El documento aborda el concepto de integrales triples, explicando su definición a partir de la suma de Riemann y el proceso de resolución en funciones de tres variables. Se presenta el teorema de Fubini, que permite evaluar integrales triples a través de integrales iteradas, y se discuten las distintas configuraciones para las integrales en regiones generales del espacio tridimensional. Además, incluye ejemplos prácticos para ilustrar la aplicación de estas integrales en diferentes contextos.

1. 53
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
2. INTEGRALES TRIPLES
En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones
del tipo f : B ⊆
3
→
, tal como se hizo en la sección anterior para las integrales
dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se
ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la
definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f : Q ⊆
2.1 INTEGRAL
TRIPLE
SOBRE
n
→
.
UNA
CAJA
RECTANGULAR
Sea f una función definida sobre la caja rectangular B , esto es
f :B⊆
3
→
, donde B está definida como:
B = [ a,b ] × [ c,d ] × [ r,s ]
(II.1)
o también:
B=
La caja rectangular B ,
también recibe el nombre
3
, O
de rectángulo en
intervalo tridimensional,
aunque el nombre más
apropiado para B es
paralelepípedo.
{( x, y,z ) ∈
3
}
a≤ x≤b ∧ c≤ y≤d ∧ r≤ z≤s
(II.2)
Sea P una partición del paralelepípedo B , la cual se logra con el
producto cartesiano de las particiones Px , Py y Pz y de los
intervalos [a, b] , [c, d ] y [ r,s ] , respectivamente, como se muestra
a continuación:
Px = {x 0 , x1 , x 2 , … , xi −1 , xi , … , x n −1 , x n }
(II.3)
Py = {y 0 , y1 , y 2 , … , y j −1 , y j , … , y m −1 , y m }
(II.4)
Pz = { z0 ,z1 ,z2 ,… ,zk −1 ,zk ,… ,zl −1 ,zl }
(II.5)
entonces
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

2. 54
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P = Px × Py × Pz
(II.6)
La partición P del paralelepípedo B , entonces se obtiene al
dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal como se muestra en
la siguiente figura.
Figura 2.1
Partición
P de una caja rectangular B .
Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ]
de longitud ∆xi = xi − xi −1 ; la partición Py tiene m + 1 elementos y m
[
]
subintervalos y j −1, y j de longitud ∆y j = y j − y j −1 y la partición Pz
tiene l + 1 elementos y l subintervalos
[ z k −1 ,zk ]
de longitud
∆zk = zk − zk −1 , entonces la caja rectangular B queda dividida por
la partición P en n ⋅ m ⋅ l paralelepípedos denominados Bijk , donde
el
volumen
de
cada
una
de
estas
pequeñas
cajas
o
subparalelepípedos, denotado ∆Vijk , se obtiene de acuerdo a la
siguiente ecuación:
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

3. 55
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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
∆Vijk = ∆xi ⋅ ∆y j ⋅ ∆zk
Al evaluar la función f en un punto arbitrario
(II.7)
(x
*
i
, y j* ,zk* ) del
subparalelepípedo Bijk , se puede establecer la triple suma de
Riemann para la función f en la partición P , denotada como ST :
n
m
l
ST = ∑∑∑ f ( xi* , y j* ,zk* )∆Vijk
(II.8)
i =1 j =1 k =1
En la figura 2.2, se
aprecia que:
xi −1 ≤ xi* ≤ xi
En la figura 2.2 se observa el punto ( xi* , y j* ,zk* ) contenido en el
elemento Bijk de la partición P .
y j −1 ≤ y j * ≤ y j
zk −1 ≤ zk * ≤ zk
Figura 2.2
Paralelepípedo genérico Bijk de la partición P .
La norma de la partición P , denotada como P , es la longitud de
la diagonal más grande de todos los paralelepípedos Bijk . Si se
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

4. 56
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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
selecciona una partición más fina, de manera que la norma de la
partición tienda a cero, esto es P → 0 , entonces la expresión
(II.8) cambia y recibe el nombre del límite de la triple suma de
Riemann, como se muestra a continuación:
n
m
l
L im ST = L im ∑∑∑ f ( xi* , y j* ,zk* )∆Vijk
P →0
P →0
(II.9)
i =1 j =1 k =1
A partir del límite de la triple suma de Riemann se establece la
definición de la integral triple de una función
f
en un
paralelepípedo B .
DEFINICIÓN: Integral triple de f sobre B
Sea f :
3
→
una función definida sobre un paralelepípedo
B del espacio. La integral triple de f sobre B , denotada por
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , se define como:
B
∫∫∫
B
n
m
l
f ( x, y,z ) dV = L im ∑∑∑ f ( xi* , y j* ,zk* )∆Vijk
P →0
si el límite existe.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
i =1 j =1 k =1
(II.10)

5. 57
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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
2.2 TEOREMA DE FUBINI
El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar
una integral triple por medio de integrales iteradas, tal como se
mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.
TEOREMA de Fubini para Integrales Triples
Sea
f
una
función
continua
en
el
paralelepípedo
B = [ a,b ] × [ c,d ] × [ r,s ] , entonces:
s
d
b
r
c
a
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫
B
Al igual que en el
capítulo anterior; para la
resolución de integrales
triples, se emplearán los
siguientes símbolos para
identificar los límites de
integración:
: Valor de la variable
a la salida de la
región B (límite
superior).
f ( x, y,z )dxdydz
(II.11)
La integral iterada presente en la ecuación (II.11) del teorema de
Fubini también puede ser escrita de otras cinco formas diferentes,
que se obtienen al cambiar el orden de integración de las variables
x, y y z. Estas integrales iteradas son:
d
s
b
c
r
a
s
b
d
r
a
c
b
s
d
a
r
c
b
d
s
a
c
r
f ( x, y,z )dxdzdy
(II.12)
f ( x, y,z )dydxdz
(II.13)
f ( x, y,z )dydzdx
(II.14)
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ f ( x, y,z )dzdydx
: Valor de la variable
a la entrada de la
región B (límite
superior).
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫
(II.15)
B
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫
B
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫
B
B
d
b
s
c
a
r
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫ ∫ f ( x, y,z )dzdxdy
B
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
(II.16)

6. 58
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EJEMPLO 2.1
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Evalúe la integral triple
∫∫∫ f ( x, y,z )dV
y dibuje el paralelepípedo
B
B , donde f ( x, y,z ) = xz 3 (1 − y ) y B = [ 2,3] × [ −2,1] × 0 , 2  .


Solución:
Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar
primero el orden de integración. En la figura 2.3 se muestra el
paralelepípedo B , donde además se señala, mediante la flecha
que atraviesa verticalmente a la región B , que la integración se
comienza con la variable z.
Valor de z a
la salida de B
z= 2
Es común llamar I a la
integral triple que desea
resolverse.
B
Valor de z a
la entrada de B
z=0
Figura 2.3
Paralelepípedo B del ejemplo 2.1.
A continuación se resuelve la integral triple:
Figura 2.4
Proyección del
paralelepípedo B del
ejemplo 2.1 en el
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫
B
plano xy
La proyección de B
mostrada en la figura 2.4,
indica que la segunda
integración se realiza
respecto a la variable x.
I =∫
I =∫
1
-2
∫
3
2
1
 xz 4 (1 − y ) 

4
1
-2
2
0
3
∫ ∫
2
2
0
xz 3 (1 − y )dzdxdy
dxdy = ∫
1
-2
3
∫ x (1 − y )dxdy
2
3
1 2
5 1
5
2
 x (1 − y )  dy = ∫ (1 − y )dy = − (1 − y ) 

 2

-2 2
2 -2
4
1
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
1
-2
=
45
4

7. 59
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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
1
3
-2
2
∫ ∫ ∫
EJEMPLO 2.2
Evalúe la integral triple
2
0
xz 3 (1 − y )dzdxdy =
∫∫∫ f ( x, y,z )dV
45
4
y dibuje el paralelepípedo
B
 π
B , donde f ( x, y,z ) = x + y cos z y B = [ −1, 2] × [ 0,1] × 0 ,  .
 2
Solución:
En la figura 2.5 se muestra el paralelepípedo B y se indica,
además, que la primera integración parcial se realiza respecto a la
variable x.
Valor de x a
la entrada de B
x = −1
Figura 2.6
Proyección del
paralelepípedo B del
ejemplo 2.2 en el
B
plano yz
Valor de x a
la salida de B
La proyección de B en
el plano yz, muestra que
la segunda integración
parcial se realiza respecto
a la variable z.
x=2
Figura 2.5
Paralelepípedo
B del ejemplo 2.2.
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫
B
I =∫
1
0
∫
π
2
0
 x2

 2 + xy cos z 


UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
1
0
π
2
∫ ∫ ( x + y cos z )dxdzdy
2
0
−1
2
−1
dzdy = ∫
1
0
∫
π
2
0
3

 2 + 3 y cos z dzdy



8. 60
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
π
1  3π
3 π
3
 2


I = ∫  z + 3 ysenz  dy = ∫  + 3 y dy =  + y 
0 2
0
24

0
 4


1
π
1  3π
3 π
3
 2


I = ∫  z + 3 ysenz  dy = ∫  + 3 y dy =  + y 
0 2
0
4
24

0



1
π
3π 3
∫ ∫ ∫ ( x + y cos z )dxdzdy = 4 + 2
1
0
2
0
2
−1
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
2 1
0
2 1
0

9. 61
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
2.3 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS
GENERALES
Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre
regiones generales, en esta sección se amplía la definición de la
integral triple de una función f sobre una región general B
acotada del espacio tridimensional.
Por ejemplo, considere una región B , más general que un
paralelepípedo, del espacio tridimensional, tal como se ilustra en
la figura 2.6.
B
Figura 2.6
Región general B del espacio tridimensional
Para evaluar la integral triple de la función f :
3
→
sobre la
región general B , usando una integral iterada, primero debe
seleccionarse el orden de integración. En la figura 2.7, donde
se aprecian las superficies que acotan superior e inferiormente
a la región B , se señala el orden de integración sugerido para
esta región.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

10. 62
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Valor de z a
la salida de B
z = γ 2 ( x, y )
B
D
Valor de z a
la entrada de B
z = γ 1 ( x, y )
Figura 2.7
Primer orden de integración para una región general B
Es decir, la región general B está acotada inferior y superiormente
por las superficies γ 1 y γ 2 , respectivamente, y por lo tanto puede
definirse como:
B=
{( x, y,z ) ( x, y ) ∈ D
}
∧ γ 1 ( x, y ) ≤ z ≤ γ 2 ( x, y )
Luego, la integral triple de la función f :
3
→
(II.17)
sobre la región
general B , puede obtenerse como:
∫∫∫
B
f ( x, y,z ) dV = ∫∫
D
γ 2 ( x ,y )
∫γ (
1
x ,y )
f ( x, y,z )dzdA
(II.18)
Para seleccionar el segundo orden de integración, se debe
proyectar a la región B sobre el plano xy , obteniéndose así una
región bidimensional D , que se observa en la figura 2.8.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

11. 63
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Valor de y a
la salida de D
y = g2 ( x )
Observe, en la figura 2.8,
que la proyección de la
región B sobre el plano
xy, es una región D
bidimensional de tipo 1.
x=b
x=a
Valor de y a
la entrada de D
D
y = g1 ( x )
Figura 2.8
Proyección de la región general B sobre el plano xy
Entonces, como la región general B está definida de la siguiente
manera:
B=
{( x, y,z ) a ≤ x ≤ b,
}
g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) , γ 1 ( x, y ) ≤ z ≤ γ 2 ( x, y )
(II.19)
Se tiene que:
∫∫∫
B
f ( x, y,z ) dV = ∫
b
a
∫
g2 ( x )
g1 ( x )
γ 2 ( x ,y )
∫γ (
1
x ,y )
f ( x, y,z )dzdydx
(II.20)
Por otra parte, si la región general B se define como:
B=
{( x, y,z ) h ( z ) ≤ x ≤ h ( z ) ,
1
2
β1 ( x,z ) ≤ y ≤ β 2 ( x,z ) , r ≤ z ≤ s}
(II.21)
Entonces:
s
h2 ( z )
r
h1 z
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫
B
β 2 ( x ,z )
( ) ∫β (
1
x ,z )
f ( x, y,z )dydxdz
(II.22)
O también, para una región B como la siguiente:
B=
{( x, y,z ) ω ( y,z ) ≤ x ≤ ω
1
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
2
( y,z ) ,
c ≤ y ≤ d,
}
j1 ( y ) ≤ z ≤ j2 ( y )

12. 64
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
(II.23)
La integral triple es:
d
j2 ( y )
c
j1 ( y )
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫ ∫
B
EJEMPLO 2.3
Evalúe la integral triple
∫∫∫
B
ω2 ( y ,z )
∫ω (
1
y ,z )
f ( x, y,z )dxdzdy
(II.24)
dV , donde B es la región del espacio
tridimensional definida como:
B=
{( x, y,z ) 0 ≤ x ≤ 2,
x ≤ y ≤ x2 , x + y ≤ z ≤ x2 + y 2
}
Solución:
Para evaluar
∫∫∫
B
dV , se debe seleccionar la variable con respecto
a la cual se realiza la primera integración parcial. En la siguiente
figura se visualiza la región B .
Valor de z a
la salida de B
z = x2 + y 2
En la figura 2.9, se
aprecia que el recinto B
está
limitado
superiormente por la
superficie z = x 2 + y 2 e
inferiormente por la
superficie z = x + y .
B
Valor de z a
la entrada de B
z = x+ y
Figura 2.9
Región
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
B del ejemplo 2.3

13. 65
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Por lo tanto, la primera integración se realiza respecto a la variable
z, considerando a x y a y constantes.
En la figura 2.10 se muestra la proyección de la región B sobre el
plano xy. Adicionalmente se ilustra el segundo orden de
integración seleccionado.
Valor de y a
la salida de D
y = 4x
x=2
Cuando se proyecta la
región B sobre el plano
xy, tal como se muestra
en la figura 2.10, se
obtiene una región D
bidimensional de tipo 1.
D
Valor de y a
la entrada de D
y = x2
Figura 2.10
Proyección de la región B del ejemplo 2.3 en el plano xy
Resolviendo la integral triple, se tiene:
I = ∫∫∫ dV = ∫
B
2
0
x2
x2 + y 2
4x
x+ y
∫ ∫
dzdydx = ∫
2
0
∫ (y
x2
2
4x
+ x 2 − x − y )dydx
 x 6 x 4 79 x3

I = ∫ − − +
− 12 x 2 dx
0
3
 3 2

2
2
x2
x2 + y 2
0
4x
x+ y
∫ ∫ ∫
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
dzdydx =
6724
105

14. 66
Geraldine Cisneros
EJEMPLO 2.4
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
∫∫∫
Evalúe la integral triple
B
dV , donde
B
es la región
tridimensional comprendida entre los planos cartesianos y el plano
x + y + z = 10 .
Solución:
∫∫∫
Para resolver la integral triple,
B
dV , es necesario ilustrar el
orden de integración. En la siguiente figura, mediante la flecha que
atraviesa horizontalmente a la región B , se ilustra el valor que
toma la variable y a la entrada y la salida de la misma.
En la figura 2.11, se
aprecia que el recinto B
está limitado
por la
izquierda por el plano
cartesiano xz y por la
derecha por el plano de
ecuación y = 10 − x − z
Valor de y a
la salida de B
Valor de y a
la entrada de B
y = 10 − x − z
y=0
B
Figura 2.11
Región
B del ejemplo 2.4
Al proyectar la región B en el plano cartesiano xz, se obtiene una
región bidimensional mostrada en la figura 2.12. En esta figura, se
ilustra además, el segundo orden de integración seleccionado
para resolver la integral triple
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
∫∫∫
B
dV .

15. 67
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Valor de z a
la salida de D
z = 10 − x
x=0
En la figura 2.12 se
observa
que
la
proyección de la región B
sobre el plano xz, es una
región D de tipo 1 o tipo
2; sin embargo, se trabaja
como una región tipo 1.
D
Valor de z a
la entrada de D
z=0
Figura 2.12
Proyección de la región
B del ejemplo 2.4 en el plano xz
Resolviendo la integral triple:
I = ∫∫∫ dV = ∫
B
10
0
∫
10 − x
0
∫
10 − x − z
0
dydzdx = ∫
10
0
∫
10 − x
0
10 

x2
I = ∫  50 + − 10 x dx
0
2


10
10 − x
0
0
∫ ∫
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
∫
10 − x − z
0
dydzdx =
500
3
(10 − x − z )dzdx

16. 68
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
A continuación se presentan las propiedades de la integral triple
de una función f :
3
→
real de tres variables sobre una región
general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son
similares a las propiedades de las integrales dobles.
2.4.1 Propiedad de linealidad
3
Sean f :
→
3
y g:
→
dos funciones reales y continuas
definidas en una región tridimensional B , y sean α y β dos
números reales cualesquiera, entonces:
∫∫
B
α f ( x, y, z ) + β g ( x, y, z ) dV


=
+


∫∫ α f ( x, y, z )dV


∫∫  β g ( x, y, z )dV
B
+
(II.25)
B
2.4.2. Propiedad de orden
3
Sean f :
definidas
→
en
3
y g:
una
→
región
dos funciones reales y continuas
tridimensional
B,
tales
que
f ( x, y,z ) ≥ g ( x, y,z ) ∀ ( x, y,z ) ∈ B , entonces:
∫∫ f ( x, y, z )dV ≥ ∫∫ g ( x, y, z )dV
B
B
(II.26)
2.4.3. Propiedad aditiva respecto a la región de integración
Sea f :
3
→
una función real y continua definida en una región
general tridimensional B . Si la región B está dividida en dos
subregiones B1 y B2 (es decir B = B1 ∪ B2 ), entonces:
∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫ f ( x, y, z )dV + ∫∫
B
B1
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
B2
f ( x, y, z )dV
(II.27)

17. 69
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
EJEMPLO 2.5
Evalúe la integral triple
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , donde f ( x, y,z ) = xyz
y B
B
es el recinto definido como:
B=
{( x, y,z ) x
2
}
+ y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0
Solución:
El recinto B es la región del primer octante que se encuentra
dentro de la esfera, de radio 4 y centro en el origen del sistema de
coordenadas; y fuera del cilindro circular recto de radio 1 y que
tiene como eje directriz al eje z. En la figura 2.13 se muestra el
recinto B .
Valor de z a
la salida de B
z = 4 − x2 − y 2
En la figura 2.13, se
muestra el recinto B, del
ejemplo 2.5. Esta región
está
acotada
superiormente por la
superficie de ecuación
e
z = 4 − x2 − y 2
inferiormente por
plano
cartesiano
( z = 0 ).
el
xy
B
Valor de z a
la entrada de B
z=0
Figura 2.13
Región
B del ejemplo 2.5
Seleccionando a z como la primera variable de integración se
tiene:
I = ∫∫∫ xyzdV = ∫∫
B
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
D
∫
4 − x2 − y 2
0
xyzdzdA

18. 70
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Donde D es la proyección del recinto B sobre el plano xy. Esta
región se muestra en la figura 2.14.
Valor de y a
la salida de D1
y = 4 − x2
Cuando se proyecta la
región B sobre el plano
xy, se obtiene una región
D que no es de tipo 1 ni
de tipo 2, por lo que se
divide en dos subregiones
tipo 1.
x =1
Valor de y a
la salida de D2
D1
y = 4 − x2
D2
Valor de y a
la entrada de D1
y = 1 − x2
Valor de y a
la entrada de D2
y=0
Figura 2.14
Proyección de la región B del ejemplo 2.5 en el plano xy
Luego, D = D1 ∪ D2 , donde:
{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1 ∧
D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2
D1 =
2
1 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2
∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2
}
}
Resolviendo la integral triple, se tiene:
I = ∫∫∫ xyzdV = ∫
B
I =∫
1
0
∫
4 -x 2
1-x
2
1
0
∫
4 -x 2
1-x 2
∫
4− x2 − y 2
0
xyzdzdydx + ∫
2
 xy
( 4 − x 2 − y 2 )dydx + ∫ 1 ∫ 0
2



4 -x 2
2
1
∫
4 -x 2
0
∫
4 − x2 − y 2
0
  xy
2
2 
  2 ( 4 − x − y )  dydx


5
1 9x 
2 x

9 9
I = ∫  dx + ∫  − x 3 + 2 x dx = +
0
1
16 16
 8 
 8

∫∫∫
B
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
xyzdV =
9
8
xyzdzdydx

19. 71
Geraldine Cisneros
EJEMPLO 2.6
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Evalúe la integral triple
∫∫∫ ( xyz ) dV ,
B
donde B es la región del
primer octante comprendida entre los conos, cuyas ecuaciones
son z = 2 ( x 2 + y 2 ) y z = x 2 + y 2 ; y el plano z = 4 .
Solución:
Al graficar el recinto B se obtiene el sólido mostrado en la figura
2.15.
Valor de z a
la salida de B
Valor de z a
la salida de B
z = 2 ( x2 + y 2 )
z=4
En la figura 2.15, se
muestra el recinto B.
Observa que la flecha
que se encuentra a la
izquierda sale de la
región en el plano de
ecuación z = 4 , mientras
que la flecha de la
derecha sale de la región
por la
superficie del
cono z = 2 ( x 2 + y 2 ) .
B
Valor de z a
la entrada de B
Valor de z a
la entrada de B
z = x2 + y 2
z = x2 + y2
Figura 2.15
Región
B del ejemplo 2.6
Según la gráfica anterior, la variable z, toma diferentes valores a la
salida del recinto B, por lo cual la integral triple debe resolverse
empleando la propiedad 4.3.
∫∫∫
B
( xyz ) dV = ∫∫
D1
∫
4
x2 + y
( xyz ) dzdA +
2
∫∫ ∫
D2
(
2 x2 + y 2
x2 + y 2
)
( xyz ) dzdA
Para la primera de estas integrales, donde el límite superior para z
es 4, la proyección de la región B en el plano xy, es una región
denominada D1 se muestra a continuación:
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

20. 72
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Valor de y a
la salida de D1.A
y = 16 − x 2
La región D1, de la figura
2.16, no es de tipo 1 ni de
tipo 2, por lo que se
divide en dos subregiones
tipo 1.
x= 8
D1.A
Valor de y a
la salida de D1.B
y = 16 − x 2
Valor de y a
la entrada de D1.A
D1.B
y = 8 − x2
Valor de y a
la entrada de D1.B
y=0
Figura 2.16
Primera proyección de la región
B del ejemplo 2.6 en el plano xy
Luego, D1 = D1. A ∪ D1. B , donde:
{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 8 ∧
D = {( x, y )
8≤x≤4
D1.A =
8 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x 2
∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x 2
1.B
}
}
Con la figura anterior se establece el segundo orden de
integración de la primera integral triple planteada, resultando:
∫∫ ∫
4
x2 + y 2
D1
( xyz ) dzdA
8
∫ ∫
=
0
+
16 − x 2
8− x 2
16 − x 2
4
∫ ∫
8
∫
0
4
x2 + y 2
∫
( xyz ) dzdydx +
4
x2 + y 2
( xyz ) dzdydx
Para definir el segundo orden de integración en la
∫∫ ∫
D2
(
2 x2 + y2
x2 + y2
)
integral
( xyz ) dzdA , se proyecta la región B, sobre el plano xy
en la siguiente figura.
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

21. 73
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Valor de y a
la salida de D2
y = 8 − x2
x=0
La región D2, mostrada
en la figura 2.17, es una
región de tipo 1.
D2
(
8 ,0
)
Valor de y a
la entrada de D2
y=0
Figura 2.17
B del ejemplo 2.6 en el plano xy
Segunda proyección de la región
Donde:
D2 =
{( x, y )
(
)
0 ≤ x ≤ 8 ∧ 0 ≤ y ≤ 8 − x2
}
Resultando:
∫∫ ∫
D2
2 x2 + y 2
x2 + y 2
8− x2
8
( xyz ) dzdA =
∫ ∫
0
0
∫
(
2 x2 + y 2
x2 + y 2
)
( xyz ) dzdydx
Por lo tanto:
I = ∫∫∫ ( xyz ) dV
∫ ∫
+
B
16 − x 2
8
=
4
+
Resolviendo, se tiene:
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
8− x
0
∫ ∫
8
∫ ∫
0
16 − x 2
0
8− x 2
8
0
2
∫
∫
4
∫
4
x2 + y 2
x2 + y 2
(
( xyz ) dzdydx
+
( xyz ) dzdydx
+
2 x2 + y 2
x2 + y 2
)
( xyz ) dzdydx

22. 74
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
I=
+
I=
8
∫ ∫
0
16 − x 2
8− x 2
8− x 2
8
∫ ∫
0
∫
8
0
0
xy
(16 − y 2 − x 2 )dydx +
2
xy 2
( y + x 2 ) dydx
2
8 xdx +
∫
16 − x 2
4
∫ ∫
8
0
 x5

3
 − 4 x + 32 x  dx +
8
 8

4
I = 32 +
32 64
+
= 64
3
3
Entonces, la integral triple pedida es:
I = ∫∫∫ ( xyz ) dV = 64
B
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
∫
8
0
xy
(16 − y 2 − x2 ) dydx +
2
 x5

 − + 8 x dx
 8
