Este documento define y explica los subgrupos normales en teoría de grupos. En resumen: 1) Un subgrupo N de un grupo G es normal si x−1Nx = N para todo x en G. Esto equivale a que las clases izquierdas y derechas inducidas por N sean iguales. 2) Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. 3) Si un subgrupo S induce solo dos clases derechas, entonces S es normal.

1. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 1
0.1. Subgrupos Normales
Los subgrupos normales fueron introducidos por Evaristo Galois en el a˜o n
1832. La idea de subgrupo normal ´ distinguido no es d´
o ıficil. Basicamente si
H < G, H se dir´ ser un subgrupo normal si cada clase izquierda de este
a
grupo es igual a la correspondiente clase derecha.
El objetivo de esta secci´n es definir el grupo cociente G/N , que consiste en el
o
conjunto de clases izquierdas inducidas por un subgrupo N. Si consideramos
el conjunto de clases que se obtienen de un subgrupo en un grupo dado y se
le trata a este conjunto de dotarlo de una estructura de grupos, en general
no es posible a menos que el subgrupo dado sea normal.
Definici´n 1 Un subgrupo N de un grupo G se dice ser normal si
o
x−1 N x ⊆ N ; ∀ x ∈ G. Si N es un subgrupo normal de G. Se escribe N G
´ N G. Observe que el conjunto x−1 N x lo interpretamos como
o
x−1 N x = {x−1 nx | , ∀ x ∈ G; ∀ n ∈ N }
Ejemplo 1.
Sea K = {e, a, b, c} el grupo de Klein y N = {e, a}, N G dado que
e−1 N e = {e, a} ⊆ N
a−1 N a = {e, a} ⊆ N
b−1 N b = {e, a} ⊆ N
c−1 N c = {e, a} ⊆ N
por lo tanto N G.
Ejemplo 2.
Considere
S3 = {f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 },
el cual tiene como subgrupos normales a los triviales, S3 y < f0 >. Podemos
ver esto examinando g −1 S3 g y g −1 < f0 > g. Los restantes subgrupos son:
A = {f0 , f3 , f4 }, H1 = {f0 , f5 },
H2 = {f0 , f2 }, H3 = {f0 , f1 }.

2. 2
De hecho H1 no es normal dado que
−1 −1
f3 H1 f3 = f3 {f0 , f5 }f3 ,
−1 −1
= {f3 f0 f3 , f3 f5 f3 },
−1
= {f0 , f3 (f5 f3 )},
−1
= {f0 , f3 f1 },
= {f0 , f4 f1 },
= {f0 , f2 } = H2 ⊆ H1 .
Similarmente puede probarse que H2 y H3 no son normales en S3 . Probemos
ahora A = {f0 , f3 , f4 } es normal. Para esto hay que examinar los seis casos
g −1 Ag, donde:
g ∈ S3 = { f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 }
Consideremos algunos casos
−1 −1
f3 Af3 = f3 {f0 , f3 , f4 }f3 ,
−1 −1 −1
= {f3 f0 f3 , f3 f3 f3 , f3 f4 f3 },
−1
= {f0 , f0 f3 , f3 },
= {f0 , f3 , f4 },
= A.
tambi´n
e
−1 −1 −1 −1
f5 Af5 = {f5 f0 f5 , f5 f3 f5 , f5 f4 f5 },
−1 −1
= {f0 , f5 f2 , f5 f1 },
= {f0 , f5 f2 , f5 f1 },
= {f0 , f4 , f3 },
= A.
De modo similar pueden verificarse las otras para g.
Teorema 1 Las siguientes condiciones son equivalentes para un subgrupo
N de un grupo G :
(a) N es normal a G.
(b) x−1 N x = N ; ∀ x ∈ G.
(c) xN = N x; ∀ x ∈ G, (es decir, las clases izquierdas y derechas son
iguales).
Prueba
(a) =⇒ (b). En efecto, dado que N G, esto quiere decir que x−1 N x ⊆
N , ∀ x ∈ G. Es claro que x−1 ∈ G (dado que G es grupo), tambi´n es v´lido
e a
que
(x−1 )−1 N x−1 ⊆ N,

3. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 3
ya que esta propiedad es v´lida ∀ x ∈ G, en particular si se sustituye x por
a
−1
x . Pero como
(x−1 )−1 N x−1 = xN x−1 ⊆ N
y as´
ı
N = x−1 (xN x−1 )x ⊆ x−1 N x.
Finalmente tenemos que x−1 N x = N ; ∀ x ∈ G.
(b) =⇒ (a). Es inmediata ya que x−1 N x = N ; ∀ x ∈ G, en particular
x−1 N x ⊆ N , ∀ x ∈ G, de donde se sigue N G.
(b) ⇐⇒ (c) En efecto, dado que
x−1 N x = N ⇐⇒ x(x−1 N x) = xN,
⇐⇒ (x−1 x)N x = xN,
⇐⇒ eN x = xN,
⇐⇒ Nx = xN.
As´ hemos probado que
ı
(a) =⇒ (b) =⇒ (a)
(c).
Ejemplo 3.
Consideremos nuevamente el grupo S3 = {f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } y el sub-
grupo S = {f0 , f1 },. Mostraremos nuevamente que este subgrupo no es nor-
mal, usando el teorema anterior. Sus clases derechas:
S ◦ f0 = S ◦ f1 = {f0 , f1 },
S ◦ f2 = S ◦ f3 = {f2 , f3 },
S ◦ f4 = S ◦ f5 = {f4 , f5 }.
Dado que f2 ◦ S = {f2 , f4 } = S ◦ f2 por lo tanto, S no es un subgrupo
normal de S3 . Mientras que A = {f0 , f3 , f4 }, es normal, pues:
A ◦ f0 = A ◦ f3 = A ◦ f4 = {f0 , f3 , f4 },
f0 ◦ A = f3 ◦ A = f4 ◦ A = {f0 , f3 , f4 },
A ◦ f1 = A ◦ f2 = A ◦ f5 = {f1 , f2 , f5 },
f1 ◦ A = f2 ◦ A = f5 ◦ A = {f1 , f2 , f5 }.

4. 4
Teorema 2 Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. Es decir si G
es un grupo abeliano, y si N < G, entonces N G.
Prueba
Sea N < G, entonces
x−1 N x = {x−1 nx | n ∈ N },
= {x−1 xn | n ∈ N },
= {n | n ∈ N } = N,
as´ N es un subgrupo normal de G.
ı
Ejemplo 4.
El grupo de Klein es abeliano, de modo que todos sus subgrupos son
normales.
Ejemplo 5.
(Z n , +) es abeliano, de modo que todos sus subgrupos son normales.
Z
Ejemplo 6.
(Z +) es abeliano, de modo que todos sus subgrupos, que son de la forma
Z,
mZ son normales.
Z,
Teorema 3 Si S < G, de un G grupo tal que S induce solamente dos clases
derechas (el mismo y otro), entonces S G. En el caso finito esto significa
que el orden S es la mitad del orden de G.
Prueba
Sea g cualquier elemento g de G est´ en S ´ en G − S. Si g ∈ S, entonces
a o
gS = S = Sg. Si g ∈ S, entonces Sg = G − S, dado que S ∩ Sg = ∅. As´ ı,
gS = G − S = Sg. Por lo tanto por la parte (c) del teorema anterior, S es
un subgrupo normal de G.
Teorema 4 Si S es un subgrupo finito de G y si S es el unico subgrupo de
´
orden | S |, entonces S G.
Prueba
Para cualquier g ∈ G, probaremos primero que g −1 Sg es un subgrupo de G.
En efecto, si a, b ∈ g −1 Sg, entonces a = g −1 s1 g y b = g −1 s2 g con s1 , s2 ∈ S.

5. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 5
Entonces
ab−1 = (g −1 s1 g)(g −1 s2 g)−1 ,
= (g −1 s1 g)(g −1 s−1 g),
2
= g −1 s1 s−1 g,
2
es decir, ab−1 ∈ g −1 Sg, o sea que g −1 Sg es un subgrupo de G.
Por otro lado observe que g −1 Sg = {g −1 ha g | ha ∈ S} y S = {ha | ha ∈ S}
tienen la misma cardinalidad o n´mero de elementos, as´ que | g −1 Sg | = | S |
u ı
y por la unicidad de S con respecto al orden, se sigue que g −1 Sg = S. Dado
que g es un elemento cualquiera de G, entonces podemos concluir que S G.
Nota
En un grupo no abeliano, deben existir al menos un par de elementos tales que
xy = yx. Sin embargo, se ha visto que grupos no abelianos tienen subgrupos
abelianos y que la identidad conmuta con cada elemento del grupo. Exten-
demos esta idea al considerar el conjunto de los elementos que conmutan con
todos los elementos del grupo. En los ejercicios propuestos, se definieron los
conceptos de centro de un grupo y centralizador de un elemento. Volveremos
a estos conceptos y los relacionaremos con subgrupos normales.
Definici´n 2 Sea G un grupo, se define
o
C(G) = {c ∈ G | cg = gc, ∀ g ∈ G, }
a este conjunto se le llama el centro de G. Un elemento c ∈ C(G) se le llama
un elemento central de G.
Ejemplo 7.
Halle el centro del grupo (GL(2, I ·) donde
R),
a b
GL(2, I =
R) | ad − bc = 0 .
c d
Sea
a b
c d

6. 6
x y
cualquier matriz en GL(2, I y
R) ∈ C(GL(2, I
R)), entonces
z w
x y a b a b x y
=
z w c d c d z w
ax + cy bx + dy ax + bz ay + bw
⇐⇒ =
az + cw bz + dw cx + dz cy + dw

 ax + cy = ax + bz

 bx + dy = ay + bw

⇐⇒ 
 az + cw = cx + dz

bz + dw = cy + dw

este sistema de ecuaciones lineales

 ax + cy = ax + bz

 bx + dy = ay + bw

 az + cw = cx + dz


bz + dw = cy + dw

el cual es un sistema de ecuaciones lineales con inc´gnitas x, y, z y w. La
o
soluci´n de este sistema es a = d, b = c = 0. Por lo tanto,
o
a 0
C(GL(2, I
R)) = |a ∈ I .
R
0 a
Ejemplo 8.
El grupo S3 , entonces C(S3 ) consiste en solo f0 , es decir, la identidad,
C(S3 ) = {f0 },.
Ejemplo 9.
En D4 , es claro que C(D4 ) = {I, r2 }. Verificarlo.
Ejemplo 10.
Si G es un grupo abeliano, para cada x ∈ G, xy = yx; ∀ y ∈ G. Por lo
tanto cada elemento de G pertenece al centro de G, as´ C(G) = G.
ı
Definici´n 3 Si G es un grupo y g ∈ G, entonces el centralizador de g en
o
G, es definido por CG (g) = {x ∈ G | xg = gx}, es decir, CG (g) de g es el
conjunto de todos los elementos que conmutan con g.

7. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 7
Ejemplo 11.
En S3 = {f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } (ver tabla)
CS3 (f0 ) = S3 ,
CS3 (f1 ) = {f0 , f1 },
CS3 (f2 ) = {f0 , f2 },
CS3 (f3 ) = {f0 , f3 , f4 },
CS3 (f4 ) = {f0 , f3 , f4 },
CS3 (f5 ) = {f0 , f5 }.
Definici´n 4 Sea S un subgrupo de un grupo G, NG (S) definido por:
o
NG (S) = {g ∈ G | g −1 Sg = S}
NG (S) se le llama el normalizador de S.
Ejemplo 12.
En S3 , S = {f0 , f2 } para hallar NS3 (S), necesitamos revisar los conjuntos
−1
g Sg para cada g elemento de S3
−1 −1 −1
f0 ◦ S ◦ f0 = {f0 ◦ f0 ◦ f0 , f0 ◦ f2 ◦ f0 } = {f0 , f2 } = S,
calculos similares dan que
−1
f1 ◦ S ◦ f1 = {f0 , f5 } = S,
−1
f2 ◦ S ◦ f2 = {f0 , f2 } = S,
−1
f3 ◦ S ◦ f3 = {f0 , f1 } = S,
−1
f4 ◦ S ◦ f4 = {f0 , f5 } = S,
−1
f5 ◦ S ◦ f5 = {f0 , f1 } = S.
Por lo tanto NS3 (S) = {f0 , f2 }.
Ejemplo 13.
A = {f0 , f3 , f4 } < S3 , se puede ver que al realizar c´lculos similares al
a
ejemplo anterior. NS3 (A) = S3 .
Ejemplo 14.
Si G es un grupo abeliano y S un subgrupo de G, entonces S G y
as´ NA (S) = G.
ı

8. 8
Teorema 5 Si N < C(G), donde C(G) es el centro de G, entonces N G.
En particular, C(G) G.
Prueba
Dado que si j ∈ N, conmuta con todos los elementos de G, entonces se tiene
que para cualquier elemento x ∈ G;
x−1 N x = x−1 {j | j ∈ N }x,
= {x−1 jx | j ∈ N },
= {x−1 xj | j ∈ N },
= {j | j ∈ N },
= N.
Por lo tanto N G.
0.1.1. Grupo factor o grupo cociente
Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, definimos como el
conjunto de clases izquierdas (derechas) como
G/N = {gN : g ∈ G}
Mostraremos que a este conjunto se le puede dotar de estructura de grupo
con la operaci´n
o
xN yN = xyN, ∀ x, y ∈ G.
la cual esta bien definida si N es normal, como lo muestra el siguiente teore-
ma.
Teorema 6 Un subgrupo N de G es normal en G si y solo si
xN yN = xyN, ∀ x, y ∈ G.
Prueba
(=⇒) Dado que xN y yN sonsubconjuntos de G,
xN = {xh | h ∈ N }, y yN = {yh | h ∈ N },
as´ que podemos considerar el producto xN yN = {xhyh | h, h ∈ N }, dado
ı
que N G, entonces podemos escribir el conjunto anterior como:
xN yN = x(yy −1 )N yN,
= xy(y −1 N y)N,
= xyN N,
= xyN.

9. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 9
(⇐=) Si N no es un subgrupo normal, entonces existe y ∈ G tal que y −1 N y =
N, y as´ y −1 N yN = y −1 yN = N de donde xN yN = xyN si sustituimos
ı
−1
x = y .
Nota
a) En general la multiplicacion de clases vistas como conjuntos es simple-
mente otro conjunto, a menos que el subgrupo que las induce sea normal.
b) Con el siguiente teorema se hace uso de un subgrupo normal N de un grupo
G para construir un grupo m´s ”peque˜o”G/N el cual refleja la estructura
a n
de G, y facilita su estudio.
Teorema 7 Si N G, entonces G/N, el conjunto de las clases izquierdas
de N en G, puede dot´rsele de una estructura de grupo por definici´n de la
a o
operaci´n (∗) sobre G/N del modo siguiente:
o
xN ∗ yN = xyN = xN yN.
Prueba
a) Veamos que ∗ es cerrada sobre G/N. En efecto, xN ∗ yN = xN yN ⇐⇒
N G.
b) Veamos que ∗ es asociativo sobre G/N. En efecto,
(xN ∗ yN ) ∗ zN = (xN yN ) ∗ zN,
= (xyN ) ∗ zN,
= (xy)zN,
= x(yz)N,
= xN ∗ (yz)N,
= xN ∗ (yN ∗ zN ).
c) N es la identidad en G/N. En efecto, notemos que N = eN, as´ que
ı
eN ∗ xN = exN,
= xN,
= xeN,
= xN ∗ eN.
d) Si xN, entonces (xN )−1 = x−1 N, en efecto
xN ∗ x−1 N = xN x−1 N,
= xx−1 N,
= eN,
= x−1 xN,
= x−1 N ∗ xN.

10. 10
As´ que (xN )−1 = x−1 N.
ı
Definici´n 5 Si N
o G, entonces el grupo (G/N, ∗) es el conjunto de las
clases izquierdas de N con xN ∗ yN = xyN es llamado el grupo cociente o
grupo Factor de G sobre N. Usualmente omitimos (∗) y escribimos xN yN =
xyN.
Ejemplo 15.
En el ejemplo siguiente, consideramos (Z +) el grupo de los enteros con
Z,
la suma usual y consideramos 5Z el cual es un subgrupos normal de este
Z,
grupo. Consideremos Z Z, que tiene las siguientes clases como elementos:
Z/5Z
0 = 5Z + 0
Z = {· · · , −5, 0, 5, 10, · · ·}
1 = 5Z + 1
Z = {· · · , −4, 1, 6, 11, · · ·}
2 = 5Z + 2
Z = {· · · , −3, 2, 7, 12, · · ·}
3 = 5Z + 3
Z = {· · · , −2, 3, 8, 13, · · ·}
3 = 5Z + 4
Z = {· · · , −1, 4, 9, 14, · · ·}.
y la tabla de este grupo es:
◦ 5Z
Z 5Z + 1
Z 5Z + 2
Z 5Z + 3
Z 5Z + 4
Z
5ZZ 5Z
Z 5Z + 1
Z 5Z + 2
Z 5Z + 3
Z 5Z + 4
Z
5Z + 1
Z 5Z + 1
Z 5Z + 2
Z 5Z + 3
Z 5Z + 4
Z 5Z
Z
5Z + 2
Z 5Z + 2
Z 5Z + 3
Z 5Z + 4
Z 5Z
Z 5Z + 1
Z
5Z + 3
Z 5Z + 3
Z 5Z + 4
Z 5Z
Z 5Z + 1
Z 5Z + 2
Z
5Z + 4
Z 5Z + 4
Z 5Z
Z 5Z + 1
Z 5Z + 2
Z 5Z + 3
Z
donde la operaci´n (◦) se defini´ del modo siguiente:
o o
(5Z + a) ◦ (5Z + b)
Z Z = 5Z + (a + b).
Z
Ejemplo 16.
¿Porqu´ tiene que ser normal el subgrupo N ? En este ejemplo tomemos
e
un subgrupo que no es normal y veamos porque G/N no resulta ser grupo.
Consideremos S3 = {f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } y el subgrupo
N = {f0 , f1 } cuyas clases derechas
N f0 = N f1 = {f0 , f1 },
N f2 = N f3 = {f2 , f3 },
N f4 = N f5 = {f4 , f5 }.

11. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 11
Dado que f2 ◦ N = {f2 , f4 } = N ◦ f2 , N no es un subgrupo normal. Ahora
si definieramos
G/N = {{f0 , f1 }, {f2 , f3 }, {f4 , f5 }}
y tratemos de definir una operaci´n (∗) de acuerdo como lo establece el
o
teorema anterior N ◦ f2 ∗ N ◦ f4 = N ◦ f2 ◦ f4 = N ◦ f1 mientras que
N ◦ f2 ∗ n ◦ f5 = N ◦ f2 ◦ f5 = N ◦ f3 ,
de modo que N ◦ f1 = N ◦ f3 , por lo que la operaci´n no est´ bien definida,
o a
pues depende del representante que se tome en cada clase.
Ejemplo 17.
Sin embargo en S3 ponemos A = {f0 , f3 , f4 }, vemos que
A ◦ f0 = A ◦ f3 = A ◦ f4 = {f0 , f3 , f4 },
f0 ◦ A = f3 ◦ A = f4 ◦ A = {f0 , f3 , f4 },
y
A ◦ f1 = A ◦ f2 = A ◦ f5 = {f1 , f2 , f5 },
f1 ◦ A = f2 ◦ A = f5 ◦ A = {f1 , f2 , f5 },
de modo que G/A = {A, A ◦ f1 }, podemos definir:
A∗A = A,
A ∗ (Af1 ) = (Af1 ) ∗ A = A ∗ f1 ,
(Af1 ) ∗ (Af1 ) = (Af0 ) = A,
siendo A normal. Los problemas del ejemplo anterior no se dan y as´ la
ı
operaci´n (∗) queda bien definida.
o
Ejemplo 18.
Sea K = {e, a, b, c} el grupo de Klein y N = {e, a}, N G dado que
K es abeliano, consideremos las dos clases distintas
eN = N e = {e, a} = aN = N a = N
y
bN = N b = {b, c} = cN = N c,
de modo que G/N = {N, N b} cuya tabla es:
∗ N Nb
N N Nb
Nb Nb N
la de un grupo c´
ıclico de orden 2.

12. 12
Ejercicios Propuestos
1. Sea S un subgrupo de un grupo.
a) Pruebe que si h ∈ s, =⇒ hS = S = Sh,
b) Pruebe que si x−1 y ∈ S ⇐⇒ xS = Sy.
2. Halle el orden de los siguientes elementos y grupos factores:
a) El grupo cociente Z 6 / 3 ,
Z
b) El grupo cociente (Z 4 × Z 12 )/ 2 × 2 ,
Z Z
c) El grupo cociente (Z 4 × Z 12 )/ (2, 2) ,
Z Z
d) La clase 5 + 4 como elemento del grupo factor Z 12 / 4 ,
Z
e) La clase 26 + 12 como elemento del grupo Z 60 / 12 .
Z
R: a) 3, b) 4, c) 8, d)4, quade) 6.
3. Sean a, b ∈ I a = 0, fa,b : I → I tal que x −→ (ax + b) y sean
R, R R
G = {fa,b | a, b ∈ I
R}, a = 0,
y
N = {f1,b | b ∈ I
R}
Muestre que:
a) (G, ◦) es un grupo donde ◦ denota la operaci´n de composici´n de
o o
funciones,
b) N es un subgrupo normal en G,
c) S = {fa,b | a ∈ Q } es un subgrupo normal de G.
l
4. Sea el grupo GL(2, I muestre que el conjunto siguiente:
R)
a b
T = | ad − bc = 0
c d
Es un subgrupo normal de GL(2, I
R).
5. Si H GyK H. ¿Qu´ se puede decir de K
e G?.
6. Halle los normalizadores de {I, r1 }, {I, r1 , r2 , r3 }, {I, d1 }.
7. Muestre que si S es un subgrupo de indice 2 de un grupo finito G,
entonces las clases izquierdas y las derechas correspondientes son las
mismas, en otras palabras S es un subgrupo normal del grupo G.

13. 0.1. SUBGRUPOS NORMALES 13
8. Si N es un subgrupo normal de un grupo finito G, ¿C´al es la relaci´n
u o
entre los ´rdenes de los grupos G, G/N, N ?
o
R: Simplemente ord(G) = ord(N )ord(G/N ).
9. Demostrar que si A < G, donde G es un grupo y B es un grupo normal
de G, entonces AB es un subgrupo de G.
10. Sean a, b ∈ G, G grupo y def´
ınase:
[a, b] = aba−1 b−1 .
Se le llama a este el conmutador de a y b. Si C denota el conjunto de
todos los productos finitos de conmutadores, entonces pruebe que:
a) C es un subgrupo de G (conocido como subgrupo conmutador o el
grupo derivado de G
b) Muestre que C es normal en G,
c) Muestre que el grupo G/C es un grupo abeliano.
d) Demostrar que el inverso de un conmutador es un conmutador.
11. Muestre que si H y K son subgrupos normales de un grupo G tales que
H ∩ K = {e},
entonces hk = kh, ∀h ∈ H y k ∈ K.
R: Considere el conmutador hkh−1 k −1 = h(kh−1 k −1 ).
12. Sea G un grupo el cual contiene al menos un subgrupo de un orden fijo
dado s. Muestre que la intersecci´n de todos los subgrupos de orden s
o
es un subgrupo normal de G.
13. Muestre que si H < G y N G y N es un subgrupo normal en G,
entonces H ∩ N es un subgrupo normal de H. De un ejemplo de que
H ∩ N no necesariamente es normal en G.
R: Tomar G = N = S3 y H cualquier subgrupo de orden 2.
14. Pruebe que cada grupo G es normal en s´ mismo, adem´s pruebe que
ı a
G/G = G.
15. Muestre que si N es un subgrupo normal de G y H < G, entonces
N H = {nh | n ∈ N, h ∈ H}
es un subgrupo de G.

14. 14
16. Sean H y K subgrupos de G, muestre que:
a) HK sea un subgrupo normal de G ⇐⇒ HK = KH,
b) Si H es normal, entonces HK es un subgrupo,
c) Si H y K son normales, entonces HK es un subgrupo normal.
17. Determine el conjunto de conmutadores del grupo siguiente grupo
1 a
G = | a, b ∈ I b = 0 .
R,
0 b
18. Sea Z × Z si se define (a, b)(c, d) = (a + c(−1)b , b + d). Muestre que G
Z Z
es un grupo no abeliano y determine el conjunto de los conmutadores
de este grupo.
19. Si N es un subgrupo normal de un grupo G tal que N ∩ G = {e}
donde G , es el conjunto de conmutadores del grupo G, muestre que
N ⊂ C(G).
20. Si N G y tal que |N | = 2, muestre que N es un subconjunto del
centro del grupo G.
21. Si M y N subgrupos normales de un grupo G y M ∩N = {e}. Muestre
que mn = nm; ∀m ∈ M, n ∈ N, m ∈ M .
22. Muestre que imposible que 2|C(G)| = |G|.
23. Diga en cada caso si es verdadero o falso:
( ) ¿ Tiene cada subgrupo de orden 4 clases izquierdas?
( ) ¿Puede no tener clases izquierdas un subgrupo finito de un grupo
infinito?
( ) ¿Es un subgrupo de un grupo una clase izquierda en si mismo?
( ) ¿Solamente los subgrupos de grupos finitos pueden tener clases
izquierdas?
( ) El n´mero de clases izquierdas de un subgrupo de un grupo finito
u
divide al orden del grupo?
( ) ¿Es cada subgrupo de un grupo abeliano un subgrupo normal?
( ) ¿Es cada grupo cociente de un grupo finito un grupo finito?
( ) ¿Es abeliano cada grupo cociente de un grupo abeliano?
( ) ¿Es no abeliano cada grupo cociente de un grupo no abeliano?