencia dice que si una implicación es verdadera y su consecuente es
falso, entonces su antecedente será necesariamente falso; simbólicamente se expresa así:
[ ( p → q ) ᴧ ~ q ] → ~ p
Ejemplo 1
Premisa 1: Si un ángulo de un triángulo es mayor de 90º, entonces la suma de los otros
dos ángulos es menor de 90º.
Premisa 2: La suma de los otros dos ángulos no es menor de 90º.
Conclusión: Un ángulo de un triángulo no es mayor de 90º.
Simbólicamente:
p: Un ángulo de un triángulo es mayor de 90º.
q: La suma de los otros dos ángulos es menor de 90º.
Premisa 1: p → q
Premisa 2: ~ q
Conclusión: ~ p
Ejemplo 2
Deducir una conclusión del siguiente conjunto de premisas.
Premisa 1: q → ~ r
Premisa 2: ~ (~ r)
Conclusión:~ q.
Ejemplo 3.
Premisa 1: p v q → r
Premisa 2: ~ r
Conclusión:~ (p v q) ↔ ~ p ᴧ ~ q D’ Morgan.
Ejemplo 4.
Demostrar que la conclusión es consecuencia de las premisas dadas.
Premisa 1: ~ b
Premisa 2: a → b
Premisa 3: ~ a → c. Demostrar c.
Premisa 4: De la premisa 2 y de la premisa 1, [(a → b) ᴧ ~ b] se puede
concluir ~a por el MTT.
Premisa 5. De las premisas 3 y 4, [(~ a → c) ᴧ ~ a] se puede concluir la
proposición c por el MPP.
105

Modus Tollendo Ponens ( MTP)
Esta ley se enuncia así:
Si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces
necesariamente la otra proposición será verdadera. Simbólicamente se escribe así:
[ ( p v q ) ᴧ ~ p ] → q o [ ( p v q ) ᴧ ~ q ] → p
Ejemplo 1
Premisa 1: O la energía interna de un átomo puede cambiar con continuidad o cambia
sólo a saltos.
Premisa 2: La energía interna de un átomo no puede cambiar con continuidad
Conclusión: La energía interna de un átomo cambia sólo a saltos.
Simbólicamente
p: La energía de un átomo puede cambiar con continuidad
q: La energía de un átomo sólo cambia a saltos
Premisa 1: p v q
Premisa 2: ~ p
Conclusión: Q.
Ejemplo 2
Premisa 1: ~ q v r
Premisa 2: ~ r
Conclusión:~ q
Ejemplo 3
Premisa 1: (s ᴧ t ) v r
Premisa 2: ~ ( s ᴧ t)
Conclusión: r
Ejemplo 4.
Demostrar que la conclusión es consecuencia de las premisas dadas.
Premisa 1: ~ q v s
Premisa 2: ~ s
Premisa 3. ~ (r ᴧ s) → q. Demostrar: r ᴧ s
Premisa 4: De las premisas 1 y 2 se puede concluir ~ q por MTP
Premisa 5: De las premisas 3 y 4 se puede concluir ~ (~ (r ᴧ s)) por MTT, que es
equivalente a r ᴧ s por la ley de la doble negación.
__________________________________________________________________________
106

Silogismo Hipotético ( SH )
Es un argumento que se expresa simbólicamente así:
[ ( p → q ) ᴧ ( q → r ) ] →( p → r)
Ejemplo 1.
Premisa 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales.
Premisa 2. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.
Conclusión. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen.
Simbólicamente
Sean las proposiciones p: El agua se hiela
q: Sus moléculas forman cristales
r: El agua aumenta de volumen
Premisa 1. p → q
Premisa 2. q → r
Conclusión. p → r
Ejemplo 2
Premisa 1. q → ~ p
Premisa 2. ~ p → r
Conclusión. q → r
Ejemplo 3
Premisa 1. s v t → r v q
Premisa 2. r v q → ~ p
Conclusión. s v t → ~ p
Ejemplo 4.
A partir de las premisas dadas indicar la demostración de la conclusión.
Premisa 1: ~ r
Premisa 2: ~ p → q
Premisa 3: q → r Demostrar p
Premisa 4: De las premisas 2 y 3 se concluye ~ p → r por SH
Premisa 5: De las premisas 1 y 5 se concluye p por MTT.
107

Ejemplos de aplicación de las leyes de inferencia:
Ejemplo 1
En el siguiente ejercicio se propone un ejemplo de construcción de una prueba de validez:
Si gana Gloria o Héctor, entonces pierden tanto Jorge como Kelly. Gloria gana. Por lo
tanto, pierde Jorge.
Para analizar y construir la prueba de validez, es necesario utilizar un lenguaje simbólico
que permita simplificar los enunciados, así:
Identificación de las premisas:
G = Gloria gana
H = Héctor gana
J = Jorge pierde
K = Kelly pierde
Por lo tanto la prueba de validez será:
1. (G v H) → (J ʌ K)
2. G
∴ J (Se lee: de donde J, J es la premisa que
esperamos demostrar).
3. G v H2, Ad. (por Adición en 2)
Necesitamos llegar a J desde la G, observamos que
para llegar a la J se requiere G v H, como sólo tengo
la G, adiciono H. Por lo tanto aplico la ley de Adición
en la premisa 2, lo que se escribe 2, Ad. (Ad indica
que apliqué la ley de adición)
4. J ʌ K 1,3 M. P
J ʌ K es la consecuencia de G v H aplicando la ley de
inferencia MP (Modus Ponendo Ponens) con las
premisas 1 y 3.
5. J 4, Simp. Tenemos J ʌ K, pero solo nos intereza la J, por lo
tanto simplificamos. Aplicando la ley de inferencia de
simplificación en la premisa 4.
__________________________________________________________________________
108

Ejemplo 2
Si sigue lloviendo, entonces el río crecerá. Si sigue lloviendo. Si sigue lloviendo y el río
crece, entonces el puente será arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia
hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces no será suficiente un solo
camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien
los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.
Utilizando el siguiente lenguaje simbólico:
C: continúa lloviendo
R: el río crece
P: el puente es arrastrado por las aguas
S: un solo camino es suficiente para toda la ciudad
E: los ingenieros han cometido un error
La prueba formal de validez es:
1. C → R
2. (C ʌ R ) → P
3. (C → P) → ∼ S
4. S v E / ∴ E
__________________________________
5. C → (C ʌ R) 1, Abs.
6. C → P 5,2, S. H.
7. ∼ S 3,6, M. P.
8. E 4,7, D. C.
109

Ejemplo 3
Si un hombre se orienta siempre por su sentido del deber, tiene que renunciar al goce de
muchos placeres, y si se guía siempre por su deseo de placer, a menudo olvidará su
deber. O bien un hombre se guía siempre por su sentido del deber, o bien siempre se
orienta por su deseo de placer. Si un hombre se guía siempre por su sentido del deber, no
descuidará a menudo su deber, y si siempre se guía por su deseo de placer, no renunciará
al goce de muchos placeres. Luego, un hombre debe renunciar al goce de muchos
placeres si y sólo si no descuida a menudo su deber.
Tomando el siguiente lenguaje formal:
P: se orienta por su sentido del deber
Q: renuncia al goce de placeres
R: se guía por su deseo de placer
S: olvidará su deber
Las premisas quedan así:
1. P → Q
2. R → S
3. P v R
4. P→ ∼ S
5. R → ∼ Q / ∴ Q ↔ ∼ S
__________________________________________________________________________
110

Ejemplo 4
Si no ocurre, que si un objeto flota en el agua entonces es menos denso que el agua,
entonces se puede caminar sobre el agua. Pero no se puede caminar sobre el agua.
Si un objeto es menos denso que el agua, entonces puede desplazar una cantidad de
agua igual a su propio peso.
Si puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso, entonces el objeto flotará
en el agua.
Por tanto, un objeto flotará en el agua si y sólo si es menos denso que el agua.
Utilizando el siguiente lenguaje formal:
P: un objeto flota en el agua
Q: es menos denso que el agua
R: se puede caminar sobre el agua
S: puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso.
Las premisas en forma simbólica son:
1. ∼ (P → Q) → R
2. ∼ R
3. Q → S
4. S → P / ∴ P ↔ Q
Demostrar P ↔ Q equivale a demostrar que P → Q ʌ Q → P.
____________________________________________
5. P → Q Por MPP entre 1 y 2
6. Q → P Por S.H entre 3 y 4
111

Lección No.14 Demostración directa e indirectaLección No.14 Demostración directa e indirecta
La demostración
La demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es
el enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los conocimientos anteriores. Los
procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre las
proposiciones fundamentales de la teoría, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la
conclusión o tesis que así se demuestra.
Los principales tipos de demostración son:
La demostración directa
La demostración directa de una proposición t (teorema) es un conjunto de proposiciones o
premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se
infiere t como consecuencia inmediata.
Ejemplo 1.
Dadas las premisas: 1. p → ∼q
2. r → q
Concluir : t. p → ∼r
Demostración: Puesto que r → q es equivalente a ∼ q → ∼ r, se tiene la premisa
3.∼ q → ∼ r, ahora, de las premisas 1 y 3 se puede concluir t, es decir,
como p → ∼q y ∼ q → ∼ r, entonces, p → ∼r.
Ejemplo 2
Demostrar que si x es impar, entonces que x2
es impar. El enunciado genera las
siguientes premisas:
1. x es impar
2. x = 2n+ 1, donde n es un entero
Hay que demostrar que x2
= (2n + 1)2
es impar.
Demostración:
Si x es impar, entonces x = 2n + 1, entonces x2
= (2n + 1)2
= 4n2
+ 4n + 1, esta
expresión se puede escribir de la forma 2(2n2
+ 2n) + 1, tomando el término 2n2
+ 2n
como el entero m, se tiene que:
x2
= (2n + 1)2
= 2m + 1, es decir , x2
es un número impar.
__________________________________________________________________________
112

La demostración indirecta
Se realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una tesis t
probando que las consecuencias de su contraria son falsas.
Ejemplo 1.
Construir la demostración indirecta de:
Si x2
es par, entonces x es par, (con x entero)
Suponga que existe al menos un entero x tal que x2
es par y x es impar. Por el ejemplo 2
analizado en la demostración directa, se sabe que si x es impar, entonces x2
es impar,
luego es imposible que x sea impar y que x2
sea par. Esta es la contradicción buscada.
La demostración por recursión
Cuando la tesis se prueba por medio de inducción matemática.
Ejemplo 2.
Este tipo de demostraciones se utilizan cuando los enunciados tienen una proposición
abierta en una variable n, y es necesario demostrar que tal proposición se verifica para
todos los elementos n que pertenecen a un subconjunto infinito dado sobre los números
enteros, el axioma de la inducción matemática es el siguiente:
Dado un conjunto de números enteros A = {n / n ≥ a} y una proposición de la forma P(n),
se puede demostrar la verdad de esta proposición estableciendo los siguientes pasos:
I. P(a) es verdadera cuando se sustituye n por a en P(n)
II. Se supone que la proposición P(n) es verdad para todo k del conjunto A, es decir,
P(k) es verdadera, a esta proposición, se le llama Hipótesis de Inducción.
III. Se demuestra que para el siguiente término al k-ésimo, osea k+1, P(k+1) es
verdadera.
113

Ejemplo 3.
Demostrar que para todo entero ≥ 1, se verifica que: P(n): 1+2+…+n = n (n+1) / 2
I. P(1) es verdadera porque : 1 = 1(1 + 1) / 2
II. Hipótesis de Inducción: P(k): 1+2+…+k = k (k + 1) / 2 para todo k ≥ 1
III. Demostrar para el término k + 1, es decir, probar que se verifica:
1 + 2 + … + k + k + 1 = (k + 1) (k + 2) / 2.
Por hipótesis de inducción:
1+2+…+k = k (k + 1) / 2 para todo k ≥ 1, sumando k + 1 a cada miembro de esta
igualdad se obtiene:
1+2+…+k + k + 1 = k (k + 1) + k + 1 resolviendo la suma
2
= k 2
+ k + 2 k + 2 sumando términos semejantes
2
= k 2
+ 3 k + 2 factorizando
2
= (k + 1) (k + 2) / 2 lo que se quería demostrar.
__________________________________________________________________________
114

La demostración por refutación
Es el razonamiento que prueba la falsedad de una hipótesis o la inconsecuencia de su
supuesta demostración; los métodos de refutación son la refutación por contradicción y la
refutación por contraejemplo.
La refutación por contradicción
Refutar la proposición “el cuadrado de todo número impar es un número par” :
Como todo número impar se puede escribir de la forma 2n + 1, donde n es un entero, y
puesto que todo número par se puede escribir en la forma 2m, con m un entero, la
proposición dada implica que:
(2n + 1)2
= 2m para algún n y algún m
o, 4n2
+ 4n + 1 = 2m
Se supone que ambos miembros deben representar el mismo entero, pero el miembro de
la izquierda no es divisible por 2, mientras que el de la derecha si es divisible por 2. Esto
es una contradicción evidente y, por lo tanto, la proposición dada es falsa.
La refutación por contraejemplo
Refutar la proposición “el cuadrado de todo número impar es par”:
Se debe encontrar un número impar cuyo cuadrado sea impar, como 52
= 25, queda
refutada la proposición.
Se deja como ejercicio de consulta investigar otros ejemplos de los tipos de demostración
y de los métodos de refutación.
115

Lección No.15 Argumentos inductivosLección No.15 Argumentos inductivos
__________________________________________________________________________
116
Inducción
Observación-Experiencia-Probabilidad

La inducción
Objetivo General
Utilizar el método inductivo para establecer si las premisas que conforman un argumento
son verdaderas, sin tener que demostrar la verdad de la conclusión.
1. Identificar los argumentos analógicos y clasificarlos como probables o no
probables.
2. Evaluar argumentos analógicos.
3. Refutar un argumento por medio de una analogía.
117

Introducción
Existen varias clases de argumentos, unos permiten demostrar las conclusiones a partir de
la validez de sus premisas (método deductivo), mientras que otros sólo buscan establecer
si las premisas son probables o probablemente verdaderas, sin pretender demostrar la
verdad de sus conclusiones como consecuencia necesaria de las premisas, este tipo de
argumentos recibe el nombre de Argumentos Inductivos.
----observación y experiencia las bases de la inducción-----
El método inductivo es un tipo de razonamiento que se deriva de la observación y de la
experiencia, lo cual lo hace totalmente diferente al método deductivo (estudiado en el
capítulo anterior) y se basa fundamentalmente en dos aspectos:
1. En la semejanza que hay entre los objetos. ---OBSERVACIÓN---
2. En suponer que un suceso puede volver a ocurrir teniendo en cuenta que en
condiciones similares ha sucedido. ---EXPERIENCIA-
El primer aspecto hace referencia a la observación y el segundo en la experiencia.
-----la observación y la experiencia nos inducen a una conclusión -------------
La aplicación o el análisis de estos dos aspectos permiten inferir o pronosticar los
efectos que producirá la ocurrencia del suceso, tomando como referencia lo ocurrido con
eventos anteriores de características similares.
Argumentos inductivos
El problema de la inducción:
Una inducción típica, analizada sobre el modelo de la deducción, tiene como premisas
formulaciones particulares, por ejemplo: “el evento a del tipo X, es seguido del evento b,
del tipo Y”, “el evento c del tipo X es seguido del evento d del tipo Y”, y así sucesivamente;
tiene por conclusión una formulación general, Sin restricciones: “eventos del tipo X son
seguidos por eventos del tipo Y”.
__________________________________________________________________________
118

En este caso surge un problema lógico porque según el método deductivo, los argumentos
de esa forma no son válidos, de manera que no se puede inferir esa conclusión, ni saber si
es verdadera basada en la verdad de las premisas.
El problema lógico de cómo justificar ese tipo de razonamientos se llama tradicionalmente
“el problema de la inducción” las razones de este problema son:
1. Como la conclusión es general, tendrá una aplicación más amplia de la que
cualquier conjunto de premisas pueda garantizar.---LA CLAVE--(La conclusión es
más general que las premisas)----
2. La verdad de la conclusión no puede nunca ser garantizada por la verdad de las
premisas porque siempre puede presentarse un nuevo caso que convierta en falsa
la conclusión.--- LA CLAVE---(En algún momento se puede llegar a dar una
premisa falsa)---.
Lo anterior permite afirmar que la inducción es deficiente con respecto al modelo
deductivo, visto como procedimiento de descubrimiento y como procedimiento de
confirmación.
De los argumentos inductivos el que se usa con mayor frecuencia es el analógico.
119

Argumento inductivo por analogía
La analogía es la base de la mayoría de los razonamientos que van de la experiencia
pasada a lo que sucederá en el futuro.
 La mayoría de las inferencias cotidianas proceden por analogía.
 Ningún argumento por analogía pretende ser matemáticamente cierto.
 Los argumentos analógicos no se clasifican como válidos o inválidos, lo único
que se puede afirmar de ellos es que son probables o no probables.
La analogía también se usa en la explicación, donde algo no familiar se hace inteligible por
medio de una comparación con alguna otra cosa, presumiblemente más familiar, con la
cual tiene ciertas similitudes.
El uso de analogías en la descripción y la explicación no es igual que su uso en la
argumentación, aunque en algunos casos puede no resultar fácil decidir cuál uso se
pretende hacer.
Hacer una analogía entre dos o más entidades es indicar uno o más aspectos en los que
son similares,
mientras que caracterizar un argumento por analogía es en términos generales,
describir el argumento dado diciendo que contiene premisas que afirman, primero, que dos
cosas son similares en dos aspectos y, segundo, que una de esas cosas tiene una
característica adicional, de lo cual se extrae la conclusión de que la segunda cosa tiene
también esa otra característica.
__________________________________________________________________________
120

Ejemplo 1.
Identifique en el siguiente párrafo el argumento analógico
Los escritores JHON DOLLARD y NEAL E. MILLER, en su libro Personalidad y
psicoterapia afirman:
“Hemos dicho que las personas normales tienen poca motivación para dedicar un
esfuerzo especial al estudio de sí mismas. Lo mismo es cierto de la aritmética. Si la
presión de los padres y de la escuela no proporcionara una motivación, habría un
aprendizaje escaso de las matemáticas. Por analogía, parece posible que pueda
motivarse y prepararse a los niños para usar sus habilidades mentales con el fin de
resolver problemas emocionales. En la actualidad, no reciben casi ninguna
preparación para el desarrollo de esta importante capacidad ”.
En este párrafo, el argumento analógico es: Si la presión de los padres y de la escuela no
proporcionara una motivación, habría un aprendizaje escaso de las matemáticas. La
analogía se basa en la semejanza. –OBSERVACIÓN-
Ejemplo 2
Si alguien dice que le han extraído una muela sin anestesia y otro le expresa su
consideración, entonces surge la pregunta: ¿Cómo sabe que le dolió? Una respuesta
podría ser: “Yo he ido al odontólogo y sé cuanto duele una simple curación sin anestesia,
¿cómo será una extracción?, él tiene el mismo tipo de sistema nervioso que yo, por lo
tanto puedo inferir que en esas condiciones, sintió un terrible dolor”
En este caso el argumento analógico se fundamenta en la EXPERIENCIA, tendiendo en
cuenta que en condiciones similares ya sucedió.
121

Evaluación de los argumentos analógicos
Ningún argumento por analogía es deductivamente válido, en el sentido de que la
conclusión no es consecuencia necesaria de las premisas, lo que se puede establecer es
si sus conclusiones son más o menos probables. Para lograr este propósito es
indispensable fijar algunos criterios que permitan llevar a cabo la evaluación de
argumentos analógicos, estos son:
Criterios de evaluación:
Número de entidades entre las que se establece la analogía (Analogía por
EXPERIENCIA)
Significa que es importante tener en cuenta el número de veces
que ha ocurrido el suceso, esto da más consistencia a la
conclusión y una mayor probabilidad de que se repita el suceso.
Ejemplo:
Si un electrodoméstico que se compro en un determinado almacén
salió defectuoso, una conclusión apresurada sería afirmar que los
electrodomésticos que se compran en ese almacén salen
defectuosos; pero si esa misma conclusión se hace sobre la base de
que 10 electrodomésticos comprados allí han resultado defectuosos,
la conclusión cobra mayor validez y la probabilidad de que siga
ocurriendo lo mismo crece.
Número de aspectos en los cuales las cosas involucradas se dice que son
análogas -- OBSERVACICÓN---
Este criterio hace referencia a todos los aspectos en que los sucesos
son análogos, y cuando se encuentra un mayor número de
circunstancias o características de semejanza entre los sucesos,
mayor será la validez de la conclusión.
Ejemplo:
El hecho de que un par de zapatos nuevo, ha sido comprado en el
mismo almacén que el par viejo, el cual fue muy resistente, es una
premisa de la que se sigue que probablemente el nuevo par será
también resistente. Pero la misma conclusión se sigue con mayor
probabilidad si la premisa afirma no solamente que los zapatos fueron
__________________________________________________________________________
122

comprados en la misma tienda, sino que son de la misma marca, que
eran los más caros del almacén y que tienen el mismo estilo.
La fuerza de las conclusiones con respecto a sus premisas
La fuerza de las conclusiones con respecto a sus premisas.
En este caso el criterio afirma que con premisas iguales se pueden
generar conclusiones diferentes y que su validez no depende de las
premisas sino de la fuerza de la conclusión.
Ejemplo:
Una persona adquirió un carro nuevo y la ha dado un rendimiento de
10 Km / litro de gasolina, otra persona puede inferir que su carro
nuevo, de la misma marca y modelo le dará un rendimiento igual (lo
cual es probable); pero si la inferencia es que su carro le dará un
rendimiento superior a 10 Km / litro, entonces esta conclusión será
menos probable y la conclusión será mucho más débil si se afirma que
el automóvil rendirá exactamente 10 Km / litro.
Refutación por medio de una analogía lógica
Un método básico, para evaluar como válido un argumento desde el punto de vista lógico,
es el que recurre a la analogía para demostrar que otro argumento está equivocado o es
incorrecto.
Este método consiste en refutar un argumento, mostrando que sus premisas no apoyan la
conclusión que se pretende sostener, sin necesidad de demostrar que por lo menos una
de sus premisas es falsa o está equivocada.
Si un argumento tiene premisas verdaderas pero conclusión falsa, esto es base suficiente
para clasificarlo como inválido; pero, si no se sabe si las premisas son verdaderas o falsas,
se puede probar su invalidez construyendo una analogía refutadora
Se define una analogía refutadora de un argumento dado como un argumento de
exactamente la misma forma o estructura del argumento dado, pero cuyas premisas se
conocen como verdaderas y su conclusión como falsa, así la analogía refutadora resulta
inválida y como el argumento original tiene la misma forma también se considera inválido.
123

Ejemplo 6
El siguiente texto muestra una analogía refutadora.
“El señor Clifford A. Wrigth afirma que Israel no es una democracia porque otorga al
judaísmo una posición especial dentro de la Ley. ¿Realmente es así? La Ley
británica contra la blasfemia protege solamente a las creencias de los cristianos.
Esas leyes no vician los reclamos británicos que es un país democrático, aunque se
puede argüir que en virtud de ellos su democracia es menos perfecta. Israel tiene
sufragio universal, un sistema multipartidista y una prensa libre. Para todos, menos
para los ciegos partisanos, esto significa que es una democracia”.
-------------------- LA CLAVE -------------------
¿Observaste como la inducción está relacionada con la probabilidad?
__________________________________________________________________________
124

125
Unidad 22
Álgebra Booleana y
Circuitos Lógicos

2.Unidad 2
OBJETIVO GENERAL
Teniendo en cuenta que los circuitos digitales o lógicos operan de forma binaria, emplear
el álgebra booleana como fundamento teórico para el análisis, diseño y descripción del
funcionamiento de las compuertas lógicas que son los circuitos lógicos fundamentales.
1. Describir la operación de las compuertas lógicas, mediante sus tablas de verdad.
2. Simplificar circuitos lógicos complejos mediante la aplicación de las leyes del
álgebra de Boole
3. Simplificar expresiones booleanas mediante el uso de los mapas de Karnaugh
4. Emplear compuertas para implementar el circuito representado por una
expresión booleana
__________________________________________________________________________
126

127
Capítulo 11
Axiomas del álgebra
booleana
+ U v
* ∩ ʌ
= = ↔

Algebra Booleana y Circuitos Lógicos
INTRODUCCIÓN
El álgebra booleana, estudiada por primera vez en detalle por JORGE BOOLE, constituye
un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el
advenimiento de la computadora digital; en este caso proporcionan un eslabón entre el
álgebra de conjuntos y el cálculo proposicional. Son usadas ampliamente en el diseño de
circuitos de distribución y computadoras, las aplicaciones de la electrónica digital a los
procesos de control y automatismo industriales están fundamentadas teóricamente en este
sistema matemático.
Los circuitos digitales o lógicos operan de un modo binario donde cada voltaje (señal) de
entrada o de salida es un cero (0) o un uno (1). Las designaciones 0 y 1 representan
intervalos predefinidos de voltaje. Esta característica de los circuitos lógicos permite
emplear el álgebra booleana en el análisis y diseño de sistemas digitales
__________________________________________________________________________
128

Lección No.16 Variables y constantes BooleanasLección No.16 Variables y constantes Booleanas
Variables y constantes booleanas
Las variables y constantes del álgebra booleana sólo pueden tener dos valores: el cero (0)
o el uno (1). Una variable booleana, denominada también variable lógica, se emplea para
representar el nivel de voltaje presente en los terminales de entrada y salida de un circuito.
En algunos casos este nivel de voltaje recibe el nombre de “nivel lógico” de la variable.
Cuando el nivel del voltaje es bajo (entre 0 y 0.8 voltios) se emplean términos como falso,
desactivado, no, interruptor abierto (0). Cuando el nivel lógico es alto (por ejemplo entre
4 y 5 voltios), se emplean términos como verdadero, activado, si, interruptor cerrado
(1).
El álgebra booleana se utiliza para describir los efectos que producen las entradas lógicas
sobre los diversos circuitos digitales (circuitos lógicos).
129

Axiomas del Algebra Booleana
Las propiedades del sistema matemático de la lógica simbólica se pueden aplicar al
álgebra de conjuntos; para tal fin, se forma un sistema matemático abstracto llamado
Álgebra Booleana, en el cual los símbolos carecen de significado, de tal manera que esta
álgebra puede aplicarse a otras áreas.
Para definir este sistema abstracto es conveniente recordar que una operación binaria es
una función que asigna a cada pareja ordenada un solo elemento.
Un álgebra booleana es un sistema algebraico constituido por un conjunto A formado por
elementos a, b, c, …z, dos operaciones binarias simbolizadas por # y * definidas sobre el
conjunto A y una relación de equivalencia simbolizada por =, tales que, para cualesquiera
elementos a, b y c de A, se verifican las siguientes propiedades o axiomas:
1. Cerradura o clausurativa:
(a # b) y (a * b) también son elementos del conjunto A
2. Conmutativa:
(a # b) = (b # a) y (a * b) = (b * a)
3. Asociativa:
(a # b) # c = a # (b # c) y (a * b) * c = a * (b * c)
4. Distributiva:
a # (b * c) = (a # b) * (a # c) y a * (b # c) = (a * b) # (a * c).
5. Identidad:
a # 0 = a y a * e = a
Los elementos 0 y e reciben el nombre de elementos neutros para las
operaciones # y * respectivamente.
6. Complementación:
Para cada elemento a que pertenece al conjunto A existe un elemento a’ en
A tal que: a # a’ = 0 y a * a’ = e.
El elemento a’ se llama elemento inverso para las operaciones # y *
__________________________________________________________________________
130

Lección No.17 Álgebra Booleana en sistemas numéricosLección No.17 Álgebra Booleana en sistemas numéricos
Algebra Booleana en sistemas numéricos
Para este sistema se puede adaptar la siguiente simbología:
A: El conjunto de los enteros ( Z )
Operaciones binarias: + adición
* producto
Relación de equivalencia: = igualdad
A continuación se realiza la verificación de que el conjunto de números enteros ( Z ) es un
álgebra booleana, es decir, que satisface dada una de las siguientes propiedades para
cualesquiera a, b, c y d elementos del conjunto Z.
1. Cerradura: a + b = c y a * b = d
2. Conmutativa: a + b = b + a y a * b = b * a
3. Asociativa: a + (b + c) = (a + b ) + c = (a + c) + b
a * (b * c) = (a * b) * c = ( a * c) * b
4. Distributiva: a + (b * c) = (a + b) * (a + c)
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
5. Identidad: Existen en Z elementos 0 y 1 tales que:
a + 0 = a y a * 1 = a
El 0 y el 1 reciben el nombre de elementos neutros para la adición y la multiplicación
respectivamente.
6. Complementación: Para cada elemento a que pertenece al conjunto z, existe un
elemento (-a) que también pertenece al conjunto de enteros tal que:
a + (-a) = 0, (-a) recibe el nombre de inverso aditivo del elemento a.
Es importante aclarar que la operación binaria del producto no tiene
inverso multiplicativo, es decir, no existe un elemento en los enteros tal
que al multiplicarlo con otro entero de como resultado el elemento
neutro del producto (1)
131

Algebra Booleana de los Conjuntos
Para este sistema se interpreta la simbología del álgebra booleana así:
A: Todos los subconjuntos del conjunto universal “U”
Operaciones binarias: U Unión
∩ Intersección
Relación de equivalencia: = Igualdad
A continuación se demuestra que el álgebra de conjuntos satisface las propiedades de un
álgebra booleana.
Sean B, C y D subconjuntos del conjunto A
1. Cerradura:
B U C es un subconjunto de A y
B ∩ C es un subconjunto de A
2. Conmutativa:
B U C = C U B y B ∩ C = C ∩ B
3. Asociativa:
(B U C) U D = B U (C U D)
(B ∩ C) ∩ D = B ∩ (C ∩ D).
4. Distributiva:
B U (C ∩ D) = (B U C) ∩ (B U D) y
B ∩ (C U D) = (B ∩ C) U (B ∩ D).
5. Identidad: En el conjunto universal U existen dos conjuntos, el vacío Ф y el conjunto A,
tales que:
B U A = A y B ∩ Ф = Ф.
Los conjuntos Ф y A se denominan elementos neutros para la intersección y para la
unión respectivamente.
6. Complementación: Para cada subconjunto B del conjunto A, existe un subconjunto B’
que también pertenece al conjunto A tal que:
B U B’ = A y B ∩ B’ = Ф. B’ se denomina complemento de B.
__________________________________________________________________________
132

Algebra Booleana de la Lógica
Para este sistema matemático la simbología correspondiente es:
A: El conjunto de todas las proposiciones
Operaciones binarias: v Disyunción
ᴧ Conjunción
Relación de equivalencia: ↔
Elemento neutro: La contradicción (0) para la disyunción
La tautología (1) para la conjunción
Elemento inverso (a’): La negación de una proposición
La demostración de que la lógica simbólica es un álgebra booleana corresponde a la
verificación de las siguientes propiedades:
Sean p, q y r proposiciones del conjunto A.
1. Cerradura:
p v q es una proposición del conjunto A
p ʌ q es una proposición del conjunto A
2. Conmutativa:
p v q ↔ q v p
p ʌ q ↔ q ʌ p
3. Asociativa:
(p v q) v r ↔ p v (q v r)
(p ʌ q) ʌ r ↔ p ʌ (q ʌ r).
4. Distributiva:
p v (q ʌ r) ↔ (p v q) ʌ (p v r)
p ʌ (q v r) ↔ (p ʌ q) v (p ʌ r).
5. Identidad: En el conjunto A existe una proposición que siempre es verdadera, llamada
tautología y simbolizada por 1, y otra que siempre es negativa, llamada contradicción y
simbolizada por 0, tales que:
p v 0 ↔ p y p ʌ 1 ↔ p.
La tautología y la contradicción corresponden a los elementos neutros de la disyunción y
de la conjunción respectivamente.
133

5. Complementación: Para cada proposición p, existe en el conjunto A una
proposición ~p, llamada la negación de p, tal que:
p v (~ p) ↔ 1 y p ʌ (~ p) ↔ 0
Es preciso recordar que las tablas de verdad son una herramienta para demostrar estas
propiedades, su elaboración se deja como ejercicio.
Ejercicio
Usando las propiedades del Álgebra Booleana demostrar que:
a + (b * c) = (a + b) * (a + c)
Sugerencia: Inicia desde doble negación a ambos lados de la igualdad.
__________________________________________________________________________
134

135
Capítulo 22
f (x, y) = x y + x y’ + x’ y + x’ y’

Lección No.18 Expresiones Booleanas y sus propiedadesLección No.18 Expresiones Booleanas y sus propiedades
Expresiones Booleanas y sus propiedades
Una expresión booleana (también llamada función booleana o función lógica) es un
conjunto finito de símbolos (cada uno representa una constante o una variable)
combinados mediante la operación suma, producto o complementación.
Si n es el número de variables lógicas, entonces el número total de funciones lógicas
distintas que se pueden escribir con n variables es 22
, por ejemplo para n = 3 (tres
variables lógicas: x, y, z), el número de funciones lógicas distintas es de 256.
Para escribir las funciones lógicas se utiliza el símbolo Fi, donde i varía según el número
de funciones lógicas a partir de 0, así por ejemplo, para n = 2 (dos variables lógicas: x, y),
las 16 funciones lógicas se denominan Fi, con i = 0,1,2,3…15.
Otras propiedades o leyes del álgebra booleana empleadas en los procesos de
simplificación de expresiones booleanas o en la demostración de teoremas, son:
Ley de idempotencia: x + x = x x . x = x
Ley de acotación: x + 1 = 1 x . 0 = 0
Ley de absorción: x + x y = x x (x + y) = x
Ley de involución (x’)’ = x (0’)’ = 0 (1’)’ = 1
Ley D’Morgan (x + y)’ = x’ y’ (x y)’ = x’ + y’
Las expresiones booleanas pueden adoptar dos formas útiles para las aplicaciones
tecnológicas; tales expresiones están conformadas por una suma de productos o por un
producto de sumas, denominadas la forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva,
respectivamente.
__________________________________________________________________________
136

Lección No.19 Forma Normal DisyuntivaLección No.19 Forma Normal Disyuntiva
Forma Normal Disyuntiva
La función booleana adopta una forma normal disyuntiva si está escrita como una suma de
términos, en la cual cada término es un producto que involucra todas las n – variables, con
negación o sin ella. Cada término se llama término minimal y la función se denomina
función polinomial de términos minimales.
Ejemplos:
 x + x’ en una variable
 x. y’ en dos variables
 x. y. z’ + x’. y. z + x. y’. z en tres variables.
El proceso para llegar a la forma normal disyuntiva de una función booleana consiste en:
1. aplicar las leyes D’Morgan, hasta que los complementos aparezcan aplicados
solamente a variables individuales;
2. después por la aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto a la
suma, la función puede ser reducida a un polinomio.
3. Si en algún término falta una variable, por ejemplo w, entonces este término puede
ser multiplicado por la expresión w + w’ sin cambiar la función.
Ejemplo 1.
Escribir la función f (x, y, z) = (x y + y z’)’ + y’ en la forma normal disyuntiva
(x y + y z’)’ + y’ = (x y)’ (y z’)’ + y’ Por Ley D’Morgan
= (x’ + y’) (y’ + z) + y’ Por D’Morgan e
Involución
= (y’ + x’) (y’ + z) + y’ Por conmutativa
= y’ (y’ + z) + x’ (y’ + z) + y’ Por distributiva
= y’ + x’ (y’ + z) + y’ Por absorción
= y’ + x’ y’ + x’ z + y’ Por distributiva
= y’ + y’ x’ + x’ z + y’ Por conmutativa
= y’ + x’ z + y’ Por absorción
= y’ + y’ + x’ z Por asociativa
= y’ + x’ z Por idempotencia
La expresión se ha reducido a dos términos; en el primero (y’) faltan las variables x z, en
el segundo (x’ z) falta la variable y, entonces, como el proceso para llegar a la forma
137

normal disyuntiva permite multiplicar el primer término por la expresión (x + x’) (z +z’) y el
segundo por (y + y’) la expresión queda convertida en:
= y’ (x + x’) (z + z’) + x’ z (y + y’) Por distributiva
= y’ (x z + x z’ + x’ z + x’ z’) + x’ z y + x’ z y’ distributiva
= x y’ z + x y’ z’ + x’ y’ z + x’ y’ z’ + x’ y z + x’ y’ z asociativa
= x y’ z + x y’ z’ + x’ y’ z + x’ y’ z’ + x’ y z
Una función booleana puede ser expresada en forma normal disyuntiva en más de una
manera, mediante el cambio del número de variables; sin embargo, para un número dado
de variables la forma normal es única.
Ejemplo 2.
Si f (x, y) = x y esta en forma normal disyuntiva en x y en y, pero si x . y es multiplicada
por z + z’, entonces se tiene que:
f (x, y, z) = x y (z + z’)
f (x, y, z) = x y z + x y z’ también esta en forma normal en las variables x, y, z.
Ejemplo 3.
g (x, y, z) = x’ y z + x y z + x’ y z’ + x y z’ está en forma normal disyuntiva en x, y, z,
pero aplicando las leyes del álgebra booleana se tiene que:
g (x, y, z) = x’ y z + x y z + x’ y z’ + x y z’
= y z (x’ + x) + y z’ ( x’ + x)
= y z (1) + y z’ (1)
= y z + y z’
= y (z + z’)
= y (1)
por lo tanto g (x, y, z) = y que es la forma normal en y.
La forma normal disyuntiva en n-variables que tiene 2n
términos se llama “forma normal
disyuntiva completa en n-variables” y es idénticamente igual a la unidad.
__________________________________________________________________________
138

Ejemplo 4.
Para el caso de dos variables (n = 2) la forma normal disyuntiva se puede obtener de la
siguiente tabla:
Donde la suma de los productos es 1, es decir,
x y + x y’ + x’ y + x’ y’ = 1.
x y + x y’ + x’ y + x’ y’ = x (y + y’) + x’ (y + y’)
= x (1) + x’ (1)
= x + x’
= 1.
Una función booleana f está completamente determinada por los valores que ella asuma
para cada una de las combinaciones de los valores asignados, 0 ó 1, a las respectivas
variables, es decir, una función booleana puede ser determinada mediante una tabla que
represente las condiciones deseadas, este hecho se aplica especialmente en el diseño de
circuitos.
Ejemplo 5.
Encontrar y simplificar la función booleana descrita en la siguiente tabla:
Fila x y z f (x, y, z)
0 1 1 1 0
1 1 1 0 1
2 1 0 1 1
3 1 0 0 0
4 0 1 1 0
5 0 1 0 0
6 0 0 1 1
7 0 0 0 0
En este caso la tabla muestra el valor de la función lógica para las 23
= 8 posibles
combinaciones de 0 y 1 para las variables x, y, z.
x y f (x, y)
1 1 x y
1 0 x y’
0 1 x’ y
0 0 x’ y’
139

Las combinaciones en las filas 1,2 y 6 tienen valor 1, por lo tanto la forma normal
disyuntiva contendrá tres términos así:
f (x, y, z) = x y z’ + x y’ z + x’ y’ z
= x y z’ + y’z (x + x’)
= x y z’ + y’z (1)
= x y z’ + y’z.
En estos casos, se recomienda usar la forma normal disyuntiva cuando el número de unos
(1) es menor que el número de ceros (0) en la columna f (x, y, z).
El complemento de una función en forma normal disyuntiva contendrá exactamente
aquellos términos de la forma normal disyuntiva que no aparecen en la función dada.
Ejemplo 6:
Escribir el complemento de cada una de las siguientes funciones:
1. x’ y’ + x’ y
2. x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’ + x’ y z + x y’ z’
Como el complemento de una forma normal disyuntiva son los términos que no aparecen
en la función, entonces el complemento de cada función es:
1. x y + x y’
2. x y’ z + x y z’ + x y z.
__________________________________________________________________________
140

Lección No.20 Forma Normal ConjuntivaLección No.20 Forma Normal Conjuntiva
Forma Normal Conjuntiva
Se dice que una función booleana está en forma normal conjuntiva si está escrita como un
producto de términos, en el cual cada uno es una suma que involucra todas las n-
variables, con complementación o sin ella.
Cada término se denomina término maximal.
El proceso para obtener la forma normal conjuntiva de una función booleana consiste en
1. aplicar las leyes D’Morgan para eliminar los complementos de los paréntesis,
2. después la función es factorizada y
3. luego se introducen las variables que faltan en cada factor, por ejemplo w, sumando
un término de la forma w w’, que no cambia la función.
4. El último paso es expresarla en factores y reducir aquellos que sean semejantes.
Ejemplo 1.
Escribir la función f (x, y, z) = (x y + y z’)’ + y’ en la forma normal conjuntiva.
f (x, y, z) = (x y + y z’)’ + y’
= (x y)’ (y z’)’ + y’
= (x’ + y’) (y’ + z) + y’
= (y’ + x’) (y’ + z) + y’
= y’ + (y’ + x’) (y’ + z)
= (y’ + y’ + x’) (y’ + y’ + z)
= (y’ + x’) (y’ + z)
= (y’ + x’ + z z’) ( x x’ + y’ + z)
= (y’ + x’ + z) (y’ + x’ + z’) (x + y’ + z) (x’ + y’ + z)
= (x’ + y’ + z) (x’ + y’ + z’) (x + y’ + z) (x’ + y’ + z)
= (x’ + y’ + z) (x’ + y’ + z) (x’ + y’ + z’) (x + y’ + z)
= (x’ + y’ + z) (x’ + y’ + z’) (x + y’ + z)
Una función booleana puede ser expresada en forma normal conjuntiva en más de una
manera, mediante el cambio del número de variables; sin embargo, para un número
específico de variables la forma normal conjuntiva es única.
141

Ejemplo 2.
La función f (x, y) = x + y esta en forma normal conjuntiva en las variables x, y, escribir la
función f (x, y) en la forma normal conjuntiva pero en las variables x, y, z.
f (x, y) = x + y
= x + y + z z’
= (x + y + z) (x + y + z’)
Así f(x, y) quedó expresada en forma normal conjuntiva en variables x, y, z.
La forma normal conjuntiva en n-variables que tiene 2n
términos se llama “forma normal
conjuntiva completa en n-variables” y su producto es igual a cero.
Por ejemplo, para n = 2 la forma normal conjuntiva completa se obtiene tomando las
variables complementadas.
x = 0 x’ = 1 y = 1 y’ = 0
y su definición se puede obtener en la siguiente tabla:
x y f (x, y)
1 1 x’ + y
1 0 x’ + y’
0 1 x + y
0 0 x + y’
Como el producto de la suma es 0, se tiene que:
(x’ + y) (x’ + y’) (x + y) (x + y’) = 0.
(x’ + y) (x’ + y’) (x + y) (x + y’) = (x’ + y y’) (x + y y’)
= (x’ + 0) (x + 0)
= x x’
= 0
__________________________________________________________________________
142

Ejemplo 3.
Encontrar y simplificar la función booleana f (x, y, z) de la tabla.
Fila x Y z f (x, y, z)
0 1 1 1 1
1 1 1 0 1
2 1 0 1 0
3 1 0 0 1
4 0 1 1 1
5 0 1 0 1
6 0 0 1 0
7 0 0 0 1
Como sólo dos filas de la tabla, la 2 y la 6, tienen el valor cero, es más fácil escribir la
función en forma normal conjuntiva, así:
f (x, y, z) = (x’ + y + z’) (x + y + z’)
= (y + z’ + x’) (y + z’ + x)
= (y + z’ + x’x)
= (y + z’ + 0)
= y + z’
La forma normal conjuntiva se usa si el número de ceros (0) es menor que el número de
unos (1) en la columna f.
El complemento de una función escrita en forma normal conjuntiva es una función cuyos
factores son exactamente aquellos de la forma normal conjuntiva, que no aparecen en la
función dada, por ejemplo, el complemento de (x + y’) (x’ + y’) es (x’ + y) (x + y). El
complemento se puede utilizar para encontrar la forma normal disyuntiva, para cambiar
una función de una forma normal a la otra se utiliza el complemento del complemento de la
función, es decir, (f ' )’ = f.
143

Ejemplo 4.
Encontrar la forma normal conjuntiva para la función
f (x, y, z) = x y z + x’ y z + x y’ z’ + x’ y z’
Aplicando el complemento del complemento se tiene:
[f ‘(x, y, z )]’ = [ (x y z + x’ y z + x y’ z’ + x’ y z’)‘ ]‘
= [(x y z)’ (x’ y z)’ (x y’ z’) (x’ y z’)’]’
= [(x’ + y’ + z’) (x + y’ + z’) ( x’ + y + z) (x + y’ + z)]’
Los términos que no aparecen en la función son:
= (x + y + z) ( x’ + y + z) ( x + y’ + z’) (x’ + y + z’)
Ejemplo 5.
Cambiar la siguiente expresión de la forma normal disyuntiva a la forma normal conjuntiva.
f (x, y, z) = x y z + x y’ z’ + x’ y z’ + x’ y’ z + x’ y’ z’
Aplicando el complemento se tiene que:
[f ‘ (x, y, z)]’ = [(x y z + x y’ z’ + x’ y z’ + x’ y’ z + x’ y’ z’)’]’
Aplicando el complemento del paréntesis interno, (los términos que no aparecen), se tiene:
= [ x’ y z + x y’ z + x y z’]’ y por el complemento externo
= (x’ y z)’ (x y’ z)’ (x y z’)’
= (x + y’ + z’) (x’ + y + z’) (x’ + y’ + z)
Ejemplo 6.
Cambiar la siguiente expresión de la forma normal conjuntiva a la forma normal disyuntiva.
f (x, y, z) = [ (y + z’) (y’ + z) (y’ + z’)]
Aplicando el complemento se tiene que:
[f ‘ (x, y, z)]’ = { [ (y + z’) (y’ + z) (y’ + z’)] ‘ }’
= { (y + z’)’ + (y’ + z)’ + (y’ + z’)‘}’
= {(y’ z) + (y z’) + (y z)}’
= {y’ z + y z’ + y z}’
= y’ z’
__________________________________________________________________________
144

Ejemplo 7
Escribir las funciones descritas en la siguiente tabla y simplificarla utilizando la forma más
conveniente:
x y z F1 F2 F3 F4
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1
Para F1 se usa la forma normal conjuntiva porque sólo hay dos ceros, por lo tanto la
expresión booleana es:
F1 (x, y, z) = (x + y + z’) ( x’ + y’ + z). Ya esta simplificada
En F2 se utiliza la forma normal disyuntiva porque sólo hay dos unos, la expresión
booleana es:
F2 (x, y, z) = x’ y’ z + x y z’. Ya esta simplificada.
En F3 se puede utilizar cualquiera de las dos formas, debido a que el número de ceros y
de unos es igual, la forma normal disyuntiva es:
F3 (x, y, z) = x’ y z’ + x’ y z + x y’ z’ + x y z’.
= x’ y ( z’ + z) + x z’ ( y’ + y)
= x’ y (1) + x z’ (1)
= x’ y + x z’
La forma más conveniente para F4 es la forma norma conjuntiva
F4 (x, y, z) = (x + y + z) (x’ + y + z)
= y + z + x x’
= y + z + 0
= y + z
145

__________________________________________________________________________
146
Capítulo 22
Simplificación de
expresiones Booleanas
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ = 0
Z = 1

Lección No.21 Otras técnicas de simplificaciónLección No.21 Otras técnicas de simplificación
Simplificación de Expresiones Booleanas
2.0.1.Mapas de karnaugh de dos variables
Simplificación de expresiones booleanas mediante mapas de Karnaugh
Para simplificar enunciados booleanos se utiliza, además de las leyes de la lógica, los
llamados mapas de Karnaugh o mapas K.
Un diagrama de Karnaugh se puede definir como un diagrama rectangular, con regiones o
casillas arregladas como cuadrados dentro del rectángulo. Los mapas K tienen 2n
casillas, donde n es el número de variables lógicas de la expresión booleana, por ejemplo,
para una función de dos variables (A y B), n es igual a 2, luego el mapa de karnaugh es un
rectángulo con cuatro casillas (dos filas y dos columnas) y cada casilla contiene el valor de
la función para cada combinación de los valores de verdad de las variables así:
La función lógica anterior se puede escribir de la siguiente manera:
El mapa de Karnaguh correspondiente será:
El mapa de Karnaguh con los 1’s y 0’s de la función quedan como sigue:
A B Función
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
A B Función
~A ~B 1 = ~A ~B
~A B 0 = ~A B
A ~B 1 = A ~B
A B 1 = A B
~A ~B ~A B
A ~B A B
147
~B B
Mapa de karnaugh

Para más de 6 variables los mapas de Karnaugh se hacen demasiado complicados y
pierden su utilidad.
La construcción de un mapa de K se hace con base a la tabla de verdad asociada con la
función booleana que se quiere representar, ya sea en forma disyuntiva o conjuntiva.
Las características fundamentales de los mapas de K, se pueden resumir de la siguiente
forma:
1. Cada casilla se asocia con una fila de la tabla de verdad
2. el número binario (1 ó 0) que identifica cada fila de la tabla de verdad se hace
corresponder con las coordenadas binarias que identifican cada casilla del mapa K.
El diagrama se presenta a continuación:
3. Si dos casillas contiguas (horizontal o verticalmente) tienen unos (1), se dice que
forman una adyacencia. En el siguiente diagrama, se representa un mapa K con
dos adyacencias, una vertical y la otra horizontal.
x’ x
y’
y
Ejemplo 1.
~A
A
~B B
1 0
1 1
x y Funció
n
x' y' 0
x' y 1
x y' 1
x y 1
X’
X
Y’ Y
0 1
1 1
1
1 1
__________________________________________________________________________
148
Adyacencia
horizontal
Adyacencia
Vertical

Escriba en forma normal disyuntiva la función booleana descrita en el mapa de Karnaugh y
luego simplifíquela.
Recordemos que el mapa
de K representado es
equivalente al mapa:
La función coincide con los 1’s, es decir con las casillas x’ y’ y x y’:
f (x, y, z) = x’ y’ + x y’
Simplificando de manera analítica la función se obtiene:
= y’ (x’ + x)
= y’. 1
= y’
Mediante el mapa de K, no hay que simplificar analíticamente, la simplificación es un
proceso gráfico:
x’ x
y’ 1 1
y 0 0
x’ x
y’ x’ y’ x y’
y x’ y xy
149

Lección No.22 Mapa de Karnaugh de tres variablesLección No.22 Mapa de Karnaugh de tres variables
¿ como se usa el mapa de karnaugh para simplificar funciones lógicas?
1) Partimos de la tabla de verdad
En la tabla de verdad de la función lógica, nos interesa identificar para que valores de la
función, esta es 1, valores que resaltamos a continuación con círculos, las flechas están
indicando la función lógica correspondiente:
x y f (x, y)
1 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1
2) De la tabla de verdad pasamos a obtener la función lógica:
La función lógica de esta tabla de verdad es:
f (x, y) = x y’ + x’ y’
3) De la tabla de verdad pasamos a obtener el mapa de Karnaugh:
En los recuadros del mapa de k ubicamos los 1’s y 0’s de la función
lógica f (x, y):
Nota:
Al simplificar usando los mapas de K, debemos obtener la siguiente simplificación,
deducida mediante las propiedades del álgebra booleana:
f (x, y) = x’ y’ + x y’
= y’ (x’ + x)
= y’. 1
= y’
X = 0 X = 1
x’ x
Y= 0 y’ 1 1
Y= 1 y 0 0
__________________________________________________________________________
150
x y’
x' y’

4) Simplificación usando las propiedades de los mapas de KARNAUGH:
Se procede a agrupar unos (1’s) contiguos horizontales o verticales mas nunca en
diagonal:
Estos dos unos agrupados se pueden representar por y’ únicamente, así nos que da la
siguiente simplificación:
f (x, y) = y’
Observemos que para agrupar se buscó la variable que definía a los dos unos al mismo
tiempo, la fila identificada como Y’ define muy bien este par de unos, luego la solución es
y’
Observemos como esta simplificación es equivalente a la simplificación obtenida usando
las propiedades del álgebra booleana.
Otro ejemplo:
1) Si el mapa de Kargaugh fuera:
¿Quién define mejor en este caso a los unos? ¿Cuál de las siguientes cuatro adyacencias
es la mejor?
Si observas los unos encerrados, podrás ver que x’ los define completamente.
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1 1
y = 1
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1
151
Y’
X’ X
Y’
Y

Lección No.23 Proceso Algebraico vs Mapa de KLección No.23 Proceso Algebraico vs Mapa de K
Demostrémoslo usando el álgebra de Boole:
La función original sería: f (x, y) = x’ y’ + x’ y
f (x, y) = x’ (y’ + y) / Factor común X’
f (x, y) = x’ (1) / A’ + A = 1
f (x, y) = x’ / A’ . 1 = A’
Con lo que queda demostrado.
La fila identificada como Y’ definió muy bien este par de unos.
¿Quién define mejor en este caso a los unos?
Si observas los unos encerrados, x’ no definen completamente toda la función, sólo define
completamente dos unos.
Para considerar el otro uno podemos tomarlo sólo, de la siguiente manera:
La función quedaría definida por: f (x, y) = x’ + x y
Pero si en lugar de tomar un sólo uno asociáramos dos unos obtendríamos:
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1 1
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1 1
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1 1
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1 1
__________________________________________________________________________
152

La nueva función quedaría así: f (x, y) = x’ + y
153
La función original sería: f (x, y) = x’ y’ + x’ y + xy
f (x, y) = x’ y’ + x’ y + xy + x’ y / A + A = A
f (x, y) = x’ (y’ + y) + y( x + x’ ) / Factor común X’
f (x, y) = x’ (1) + y(1) / A’ + A = 1
f (x, y) = x’ + y / A’ . 1 = A’
Tomo
cualquiera
y lo duplico

Lección No.24 Mapa de Karnaugh de tres variablesLección No.24 Mapa de Karnaugh de tres variables
Mapas de karnaugh de tres variables
Este mapa de k proviene de una función de tres variables:
¿Quién define mejor en este caso a los unos?
Nota: Al hacer los óvalos no podemos dejar espacios sin unos, es decir, debemos agrupar
unos contiguos.
Para agrupar los unos que se encuentran en los cajones ZXY y en el cajón ZXY’,
buscamos las letras que estos unos tienen en común, las cuales son la Z y X.
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ = 0 1 1
Z = 1 1 1 1
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ = 0 1 1
Z = 1 1 1 1
__________________________________________________________________________
154
La función quedaría definida por: f (x, y,z ) = x’y’ + x y + xz

La función original sería: f (x, y,z) = x’ y’z’ + x’ y’z + xyz’+ xyz + xy’z
Simplificando f (x, y,z) = x’ y’z’ + x’ y’z + xyz’+ xyz + xy’z + xyz
f (x, y,z) = x’ y’(z’ + z) + xy(z’+ z) + xz(y’ + y)
f (x, y,z) = x’ y’(1) + xy(1) + xz(1)
f (x, y,z) = x’ y’ + xy + xz
Que es igual a lo que nos ofrecía el mapa de KARNAUGH
Observa que X y Z son las variables que tiene en común los unos
155
Tomo xyz
y lo duplico

Ejemplo 2.
Representar en un mapa de Karnaugh la función Booleana descrita en la siguiente tabla y
luego simplificarla:
x y f
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
El mapa correspondiente es:
La función booleana es:
f (x, y, z) = x’ y + x y’ + x y
= x’ y + x (y’ + y)
= x’ y + x.1
= x’ y + x
Ejemplo 3.
Obtener las expresiones booleanas reducidas para los siguientes mapas de Karnaugh:
f (x, y, z) = x y’ + x y
= x (y’ + y)
= x
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1 1
x’ = 0 x = 1
y’ = 0 1
y = 1 1
__________________________________________________________________________
156

Mapas de karnaugh para tres variables:
El mapa K para tres variables es un diagrama formado por dos filas y cuatro columnas,
así:
En este caso pueden ocurrir adyacencias de dos, cuatro u ocho unos (1).
Ejemplo 1.
Encontrar la expresión booleana simplificada cuyo mapa k es:
La función es: f(x, y, z) = x’ y z’ + x’ y z + x y z’ + x y z
= x’ y (z’ + z) + x y (z’ + z)
= x’ y. 1 + x y. 1
= x’ y + x y
= y (x’ + x)
= y. 1
= y
Ejemplo 2.
Obtener las expresiones booleanas reducidas para el siguiente mapa de Karnaugh:
La función booleana es: f(x, y, z) = x y z’ + x y z + x y’ z simplificando se tiene:
= x y (z’ + z) + x y’ z
= x y + x y’ z.
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ = 0
Z = 1
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ = 0 1 1
Z = 1 1 1
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ = 0 1
Z = 1 1 1
157

Lección No.25 Mapa de Karnaugh de cuatro variablesLección No.25 Mapa de Karnaugh de cuatro variables
Mapas de Karnaugh de cuatro variables
El mapa K para funciones booleanas de cuatro variables es un diagrama de cuatro filas
por cuatro columnas, diseñada de la siguiente forma:
En este caso pueden ocurrir adyacencias de dos, cuatro, ocho o dieciséis unos (1).
Ejemplo 1.
Simplificar la función booleana cuyo mapa K asociado es:
La función es:
f(x,y,z,w) =x’y’z’w’ + x y’z’w’ + x’y’zw’+ x y’zw’+x’y z’w+x y z’w+x’y z w + x y z w
= y’z’w’ (x’ + x) + y’z w’ (x’ + x) + y z’w (x’ + x) + y z w (x’ + x)
= y’z’w’ + y’z w’ + y z’w + y z w
= y’w’ (z’ + z) + y w (z’ + z)
= y’w’ + y w
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ W’ = 00
Z’ W = 01
Z W = 11
Z W’ = 10
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ W’= 00 1 1
Z’ W= 01 1 1
ZW= 11 1 1
ZW’= 10 1 1
__________________________________________________________________________
158

Ejemplo 2.
Simplificar la función booleana cuyo mapa K asociado es:
f(x, y, z, w) = x’y’z’w’ + x’y’z’w + x’y’z w + x’y’z w’ + x y’z’w’ + x y’z’w + x y’z w + x y’z w’.
Simplificando
= x’y’z’ (w’ + w) + x’y’z (w + w’) + x y’z’ (w’ + w) + x y’z (w + w’)
= x’y’z’ + x’y’z + x y’z’ + x y’z
= x’y’ (z’ + z) + x y’ (z’ + z)
= x’y’ + x y’
= y’ (x’ + x)
= y’
Ejemplo 3.
Obtener la expresión booleana reducida para el siguiente mapa K
f(x, y, z, w) = x’ y’ z’ w + x’y’z w + x’y z’w’ +x’y z w’ + x y z’w’ + x y z w’ + x y’z’w + x y’ z w.
= x’ y’ w (z’ + z) + x’ y w’ (z + z’) + x y w’ (z’ + z) + x y’ w (z’ + z)
= x’ y’ w + x’ y w’ + x y w’ + x y’ w
= x’ y’ w + x y’ w + x’ y w’ + x y w’
= y’ w (x’ + x) + y w’ (x’ + x)
= y’ w + y w’.
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ W’= 00 1 1
Z’ W= 01 1 1
ZW= 11 1 1
ZW’= 10 1 1
X’Y’
00
X’Y
01
XY
11
XY’
10
Z’ W’= 00 1 1
Z’ W= 01 1 1
ZW= 11 1 1
ZW’= 10 1 1
159

__________________________________________________________________________
160
P
Q
R
LÁMPARA
BATERÍA
+
+
-
-
Capítulo 33
Definición y
representación de los
circuitos lógicos y
aplicaciones.

Definición y Representación de los Circuitos Lógicos
OBJETIVO GENERAL
Utilizar el álgebra booleana para analizar y describir el funcionamiento de las
combinaciones de las compuertas lógicas, de tal manera que pueda relacionar la teoría
de conjuntos, el álgebra proposicional, el álgebra booleana y las compuertas lógicas, para
diseñar circuitos lógicos
1. Describir cada compuerta lógica, mediante su tabla de verdad
2. Simplificar circuitos lógicos mediante la aplicación de las leyes de álgebra booleana
3. Emplear compuertas para implementar el circuito representado por una expresión
booleana
4. Relacionar los conjuntos, la lógica, el álgebra booleana y las compuertas.
5. A partir de las tablas de verdad elaborar los mapas K y luego diseñar circuitos
lógicos.
6. Mostrar algunas aplicaciones del álgebra Booleana y su implementación mediante
circuitos lógicos
161

Lección No.26 Representación de los circuitos lógicosLección No.26 Representación de los circuitos lógicos
Representación de los circuitos Lógicos
El álgebra booleana es el soporte teórico para el álgebra de los circuitos lógicos, esto
significa que excepto por la terminología y su significado, el álgebra de los circuitos es
idéntica al álgebra de proposiciones, con dos elementos el 0 y el 1.
El álgebra de circuitos utiliza dispositivos de dos estados como por ejemplo el interruptor
o switch (es el más sencillo), diodos rectificadores, bobinas magnéticas, transistores,
entre otros; la naturaleza de los estados varía con el dispositivo así: conducción contra no-
conducción, cerrado contra abierto, cargada contra descargada, magnetizada contra
desmagnetizada, alto voltaje contra bajo voltaje.
Los dispositivos formados por conmutadores o interruptores que consideran las
posiciones cerrada o abierta, se llaman circuitos de conmutación, la posición cerrada se
simboliza por “ON” y la abierta por “OFF”, un interruptor se encontrará cerrado o abierto y
nunca en posición intermedia.
La siguiente figura muestra una representación gráfica de un conmutador.
__________________________________________________________________________
162
INTERUPTOR CERRADO INTERRUPTOR ABIERTO
ON
OFF
P
ON
OFF
P
Representación de un interruptor

Ejemplo 1.
Se conecta una lámpara a un circuito con interruptor, de tal forma que la lámpara se
encienda cuando el conmutador está cerrado y se apague cuando este abierto.
El circuito se puede representar esquemáticamente así:
La lámpara se encenderá siempre que se cierre el circuito, es decir, cuando P adquiera la
posición “ON” y se apagará cuando se abra el circuito, o sea cuando P tome la posición
“OFF”.
En las siguientes figuras se muestran las posiciones ON y OFF.
El ejemplo anterior permite demostrar que un interruptor sólo puede tomar una de las dos
posiciones (cerrada o abierta) y como una proposición lógica toma un solo valor de verdad
(verdadera o falsa), se puede establecer una relación entre un conmutador y una
proposición lógica; para esto se asigna una proposición P al conmutador de tal manera
163
CONMUTADOR CERRADO CONMUTADOR ABIERTO
(ENCENDIDA) (APAGADO)
PP
Interruptor en posición ON y OFF respectivamente
FUENTE
ELECTRICA
(PILA O BATERIA)
LAMPAR
A
OFF
ON
P
Activación de una lámpara

que si P es verdadera se asume que el conmutador está “cerrado” (ON) y si P es falsa el
interruptor estará “abierto” (OFF), a estos conmutadores se les denomina circuitos lógicos.
Para describir el nivel de voltaje o nivel lógico de la variable presente en los terminales de
entrada y salida de un circuito se emplean términos como desactivado, activado, abierto,
cerrado, 0, verdadero, 1, entre otros.
Cuando el nivel de voltaje es bajo se emplean términos como falso, desactivado, no,
interruptor abierto y se utiliza el elemento cero (0) y cuando el nivel lógico es alto se usan
los términos verdadero, activado, sí, interruptor cerrado y se simboliza con el uno (1).
Circuito de Conjunción
Este circuito toma dos conmutadores P y Q, y recordando la tabla de verdad de la
conjunción estudiada en el capítulo 2 se puede inferir que los interruptores P y Q deben
estar conectados en serie de tal manera que si ambos están “cerrados” (P y Q
verdaderas) el circuito estará “cerrado” y por consiguiente la lámpara estará encendida.
La representación del circuito de conjunción se muestra en la siguiente figura:
__________________________________________________________________________
164
ONON
OFFOFF
LÁMPARA
P Q
BATERÍA
Circuito de conjunción

Circuito de Disyunción
Analizando la tabla de verdad de la disyunción se observa que si P y Q son dos
proposiciones, entonces la disyunción Pv Q es verdadera siempre que alguna de las dos
sea verdadera, en términos de circuitos esto significa que P y Q deben estar conectados
en paralelo, de tal forma que el circuito está cerrado cuando algún interruptor P o Q está
cerrado, en otras palabras, la lámpara estará encendida siempre que alguno de los dos
conmutadores P o Q esté cerrado.
La representación gráfica de este circuito es el siguiente:
165
ON
ON
OFF
OFF
BATERÍA
LÁMPARA
P
Q
Circuito de disyunción

Circuito de Negación
La relación entre el estado de la lámpara con la disposición del circuito lógico, se puede
enunciar así: Si P es una proposición verdadera el conmutador estará “cerrado” y la
lámpara estará encendida; análogamente si P es falsa el conmutador estará “abierto” y en
consecuencia la lámpara estará apagada.
En la tabla de verdad de la negación (elaborada en el capítulo 2) se observa que el valor
de verdad de ∼P es el opuesto al valor de P, esto significa que cuando el interruptor P esta
“cerrado” (P verdadera) la lámpara debe estar apagada y si el conmutador P esta “abierto”
(P falso) la lámpara debe estar encendida.
El circuito de negación puede representarse gráficamente así:
El álgebra booleana se utiliza para describir los efectos que producen las entradas lógicas
sobre los circuitos lógicos y para manipular variables lógicas cuando se va a determinar el
método de aplicación de una función de un circuito.
Las operaciones del álgebra booleana son la adición o suma lógica, la multiplicación o
producto lógico y la complementación o inversión lógica y los dispositivos electrónicos que
ejecutan cada operación se llaman compuertas lógicas.
__________________________________________________________________________
166
P
ON
OFF
Circuito de negación

Lección No.27 Operaciones Aritméticas con circuitos lógicosLección No.27 Operaciones Aritméticas con circuitos lógicos
Operaciones Aritméticas con circuitos Lógicos
Adición o Suma Lógica
También se llama operación OR o simplemente OR, corresponde a la disyunción de
proposiciones y a la unión de conjuntos y el dispositivo que ejecuta esta operación se
llama compuerta OR, su representación gráfica es:
(Cualquiera de las dos representaciones es válida)
Esta compuerta tiene dos entradas que representan los estados de los conmutadores P, y,
Q y una salida Pv Q que representa el estado de la lámpara.
2.0.1.1.Multiplicación o Producto Lógico
Llamada también operación AND o simplemente AND. Corresponde en lógica a la
conjunción de proposiciones y a la intersección de conjuntos. El dispositivo electrónico
que ejecuta esta operación se llama compuerta AND, tiene dos conmutadores P y Q los
cuales se representan como dos entradas y una salida PʌQ que representa el estado de la
lámpara, su presentación gráfica es:
167
P ∧ QP
Q
Compuerta AND
P v Q
P
Q
P v Q
P
Q
Compuerta OR

Complementación o inversión Lógica
Se denomina también operación NOT y corresponde a la negación de una proposición o a
la operación de complementación en conjuntos. La compuerta “NOT” acepta como entrada
un valor P’ y produce como salida su negación P. Por esta razón esta compuerta también
se denomina inversor, su representación es:
Correspondencia entre Lógica-Conjuntos -Algebra booleana y las
compuertas lógicas
La siguiente tabla muestra las correspondencias:
LÓGICA
Disyunción
P v Q
Conjunción
P ʌ Q
Negación
∼ P
CONJUNTOS
Unión
A U B
Intersección
A ∩ B
Complemento
A’
ÁLGEBRA
BOOLEANA
Suma
X + Y
Producto
X Y
Inversor
X’
COMPUERTAS
LÓGICAS
OR AND NOT
Figura No. 10 Correspondencias: Lógica-Conjuntos-Álgebra-compuertas
__________________________________________________________________________
168
P P’
Compuerta NOT

Ejemplo 1.
Utilizando compuertas lógicas simbolizar la proposición: ∼ (PvQ).
Según la tabla, las compuertas correspondientes a la disyunción y a la negación son: OR
y NOT respectivamente, por lo tanto la combinación de ellas dará la compuerta solicitada,
así:
169
Ejemplo 1. ∼ (P∨Q).
P
Q ∼ (P ∨ Q)

Ejemplo 2
Utilizando las compuertas lógicas simbolizar la proposición ∼ (P ʌ Q).
Analizando la tabla el circuito correspondiente es:
Ejemplo 3
Utilizando las compuertas lógicas simbolizar la proposición p ʌ (qv r).
En este caso intervienen tres proposiciones y dos conectivos, por lo tanto el circuito es:
__________________________________________________________________________
170
P ∼ (P ∧ Q)
Q
Ejemplo 2. ∼ (P ∧ Q).
P
Q P ∧ (Q ∨ R)
R
Ejemplo 3. P ∧ (Q ∨ R)

Ejemplo 4.
Diseñar el circuito que determine los valores de verdad de la proposición
P v (Q ʌ R). Para diseñar el circuito primero se simboliza la proposición mediante el uso
de compuertas lógicas, así:
A continuación se conecta una lámpara al circuito, de tal forma que cuando la proposición
es verdadera, la lámpara debe estar encendida y cuando sea falsa, la lámpara debe estar
apagada. Esta conexión se representa así:
171
P
Q
R
LÁMPARA
BATERÍA
+
+
-
-
Circuito de la proposición. ejemplo 4
Ejemplo 4. Pv (Q ʌ R).
P
Q P ∨ (Q ∧ R)
R

Lección No.28 Compuertas NOR, NAND, XOR, XNORLección No.28 Compuertas NOR, NAND, XOR, XNOR
Compuertas NOR, NAND, XOR y XNOR:
Otras compuertas lógicas
Las tres compuertas fundamentales ya mencionadas (AND, OR, NOT) son suficientes
para escribir cualquier función boleana y por lo tanto diseñar un circuito lógico, sin
embargo, se utilizan otras compuertas lógicas como NAND, NOR, XOR y XNOR
La compuerta NAND es la negación de la compuerta AND y se define como:
x NAND y = (x y)’ y se simboliza así:
__________________________________________________________________________
172
P v Q
P
Q
Compuerta NAND
P
Q
P Q

La tabla de verdad para las compuertas AND y NAND es:
x y
AND
x y’
NAND
(x y)’
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
La compuerta NOR, es la negación de la compuerta OR, se define así:
x NOR y = (x + y)’, su símbolo es:
La tabla de verdad para las compuertas OR y NOR es:
x y
OR
x + y
NOR
(x + y)’
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
173
P v QP
Q
Compu
erta
NOR

La compuerta XOR corresponde a la operación lógica disyunción exclusiva (x ⊕ y) y a la
operación diferencia simétrica entre conjuntos. Se define como
f(x, y, z) = x ⊕ y = x y’ + x’y.
El símbolo para esta compuerta es (Cualquiera de las dos representaciones es válida):
Figura No. 18 Compuerta XOR
La compuerta XNOR es la negación de la compuerta XOR, su símbolo se puede
representar de dos maneras:
Figura No. 19 Compuerta XNOR
La tabla de verdad para estas compuertas es:
x y
XOR
x ⊕ y
XNOR
(x⊕ y)’
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Se observa que la tabla de verdad de la compuerta XNOR es exactamente igual a la tabla
de la equivalencia (o doble implicación), por lo cual esta compuerta recibe el nombre de
“comparador”.
__________________________________________________________________________
174

Ejemplo 1
Dibujar el circuito lógico de la función booleana f (x, y, z) = y z’ + x’.
Para diseñar un circuito lógico se emplea un “bus” de variables de entrada y sus
negaciones.
Las negaciones se representan por la línea que sale de la bolita en cada variable de
entrada, así:
Ejemplo 2.
Escribir en forma normal disyuntiva la función f especificada en la siguiente tabla,
simplificarla y dibujar el circuito lógico correspondiente.
X Y Z F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Recordando la sección 5.9 del capítulo anterior, para la forma normal conjuntiva se
consideran los unos (1), por lo tanto la función considerada es:
F(x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y z’ + x y’ z + x y z
= x’ y’ (y’ + y) + x z (y’ + y)
= x’ z’ (1) + x z (1)
= x’ z’ + x z
y el circuito correspondiente es el siguiente:
175
Ejemplo 1
Y
Z
X
Z’
X’
Y
YZ’
YZ’ + X

Ejemplo 3.
Escribir una expresión booleana para la salida f (x, y, z) del siguiente circuito.
La función correspondiente es: f(x, y, z) = (x’ + y’ )’ (y z).
__________________________________________________________________________
176
Ejemplo 3
Ejemplo 2
Z
X
X’
Z’
X
X’
Y
Y’
Z

177
Capítulo
Aplicación de los
circuitos lógicos
A
B
S
C
SUMADO
R
DIBITAL

Lección No.29 Circuito Aritmético DigitalLección No.29 Circuito Aritmético Digital
Aplicaciones de los circuitos lógicos
Circuito Aritmético Digital
Algunas aplicaciones elementales como los circuitos aritméticos digitales y los
codificadores y decodificadores, entre otros, muestran la gran variedad de situaciones en
las que se pueden utilizar los circuitos lógicos, si se tiene en cuenta que el diseño digital
ha invadido casi todo el entorno del hombre, empezando por los electrodomésticos que se
usan en el hogar hasta los más sofisticados computadores, robots y demás equipos de la
industria.
Una unidad aritmética lógica está fundamentalmente constituida por un dispositivo
combinacional que permite dos entradas, las cuales pueden ser números o alguna
información codificada, en la cual se realizan todas las operaciones matemáticas o lógicas
que lleva a cabo un computador. A continuación se analiza la forma de construir un
semisumador y un sumador.
Circuito Semisumador
Diseñar un CIRCUITO SEMISUMADOR consiste en construir un circuito lógico que sume
dos números binarios de la siguiente manera:
0 0 1 1
+ 0 + 1 + 0 + 1
______ _____ ______ _____
0 1 1 10
La suma de dos números binarios puede estar conformada por dos cifras, como en el caso
de 1 + 1 = 1 0; por esto en el diseño de un circuito semisumador (ha) se debe tener en
cuenta una salida adicional denominada el ARRASTRE. La tabla de verdad para este
caso es la siguiente:
A B S C
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Suma Arrastre
__________________________________________________________________________
178

La salida S la genera una compuerta XOR (o - exclusiva), de tal modo que
S = A ⊕ B; mientras que la salida C (Arrastre) corresponde a una compuerta AND tal
que,C = AB, por lo tanto el circuito lógico se denomina un SEMISUMADOR (HA) y se
representa así:
Su representación esquemática es:
El circuito semisumador también se puede realizar de la siguiente manera:
S = A ⊕ B = A B’ + A’B
179
A
B
S
C
Representación esquemática de un sumador
Semisumador
A B
S
C

Aplicando la doble negación se tiene:
(S’)’ = [(A B’ + A’B)’]’ = [(A B’)’ (A’B)’]’
S = [(A’ + B) (A + B’)]’ = {[(A’ + B)’ + (A + B’ ) ’ ] ’ } ‘
S = { [ (A’ + B)’ + (A + B’ ) ’ ] ’ } ’
Análogamente, la salida C = AB será:
C = (C’)’ = [(AB)’]’ = (A’ + B’)’
Con lo cual el circuito lógico es:
__________________________________________________________________________
180
Circuito lógico semisumador
A B
S
C

Circuito Sumador
Para sumar números binarios de n- bits se procede así:
Dados los números binarios
A = An An-1 …A2 A1 A0 (n- bits)
B = Bn Bn-1 …B2 B1 B0 (n- bits).
La suma se empieza por los bits menos significativos A , B
A
B
________
C S
Donde S, es la suma generada por estos bits y C es el bit de arrastre de la primera suma,
el cual pasa a ser sumado en la siguiente columna y así sucesivamente, como se muestra
en el siguiente esquema:
C2 C1 C0
A = A3 A2 A1 A0
B = B3 B2 B1 B0
A + B = C3 S3 C2 S2 C1 S1 C0 S0
El resultado será entonces: A + B = C3 Sn …S2 S1 S0, donde C es el bit más
significativo .
Cuando se suman tres dígitos A, B, C, se genera una suma S y un arrastre C un
circuito que realice esta operación recibe el nombre de sumador. A continuación se
muestran la tabla de verdad, el mapa de Karnaugh y el circuito lógico asociado.
ENTRADAS SALIDAS
C A B S C
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
Donde C es el arrastre de entrada y C es el arrastre de salida.
181

Los mapas de Karnaugh deben ser para tres variables, los dos sumandos A, B y el
arrastre de entrada C . El mapa K para la suma S es:
La expresión booleana en forma de suma de productos es:
S = A’ B C’ + A B’ C’ + A’ B’ C + A B C.
El circuito lógico para la salida es:
Se deja como ejercicio construir el mapa k y el circuito lógico para el arrastre de salida.
A’ A’ A A
C’ 1 1
C 1 1
B’ B B B’
__________________________________________________________________________
182
Circuito lógico sumador

Lección No.30 Control de una estación de combustibleLección No.30 Control de una estación de combustible
Control de una estación de combustible
Una estación de combustible se surte de tres tanques: x, y, z. Los tanques x, y deben
abastecerse simultáneamente para sostener el flujo, el cual puede ser mantenido solo por
el tanque z, pero en ningún caso el tanque z debe funcionar si lo está haciendo los
tanques x, y. Construir un circuito lógico que controle esta situación.
La tabla de verdad asociada a esta situación es la siguiente:
x y z S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
El mapa de Karnaugh es:
La expresión booleana correspondiente es: S = x’ y’ z + x y z’
El circuito lógico correspondiente es:
X’ X’ X X
Z’ 1
Z 1
Y’ Y Y Y’
183
Circuito lógico control estación de combustible
X Y Z
S = x’ y’ z + x y z’

AUTO EVALUACIÓN No.5
1. En el siguiente circuito escribir la función de salida, elaborar la tabla de verdad.
2. Teniendo en cuenta el circuito anterior
a. Escribir la función booleana
b. Diseñar el circuito utilizando la técnica NAND
c. Diseñar el circuito utilizando la técnica NOR
3. Teniendo en cuenta la siguiente tabla de verdad, responda los siguientes literales:
a) Encuentre la función booleana utilizando la forma norma conjuntiva y diseñe el
circuito
b) Utilice la técnica NAND y diseñe el circuito
c) Utilice la técnica NOR y diseñe el circuito
x y z f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
__________________________________________________________________________
184

d) 4. Teniendo en cuenta la siguiente tabla de verdad
x y z f
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
a) Utilizando la forma normal disyuntiva encontrar la función booleana y
diseñar el circuito correspondiente.
b) Utilizando la técnica NAND, diseñar el circuito
c) Utilice la técnica NOR y diseñe el circuito correspondiente.
5. Construir el mapa de Karnaugh, la expresión booleana y el circuito lógico que permita
controlar una lámpara desde tres interruptores colocados en los pasillos de una
edificación. Tenga en cuenta la siguiente tabla de verdad.
x y z L
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
185

INFORMACIÓN DE RETORNO
1. La función de salida es: f(x, y, z) = x’y’z’ + x y’z’ + x’y’w. La tabla de verdad
correspondiente es:
x y z w x’ y’ z’ x’y’z’ x y’z’ x’y’w f
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
2. a) f(x, y, z, w) = x’y’z’ + x y’z’ + x’y’w
b) El circuito con la técnica NAND es:
f = [(x’y’z’ + x y’z’ + x’y’w)’]’
f = [ (x’y’z’)’ (x y’z’)’ (x’y’w) ’ ] ’
__________________________________________________________________________
186

La expresión booleana correspondiente es:
L = x y z + x y’ z’ + x’ y z’ + x’ y’ z
El circuito lógico es:
X’ X’ X X
Z’ 1 1
Z 1 1
Y’ Y Y Y’
187

EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓN No. 5
1. En un proceso de producción hay tres motores de los cuales sólo pueden trabajar dos a
la vez, además, ningún motor puede funcionar si no está trabajando un cuarto motor W
que hace circular el aceite lubricante. Construir un circuito lógico que controle estos cuatro
motores, teniendo la siguiente tabla de verdad:
x y z w F
0 0 0 1 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 0
__________________________________________________________________________
188

2. Diseño de una alarma:
En una central de control de tráfico un panel muestra los puntos neurálgicos y enciende
una luz de alarma cuando las condiciones mínimas de seguridad previstas no se dan.
La siguiente figura muestra uno de esos puntos neurálgicos, en el cual pueden entrar en E
sin peligro de colisión al mismo tiempo vehículos de:
a) xz b) zw c) Solamente x, y, w, ó z.
Diseñe el circuito lógico que controla la alarma. Tenga en cuenta la siguiente tabla de
verdad
ENTRADA SALIDA
x y z w ALARMA ACEPTABLE
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 0
189
E
w
Z
X
Y

RESPUESTAS A EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓN No. 5
1. La expresión booleana correspondiente es:
f (x, y, z) = x y z’ w + x y’ z w + x’ y z w, la cual puede ser escrita como:
f (x, y, z) = x w (y z’ + y’ z) + x’ y z w.
2. La ecuación booleana es:
A = x w + y w + y z + x y
= W (x + y) + y (x + z)
__________________________________________________________________________
190

BIBLIOGRAFÍA
• COPI, Irving, COHEN, Carl. Introducción a la Lógica. Limusa, Mexico 2002.
• GOMEZ, Carlos, GOMEZ, German, BOTERO, William. Matemática Digital. Mc Graw
Hill. Bogotá 1998.
• SCHEINNERMAN, Edward. Matemáticas Discretas. Thomsom-Learning. Mexico
2001.
• LIPSCHUTZ, Seymor. Teoría de Conjuntos. Mc Graw Hill. Bogotá 1980.
• SMITH, Kart. Introducción a la Lógica Simbólica. Iberoamericana. Mexico 1991.
• GALINDO, Nubia Janeth. Lógica Matemática. Unad. Colombia 1998.
• SUPPES, Patrick, HILL, Shirley. Introducción a la Lógica Matemática. Reverté.
Colombia 1976.
• GUTIERREZ, Fabio. Lógica. Una síntesis didáctica. Fund. Universitaria de Boyacá.
Colombia 2001.
Direcciones de sitios web.
http://www.cibernous.com/logica/
http://www.monografias.com/trabajos10/clasi/clasi.shtml
http://www.monografias.com/trabajos/iartificial/pagina4_1.htm
http://www.ucsm.edu.pe/rabarcaf/Introducci%C3%B3n%20a%20la%20L%C3%B3gica/2.%20L
%C3%B3gica%20Proposicional.doc
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/capitulo_01.html
191

ANEXO
5.7 RELACIÓN DE ORDEN EN UN ÁLGEBRA BOOLEANA
Un conjunto A con un álgebra booleana definida, debe ser parcialmente ordenado (tema
tratado en la sección 1.6), es decir, sus elementos deben cumplir las propiedades de la
relación de orden: Reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Sí A es el conjunto de los números enteros con el álgebra booleana definida en la sección
5.4 y una relación de orden parcial ≤ (menor o igual), entonces para todo x, y, z
elementos de A, se debe cumplir:
1. Reflexiva: x ≤ x
2. Antisimétrica: (x ≤ y) ᴧ (y ≤ x) → x = y
3. Transitiva: (x ≤ y) ᴧ (y ≤ z) → (x ≤ z)
En un álgebra de boole x ≤ y se define como x + y = y para indicar que el
elemento x es “menor o igual” a y, se representa gráficamente como el siguiente diagrama
de línea dirigida de x hacia y:
y
x
Así 0 ≤ 1 porque 0 + 1 = 1.
En un álgebra booleana definida sobre un conjunto A con la adición (+) y el producto (.)
como operaciones binarias y la igualdad (=) como relación de equivalencia, entonces, para
cualesquier par de elementos x, y del conjunto A las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
Sí x ≤ y, entonces:
1. x + y = y
2. x. y = x
3. x’ + y = 1
4. x. y’ = 0
__________________________________________________________________________
192

logica matematica

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